Циклични групи

Циклична група- Група, като суверенна циклична подгрупа. В дупето 5.7 групата може да има циклична подгрупа H 5 \u003d G. Tse означава, че групата G е циклична група. По какъв начин елемент, който генерира циклична подгрупа, може да генерира и група. Този елемент получава името "генератор". Подобно на g - генератор, елементите от крайната циклична група могат да се запишат така

(e, g, g 2, ....., g n-1), de g n = e.

С уважение, една циклична група може да създаде много генератори.

Наличност 5.9

а. Група G = - циклична група с два генератора, g = 1 и g = 5 .

б. Група - циклична група с два генератора, g = 3 и g = 7 .

Теорема на Лагранж

Теорема на Лагранжпоказват разликата между реда на групата и реда на подгрупата. Да приемем, че G е група и H е подгрупа на G . Подобно на реда G и H - |G| и |H| , валиден, валиден до теоремата |H| споделяне | G | . За приложение 5.7 | G | = 6 . Ред на подгрупа - | h1 | = 1, | H2 | = 3, | H3 | = 2 и |H4| = 6 . Очевидно всички поръчки са дилници 6 .

Теоремата на Лагранж може да бъде повече от няколко допълнения. Ако е дадена група G, тогава її ред | G | , могат лесно да бъдат присвоени поръчки на потенциални подгрупи, така че да можете да знаете дилниците. Например, редът на групата G = - Це |17| . Дилники 17 є 1 че 17. Tse означава, че една група може да бъде майка само на две подгрупи - неутрален елемент і H 2 \u003d G.

Ред на елементи

Ред на елементигрупата ord (a) (порядък (a)) има най-малкото цяло число n, така че a n = e . С други думи: редът на елемент е редът на група, който е начинът, по който той генерира.

Наличност 5.10

а. Група G = , порядки на елементи: поръчка ord(0) = 1 , поръчка ord (1) = 6 , поръчка ord (2) = 3 , поръчка ord (3) = 2 , поръчка ord (4) = 3 , поръчка ord (5) = 6.

б. Група G = , ред на елементите: ред ord (1) = 1 , ред ord (3) = 4 , ред ord (7) = 4 , ред (9) = 2 .

• 1. Група Зцели числа от операцията на сгъване.
• 2. Групата на всички сложни корени на стъпка нот единица към операцията на умножение. Оскилки цикличен изоморфизъм на числата

групата е циклична и елементът е създаден.

Ми bachimo, че цикличните групи могат да бъдат както ендемични, така и несинтетични.

3. Хайде - добра група и добър елемент. Багато е циклична група със задоволителен елемент g. Тя се нарича циклична подгрупа, генерирана от елемента g, и този ред е реда на елемента g. Според теоремата на Лагранж, редът на елемент е разширител на група. Ферментация

какво се крие зад формулата:

Очевидно, поради хомоморфизма, това ее изображение е zbіgaєtsya. Vidobrazhennya е сюръективно същото и по-малко същото, ако групата г- цикличен жАз установявам елемента. Кой начин се нарича стандартен хомоморфизъм за циклична група гс усукан обрат ж.

Застосучи по този начин теоремата за хомоморфизма, ние вземаме предвид значението на силата на цикличните групи: дали една циклична група е хомоморфен ранг. З .

Имайте някаква група гможе да бъде назначен стъпкаелемент с множество индикации:

Нека мястото на силата

Tse очевидно, yakscho . Нека да разгледаме випадка, ако . Тоди

По същия начин се разглеждат и други тенденции.

З (6) вика, шо

Krіm освен това, за назначените. В този ред нивото на елемента установява подгрупата на групата г.Вика се Вон циклична подгрупа, генерирана от елемент,и се обозначава чрез .

Има две възможни разлики по принцип: или всички етапи на елемента са различни, или не. При първия тип подгрупата не е кльощава. Нека да разгледаме друг аспект.

Хайде ,; един и същ. Най-малко естествени числа т,за тези, които са призовани по този начин в ределемент i е обозначен чрез .

предложение 1. Yakscho , тогава

доказателство. 1) Разделете мна Пе твърде много:

Преминете през определения ред

Заради нападателя

Последно. Yakshcho, подгрупа mo отмъщение n елементи.

Доказателство.Вярно,

освен това всички елементи са различни.

Това има випадка, ако нямате такава естествена т, scho (tobto може да е първото от описанията по-горе), vvazhayut . Vіdmitimo, scho; порядките на всички останали елементи от групата са по-големи от 1.

