DELTA FUNKCIJA

Pieraksts. delta funkcija

(2.1)

a ierobežota funkcija

1. att. delta funkcija

Umov normēšana

, . (2.2)

a, kā parādīts 1. attēlā, b

funkciju savienošana pārī raudāšana (2.1)

. (2.2.a)

, (2.2b)

jaks yiplyaє z 1. attēls, b.

ortonormalitāte. Bezfunkcionālas funkcijas

Jaudas DELTA FUNKCIJAS

Filtrēšanas jauda

pieņemams

b, mēs zinām

,

, . (2.5)

Ortonormalitāte uz pamatu

(2.5) ir svarīgi

, ,

. (2.7)

uzvarēt

,

, (2.8)

pierādījums

Piedošana strīdam

Yakshcho - saknes funkcija arī

. (2.9)

pierādījums

.

Mazajā izplatības nomalē y Teilora rinda

un starp pirmajiem diviem dodankiem

Vikoristovuemo (2,8)

Iespējams, integrand funkcijas un otrimuemo (2.9).

Zgortka

3 rīkles krokas (1,22)

,

plkst pieņemams

.

dārgs , esmu pazīstams

ta (2.35a) dot

. (2,35b)

pieņemams

. (2.36a)

ta (2.36a) dot

. (2.36b)

. (2.37a)

pieņemams

. (2.37b)

Ķemmes funkcija

(2.53)

Modeli neapņem kristāla režģis, antena un citas periodiskas struktūras.

Pārveidojot Fur'є, ķemmes funkcija tiek pārveidota par ķemmes funkciju.

,

(2.8)

pieņemams

. (2.54)

jauda

tvaika funkcija

,

periodiski

,

periodā. Filtrēšanas jaudas delta funkcijas jā

. (2.55)

Četru attēlu

Periodiskai funkcijai no perioda L Fur'є-attēls tiek izteikts ar koeficientu Fur'є

, (1.47)

, (1.49)

Biežas ķemmes funkcijai ar periodu tas ir nepieciešams

,

to aizsargā delta funkcijas filtrēšanas jauda. Z (1.47) zināms Four'e-image

. (2.56)

Četrvirzienu ķemmes funkcija є ķemmes funkcija.

Z (2.56) Četru teorēmai par argumenta mēroga transformāciju ir nepieciešams

. (2.59)

Uzlabojums ķemmēšanas funkcijas periodā ()mainīt periodu un palielināt spektra amplitūdu .

Ceturtā rinda

Vikoristovuemo

Priekš , mēs ņemam

DELTA FUNKCIJA

Pieraksts. delta funkcija

oburenjas punkta modelis, un tas parādās skatā

(2.1)

Funkcija visos punktos ir vienāda ar nulli, bet arguments ir vienāds ar nulli, un funkcija nav ierobežota, kā parādīts attēlā. viens, a. Vērtību iestatīšana argumenta punktos ir neskaidra, її mainot pretrunu, tāpēc delta funkcija ir ierobežota funkcija un vymagaє dovyzanchennya pie viglyadі normēšanas.

1. att. delta funkcija

Umov normēšana

, . (2.2)

Laukums zem funkcijas grafika ir stabilāks jebkurā intervālā, lai atriebtu punktu a, kā parādīts 1. attēlā, b. Tāpēc delta funkcija modelē viena punkta vērtību.

funkciju savienošana pārī raudāšana (2.1)

. (2.2.a)

No plaša punktu diapazona simetrijas tas ir iespējams

, (2.2b)

jaks yiplyaє z 1. attēls, b.

ortonormalitāte. Bezfunkcionālas funkcijas

izveidot ortonormālu nenodīrātu pamatu.

Delta funkcija tika ierakstīta Kirchhoff optikā 1882. gadā, elektromagnētiskajā teorijā - Heaviside 19. gadsimta 90. gados.

