Pilsēta pie metro

Kā apzīmēt, chi є vektorus un lineāros papuves. Vektoru sistēmas lineārā neatkarība un lineārā neatkarība. Uzdevumu risinājumu pielietot vektoru lineārajai neatkarībai vai lineārajai neatkarībai

Aiziet L- gara lineāra telpa, a i Î L- Jogo elementi (vektors).

Iecelšana amatā 3.3.1. Viraz , de , - skaitļi pirms runas, ko sauc par lineāru kombināciju vektors_v a 1 , a 2 ,…, a n.

Jakšo vektors R = , tad šķiet, ka R vektoru izkārtojumi a 1 , a 2 ,…, a n.

Iecelšana amatā 3.3.2. Tiek saukta lineāra vektoru kombinācija netriviāls yakscho starp cipariem є vēlas izmantot vienu vіdmіnne vіd nulli. Citā veidā lineāro kombināciju sauc triviāls.

Tikšanās 3.3.3 . Vektori a 1 , a 2 ,…, a n tiek saukti par lineāri papuvi, kas nozīmē, ka pastāv netriviāla lineāra kombinācija, piemēram,

= 0 .

Tikšanās 3.3.4. Vektori a 1 ,a 2 ,..., a n sauc par lineāri neatkarīgiem, piemēram, greizsirdību = 0 labāk ir vipadku, ja visi cipari l 1, l 2,…, l n pa nakti uz nulli.

Ir svarīgi, ka jebkurš elements, kas nav nulle a 1, var būt lineāri neatkarīga sistēma, l a 1 = 0 varbūt vairāk tavam prātam l= 0.

Teorēma 3.3.1. Nepieciešamā un pietiekamā garīgā lineārā papuve a 1 , a 2 ,…, a nє iespēja pēdējā pieturā izvietot vienu no šiem elementiem no pārējiem.

Pierādījums. Nepieciešamība. Ļaujiet elementiem a 1 , a 2 ,…, a n lineārie noguldījumi. Tse nozīmē ko = 0 , turklāt, ja vēlaties kādu no numuriem l 1, l 2,…, l n vіdminno vіd nulle. Nāc uz dziedāšanu l 1 ¹ 0. Todi

tātad elements a 1 izvērš aiz elementiem a 2 , a 3 , …, a n.

Pieejamība. Ļaujiet elementu a 1 sadalīt ar elementiem a 2 , a 3 , …, a n, tad a1 = . Todi = 0 , arī galvenā netriviālā vektoru lineārā kombinācija a 1 , a 2 ,…, a n, Rivna 0 tāpēc smaka ir lineāri atmatā .

Teorēma 3.3.2. Es gribu vienu no elementiem a 1 , a 2 ,…, a n nulles, q vektori un lineārās nogulsnes.

pierādījums . Aiziet a n= 0 todi = 0 kas nozīmē elementu nozīmes linearitāti.

Teorēma 3.3.3. Tikai vektora p vidus n (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Pierādījums. Ļaujiet elementiem a 1, a 2, ..., a lpp lineārie noguldījumi. Tse nozīmē, ka pastāv tāda netriviāla lineāra kombinācija, ka = 0 . Kapitāls ir norādīts kā saglabājams, lai abām daļām pievienotu elementu. Todi + = 0 ja vēlaties kādu no numuriem l 1, l 2,…, lp vіdminno vіd nulle. Atkal vektori a 1 , a 2 ,..., a nє lineāra papuve.

Pēdējā 3.3.1. Ja n elementi ir lineāri neatkarīgi, tad vai daži no tiem ir lineāri neatkarīgi (k< n).

Teorēma 3.3.4. Yakscho vektori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 lineāri neatkarīgi, un elementi a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , a n lineāri nogulsnēts, tad vektors a n var paplašināt ārpus vektoriem a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Pierādījums. Oskіlki prātam a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , a n lineāri papuvē, tad tā ir netriviāla lineāra kombinācija = 0 , turklāt (inakshe, lai būtu lineāri papuves vektori a 1 , a 2 ,…, a n- viens). Ale tody vektors

ko vajadzēja atnest.

