Как да означава, че функцията е непрекъсната. Непрекъсваема функция. Основната сила на непостоянните функции

Процесът на привеждане на функцията до приемственост на неразличимо свързани с началото на прехода на едностранни взаимовръзки. За това, за да анализираме материала на тази статия, е по-добре първо да анализираме темата за междуфункциите.

Функция f(x) є непрекъснато y точка x 0 , така че границата да е по-напреднала между дясната и zbіgaєtsya със стойностите на функцията y точка x 0 , тогава: lim x → x 0 - 0 f (x) = f (x 0)

Това обозначение ви позволява да въведете следното: стойностите на междуфункциите в точките на непрекъснатост са равни на стойностите на функциите в тези точки.

дупе 1

Дадена е функция f(x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 . Необходимо е да се осигури нейната непрекъснатост в точката x 0 = 2.

Решение

Nasampered, значително іsnuvannya mezhі zlіva. За да се изгради последователността от аргументи x n, за да се изгради до x 0 \u003d 2 (x n< 2) . Например, такой последовательностью может быть:

2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Последователността на стойностите на функцията изглежда така:

f(-2); f(0); f(1); f 1 1 2; f 1 3 4; f 1 7 8; f 1 15 16; . . . ; f 1 1023 1024; . . . == 8,667; 2. 667; 0 . 167; - 0,958; -един. 489; -един. 747; -един. 874; . . . ; -един. 998; . . . → - 2

на фотьойла вонята е маркирана със зелен цвят.

Очевидно е, че такава последователност се свежда до - 2, тогава lim x → 2 - 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Показателно е, че причината между десничарите е значителна: последователността от аргументи x n, която се изгражда до x 0 = 2 (x n\u003e 2). Например, такава последователност може да бъде:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Видповидна последователност от функции:

f(6); f(4); f(3); f 2 1 2; f 2 1 4; f 2 1 8; f 2 1 16; . . . ; f 2 1 1024; . . . == -7. 333; - 5,333; -3. 833; -2. 958; -2. 489; -2. 247; -2. 247; -2. 124; . . . ; -2. 001; . . . → - 2

на малкия е маркиран със син цвят.

І tsya последователност трябва да се изгради до - 2, след което lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Например, беше показано, че между дясната и лявата е еднаква и следователно между функциите f (x) = 1 6 x - 8 2 - 8 y точка x 0 = 2, с lim x → 2 1 6 (x - 8 ) 2-8 = -2.

След изчисляване на стойността на функцията в дадена точка е очевидно, че равенството е по-високо:

lim x → 2 – 0 f (x) = lim x → 2 + 0 f (x) = f (2) = 1 6 (2 – 8) 2 – 8 = – 2

Покажете графично:

Внушение:Непрекъснатостта на функцията f(x) = 1 6 (x – 8) 2 – 8 за дадена част е завършена.

Usunuty rozriv от първия вид

Може да функционира usuvny rosriv от първия видв точка x 0, ако между дясно и равно е равно, а не е равно на стойността на функцията в точката, тогава:

lim x → x 0 - 0 f(x) = lim x → x 0 + 0 f(x) ≠ f(x 0)

дупе 2

Дадена е функцията f(x) = x 2 - 25 x - 5. Необходимо е да се обозначат точките її rozryu и да се обозначи их тип.

Решение

По-важното е, че домейнът на присвоената функция: D (f (x)) ⇔ D x 2 - 25 x - 5 ⇔ x - 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ (- ∞ ; 5) ∪ (5 ; + ∞)

За дадена функция точката на разширение може да бъде само граничната точка на определената област, т.е. x 0 = 5. Нека проверим функцията за непрекъснатост в този момент.

Viraz x 2 - 25 x - 5 е лесно: x 2 - 25 x - 5 = (x - 5) (x + 5) x - 5 \u003d x + 5.

Значително между дясна и лява ръка. Функция Oskіlki g (x) \u003d x + 5 є без прекъсване за всяко реално x, тогава

lim x → 5 – 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10

Внушение:между дясната и лявата ръка са равни и функцията в точката x 0 = 5 не е зададена, т.е. в този момент функцията може да бъде usunuty rozriv от първия вид.

Разширението без възможност за търсене от първия вид също се обозначава като точка на изрязване на функцията.

