Miasto w metrze

Jak wyznaczać wektory chi є i odłogi liniowe. Niezależność liniowa i niezależność liniowa układu wektorowego. Zastosuj rozwiązanie zadań do liniowej niezależności lub liniowej niezależności wektorów

Daj spokój L- długa przestrzeń liniowa, a i Î L- Elementy Yogo (wektor).

Powołanie 3.3.1. Viraz , de , - liczby przed mową, zwane kombinacją liniową wektor_v a 1 , a 2 ,…, a n.

Wektor Yakscho R = , to wydaje się, że R układy wektorów a 1 , a 2 ,…, a n.

Powołanie 3.3.2. Nazywa się liniową kombinacją wektorów nietrywialne yakscho wśród liczb є chcących użyć jednego vіdmіnne vіd zero. W inny sposób nazywa się kombinację liniową trywialny.

Spotkanie 3.3.3 . Wektory a 1 , a 2 ,…, a n nazywane są liniowo odłogiem, co oznacza, że istnieje nietrywialna kombinacja liniowa, taka, że

= 0 .

Spotkanie 3.3.4. Wektory a 1 ,a 2 ,..., a n nazywane są liniowo niezależnymi, jak zazdrość = 0 lepiej mieć vipadku, jeśli wszystkie liczby ja 1, ja 2,…, ja nie noc do zera.

Istotne jest, że każdy niezerowy element a 1 może być układem liniowo niezależnym, ja a 1 = 0 może więcej dla twojego umysłu ja= 0.

Twierdzenie 3.3.1. Niezbędny i wystarczający ugór liniowy umysłowy a 1 , a 2 ,…, a nє możliwość wyłożenia na ostatnim przystanku jednego z tych elementów pozostałych.

Dowód. Konieczność. Niech elementy a 1 , a 2 ,…, a n depozyty liniowe. Tse znaczy co = 0 , co więcej, jeśli chcesz jeden z numerów ja 1, ja 2,…, ja nie vіdminno od zera. Chodź na śpiewanie ja 1 ¹ 0. Todi

czyli element a 1 rozwija się po elementach a 2 , a 3 , …, a n.

Dostępność. Niech element a 1 zostanie rozłożony na elementy a 2 , a 3 , …, a n, to a1 = . Todi = 0 , także główna nietrywialna kombinacja liniowa wektorów a 1 , a 2 ,…, a n, rivna 0 więc smród jest liniowo odłogowany .

Twierdzenie 3.3.2. Chcę jeden z elementów a 1 , a 2 ,…, a n zero, wektory q i depozyty liniowe.

dowód . Daj spokój a n= 0 todi = 0 co oznacza liniowość znaczenia elementów.

Twierdzenie 3.3.3. Tylko środek n wektora p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dowód. Niech elementy a 1, a 2, ..., a p depozyty liniowe. Tse oznacza, że istnieje taka nietrywialna kombinacja liniowa, że = 0 . Kapitał jest wskazany do zapisania, aby dodać element do obu części. Todi + = 0 jeśli chcesz jeden z numerów ja 1, ja 2,…, lp vіdminno od zera. Znowu wektory a 1 , a 2 ,..., a nє ugór liniowy.

Ostatnie 3.3.1. Jeśli n elementów jest liniowo niezależnych, to czy niektóre z nich są liniowo niezależne (k< n).

Twierdzenie 3.3.4. Wektory Yakscho a 1 , a 2 ,…, a n- 1 liniowo niezależne i elementy a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , n złożone liniowo, to wektor a n można rozszerzyć poza wektory a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Dowód. Oskіlki dla umysłu a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , n liniowo odłogiem, to jest to nietrywialna kombinacja liniowa = 0 , co więcej (inakshe, aby być liniowo odłogiem wektorów a 1 , a 2 ,…, a n- jeden). Ale tody wektor

co trzeba było przynieść.

Wprowadzony przez nas operacje liniowe na wektorach dać możliwość złożenia raznі vrazi for wielkości wektorowe i przekształcić je dla pomocy władz, które zostały zainstalowane do tych operacji.

Wychodzące z danego zbioru wektorów a 1, ..., a n można zsumować w postaci

de a 1, ... i n to dobre liczby. Tsey viraz nazywa się liniowa kombinacja wektorów 1, ..., n. Liczby α i , i = 1, n , są współczynniki kombinacji liniowej. Zestaw wektorów, aby wymienić więcej system wektorowy.

