Cikliskās grupas

Cikliskā grupa- Grupa, piemēram, suverēna cikliska apakšgrupa. 5.7. sadaļā grupai var būt cikliska apakšgrupa H 5 \u003d G. Tse nozīmē, ka grupa G ir cikliska grupa. Kādā veidā elements, kas ģenerē ciklisku apakšgrupu, var ģenerēt arī grupu. Šim elementam ir dots nosaukums "ģenerators". Tāpat kā g - ģenerators, beigu cikliskās grupas elementus var rakstīt kā

(e, g, g 2, ....., g n-1), de g n = e.

Ar cieņu, ciklu grupa var radīt daudz ģeneratoru.

Krājums 5.9

a. G grupa = - cikliskā grupa ar diviem ģeneratoriem, g = 1 un g = 5 .

b. Grupa - cikliska grupa ar diviem ģeneratoriem, g = 3 un g = 7 .

Lagranža teorēma

Lagranža teorēma parāda atšķirību starp grupas secību un apakšgrupas secību. Pieņemsim, ka G ir grupa un H ir G apakšgrupa. Tāpat kā secība G un H - |G| un |H| , derīgs, derīgs līdz teorēmai |H| dalīties | G | . Pieteikumam 5.7 | G | = 6. Apakšgrupu secība - | h1 | = 1, | H2 | = 3, | H3 | = 2 un |H4| = 6. Acīmredzot visi pasūtījumi ir dilņiks 6 .

Lagranža teorēmā var būt vairāk nekā daži papildinājumi. Ja ir dota grupa G, tad її secība | G | , var viegli piešķirt potenciālo apakšgrupu pasūtījumus, lai jūs zinātu dilnikus. Piemēram, grupas G secība = - Tse |17| . Diļņiki 17 є 1 un 17. Tse nozīmē, ka grupai var būt tikai divas apakšgrupas - neitrāls elements і H 2 \u003d G.

Elementu secība

Elementu secība grupas secībai (a) (kārtībai (a)) ir vismazākais veselais skaitlis n, lai a n = e . Citiem vārdiem sakot: elementa secība ir grupas secība, kas ir veids, kā tas tiek ģenerēts.

Krājums 5.10

a. G grupa = , elementu secības: secība secība(0) = 1, secība secība (1) = 6, secība secība (2) = 3, secība secība (3) = 2, secība secība (4) = 3, secība secība (5) = 6.

b. G grupa = , elementu secība: secība (1) = 1, secība (3) = 4, secība (7) = 4, secība (9) = 2.

• 1. Grupa Z veseli skaitļi no locīšanas darbības.
• 2. Visu soļa sarežģīto sakņu grupa n no viena līdz reizināšanas darbībai. Oskilki cikliskā skaitļa izomorfisms

grupa ir cikliska un elements ir izveidots.

Mans bachimo, ka cikliskās grupas var būt gan endēmiskas, gan nesintētiskas.

3. Sanāk - laba grupa un laba stihija. Bagato ir cikliska grupa ar apmierinošu elementu g. To sauc par ciklisku apakšgrupu, ko ģenerē elements g, un šī secība ir elementa g secība. Saskaņā ar Lagranža teorēmu elementa secība ir grupas paplašinātājs. Fermentācija

kas slēpjas aiz formulas:

Acīmredzot pēc homomorfisma šis її attēls ir zbіgaєtsya. Vidobrazhennya ir surjektīvi vienāda un mazāk tāda pati, ja grupa G- ciklisks g Es izveidoju elementu. Kuru veidu sauc par standarta homomorfismu cikliskajai grupai G ar savītu vijumu g.

Zastosuchi šādā veidā teorēmu par homomorfismu, mēs ņemam vērā ciklisko grupu spēka nozīmi: vai cikliskā grupa ir homomorfiska pakāpe. Z .

Izveidojiet kādu grupu G var tikt iecelts solis elements ar vairākām norādēm:

Lai varas vieta

Tse acīmredzot, yakscho . Paskatīsimies uz vipadoku, ja . Todi

Līdzīgi tiek aplūkotas arī citas tendences.

