Ortogonalne układy wektorów. Ocena orientacji przestrzennej, czyli jak nie bać się filtrów Mahon i Majvik

44. System suwerennych organów Francji, wybór prawa i wybór systemu Francji jako republiki zmishanoy (nazywanej prezydencką), system organów władzy opiera się na zasadzie podziału władzy. Francja jest dziś silną republiką

Sekcja IV. System zawieszenia widoczności głowy. System „Komahi”. Minisystem

Sekcja IV. System zawieszenia widoczności głowy. System „Komahi”. Minisystem Metro system widoczności głowy Istnieją dwa systemy widoczności głowy na palcach i stopach: system „do typu osoby” oraz system „do typu istoty”. System „jak osoba”.

Pierwszym ośrodkiem emocjonalnym jest układ torbielowaty, błoto, krovobіg, układ odpornościowy, shkira.

Pierwszym ośrodkiem emocjonalnym jest układ torbielowaty, błoto, krovobіg, układ odpornościowy, shkira Yakshcho vy podavlenі p_dtrimki sim'ї i druzіv, jak ty

Jeśli na płaszczyźnie drgającej są dwa wektory prostopadłe do siebie i jeden wektor na płaszczyźnie drgającej (rys. 7), to większy wektor na tej samej płaszczyźnie można rozłożyć za liniami prostymi tych dwóch wektorów, tak aby można było go zobaczyć w zasięgu wzroku

de - liczby równe rzutom wektora na osie proste

Podobnie, jeśli w przestrzeni trywialnego świata wybierzemy trzy wzajemnie prostopadłe wektory i jedną długość, to można sobie wyobrazić wystarczający wektor w tej przestrzeni

W przestrzeni Hilberta można rozważać układy par ortogonalnych wektorów w tej przestrzeni, tak że funkcje

Takie układy funkcji nazywane są ortogonalnymi układami funkcji i odgrywają dużą rolę w analizie. Smród jest słyszalny w najbardziej manipulacyjnych naukach fizyki matematycznej, równaniach całkowych, przybliżeniach, teorii funkcji dynamicznego węża i tak dalej. do stworzenia dzikiego zrozumienia przestrzeni Hilberta.

Pani jest dokładna. System funkcji

zwana ortogonalną, tak jakby istniały dwie funkcje układu ortogonalne między sobą, więc

W trywialno-światowej przestrzeni robimy vimagali, dzięki czemu większość wektorów w systemie została dodana do samotności. Po odgadnięciu przeznaczenia wektora, Bachimo, w innej przestrzeni Hilberta można to zapisać w ten sposób:

Układ funkcji spełniający zmienne (13) i (14) nazywany jest ortogonalnym i unormowanym.

Przedstawmy takie układy funkcji.

1. W przedziale możemy spojrzeć na sekwencję funkcji

Skóruj dwie funkcje sekwencji prostopadłych do siebie. Tse perevіryaєtsya po prostu obliczmy całkowitą liczbę całek. Kwadrat dozhini wektora w przestrzeni Hilberta jest całką kwadratu funkcji. W tej kolejności kwadraty dozhin wektor_w sekwencji

istota całki

palec u nogi. sekwencja naszych wektorów jest ortogonalna, ale nie znormalizowana. Dovzhina pierwszego wektora sekwencji jest dobra i wszystko

inshі maut dovzhina. Dzieląc wektor skóry na y-o-dovzhina, bierzemy pod uwagę ortogonalny i znormalizowany układ funkcji trygonometrycznych

System ten jest historycznie jednym z pierwszych i najważniejszych zastosowań systemów ortogonalnych. Vaughn vinikla w robotach Eulera, D. Bernoulliego, d'Alemberta pod linkiem z instrukcją dotyczącą mocowania sznurka. Badanie to odegrało ważną rolę w opracowaniu całej analizy.

Wygląd ortogonalnego układu funkcji trygonometrycznych w związku z instrukcjami dzielenia struny nie jest vipadkov. Problemem skóry jest zredukowanie małej ilości ośrodka do układu dwójkowego funkcji ortogonalnych, które opisują tzw. moc poziomu danego układu (Dz. § 4). Na przykład w linku z instrukcji nakłuwania kuli wywoływane są nazwy funkcji kulistych, w linku z instrukcji o przebiciu okrągłej membrany lub cylindra nazywane są tak zwane nazwy funkcji cylindrycznych.

2. Możesz ustawić tyłek ortogonalnego systemu funkcji, funkcja skóry to bogate pojęcie. Takim tyłkiem jest sekwencja bogato artykułowanej Legendre

Tobto є (z dokładnością do stałego mnożnika) to dobry system vidd. Zapisujemy pierwszego szprota bogato artykułowanych sekwencji:

Oczywiste jest, że jest bogaty element kroku. Mamy nadzieję, że sam czytelnik będzie perekonatisya, scho tsі bogato podzielona є sekwencja ortogonalna na przedziale

Rozwinąłem teorię ortogonalnych terminów wariacyjnych (tzw. ortogonalnych terminów wariacyjnych z vaga) przez wychowanie cudownego rosyjskiego matematyka P. L. Czebiszewa w drugiej połowie XIX wieku.

