Проекция на точка върху права Координати на проекция на точка върху права линия. Проекция на точка върху права линия, координати на проекция на точка върху права линия Проектиране на точка върху права x y z

1-12. Проекция на точка върху равнина и права линия

ПОСТАНОВКА НА ПРОБЛЕМА.Намерете координатите на проекцията P" на точка P(^PiURCHzp) върху равнината Ax + By -\- Cz-\- D \u003d O,

ПЛАН ЗА РАЗЛИКА. Проекцията Р на точка Р на равнината є substavoy перпендикуляр, спусната от точка Р на равнината q.

1. Сгъване на права линия, за да премине през точка P перпендикулярно на дадената равнина. За кой директен вектор вземаме нормален вектор на областта: a = n = (A, B, C). Могат да изглеждат същите канонични прави линии

X = At-\-xp, y = Bt-\-yp, Z=z Ct-\-Zp.

3. Замествайки x ^ y ^ z на нивото на равнината и променяйки дължината на t, се знае стойността на параметъра t = to, с който се взема предвид линията на правата линия.

4. Намерени стойности, които да бъдат представени в параметричното подравняване на правата линия и натрапчиво шегувайки координатите на точката R".

УВАЖЕНИЕ. По същия начин се решава задачата за познаване на координатите на проекцията на точка върху права линия.

ДАПЕ. Познайте координатите на проекцията Р на точка Р(1,2,-1) върху равнината ЗЖ - 2/4-22: - 4 = 0.

1. Сгъване на права линия, за да премине през точка P перпендикулярно на дадената равнина. За който директен вектор се приема за нормален вектор на площта: a = n =

3. Замествайки q virazi за x ^ y и z до нивото на равнината, се знае стойността на параметъра ^, в която точка линията е права и се взема равнината:

3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = O => до = 2.

4. Замествайки параметричното изравняване на пряката известна стойност с = 2, е възможно да вземем zho = 7, yo = O, ^o = 1.

По този начин пресечната точка на правата линия на равнината i е проекцията на точка P върху равнината на координатите (7,0,1).

Видповид. Проекцията P има координати (7,0,1).

Vidpovidi. 1.(2.3/2.2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3. (2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5. (1,-1/2,-1/2). 6. (3/2,-1/2.0). 7. (1/2,-1,-1/2). 8. (1/2,-1/2,1/2). 9. (1/2,-1/2,1/2). 10. (1.1 / 2.0).

1.13. Симетрия на прави линии или равнини

ПОСТАНОВКА НА ПРОБЛЕМА.Намерете координатите на точката Q, симетрична

ПЛАН ЗА РАЗЛИКА. Точката на Шукана Q лежи на права линия, перпендикулярна на дадената права и се пресича в точка Р".

її проекции Р" върху qi права линия.

1. Знаем проекцията на петната R дадено направо, tobto. точка P "(div. задача 1.12). За което:

а) можем да съхраним плоскостта на равнината, която ще минава през точка P перпендикулярно на дадената права линия. В качеството на нормален вектор в равнина може да се вземе директен вектор по права линия, т.е. n = a = (l^m^n). Приемливо

1 (x - Xp) + m (y - UR) -f n (z - zp) \u003d 0;

б) знаем координатите на пресечната точка P "zієї на равнината с дадената права линия. За което записваме подравняването на правата в параметричен вид

X = H-\-jo, y = mt-\-yo, Z = nt-\-ZQ.

Замествайки x ^ y ^ z на нивото на равнината и променяйки дължината на t, се знае стойността на параметъра t = to, с който се отчита обхватът на правата линия;

в) стойността на to се намира в параметричното подравняване на правата линия и се взема от координатите на точка P".

2. Координатите на точка Q, симетрична на точка P, дадена права линия, можем да променим ума (1). Приемливо

XQ \u003d 2xp / - Xp, yq \u003d 2ur "- yv, ZQ \u003d 22; p / - zp.

УВАЖЕНИЕ. По същия начин проблемът с познаването на координатите на точка, симетрична даденост, като равнина, е нарушен.

ДАПЕ. Намерете координатите на точката Q, симетрична на точката P(2, -1,2) по линията

X - 1 _ y __ Z -\-1

ОТКРИТИЯ.