З (6) kliedz, sho

Krіm turklāt par iecelto. Šādā secībā elementa līmenis nosaka grupas apakšgrupu G. Vonu sauc cikliskā apakšgrupa, ko ģenerē elements, un ir norādīts caur .

Principā ir iespējamas divas atšķirības: vai nu visi elementa posmi ir atšķirīgi, vai ne. Pirmajā tipā apakšgrupa nav izdilis. Apskatīsim vēl vienu aspektu.

Aiziet ,; tas pats. Vismazāk no naturālajiem skaitļiem t, tiem, kas tā aicināti kārtībā elements i ir norādīts caur .

1.priekšlikums. Jakšo , tad

pierādījums. 1) Sadalīt m uz P par daudz:

Izejiet noteikto pasūtījumu

Sakarā ar uz priekšu

Pēdējais. Jakščo, apakšgrupa mo atriebība n elementi.

Pierādījums. Tiesa,

turklāt visi elementi ir atšķirīgi.

Tam ir vipadka, ja jums tādas nav t, scho (tobto var būt pirmais no iepriekš minētajiem aprakstiem), vvazhayut . Vidmitimo, scho; visu pārējo grupas elementu kārtas ir lielākas par 1.

Piedevu grupā mēs nerunājam par elementa pakāpi , par jogu daudzkārtēji jaki nozīmē cauri . Atkarībā no piedevu grupas elementa secības G- mazākais no naturālajiem skaitļiem t(kā zināms), tiem

PIETEIKUMS 1. Lauka raksturlielums ir jebkura elementa, kas nav nulle, secība i-tajā piedevu grupā.

BUTS 2. Ir skaidrs, ka kіntsevoi grupai ir jebkura kіtsevy elementa secība. Tiks parādīts, kā tiek aprēķināta elementu secība grupā.Aizvietošana tiek izsaukta cikls dozhini un apzīmē caur yakscho uzvarēja cikliski pārkārtot

un reshta viscaur. Ir skaidrs, ka cikla secība ir labāka nar. Cikli i sauc neatkarīgs, pat starp skaitļiem, kurus viņi faktiski pārkārtojuši, nav daudz nežēlīgu; kurā virzienā . Vai tas būtu kā aizstāšana, tas ir nepārprotami izklāstīts neatkarīgo ciklu TV. Piemēram,

kas ir skaidri parādīts mazajam, kas ir attēlots ar bultiņām. Šādi aizstāšana tiek izkārtota neatkarīgu dožinu ciklu TV , tad

PIETEIKUMS 3. Kompleksā skaitļa secība kіnceviy grupā ir pāra un tikai taisnīga, ja skaitlis ir vienas un tās pašas vienotības pasaules sakne, tātad, savā melnā krāsā, dažādi, vēl vairāk, ja, a porіvnyаєmo z, tobto. .

PIETEIKUMS 4. Mums ir zināmi dzīvokļa drupu grupas galīgās kārtas elementi. Aiziet. Jo kāda jēga ir jēga

griezties cikliski , kas tad ir smaguma centrs par nepaklausīgs schodo. Otzhe, - vai vērsties pie prāta griezuma ap punktu par, pretējā gadījumā vajadzētu būt iespējai taisnai līnijai iziet cauri par.

BUTS 5. Mēs zinām matricas secību

kā grupas elements. Maymo

nu ko. Acīmredzot šis dibens ir īpaši izvēlēts: iespēja, ka matricas panākumu secība būs galīga, vairāk vienāda ar nulli.

2.priekšlikums. Jakšo , tad

Pierādījums. Aiziet

nu ko. Maymo

Tēvs,.

Tikšanās 1 . Grupa G sauca ciklisks kā izmantot šādu elementu , kas . Tādu elementu sauc vecāku elements grupai G.

PIETEIKUMS 6. Aditīva veselu skaitļu grupa ir cikliska, fragmentus ģenerē elements 1.

PIETEIKUMS 7. Moduļa atbalsta papildu grupa nє ciklisks, šķembas ģenerē elements.