Rozkład według ortogonalnych układów funkcji. Tak jak poprzednio, jak trywialny świat skóry, wektor może zostać ujawniony

w wizualnie liniowej kombinacji trzech parami ortogonalnych wektorów w jednym okresie

przestrzeń funkcjonalna obwinia zadanie wyłożenia wystarczającej funkcji w rzędzie za ortogonalnym i znormalizowanym układem funkcji, czyli o reprezentację funkcji w spojrzeniu

Za pomocą szeregu (15) funkcja jest rozumiana w sensie między elementami w przestrzeni Hilberta. Tse oznacza, że ​​średnia kwadratowa poprawa sumy częściowej w funkcji jest zredukowana do zera w , wtedy.

Taki zbіzhnіst nazywa się „zbіzhnіstyu w środku”.

Rozszerzenie funkcji ortogonalnych w cichszych układach jest często wykorzystywane w analizie i jest ważną metodą rozwiązywania problemów fizyki matematycznej. Czyli na przykład układ ortogonalny jest układem funkcji trygonometrycznych na przedziale

to jest rozwinięcie klasycznego rozwinięcia funkcji w szereg trygonometryczny

Załóżmy, że układ (15) jest możliwy dla dowolnej funkcji w przestrzeni Hilberta, a znamy współczynniki takiego układu. Dla kogo pomnóżmy skalarnie zranione części zazdrości przez samą funkcję naszego systemu. Odbieramy zazdrość

z czego ze względu na fakt, że wartość współczynnika

Mi, podobnie jak i we wspaniałej trywialnej przestrzeni (dział początek drugiego akapitu), współczynniki są równe rzutom wektora na proste wektorów.

Określając cel kreacji skalarnej zakłada się, że współczynniki rozkładu funkcji są za ortogonalnym i znormalizowanym układem funkcji

trzymaj się formuł

Jako przykład możemy spojrzeć na normalny ortogonalny układ funkcji trygonometrycznych, powiem to wyżej:

Wzięliśmy wzór na obliczanie współczynników rozwinięcia funkcji szeregu trygonometrycznego w przydziałach, oczywiście, że rozwinięcie jest możliwe.

Ustaliliśmy rodzaj współczynników rozkładu (18) funkcji stojącej za ortogonalnym układem funkcji w naddatku, jakim taki rozkład może być. Jednak niewyczerpalny ortogonalny układ funkcji może okazać się niewystarczający, aby można było rozłożyć funkcję poza przestrzeń Hilberta. Aby taki układ był możliwy, system funkcji ortogonalnych jest winny zaspokojenia umysłu dodatkowa - tak znowu nazywa się umysł.

Układ funkcji ortogonalnych nazywamy nowym, ponieważ nie można do niego dodać tej samej, nierównej zero funkcji, ortogonalnej do wszystkich funkcji układu.

Łatwo jest wskazać tyłek układu ortogonalnego innego niż punkt pov. Dla kogo przyjmujemy go jako układ ortogonalny, na przykład taki sam

system funkcji trygonometrycznych, w tym jedną z funkcji tego systemu, na przykład nieograniczony system funkcji, którego brakuje

będzie, jak poprzednio, ortogonalna, oczywiście, że znowu nie będzie, bo funkcja jest przez nas włączona: jest ortogonalna do wszystkich funkcji systemu.

Jeśli system funkcji nie jest kompletny, to jeśli nie można zgodnie z nim ułożyć funkcji z przestrzeni Hilberta. Rzeczywiście, jeśli spróbujemy umieścić funkcję zerową ortogonalną do wszystkich funkcji systemu za takim systemem, to za pomocą wzorów (18) wszystkie współczynniki wydają się równe zeru, nawet jeśli funkcja nie jest równa zeru.

Niech nadejdzie twierdzenie: jeśli układ funkcji jest całkowicie ortogonalny i znormalizowany w przestrzeni Hilberta, to czy funkcję można umieścić w rzędzie po funkcjach tego układu.

Przy dowolnym współczynniku układ jest bardziej zaawansowany dla rzutów wektorów na element ortogonalnego układu unormowanego.

W § 2 twierdzenie Pitagorasa jest oczywiste w przestrzeni Hilberta, pozwalając poznać cykl korelacji między współczynnikami a funkcją Istotnie poprzez różnicę między sumą a pierwszymi elementami szeregu, tobto.

Równe zero:

System ortogonalny na różne sposoby może być wikoristanem jako podstawą przestrzeni. Dla kogo układ dowolnego elementu można obliczyć za pomocą wzorów:, de.

Vipadok, jeśli norma wszystkich elementów nazywana jest systemem ortonormalnym.

Ortogonalizacja

Be-yak ovna liniowo niezależny system w przestrzeni końcowej jako podstawa. Z prostej bazy można również przejść do bazy ortonormalnej.

Układ ortogonalny

Przy rozkładaniu wektorów w przestrzeni na bazie ortonormalnej zadaje się obliczenie kreacji skalarnej: , de i .

