FUNKCJA DELTA

Wizyta, umówione spotkanie. funkcja delta

(2.1)

a ograniczona funkcja

Rys.1. funkcja delta

racjonowanie Umov

, . (2.2)

a, jak pokazano na rysunku 1, b

parowanie funkcji płacz (2.1)

. (2.2a)

, (2.2b)

jaka yiplyaє z fot. 1, b.

ortonormalność. Niefunkcjonalne funkcje

FUNKCJE DELTA mocy

Moc filtrowania

do przyjęcia

b, wiemy

,

, . (2.5)

Ortonormalność do podstawy

W (2.5) to ważne

, ,

. (2.7)

wygrać

,

, (2.8)

dowód

Przebaczenie kłótni

Yakshcho - funkcja root Również

. (2.9)

dowód

.

Na małych obrzeżach spreadu y Taylor rząd

i między pierwszymi dwoma dodankami

Vikoristovuemo (2.8)

Ewentualnie funkcje całkowe i otrimuemo (2.9).

Zgortka

3 fałdy gardła (1.22)

,

w do przyjęcia

.

Drogi , jestem znany

ta (2,35a) daj

. (2,35b)

do przyjęcia

. (2.36a)

ta (2.36a) daj

. (2.36b)

. (2,37a)

do przyjęcia

. (2,37b)

Funkcja grzebienia

(2.53)

Model nie jest otoczony siecią krystaliczną, anteną i innymi strukturami okresowymi.

Po przekształceniu Fur'є funkcja grzebienia jest przekształcana w funkcję grzebienia.

,

(2.8)

do przyjęcia

. (2.54)

moc

funkcja pary

,

okresowy

,

Kropka. Filtrowanie funkcji delta mocy tak

. (2.55)

Four'e-obraz

Dla funkcji okresowej z okresu L Fur'є-obraz jest wyrażony przez współczynnik Fur'є

, (1.47)

, (1.49)

Dla funkcji grzebienia częstego z okresem jest to konieczne

,

de strzeżony przez moc filtrowania funkcji delta. Z (1.47) znany obraz Four'e

. (2.56)

Czterokierunkowa funkcja grzebienia (funkcja grzebienia).

Z (2.56) dla twierdzenia Czwórki o przekształceniu skali argumentu konieczne jest

. (2.59)

Poprawa w okresie funkcji czesania ()zmienić okres i zwiększyć amplitudę widma .

Czwarty rząd

Vikoristovuemo

Do , bierzemy

FUNKCJA DELTA

Wizyta, umówione spotkanie. funkcja delta

model punktu oburennego i pojawia się na widoku

(2.1)

Funkcja jest równa zero we wszystkich punktach, ale argument jest równy zero, a funkcja nie jest ograniczona, jak pokazano na rys. jeden, a. Ustawienie wartości w punktach argumentu jest niejednoznaczne poprzez odwrócenie її na niespójność, więc funkcja delta jest ograniczona funkcja i vymagaє dovyzanchennya przy racjonowaniu viglyadі.

Rys.1. funkcja delta

racjonowanie Umov

, . (2.2)

Obszar pod wykresem funkcji jest bardziej stabilny w dowolnym przedziale, aby pomścić punkt a, jak pokazano na rysunku 1, b. Dlatego funkcja delta modeluje wartość pojedynczego punktu.

parowanie funkcji płacz (2.1)

. (2.2a)

Z symetrii szerokiej gamy punktów jest to możliwe

, (2.2b)

jaka yiplyaє z fot. 1, b.

ortonormalność. Niefunkcjonalne funkcje

ustalić ortonormalną podstawę bez skóry.

Funkcja delta została zarejestrowana w optyce Kirchhoffa w 1882 roku, w teorii elektromagnetycznej - Heaviside'a w latach 90. XIX wieku.

Gustav Kirchhoff (1824-1887) Oliver Heaviside (1850-1925)

Oliver Heaviside jest samoukiem, który jako pierwszy nauczył się wektorów fizyki, opracował analizę wektorową, zrozumiał operator i opracował obliczenia operacyjne - operatorową metodę tworzenia równań różniczkowych. W funkcji inkluzji nazwałem ją później po nazwie, zamiast funkcji impulsu punktowego - funkcja delta. Liczby zespolone Zastosuvava teorii lanc elektrycznych. Wcześniej, po zapisaniu równych Maxwella, spojrzał na 4 równe i zastąpił 20 równych, tak jak Maxwell. Nowe warunki: przewodnictwo, impedancja, indukcyjność, elektret . Po opracowaniu teorii połączenia telegraficznego z wielką panoramą, przenoszącą obecność na Ziemi do jonosfery - kuli Kennelly'ego-Heaviside'a.