1. Знаем проекцията на петната R дадено направо, tobto. точка P". За което:

а) можем да съхраним плоскостта на равнината, която ще минава през точка P перпендикулярно на дадената права линия. В качеството на нормалния вектор на равнината може да се вземе прекият вектор на дадената права: n = a = (1,0,-2). Тоди

Замествайки q virazi за x, y и z равнината е равна, стойността на параметъра t е известна, като в този случай се избират правата линия и равнината: to = -1;

в) Възможно е да се замести параметричното подравняване на правата линия на известната стойност с = -1

zhp/ = 0, g/p/ = 0, zpr = 1.

По този начин пресечната точка на правата на равнината i, е и проекцията на точка P върху правата є P”(0,0,1).

2. Координатите на точка Q, която е симетрична на точка P, дадена права линия, се намаляват (1):

XQ \u003d 2xp "- Xp \u003d -2,

VQ \u003d 2ur / - 2 / p = 1,

ZQ = 2zpf – zp = 0.

Видповид. Krapka Q има координати (-2,1,0).

Измийте шефа. Намерете координатите на точката, симетричната точка P на добре дефинирана права линия.

В този устав на гърба е дадена определена проекция на точка върху права линия (като цяло) и са нарисувани малки, които ще обясня. Те дадоха начин за определяне на координатите на проекцията на точка върху права линия при въвеждане на правоъгълна координатна система върху равнина и тривиално пространство, показвайки решението на приложения с обяснения на доклада.

Навигация отстрани.

Проекцията на точка върху права линия е проекция.

Частиците на всички геометрични фигури са съставени от точки, а проекцията на фигурата е безликата проекция на всички точки на фигурата, тогава проекцията на фигурата върху права линия е необходима, за да се проектират точките на фигурата върху права линия.

Какво се нарича проекция на точка върху права линия?

Назначаване.

Проекция на точка върху права линия- Tse или самата точка, тъй като тя лежи върху дадената права линия, или основата на перпендикуляра, изпусната от центъра на точката върху дадената права линия.

Точка H 1 е проекцията на точка M 1 върху правата линия a, а точката M 2 е проекцията на самата точка M 2 върху правата линия a към тази M 2 лежи върху правата линия a.

Обозначаването на проекцията на точка върху права линия е точно като наклон върху равнина, така че наклон в тривиално пространство.

В равнината, за да се индуцира проекцията на точка M 1 върху правата линия a, е необходимо да се начертае права линия b, така че да премине през точката M 1 i е перпендикулярна на правата линия a. Тогава пресечната точка на правите a i є проекцията на точка M 1 върху правата a.

В тривиално пространство проекцията на точка M 1 върху правата a е точката на напречната линия на правата a и равнината, която минава през точка M 1 перпендикулярно на правата линия a.

Стойността на координатите на проекцията на точка върху права линия - теория и приложение.

Важно е да се знаят координатите на проекцията на точка върху права линия, ако точката, която се проектира, е директно присвояване в правоъгълна Oxy координатна система на равнина. Последното нещо, което трябва да се покаже, е как да се знаят координатите на проекцията на точка върху права линия с правоъгълна координатна система Oxyz в тривиално пространство.

Координати на проекцията на точката директно върху равнината.

Нека Oxy е фиксиран върху равнината, дадена е точка от правата линия a и е необходимо да се зададат координатите на проекцията на точка M 1 върху правата линия a.

Да развържем реда.

Провеждаме през точката M 1 права линия b, перпендикулярна на правата линия a, i, точката на пресичане на прави линии a і b yak H 1 е значима. Todi H1 е проекцията на точка M1 върху правата линия a.

Z извършено бързо и логично алгоритъм, който ви позволява да знаете координатите на проекцията на точка върху права линия a:

Нека да разгледаме координатите на проекцията на точка върху права линия в горната част на дупето.

дупето.

В равнината на правоъгълната координатна система Oxy дадена точка е права линия a , която е права линия

Решение.

Правата линия на Rivnyannya е ясна за нас, така че можем да преминем към друг алгоритъм.

Вземаме подравняването на правата b, така че да минава през точката M1 i е перпендикулярна на правата линия a. За което се нуждаем от координатите на директния вектор на правата b. Тъй като правата b е перпендикулярна на правата a, тогава нормалният вектор на правата a е прекият вектор на правата b. Очевидно е нормален вектор на линиите є вектор с координати , също директен вектор на права линия є вектор . Сега можем да напишем каноничното подравняване на правата b, знаем координатите на точката, по кой път да вървим и координатите на директния вектор: .

