Grupy cykliczne

Grupa cykliczna- Grupa, jak suwerenna podgrupa cykliczna. W tyłek 5.7 grupa może mieć cykliczną podgrupę H 5 \u003d G. Tse oznacza, że ​​grupa G jest grupą cykliczną. W jaki sposób element, który generuje cykliczną podgrupę, może również generować grupę. Ten element nosi nazwę „generator”. Podobnie jak g - generator, elementy końcowej grupy cyklicznej można zapisać tak:

(e, g, g 2, ....., g n-1), de gn = e.

Z całym szacunkiem, grupa cykliczna może matkować wiele generatorów.

Zdjęcie 5,9

a. Grupa G = - grupa cykliczna z dwoma generatorami, g = 1 i g = 5 .

b. Grupa - cykliczna grupa z dwoma generatorami, g = 3 i g = 7 .

Twierdzenie Lagrange'a

Twierdzenie Lagrange'a pokaż różnicę między porządkiem grupy a porządkiem podgrupy. Załóżmy, że G jest grupą, a H podgrupą G . Podobnie jak kolejność G i H - |G| oraz |H| , ważne, ważne aż do twierdzenia |H| udostępnij | G | . Dla aplikacji 5.7 | G | = 6 . Kolejność podgrup - | h1 | = 1, | H2 | = 3, | H3 | = 2 i |H4| = 6 . Oczywiście wszystkie zamówienia są dilnikami 6 .

Twierdzenie Lagrange'a może być więcej niż kilkoma dodatkami. Jeśli podano grupę G, to її rząd | G | , można łatwo przypisywać zamówienia potencjalnych podgrup, dzięki czemu można poznać dilnika. Na przykład kolejność grupy G = - Tse |17| . Dilniki 17 є 1 że 17. Tse oznacza, że ​​grupa może matkować tylko dwie podgrupy - neutralny element H 2 \u003d G.

Kolejność elementów

Kolejność elementów grupa porządkowa (a) (rząd (a)) ma najmniejszą liczbę całkowitą n taką, że a n = e . Innymi słowy: kolejność elementu to kolejność grupy, czyli sposób jej generowania.

Zdjęcie 5.10

a. Grupa G = , porządki elementów: porządek ord(0) = 1 , porządek ord (1) = 6 , porządek ord (2) = 3 , porządek ord (3) = 2 , porządek ord (4) = 3 , porządek ord (5) = 6.

b. Grupa G = , porządek elementów: porządek ord (1) = 1 , porządek ord (3) = 4 , porządek ord (7) = 4 , porządek (9) = 2 .

• 1. Grupa Z całe liczby z operacji składania.
• 2. Grupa wszystkich złożonych korzeni kroku n od jednego do operacji mnożenia. Izomorfizm liczby cyklicznej Oskilki

grupa jest cykliczna i tworzony jest element.

Mój bachimo, że grupy cykliczne mogą być zarówno endemiczne, jak i niesyntetyczne.

3. No dalej - dobra grupa i dobry żywioł. Bagato to grupa cykliczna z satysfakcjonującym pierwiastkiem g. Nazywa się to cykliczną podgrupą generowaną przez element g, a ta kolejność jest porządkiem elementu g. Zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a, rząd elementu jest rozszerzaczem grupy. Fermentacja

co kryje się za formułą:

Najwyraźniej przez homomorfizm ten obraz її to zbіgaєtsya. Vidobrazhennya jest sur'iektywnie taka sama i mniej taka sama, jeśli grupa G- cykliczny g Ustalam element. Który sposób nazywamy standardowym homomorfizmem dla grupy cyklicznej? G ze skręconym skrętem g.

Zastosovuyuchi w ten sposób twierdzenie o homomorfizmie, bierzemy pod uwagę znaczenie mocy grup cyklicznych: czy grupa cykliczna jest rangą homomorficzną. Z .

Miej jakąś grupę G może być wyznaczony krok element z wieloma wskazaniami:

Niech miejsce mocy

Tse oczywiście, yakscho . Spójrzmy na vipadok, jeśli . Todi

Podobnie patrzy się na inne tendencje.