Mēs ieviesām lineāras operācijas ar vektoriem lai dotu iespēju salocīt raznі vrazi par vektoru lielumi un pārveidot tos iestādēm, kas tika ieceltas šīm darbībām.

Izejošos no dotās vektoru kopas a 1, ..., a n var summēt formā

de a 1, ... un n ir labi skaitļi. Tsey viraz sauc vektoru lineāra kombinācija a 1, ..., a n. Skaitļi α i , i = 1, n , ir lineārās kombinācijas koeficienti. Vektoru kopa, lai nosauktu vairāk vektoru sistēma.

Saistībā ar vektoru lineāras kombinācijas jēdzienu ieviešanu problēma ir aprakstīt bezpersoniskos vektorus, kurus var ierakstīt šķietami lineārā dotās vektoru sistēmas a 1, ..., a n kombinācijā. Turklāt uztura likumi par prātu, kāda iemesla dēļ vektora izpausme lineāras kombinācijas izskatā, ka par šādas izpausmes vienotību.

Iecelšana amatā 2.1. Vektori a 1 ..., a n nosaukums lineārā papuve kā jums ir tāda koeficientu kopa α 1 , ... , α n , ka

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2.)

un, ja vēlaties, viens no šiem koeficientiem nav nulle. Ja nav piešķirta koeficientu kopa, tad tiek izsaukti vektori lineāri neatkarīgs.

Ja α 1 = ... = α n = 0, tad acīmredzot α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. un n ir lineāri neatkarīgs, jo vienādības (2.2) dēļ mēs redzam, ka visi koeficienti α 1 , ... , α n ir vienādi ar nulli.

Izvērstā teorēma izskaidro, kāpēc jaunais jēdziens tiek saukts par terminu "depozīts" (vai "neatkarība"), un sniedz vienkāršu lineāras papuves kritēriju.

Teorēma 2.1. Sob vektori a 1 , ..., a n , n > 1, ir lineāri atmatā, nepieciešami un pietiekami, tā ka viens no tiem ir citu lineāra kombinācija.

◄ Nepieciešamība. Pieņemsim, ka vektori ir a 1 ... un n ir lineāri nogulumi. Zgіdno s vznachennyam 2.1 lineārās nogulsnes, vienmērīgums (2.2) zlіva є vēlas vienu koeficientu, kas nav nulle, piemēram, α 1 . Atstājot pirmo dodanoku pie ekvivalences kreisās daļas, mēs to pārnesam uz labo daļu, mainot, kā ugunīgi, tiem ir zīmes. Otrimana ekvivalences dalīšana ar α 1 tiek noņemta

a 1 =-α 2 / α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tobto. vektora a 1 attēlojums kā citu vektoru a 2 , ..., a n lineāra kombinācija.

Pieejamība. Teiksim, piemēram, pirmo vektoru a var attēlot ar šķietami lineāru citu vektoru kombināciju: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Pārnesot visas noliktavas no labās puses uz kreiso, ņemam a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tad. lineāra vektoru kombinācija a 1 , ..., a n ar koeficientiem α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , vienāds nulles vektors.Šajā lineārajā kombinācijā ne visi koeficienti ir vienādi ar nulli. Vіdpovіdno līdz iecelšanai 2.1, vectori a 1 ..., un n lineāri noguldījumi.

Šī lineārās papuves kritērija mērķis ir formulēts tā, lai vienlaikus varētu būt divi vai vairāki vektori. Tomēr mēs varam runāt par viena vektora linearitāti. Lai realizētu šādu iespēju, nepieciešams "lineāro papuves vektoru" aizstāt ar vārdiem "vektoru sistēma ir lineāri papuvē". Nav svarīgi, vai tas ir saskaņots, jo “viena vektora sistēma ir lineāri atmatā” nozīmē, ka šis viens vektors ir nulle (lineārā kombinācijā ir tikai viens koeficients, un pie nulles nav vainojama vaina).

Lineārās papuves jēdzienu var vienkārši ģeometriski interpretēt. Šo interpretāciju precizē trīs apgalvojumi.

Teorēma 2.2. Divi vektori un lineāri papuves, un mazāk nekā citi, ja smird kolineārs.

