Назначен прес. Между функциите: основно разбиране и цел. б. Функции за взаимодействие с бази

Подравняване между функциите според Хайне (чрез последователности) и Кош (чрез епсилон и делта квартали). Назначаванията се дават по универсален начин, който е в застой както за двустранно, така и за едностранно между краищата и безкрайно отдалечените точки. Ясно е, че точка а не е граница на функцията. Доказателство за еквивалентността на назначението според Хейни и Коши.

Раздел. също: Покрайнините на точката
Обозначаване на междуфункции в крайната точка
Дестинация между функции при несъответствие

Първо обозначение на интерфункции (за Gein)

(х)в точка х 0 :
,
yakscho
1) това е пробитите покрайнини на точка x 0
2) за последователност ( x n ), какво да отида на x 0 :
, елементи, които се намират около покрайнините,
приемственост (f(xn))сближават се с:
.

Тук х 0 мога да бъда като крайни числа, така че мога да бъда безкрайно отдалечени точки. Кварталът може да бъде както двустранен, така и едностранен.

.

Други назначени междуфункции (за Kosh)

Числото a се нарича граница на функцията f (х)в точка х 0 :
,
yakscho
1) това е пробитите покрайнини на точка x 0 , де функция е назначена;
2) за всяко положително число ε > 0 също и числото δε > 0 , какво да лежи във vіd ε , какво да лежи за всички x , какво да лежи пробити δ ε - около точката x 0 :
,
стойност на функцията f (х)лежи ε - около точка а:
.

Крапки х 0 мога да бъда като крайни числа, така че мога да бъда безкрайно отдалечени точки. Кварталът също може да бъде както двустранен, така и едностранен.

Нека запишем назначението с помощта на логически символи за основата на тази клетва:
.

В който всички назначени заместници са около покрайнините на равни разстояния. Можете да дадете еквивалентно обозначение, використ, и доста близо до точките.

Назначаване от vikoristannyam dovilnyh покрайнини
Числото a се нарича граница на функцията f (х)в точка х 0 :
,
yakscho
1) това е пробитите покрайнини на точка x 0 , де функция е назначена;
2) за всеки квартал U (а)точка а се пробива около точката x 0 , какво за всички x , какво трябва да се пробие близо до точката x 0 :
,
стойност на функцията f (х)лежи около U (а)точки а:
.

С помощта на логически символи, причината за тази печална слава може да бъде написана по следния начин:
.

Едностранни и двустранни бордюри

Въведете повече от обозначението на универсалното с факта, че те могат да бъдат победители, независимо дали от всякакъв вид наоколо. Сякаш като победоносен лъв пронизах покрайнините на крайната точка, след което отнемаме знака на лявата граница. Сякаш около vikoristovuvaty около неясно далечната точка, тогава е необходимо да се маркира границата на несъответствие.

За целите на установяване на граница за Hein е необходимо да се изгради до точката, където е достатъчно, за да отидете на следващото място, се налага допълнителна граница - її елементи на вина за лежане около точката.

За целите на маркирането на границата според Кош е необходимо да се промени външният вид на границата в кожата, а при нервността - заместващият вид на покрайнините на точката.
Раздел. „Навко точка“.

Означено, че точката a не е границата на функцията

Често вината е необходимостта от преодоляване на ума, че точката a не е границата на функцията при . Да го спрем до края на седмицата, похвалих се още. смрад, ние признаваме, че функцията f (х)отбелязано върху деакима, пробит около точката x 0 . Точки a и x 0 те могат да бъдат като последните числа, толкова неумолимо далечни. Всички формулирани по-долу трябва да бъдат както двустранни, така и едностранни между тях.

Според Хайне.
Номер а не єфункция f (х)в точка х 0 : ,
yakscho е такава последователност ( x n ), какво да отида на x 0 :
,
елементи, които лежат наоколо,
каква последователност (f(xn))не се сближавайте с:
.
.

От Кош.
Номер а не єфункция f (х)в точка х 0 :
,
yakscho е такава положителна величина ε > 0 така че за всяко положително число δ > 0 іsnuє tak x , какво трябва да се пробие δ - около точката x 0 :
,
каква е стойността на функцията f (х)не лъже ε - около точка а:
.
.