Загубени да знаят координатите на пресечната точка на правите a і b, yaki дават координатите на проекцията на точка M 1 върху правата линия a. За първото полувреме нека преминем от каноничните линии на правата към нейната zagalny линия: . Сега нека създадем система от изравнения от горните изравнения на прави линии a и b, след което знаем ее rozvyazannya (ако е необходимо, отидете на статията):

По този начин проекцията на точка върху права линия може да координира.

Внушение:

дупето.

В равнината на правоъгълната координатна система Oxy са поставени три точки. Намерете координатите на проекцията на точка M1 върху правата AB.

Решение.

За стойността на координатите на проекцията на точка M 1 върху правата линия AB тя се определя от алгоритъма.

Нека напишем права линия, която минава през две дадени точки i:
.

Сега можете да преминете през старата канонична права линия AB до дълбоката права линия AB и да продължите решението по аналогия с предния приклад. Нека да разгледаме друг начин за подравняване на правата b, която трябва да минава през точка M1, перпендикулярна на правата AB.

От каноничното подравняване на правата линия AB вземаме подравняването на правата линия с коефициента на срязване: . Апикалният коефициент на правата АВ е добър, а върховият коефициент на правата b, тъй като е перпендикулярна на правата АВ, е по-красив (чуди се на умствената перпендикулярност на правите). Todі vnyannya права линия b, scho да премине през точката i maє kutovy koefіtsієnt, maє vglyad.

За да се определят координатите на проекцията на точка върху правата AB, системата за подравняване е загубена. :

Внушение:

Нека разгледаме по-отблизо значимите координати на проекцията на точка върху координатните прави Ox и Oy, както и на успоредните на тях.

Очевидно е, че проекцията на точка върху координатната линия Ox, която изглежда неравномерно равна на зрителната линия, е точка с координати. По същия начин, проекцията на точка върху координатната права Oy може да има координати.

Независимо дали е права, успоредна на оста на абсцисата, тя може да бъде настроена на неразбираем, праволинейн ум , И правата линия, успоредна на оста на ординатите, е равна на ума . Проекциите на точка върху права линия са точки с координати и са видими.

дупето.

Какви координати може да бъде проекцията на точка върху координатната линия Oy и права линия.

Решение.

Проекцията на точка върху права линия Oy е точка с координати.

Да препишем направо направо як. Сега можете ясно да видите, че проекцията на точката може директно да координира.

Внушение:

І.

Координати на проекцията на точка върху права линия близо до тривиалното пространство.

Сега да преминем към стойността на координатите на проекцията на точка върху права линия с помощта на правоъгълната координатна система Oxyz, въведена в тривиалното пространство.

Нека пространството има фиксирана правоъгълна координатна система Oxyz, дадена е точка , Права a и е необходимо да се знаят координатите на проекцията на точка M 1 върху правата a.

Да развържем реда.

Ще оставим равнината да премине през точка M1 перпендикулярно на правата а. Проекцията на точка M 1 върху правата а е точката на напречната линия на правата и равнината. По този начин приемаме алгоритъм, който ви позволява да знаете координатите на проекцията на точка направо:

Нека да разгледаме решението.

дупето.

Правоъгълната координатна система Oxyz има точка и права линия a , а на правата a се приписва каноничното подравняване на правата линия в пространството на ума . Намерете координатите на проекцията на точка M1 върху правата линия a.

Решение.

За задаване на координатите на проекцията на точка M 1 върху правата линия, тя се ускорява от алгоритъма.

Rivnyannya се отклони към нас веднага в ума, така че нека да преминем към друг крокодил.

Отнемаме плоскостта на равнината, тъй като тя е перпендикулярна на правата линия и минава през точката. За което трябва да знаем координатите на нормалния вектор на областта. Нека ги опознаем. От каноничните подравнявания на правата линия a могат да се видят координатите на директния вектор по правата линия: . Директният вектор на правата е нормален вектор на областта, който е перпендикулярен на правата a. Тобто, - Нормална област вектор. Todі vnyannya равнина, scho да премине през точката i maє нормален вектор , може да изглежда .

Загубени да се знаят координатите на точката, кръстовището на правата линия а, и равнината - смрад е shukanimi координати на проекцията на точката върху права линия a. Показваме два начина на това значение.

Първи метод.