PIETEIKUMS 8. N-tā soļa kompleksās saknes reizinātāja grupa ar 1 є ciklisku. Patiešām, skaitļu saknes būtība

Skaidrs par ko . No tās pašas grupas tiek ģenerēts elements.

Ir viegli bachiti, kas ir neizsmeļamā cikliskā elementu grupā, ko var ģenerēt, tikai daži. Tātad grupā Z vecāku elementi ir vairāk nekā 1 un - 1.

Elementu skaits gala grupā G sauc par її kārtībā viņa ir norādīta caur. Beigu cikliskās grupas secība ir tāda pati kā ģenerētā elementa її secība. Uz to no 2. priekšlikuma raud

3.priekšlikums . Cikliskās grupas elements rīkojums n ģenerē dažus un tikai dažus, ja

PIETEIKUMS 9. Grupas vecāku elementi tiek saukti primārās saknes n solis no 1. Tā ir prāta sakne , de. Piemēram, 12. soļa pirmā sakne no 1.

Cikliskās grupas ir visvienkāršākās grupas, lai jūs varētu sevi identificēt. (Īpaši ābeliešu smaka.) Nākamā teorēma sniedz savus jaunos aprakstus.

1. teorēma. Vai bezgalīgi cikliska grupa ir izomorfa grupa. Kā Kіntsev cikliskā grupa ir n kārtas izomorfa grupai.

pierādījums. Tā kā tā ir nelobīta cikliska grupa, tad caur formulu (4) tā ir izomorfisms.

Ejam - kіntseva tsiklіchna grupa kārtībā P. Mēs skatāmies uz attēlu

tad displejs ir pareizi un objektīvi piešķirts. jauda

viplyvaє іz tієї zh formula (1). Šajā rangā - izomorfisms.

Teorēma ir pabeigta.

Grupas izpratnei svarīga loma ir apakšgrupas zināšanām. Visas cikliskās grupas apakšgrupas var viegli aprakstīt.

Teorēma 2. 1) Esiet cikliskas grupas apakšgrupa.

2) Cikliskā grupa ir sakārtota n pasūtiet, vai koplietot apakšgrupas n i jebkuram dilnik q skaitlim n Ir tieši viena q kārtas apakšgrupa.

pierādījums. 1) Nehai - cikliskā grupa i H- її apakšgrupa, vіdminna vіd (viena apakšgrupa, protams, є cikliska.) . Aiziet t- vismazākais no naturālajiem skaitļiem tiem . Paziņojiet mums to . Aiziet . Podilimo pirms tam uz t par daudz:

zvaigznes no noteiktā datuma t nākamais, scho th, vēlāk, .

2) Jakšo , tad uz priekšu mirkuvannya, zastosovane līdz ), parādi ko . Ar ko

і Hє vienas apakšgrupas pasūtījums q grupā G. Atpakaļ, jakšo q- esi skaitļa dilniks Pі , tad pakārtoti H, vynachaetsya līdzsvars (9), apakšgrupu secība q. Teorēma ir pabeigta.

Sekas . Vienkāršā secībā cikliskā grupā, neatkarīgi no tā, vai tā nav viena, apakšgrupa darbojas kopā ar otru grupu.

PIETEIKUMS 10. Grupā, vai tā būtu apakšgrupa, varu paskatīties, de.

PIETEIKUMS 11. n-tā soļa sakņu grupā z 1 ir sakņu grupas apakšgrupa q- solis no 1, de.

Apskatīsim visu vai divu soļu reizināšanas grupu no diviem (2Z, ), de 2Z = (2n | P e Z). Piedevas my є grupas analogs ir veselu dvīņu aditīvu grupa (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Damo zagalne vyznachennya grupas, okremi butts šādas є danі grupas.

Tikšanās 1.8. Multiplikatīva grupa (G,) (Piedevu grupa (G, +)) tiek saukta ciklisks it kā to saskaita no viena elementa nepieciešamā soļu skaita (atkarībā no punktu skaita). a e G, tobto. G=(A p | p e Z) (vіdpovidno, G - (pa | p e Z)). Apzīmējums: (a), lasiet: cikliskā grupa, ko ģenerē elements a.