Dyw. Również

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Zastanawiam się, co „System ortogonalny” znajduje się w innych słownikach:

1) O ... Encyklopedia matematyczna

- (greckie ortogonios prostoliniowe) kіntsev lub lichlna ftsіy, które leżą (rozdzielne) w przestrzeni Hilberta L2(a,b) (kwadratowo zintegrowane ftsіy) i zaspokajają umysły Ftsіya g (x) gwiazdy. vaga O. s. f., * oznacza ... ... Encyklopedia fizyczna

Układ funkcji??n(x)?, n=1, 2,..., przypisań dla ODWRÓCENIA ORTOGONALNEGO przekształcenia liniowego euklidesowej przestrzeni wektorowej, który przyjmuje wartości niezmienne lub (co jest równoważne ) skalar tworzy wektory ... Wielki słownik encyklopedyczny

Układ funkcji (φn(x)), n = 1, 2, ..., zadania dla podrozdziału [a, b], który spełnia postępującą ortogonalność umysłu: z k≠l, de ρ(x) jest deac funkcja, jak to się nazywa vag. Na przykład układ trygonometryczny to 1, sin x, cos x, sin 2x, ... Słownik encyklopedyczny

System ftsіy ((fn(x)), n=1, 2, ..., przypisania dla podpodziału [a, b] i spełnia następną, uważną ortogonalność z k nie jest równe l, de p(x) jest pewną funkcją, nazywam ją wag Na przykład układ trygonometryczny to 1, sin x, cosx, sin 2x, cos 2x, ... O.s.f. Naturalna nauka. Słownik encyklopedyczny

Układ funkcji ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonalny do ρ (x) na szynie [a, b], taki jak zastosowany w aplikacji. Układ trygonometryczny 1, cos nx , sin nx ;n = 1, 2,..., O. s., z 1 na szynie [π, π]. Wielka Encyklopedia Radiańska

Ortogonalne to współrzędne dowolnego tensora metrycznego w widoku ukośnym. de d W ortogonalnych układach współrzędnych q = (q1, q², …, qd) powierzchnie współrzędnych są same tylko ortogonalne. Zokrema, w kartezjańskim układzie współrzędnych ... Wikipedia

ortogonalny system kanałów bogatych- - [L.G.Sumenko. Angielsko-rosyjski słownik technologii informacyjnych. M.: DP TsNIIS, 2003.] Tematyka informatyki zagal EN ortogonalny multipleks ...

układ współrzędnych obrazu (fotogrametrycznego)- Układ współrzędnych jest prostopadły do ​​przestrzeni, ponieważ jest ustalany na obrazie fotogrametrycznym przez obrazy ikon współrzędnych. [GOST R 51833 2001] Tematy fotogrametrii… Tłumaczenie techniczne Dovіdnik

system- System 4.48 Uwaga 1 System może być postrzegany jako produkt lub usługa, na której opiera się. Uwaga 2 W praktyce… Słowniczek pojęć dla dokumentacji normatywnej i technicznej

Spotkanie 1. ) nazywa się ortogonalnym, ponieważ wszystkie elementy są parami ortogonalne:

Twierdzenie 1. Układ ortogonalny wektorów niezerowych i liniowo niezależnych.

(Załóżmy, że system jest odłogiem liniowym: ja, do śpiewania, Mnożymy równoważność skalarną przez . Ortogonalność systemu Vrakhovuyuchi, bierzemy pod uwagę: }

Spotkanie 2. Układ wektorów w przestrzeni euklidesowej ( ) nazywa się ortonormalną, ponieważ jest ortogonalna, a norma elementu skóry jest taka sama.

Z Twierdzenia 1 od razu widzimy, że ortonormalny układ elementów jest z konieczności liniowo niezależny. Zvіdsi, u twego boku, krzycząc, co jest w n– układ jest ortonormalny do pokojowej przestrzeni euklidesowej n vector_in ustanawianie podstawy (na przykład ( ja, j, k ) o 3 x- spokojna przestrzeń). Taki system nazywa się baza ortonormalna, i її wektory - podstawowe orty.

Współrzędne wektora w bazie ortonormalnej można łatwo modyfikować za pomocą kreacji skalarnej: Diyno, mnożąca się zazdrość na , Proszę podać wzór.

Uwzględniane są wszystkie główne wielkości: skalarny tvir wektorów, długość wektora, cosinus kuty między wektorami itp. może mieć najprostszą postać w bazie ortonormalnej. Spójrz na skalarny tvir: , oskіlki

A wszystkie inne dodatki sumują się do zera. Brzmi natychmiast otrimuemo:,

* Przyjrzyjmy się bliżej podstawowej podstawie. Skręt skalarny, na którym podstawa jest bardziej zaawansowana:

(Tutaj jaі β j – współrzędne wektorów w pobliżu bazy ( F) i - skalarne tworzą podstawowe wektory).

Wartości γ ij rozliczyć macierz g, dzwonię Macierz grama. Wiązka skalarna w postaci macierzowej wygląda następująco: *

Twierdzenie 2. w be-yakoma n– spokojna przestrzeń euklidesowa ma podstawę ortonormalną. Dowód twierdzenia nie jest konstruktywny i nie można go nazwać

9. Proces ortogonalizacji Grama-Schmidta.

Daj spokój ( 1 ,...,a n ) − podstawa dodatkowa n- pokojowa przestrzeń euklidesowa (fundamentem takiej podstawy jest n- Spokój przestrzeni). Algorytm indukujący tę podstawę pola ortonormalnego w ofensywie:

1.b 1 \u003d a 1, e 1 \u003d b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1 , dlatego (e 1 , a 2)- występ 2 na e 1, b 2 \u003d a 2 -(e 1 , a 2)e 1 , e 2 \u003d b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1 , b 3^a 2 , b 3 \u003d a 3 -(e 1 , 3)e 1 -(e 2 , a 3)e 2 , e 3 \u003d b 3/|b 3|, |e3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1 k(e ja , k)e ja , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Kontynuując proces, przyjmujemy bazę ortonormalną ( e 1 ,...,e n }.