От каноничните подравнявания на правата линия a вземаме подравняването на две равнини, които се припокриват, сякаш означават права линия a:

Координати на линията този апартамент ние го приемаме, като сме разработили система от линейни подравнявания към ума . Zastosuyemo (ако имате нужда от повече или ако има друг метод за отделяне на системите от линейни подравнявания, тогава го спрете):

В този ред точката с координати е проекцията на точка M върху правата линия a.

Друг начин.

Познавайки каноничното подравняване на правата линия a, лесно е да запишете параметричното подравняване на правата линия в пространството: . Нека го поставим в перспектива заменете x , y и z техните изрази чрез параметъра:

Сега можем да изчислим координатите на пресечната точка на правата a и площта зад параметричните линии на правата a при:

Tsya статия, разглеждаща разбирането на проекцията на точка върху права линия (всички). Ми дамо йома беше назначен за малкото vikoristannya, което обяснявам; Vivchimo начин за задаване на координатите на проекцията на точка върху права линия (на плоско или тривиално пространство); Нека го изпробваме.

В статията „Проекция на точка върху равнина, координати“ се чудехме дали дизайнът на фигура трябва да се разбира от понятията за перпендикулярен или ортогонален дизайн.

Всички геометрични фигури са сгънати в точки; Следователно, за да може да се проектира фигура върху права линия, е необходимо да се вземе предвид възможността за проектиране на точка върху права линия.

Назначаване 1

Проекция на точка върху права линия- това е самата точка, тъй като тя трябва да лежи върху дадената права линия, или основата на перпендикуляра, изпусната от центъра на точката върху дадената права линия.

Нека да разгледаме малките по-долу: точката H 1 служи като проекция на точка M 1 върху правата линия a, а точката M 2, която лежи на правата линия, е проекцията към себе си.

Това обозначение е по-правилно за vipadku на повърхността и в тривимерното пространство.

За да вземете проекцията на точка M 1 върху правата линия a на равнината, начертайте права линия b, така че да минава през дадена точка M 1 i е перпендикулярна на правата линия a. В този ред точката на пресичане на прави a и b ще бъде проекцията на точка M 1 върху правата a.

В триви-световно пространство проекцията на точка върху права ще има точка върху правата линия a и равнината α, която ще минава през точката M 1 и перпендикулярна на правата линия a.

Стойността на координатите на проекцията на точка върху права линия

Нека да разгледаме веригите в пейзажите на дизайна на апартамента и в тривиалното пространство.

Дайте ни задачата за правоъгълна координатна система O x y, точка M1 (x1, y1) i права линия a. Необходимо е да се знаят координатите на проекцията на точка M1 върху правата линия a.

Нека прекараме през дадена точка M 1 (x 1, y 1) правата b, перпендикулярна на правата a. Точката на прекъсване е маркирана като H1. Точка H 1 ще бъде точката на проекция на точка M 1 върху правата линия a.

От описанието е възможно да се формулира алгоритъм, който ви позволява да знаете координатите на проекцията на точката M 1 (x 1 y 1) върху правата линия a:

Сгъване на прави линии (както не е посочено). За zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya главен rivnyan на апартамент;

Запишете подравняването на правата b (за да премине през точка M 1 и перпендикулярно на правата линия a). Тук ще бъде допълнена статията за подравняването на правата линия, за да премине през дадена точка перпендикулярно на дадената права линия;

Очевидно е, че координатите на проекцията се приемат като координати на пресечната точка на правите a и b. И към това е доказана системата от равенства, складове като - изравняване на прави а и b.

дупе 1

На равнината O x y дадената точка M 1 (1, 0) е правата линия a (по-високо подравняване - 3 x + y + 7 = 0). Необходимо е да се посочат координатите на проекцията на точка M1 върху правата линия a.

Решение

Подравняването, дадено от правата линия, което според алгоритъма преминаваме към най-краткия запис на подравняването на правата b. Правата b е перпендикулярна на правата a, така че нормалният вектор на правите a служи като директен вектор на правите b. Тогава директният вектор на прави b може да се запише като b → = (3, 1). Нека запишем каноничното подравняване на правата b, но също така трябва да зададем координатите на точка M 1 през пътя за преминаване на правата b:

Крайният разрез показва координатите на пресечната точка на правите a и b. Нека преминем от каноничната ривняня към правата ее ривняня:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Нека направим система от уравнения от горните уравнения на прави а и b

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Е, отнехме координатите на проекцията на точката M 1 (1, 0) върху правата линия 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Внушение: (- 2 , - 1) .