Назначаване 3 Дупе 3

Дадена е функция без прекъсване на schmatkovo f (x) = x + 4 , x< - 1 , x 2 + 2 , - 1 ≤ x < 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разгледайте дадените функции може да бъде по-малко в точки x 0 = - 1 хи точки x 0 = 1.

Значително между дясна и лява ръка в тези точки и стойността на дадената функция в тези точки:

• лявата ръка в точката x 0 = - 1 е дадена функцията є f (x) = x + 4, тогава поради непрекъснатостта на линейната функция: lim x → - 1 - 0 f (x) = lim x → - 1 - 0 (x + 4) = - 1 + 4 = 3;
• директно в точката x 0 = - 1 функцията изглежда така: f (x) = x 2 + 2, тогава: f (- 1) = (- 1) 2 + 2 = 3;
• на интервала (- 1; 1) функцията є е дадена: f (x) \u003d x 2 + 2. Може да бъде: lim x → - 1 + 0 f (x) = lim x → - 1 + 0 (x 2 + 2) = (- 1) 2 + 2 = 3 lim x → 1 - 0 f (x) = lim x → 1 - 0 (x 2 + 2) = (1) 2 + 2 = 3
• в точка x 0 = - 1 се вижда функция: f(x) = 2 x и f(1) = 2 · 1 = 2 .
• дясно в точката x 0 е дадена функцията є f(x) = 2 x. Разглеждайки непрекъснатостта на линейната функция: lim x → 1 + 0 f (x) = lim x → 1 + 0 (2 x) = 2 1 = 2

Внушение: zreshtoy ние отнехме:

• lim x → - 1 - 0 f(x) = lim x → - 1 + 0 f(x) = f(-1) = 3 - това означава, че в точка x 0 = - 1 функцията schmatt се дава без прекъсване;
• lim x → - 1 - 0 f (x) \u003d 3, lim x → 1 + 0 f (x) \u003d 2 - в този ред, в точката x 0 \u003d 1, разширение без възможност за търсене на първото вид (низ) е присвоен.

Остава ни по-малко, за да подготвим стола за тази задача.

Може да функционира rozryv друг видв точката x 0, ако има разлика lim x → x 0 - 0 f (x) или вдясно lim x → x 0 + 0 f (x) не е необходимо или не е ограничено.

дупе 4

Дадена е функция f(x) = 1 x . Необходимо е да завършите дадената функция за непрекъснатост, да изберете вида на точките за отваряне и да подготвите стола.

Решение

Нека запишем областта на присвоената функция: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) .

Знаем разстоянието между дясната и лявата ръка в точката x 0 = 0.

Като се има предвид достатъчната последователност на стойността на аргумента, която достига до x 0 zliva. Например:

8 ; - 4 ; - 2 ; - 1 ; - 1 2 ; - 1 4 ; . . . ; - 1 1024 ; . . .

Їy вижда последователността на стойността на функцията:

f(-8); f(-4); f(-2); f(-1); е - 1 2; е - 14; . . . ; f-1 1024; . . . == - 18; - четиринадесет; - 12; - един; - 2; - 4; . . . ; - 1024; . . .

Очевидно последователността е безкрайно голяма отрицателна, тоест lim x → 0 - 0 f (x) = lim x → 0 - 0 1 x = - ∞ .

Сега нека зададем стойността на последователността на аргумента да се спуска до x 0 вдясно. Например: 8; 4; 2; един; 12; четиринадесет; . . . ; 1 1024; . . . и аз

f(8); f(4); f(2); f(1); f 1 2; f 1 4; . . . ; f 1 1024; . . . == 1 8; четиринадесет; 12; един; 2; 4; . . . ; 1024; . . .

Тази последователност е безкрайно голяма и положителна, следователно lim x → 0 + 0 f (x) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .

Видповид: точка х 0 = 0 – точка на развитие на функция от различен вид.

илюстрирано:

Как запомнихте извинението в текста, бъдете любезни, вижте го и натиснете Ctrl + Enter

Тази статия е за непостоянна числова функция. За непрекъснатата ферментация в различни раздели на математиката div. без прекъсване.

Непрекъсваема функция- функция без "низове", така че малки промени в аргумента могат да доведат до малки промени в стойността на функцията.