◄ Lai gan vektori a un b ir lineāri izvietoti, viens no tiem, piemēram, a, tiek izteikts caur otru, tad. a = b decimālskaitlim λ. Vіdpovidno līdz tikšanās brīdim 1.7 izveidot vektori pēc skaitļa, vektori і b є ir kolineāri.

Let's tagad vektors un ta b kolіnearnі. Ja smaka aizskar nulli, tad ir acīmredzams, ka smirdēšana ir lineāri atmatā, lai tā būtu lineāra nulles vektora kombinācija. Lai viens no šiem vektoriem nebūtu vienāds ar 0, piemēram, vektors b. Zīmīgi, ka λ izteiksmē vektoru garumu pagarinājums: λ = |а|/|b|. Kolineārie vektori var būt viens tiešs vai iztaisnošana. Pārējā gadījumā λ zīme tiek mainīta. Pēc tam, mainot apzīmējumu 1.7, mēs vēlreiz apsveram, ka a \u003d b. Līdzīgi kā 2.1. teorēmā, vektori a un b ir lineāri kumulatīvi.

Cieņa 2.1. Divu vektoru gadījumā, vrakhovuyuchi lineārās papuves kritērijs, teorēmu var pārformulēt šādi: divi vektori ir kolineāri viens un tikai viens no tiem, ja viens no tiem ir attēlots kā otrs ar skaitli. Tas ir saprātīgs kritērijs divu vektoru kolinearitātei.

Teorēma 2.3. Trīs vektori ir lineāri papuvē, un mazāk, ja smird koplanārs.

◄ Ja ir trīs vektori a, b ar lineārām atkritumiem, tad, izmantojot 2.1. teorēmu, viens no tiem, piemēram, a, ir pārējo lineāra kombinācija: a = βb + γс. Aizdomīga vektora b i c vālīte punktā A. Tātad vektori βb, γc paralelograma noteikums їх summa, tobto. vektors a, bude vektors h cob A i vēlu, kas ir paralelograma virsotne, pamatojoties uz vektoriem-dodankіv. Tādējādi visi vektori atrodas vienā plaknē, t.i., tie ir vienā plaknē.

Pieņemsim, ka vektori a, b ir koplanāri. Ja viens no šiem vektoriem ir nulle, tad ir acīmredzams, ka vaina būs citu lineāra kombinācija. Pietiekami visi lineārās kombinācijas koeficienti ir jāpieņem vienādi ar nulli. Var teikt, ka visi trīs vektori nav nulles. Sumy uz vālītes tsikh vectorіv centrālajā punktā O. Iesim їх іх punkti būs tie paši punkti A, B, C (2.1. att.). Novelciet taisni caur punktu C, paralēli taisnēm, kas iet caur punktiem O, A un O, B. Norādījuši krustojuma punktus caur A" un B", ņemam paralelogramu OA"CB", arī OC " = OA" + OB" . OA" un nulles vektors a= OA ir kolineāri, un pirmais no tiem var būt skaitļa α:OA" = αOA atņemšana, reizinot otru. Tāpat OB" = βOB , β ∈ R. Rezultātā iespējams, ka OC" = α OA + βOB , tad vektors ir vektoru a un b lineāra kombinācija.

Teorēma 2.4. Be-yakі chotiri vectori linіyno zalezhnі.

◄ Pierādījums notiek pēc tās pašas shēmas kā teorēmā 2.3. Apskatīsim dažus vektorus a, b, c un d. Vai nu viens no diviem vektoriem ir nulle, vai arī to vidū ir divi kolineāri vektori, vai arī trīs no diviem vektoriem ir koplanāri, un šie divi vektori ir lineāri atmatā. Piemēram, tā kā vektori a un b ir kolineāri, mēs varam saskaitīt to lineāro kombināciju αa + βb = 0 ar koeficientiem, kas nav nulle, un pēc tam pievienot kombinācijai divus vektorus, par koeficientiem ņemot nulles koeficientus. Mēs atņemam vairāku vektoru lineāru 0 kombināciju, un tādā gadījumā ir koeficienti, kas nav nulle.