Разберете, че точката a не е граница на функцията в , тогава ce не означава, че не може да бъде граница. Вероятно, іsnuє граница, ale няма да do_vnyuє a. Възможно е също така, ако функцията е присвоена на пункция около точката , но не и граница в .

Функция f(x) = sin(1/x)няма ограничение за x → 0.

Например, функцията е присвоена на , но не и между. За доказателство вземаме последователността. Won се сближават до точката 0 : . Тогава парчета.
Вземете последователността. Вон също се доближават до една точка 0 : . Тогава парченца ейл.
Една и съща граница не може да се равнява на едно и също число a. Ефективно, с, Іsnuє sledovnіst, Z yakoї. Следователно, независимо дали виждате нула, числото не е граница. Елът също не е граница, парчетата са последователност, за това.

Еквивалентността на назначението между според Хайне и Коши

Теорема
Обозначаване на междуфункции според еквивалента на Heiny и Cauchy.

доказателство

При доказване се приема, че функцията е възложена на deyakіy, пробит близо до точката (kіntsevoy или неясно далеч). Точката a може да бъде и краен брой неясно отдалечени.

Доказателство на Хайне ⇒ Коши

Нека функцията е в точката между zgіdno с първите срещи (зад Gein). Така че, за да бъде последователност, това, което трябва да се пробие около точката и може да бъде между
(1) ,
между последователностите на dorivnyu a:
(2) .

Ще бъде показано, че функцията може да бъде между в точката Koshy. Tobto за използване на кожата, scho за всички.

Да не приемаме. Нека измия (1) този (2) виконан, но функцията не може да премине границите на Kosh. Tobto іsnuє so, sho for be-white іsnuє, so scho
.

Да вземем, de n е естествено число. Освен това Todi іsnuє
.
По този начин призовахме последователността да отиде, но между последователностите не е добре a. Tse superechit теореми за ума.

Първата част е завършена.

Доказателство на Коши ⇒ Хайне

Нека функцията е в точката между zgidno с други назначения (за Koshoy). Tobto for be-whow іsnuє, scho
(3) за всички.

Ще бъде показано, че функцията може да бъде между a и точката отвъд Хайн.
Да вземем добър номер. Zgіdno z vznachennyam Koshi іsnuє номер, така vykonuєtsya (3).

Vіzmemo dovіlnu posіdovnіst, scho лъжа пробити покрайнини и отидете на. За назначената последователност, какво да отидете, за каквото и да е, какво
в .
Тоди з (3)
в .
Oskіlki tse vykonuєtsya за някого, тогава
.

Теоремата е завършена.

Използвана литература:
Л.Д. Кудрявци. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003.

В тези статистики можем да разберем какво има между функциите. Задната част на главата е обяснима за открояващите се моменти, които са още по-важни за разбирането на същността на това явление.

Разбиране на границите

В математиката е фундаментално важно да се разбере несъответствието, тъй като то се обозначава със символа ∞. Yogo slіd razumіti като безкрайно голямо + ∞ или безкрайно малко - ∞ число. Ако говорим за несъответствие, често може да сме на vіdrazu vіdrazu tsі її sensi, prote record + ∞ или - ∞, а не просто да го заменим с ∞.

Входът между функциите може да изглежда като lim x x 0 f (x) . Записваме основния аргумент x в долната част, а след допълнителната стрелка е възможно да посочим коя стойност x 0 ще бъде използвана. Тъй като стойността на x 0 е конкретно реално число, можем да използваме дясната граница на функцията в точки. Ако стойността на x 0 не е несъответствие (не е важно, ∞ , + ∞ или - ∞), тогава трябва да говорим за границата на функцията върху несъответствието.