Отчетът ще бъде прегледан, ако е необходимо да се посочат координатите на проекцията на дадена точка върху координатната права и успоредните прави.

Нека дадените координатни прави O x і O y, както и точката M 1 (x 1, y 1). Разбрах, че проекцията на дадена точка върху права координата O x от вида y = 0 ще бъде точка с координати (x 1, 0) . Значи i е проекцията на дадена точка върху координатната права O y с координатите 0 , y 1 .

Ако това е доста права линия, успоредна на оста на абсцисата, можете да вмъкнете несравними дълбоки линии B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - CB и права линия, успоредна на оста y - A x + C \ u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Тогава проекциите на точката M 1 (x 1, y 1) върху правата линия y = - C B i x \u003d - C A стават точки с координати x 1, - C B i - C A, y 1.

дупе 2

Вземете координатите на проекцията на точка M 1 (7, - 5) върху координатната права O y , а също и на правата, успоредна на правата O y 2 y - 3 = 0 .

Решение

Нека запишем координатите на проекцията на дадената точка върху правата O y: (0 - 5) .

Нека запишем подравняването на правата линия 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 . Става ясно, че проекцията на дадена точка върху правата y = 3 2 с координатна матрица 7 3 2 .

Внушение:(0 , - 5) и 7 , 3 2 .

Нека тривиалното пространство има правоъгълна координатна система O x y z , точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и права линия a . Знаем координатите на проекцията на точка M1 върху правата линия a.

Ще оставим равнината α да премине през точката M 1 i перпендикулярно на правата a. Проекцията на дадена точка върху права линия a се превръща в точка върху права линия a и равнина α. Въз основа на това въвеждаме алгоритъм за стойността на координатите на проекцията на точка M 1 (x 1, y 1, z 1) върху правата линия a:

Записваме подравняването на правата линия a (тъй като не е посочено). За да разберете кой мениджър, е необходимо да научите от статията за подравняването на прави линии в пространството;

Можем ли да съхраняваме плоскостта?

Знаем координатите на проекцията на точка M 1 (x 1, y 1, z 1) върху правата линия a - ще има координатите на точката на напречната линия на правата α и равнината на α (за помощ - статията „Координати на точката на напречната линия на правата линия на равнината“).

дупе 3

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z , i в nіy - точка М 1 (0, 1, - 1) i права a . Правата линия a съответства на каноничното подравняване: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Определете координатите на проекцията на точка M1 върху правата a.

Решение

Vykoristovuёmo vkazyvshee алгоритъм. Rivnyannya права линия, първата стъпка се пропуска от алгоритъма. Нека запишем подравняването на площта α. За което координатите на нормалния вектор на областта са значими. От дадените канонични подравнявания на правата линия a можем да видим координатите на директния вектор на правата линия: (3, - 4, 1), който ще бъде нормален вектор на областта α, перпендикулярна на правата линия а. Тоди n → = (3, - 4, 1) е нормален вектор на площта α. В този ред равнината на α matime изглеждаше равна:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Сега знаем координатите на пресечната точка на правата линия и тази на равнината α, за които има два начина:

1. Задачите на каноничното подравняване ви позволяват да вземете подравняването на две равнини, които се припокриват, които представляват права линия a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

За да знаем точките на напречната линия на правата 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 и равнината 3 x - 4 y + z + 5 = 0, нека разбием система за подравняване:

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - пет

По този начин методът на Крамер е победител, но можете да засосувате дали е удобен:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ 0 - 78 = 0

По този начин проекцията на дадена точка върху права линия a е точка с координати (1, 2, 0)

1. Въз основа на задачите на каноничните подравнявания е лесно да се запише параметричното подравняване на правите линии в пространството:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Нека си представим в нивото на равнината, което може да се види като 3 x - 4 y + z + 5 = 0 вместо x , y і z их израз чрез параметъра:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Нека изчислим координатите на пресечната точка на правата a и равнината α зад параметричните подравнявания на правата a при λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Така проекцията на дадена точка върху права линия a има координати (1, 2, 0)

Внушение: (1 , 2 , 0)

И накрая, важно е, че проекциите на точка M 1 (x 1, y 1, z 1) върху координатните линии O x , O yi O z ще бъдат точки с координати (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) и (0 , 0 , z 1) е валидно.

Как запомнихте извинението в текста, бъдете любезни, вижте го и натиснете Ctrl + Enter