Matematyczną teorię zaawansowanych funkcji opracował Sergiy Lvovich Sobolev w 1936 roku. Vin był jednym z założycieli Akademii Nowosybirskich. Yogo im'yam nosi nazwę Instytutu Matematyki SB RAS.

Siergiej Lwowicz Sobolew (1908-1989)

FUNKCJE DELTA mocy

Moc filtrowania

Dla funkcji gładkiej, której nie można rozwinąć, (2.1)

do przyjęcia

Vvazhayuchi i delta vikoristovuyuchi działają jako mezhі w , pokazane na ryc. jeden, b, wiemy

,

Integracja daje moc filtrowania w postaci integralnej

, . (2.5)

Ortonormalność do podstawy

W (2.5) to ważne

, ,

i jest akceptowalna dla ortonormalności psychicznej bazy o widmie bezprzerwowym

. (2.7)

Transformacja skali argumentu

wygrać

,

, (2.8)

dowód

Całkowanie funkcji delta z funkcją gładką w przedziale, de:

de zrobleno zamіnu zmіnnoї i organ filtrujący vikoristano. Podano stosunek kolb i wirusów terminalnych (2,8).

Przebaczenie kłótni

Yakshcho - funkcja root Również

. (2.9)

dowód

Funkcja vіdmіnna vіd zero rzadko w pobliżu punktów, w punktach tsikh nie jest ograniczona.

W celu poznania vagi, z którą występuje niespójność, jest ona całkowalna z gładką funkcją przedziału. Nierówne zero, przyczyniają się mniej w pobliżu punktów

. , (2.10) .. (2,35a)

Twierdzenie Four o użyciu argumentu

ta (2,35a) daj

. (2,35b)

3 (1.1) i integralna manifestacja (2.24)

do przyjęcia

. (2.36a)

Twierdzenie Four o załamaniu fazowym funkcji

ta (2.36a) daj

. (2.36b)

3 (2.35a) twierdzenie Four o różniczkowaniu

. (2,37a)

3 (2.36a) twierdzenie Four o mnożeniu przez argument

do przyjęcia

. (2,37b)

Wizyta, umówione spotkanie. funkcja delta

,

model punktu oburennego i pojawia się na widoku

(2.1)

Funkcja osiąga zero we wszystkich punktach, krim
, De її argument jest równy zero, a de funkcja nie jest ograniczona, jak pokazano na rys. jeden, a. menedżer
wartości w punktach argumentacji są niejednoznaczne poprzez її odwrócenie do niespójności, czyli funkcja delta є ograniczona funkcja i vymagaє dovyzanchennya przy racjonowaniu viglyadі.

Rys.1. funkcja delta

racjonowanie Umov

,
. (2.2)

Obszar pod wykresem funkcji jest bardziej stabilny w dowolnym przedziale, aby pomścić punkt a, jak pokazano na rysunku 1, b. Dlatego funkcja delta modeluje wartość pojedynczego punktu.

parowanie funkcji płacz (2.1)

,

. (2.2a)

3 symetrie
punkty Shodo
do przyjęcia

, (2.2b)

jaka yiplyaє z fot. 1, b.

ortonormalność. Niefunkcjonalne funkcje

,
,

ustalić ortonormalną podstawę bez skóry.

Funkcja delta została zarejestrowana w optyce Kirchhoffa w 1882 roku, w teorii elektromagnetycznej - Heaviside'a w latach 90. XIX wieku.

Gustav Kirchhoff (1824-1887) Oliver Heaviside (1850-1925)

Oliver Heaviside jest samoukiem, który jako pierwszy nauczył się wektorów fizyki, opracował analizę wektorową, zrozumiał operator i opracował obliczenia operacyjne - operatorową metodę tworzenia równań różniczkowych. W funkcji inkluzji nazwałem ją później po nazwie, zamiast funkcji impulsu punktowego - funkcja delta. Liczby zespolone Zastosuvava teorii lanc elektrycznych. Wcześniej, po zapisaniu równych Maxwella, spojrzał na 4 równe i zastąpił 20 równych, tak jak Maxwell. Nowe warunki: przewodnictwo, impedancja, indukcyjność, elektret . Opracowawszy teorię komunikacji telegraficznej na wielkiej autostradzie, przenosząc manifestację Ziemi do jonosfery - Piłka Kennelly'ego Heaviside'a .