В групата на добавките не говорим за степента на елемента , за йога кратнияки означават чрез . В зависимост от реда на елемента от групата на добавките г- най-малкото от естествените числа т(както е известно), за тези

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.Характеристиката на полето е редът на всеки ненулев елемент в i-та група на добавките.

ДАПЕ 2. Очевидно е, че групата kintsevoi има порядъка на всеки елемент от kitsevy. Ще бъде показано как се изчисляват редовете на елементите в групата.Извиква се заместването цикълдожини и означават чрез якшо спечели циклично пренареждат

и реща навсякъде. Очевидно е, че редът на цикъла е по-добър нар.Циклите i се наричат независим,дори сред числата, които всъщност са пренаредени от тях, няма много скандални; в коя посока . Било то като замяна, недвусмислено е изложено на телевизора на независими цикли. Например,

което е ясно показано на мъника, което е изобразено със стрелки. Ето как е изложена замяната на телевизора на независими цикли от дожини , тогава

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.Редът на комплексното число в групата на kintsevy е четен и само справедлив, ако числото е коренът на един и същ свят на единство, така че със собствената си чернота може да бъде същото и само тогава, ако, a porіvnyaєmo z , tobto. .

ПРИЛОЖЕНИЕ 4.Познаваме елементите на крайния ред на групата руини на апартамента. Хайде. Защото какъвто и да е смисълът

въртете циклично , така че какъв е центърът на тежестта относнонепокорно шодо. Otzhe, - или се обърнете към разфасовката на ума около точката относно, в противен случай трябва да е възможно преминаването на права линия относно.

ДАПЕ 5. Ние знаем реда на матрицата

като елемент от група. Маймо

така че какво. Очевидно това дупе е специално избрано: способността на факта, че редът на успех на матрицата ще бъде окончателен, по-равен на нула.

предложение 2. Yakscho , тогава

Доказателство.Хайде

така че какво. Маймо

Татко,.

Назначаване 1 . Група гНаречен цикличенкак се използва такъв елемент , Какво . Такъв елемент се нарича родителски елементгрупировка г.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6.Адитивната група от цели числа е циклична, фрагментите се генерират от елемент 1.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7.Допълнителна група за поддръжка на модула не цикличен, фрагментите се генерират от елемента.

ПРИЛОЖЕНИЕ 8.Мултипликативната група на комплексния корен от n-та стъпка с 1 є цикличен. Всъщност коренната същност на числата

Ясно е какво . От същата група се генерира от елемента.

Лесно е да се бачити, което е в една неизчерпаема циклична група от елементи, които могат да се генерират, само няколко. И така, в група Z родителските елементи са повече от 1 и - 1.

Броят на елементите в крайната група гнаречена її в редтя е посочена чрез. Редът на крайната циклична група е същият като реда на нейния елемент, който генерира. Към това от предложение 2 плачете

Предложение 3 . Елемент от циклична група порядъкът n генерира някои и само някои, ако

ПРИЛОЖЕНИЕ 9.Извикват се родителските елементи на групата първични корени нта стъпка от 1. Това е коренът на ума , де Например първият корен на 12-та стъпка от 1-ва.

Цикличните групи са най-простите групи, така че можете да се идентифицирате. (Особено вонята на абелианците.) Следващата теорема дава нейните нови описания.

Теорема 1. Дали една безкрайно циклична група е изоморфна група. Be-подобна циклична група на Кинцев е порядък n, изоморфен на група.

доказателство. Тъй като това е циклична група без кожа, то чрез формулата (4) тя е изоморфизъм.

Да вървим - kіntseva tsiklіchna група в ред П.Разглеждаме изображението

тогава дисплеят е правилно зададен и обективно. мощност

viplyvaє іz tієї zh формула (1). В този ранг, - изоморфизъм.

Теоремата е завършена.

За разбирането на това, че си група, важна роля играе познаването на подгрупата. Всички подгрупи на циклична група могат лесно да бъдат описани.

Теорема 2. 1) Бъдете подгрупа от циклична група от циклична.

2) Цикличната група е в ред н поръчайте дали подгрупите да споделят н аз за какъвто дилник q номер н Има точно една подгрупа от ред q.

доказателство. 1) Nehai - циклична група i Х- її подгрупа, vіdminna vіd (Единична подгрупа, очевидно, е циклична.) . Хайде т- най-малкото от естествените числа, за тези . Уведомете ни това . Хайде . Подилимо предина те твърде много:

звезди от уговорената дата тследващо, така, по-късно, .