Между buvaє kintsevoi и neskіchennoi. Yakshto vіn dorivnyuє конкретен фиктивен номер, tobto. lim x → x 0 f (x) = A , тогава се нарича крайна граница, тъй като lim x → x 0 f (x) = ∞ , lim x → x 0 f (x) = + ∞ или lim x → x 0 f (x) = - ∞

Въпреки че не можем да обозначим нито кинцево, нито непростимо значение, това означава, че няма такова нещо. Дупето на тази випадка може да бъде между синуса на несъответствието.

На този етап обясняваме как да разберем значението на междуфункциите в точката на несъответствие. За кого трябва да направим основната цел и да познаем какви са числовите поредици, както и тяхната доходност и разнообразие.

Назначаване 1

Числото A е границата на функцията f (x) при x → ∞, така че последователността на нейната стойност ще бъде подобна на A за всяка безкрайно голяма последователност от аргументи (отрицателна или положителна).

Записването между функциите може да изглежда така: lim x → ∞ f (x) = A .

Назначаване 2

Когато x → ∞ между функцията f (x) е неизчерпаема, така че последователността е значима за това дали е безкрайно голяма последователност от аргументи, тя също ще бъде безкрайно голяма (положителна или отрицателна).

Означението изглежда като lim x → f (x) = ∞ .

дупе 1

Доведете равенството lim x → ∞ 1 x 2 = 0 с помощта на главната стойност между x → ∞ .

Решение

Нека се научим от последователността на стойността на функцията 1 x 2 за безкрайно голяма положителна последователност от стойността на аргумента x = 1, 2, 3,. . . , н, . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Ми бачимо, че стойностите се променят стъпка по стъпка, стъпка до 0. на снимката:

х = - 1, - 2, - 3,. . . , - н , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . >1-n2>. . .

Тук можете да видите и монотонния упадък на нано, което потвърждава валидността на това за ума на усърдието:

Внушение: Vіrnist tsgogo за ума усърдие донесе.

дупе 2

Изчислете между lim x → ∞ e 1 10 x .

Решение

По добра причина, както и преди, от записа на последователностите, стойността f(x) = e 1 10 x за безкрайно голяма положителна поредица от аргументи. Например, x = 1, 4, 9, 16, 25,. . . , 10 2 , . . . → +∞.

e 1 10; е 4 10; е 9 10; е 16 10; e 25 10; . . . ; e 100 10; . . . == 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4,95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Бачимо, че дадената последователност е безкрайно положителна, също така, f(x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Предаваме към записа стойността на безкрайно голямата отрицателна последователност, например x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25,. . . , - 10 2 ,. . . → -∞.

е-110; д-4 10 ; д-9 10 ; д-16 10 ; e-25 ​​10 ; . . . ; e-100 10 ; . . . == 0,90; 0,67; 0,40; 0,20; 0,08; . . . ; 0,000045; . . . х = 1, 4, 9, 16, 25,. . . , 10 2 , . . . →∞

Ако няма следи от нула, тогава f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Първо, решението на проблема е показано на илюстрацията. Сините точки показват последователността от положителни стойности, зелените точки показват последователността на отрицателните.

Внушение: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr і x → + ∞ 0 , pr і x → - ∞ .

Нека да преминем към метода за изчисляване на междуфункции в точки. За когото трябва да знаем как правилно да обозначим едностранна граница. Моля, помогнете ни, за да разберем вертикалната асимптотика на графиката на функцията.

Назначаване 3

Числото B е границата на функцията f (x) се утежнява като x → a, тогава, ако последователността от нейните стойности се сведе до дадено число, ако има някаква последователност от аргументи във функцията xn , тогава слезте на а< a).

Такава граница на листа е обозначена като lim x → a - 0 f (x) \u003d B.

Сега можем да формулираме какво е между функциите на десничар.

Назначаване 4

Числото B е границата на функцията f (x) е дясна като x → a, така че ако последователността от нейните стойности се сведе до дадено число, ако има някаква последователност от аргументи във функцията xn, тогава слезте до а) .

Qiu между се записва като lim x → a + 0 f (x) = B .

Можем да зададем между функциите f (x) в една и съща точка, ако е необходимо да се установят равни граници между лявата и дясната страна, тогава. lim x → f(x) = lim x → a - 0 f(x) = lim x → a + 0 f(x) = B . Във времена на несъответствие и двете между междинни функции във външни точки също ще бъдат неточни.