Matematyczną teorię zaawansowanych funkcji opracował Sergiy Lvovich Sobolev w 1936 roku. Vin był jednym z założycieli Akademii Nowosybirskich. Instytut Matematyki Syberyjskiego Oddziału Rosyjskiej Akademii Nauk został nazwany na cześć Yogo im'yama, którego założyciel i dyrektor urodził się w latach 1957-1983.

Siergiej Lwowicz Sobolew (1908-1989)

Dominujące funkcje delta Moc filtrowania

Dla sprawnej funkcji
, którego nie można opracować, (2.1)

do przyjęcia moc filtrowania funkcji delta w postaci różniczkowej , że jest tylko jeden punkt
:

Drogi
, a vicorist dla funkcji delta między at
, wskazania na małe. jeden, b. Znany

,

. (2.4)

Całkowalny (2.3) w przedziale
, który zawiera punkt a, normalizacja vrakhovuemo (2.2) funkcja delta mocy filtrowania w postaci całkowej

,
. (2.5)

Ortonormalność do podstawy

W (2.5) to ważne

,
,

i wziąć pod uwagę mentalną ortonormalność bazy
bez zakłóceń widma

. (2.7)

1. Pojedyncza funkcja inkluzji Heaviside'a, funkcja delta Diraca i ich główne moce

Sama funkcja Heaviside

Funkcja Heaviside (funkcja pojedynczego kroku, funkcja pojedynczego skoku, jednostka w zestawie) - funkcja kawałka-stała, która równa się zero dla ujemnych wartości argumentu i jedność dla dodatnich. Przy zerze funkcja nie jest przypisana; Jest to w większości nieistotne, ponieważ wartość funkcji jest ustawiona na zero, co może być pokonane przez różne wartości funkcji Heaviside, przydatne od cichszych, na przykład:

W szerszym zakresie:

Funkcja Heaviside'a jest szeroko stosowana w aparacie matematycznym teorii sterowania i teorii przetwarzania sygnałów do reprezentacji sygnałów, które przemieszczają się z godziny na godzinę. W statystyce matematycznej funkcja jest ustawiona na rejestrowanie empirycznej funkcji podziału.

Funkcja Heaviside'a jest podstawową funkcją delta Diraca, H" = δ, co można również zapisać jako:

funkcja delta

δ -funkcjonować(Inaczejfunkcja delta,δ -Funkcja Diraca, delta Diraca, funkcja pojedynczego impulsu;) pozwala zapisać rozpiętość przestrzeni o wielkości fizycznej (masa, ładunek, intensywność ciepła, siła itp.)

Na przykład wytrzymałość pojedynczej masy punktowej, która znajduje się w punktach a Przestrzeń euklidesowa jest zapisana dla pomocy funkcji δ przy patrzeniu na δ( x − a). Również zastosovna do opisu ładunku rozpodіlu, masi cienko na powierzchniach lub liniach.

Funkcja δ jest funkcją ograniczoną, tse oznacza, że ​​formalnie nie występuje jako nieprzerwany funkcjonał liniowy w przestrzeni funkcji różniczkowanych.

Funkcja δ nie jest funkcją w sensie klasycznym, nie jest ważne pokazanie ciągu największych funkcji klasycznych, które słabo zbiegają się do funkcji .

Można odróżnić jedną i bogatą funkcję delta, pozostałe można przedstawić na widok drugiej w kilkost, który jest bardziej przestronny, na którym wyznaczono bogaty rozcieńczenie.

moc

Pierwotna jednowymiarowa funkcja delta to funkcja Heaviside'a:

Funkcje delta filtrowania mocy:

2. Filtrwyższe częstotliwości(HPF)- filtr elektroniczny lub inny, który przepuszcza wysokie częstotliwości sygnału wejściowego, przy czym częstotliwość jest mniejsza, częstotliwość jest niższa. Stupin zadushennya położyć się w rodzaju filtra. Filtr pasywny - filtr elektroniczny, który składa się z mniej niż elementów pasywnych, takich jak np. kondensatory i rezystory. Filtry pasywne nie wymagają energii do swojego działania. Z punktu widzenia filtrów aktywnych i filtrów pasywnych nie ma siły sygnału w napięciu. Filtry pasywne Mayzhe zavzhdi є liniowe.

Najprostszy elektroniczny filtr górnoprzepustowy składa się z kolejno połączonych kondensatorów i rezystorów. Kondensator przepuszcza tylko mały strumień, a napięcie wyjściowe jest pobierane z rezystora. Zależność od pojemności (R × C) є stała godzina dla takiego filtra, ponieważ jest on owinięty proporcjonalnie do częstotliwości widzenia w hercach.