Apskatīsim to.

• 1. Mērogojošas reizināšanas cikliskās grupas apakšdaļa var būt visu fiksēta vesela skaitļa cikla soļu grupa. a f±1, vinnēts norādīts un r. tādā veidā, un d — (a).
• 2. Multiplikatīvās termināla cikliskās grupas sadursme ir n-tā soļa sakņu grupa C no vienības. Uzminot, ka n-tā soļa sakne ir viena

aiz formulas e k= cos---hisin^-, de pirms = 0, 1, ..., P - 1. Slaids- lpp. lpp

tiešām, З„ = (е x) = (е x = 1, e x, ef = e 2 ,..., e "-1 =? „_ x). Mēs domājam, ka kompleksie skaitļi e uz, uz = 1, ..., P - 1, ir attēloti ar viena mieta punktiem P vienādās daļās.

• 3. Raksturīgs piemērs aditīvai nemērogojošai cikliskai grupai ir aditīva veselu skaitļu grupa Z, ko ģenerē skaitlis 1, tas ir. Z = (1). Ģeometriski tas parādās, redzot visus skaitliskās līnijas punktus. Faktiski šādi tiek attēlota pati multiplikatīvā grupa 2 7 - = (2) a z \u003d (a), deciļskaitlis a f±1 (div. 1.3. att.). Attēlu kvalitāte ir aplūkota 1.6. punktā.
• 4. Vibero lielā reizināšanas grupā G aktīvais elements a. Tad visi elementa soļu cikli apmierina ciklisko apakšgrupu (a) = (a lpp Z)G.
• 5. Var parādīt, ka racionālo skaitļu aditīvā grupa Q pati par sevi nav cikliska, bet gan neatkarīgi no tā, vai cikliskajā apakšgrupā atrodas divi elementi.

A. Mēs pierādam, ka piedevu grupa Q nav cikliska. Pieļaujami nepieņemami: lai Q = (-). Pamata mērķa numurs b,

nedalīties tie. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, tad esošais

b t/ (t Dž

є tsile numurs gs 0, tātad - = n 0 -. Ale todi m = n 0 kb

zvaigznes t:- dіyshli super-asums.

B. Pieņemsim, ka divi diezgan racionāli skaitļi -

h „ /1

i - pārklāšanās cikliskā apakšgrupa (-), de t atrast- d t/

mazāks par lielu skaitļu daudzkārtni bі d. Pareizi, nedarīsim m-bi

, a 1 /1 h cv 1/1

i m = av, u, v e Z, tad i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Teorēma 1.3. Cikliskās grupas secība ir tāda pati kā grupas vecākelementa tobto secība.|(a)| = | a |.

Pierādījums. 1. Nāc | = ">. Mēs zinām, ka visi elementa dabiskie soļi a savādāk. Pieļaujami nepieņemami: nāc a k = a tі 0 uz Todi t - pirms tam- naturāls skaitlis a t ~ līdz = e. Ale tse superechit uz to, scho | a = ° °. Tādā veidā visi elementa dabiskie soļi a raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst grupa (a). Oche, | (a)| = ° ° = | a |.

2. Nāc | a | = n. (a) \u003d (e — a 0, a, a 2,..., a "-1). No cikliskās grupas apzīmējuma iekļaušana (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Ieslēdzam to. Cikliskās grupas papildu elements a) var izskatīties a t, de ti Z. Pārmērīga šnabi dalīšana: m-nq + r, de 0 lpp Oskilki a n = e, tad a t = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, a 2,..., a "- 1). -1).

Ir jāpanāk, ka visi elementi tiek reizināti (a 0, a, a 2,..., un "-1) atšķiras. Pieļaujams nepieņemams: lai 0 i P, ale a" = a). Tas pats vīns - e ta 0 j - i - dіyshli super-asums z umovoy | a | = P. Teorēma ir pabeigta.