Tādā veidā mēs varam saprast, ka starp tiem nav nulles vektoru, divi nav kolineāri un trīs nav koplanāri. Par ārējo vālīti izvēlēsimies punktu O. Tad vektori a, b, c, d būs punkti A, B, C, D (2.2. att.). Caur punktu D novelciet trīs plaknes, kas ir paralēlas plaknēm ОВС, OCA, OAB un ļaujiet A", B", C" - šo plakņu krustošanās punkti ar taisnēm OA, OB, OS ir skaidri. B " DA", і vektori a, b, z atrodas uz jogo malām, kas iziet no virsotnēm O. Tātad, kā chotirikutnik OC "DC" ir paralelograms, tad OD \u003d OC "+ OC" . paralelograms OA"C "B", uz šo OC" = OA" + OB" un OD = OA" + OB" + OC" .

Jāpiemin, ka derību vektori OA ≠ 0 і OA" , OB ≠ 0 і OB" , OC ≠ 0 і OC" ir kolineāri, t.i., var izvēlēties arī koeficientus α, β, γ tā, lai OA" = αOA , OB" = βOB un OC" = γOC. Atlikušais OD = αOA + βOB + γOC. Arī vektors OD tiek izteikts, izmantojot trīs vektoru risinājumu, un visi trīs vektori saskaņā ar teorēmu 2.1 ir lineāri nogulsnēti.

Vektori, їх jauda un dії z tiem

Vektoru dії z vektori, lineāra vektora telpa.

Galīgo skaitļu secība ir sakārtota vektorā.

Dії: 1. Vektora reizināšana ar skaitli: lambda*vektors x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0,7)*3=(9, 12,0,21)

2. Saliekamie vektori (lai atrastos tajā pašā vektoru telpā) vektors x + vektors y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektors 0=(0,0…0)--n E n – n-pasaules (lineārās telpas) vektors x + vektors 0 = vektors x

Teorēma. Sāciet n vektoru sistēmu, n-pasaules lineārā telpa bija lineāri atmatā, vajadzīga un pietiekama, tāpēc viens no vektoriem būtu citu lineāra kombinācija.

Teorēma. Be-yaka sukupnіst n+ 1. vektors n- miermīlīgs lineārs plašums yavl. lineārā papuve.

Vektoru saskaitīšana, vektoru reizināšana ar skaitļiem. Vіdnіmannya vektorіv.

Divu vektoru summu sauc par vektoru, iztaisnojot no vektora vālītes līdz vektora beigām, lai prāts, ka vālīte ir no vektora gala. Tāpat kā vektori tiek iestatīti pēc to izkārtojumiem saskaņā ar pamatvienību vektoriem, vektorus salokot, tiek pievienotas to attiecīgās koordinātas.

Apskatīsim Dekarta koordinātu sistēmas piemēru. Aiziet

Parādīsim ko

Z baby 3 jūs to varat redzēt

Jebkuru vektoru gala skaita summu var atrast aiz bagatokutnika noteikuma (4. att.): lai inducētu vektoru beigu skaita summu, pietiek paņemt ādas aizskarošā vektora ausi ar priekšējā gala un inducē vektoru, kas aiz auss aiz pirmā vektora ar pēdējo no atlikušajiem.

Vektoru locīšanas darbības jauda:

Cich virase m, n ir skaitļi.

Vektoru starpību sauc par vektoru Vēl viens dodanok ir vektors, pretējs vektors aiz taisnes, bet vienāds ar vienu pēc otra.

Tādā veidā vektora pārvietošanas darbība tiek aizstāta ar locīšanas darbību

Vektoru, kura vālīte atrodas uz koordinātu vālītes, bet beigas - punktā A (x1, y1, z1), sauc par punkta A rādiusa vektoru i jeb vienkārši. Joga koordinātu šķembas ir nobīdītas no punkta A koordinātām, redzams jogo izkārtojums pa vektoriem

Vektors, kas var sākties punktā A(x1, y1, z1) un beigties punktā B(x2, y2, z2)

de r 2 - punkta rādiusa vektors; r 1 ir punkta A rādiusa vektors.