Непрекъсната функция, взагали изглежда, синоним за разбиране на непрекъсната ферментация, най-често този термин печели в по-широк визуален смисъл - за визуализация между числови пространства, например в директна реч. Тази статия е посветена на най-непостоянните функции, присвоени на подмножества от числа на реч, които приемат речеви значения.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Непрекъсваема функция и точки на разширяване на функцията

✪ 15 Непрекъсваема функция

✪ Непрекъсваеми функции

✪ Математически анализ, урок 5, Непрекъсната функция

✪ Непрекъсваема випадична стойност. Функцията на разделяне

Субтитри

Назначаване

Как да "поправя" функцията f (\displaystyle f)в точката на непрекъснато rozryu поставям f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), тогава виждаме функция, която е непрекъсната в тези точки. Такава операция върху функция се извиква за присвояване на функция на непрекъсваемили предварително определени функции на приемственост, какво донасям името на точката, като точката условноотворен.

Точка на рязане "струна"

Rozriv "stribok" vinikaє, yakscho

крапка розрю "полюс"

След като изследвахме „полюса“ на вината, сякаш едно от едностранните пресечни точки не е пресечено.

Петънце сута роза

В точката на развитието на деня, една от едностранните обмени на деня.

Класификация на изолирани особени точки R n , n>1

За функции f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(n))і f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) )няма нужда да се практикува с точки на развитие, протетът често се довежда до практика със специални точки (точки, дефункция не се присвоява). Класификацията е подобна.

Концепцията за "стрибок" е очевидна. Тези в R (\displaystyle \mathbb (R) ) vvazhaetsya sribkom, в необятните простори на големи площи - източникът на специална точка.

мощност

Местни

• Функция без прекъсване в точката а (\displaystyle a), є obmezhenoyu в deyakіy покрайнините на центъра на точката.
• Каква е функцията f (\displaystyle f)непрекъснато в точката а (\displaystyle a)і f(a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(в противен случай е(а)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), тогава f(x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(в противен случай f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) за всички x (\displaystyle x), dosit роднини на а (\displaystyle a).
• Какви функции f (\displaystyle f)і g (\displaystyle g)непрекъснато до точката а (\displaystyle a), след това функциите f+g (\displaystyle f+g)і f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g) tezh без прекъсване до точката а (\displaystyle a).
• Какви функции f (\displaystyle f)і g (\displaystyle g)непрекъснато до точката а (\displaystyle a)и когато g(a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), след това функцията f / g (\displaystyle f/g) tezh е непрекъснат в точката а (\displaystyle a).
• Каква е функцията f (\displaystyle f)непрекъснато в точката а (\displaystyle a)тази функция g (\displaystyle g)непрекъснато в точката b = f (a) (\displaystyle b = f(a)), след това техния състав h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f)непрекъснато в точката а (\displaystyle a).

Глобални

• компактен множител), равномерно без прекъсване на новия.
• Функция, която е непрекъсната на вятъра (или някой друг компактен комплект), е ограничена и достига новата си максимална и минимална стойност.
• Обхват на функциите f (\displaystyle f), без прекъсване на vіdrіzka, є vіdrіzok [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],)де минимум и максимум [ a , b ] (\displaystyle).
• Каква е функцията f (\displaystyle f)непрекъснато за вятър [ a , b ] (\displaystyle)і f(a) ⋅ f(b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} тогава іsnuє точка в акій f(ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
• Каква е функцията f (\displaystyle f)непрекъснато за вятър [ a , b ] (\displaystyle)аз номер φ (\displaystyle\varphi)задоволява нервността е(а)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi или неравности f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),)след това основната точка ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)в yakіy f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi).
• Без прекъсване изразяването на гласа в директната реч е ин'ективно в това и само в този случай, ако функцията на гласа е строго монотонна.
• Монотонна функция на навиването [ a , b ] (\displaystyle)непрекъснато в този и още по-малко в този случай, ако областта f(a) (\displaystyle f(a))і f (b) (\displaystyle f(b)).
• Какви функции f (\displaystyle f)і g (\displaystyle g)без прекъсване на въздуха [ a , b ] (\displaystyle), освен това е(а)< g (a) {\displaystyle f(a)і f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),)след това основната точка ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)в yakіy f(ξ) = g(ξ) . (\displaystyle f(\xi)=g(\xi).) Zvіdsi, zokrema, скимтене, scho be-yak непрекъснато ферментира vіdrіzka може да искате една нечуплива точка.