Gustavs Kirhhofs (1824–1887) Olivers Hevisaids (1850–1925)

Olivers Heaviside ir autodidakts zinātnieks, kurš vispirms pētīja fizikas vektorus, izstrādājis vektoru analīzi, attīstījis izpratni par operatoru un izstrādājis operacionālos aprēķinus - diferenciālvienādojumu izstrādes operatora metodi. Iekļaušanas funkcijā es to vēlāk nosaucu pēc nosaukuma, nevis punktveida impulsa funkciju - delta funkciju. Zastosuvav elektrisko lancetu teorijas kompleksie skaitļi. Iepriekš, pierakstījis Maksvela vienādības, viņš aplūkoja 4 vienādus un aizstāja 20 vienādus, kā to darīja Maksvels. Ввів noteikumi: vadītspēja, pretestība, induktivitāte, elektrets . Izstrādājot teoriju par telegrāfa saikni ar lielo panorāmu, nododot klātbūtni Zemē uz jonosfēru - Kennelly-Heviside bumbu.

Uzlaboto funkciju matemātisko teoriju 1936. gadā izstrādāja Sergijs Ļvovičs Soboļevs. Vins bija viens no Novosibirskas akadēmiju dibinātājiem. Yogo im'yam ir nosaukts SB RAS Matemātikas institūts.

Sergejs Ļvovičs Soboļevs (1908-1989)

Jaudas DELTA FUNKCIJAS

Filtrēšanas jauda

Lai nodrošinātu vienmērīgu funkciju, kuru nevar attīstīt, (2.1)

pieņemams

Vvazhayuchi , un vikoristovuyuchi delta darbojas kā mezhі pie , parādīts attēlā. viens, b, mēs zinām

,

Integrācija nodrošina filtrēšanas jaudu integrālā formā

, . (2.5)

Ortonormalitāte uz pamatu

(2.5) ir svarīgi

, ,

un tas ir pieņemams pamata garīgajai ortonormalitātei ar bez pārtraukumiem spektru

. (2.7)

Argumenta mēroga transformācija

uzvarēt

,

, (2.8)

pierādījums

Integrējot delta funkciju ar vienmērīgu funkciju intervālā, de:

de zrobleno zamіnu zmіnnoї un vikoristano filtrēšanas iestāde. Ir dota vālītes un termināla virāzes attiecība (2.8).

Piedošana strīdam

Yakshcho - saknes funkcija arī

. (2.9)

pierādījums

Funkcija vіdmіnna vіd nulle reti punktu tuvumā, tsikh punktos tas nav ierobežots.

Lai zinātu vagu, ar kuru ir pretruna, tas ir integrējams ar vienmērīgu intervāla funkciju. Nav vienāds ar nulli, mazāks ieguldījums punktu tuvumā

. , (2.10) .. (2.35a)

Četru teorēma par argumenta izmantošanu

ta (2.35a) dot

. (2,35b)

3 (1.1) un integrālā izpausme (2.24)

pieņemams

. (2.36a)

Četru teorēma par funkcijas fāzes sabrukumu

ta (2.36a) dot

. (2.36b)

3 (2.35a), ka Četru teorēma par diferenciāciju

. (2.37a)

3 (2.36a), ka Četru teorēma par reizināšanu ar argumentu

pieņemams

. (2.37b)

Pieraksts. delta funkcija

,

oburenjas punkta modelis, un tas parādās skatā

(2.1)

Funkcija visos punktos sasniedz nulli, krim
, De її arguments ir vienāds ar nulli, un de funkcija nav ierobežota, kā parādīts attēlā. viens, a. vadītājs
vērtības argumenta punktos ir neskaidras, її mainot pretrunu, tāpēc delta funkcija є ierobežota funkcija un vymagaє dovyzanchennya pie viglyadі normēšanas.

1. att. delta funkcija

Umov normēšana

,
. (2.2)

Laukums zem funkcijas grafika ir stabilāks jebkurā intervālā, lai atriebtu punktu a, kā parādīts 1. attēlā, b. Tāpēc delta funkcija modelē viena punkta vērtību.

funkciju savienošana pārī raudāšana (2.1)

,

. (2.2.a)

3 simetrijas
shodo punkti
pieņemams

, (2.2b)

jaks yiplyaє z 1. attēls, b.

ortonormalitāte. Bezfunkcionālas funkcijas

,
,

izveidot ortonormālu nenodīrātu pamatu.