Notatka 1. Za pomocą badanego algorytmu można indukować bazę ortonormalną obwiedni liniowej np. bazę ortonormalną obwiedni liniowej układu, co to jest rząd, co jest dobrym trio i składa się z pięciu wektory.

krupon.x =(3,4,0,1,2), tak =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Uwaga 2. Zwłaszcza vipadki

Proces Grama-Schmidta może również zastosować do niewyczerpanej sekwencji liniowo niezależnych wektorów.

Ponadto proces Grama-Schmidta może stać się stagnacją do liniowych wektorów odłogowych. W jaki sposób widzisz 0 (wektor zerowy) na short J , tak jak j є liniowa kombinacja wektorów a 1 ,...,a j -1 . W rzeczywistości, aby zachować ortogonalność wektorów wyjściowych i uniknąć podziału przez zero, gdy ortonormalne, algorytm jest winny odwrócenia wektorów zerowych i odjęcia ich. Liczba wektorów, które widzi algorytm, zwiększa wielkość podprzestrzeni generowanej przez wektory (czyli liczbę wektorów liniowo niezależnych, dzięki czemu widać środek wektorów).

10. Geometryczne przestrzenie wektorowe R1, R2, R3.

Popieramy, że niepośredni sens geometryczny może mieć więcej miejsca

R1, R2, R3. Rozszerzenie R n dla n > 3 jest abstrakcyjnym obiektem matematycznym.

1) Pozwólcie, że przedstawię system dwóch wektorów a і b . Jeśli system jest odłogiem liniowym, to jeden z wektorów jest dopuszczalny a , wyrażona liniowo przez drugą:

a= k b.

Dwa wektory związane z takim odłogiem, jak się mówi, nazywane są kolinearnymi. Ponadto system dwóch wektorów jest jeszcze bardziej odłogiem liniowym

nawet jeśli wektory są współliniowe. Z szacunkiem, taki visnovok można zobaczyć nie tylko do R 3, ale nawet do pewnego rodzaju liniowej przestrzeni.

2) Niech system R3 składa się z trzech wektorów a, b, c . Depozyt liniowy oznacza, że ​​jeden z wektorów, powiedzmy a , Liniowo wyrażone przez інші:

ale= k b+ ja C . (*)

Wizyta, umówione spotkanie. Trzy wektory a, b, c R 3 leżące w tej samej płaszczyźnie lub równoległe do tej samej płaszczyzny nazywane są coplanar

(w małych skalach wskazane wektory) a, b, c z tej samej płaszczyzny i prawoskrętne są te same wektory i wstawki w różnych kolbach i więcej niż równoległe do jednej płaszczyzny).

Ponieważ trzy wektory R3 są liniowo nieświeże, smród jest współpłaszczyznowy. Sprawiedliwe i godne: jak Vectori a, b, c s R3 jest współpłaszczyznowy, cały smród jest liniowo odłogowany.

wektor kreatywny wektor a, na wektor b przestrzeń nazywana jest wektorem C który cieszy postępujący vimog:

Przeznaczenie:

Spójrzmy na uporządkowane trio wektorów niewspółpłaszczyznowych a, b, c w trywialnej przestrzeni. Suma na kolbie tych wektorów w punktach ALE(do wyboru dość szeroki punkt ALE i równolegle przenoszony wektor skóry, tak aby kolba spivpav z kropką ALE). Kіntsi vektorіv, poddnannyh na kolbie w punkcie ALE, Nie leż na jednej linii prostej, ponieważ wektory nie są współpłaszczyznowe.

Uporządkowana jest trójka wektorów niewspółpłaszczyznowych a, b, c w pobliżu przestrzeni trivimir nazywa się prawidłowy, który jest końcem wektora C najkrótszy zakręt w widoku wektorowym a w górę wektor b możesz zobaczyć posterigache strzały anty-Godinnikov. І navpaki, ponieważ najkrótszy zakręt jest widoczny za strzałką roku, wtedy trio nazywa się żyć.

W przeciwnym razie powołanie pov'yazane s prawa ręka ludzie (div. babies), gwiazdy i imiona są brane.

Muszą być bezpośrednio między sobą (i pozostawione między sobą) trójki wektorów nazywane są tą samą orientacją.

O jakim języku

Symbolicznym znakiem było pojawienie się na Habré wpisu o filtrze Madżvik. Być może szalejąca inwazja dronów ożywiła zainteresowanie zadaniem oceny orientacji ciała z inercyjnego vimirivu. Dzięki tej tradycyjnej metodzie, opartej na filtrze Kalmana, przestali zadowalać publiczność – poprzez duże wysokości do ilości zasobów nieakceptowalnych dla dronów, poprzez składanie i nieintuicyjną regulację parametrów.

Post jest wspierany przez bardziej zwartą i wydajną implementację filtra w C. Jednak sądząc po komentarzach, zmienia się fizyczny kod, a także wszystkie statystyki, dla których jest to niejasne. Cóż, uczciwie to wiemy: filtr Madzhvik to najprostszy z grupy filtrów opartych na prostych i eleganckich zasadach. Przyjrzę się zasadom w moim poście. Tutaj nie będzie kodu. Mój post nie jest opisem konkretnej implementacji algorytmu szacowania orientacji, ale prośbą o lepsze wariacje na dany temat, które mogą być jeszcze bogatsze.