Приложи

Елементарни функции

Тази функция е непрекъсната в точката на кожата x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0).

Крапка е на точки първи вид, освен това

след това в същата точка функцията се нулира.

Функция стъпка

Стъпка функция, която е показана като

є навсякъде без прекъсване, крем точки x = 0 (\displaystyle x=0), de function признава развитието на първия вид. Тим не е по-малък, точка x = 0 (\displaystyle x=0)Използвайте дясната граница, която се променя според стойностите на функцията в този момент. В този ранг тази функция е дупе без прекъсване вдяснофункции в целия регион.

По същия начин функцията стъпка, както се откроява като

є дупе непрекъснат гнявфункции в целия регион.

Функция на Дирихле

Непрекъсваема функция в даден момент

Нека функцията f(x) бъде присвоена в диапазона O(x0) на точката x0 (включително самата точка x0).

Функцията f(x) се нарича непрекъсваема в точка x0, тъй като има limx → x0 f(x) , което дава стойността на функцията f(x) в точката: lim

f(x) = f(x0), (1)

tobto. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O(x0) X f(x) O(f(x0)) .

Уважение. Собственият капитал (1) може да се запише като: лим

tobto. под знака на непрекъсната функция можете да преминавате между тях.

Нека Δx = x − x0 е увеличение на аргумента, Δy = f(x) − f(x0) - увеличение на функцията.

Необходима и достатъчна психическа стабилност на функцията в точката

Функцията y = f(x) е непрекъсната в точката x0 четна и по-малко от веднъж, ако

Уважение. Умов (2) може да се тълкува като друго обозначение на непрекъснатостта на функцията в точка. Нарушенията са еквивалентни.

Нека функцията f(x) бъде присвоена на np_interval.

Функцията f(x) се нарича непрекъсната права в точката x0, тъй като има еднопосочна граница lim

Непрекъснато sumi, създаването на частни две непрекъснати функции

Теорема 1. Ако функциите f(x) и g(x) са непрекъснати в точката x0, то f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) са непрекъснати в точката i-та точка

Функция за непрекъснато сгъване

Теорема 2. Ако функцията u(x) е без прекъсване в точка x0, а функцията f(u) е без прекъсване във втората точка u0 = f(x0), то свиваемата функция f(u(x)) е без прекъсване в точката x0.

Всички елементарни функции са непрекъснати в точките на кожата на определените зони.

Местните власти без прекъсвания

Теорема 3 (размяна на функция без прекъсване). По този начин функцията f(x) е без прекъсване в точката x0, в обхвата O(x0), а f(x) е описана.

Доказателството е ясно от твърдението за размяната на функции, които могат да бъдат между.

Теорема 4 (знакова устойчивост на непрекъсната функция). Ако функцията f(x) е непрекъсната в точка x0 и f(x0) ≠ 0, тогава използваме околността на точката x0, в която f(x) ≠ 0, и знака на f(x), в който съседство се променя със знака f(x0).

Класификация на гледна точка

Умов (1) непрекъснатостта на функцията f(x) в точката x0 е по-интелигентна f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

където f(x 0 − 0) = lim

f(x) и f(x0 + 0) = lim

f(x) - едностранни междуфункции f(x) в точката x0.

За разрушаване на ума (3) точката x0 се нарича точка на разширяване на функцията f(x). Угар под формата на повреда, измиване (3) точките на развитие могат да имат различен характер и се класифицират в такъв ранг:

1. Как точката x0 може да установи едностранни граници f(x0 − 0), f(x0 + 0) и

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), точката x0 се нарича точка на разделяне на функцията f(x) (фиг. 1).

Уважение. В точката x0 функцията може да бъде присвоена.

2. Че в точката x0 е възможно да се установят едностранни граници f(x0 − 0), f(x0 + 0) и

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), точката x0 се нарича точка на разделяне с крайната линия на функцията f(x) (фиг.2).