Delta funkcija tika ierakstīta Kirchhoff optikā 1882. gadā, elektromagnētiskajā teorijā - Heaviside 19. gadsimta 90. gados.

Gustavs Kirhhofs (1824–1887) Olivers Hevisaids (1850–1925)

Olivers Heaviside ir autodidakts zinātnieks, kurš vispirms pētīja fizikas vektorus, izstrādājis vektoru analīzi, attīstījis izpratni par operatoru un izstrādājis operacionālos aprēķinus - diferenciālvienādojumu izstrādes operatora metodi. Iekļaušanas funkcijā es to vēlāk nosaucu pēc nosaukuma, nevis punktveida impulsa funkciju - delta funkciju. Zastosuvav elektrisko lancetu teorijas kompleksie skaitļi. Iepriekš, pierakstījis Maksvela vienādības, viņš aplūkoja 4 vienādus un aizstāja 20 vienādus, kā to darīja Maksvels. Ввів noteikumi: vadītspēja, pretestība, induktivitāte, elektrets . Izstrādājot telegrāfa sakaru teoriju uz lielās šosejas, pārvietojot Zemes izpausmi uz jonosfēru - Kennelly Heaviside bumba .

Uzlaboto funkciju matemātisko teoriju 1936. gadā izstrādāja Sergijs Ļvovičs Soboļevs. Vins bija viens no Novosibirskas akadēmiju dibinātājiem. Krievijas Zinātņu akadēmijas Sibīrijas filiāles Matemātikas institūts tika nosaukts Yogo im'yam vārdā, kura dibinātājs un direktors dzimis no 1957. līdz 1983. gadam.

Sergejs Ļvovičs Soboļevs (1908-1989)

Dominējošās delta funkcijas Filtrēšanas jauda

Lai nodrošinātu vienmērīgu darbību
, ko nevar izstrādāt, (2.1)

pieņemams delta funkcijas filtrēšanas jauda diferenciālā formā , ka ir tikai viens punkts
:

dārgs
, un vikorists delta funkcijai starp plkst
, norādes uz maziem. viens, b. Zināms

,

. (2.4)

Integrējams (2.3) pa intervālu
, kas ietver punktu a, vrakhovuemo normalizācija (2.2) filtrēšanas jaudas delta funkcija integrālā formā

,
. (2.5)

Ortonormalitāte uz pamatu

(2.5) ir svarīgi

,
,

un ņem vērā pamata garīgo ortonormalitāti
bez spektra pārtraukumiem

. (2.7)

1. Heaviside's vienotā iekļaušanas funkcija, Diraka delta funkcija un to galvenās pilnvaras

Viena Heaviside funkcija

Heaviside funkcija (viena soļa funkcija, viena gājiena funkcija, vienība iekļauta) - gabala konstantes funkcija, kas ir vienāda ar nulli argumenta negatīvajām vērtībām un vienotību pozitīvajām vērtībām. Pie nulles funkcija nav piešķirta; Tas lielākoties nav svarīgi, jo funkcijas vērtība ir iestatīta uz nulli, ko var pārspēt dažādas Heaviside funkcijas, parocīgi no klusākajām, piemēram:

Plašākā diapazonā:

Heaviside funkcija tiek plaši izmantota vadības teorijas matemātiskajā aparātā un signālu apstrādes teorijā signālu attēlošanai, kas pārvietojas no vienas stundas uz nākamo. Matemātiskajā statistikā funkcija ir iestatīta, lai reģistrētu apakšnodaļas empīrisko funkciju.