Złożenie orientacji

Zgadnijmy podstawy. Aby ocenić orientację ciała w przestrzeni, należy wybrać niektóre parametry, tak jakby od razu jednoznacznie określić orientację, tobto. w istocie orientacja skojarzonego układu współrzędnych jest układem niezniszczalnym psychicznie - na przykład układ geograficzny NED (Północ, Wschód, Dół). Następnie konieczne jest złożenie linii kinematycznych, tobto. virazity swidkіst zmіni tsikh parametrіv przez żyroskopy kutova swidkіst. Nareshti, konieczne jest wprowadzenie w miarę możliwości pomiaru wektorowego do akcelerometrów, magnetometrów. Oś poszukiwania sposobów ujawniania orientacji:

Kuti Eyler- roll (roll), pitch (pitch), nagłówek (heading). Najważniejszy i najbardziej zwięzły zestaw parametrów w orientacji: liczba parametrów w dokładnie takiej samej liczbie jawnych stopni swobody. Dla cih kutiv możesz napisać kinematyczne wyrównanie Eulera. Lepiej pokochać mechanikę teoretyczną, ale smród nawigacji na niewiele się zda. Po pierwsze, wiedza o kutіv nie pozwala na przekształcenie składników dowolnego wektora z połączonego wektora na układ współrzędnych geograficznych navpaku. W inny sposób, przy nachyleniu ±90 stopni, kinematyczne wyrównania skrętu, kołysania i kursu stają się nieistotne.

Obrót macierzy- macierz 3×3, należy pomnożyć dowolny wektor w połączonym układzie współrzędnych, aby wziąć ten sam wektor w układzie geograficznym: . Matryca jest koniecznie ortogonalna, to znaczy. . Kinematycznie równy dla niej może wyglądać.
Oto macierz ze składowymi wierzchołka prędkości mierzonych żyroskopami w pozycjach układu współrzędnych:

Macierz obrotu bloczka jest mniejsza na pierwszej linii, dolne cięcie Eulera, to na ich widoku pozwala na zmianę wektorów bez pośrednictwa i przy tej samej pozycji wierzchołka, zwrot nie jest dozwolony. Z liczbowego punktu widzenia głowa nedolіk jest nadprzyrodzona: ze względu na trzy stopnie wolności wprowadza się dziewięć parametrów i należy je uaktualnić do poziomu kinematycznego. Zavdannya może być trochę łatwa, wijąc się w ortogonalność matrycy.

Quaternion do skrętu- radykalny, a jeszcze bardziej nieintuicyjny zasіb przeciwko nadprzyrodzonym i virodzhennya. Cały obiekt składowy nie jest liczbą, wektorem ani macierzą. Quaternion można podziwiać z dwóch stron. Innymi słowy, jako formalna suma skalara i wektora, oddziel kolejno wektory i osie (co oczywiście brzmi absurdalnie). W inny sposób, jak w kontekście liczb zespolonych, de teraz nie jest jeden, ale trzy rіznih sam uyavnyh (scho brzmi nie mniej absurdalnie). Jaka jest kwaternion wiązań z zakrętu? Poprzez twierdzenie Eulera: ciało można zawsze przenieść z jednej zadanej orientacji do drugiej z jednym końcem obrotu na jednym końcu na jednym końcu na jednej osi z wektorem bezpośrednim . Tsі kut w vsіs może być poednati w kwaternionach: . Jako macierz kwaternion można zmienić bez pośredniej transformacji dowolnego wektora z tego samego układu współrzędnych do innego: . Jak widać, kwaternion przejawów orientacji również cierpi na nadświatowość, ale nieco bogatszą, niższą macierz: jest tylko jeden parametr. Gruntlivy rzucić okiem quaternions vszhe buv na Habré. Chodziło o geometrię i grafikę 3D. Mamy być nazywani przez kinematykę, odłamki szwedzkości kwaternionów muszą być dopasowane do zimowego kutova shvidkistyu. Vіdpovіdne kіnеmatichne іvnyannja maє vglyad de vector tezh vvazhєtsya kwaternion z zerową częścią skalarną.

Schematy filtrów

Najważniejszą zmianą w obliczaniu orientacji jest opracowanie przez równanie kinematyczne i zaktualizowanie do nowego zestawu parametrów, który stał się nas godny. Na przykład, jeśli wybraliśmy macierz rotacji, to możemy napisać pętlę dla kwadratu C += C * Omega * dt . Rezultat jest ryczący. Żyroskopy, zwłaszcza MEMS, mogą mieć duże i niestabilne przesunięcia zerowe - w efekcie będą miały całkowicie spokojną orientację, która zostanie obliczona, jeśli matki nie gromadzą ułaskawienia (dryfu). Wszystkie sztuczki wymyślone przez Mahona, Majvika i inne robaki, nie licząc mnie, zostały wykorzystane do zrekompensowania tego dryfu irradiancji promieniowania, w tym akcelerometrów, magnetometrów, odbiorników GNSS, logów. Tak narodziła się cała rodzina filtrów orientacji, które opierają się na prostej podstawowej zasadzie.

Podstawowa zasada. Aby skompensować dryf orientacji, konieczne jest dodanie do żyroskopów wierzchołka prędkości wiatru, który jest kontrolowany na podstawie regulacji wektorowej innych czujników. Vector kuruyuchoї kutovoї shvidkostі jest winny prgnati pojdnati dirección of virіryanih vektorіv z їх vіdomiі іtrіnimi іnimimi.