W związku z wprowadzeniem pojęć liniowej kombinacji wektorów problemem jest opisanie wektorów bezosobowych, które można zapisać w pozornie liniowej kombinacji danego układu wektorów a 1, ..., a n. Ponadto prawa umysłu dotyczą umysłu, z jakiegoś powodu pojawiania się wektora w kombinacji liniowej, czyli jedności takiego zjawiska.

Powołanie 2.1. Wektory a 1 ..., nazwa n ugór liniowy jak masz taki zbiór współczynników α 1 , ... , α n , że

α 1 a 1 + ... + α n za n = 0 (2,2)

a jeśli chcesz, jeden z tych współczynników jest niezerowy. Jeśli nie ma przypisanego zestawu współczynników, wektory są nazywane liniowo niezależny.

Jeśli α 1 = ... = α n = 0, to oczywiście α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. i n jest liniowo niezależne, z powodu równości (2.2) widzimy, że wszystkie współczynniki α 1 , ... , α n równe zeru.

Zaawansowane twierdzenie wyjaśnia, dlaczego nowa koncepcja nazywana jest terminem „depozyt” (lub „niezależność”) i podaje proste kryterium odłogu liniowego.

Twierdzenie 2.1. Wektory soba a 1 , ..., a n , n > 1 są liniowo odłogiem, koniecznym i wystarczającym, tak że jeden z nich jest kombinacją liniową innych.

◄ Konieczność. Załóżmy, że wektory to 1 ..., a n są depozytami liniowymi. Zgіdno s vznachennyam 2.1 depozyty liniowe, równość (2.2) zł є chcący jeden niezerowy współczynnik, na przykład α 1 . Po pozostawieniu pierwszego dodanok po lewej stronie równoważności, przenosimy go do prawej części, zmieniając, jak ognisty, mają znaki. Dzielenie równoważności otrimana na α 1 jest odejmowane

a 1 = -α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

Tobto. reprezentacja wektora a 1 jako liniowej kombinacji innych wektorów a 2 , ..., a n .

Dostępność. Załóżmy na przykład, że pierwszy wektor a może być reprezentowany przez pozornie liniową kombinację innych wektorów: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Przenosząc wszystkie magazyny z prawej strony na lewą, bierzemy 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, więc. liniowa kombinacja wektorów a 1 , ..., a n o współczynnikach α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , równe wektor zerowy. W tej kombinacji liniowej nie wszystkie współczynniki są równe zeru. Vіdpovіdno do terminu 2.1, vectori a 1 ... i n depozytów liniowych.

Cel tego kryterium odłogu liniowego jest sformułowany w taki sposób, że jednocześnie mogą występować dwa lub więcej wektorów. Możemy jednak mówić o liniowości jednego wektora. Aby zdać sobie sprawę z takiej możliwości konieczne jest zastąpienie „wektora liniowego odłogiem” słowem „układ wektorowy jest odłogiem liniowym”. Nie ma znaczenia, czy jest pogodzony, ponieważ „układ jednego wektora jest odłogowany liniowo” oznacza, że ten pojedynczy wektor jest zerowy (w kombinacji liniowej jest tylko jeden współczynnik, a wina nie jest winna za zero).

Pojęcie odłogu liniowego można w prosty sposób zinterpretować geometrycznie. Tę interpretację wyjaśniają trzy stwierdzenia.

Twierdzenie 2.2. Dwa wektory i odłogi liniowo i mniej niż inne, jeśli smród współliniowy.

◄ Chociaż wektory a i b są osadzone liniowo, to jeden z nich, na przykład a, jest wyrażany przez drugi. a = b dla liczby dziesiętnej λ. Vіdpovіdno do terminu 1.7 Stwórz wektory o liczbę, wektory b są współliniowe.

Zróbmy teraz wektor i tab b kolіnearnі. Jeśli smród obraża zero, to oczywiste jest, że smród jest liniowo odłogowany, więc niech to będzie liniowa kombinacja wektora zerowego. Niech jeden z tych wektorów nie będzie równy 0, na przykład wektor b. Co istotne, w ujęciu λ rozszerzenie długości wektorów: λ = |а|/|b|. Wektory współliniowe mogą być pojedynczy bezpośredni lub prostowanie. W dalszej części przypadku zmienia się znak λ. Następnie, odwracając oznaczenie 1.7, ponownie rozważamy, czy a \u003d b. Podobnie jak w Twierdzeniu 2.1, wektory a i b kumulują się liniowo.