Уважение. В точката на анализ с крайния ред значението на функцията може да бъде подобно или може да не бъде присвоено.

Петната на отсечения отвор и края на разреза се наричат ​​точки на отваряне от 1-ви вид. Їhnoy vidminnoy знак є іsnuvannya kontsevyh едностранно interf(x0 − 0) і

3. Ако в точката x0, ако едно от едностранните междинни точки f(x0 − 0), f(x0 + 0) би било по-противоречиво или не, тогава
x0 се нарича точка на разделяне от 2-ри вид (фиг. 3).

Ако искаме едно от еднопосочните между f(x0 − 0), f(x0 + 0) да е по-противоречиво, тогава правата x = x 0 се нарича вертикална асимптота на графиката на функцията y = f( х).

Назначаване. Функцията f(x), присвоена в покрайнините на текущата точка x0, се нарича без прекъсване в точка x0, тъй като между функцията и стойността на същата точка, tobto.

Този факт може да бъде записан по следния начин:

Назначаване. Ако функцията f(x) е зададена в реалната околност на точката x0, но не без прекъсване в самата точка x0, тя се нарича функция на разделяне, а точката x0 се нарича точка на разделяне.

Назначаване. Функцията f(x) се нарича непрекъсната в точката x0, така че за всяко положително число e>0 има и числото D>0, което за всяко x, което удовлетворява ума

Правилно nerіvnіst.

Назначаване. Функцията f(x) се нарича непрекъсната в точката x = x0, тъй като увеличението на функцията в точката x0 е безкрайно малка стойност.

f(x) = f(x0) + a(x)

където a(x) е безкрайно малък за x®x0.

Силата на непрекъснатите функции.

1) Сумата, цената и добуток на непрекъснати в точка x0 функции - є функция, непрекъсната в точка x0.

2) Частни две непрекъсваеми функции - непрекъсваема функция за разбиране, че g (x) не е равно на нула в точката x0.

3) Суперпозиция на непостоянни функции - е непостоянна функция.

Tsya dominion може да бъде записан като офанзивен ранг:

Тъй като u = f(x), v = g(x) са непрекъсваеми функции в точката x = x0, то функцията v = g(f(x)) също е непрекъсваема функция в i-та точка.

Справедливостта на установяването на правомощия може лесно да се донесе, използвайки теореми за границите

Мощни функции, без прекъсване на вятъра.

Степен 1: (Първата теорема на Вайерщрас (Вайерщрас Карл (1815-1897) - немски математик)). Функцията, без прекъсване на вятъра, е заобиколена от същия вятър, tobto. Контрапунктът на Умов е M £ f(x) £ M.

Доказателство за авторитета на основите на факта, че функцията, без прекъсване в точката x0, е заобиколена от двойка її покрайнини и ако е възможно да се разделят клоните на неизчерпаем брой vіdrіzkіv, ако те са "издърпани “ до точката x0, тогава се установява двойката на обкръжението.

Мощност 2: Функцията, без прекъсване на вятъра, се увеличава до най-новите и най-малки стойности.

Тобто. определете стойностите на x1 и x2, така че f(x1) = m, f(x2) = M, освен това

Показателно е, че най-големите и най-малките стойности на функцията могат да бъдат взети въз основа на такъв брой пъти (например f (x) = sinx).

Разликата между най-голямата и най-малката стойности на функцията отгоре се нарича разлика на функцията отгоре.

Степен 3: (Друга теорема на Болцано-Коши). Функцията, без прекъсване на променлива, приема всички стойности между две достатъчни стойности.

Мощност 4: Тъй като функцията f(x) е непрекъсната в точката x = x0, ако около точката x0 има права, в която функцията приема знак.

Сила 5: (Първата теорема на Болцано (1781-1848) - Коши). По същия начин функцията f(x) е непрекъсната на ръба и може да има точки в разликата между стойностите на противоположните знаци и има такава точка в средата на ръба, където f(x) = 0 .

Тобто. Ако sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), тогава $x0: f(x0) = 0.