Heaviside funkcija ir galvenā funkcija Dirac delta funkcijai, H" = δ, ko var uzrakstīt arī šādi:

delta funkcija

δ - funkcija(pretējā gadījumādelta funkcija,δ - Dirac funkcija, Dirac delta, viena impulsa funkcija) ļauj pierakstīt fiziska lieluma telpas plašumu (masu, lādiņu, siltuma intensitāti, spēku utt.)

Piemēram, viena punkta masas stiprums, kas atrodams punktos a Eiklīda telpa ir uzrakstīta, lai palīdzētu δ funkcijai aplūkot δ( x − a). Arī zastosovna par rozpodіlu maksas aprakstu, masi plāni uz virsmām vai līnijām.

Funkcija δ ir ierobežota funkcija, tse nozīmē, ka formāli tā nepastāv kā nepārtraukta lineāra funkcija diferencēto funkciju telpā.

Funkcija δ nav funkcija klasiskajā izpratnē, taču nav svarīgi parādīt lielāko klasisko funkciju secību, kas vāji saplūst ar δ funkciju.

Jūs varat atšķirt vienu un otru bagāto delta funkciju, atlikušās var uzrādīt vienu un to pašu kilkostā, kas ir plašāks, uz kura ir norādīts bagātais.

jauda

Primitīvā viendimensijas delta funkcija ir Heaviside funkcija:

Jaudas filtrēšanas delta funkcijas:

2. Filtrsaugšējās frekvences(HPF)- elektronisks vai tas ir cits filtrs, kas laiž garām ieejas signāla augstas frekvences, ar kurām frekvence ir mazāka, frekvence ir zemāka. Stupin zadushennya apgulties filtra veida. Pasīvais filtrs - elektronisks filtrs, kas sastāv no mazāk nekā pasīvajiem komponentiem, piemēram, kondensatoriem un rezistoriem. Pasīvo filtru darbībai nav nepieciešama enerģija. Aktīvo filtru un pasīvo filtru skatā nav signāla stipruma spriegumā. Mayzhe zavzhdi pasīvie filtri є lineāri.

Vienkāršākais elektroniskais augstfrekvences filtrs sastāv no secīgi savienotiem kondensatoriem un rezistoriem. Kondensators šķērso tikai nelielu plūsmu, un izejas spriegums tiek ņemts no rezistora. Twіr paļaušanās uz kapacitāti (R × C) є nemainīga stunda šādam filtram, jo ​​tas ir iesaiņots proporcionāli redzes frekvencei hercos.

(Nu tā)

Pārvērst zemas caurlaidības raksturlielumu par augstfrekvences raksturlielumu iespējama papildu maiņas aizstāšana: de n - robežfrekvence

Pasīvo shēmu pārstrādeLC- filtri. Virāzes izmaiņu (2.31.) un (2.32.) aizstāšana frekvences reakcijas kvadrātā | H p (j) | Šīs funkcijas ieviešanas laikā ir jāizveido 2 zemas caurlaidības filtri pirms zemas caurlaidības filtra ķēdes pārveidošanas par augstfrekvences filtru un PF ķēdēm. Induktīvais opir LPF j n.h. L n.h.

Vadītspēja: pārveido par induktīvo vadītspēju augstfrekvences filtram ar induktivitāti L h.h = 1/ n 2 C n.h.

Aktīvo RC filtru pārsūtīšanas funkciju konvertēšana. Aktīvajos RC filtros, lai pārslēgtos no zemas caurlaidības filtra prototipa pārsūtīšanas funkcijas uz augstfrekvences filtra un PF pārsūtīšanas funkcijām, jāmaina kompleksā maiņa r. HPF ir nepieciešams Z (17.31).

vai (17.34) de n.h = n.h/n un v.h = v.h/n.

(Par jaku viņi rakstīja par izvēles priekšmetiem)

Ieeja

Zinātnes attīstībai būs nepieciešams teorētisks pamatojums Daedalus vairāk nekā "augstajai matemātikai", kas ir nepieciešama, lai sasniegtu sarežģītāku funkciju, kas ir Diraka funkcijas kodols. Šajā stundā fizikā un matemātikā aktuāla ir sarežģīto funkciju teorija, tātad kā virkne brīnumainu spēku, kas paplašina klasiskās matemātiskās analīzes iespējas, paplašina apskatāmo uzdevumu skaitu, kā arī ievērojami vienkāršo aprēķinus. , automatizējot elementāras darbības.