(Abo tak)

Konwertuj charakterystykę dolnoprzepustową na charakterystykę górnoprzepustową istnieje możliwość dodatkowej zamiany zmiany: de n - częstotliwość graniczna

Przerobienie schematów pasywnychLC- filtry. Zastąpienie zmiany (2,31) i (2,32) w virase dla kwadratu odpowiedzi częstotliwościowej | Hp(j) | W trakcie realizacji tej funkcji przed konwersją obwodu filtra dolnoprzepustowego na filtr górnoprzepustowy i obwody PF należy stworzyć 2 filtry dolnoprzepustowe. Indukcyjna opir LPF j n.w. L n.w.

Przewodność: zamienia na przewodność indukcyjną filtra wysokiej częstotliwości o indukcyjności L h.h = 1/n 2 C n.h.

Konwersja transmitancji aktywnych filtrów RC. W aktywnych filtrach RC, aby przejść z transmitancji prototypu filtra dolnoprzepustowego do transmitancji filtra górnoprzepustowego i PF, następnym krokiem jest zmiana zespolonej zmiany r. Z (17.31) jest wymagany dla HPF

lub (17,34) de nh = nh/n i vh = vh/n.

(Abo jaka pisali na fakultatywach)

Wejście

Rozwój nauki będzie wymagał bardziej teoretycznego ugruntowania Dedala niż „wysokiej matematyki”, jednego z osiągnięć bardziej wyrafinowanej funkcji, rdzenia funkcji Diraca. W tej godzinie teoria zaawansowanych funkcji jest istotna w fizyce i matematyce, tak jak szereg cudownych mocy, które poszerzają możliwości klasycznej analizy matematycznej, poszerzają liczbę rozpatrywanych zadań, a wcześniej doprowadzają do znaczących uproszczeń w obliczeniach automatyzacja podstawowych operacji.

Cele tej pracy:

1) zrozumieć funkcje Diraca;

2) przyjrzeć się fizycznym i matematycznym podejściom do її nominacji;

3) pokaż zastosuvannya na znakhodzhennya pokhіdnyh rozrivnyh funktsіy.

Zadania pracy: pokazać możliwości wykorzystania funkcji delta w matematyce i fizyce.

Robot ma wiele sposobów na wyznaczenie wprowadzenia funkcji delta Diraca i zatrzymanie godziny terminu.

Funkcja Diraca

W różnych zastosowaniach analizy matematycznej termin „funkcja” powinien być kojarzony z różnym stopniem senności. W niektórych przypadkach są one brane pod uwagę bez przerwy, ale nie są funkcjami zróżnicowanymi, w innych przypadkach uwzględnia się funkcje, które są różnicowane raz lub kilka razy itp. Jednak na wiele sposobów klasycznie rozumiane funkcje są interpretowane w najszerszym sensie, czyli. z reguły, którą należy uznać za wartość skóry x z obszaru funkcji spotkania jako liczbę y \u003d f (x), wydaje się być niewystarczająca.

Oś jest ważnym tyłkiem: stagnacja aparatu analizy matematycznej aż do cichych zadań chi inshih, musimy pozostać przy takim obozie, jeśli te operacje analizy chi inshi wydają się niezadowalające; na przykład funkcja, która nie może być zabawna (w niektórych momentach lub możesz ją znaleźć), nie możesz rozróżnić, tak jakby to było podobne do rozumienia jako funkcji elementarnej. Trudności tego typu można by uniknąć, popadając w obsesję patrzenia na nic poza funkcjami analitycznymi. Z tego powodu zasób dopuszczalnych funkcji często nie wystarcza. Szczególnie dotkliwa stała się potrzeba dalszego poszerzania rozumienia funkcji.

W 1930 roku, dla rozwoju fizyki teoretycznej, największy angielski fizyk teoretyczny P. Dirac, jeden z twórców mechaniki kwantowej, nie otrzymał aparatu matematyki klasycznej, a nowego obiektu, nazw „delta-funkcjonalny”, który wyszedł daleko poza klasyczną funkcję przypisaną.

P. Dirac w książce „Zasady mechaniki kwantowej” wyznaczając funkcję delta q(x) jako rangę ofensywną:

Ponadto umysł pyta:

Na początku można zwizualizować wykres funkcji podobnej do q(x), jak pokazano na maleńkim 1. Im węższa jest samica między lewą a prawą igłą, tym większa może być samica, więc że obszar samicy (całka) przyjmuje daną wartość, powodzenia 1. Po ślubie zbliżamy się do wdowy q(x) = 0 w x? 0 funkcja zbliża się do funkcji delta.

Taka manifestacja jest zagalnopriynyat w fizyce.