Szacunek 2.1. W przypadku dwóch wektorów, kryterium vrakhovuyuchi odłogu liniowego, twierdzenie można przeformułować w następujący sposób: dwa wektory są współliniowe jeden i tylko jeden z nich, jeśli jeden z nich jest reprezentowany jako drugi przez liczbę. Jest to rozsądne kryterium współliniowości dwóch wektorów.

Twierdzenie 2.3. Trzy wektory są odłogiem liniowym, a mniej, jeśli smród współpłaszczyznowy.

◄ Jeśli istnieją trzy wektory a, b, z liniowymi odłogami, to korzystając z Twierdzenia 2.1 jeden z nich, na przykład a, jest kombinacją liniową pozostałych: a = βb + γс. Podejrzana kolba wektora b i c w punkcie A. Czyli wektory βb, γc reguła równoległoboku їх suma, Tobto. wektor a, pączek wektor h kolby A i późno, który jest wierzchołkiem równoległoboku, opartym na wektorach-dodankіv. Dlatego wszystkie wektory leżą na tej samej płaszczyźnie, tj. są współpłaszczyznowe.

Niech wektory a, b będą współpłaszczyznowe. Jeśli jeden z tych wektorów jest pusty, to oczywiste jest, że uskok będzie kombinacją liniową pozostałych. Wystarczająco wszystkie współczynniki kombinacji liniowej należy przyjąć jako równe zero. Można powiedzieć, że wszystkie trzy wektory nie są puste. Sumy na kolbie tsikh vectorіv w centralnym punkcie O. Chodźmy х іх punkty będą tymi samymi punktami A, B, C (ryc. 2.1). Narysuj linię prostą przez punkt C, równoległą do linii prostych, które przechodzą przez punkt O, A i O, B. Po wyznaczeniu punktów przecięcia przez A" i B" bierzemy równoległobok OA"CB", również OC "= OA" + OB" .OA" i niezerowy wektor a= OA są współliniowe, a pierwszy z nich może odjąć liczbę α:OA" = αOA przez pomnożenie drugiej. Podobnie OB" = βOB , β ∈ R. W rezultacie możliwe jest, że OC" = α OA + βOB , wtedy wektor jest kombinacją liniową wektorów a i b.

Twierdzenie 2.4. Be-yakі chotiri vectori linіyno zalezhnі.

◄ Dowód przebiega według tego samego schematu, co w Twierdzeniu 2.3. Przyjrzyjmy się niektórym wektorom a, b, c i d. Albo jeden z dwóch wektorów jest zerowy, albo w środku znajdują się dwa współliniowe wektory, albo trzy z dwóch wektorów są współpłaszczyznowe, a te dwa wektory są liniowo odłogiem. Na przykład, ponieważ wektory a i b są współliniowe, możemy zsumować ich kombinację liniową αa + βb = 0 o niezerowych współczynnikach, a następnie dodać dwa wektory do tej kombinacji, przyjmując jako współczynniki zerowe współczynniki. Odbieramy liniową kombinację zerową kilku wektorów, w którym to przypadku są niezerowe współczynniki.

W ten sposób możemy zrozumieć, że nie ma wśród nich wektorów zerowych, dwa nie są współliniowe, a trzy nie są współpłaszczyznowe. Jako zewnętrzną kolbę wybierzmy punkt O. Wtedy wektory a, b, c, d będą punktami A, B, C, D (rys. 2.2). Narysuj trzy płaszczyzny przez punkt D, równolegle do płaszczyzn ОВС, OCA, OAB i niech A", B", C" - punkty przecięcia tych płaszczyzn z liniami prostymi OA, OB, OS są czyste. B " DA”, w wektory a, b, z leżą na krawędziach Yogo wychodzących z wierzchołków O. Tak więc, jako chotirikutnik OC „DC” jest równoległobokiem, a następnie OD \u003d OC „+ OC” . równoległobok OA„C "B", do tego OC" = OA" + OB" i OD = OA" + OB" + OC" .

Warto wspomnieć, że wektory zakładów OA ≠ 0 i OA" , OB ≠ 0 i OB" , OC ≠ 0 i OC" są współliniowe, a także można wybrać współczynniki α, β, γ tak, aby OA" = αOA, OB" = βOB i OC" = yOC. Resztkowa OD = αOA + βOB + γOC. Ponadto wektor OD jest wyrażany przez roztwór trzech wektorów, a wszystkie trzy wektory, zgodnie z twierdzeniem 2.1, są osadzane liniowo.