Šī darba mērķi:

1) izprast Dirac funkcijas;

2) apskatīt fiziskās un matemātiskās pieejas її tikšanās;

3) parādīt zastosuvannya uz znakhodzhennya pokhіdnyh rozrivnyh funktsіy.

Darba uzdevumi: parādīt delta funkciju izmantošanas iespēju matemātikā un fizikā.

Robotam ir dažādi veidi, kā norādīt Diraka delta funkcijas ieviešanu un apturēt termiņa stundu.

Diraka funkcija

Dažādos matemātiskās analīzes lietojumos termins "funkcija" ir jāatceras ar atšķirīgu miegainības pakāpi. Dažos gadījumos tās tiek aplūkotas bez pārtraukuma, bet ne diferencētām funkcijām, citos gadījumos tiek pieļautas funkcijas, kas tiek diferencētas vienu vai dažas reizes utt. Tomēr vairākos veidos klasiski saprotamās funkcijas tiek interpretētas visplašākajā nozīmē, tas ir. īkšķis, kas būtu jāņem ādas vērtībai x no iecelšanas funkcijas apgabala kā skaitlis y \u003d f (x), šķiet nepietiekams.

Ass ir svarīgs dibens: stagnējot matemātiskās analīzes aparātu līdz klusajiem chi іnshih uzdevumiem, mums ir jāpieturas pie šādas nometnes, ja šīs chi іnshi analīzes darbības šķiet neapmierinošas; piemēram, funkcija, kas nevar būt smieklīga (noteiktos punktos vai arī jūs to varat atrast), jūs nevarat atšķirt, it kā tā ir līdzīga kā elementāra funkcija. No šāda veida grūtībām varēja izvairīties, kļūstot apsēstam, aplūkojot tikai analītiskās funkcijas. Šī iemesla dēļ pieļaujamo funkciju krājums bieži vien nav pietiekams. Īpaši aktuāla ir kļuvusi nepieciešamība tālāk paplašināt izpratni par funkciju.

1930. gadā teorētiskās fizikas attīstībai lielākais angļu teorētiskais fiziķis P. Diraks, viens no kvantu mehānikas pamatlicējiem, neieguva klasiskās matemātikas aparātu un jauno objektu, nosaukumus "delta-function", kas. pārsniedza klasiskās piešķirtās funkcijas.

P. Diraks pie grāmatas "Kvantu mehānikas principi", nosakot delta funkciju q(x) kā aizskarošu pakāpi:

Turklāt prāts jautā:

Sākumā ir iespējams vizualizēt q(x) līdzīgas funkcijas grafiku, kā parādīts mazajā 1. Jo lielāka ir mātītes šaurība starp kreiso un labo adatu, jo vairāk var būt mātīte, tāpēc ka mātītes laukums (tobto integrālis) ņem savu doto vērtību, lai veicas 1. Kad apprecamies, tuvojamies atraitnei q(x) = 0 plkst x? 0 funkcija tuvojas delta funkcijai.

Šāda izpausme ir zagalnopriynyat fizikā.

Nākamā balss, scho q(x) nav funkcija pirmatnējā nozīmē, tāpēc nav nepieciešams saprast integrāļa klasiskās funkcijas nozīmi:

plkst і.

Klasiskajai analīzei nav nekādas funkcijas, bet gan Diraka izplatītais autoritātes spēks. Mazāk nekā brētliņa akmens S.L. robotos. Soboļeva un L. Švarca delta funkcija atņēma tai matemātisko formu, bet ne kā funkciju, bet gan kā vispārinātu funkciju.