Tutaj jest opisana dolna linia filtra Kalmana. Głowa samego umysłu polega na tym, że szwedość jest fajna, że ​​sobie radzi, - nie dodanok, ale mnożnik przy szacowaniu wartości (macierze lub kwaterniony). Dźwięki ważnych rzeczy do powiedzenia:

• Filtr estymujący może być używany do orientacji własnej, a nie do małych różnic w orientacji, jak żyroskopy. Przy takim oszacowaniu wartości jest on automatycznie zaspokajany niezbędnymi zmiennymi, jakby narzucał zadanie: macierz będzie ortogonalna, kwaternion zostanie znormalizowany.
• Fizyczne odczucie zakrzywionego wierzchołka shvidkost jest znacznie wyraźniejsze, niższe niż coryguval dodanka filtra Kalmana. Wszelkie manipulacje działają z wektorami i macierzami we wspaniałej trywialnej przestrzeni fizycznej, a nie w abstrakcyjnej wielowymiarowej przestrzeni stanów. Warto pamiętać, aby poprosić o dodanie i dostosowanie filtra, a jako bonus pozwala uzyskać matrycę o sporych rozmiarach i świetne biblioteki macierzy.

Teraz zastanawiamy się, jak pomysł jest realizowany w konkretnych opcjach filtrowania.

Filtr Mahone. Cała wściekła matematyka pierwotnego statutu Machona została napisana w celu torowania niespójnych równości (32). Przepiszmy je w naszych oznaczeniach. Jeśli zależy to od oceny żyroskopów zerowych, to są dwa klucze do wyrównania - jest to lepsze wyrównanie kinematyczne dla obrotu matrycy (z ostrym przesunięciem wierzchołka w widoku matrycy) oraz prawo powstawania przesunięcia w widok wektora. Dla uproszczenia jest do przyjęcia, że ​​nie ma przyspieszenia, nie ma prowadzenia magnetycznego, a wiatry, które są dla nas dostępne w łagodzeniu przyspieszonego spadku w postaci akcelerometrów i natężenia pola magnetycznego Ziemi w postaci magnetometry. Wektory ofensywne są kontrolowane przez czujniki na połączeniu układu współrzędnych, a w układzie geograficznym ich pozycji widzimy: kierowanie pod górę - na pivnich magnetyczny. Wtedy wyrównanie filtra Makhon wygląda tak:

Spójrz z szacunkiem na przyjaciela. Pierwszy dodanok po prawej stronie to twer centralny. Pierwszym mnożnikiem dla przybysza są ludzie przyspieszonego swobodnego spadania, drugi jest właściwy. Jeśli mnożniki są związane z jednym układem współrzędnych, drugi mnożnik zmieni się tak, aby odpowiadał układowi mnożników o . Kutova swidkіst, pobudovan jako wektor dobutok, prostopadły do ​​płaszczyzny wielokrotności wektora_v. Pozwala obracać pozycję rozrahunkove podłączonego układu współrzędnych, doki mnożników wektorów nie sp_v_dut na linii prostej - wtedy skręcenie wektora jest resetowane do zera, a obrót jest przypinany. Współczynnik polega na określeniu twardości tak zdrowego ogniwa. Kolejnym dodatkowym krokiem jest wykonanie podobnej operacji z wektorem magnetycznym. W istocie filtr Mahoneya podąża za dobrze znaną tezą: znajomość dwóch niewspółliniowych wektorów w dwóch różnych układach współrzędnych pozwala jednoznacznie zidentyfikować wzajemną orientację tych układów. Jak wektor w więcej niż dwóch, aby dać maczugę światowemu vimiryuvanowi. Jeśli jest więcej niż jeden wektor, to jeden jawny świat wolności (ruh dla kilku wektorów) nie może być ustalony. Na przykład, jeśli podano tylko wektor, można dostosować dryf do kołysania i pochylania, ale nie do kursu.

Zrozumіlo, w filtrze Mahon, neobov'yazkovo jest przyspieszenie obracania macierzy. Є-te niekanoniczne warianty kwaternionów.

Wirtualna platforma żyroskopowa. W filtrze Makhon dodaliśmy keruyuchu kutov shvidkіst do połączonego układu współrzędnych. Ale możesz dodać її і do pozycji rozrachunk w układzie współrzędnych geograficznych. Kinematycznie równa jednemu dniu patrzę

Wygląda na to, że taki pidkhіd otwiera drogę do jeszcze bardziej prawdopodobnych analogii fizycznych. Aby zakończyć zgadywanie tych, od których rozpoczęto technikę żyroskopową, - systemy nawigacji kursowo-pionowej i inercyjnej oparte na żyroskopowej platformie przy gimbali.

www.theairlinepilots.com

Menadżer platformy był odpowiedzialny za materializację układu współrzędnych geograficznych. Orientacja nosa była kontrolowana zgodnie z kierunkiem platformy przez czujniki wycięcia na ramach zawieszenia. Gdy żyroskopy dryfowały, platforma dryfowała za nimi, a na wskazania czujników w pniach gromadziły się przeprosiny. Aby uzyskać ułaskawienie wprowadzając link zwrotny do akcelerometrów zainstalowanych na platformie. Np. ruch platformy w kierunku prawej osi zmierzył akcelerometr o podobnej osi. Sygnał ten pozwala ustawić maksymalną prędkość, jak sterować, jak obrócić platformę w horyzont.