Сега можем да разберем назначаването, като запишем решението за конкретна задача.

дупе 3

Доведете каква е последната граница на функцията f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 при x 0 = 2 и изчислете нейната стойност.

Решение

За да решим проблема, трябва да отгатнем значението на интерфункции в точката. Можем да ви кажем, що с вихідної її є межа злива. Записваме последователността на стойността на функцията, така че да се сближи до x 0 = 2 x n< 2:

f(-2); f(0); f(1); f 1 1 2; f 1 3 4; f 1 7 8; f 1 15 16; . . . ; f 1 1023 1024; . . . == 8, 667; 2,667; 0,167; - 0,958; - 1489; - 1747; - 1,874; . . . ; - 1,998; . . . → - 2

Индуцирана от Oskіlki последователност, която трябва да бъде изградена до -2, можем да запишем, че lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 .

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Стойността на функцията на тази последователност изглежда така:

f(6); f(4); f(3); f 2 1 2; f 2 3 4; f 2 7 8; f 2 15 16; . . . ; f2 1023 1024; . . . == - 7, 333; - 5, 333; - 3, 833; - 2,958; - 2,489; - 2, 247; - 2, 124; . . . , - 2,001,. . . → - 2

Тази последователност също се сближава до - 2 , тогава lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Отнехме, че между дясната и лявата страна на функцията ще бъде равно, тогава между функциите f(x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точката x 0 = 2 съществува, і lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 \u003d - 2.

Можете да видите решението на илюстрацията (зелени точки - последователност от стойности, които се сближават до x n< 2 , синие – к x n > 2).

Внушение:Между дясната и лявата част на функцията ще бъдат равни, така че между функциите е вярно, а lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

За по-добро разбиране на теорията между, заради вас, прочетете статията за непрекъснатостта на функцията в точката и основната гледна точка.

Как запомнихте извинението в текста, бъдете любезни, вижте го и натиснете Ctrl + Enter

Между функциите- Номер аще има ограничение на текущата стойност, която се променя, тъй като в процеса на нейната промяна стойността на промяната няма да бъде близка до а.

С други думи, числото Ає гранична функция y = f(x)в точката x0, що се отнася до това дали има последователност от точки от областта на присвоената функция, а не равни x0, и се сближават до точка x 0 (lim x n = x0), последователността от вторите стойности на функцията се доближава до А.

Графика на функцията, между тези с аргументи, което не е несъответствие, добро Л:

Стойност НОє граница (гранични стойности) на функцията f(x)в точката x0при випадку, що се отнася до това дали има последователност от точки , як се сближават нагоре x0, алея як не отмъщавайте x0като един от собствените си елементи (tobto в пробитите покрайнини x0), последователност от стойности на функциите сближават се до А.

Между функциите според Коши.

Стойност Аще гранична функция f(x)в точката x0 u vipadku, като за кожата напред взето отрицателно число ε ще ви бъде известен неизвестен номер δ = δ(ε) така че какво за кожен спор хтова радва ума 0 < | x - x0 | < δ , Bude vykonano nerіvnіst | f(x) A |< ε .

Ще бъде по-просто, така че ще разберете същността на основните правила на йога знанията между нещата. Тези между функциите f(х)в хдо какво прагне адоривнює А, да бъде написано в този ред:

Освен това значението, което е прагне, се промени х, може би не само като брой, но и несъответствие (∞), понякога +∞ или -∞, иначе не можете да сте между тях.

За да разбереш, як познават между функциите, повечето се чудят на задното решение.

Необходимо е да се разпределят между функциите f(x) = 1/хна адрес:

х→ 2, х→ 0, х→ ∞.