Tāpēc var redzēt vektora izkārtojumu vektoru izteiksmē

Jogo dozhina ir skaistāka starp punktiem A un B

REIZINĀT

Tātad plakana uzdevuma gadījumā vektors uz a = (ax; ay) uz skaitļa b atrodas aiz formulas

a b = (ax b; ay b)

Piemērs 1. Atrodiet vektora a = (1; 2) pieaugumu ar 3.

3a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Tātad telpas problēmas gadījumā vektora a = (ax; ay; az) pieaugums par skaitli b atrodas aiz formulas.

a b = (ax b; ay b; az b)

Piemērs 1. Atrodiet vektora a = (1; 2; -5) pieaugumu ar 2.

2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Skalārais dobootok vector_v that de-cut starp vektoriem ta; yakscho abo, tad

No skalārās radīšanas viedokļa jūs to saucat

de, piemēram, є vektora projekcijas vērtība tieši uz vektoru .

Skalārais kvadrāta vektors:

Skalārā radīšanas spēks:

Skalāra vērpjot koordinātēs

Jakšo tad

Kut mizh vektori

Izgriezt starp vektoriem – izgriezt starp taisnēm starp vektoriem (mazākais griezums).

Vektoru TV (divu vektoru vektora TV) tse pseidovektors, perpendikulāri plaknei, pobudovanoї uz diviem spіvreizinātājiem, kas ir rezultāts binārai operācijai "vektoru reizināšana" pār vektoriem triviālajā Eiklīda telpā. Tvіr nav ne komutatīvs, ne asociatīvs (tas ir antikomutatīvs), bet tas rezonē ar vektoru skalāro veidošanu. Daudziem inženierzinātņu un fizikas uzdevumiem ir nepieciešams, lai māte varētu būt vektors, kas ir perpendikulārs abām realitātēm - vektoru TV ir iespējams. Korisnijas vektoriālais paplašinājums vektoru perpendikularitātes “apgriešanai” ir divu vektoru vektora pagarinājuma garums to dožinu pagarinājuma virzienā, jo tie ir perpendikulāri, un mainās uz nulli, jo vektori ir paralēli vai antiparalēli.

Vektors tvir tika piešķirts tikai trivimēram un septiņu pasaules plašumiem. Vektora izveides rezultāts, tāpat kā skalārais, atrodas Eiklīda telpas metrikā.

Savukārt vektora skalārā objekta koordinātu aprēķināšanas formula trīsdimensiju taisnstūra koordinātu sistēmā;

Vektoru kolineārisms.

Divus vektorus, kas nav vienādi ar nulli (kas nav vienādi ar 0), sauc par kolineāriem, jo tie atrodas uz paralēlām taisnēm vai vienā taisnē. Tas ir pieļaujams, bet nav ieteicams kā sinonīms - "paralēlie" vektori. Kolineārie vektori var būt vienādi iztaisnoti (“līdzvirzīti”) vai pretēji iztaisnoti (pārējā gadījumā tos dažreiz sauc par “antikollineāriem” vai “pretparalēliem”).

Zmіshane viroblenny vektorіv( a, b, c)- vektora a skalārais paplašinājums līdz vektora b un c vektora paplašinājumam:

(a, b, c) = a ⋅ (b × c)

dažreiz to sauc par vektoru trīskāršu skalāru izveidi, iespējams, izmantojot tos, kuru rezultāts ir skalārs (precīzāk, pseidoskalārs).

Ģeometriskais zmist: zmіsha radošā modulis ir skaitliski svarīgāks par paralēlskaldņa pienākumu, ko veido vektori (a, b, c) .

jauda

Zmіshané tvir ir šķībi simetrisks attiecībā pret visiem saviem argumentiem: t.i. e) permutācija, vai ir divi spіvmulnikiv, maina radīšanas zīmi. Rezultāti parāda, ka izmaiņas labajā Dekarta koordinātu sistēmā (ortonormālajā bāzē) ir tuvāk matricas vektoram, kas salocīts no vektoriem:

Izmaiņas kreisajā Dekarta koordinātu sistēmā (ortonormāli) ir tuvāk matricas vektoram, salocītas no vektoriem un ņemtas ar "mīnusa" zīmi:

Zokrema,

It kā būtu divi vektori un paralēli, tad ar trešo smirdēšanas vektoru tiek konstatēta tvira smaka, kas ir vienāda ar nulli.