Wektory, їх moc i dії z nich

Wektor z wektorów, liniowa przestrzeń wektorowa.

Sekwencja liczb końcowych jest uporządkowana wektorowo.

Z: 1. Mnożenie wektora przez liczbę: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0.7)*3=(9, 12,0.21)

2. Wektory składane (aby leżeć w tej samej przestrzeni wektorowej) wektor x + wektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Wektor 0=(0,0…0)--n E n – n-świat (przestrzeń liniowa) wektor x + wektor 0 = wektor x

Twierdzenie. Płacz, układ n wektorów, n-światowa przestrzeń liniowa była liniowo odłogiem, koniecznym i wystarczającym, więc jeden z wektorów byłby liniową kombinacją innych.

Twierdzenie. Be-yaka sukupnіst n + 1. wektor n- pokojowa liniowa przestrzeń yavl. ugór liniowy.

Dodawanie wektorów, mnożenie wektorów przez liczby. Vіdnіmannya vektorіv.

Suma dwóch wektorów nazywana jest wektorem, wyprostowanym od kolby do końca wektora, aby mieć świadomość, że kolba pochodzi z końca wektora. Tak jak wektory są ustalane przez ich układy zgodnie z wektorami jednostek bazowych, kiedy wektory są składane, ich odpowiednie współrzędne są dodawane.

Spójrzmy na przykład kartezjańskiego układu współrzędnych. Daj spokój

Pokażmy co

Z kochanie 3 możesz to zobaczyć

Sumę dowolnej końcowej liczby wektorów można znaleźć za regułą bagatokutnika (ryc. 4): aby wywołać sumę końcowej liczby wektorów, wystarczy wziąć ucho wektora ofensywnego skóry za pomocą koniec przedniego i indukuj wektor, który idzie za uchem pierwszego wektora, ostatnim z pozostałych.

Siła operacji składania wektorów:

W cich virase m, n to liczby.

Różnicę wektorów nazywamy wektorem, kolejny dodanok jest wektorem, wektorem przeciwnym po prostej, ale równym jeden po drugim.

W ten sposób operacja przesuwania wektora zostaje zastąpiona operacją składania

Wektor, którego kolba znajduje się na kolbie współrzędnych, a koniec - w punkcie A (x1, y1, z1) nazywany jest wektorem promienia punktu A i lub po prostu. Odłamki współrzędnych Yogo są przesunięte ze współrzędnych punktu A, można zobaczyć układ Yogo wzdłuż wektorów

Wektor, który może zaczynać się w punkcie A(x1, y1, z1) i kończyć w punkcie B(x2, y2, z2)

de r 2 - wektor promienia punktu; r 1 jest wektorem promienia punktu A.

W związku z tym można zobaczyć układ wektora pod względem wektorów

Yogo dozhina jest piękniejsza między punktami A i B

ZWIELOKROTNIAĆ

Tak więc w przypadku płaskiego zadania wektor na a = (ax; ay) na liczbie b znajduje się za formułą

a b = (ax b; ay b)

Przykład 1. Znajdź przyrost wektora a = (1; 2) o 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Tak więc w przypadku problemu przestrzennego zwiększenie wektora a = (ax; ay; az) o liczbę b znajduje się za formułą

a b = (ax b; ay b; az b)

Przykład 1. Znajdź przyrost wektora a = (1; 2; -5) o 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Skalarny dobootok vector_v to odcięcie między wektorami ta ; yakscho abo, więc

Z punktu widzenia stworzenia skalarnego wołasz, że…

de, na przykład, є wartość rzutu wektora bezpośrednio na wektor .

Wektor kwadratowy skalarny:

Siła kreacji skalarnej:

Skalarny skręt we współrzędnych

Yakscho następnie

Kut miż wektory

Cut between vectors – cięcie pomiędzy liniami prostymi pomiędzy wektorami (najmniejsze cięcie).

TV wektorowa (TV wektorowa dwóch wektorów) tse pseudowektor, prostopadły do płaszczyzny, pobudovanoї na dwóch mnożnikach spіv, który jest wynikiem operacji binarnej „mnożenie wektora” na wektorach w trywialnej przestrzeni euklidesowej. Tvіr nie jest ani przemienny, ani asocjacyjny (jest antyprzemienny), ale rezonuje ze skalarnym tworzeniem wektorów. Dla bogatych inżynierów i fizyków konieczne jest, aby matka potrafiła być wektorem prostopadłym do dwóch rzeczywistości – telewizja wektorowa ma być możliwa. Wydłużenie wektorowe corisny dla „odwrócenia” prostopadłości wektorów jest długością wydłużenia wektorowego dwóch wektorów w kierunku przedłużenia ich dziesiątek, ponieważ są prostopadłe, i zmienia się na zero, ponieważ wektory są równoległe lub antyrównoległy.