З (6) krzyczeć, sho

Krіm ponadto dla mianowanych. W tej kolejności poziom elementu określa podgrupę grupy G. Vaughn nazywa się podgrupa cykliczna generowana przez element, i jest wskazany przez .

Zasadniczo istnieją dwie możliwe różnice: albo wszystkie etapy elementu są różne, albo nie. W pierwszym typie podgrupa nie jest chuda. Rzućmy okiem na inny aspekt.

Dalej ,; To samo. Najmniej liczb naturalnych t, dla tych, którzy są w ten sposób powołani w celu element i jest wskazany przez .

propozycja 1. Yakscho , następnie

dowód. 1) Dziel m na P za dużo:

Przejdź przez wyznaczone zamówienie

Ze względu na do przodu

Ostatni, ubiegły, zeszły. Yakshcho, podgrupa mo revenge n elementów.

Dowód. Prawdziwe,

ponadto wszystkie elementy są inne.

To ma vipadkę, jeśli nie masz takiej naturalnej t, scho (tobto może być pierwszym z powyższych opisów), vvazhayut . Vіdmitimo, scho; rzędy wszystkich pozostałych elementów grupy są większe niż 1.

W grupie dodatków nie mówimy o stopniu pierwiastka , o jodze wielokrotności yaki oznacza przez . W zależności od kolejności elementu grupy dodatków G- najmniejsza z liczb naturalnych t(jak wiadomo), dla tych

ZASTOSOWANIE 1. Cechą tego pola jest kolejność dowolnego niezerowego pierwiastka w i-tej grupie dodatków.

TYŁ 2. Oczywiste jest, że grupa kіntsevoi ma kolejność dowolnego elementu kіtsevy. Zostanie pokazane, jak obliczane są rzędy elementów w grupie.Zastąpienie nazywa się cykl dozhini i signify przez yakscho wygrywał cyklicznie przearanżować

i reshta w każdym miejscu. Oczywiste jest, że kolejność cyklu jest lepsza nar. Nazywam się cyklami niezależny, nawet wśród liczb, które faktycznie są przez nie przestawiane, nie ma zbyt wielu skandalicznych; w którym kierunku? . Czy to jako substytut, jest to jednoznacznie przedstawione w telewizji niezależnych cykli. Na przykład,

co jest wyraźnie pokazane maleństwu, co przedstawiają strzałki. W ten sposób substytucja jest ułożona w telewizji niezależnych cykli dożynów , następnie

ZASTOSOWANIE 3. Kolejność liczby zespolonej w grupie kіntsevy jest parzysta i sprawiedliwa, jeśli liczba jest korzeniem tego samego świata jedności, więc z własną czernią może być taka sama i tylko wtedy, jeśli porіvnyaєmo z , tobto. .

ZASTOSOWANIE 4. Znamy elementy ostatecznego porządku grupy ruin mieszkania. Dalej. Bo bez względu na to, jaki jest punkt,

obracaj się cyklicznie , więc jaki jest środek ciężkości o niesforne schodo. Otzhe, - lub zwróć się do cięcia umysłu wokół punktu o, w przeciwnym razie powinno być możliwe przejście linii prostej o.

TYŁ 5. Znamy kolejność macierzy

jak element grupy. Maymo

Więc co. Oczywiście ten tyłek jest specjalnie dobrany: zdolność tego, że kolejność sukcesu matrycy będzie ostateczna, bardziej równa zeru.

propozycja 2. Yakscho , następnie

Dowód. Dalej

Więc co. Maymo

Ojciec, .

Spotkanie 1 . Grupa G nazywa cykliczny jak używać takiego elementu , Co . Taki element nazywa się element nadrzędny groupie G.

ZASTOSOWANIE 6. Dodatkowa grupa liczb całkowitych jest cykliczna, odłamki są generowane przez element 1.

ZASTOSOWANIE 7. Dodatkowa grupa wsparcia dla modułu nє cykliczne, odłamki są generowane przez element.