Ir trīs vektori, kas ir lineāri atmatā (tas ir, tie ir vienā plaknē, atrodas vienā plaknē), un to novirzes ir vienādas ar nulli.

Ģeometriskā izjūta - absolūtās vērtības izmaiņas, lai palielinātu paralēlskaldņu (dievišķo mazo) tilpumu, ko veido vektori i; zīme apgulties atkarībā no tā, vai tas ir trīsvirzienu vektors pa labi vai pa kreisi.

Vektoru komplanaritāte.

Trīs vektorus (vai vairāk) sauc par koplanāriem, it kā smaka, kas samazināta līdz vālītei, atrodas vienā plaknē

Kopplanaritātes dominēšana

Ja vēlaties, lai viens no trim vektoriem būtu nulle, tad trīs vektori var būt arī koplanāri.

Vektoru trio, lai atriebtu kolineāru vektoru pāri, kas ir vienā plaknē.

Zmishane tvir koplanārie vektori. Šis ir trīs vektoru līdzplanaritātes kritērijs.

Pavadošie vektori - lineāras papuves. Tas pats koplanaritātes kritērijs.

Trīs pasaules telpā 3 nekopplanāri vektori veido pamatu

Lineāri atmatā un lineāri neatkarīgi vektori.

Lineāra papuve un neatkarīgas vektoru sistēmas.Pieraksts. Vektoru sistēmu sauc lineārā papuve ja tikai viena netriviāla šo vektoru lineāra kombinācija, kas ir vienāda ar nulles vektoru. Lai nu kā, tad. tikai triviāla lineāra šo vektoru kombinācija uz nulles vektoru, vektori tiek saukti lineāri neatkarīgs.

Teorēma (lineāras atbiršanas kritērijs). Lai vektoru sistēma lineārajā telpā būtu lineāri atmatā, ir nepieciešams un pietiek, lai pieņemtu vienu no šiem vektoriem citu lineārajā kombinācijā.

1) Ja vidējais vektors ir, ja vēlaties vienu nulles vektoru, tad visa vektoru sistēma ir lineāri atmatā.

Tiesa, tāpat kā, piemēram, vvahayuchi, varbūt netriviāla lineāra kombinācija.

2) Tiklīdz vidējie vektori ir izveidoti lineāri papuvē, visa sistēma ir lineāri atmatā.

Pareizi, lai tie būtu vektori, lineāri noguldījumi. Turklāt tā ir netriviāla lineāra kombinācija, kas ir līdzīga nulles vektoram. Ale todi, minēju ņemam arī netriviālu lineāru kombināciju, kas vienāda ar nulles vektoru.

2. Pamats un rozmirnists. Pieraksts. Lineāri neatkarīgu vektoru sistēma vektoru telpu sauc pamata tho telpā, it kā būtu vektors, sistēmā varētu būt attēlojumi vizuāli lineārā vektoru kombinācijā, tas ir. ādas vektoram Tātad, kāda var būt greizsirdības vieta Tsya greizsirdība sauc vektoru izkārtojums saskaņā ar bāzi un skaitļiem sauca vektora koordinātas atbilstoši bāzei(pretējā gadījumā pie pamatnes) .

Teorēma (par izkārtojuma vienotību aiz bāzes). Kozhen vektoru var brīvi novietot aiz pamata viens rangs, tobto. ādas vektora koordinātas pie bāzes skaidri izcelties.

Pamata galvenā nozīme ir tāda, ka vektoru locīšanas un skaitļu reizināšanas darbības dotajā bāzē tiek pārveidotas dubultoperācijās ar skaitļiem - šo vektoru koordinātām. Un pati par sevi godīga ofensīva

Teorēma. Saskaitot divus vektorus lineārā telpā, to koordinātas (ja tāda ir bāzes telpa) summējas; reizinot pietiekamu vektoru, neatkarīgi no tā, vai vektora visu koordinātu skaits tiek reizināts ar .