Знаем решението на първата граница. За когото можете просто да осигурите заместител хномерът, който е по-добър, tobto. 2, ние вземаме:

Нека се опознаем между функциите. Тук можете да си представите чист вид 0 zamіst хне е възможно, т.к деление на 0 не е възможно. Но можем да вземем стойности, които са близки до нула, например 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и така нататък, освен това стойността на функцията f(х) zbishuvatimetsya: 100; 1000; 10000; 100 000 и така нататък. V.o., можете да разберете какво х→ 0 стойността на функцията, която стои под знака на границата, не е ограничена от увеличението, tobto. прагнут до степен на недискретност. и това означава:

Стотици трети между тях. Ситуацията е същата, както през последното десетилетие, невъзможно е да си представим ∞ В чист вид. Необходимо е да се погледне гледката на неоградения растеж х. Според вашите нужди се подава 1000; 10000; 100 000 и така нататък f(x) = 1/хще намалее: 0,001; 0,0001; 0,00001; и досега, огъване нула. Том:

Необходимо е да се изчисли между функциите

Стигане до върха на друго дупе, нищожност на Бачимо. Zvіdsi знаем старшата стъпка на числото и знамето - tse х 3, Vinosimo в книгата с числа и знамето на йога за ръцете и далече бързо на новото:

Видповид

Първият Croc в значителна tsієї между, представляват стойността на 1 място х, резултатът може да е незначителен. За її virіshennya, ние разлагаме числото на множители, използваме метода на стойността на корена на квадратното изравняване х 2 + 2х - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

х 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

В този ранг числото ще бъде така:

Видповид

Обозначаването на едно от специфичните значения или основната област, където се използва функцията, е заобиколено от граница.

За да преминете границата, прочетете правилата:

След като разбра същността на главното правилата на съвършенството между, Вие отнемате основното разбиране за това, как им виришват.

Нека да разгледаме функцията %%f(x)%%, assign, accept, в текущия пиърс около %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% точки %%a \ в \overline( \mathbb (R))%% разширена числова права.

Разбирателство между Кош

Номер %%A \in \mathbb(R)%% име гранична функция%%f(x)%% в точката %%a \in \mathbb(R)%% (в противен случай с %%x%%, което стига до %%a \in \mathbb(R)%%), така че ако числото %%\varepsilon%% не е положително, ще има положително число %%\delta%%, така че за всички точки пробитият %%\delta%%- квартал на точката %%a%% от стойността на функцията се намира %%\ varepsilon %%- квартал на точка %%A%%, в противен случай

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\ съществува \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Надясно f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Обозначението се нарича обозначението на моя %%varepsilon%% и %%delta%%, вдъхновено от френския математик Огюстен Коши и победоносно от началото на 19 век до настоящия час, но има нужда от математическа строгост и точност.

Комбиниране на различни стойности около точката %%a%% за образуване на %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text(U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta ^- (a) %% около %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, отнема 24 десетични знака според Коши.

геометричен смисъл

Геометричен смисъл между функциите

Ясно е защо се разглежда геометричният смисъл на междуфункции в точки. Нека направим графиката на функцията %% y = f (x) % % i значима върху новата точка % % x = a % % i % % y = A % %.

Между функциите %%y = f(x)%% в точка %%x \to a%% іsnuє i dorívnyuє A, така че за всеки %%\varepsilon%%- квартал на точка %%A%% можете да посочите следното % %\ delta%% - около точката %%a%%, която за всеки %%x%% z ієї %%\delta%% - около стойността %%f(x)%% ще бъде в %%\ varepsilon %%-близка точка %%A%%.

Показателно е, че каква е стойността на стойността на функцията в самата точка %%a%% за стойността на границата при %%x \to a%% не е важно. Може да се приложи, ако функцията не е присвоена на %%x = a%% или приема стойността под формата на %%A%%. Междинният протео може да добави %%A%%.

Дестинация на границите за Gein

Елементът %%A \in \overline(\mathbb(R))%% се нарича гранична функция %%f(x)%% при %% x \to a, a \in \overline(\mathbb(R) )%% , въпреки че за всяка последователност %%\(x_n\) \до a%% от обозначената област, последователността от съответните стойности е %%\big\(f(x_n)\big\)%% %%A%%.