ZASTOSOWANIE 8. Grupa multiplikatywna złożonego pierwiastka n-tego kroku z 1 cyklicznością. Rzeczywiście, podstawowa esencja liczb

To jasne, co . Z tej samej grupy jest generowany przez element.

Łatwo jest bachiti, który jest w niewyczerpanej, cyklicznej grupie pierwiastków, które można wygenerować, tylko kilka. Tak więc w grupie Z elementy rodzicielskie mają więcej niż 1 i - 1.

Liczba elementów w końcowej grupie G o nazwie її w celu jest wskazana przez. Kolejność końcowej grupy cyklicznej jest taka sama jak kolejność generowanego elementu її. Do tego z propozycji 2 płacz

Twierdzenie 3 . Element grupy cyklicznej rząd n generuje trochę i tylko trochę, jeśli

ZASTOSOWANIE 9. Nadrzędne elementy grupy nazywają się podstawowe korzenie n krok od 1. To jest korzeń umysłu , de. Na przykład pierwszy korzeń 12. kroku od 1.

Grupy cykliczne to najprostsze grupy, dzięki czemu możesz się zidentyfikować. (Zwłaszcza smród Abelów.) Kolejne twierdzenie podaje jego nowe opisy.

Twierdzenie 1. Czy grupa nieskończenie cykliczna jest grupą izomorficzną. Bądź jak cykliczna grupa Kіntseva jest w porządku n izomorficzna z grupą.

dowód. Ponieważ jest to nieoskórowana grupa cykliczna, to poprzez wzór (4) jest to izomorfizm.

Chodźmy - grupa kіntseva tsiklіchna w porządku P. Patrzymy na obraz

wtedy wyświetlacz jest prawidłowo przypisany i obiektywnie. moc

viplyvaє іz tієї zh formuła (1). W tym rankingu - izomorfizm.

Twierdzenie zostało zakończone.

Dla zrozumienia bycia grupą ważną rolę odgrywa wiedza o podgrupie. Wszystkie podgrupy grupy cyklicznej można łatwo opisać.

Twierdzenie 2. 1) Bądź podgrupą cyklicznej grupy cyklicznej.

2) Grupa cykliczna jest w porządku n uporządkuj, czy podgrupy mają się dzielić n i dla dowolnej liczby dilnik q n Istnieje dokładnie jedna podgrupa rzędu q.

dowód. 1) Nehai - cykliczna grupa i H- її podgrupa, vіdmіnna vіd (oczywiście pojedyncza podgrupa, cykliczna.) . Dalej t- najmniejsza z liczb naturalnych, dla tych . Daj nam znać, że . Dalej . Podilimo zanim na t za dużo:

gwiazdki z wyznaczonej daty t następny, scho th, później, .

2) Jakscho , potem prześlij mirkuvannya, zastosovane do ), Pokaż co . Z kim

і Hє pojedyncza kolejność podgrup q w grupie G. plecy, jakscho q- bądź dilnikem liczby Pі , potem podwielokrotność H, zrównoważenie vynachaetsya (9), porządek podgrupy q. Twierdzenie zostało zakończone.

Konsekwencja . W grupie cyklicznej o prostym porządku, niezależnie od tego, czy nie jest sama, podgrupa biegnie z drugą grupą.

ZASTOSOWANIE 10. W grupie, czy to podgrupie, mogę patrzeć, de.

ZASTOSOWANIE 11. W grupie pierwiastków n-tego kroku z 1 bądź podgrupą grupy pierwiastków q- krok od 1, de.

Spójrzmy na multiplikatywną grupę wszystkich lub dwóch kroków po dwa (2Z, ), de 2Z = (2n | P eZ). Analogiem grupy addytywnej my є jest grupa addytywna bliźniaczych liczb całkowitych (2Z, +), 2Z = (2n | pe Z). Grupy Damo zagalne vyznachennya, okremi niedopałki takich grup є danі.

Powołanie 1.8. Grupa multiplikatywna (G,) (Grupa dodatków (G, +)) nazywa się cykliczny jakby sumować się z wymaganej liczby kroków (w zależności od liczby punktów) jednego elementu a e G, Tobto. G=(Ap | pe Z) (vіdpovіdno, G - (pa | pe Z)). Oznaczenie: (a), czytać: grupa cykliczna generowana przez element a.