2) Якчо , след това напред mirkuvannya, zastosovane, докато ), Покажи какво . С кого

і Хє единична подгрупова поръчка qв група г.Назад, якчо q- бъди дилник на число Пі , след това множествено H, vynachaetsya равнодушие (9), подгрупа ред q. Теоремата е завършена.

Последица . В циклична група от прост ред, независимо дали не е сама, подгрупата работи с другата група.

ПРИЛОЖЕНИЕ 10.В група, било то подгрупа, мога да погледна, де.

ПРИЛОЖЕНИЕ 11.В групата корени на n-та стъпка z 1 е подгрупа на групата корени q-та стъпка от 1, де.

Нека разгледаме мултипликативната група от всички или две стъпки от две (2Z, ), de 2Z = (2n | П e Z). Аналог на групата на добавката my є адитивната група от двойни цели числа (2Z, +), 2Z = (2n | п д Z). Damo zagalne vyznachennya групи, okremi задници на такива є дани групи.

Назначаване 1.8. Мултипликативна група (G,) (Адитивната група (G, +)) се нарича цикличенсякаш се събира от необходимия брой стъпки (в зависимост от броя на точките) на един елемент a e G, tobto. G=(A p | п д Z) (видповідно, Общ успех | п д Z)). Обозначение: (а), четене: циклична група, генерирана от елемент а.

Нека да го разгледаме.

• 1. Задната част на мултипликативна циклична група без мащабиране може да бъде група от всички стъпки на цикъла с фиксирано цяло число а е±1, отбелязани победи и r.по такъв начин, и г - (а).
• 2. Задната част на мултипликативната терминална циклична група е групата C на корените на n-та стъпка от единицата. Предполагайки, че коренът на n-та стъпка е сам

зад формулата e k= cos---hisin^-, de преди = 0, 1, ..., P - 1. Слайд- п стр

наистина, З„ = (е x) = (е x = 1, e x, ef = e 2 ,..., e "-1 =? „_ x). Предполагаме, че комплексните числа д към, към = 1, ..., П - 1, са изобразени от точките на един кол Правни части.

• 3. Характерен пример за адитивна немащабна циклична група е адитивна група от цели числа Z, която се генерира от числото 1, т.е. Z = (1). Геометрично се появява при вида на целите точки от числовата права. Всъщност така е изобразена самата мултипликативна група 2 7 - = (2) a z \u003d (a),децилен номер а е±1 (дел. Фиг. 1.3). Качеството на изображенията се обсъжда в параграф 1.6.
• 4. Vibero в голяма мултипликативна група гактивен елемент а.Тогава всички цикли на стъпките на елемента удовлетворяват цикличната подгрупа (a) = (a p p eЗ Г.
• 5. Може да се покаже, че адитивната група от рационални числа Q не е сама по себе си циклична, а дали два елемента лежат или не в цикличната подгрупа.

A. Доказваме, че адитивната група Q не е циклична. Допустимо неприемливо: нека Q = (-). Основен целеви номер б,

не споделяйте тези. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, тогава съществуващото

b t/ (tДж

є tsile номер gs 0, така че - = n 0 -. Але тоди m = n 0 kb

звезди т:- dіyshli супер острота.

Б. Да кажем, че две доста рационални числа -

з „ /1

i - припокриваща се циклична подгрупа (-), de те намери- d t/

по-малко от голямо кратно на числата бі д.Добре, нека не m-bi

, а 1 /1 з cv 1/1

i m = av, u, v e Z, тогава i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Теорема 1.3. Редът на цикличната група е същият като реда на родителския елемент на групата, tobto.|(а)| = | а |.

Доказателство. 1. Хайде | = ">. Знаем, че всички естествени стъпки на елемента аразличен. Допустимо неприемливо: хайде a k = a tі 0 до Тоди т - преди- естествено число a t ~ to = e. Ale tse superechit to that, scho | а = ° °.По този начин всички естествени стъпки на елемента а raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst група (а). Отже, | (а)| = ° ° = | а |.

2. Хайде | а | = n. (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). От обозначението на цикличната група включването (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Нека го включим. Допълнителен елемент от цикличната група (а)може да изглежда а т,де ти Z. Споделяне на шнапс в излишък: m-nq + r,де 0 стр. Оскилки a n = e,тогава а т = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(а 0, а, а 2,..., а "- 1). -1).

Необходимо е да се умножи всички елементи (a 0, a, а 2,..., и "-1) различно. Допустимо неприемливо: нека 0 i P,але а" = а).Същото вино - д ta 0 j - i - dіyshli супер острота z umovoy | а | = П.Теоремата е завършена.