Обозначаването на границата според Хайне трябва да се потвърди ръчно, ако някой обвинява съмнението въз основа на интерфункцията в този момент. Ако искате да индуцирате една последователност %%\(x_n\)%% от границата в точката %%a%%, така че последователността %%\big\(f(x_n)\big\)%% да не е възможна , тогава е възможно да добавите още бележки за тези, които функцията %%f(x)%% не може да достигне между тези точки. Якшчо за двама rіznihпоследователности %%\(x"_n\)%% и %%\(x""_n\)%%, които могат въпреки товадиапазон %%a%%, последователност %%\big\(f(x"_n)\big\)%% и %%\big\(f(x""_n)\big\)%% различномежду, тогава няма граница между функциите %%f(x)%%.

дупето

Нека %%f(x) = \sin(1/x)%%. Perevirimo, chi іsnuє intera tієї funktsії в точка %%a = 0%%.

Нека изберем задната част на последователността, за да отидем до централната точка, $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\). $$

Ясно е, че %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% и %%\lim (x_n) = 0%%. Тогава %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^nn\pi\right)) \equiv 0%% и %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Нека вземем последователност, за да стигнем до тази точка, $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

за което %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% i %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. По същия начин за последователността $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \вдясно\), $$

също отидете до точката %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

И трите последователности дадоха различни резултати, които супер-говорят ума на Хайне, tobto. дадената функция няма ограничения в точката %%x = 0%%.

Теорема

Обозначаването на границата според Коши и Хейни е еквивалентно.

Предложена е формулировката на основните теореми и силата на междуфункциите. Предвид обозначението на крайните точки и несъответствията между крайните точки и на несъответствието (двустранно и едностранно) според Коши и Хейни. Изследват се аритметичните авторитети; теореми, свързани с нередности; Критерии за живеене в Кош; между функциите за сгъване; мощност на безкрайно малки, безкрайно големи и монотонни функции. Присвоената функция е дадена.

Друга дестинация е Чодо Коши

Тук a и x 0 те също могат да бъдат както номера на терминали, така и отдалечени точки. С помощта на логически символи, причината за тази печална слава може да бъде написана по следния начин:
.

Сякаш безлично вземаме ляво или дясно близо до крайната точка, тогава отнемаме обозначението на границата по Кош леворуч или десничар.

Теорема
Обозначаването на междуфункции според Коши и Хейни е еквивалентно.
доказателство

Близо до точките да се забие

Тоди, всъщност, обозначението на Коши означава идване.
За всякакви положителни числа основавайте числата, така че за всички x, които трябва да бъдат пробити около точката : , стойността на функцията трябва да лежи около точката a: ,
де , .

При такива назначения не е нужно да избираме ръчно, парчетата от покрайнините се назначават с помощта на някои числа. Ал йога може да бъде простена, да въведе покрайнините на равни разстояния. Тобто може да бъде свален. След това приемаме уговорката, тъй като е по-лесно да се спечели за доказване на теореми. Що се отнася до него, то е еквивалентно на обозначението, в което има доста покрайнини. Доказателството за този факт може да се намери в раздела „Еквивалентност на назначаването на междуфункции на Kosh“ .

Същото може да се даде и на едно обозначение на междуфункции в крайни и безкрайно отдалечени точки:
.
Тук за крайни точки
; ;
.
Be-yakі okі okolitsі neskіchenno viddalenih точки е pierce:
; ; .

Прекратяване на междуфункции в крайните точки

С помощта на логически символи причината за арогантността на обозначаването на междуфункции може да бъде написана, както следва:
.

Едностранно между.
Лява граница в точки (лява граница):
.
Права на границата в точки (дясна граница):
.
Mezhі levoruch i pravoruch често се означава, както следва:
; .

Прекратяване на междуфункции в безкрайно отдалечени точки

По същия начин границите се определят в безкрайно отдалечени точки.
.
.
.

Безкрайни междуфункции

Възможно е също така да се въведе обозначението за несъответствие между пеещите знаци, равно на това:
.
.

Доминиране и теореми между функциите

Освен това отбелязваме, че тези функции са присвоени на пункцията близо до точката или чрез крайния номер, или чрез един от символите: . Също така, можете да бъдете точка на едностранна граница, така че майката да изглежда отгоре. Махалата е двустранна за двустранна граница и едностранна за едностранна.