Przyjrzyjmy się temu.

• 1. Końcówka multiplikatywnej nieskalującej grupy cyklicznej może być grupą wszystkich cykli o stałej liczbie całkowitej F±1, wygrana wskazana i r. w taki sposób, i d - (a).
• 2. Końcem multiplikatywnej końcowej grupy cyklicznej jest grupa C pierwiastków n-tego kroku od jednostki. Zgadywanie, że korzeń n-tego kroku jest sam

za formułą e k= cos---hisin^-, de przed = 0, 1, ..., P - 1. Slajd- pp

tak naprawdę, З„ = (е x) = (е x = 1, e x, ef = e 2 ,..., e "-1 =? „_ x). Domyślamy się, że liczby zespolone e do, do = 1, ..., P - 1, są przedstawione za pomocą punktów pojedynczej stawki P równe części.

• 3. Charakterystycznym przykładem addytywnej nieskalującej grupy cyklicznej jest addytywna grupa liczb całkowitych Z, która jest generowana przez liczbę 1, czyli. Z = (1). Geometrycznie pojawia się na widok całych punktów linii numerycznej. W rzeczywistości tak przedstawia się sama grupa multiplikatywna 2 7 - = (2) a z \u003d (a), numer decyla F±1 (podział rys. 1.3). Jakość obrazów omówiono w paragrafie 1.6.
• 4. Vibero w dużej grupie multiplikatywnej G aktywny element a. Wtedy wszystkie cykle etapów elementu spełniają cykliczną podgrupę (a) = (a pp e Z G.
• 5. Można wykazać, że addytywna grupa liczb wymiernych Q sama w sobie nie jest cykliczna, ale niezależnie od tego, czy dwa pierwiastki leżą w podgrupie cyklicznej.

A. Udowadniamy, że grupa dodatków Q nie jest cykliczna. Dopuszczalne niedopuszczalne: niech Q = (-). Podstawowa liczba docelowa b,

nie udostępniaj tych. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, a następnie istniejący

b t/ (t J

є liczba tsile gs 0, więc - = n 0 -. Ale todi m = n 0 kb

gwiazdy t:- super-ostrość dіyshli.

B. Załóżmy, że dwie dość wymierne liczby -

h „ /1

i - nakładają się na podgrupę cykliczną (-), de tє znaleźć- d t/

mniej niż duża wielokrotność liczb bі d. Racja, nie róbmy tego m-bi

, a 1 /1 h cv 1/1

ja m = śr, u, v e Z, wtedy ja - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b ja t t/ a dv t t/

Twierdzenie 1.3. Kolejność grupy cyklicznej jest taka sama jak kolejność elementu macierzystego grupy, tobto.|(a)| = | |.

Dowód. 1. Chodź | = ">. Wiemy, że wszystkie naturalne kroki żywiołu a różne. Dopuszczalne niedopuszczalne: chodź a k = a tі 0 do Todi t - zanim- liczba naturalna a t ~ do = e. Ale tse superechit do tego, scho | a = ° °. W ten sposób wszystkie naturalne kroki żywiołu a raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst group (a). Otzhe, | (a)| = ° ° = | |.

2. Chodź | | = n. (a) \u003d (e - 0, a, 2,..., a "-1). Od oznaczenia grupy cyklicznej, włączenie (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Włączmy to. Dodatkowy element grupy cyklicznej (a) może wyglądać w, de ti Z. Udostępnianie sznapsów w nadmiarze: m-nq + r, de 0 p. Oskilki a n = e, następnie w = a p ja + g \u003d p h? a r = a r e(o 0, o, 2 ,..., "- 1). -1).

Konieczne jest doprowadzenie do pomnożenia wszystkich elementów (a 0, a, 2 ,..., a "-1) różne. Dopuszczalne niedopuszczalne: niech 0 i P, ale a" = a). To samo wino - e ta 0 j - i - dіyshli super-ostrość z umovoy | | = P. Twierdzenie zostało zakończone.