Wektorowy tvir był przypisywany tylko trywimerowi i przestrzeniom siedmiu światów. Wynik tworzenia wektora, podobnie jak skalarnego, leży w metryce przestrzeni euklidesowej.

Z drugiej strony wzór do obliczania współrzędnych wektorowego obiektu skalarnego w trójwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych;

Kolinearność wektorów.

Dwa niezerowe (nie równe 0) wektory nazywane są współliniowymi, ponieważ leżą na liniach równoległych lub na tej samej linii. Jest to dopuszczalne, ale nie zalecane jako synonim - wektory „równoległe”. Wektory współliniowe mogą być zarówno prostowane („współkierunkowe”), jak i przeciwnie (w pozostałym przypadku są czasami nazywane „antykoliniowymi” lub „antyrównoległymi”).

Zmіshane viroblennya vektorіv ( a, b, c)- rozszerzenie skalarne wektora a na rozszerzenie wektora b i c:

(a, b, c) = a (b × c)

czasami nazywa się to trinarnym skalarnym tworzeniem wektorów, być może poprzez te, których wynikiem jest skalar (dokładniej pseudoskalar).

Geometryczny zmist: moduł kreacji zmіsha jest liczbowo ważniejszy niż obowiązek równoległościanu wykonanego przez wektory (a, b, c) .

moc

Zmіshané tvir jest skośno-symetryczny w stosunku do wszystkich swoich argumentów: tj. e. permutacja tego, czy istnieją dwa spіvmulnikiv, zmienia znak stworzenia. Wyniki pokazują, że zmiana w prawym kartezjańskim układzie współrzędnych (w bazie ortonormalnej) jest bliższa wektorowi macierzy, sfałdowanej z wektorów:

Zmiany w lewym kartezjańskim układzie współrzędnych (w bazie ortonormalnej) są bliższe wektorowi macierzy, złożonej z wektorów i brane ze znakiem „minus”:

Zokrema,

Jakby były dwa wektory i równolegle, to z trzecim wektorem smrodu ustala się smród tviru, który jest równy zero.

Istnieją trzy wektory, które są liniowo odłogiem (to znaczy są współpłaszczyznowe, leżą na tej samej płaszczyźnie), a ich odchylenia są równe zeru.

Zmysł geometryczny - zmiany wartości bezwzględnej w celu zwiększenia objętości równoległościanu (boskiego malucha) złożonego z wektorów i; znak do leżenia w zależności od tego, czy jest to wektor trójdrożny w prawo czy w lewo.

Zgodność wektorów.

Trzy wektory (lub więcej) nazywane są koplanarnymi, tak jakby smród zredukowany do kolby leżał na tej samej płaszczyźnie

Dominacja współpłaszczyznowości

Jeśli chcesz, aby jeden z trzech wektorów był pusty, to te trzy wektory mogą być również współpłaszczyznowe.

Trio wektorów do pomszczenia pary współliniowych wektorów, które są współpłaszczyznowe.

Zmishane tvir wektory współpłaszczyznowe. Jest to kryterium współpłaszczyznowości trzech wektorów.

Wektory towarzyszące - odłogi liniowe. To samo kryterium współpłaszczyznowości.

W przestrzeni trzech światów podstawę stanowią 3 wektory niewspółpłaszczyznowe

Wektory liniowo odłogi i liniowo niezależne wektory.

Odłogi liniowe i niezależne układy wektorowe.Wizyta, umówione spotkanie. System wektorowy nazywa się ugór liniowy jeśli tylko jedna nietrywialna kombinacja liniowa tych wektorów, która jest równa wektorowi zerowemu. W każdym razie w takim razie. po prostu trywialna liniowa kombinacja tych wektorów do wektora zerowego, wektory nazywają się liniowo niezależny.

Twierdzenie (kryterium liniowe odłogiem). Aby układ wektorów w przestrzeni liniowej był liniowo odłogiem, konieczne i wystarczające jest przyjęcie jednego z tych wektorów w kombinacji liniowej pozostałych.

1) Jeśli wektor środkowy jest, jeśli chcesz mieć jeden wektor zerowy, to cały system wektorów jest odłogiem liniowym.