Основни правомощия

Каква е стойността на функцията f (х)променете (или го направете незначително) при крайното число точката x 1, x 2, x 3, ... x n, то промяната по никакъв начин не е свързана със стойността на междуфункцията в достатъчната точка x 0 .

Ако има ясна граница, тогава има пробити покрайнини на точка x 0 , за която функция f (х)ограден:
.

Нека функцията може да има точка x 0 край на границата, vіdmіnna vіd нула:
.
След това за произволно число c интервалът се пробива около точката x 0 за какво,
, yakscho;
yakscho.

Якшчо, на деяком пробит около периферията на точката, - бързо, значи.

Как да установим края на границите и да пробием покрайнините на точка x 0
,
тогава.

Якшчо, а в същинските покрайнини на точката
,
тогава.
Zokrema, като на deyakіy покрайнините на точката
,
после якшо, после аз;
yakscho, тогава i.

Yakshcho на deyakomu прониза около точка x 0 :
,
и іsnuyat kіntsі (или не skіnchennі sing sign) равни между:
, тогава
.

Докажете основните сили, отведени настрани
"Основна мощност между функциите".

Нека функциите да бъдат присвоени на действително пробита около точката. Аз не хай иsnuyat kintseї interі:
че .
І не hai C е константа, това е дадено число. Тоди
;
;
;
yakscho.

Yakscho нещо.

Докажете аритметичните степени, отнесени настрани
"Аритметичен авторитет между функциите".

Критерии Koshі іsnuvannya mezhі funkії

Теорема
За да може функцията да бъде присвоена на деакима, пробит близо до крайната точка или неограничено на разстояние x 0 , малък в тази точка на границата, необходим и достатъчен, за каквото и да е ε > 0 іsnuvala такъв пробит покрайнините на точката x 0 , Scho за всякакви точки и z tsієї покрайнини, vykonuvalsya nerіvnіst:
.

Между функциите за сгъване

Теорема за границата на функцията на сгъване
Нека функцията се движи между и показва пробитите покрайнини на точката в пробитите покрайнини на точката. Нека функцията е присвоена на тази махала, а май на нейната граница.
Тук - kіntsі чи neskіchenno vіddalenі точки: . Кварталите, които се виждат между тях, могат да бъдат както двустранни, така и едностранни.
Todі іsnuє между сгъваеми функции и vіn dorívnyuє:
.

Теоремата за границата на свиваема функция е достатъчна за това, че ако функцията не е присвоена на точка или може да има стойност, тя не е в границата. За да се тества теоремата, е необходимо да се използва пробита област около точката, де безсмислена стойност на функцията да не се пробие точката:
.

Ако функцията е без прекъсване в дадена точка, тогава знакът между може да остане преди аргумента на функцията без прекъсване:
.
Освен това беше индуцирана теорема, която щеше да се окаже жизнеспособна.

Теорема за границата между непрекъсваема функция и функция
Уведомете ме между функциите g (х)като x → x 0 , печеля dоrіvnyuє t 0 :
.
Ето точката x 0 можете да бъдете kіntsevoi chi неясно vіddalenou: .
І нека функция f (т)непрекъснато в точка t 0 .
Todі іsnuє между функциите за сгъване f (g(x)), i vіn dоvnіuє f (t0):
.

Докажете теореми, сочещи встрани
"Между и непрекъснати функции за сгъване".

Безкрайно малки и безкрайно големи функции

Безкрайно малки функции

Назначаване
Функцията се нарича безкрайно малка при , така че
.

Сума, търговия на дребно и телевизиякраен брой безкрайно малки функции при є безкрайно малка функция при .

Допълнителна функция, смененана deyakomu пробиват покрайнините на точката, на безкрайно малка при є безкрайно малка функция при.

За да е малка функцията между края е необходимо и достатъчно, т.н
,
де - безкрайно малка функция за .

"Силата на безкрайно малките функции".

Безкрайно страхотни функции

Назначаване
Функцията се нарича безкрайно голяма, когато
.