Назначаване. Функцията f(x) се нарича еднакво непрекъсната от друга страна, така че за всяко e>0 е необходимо D>0, така че за всякакви точки x1Î и x2Î такива, че

х2 – х1п< D

нередност ïf(x2) – f(x1)ï< e

Vіdmіnіst іvnomіrnoії bezperevnosti vіd „extreme” in tsimu, scho scho snuє собственото D, обичайте да лъжете в vіd x, а в случай на „svishаnіy” bezperevnostі D да попаднете в vіd e і x.

Сила 6: Теоремата на Кантор (Kantor Georg (1845-1918) - немски математик). Функция, която е непрекъсната за вятъра, стъпка по стъпка е непрекъсната за него.

(Тази мощност е валидна само за въздушен трафик, а не за интервали и napіv_intervals.)

Назначаване на охрана

Функцията f(x) се нарича без прекъсване в точка a, така че: в f() pp

1) функцията f(x) е приписана на точка a,

2) края на границата при x→a; 2) края на границата при x → a,

3) каква е междинната стойност на функцията в този момент:

Междувременно прекъсване

Функцията f(x) се нарича без прекъсване за интервала X, тъй като f() pp py

Вон е непрекъснат в точката на кожата на promizhku.

твърдост. Всички елементарни функции са непрекъснати

Региони на тяхното назначаване.

Ограничена функция

Функцията се нарича функция с двойно кръстосване

іsnuє числото M е такова, че за всички x ∈

неравности: | f(x)| ≤M.

Две теореми на Вайерщрас

Първа теорема на Вайерщрас. Подобно на функцията f (x р р рр fu f (

непрекъснато от вятъра, тогава е заобиколено от другия вятър

Друга теорема на Вайерщрас.Като функция f (x

без прекъсване на въздуха, тогава той е достъпен за другия въздух

най-ниската стойност на m и най-високата стойност на M.

Теорема на Болцано-Коши

По същия начин функцията f (x) е непрекъсната, за да промени стойността на f () pp p

краищата на този vіrіzk f (a) і f (b)

тогава вътре в сегмента има точка c∈(a,b) такава, че f(c) = 0. ur p() f()

Назначаване.Нека функцията y = f(x) бъде приписана на точката x0 и текущата околност. Извиква се функцията y = f(x). няма прекъсване в точка x0, като:

1. isnuє
2. Междинна стойност на функцията в точка x0:

Ако границата е присвоена, се приема, че f(x) не може да бъде присвоена в точката x0, но ако е зададена в точката tsij, тогава стойността на f(x0) не участва в зададената граница. Когато е посочена непрекъснатостта, важно е f(x0) да е валидна, но не може да бъде по-надеждна lim f(x).

Назначаване.Нека функцията y \u003d f (x) бъде присвоена на точка x0 и текущата околност. Функцията f(x) се нарича непрекъсната в точка x0, тъй като за всички ε>0 има положително число δ, така че за всички x от δ-средата на точката x0 (т.е. |х-x0|
Тук е сигурно, че стойността на границата може да се добави f (x0), към която тя е равна на определената граница, умственото пробиване на δ-средата се взема предвид 0
Има още една дама (еднакво по-силна от предишната), която е назначена по отношение на просперитета. Значително Δх = x - x0, чиято стойност се нарича по-голям аргумент. Oskіlki х->x0, след това Δх->0, след това Δх - b.m. (Изключително малко) количество. Значително Δу = f(х)-f(x0), чиято стойност се нарича по-голяма функция, мащабите |Δу| може да бъде (когато dosit малък |Δх|) по-малко от достатъчното число ε>0, тогава Δу- tezh b.m. стойност, до

Назначаване.Нека функцията y \u003d f (x) бъде присвоена на точка x0 и текущата околност. Извиква се функцията f(x). няма прекъсване в точка x0поради безкрайно малко увеличение на аргумента, това доказва безкрайно малко увеличение на функцията.

Назначаване.Функцията f(x), която не е без прекъсване в точката x0, наречен rozrivnoyв този момент.

Назначаване.Функцията f(x) се нарича непрекъсната на множителя X, защото е непрекъсната в точката на кожата на множителя.

Теорема за непрекъснатостта на сбора, творението, частното

Теоремата за прехода към между и под знака на непрекъсната функция

Теорема за постоянството на суперпозицията на вечни функции

Нека функцията f(x) бъде присвоена на ред и това е монотонно на този ред. Тогава f(x) може да сочи само към първия вид от друга страна.