Pieraksts - mierīgs yakscho jaunā veidā ir lineāri neatkarīgi vektori, bet vai vektori jau ir lineāri atmatā. Uz kādu numuru zvana miers telpa.

Vektoru telpas daudzveidība, kas sastāv no viena nulles vektora, tiek pieņemta vienāda ar nulli.

Razvіrnіst plašums gredzens ārā kā simbols.

Pieraksts. Par vektoru telpu sauc nepiedodami yakscho jaunā veidā be-yak lineāri neatkarīgu vektoru skaits. Ieraksti kādā vipadkā.

Z'yasuєmo zv'yazok mіzh ponyattyami pamatu un plašumu.

Teorēma. Jakščo ir atvērtības vektora izplatījums, tad, lai tas būtu lineāri neatkarīgi šī izplatījuma vektori, apmierina šo pamatu.

Teorēma. Ja vektora izplešanās ir bāze, kas sastāv no vektoriem, tad .

Līdzīga informācija.

Lineārā papuve un vektoru neatkarība

Lineāro papuves un neatkarīgo vektoru sistēmu apzīmējums

Tikšanās 22

Ļaujiet man izveidot n-vektoru sistēmu un varbūt skaitļu kopu
arī

(11)

sauc par noteiktas vektoru sistēmas un koeficientu kopas lineāru kombināciju.

Tikšanās 23

Vektoru sistēma
sauc par lineāri papuvi, kā tādu koeficientu kopu
, Ja tikai viens no tiem nav vienāds ar nulli, tad dotās vektoru sistēmas lineāra kombinācija ar koeficientu kopu ir vienāda ar nulles vektoru:

Aiziet
arī

Tikšanās 24 ( ar viena sistēmas vektora izpausmi citu lineāras kombinācijas veidā)

Vektoru sistēma
ko sauc par lineāro papuvi, ja vēlaties sistēmā vienu no vektoriem, sistēmā var būt citu vektoru lineāra kombinācija.

Apstiprinājums 3

Apzīmētie 23 un 24 ir līdzvērtīgi.

Tikšanās 25(izmantojot nulles līniju kombināciju)

Vektoru sistēma
sauc par lineāri neatkarīgu, tāpēc sistēmas nulles lineāro kombināciju var izmantot tikai visiem
vienāds ar nulli.

Tikšanās 26(jo nav iespējams attēlot vienu sistēmas vektoru kā citu lineāru kombināciju)

Vektoru sistēma
tiek saukti par lineāri neatkarīgiem, jo nevienu no sistēmas vektoriem nevar redzēt citu sistēmas vektoru lineārā kombinācijā.

Lineāri papuves un neatkarīgu vektoru sistēmu dominēšana

Teorēma 2 (nulles vektors vektoru sistēmai)

Ja vektoru sistēma ir nulles vektors, tad sistēma ir lineāri atmatā.

 Nāc
tas pats.

Atņemt
, tad lineāras vektoru sistēmas apzīmēšanai, izmantojot nulles lineāro kombināciju (12) sistēma ir lineāri atmatā. 

Teorēma 3 (Noguldījumu apakšsistēma vektoru sistēmā)

Tāpat kā vektoru sistēma ir lineāri atmatā esoša apakšsistēma, šī sistēma ir lineāri papuvē.

 Nāc
- lineārā papuves apakšsistēma
, kura vidusdaļa, ja viens nav vienāds ar nulli:

Otzhe, attiecībā uz tikšanos 23 sistēma ir lineāri atmatā. 

4. teorēma

Vai lineāri neatkarīgas sistēmas apakšsistēma ir lineāri neatkarīga.

 Savā ziņā nepieņemami. Ļaujiet sistēmai būt lineāri neatkarīgai, un tai ir lineāra apakšsistēma. Aletody pēc 3. teorēmas visa sistēma arī būs lineāri atmatā. Tīrīšana. Arī lineāri neatkarīgas sistēmas apakšsistēma var būt lineāri atmatā. 

Vektoru sistēmas linearitātes un neatkarības ģeometriskā izjūta

5. teorēma

Divi vektori і liniyno zalezhnі odі i lishe odі, ja
.

 Nepieciešamība.