Сумата или разликата на описаната функция, на deakim прониза около точката , и безкрайно голяма функция в є безкрайно голяма функция в .

Ако функцията е неумолимо голяма при , и функцията е заобиколена, на деаком пункцията около точката , тогава
.

Като функция, на deaky, те пробиха около точките, задоволявайки неравностите:
,
и функцията е безкрайно малка при:
, i (на деакима, пробит около точката ), тогава
.

Докажете силата на писане в клона
"Силата на безкрайно големите функции".

Връзка между безкрайно големи и безкрайно малки функции

От двете фронтални сили се чува връзка между безкрайно големи и безкрайно малки функции.

Ако функцията е безкрайно голяма при , тогава функцията е безкрайно малка при .

Ако функцията е безкрайно малка за , i , тогава функцията е безкрайно голяма за .

Връзката между безкрайно малката и безкрайно голяма функция може да бъде изразена чрез символичен ред:
, .

Тъй като функцията има безкрайно малък знак при , така че тя е положителна (или отрицателна) при такава пункция около точката , тогава този факт може да се изрази по следния начин:
.
Тъй като самата функция е безкрайно голяма, тя може да има знак sing в , след което напишете:
.

Същата символична връзка между безкрайно малки и безкрайно големи функции може да бъде допълнена с такива правописи:
, ,
, .

Допълнителни формули, които свързват символите за несъответствие, могат да бъдат намерени отстрани
„Неясно в далечината на точките на тази сила“.

Между монотонни функции

Назначаване
Извиква се функцията, присвоена на реалния множител на реалните числа X строго растящкакто за всички такива, че nerivnist е фиксиран:
.
Очевидно, за суворо утихванефункции
.
За скъпо:
.
За липса на растеж:
.

Звучи като функция, че строго расте, също е неразрушим. Строго загниващата функция също е нерастяща.

Функцията се извиква монотонен, сякаш няма да се понижи или няма да расте.

Теорема
Нека функцията не се променя на интервали, de.
Якщо оттам е заобиколен от звяра с числото М: Значи Якшчо не е заобиколен от зверове.
Якшчо граничи отдолу с числото m: Ако не е ограден отдолу, тогава.

Въпреки че точките a и b са неясно отдалечени, тогава знаците под знаците между тях са на ръба, шо.
Тази теорема може да се формулира по-компактно.

Нека функцията не се променя на интервали, de. След това установете едностранни граници в точки a и b:
;
.

Има подобна теорема за функция, която не нараства.

Нека функцията не расте на интервала, de. Todі іsnuyut едностранно interі:
;
.

Доказателството на теоремата беше добавено отстрани
"Между монотонните функции".

Определени функции

функция y=f (х)законът (правилото) се нарича zgіdno z akim, елементът на кожата x множител X се поставя под формата на един и само един елемент y множител Y .

Елемент x ∈ Xиме аргумент на функциятаили независима мина.
елемент y ∈ Yиме стойности на функциитеили угар.

Безличен X се нарича област с възложена функция.
Анонимни елементи y ∈ Y, yakі може предварително да определи множителя X, наречен площ или безлична стойност на функцията.

Функцията се извиква с ресни на звяра (отдолу) yaksho іsnuє такъв номер M
.
Извиква се числовата функция obmezhenoyu yaksho іsnuє такъв номер M, scho за всички:
.

Горен фасетили точен горен кордонВсъщност функциите се наричат ​​най-малкото от числата, които обграждат площта на стойността на звяра. Това е числото s, за което за всички и за каквото и да е, има такъв аргумент, стойността на функцията, на която променям s′:.
Горната граница на функцията може да бъде дефинирана, както следва:
.

Видповидно долно лицеили точен долен кордонВсъщност функциите назовават най-голямото от числата, които обграждат областта със стойността отдолу. За такова число i , за всяко за всички i за be - за всяко , има такъв аргумент , чиято стойност на функцията е по-малка от i : .
Долната граница на функцията може да бъде дефинирана, както следва:
.

Използвана литература:
Л.Д. Кудрявци. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003.
СМ. Микилски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983.