Теоремата за междинната стойност.Ако функцията f(x) е непрекъсната на правата і в две точки a і b (a по-малко от b) натрупва неравномерни стойности A = f(a) ≠ B = f(b), тогава за всяко число C, което лежи между A і В, има точка c ∈ , която има най-ценната стойност на функцията З: f(c) = C.

Теоремата за размяната на непрекъсната функция върху навиване.По същия начин, функцията f(x) е непрекъсната на навивачката, тя е заобиколена от тази навиваща машина.

Теорема за достигане на минимални и максимални стойности.По същия начин функцията f(x) е непрекъсната до върха, тя достига дъното и горната си повърхност до горната част на дъното.

Теоремата за непрекъснатостта на обратната функция.Нека функцията y = f (x) бъде непрекъсната и стриктно нараства (променя) до обратното [a, b]. По същия начин, обратната функция x = g(y) също монотонно нараства (променя се) и без прекъсване.

По всяко време трябва да възстановим непрекъснатостта на функцията. Работим за помощ между, при това, едностранчиви - дясно и ляво, сякаш не ни е страх, без уважение към тези, които са записани като i.

Но какво е толкова важно за непрекъснатата функция? Докато не сме достигнали крайната уговорка, е по-лесно да покажем линията, тъй като можете да я пресечете, без да издухате маслината от хартията. При пресичане на такава линия няма прекъсване. Tsya линия е график с непрекъсната функция.

Графично, функцията е непрекъсната в точката, така че графиката не се "разширява" в тази точка. График на такава денонощна функция - показано на миниатюрата по-долу.

Означаване на непрекъснатостта на функцията през границата.Функцията е непрекъсната в точката за достигане на три ума:

1. Функцията се присвоява на точката.

Ако само един от умовете не е реабилитиран, функцията не е непрекъсната в момента. По някаква причина изглежда, че функцията знае разширението, а точките на графиката, в които графиките се прекъсват, се наричат ​​точки на разширение на функцията. Графиката на такава функция, както знаете, празнината в точката x = 2 - малко по-ниска.

пример 1.Функция е(х) се маркира от предстоящия ранг:

Чи ще бъде непрекъсната функция в кожата и граничните точки х = 0 , х = 1 , х = 3 ?

Решение. Преглеждаме и трите мисли за непрекъснатостта на функцията в граничната точка на кожата. Persha ум dorimuetsya, парчета от тези, които назначена функцияв дермалните гранични точки, показващи функцията на функцията. Изгубен, за да пренапишем два ума.

Точка, пъстра х= 0. Знаем лявата граница в та точка:

.

Знаем дясната граница:

х= 0, грешките са открити с тази галерия на функцията, тъй като тя включва тази точка в себе си, тоест другата галерия. Известни им:

Подобно на Bachimo, между функциите и стойността на функцията в точката х= 0 равно. Отново функцията е непрекъсната в точката х = 0 .

Точка, пъстра х= 1. Знаем лявата граница в та точка:

Знаем дясната граница:

Между функцията и стойността на функцията в точката х\u003d 1, грешките са открити с тази галерия на функцията, тъй като тя включва тази точка сама по себе си, тоест друга галерия. Известни им:

.

Между функцията и стойността на функцията в точката х= 1 равно. Отново функцията е непрекъсната в точката х = 1 .

Точка, пъстра х= 3 . Знаем лявата граница в този момент:

Знаем дясната граница:

Между функцията и стойността на функцията в точката х= 3 са открити грешки с този кръг на функцията, тъй като включва тази точка в себе си, тоест другата. Известни им:

.

Между функцията и стойността на функцията в точката х= 3 равно. Отново функцията е непрекъсната в точката х = 3 .

Основният висновок: функцията се дава без прекъсване в граничната точка на кожата.

Задайте сами непрекъснатостта на функцията в точката и след това погледнете решението

Без прекъсване, промяната на функция може да бъде дефинирана като стъпка по стъпка промяна, без ивици, като всяка малка промяна в аргумента води до малка промяна във функцията.

Илюстрирайте как да промените функцията без прекъсване на дупето.

Оставете го да виси над масата на върволица. Под влиянието на това положение нишката се разтяга, това е всичко лпредимство в точката на окачване на конеца м, тогава л = е(м) , м≥0 .