Przy najlepszym zrozumieniu możemy być jak w domu w naszych własnych zadaniach. Wpisane wyrównanie kinematyczne należy odczytywać następująco: szybkość zmiany orientacji i różnicę między dwoma górnymi ruhіv - absolutnym nosem ruhu (pierwszy dodanok) i absolutnym ruhu wirtualnego żyroplatformy (kolejne dodanok). Analogię można rozszerzyć i prawo formowania keruyucho kutovoy ї shvidkosti. Wektor służy do pokazania akcelerometrów, jak stanąć na żyroplatformie. Możesz napisać to samo dla fizycznego dublowania:

Do tego samego wyniku można osiągnąć ten sam wynik w formalny sposób, po przepracowaniu mnożenia wektorów w duszy filtra Makhon, ale nie w pętli, ale w układzie współrzędnych geograficznych. Tylko co jest potrzebne?

Być może pierwsze obciążenie podstawowej analogii platformy i nawigacji inercyjnej bez platformy leży w starym patencie Boeinga. Potem ten pomysł był aktywnie eksplorowany przez Saliczeva, a przez resztę godziny - ja również. Oczywiste zalety takiego podejścia:

• Keryuyuchu kutovu swidkіst można uformować za pomocą urahuvannyam zrozumіlih zasad fizycznych.
• Oczywiście istnieją podziały kanałów poziomych i kursowych, ze względu na różnice w ich mocy i metodach korekcji. W filtrze Makhon smród jest śmierdzący.
• Ręcznie skompensuj, zwiększając prędkość akwizycji danych GNSS, która jest widoczna w geograficznych, ale nie w innych osiach.
• Łatwo jest przekonwertować algorytm na wysokoprądowy tryb nawigacji inercyjnej, aby móc odwrócić kształt Ziemi. Jak tse robiti schemat Mahone, nie pokazuję.

Filtr Madżwika. Majvik utworzył ważną ścieżkę. Tak jak Mahon, wzywając wszystko, intuicyjnie podjął decyzję, a następnie zaokrąglając ją matematycznie, tak Majvik od początku okazał się formalistą. Podjął się zadania optymalizacji. Oceniając takie wina. Ustawiamy orientację przez obrót kwaternionów. W idealny sposób rozrahunkovy od razu jak wektor vimiryuvany (niech tak będzie) idzie z prawdziwym. Będziesz. Naprawdę, nie zawsze możesz osiągnąć (zwłaszcza jeśli wektorów jest więcej niż dwa), ale możesz spróbować zminimalizować różnicę w dokładnej równości. Dla których wprowadzamy kryterium minimalizacji

Minimalizacja efektu opadania gradientu - tarcie z pęknięciami kill, przeciwieństwo gradientu, tobto. przeciwieństwo najnowszego rozszerzenia funkcji. Przed przemówieniem Majvik może wybaczyć: nie wchodź do win we wszystkich swoich robotach i śmiało pisz zamіst, chcąc faktycznie się policzyć.

Spadek gradientu wyniku powinien być sprowadzony do obraźliwego umysłu: aby zrekompensować dryf orientacji, konieczne jest dodanie do szybkości zmiany kwaternionów z wyrównania kinematycznego nowych ujemnych dodatków, proporcjonalnie:

Tutaj Majvik wkracza trochę w naszą „podstawową zasadę”: nie dodajemy korygowanego członka do górnej swidness, ale do swidkost zmieniamy kwaternion, ale nie nazywamy ich tak samo. Przez wojnę możliwe jest, że odnowienia kwaternionów przestaną być pojedyncze i, oczywiście, budynek poświęcą na reprezentację orientacji. Dlatego dla filtra Madjvik, normowanie kwaternionów według kawałków jest ważną operacją na całe życie, dla tej godziny, dla innych filtrów jest złe, a nie neobov'yazkove.

Zastrzyk szybkiego

Do tej pory mówiono, że nie ma właściwych przyspieszeń, a akcelerometry zabijają tylko przyspieszenie swobodnego spadania. Umożliwiło to przyjęcie standardu pionowego i pomoc w skompensowaniu dryfu przechyłu i pochylenia. Akcelerometria Prote y vipadku, niezależnie zgodnie z zasadą dії, vimіryuyut zostało podane szybko- Różnica wektorowa rzeczywistej prędkości i prędkości swobodnego spadania. Przyspieszony bezpośrednio, który jest dany, nie odbiega od pionu, aw ocenach przechyłu i skoku ogłasza się ułaskawienie, przysięgając na pochwały.

Łatwo to zilustrować dodatkową analogią do wirtualnego wiatrakowca. System korekcji jest zasilany przez to, że platforma jest zamocowana w tej pozycji narożnej, w której resetowane są sygnały akcelerometrów, które nie są zainstalowane na innym, tobto. jeśli wektor staje się prostopadły do ​​osi czułości akcelerometrów. Gdy nie ma mowy, ucieka z horyzontu. Jeśli winisz przyspieszenie poziome, platforma żyroskopowa się poruszy. Można powiedzieć, że żyroplatforma przypomina mocno wytłumione wahadło lub świątynię.