Pirmkārt, pārejiet pie Diraka funkcijas pārbaudes, mēs ieviešam šīs teorēmas galvenās definīcijas, kā mums nepieciešams:

Apzīmējums 1. Funkcijas f(t) vai L attēlu - dotās funkcijas f(t) attēlu sauc par kompleksās izmaiņas p funkciju, kas ir vienāda ar:

Tikšanās 2. Funkcija f(t), ir definēts šādi:

sauca viena funkcija Heaviside viņa ir norādīta caur. Šīs funkcijas grafiks parādīts 2. att

Mēs zinām L- Heaviside funkcijas attēls:

Ļaujiet funkcijai f(t) pie t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Attēla d(x) nozīmei papildu palīgfunkcijai mēs ņemam vērā aiztures teorēmu:

1. teorēma. Ja F(p) ir funkcijas f(t) attēls, tad funkcijas f(t-t) attēls 0 ), lai L(f(t))=F(p), tad .

Pierādījums.

Attēla nolūkos, lūdzu

Pirmais integrālis ir vienāds ar nulli, shards f(t-t 0 )=0 plkst t 0 . Pārējā integrāļa daļā mainīsim izmaiņas t-t 0 =z:

Tādā veidā,

Vienai Heaviside funkcijai tā tika instalēta. No gatavās teorēmas nākamais ir tas, ka funkcijas, L- ES tev parādīšu

Tikšanās 3. Nepārtraukta vai shmatkovo-bezperervna funkcija d(t,l) arguments t, ko noguldīt kā parametru l, zvanīja golkopodіbnuyu, piemēram:

Tikšanās 4. Ciparu funkcija f, kas piešķirts reālajai lineārajai telpai L, vārds funkcionalitāte.

Iestatiet kluso funkciju secību, kurām ir diyatimut funkcijas. Yak qiu sukupnіst izskatās bezpersoniski K visas runas funkcijas c(x), āda no dažiem var būt nepārtraukti sliktāka visos pasūtījumos un finansiāli, tā ka tā pārvēršas nulles pozā uz tik ierobežotu zonu (savu ādas funkcijām c(x)). Funkcijas ir nosauktas galvenais, un viss sukupnists Pirms tam - galvenais plašums.

Tikšanās 5. Informēta funkcija tiek izsaukta jebkura lineāra nepārtraukta funkcija, uzdevumi galvenajā telpā Pirms tam.

Piešķirtās funkcijas atšifrēšana:

1) funkcija ir ignorēta fє funkcionalitāte uz galvenajām funkcijām c, tad āda c komplekta (kompleksais) numurs (f, c);

2) funkcionalitāte f lineāri, tātad jebkuriem kompleksajiem skaitļiem l 1 і l 2 dažas no galvenajām funkcijām c 1 і c 2 ;

3) funkcionalitāte f bezperervny, tobto yakscho.

Tikšanās 6.Impulss- viena, īsu stundu frizūra elektriskā strumu chi spriegumam.

Tikšanās 7.Vidusšķira- Vіdnoshennia masi tіla m joga V, tad.

2. teorēma.(Vidējās vērtības teorēma ir pārskatīta).

Ja f(t) ir nepārtraukts un funkcija ir integrēta , turklāt tas nemaina zīmi, uz kuras.

3. teorēma.Lai funkcija f(x) ir atzīmēta, un tā var būt trīs reizes lielāka par pēdējo atveramo punktu skaitu. Ja tā pati funkcija ir primārā funkcijai f(x), tad formula.

Tikšanās 8. Sukupnіst usіh nepārtraukta lineāra funktіonalіv, vznachenih uz vienīga lineāra plašuma E, veidojot lineāru telpu. To sauc par telpu, pov'yazanim h E, un ir norādīts E * .

Tikšanās 9. Lineārā telpa E, kam iedota deka norma, to sauc normēšana pēc telpas.

Tikšanās 10. Secība tiek saukta vāji saplūst līdz, kā ādas vikonano spіvvіdnoshennia.

4. teorēma.Jakšo (x n ) ir vāji saplūstoša secība normētajā telpā, tad mums ir tāds konstants skaitlis C, kas .