Само малко, за да промените масата на позицията, след което се изправете лпромяна малко: малка промяна мнаправете малки промени л. Въпреки това, ако теглото на предимството е близо до средната стойност на конеца, тогава може да бъде причинено малко увеличение на теглото на предимството чрез отваряне на конеца: л strebkopodіbno zbіlshitsya и dоrіvnyuvatime vіdstanі vіd ptіdvisu vіdvіsu до повърхността на масата. График на функциите л = е(м) бебешки снимки. На линията на този график има непрекъсната (последователна) линия и точките са прекъснати. В резултат на това ще се появи графика, която се състои от две глави. Във всички точки, крем, функция л = е(м) непрекъснато, но точката може да бъде разширена.

Проследяването на функцията за непрекъснатост може да бъде като самостоятелна задача, както и един от етапите на цялостно проследяване на функцията и насърчаване на графиката.

Непрекъсваема функция за временно

Хайде функция г = е(х) назначен в интервала] а, б[и без прекъсване в скин точката на интервала. Тогава се нарича непрекъснато в интервала. а, б[ . По същия начин, концепцията за непрекъснатостта на функцията на интервалите от вида ]- ∞, б[ , ]а, + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Хайде сега функция г = е(х) отбелязано на vіdrіzku [ а, б]. Разликата е между интервала и прекъсването: граничните точки на интервала не влизат преди интервала, а граничните точки на прекъсването влизат в прекъсванията. Ето една улика за така наречената едностранна непрекъснатост: в точката а, претоварен от видризку [ а, б] , можем да подходим само с дясна ръка и то до точката б- Tіlki lіvoruch. Функцията се нарича непрекъсната на vіdrіzku [ а, б], тъй като е без прекъсване във всички вътрешни точки на тази намотка, без прекъсване в дясната точка аи непрекъснато зло до точката б.

Пример за непрекъсната функция може да бъде всяка от елементарните функции. Елементарната функция на кожата е непрекъсната, независимо дали е за някой друг, или за някой друг, това е изключено. Например, функциите са непрекъснати във всеки случай [ а, б] , функцията е непрекъсната на линия [ 0 , б] функция а = 2 .

Пример 4.Проверете функцията за непрекъснатост.

Решение. Perveryaemo persh mind. Функцията не се задава в точките - 3 и 3. По-малко от една причина за непрекъснатостта на функцията на цялата числова права не е победител. Следователно функцията е непрекъсната на интервали

Пример 5.Определете за коя стойност на параметъра анепрекъснато за всички области на назначениефункция

Решение.

Познаваме дясната граница при:

.

Очевидно какво е значението на точката х= 2 може да е равно брадва :

а = 1,5 .

Пример 6.Изчислете за кои стойности на параметрите аі бнепрекъснато за всички области на назначениефункция

Решение.
Нека знаем лявата граница на функцията в точката:

.

Също така стойността в точка може да добави 1:

Знаем лявата функция в точката:

Очевидно е, че стойността на функцията може да бъде равна на точката:

Vidpovid: функцията е непрекъсната в цялата зона на назначаване, когато а = 1; б = -3 .

Основната сила на непостоянните функции

До разбирането на непрекъснатата функция на математиката, математикът е достигнал до точката, в която върховенството на закона се движи пред света. Разширени и неудържими часове, и угари, например, маршрути св часа т, изразено в закона с = е(т) , дайте дупето без прекъсване функции е(т). Температурата на водата, която се загрява непрекъснато се променя, тя също е нон-стоп функция през часа: т = е(т) .

Математическият анализ донесе актовете на властта, сякаш те биха могли да функционират без прекъсване. Нека посочим най-важните от тези правомощия.

1. Въпреки че функцията улавя стойността на различни знаци в края на интервала, тогава в текущата точка от интервала тя ще вземе стойността, която е равна на нула. В официалната реч силата е дадена в теоремата, следвайки първата теорема на Болцано-Коши.

2. Функция е(х), без прекъсване на интервала [ а, б] , приемете всички междинни стойности между стойностите в крайните точки, след това между е(а) че е(б). За официалната реч силата е дадена в теорема, подобна на теоремата на Болцано-Коши.