Komentarze przed wpisem na temat filtra Majvik nie dotyczyły tych, którzy mogą być spodіvatisya, że ​​ten filtr jest mniej przystosowany do szybszego, niższego, na przykład filtra Mahon. Niestety wszystkie opisane tutaj filtry działają na tych samych zasadach fizycznych i cierpią z tego powodu w obliczu samych problemów. Nie da się oszukać fizyki matematyką. Nad czym pracujesz?

Najprostszy i najbardziej niegrzeczny sposób został wymyślony w połowie ubiegłego wieku dla wiatrakowców lotniczych: zmień lub wyzeruj prędkość maksymalną, którą kontrolujesz, dla oczywistości przyspieszenie lub prędkość maksymalną na kurs (jak opowiadać o wejściu do zakrętu). Tę samą metodę można przenieść do najnowszych systemów bezplatformni. Trzeba oceniać według wartości, a nie, jakby przez potęgę zera. Jednak przy wielkości starego możliwe jest podniesienie odpowiedniego przyspieszenia w projekcjach przyspieszonego upadku, uważności platformy żyroskopowej, którą należy wziąć. Dlatego metoda nie jest praktyczna - nie zależy wtedy od zwykłych dodatkowych czujników.

Dokładniejszy sposób na oparcie się na najbardziej znanych prędkościach wiatru z odbiornika GNSS. Jeśli znasz prędkość, możesz numerycznie zróżnicować i odebrać właściwą. Wtedy sprzedaż detaliczna będzie dokładnie zdrowa niezależnie od zużycia. Możesz przyspieszyć jak wyraźny pion. Na przykład, możesz ustawić kadłub kontrolny wiatrakowca w widoku

Przesunięcie zera czujnika

Całkowitą osobliwością żyroskopów i akcelerometrów najwolniejszej klasy jest duża niestabilność zera w czasie i nad temperaturą. Do ich przyjęcia nie wystarczy tylko jedna kalibracja fabryczna lub laboratoryjna – konieczne będzie ponowne oszacowanie za godzinę pracy.

Żyroskopia. Rozwiążmy to za pomocą żyroskopów zerowych. Obóz Rozrakhunkove jest powiązany z układem współrzędnych jego unikalności prawdziwego obozu z wierzchołkiem shvidkistyu, ponieważ wyróżnia go dwa przeciwstawne czynniki - przesunięcia zera żyroskopów i krytyczny wierzchołek swidkistyu: . Jako system poprawek (na przykład przy filtrze Makhon) można było spojrzeć na celownik, a następnie w trybie, kiedy wstał, się pojawił. Innymi słowy, keruyuchiy kutovіy shvidkost ma informacje o nieznanym zmętnieniu, które się dzieje. Tom może zasosuvati wycena odszkodowań: nie znamy wielkości oszołomienia bez środka, wiemy, że potrzebny jest jakiś rodzaj plucia coryguchiy, aby yogo żył. Na podstawie których oceniana jest ocena żyroskopów zerowych. Na przykład ocena Machona jest zgodna z prawem

Jednak wynik nowego jest zaskakujący: szacunki sięgają 0,04 rad/s. Takiej niestabilności przesunięcia zera nie można znaleźć w największych żyroskopach. Podejrzewam, że problem wynika z tego, że Mahon nie korzysta z GNSS, ale z innych zaawansowanych sensorów – a cały świat szybciej cierpi. Tylko na osi pionowej, de priskrennya, aby nie zachowywać się źle, ocena wygląda mniej zdrowo:

Mahony i in., 2008

Akcelerometria. Oszacuj przesunięcie zera bardziej złożonego akcelerometru. Informacje o nich muszą zostać ujawnione przez kontrolę tієї w kutovoї svidkostі, scho. Jednak w prostoliniowej Rosji efekt zerowego akcelerometru nie ulega zmianie z powodu zużycia lub przekrzywienia instalacji bloku czujnika na nowym. Wszelkie dodatki do akcelerometrów nie działają. Dodatek jest nakładany tylko podczas obracania, co pozwala na rozłupywanie i samodzielną ocenę odchyleń żyroskopów i akcelerometrów. Przykładem tego, jak możesz pracować, jest mój artykuł. Oś dziecka to:

Asystent układania: co z filtrem Kalmana?

Nie mam pojęcia, jakie filtry są tutaj opisywane, a być może na pewno będą miały pierwszeństwo przed tradycyjnym filtrem Kalmana tak szybko, jak to możliwe, zwartość kodu i doskonałość kodu - dla kogo smród został stworzony. Biorąc pod uwagę dokładność oceny, wszystko nie jest takie proste. Nie odszedłem zbyt daleko, aby zaprojektować filtry Kalmana, tak jakby dokładnie odtwarzały filtr za pomocą wirtualnej platformy żyroskopowej. Majvik również przyniósł to, co najlepsze ze swojego filtra do yakihos Szacunki Kalmana. Jednak dla jednego i tego samego zadania szacowania orientacji można argumentować co najmniej tuzin różnych schematów filtra Kalmana, a dla skóry będzie niezmienna liczba opcji dostosowania. Nie mam innego powodu sądzić, że filtr Mahone lub Majvik jest dokładny. najlepszy możliwy Filtry Kalmana. I oczywiście dla podejścia kalmanistowskiego prestiż uniwersalności zawsze zostanie utracony: nie nakładamy dziennych sztywnych ograniczeń na określoną moc dynamiczną systemu, który jest oceniany.