і - lineārie noguldījumi
, kas uzvar prātu
. Todi
, tad.
.

Pieejamība.

Lineārie noguldījumi. 

Pēdējā 5.1

Nulles vektors ir kolineārs jebkuram vektoram

Pēdējā 5.2

Lai divi vektori būtu lineāri neatkarīgi, nepieciešami un pietiekami, tātad buv nav kolineārs .

6. teorēma

Lai trīs vektoru sistēma būtu lineāri atmatā, ir nepieciešams un pietiekami, lai šie vektori būtu vienādi. .

 Nepieciešamība.

- lineāri papuve, tāpēc vienu vektoru var redzēt no divu citu lineāras kombinācijas.

, (13)

de
і
. Aiz paralelograma likuma є paralelograma ar malām diagonāle
, ale paralelograms - plakana figūra
koplanārs
- arī koplanārs.

Labklājība.

- Pavadonis. Mēs ziņojam par trim vektoriem līdz punktam:

– lineārā papuve 

Pēdējā 6.1

Nulles vektors ir vienā plaknē neatkarīgi no tā, vai tas ir vektoru pāris.

Pēdējā 6.2

Lai vektorētu
bija lineāri neatkarīgi un nepieciešami, lai smaka nebūtu līdzplanāra.

Pēdējā 6.3

Vai ir laukuma vektors, var aplūkot lineāru kombināciju, vai centrā un plaknē ir divi nekolineāri vektori.

7. teorēma

Be-yakі chotiri vectori lineāro nogulumu plašuma tuvumā .

 Apskatīsim 4 vipadijas:

Zīmēsim plakni caur vektoriem, zīmēsim plakni caur vektoriem un zīmēsim plakni caur vektoriem. Nozīmēsim plaknes, kas iet caur punktu D, paralēli vektoru pāriem; ; acīmredzot. Gar plakņu peretīnas līnijām būs paralēlskaldnis OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Paskaties uz OB 1 D 1 C 1 - paralelograms aiz pobudova pēc paralelograma noteikuma
.

Apskatīsim OADD 1 - paralelogramu (no paralēlskaldņa spēka)
arī

Iegult vienādojumu.3.

Saskaņā ar 1. teorēmu
nu ko. Todi
, vektoru sistēma ir lineāri atmatā. 

Pēdējā 7.1

Trīs nekopplanāru vektoru summa telpā ir vektors, kas aug no paralēlskaldņa diagonāles, pamatojoties uz šiem trim vektoriem, kas tiek uzklāti uz ārējo vālīti, turklāt vektora auss sumi zbіgaєtsya no šo ārējās vālītes. trīs vektori.

Pēdējā 7.2

Ja telpā ņem 3 ne-kopplanārus vektorus, tad vai šīs telpas vektoru var izkārtot šo trīs vektoru lineārā kombinācijā.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Risinājums. Shukaєmo zagalne rіshennya rіvnyan sistēma

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gausa metode. Kurai mēs pierakstām viendabīgu koordinātu sistēmu:

Sistēmas matrica

Sistēmai ir atļauts apskatīt: (r A = 2, n= 3). Sistēma ir spіlna, un tā ir neredzama. ї zagalne lēmums ( x 2 — bezmaksas maiņa): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Privāta risinājuma, kas nav nulle, klātbūtne, piemēram, lai runātu par šiem vektoriem a 1 , a 2 , a 3 lineārie noguldījumi.

dibens 2.

Z'yasuvati, chi є vektoru sistēma ir dota vai nu lineāri atmatā, vai lineāri neatkarīga:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Risinājums. Apskatīsim viendabīgo izlīdzināšanas sistēmu a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

vai rūcošā skatienā (aiz koordinātām)

Sistēma ir vienota. Ja viņa nav virogēna, ir tikai viens risinājums. Kā rīkoties ar viendabīgu sistēmu ir nulles (triviāls) risinājums. Turklāt dažreiz vektoru sistēma ir neatkarīga. Nu, Virogen sistēma, var pieņemt lēmumus, kas atšķiras no nulles, un tāpēc tā ir atmatā.

Mēs pārskatām sistēmu virogenitātes noteikšanai:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.