Następny głos, scho q(x) nie jest funkcją w pierwotnym sensie, ale znaczenie skrótu jest niejasno świadome wyglądu klasycznej funkcji całki:

w і.

Analiza klasyczna nie pełni żadnej funkcji, lecz moc autorytetu propagowanego przez Diraca. Mniej niż szprota skały w robotach S.L. Funkcja delta Sobolewa i L. Schwarza odebrała jej matematyczną formę, ale nie jako funkcję, ale jako funkcję uogólnioną.

Najpierw przejdź do zbadania funkcji Diraca, wprowadzimy główne definicje tego twierdzenia, ponieważ potrzebujemy:

Oznaczenie 1. Obraz funkcji f(t) lub L - obraz danej funkcji f(t) nazywamy funkcją zmiany zespolonej p, która jest równa:

Spotkanie 2. Funkcjonować f(t), definiuje się następująco:

nazywa pojedyncza funkcja Heaviside jest wskazana przez. Wykres tej funkcji pokazano na rys. 2

Wiemy L- obraz funkcji Heaviside'a:

Niech funkcja f(t) w t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Dla istotności obrazu d(x) dla dodatkowej funkcji pomocniczej rozważymy twierdzenie o opóźnieniu:

Twierdzenie 1. Jeżeli F(p) jest obrazem funkcji f(t), to obraz funkcji f(t-t 0 ), tak że L(f(t))=F(p), wtedy .

Dowód.

Do celów obrazu proszę

Pierwsza całka jest równa zero, odłamki f(t-t 0 )=0 w t 0 . W pozostałej części całki zmieńmy zmianę t-t 0 =z:

W taki sposób,

Dla pojedynczej funkcji Heaviside zainstalowano to. Z gotowego twierdzenia następną rzeczą jest to, że funkcje, L- pokażę ci

Spotkanie 3. Funkcja nieprzerwana lub shmatkovo-bezperervna d(t,l) argument t, co wpłacić jako parametr ja, nazywa golkopodіbnuyu, tak jak:

Spotkanie 4. Funkcja numeryczna f, przypisane do rzeczywistej przestrzeni liniowej L, Nazwa funkcjonalność.

Ustaw kolejność cichych funkcji, które mają funkcje diyatimut. Yak qiu sukupnіst wygląda bezosobowo K wszystkie funkcje mowy c(x), skóra z niektórych może być nieprzerwanie gorsza we wszystkich rzędach i skończona, tak że postawa tak ograniczonego obszaru (własnego dla funkcji skóry) spada do zera c(x)). Funkcje są nazwane Główny i wszyscy sukupnist Zanim - główna przestrzeń.

Spotkanie 5. Poinformowana funkcja wywoływany jest dowolny liniowy nieprzerwany funkcjonał, przypisania w przestrzeni głównej Zanim.

Rozszyfrowanie przypisanej funkcji:

1) funkcja jest nadpisana fє funkcjonalność na głównych funkcjach c, potem skóra c zestaw (złożony) numer (f, c);

2) funkcjonalność f liniowy, czyli dla dowolnych liczb zespolonych ja 1 і ja 2 niektóre z głównych funkcji c 1 і c 2 ;

3) funkcjonalność f bezperervny, tobto yakscho.

Spotkanie 6.Impuls- jednokrotne, krótkogodzinne strzyżenie o napięciu elektrycznym strumu chi.

Spotkanie 7.Klasa średnia- Vіdnoshennia masi tіla m joga V, następnie .

Twierdzenie 2.(Twierdzenie o wartości średniej zostało zrewidowane).

Jeżeli f(t) jest nieprzerwane, a funkcja jest scałkowana na , to nie zmienia to znaku, na którym.

Twierdzenie 3.Niech funkcja f(x) będzie oznaczona i może być trzy razy większa niż ostatnia liczba punktów do otwarcia. Jeżeli ta sama funkcja jest pierwotna dla funkcji f(x), to formuła.

Spotkanie 8. Uzupełnienie udanych niestałych funkcjonałów liniowych, przypisanych do śpiewającej przestrzeni liniowej mi, tworząc przestrzeń liniową. Nazywa się to przestrzenią, pov'yazanim h mi i jest wskazany mi * .

Spotkanie 9. Przestrzeń liniowa mi, dla którego podana jest ścisła norma, nazywa się to racjonowanie według przestrzeni.

Spotkanie 10. Sekwencja nazywa się zbiegają się słabo do, jak w przypadku skórnej vikonano spіvvіdnoshennia.

Twierdzenie 4.Yakscho (x n ) jest ciągiem słabo zbieżnym w przestrzeni unormowanej, to mamy taką stałą liczbę C, która .