To prawda, jak na przykład vvahayuchi, może nietrywialna kombinacja liniowa.

2) Gdy tylko środkowe wektory zostaną ustalone liniowo odłogiem, to cały system jest liniowo odłogiem.

Tak, niech to będą wektory, depozyty liniowe. Jest to również nietrywialna kombinacja liniowa, podobna do wektora zerowego. Ale todi, zgadywanie bierzemy również nietrywialną kombinację liniową równą wektorowi zerowemu.

2. Podstawa i rozmirnist. Wizyta, umówione spotkanie. Układ wektorów liniowo niezależnych przestrzeń wektorowa nazywa się podstawa tho przestrzeni, tak jakby wektor mógł być reprezentowany przez liniową kombinację wektorów w systemie, czyli. dla wektora skóry więc, co może być miejscem zazdrości Zazdrość Tsya nazywa się? układ wektorowy zgodnie z podstawą , a liczbami nazywa współrzędne wektora zgodnie z bazą(Inaczej w bazie) .

Twierdzenie (o jedności układu za podstawą). Wektor Kozhena można dowolnie układać za podstawą jedna ranga, tobto. współrzędne wektora skóry u podstawy wyróżniają się wyraźnie.

Główne znaczenie bazy polega na tym, że operacje składania wektorów i mnożenia liczb w danej bazie są przekształcane na podwójne operacje na liczbach - współrzędnych tych wektorów. I sama, uczciwa ofensywa

Twierdzenie. Przy dodawaniu dwóch wektorów w przestrzeni liniowej ich współrzędne (jeśli istnieje przestrzeń bazowa) sumują się; mnożąc wystarczający wektor, niezależnie od tego, czy liczba wszystkich współrzędnych wektora jest pomnożona przez .

Wizyta, umówione spotkanie -spokojna yakscho w nowy sposób są liniowo niezależnymi wektorami, ale czy wektory są już liniowo odłogiem. Na jaki numer się nazywa pokój przestrzeń.

Zróżnicowanie przestrzeni wektorowej, składającej się z jednego wektora zerowego, jest równe zeru.

Razvіrnіst przestrzeń brzmi jako symbol.

Wizyta, umówione spotkanie. Przestrzeń wektorowa nazywa się niewybaczalny yakscho w nowy sposób be-yak liczbę liniowo niezależnych wektorów. Napisz w jakiej vipadce.

Z'yasuєmo zv'yazok mіzh ponyattyami podstawa i przestronność.

Twierdzenie. Yakshcho jest wektorową przestrzenią otwartości, to czy to liniowo niezależne wektory tej przestrzeni spełniają tę podstawę.

Twierdzenie. Jeśli rozpiętość wektora jest bazą złożoną z wektorów, to .

Podobne informacje.

Odłogi liniowe i niezależność wektorów

Wyznaczanie liniowych odłogów i niezależnych systemów wektorowych

Spotkanie 22

Pozwól mi mieć system n-wektorów i może zbiór liczb
Również

(11)

nazywana jest kombinacją liniową danego układu wektorów i zbioru współczynników.

Spotkanie 23

System wektorowy
nazywa się odłogiem liniowo, jako taki zbiór współczynników
, Jeżeli tylko jeden z nich nie jest równy zeru, to kombinacja liniowa danego układu wektorów ze zbiorem współczynników jest równa wektorowi zerowemu:

Daj spokój
Również

Spotkanie 24 ( poprzez manifestację jednego wektora systemu w postaci liniowej kombinacji innych)

System wektorowy
nazywa się odłogiem liniowym, nawet jeśli chcesz mieć jeden z wektorów w systemie, możliwe jest posiadanie liniowej kombinacji innych wektorów w systemie.

Potwierdzenie 3

Wyznaczone 23 i 24 są równoważne.

Spotkanie 25(poprzez kombinację linii zerowej)

System wektorowy
nazywa się liniowo niezależnym, więc zerowa kombinacja liniowa systemu może być używana tylko dla wszystkich
równy zero.

Spotkanie 26(poprzez niemożność przedstawienia jednego wektora układu jako liniowej kombinacji innych)

System wektorowy
nazywane są liniowo niezależnymi, ponieważ żaden z wektorów w systemie nie może być widziany w liniowej kombinacji innych wektorów w systemie.

Dominacja liniowo odłogowych i niezależnych układów wektorów

Twierdzenie 2 (wektor zerowy dla układu wektorów)

Jeżeli układ wektorów jest wektorem zerowym, to układ jest odłogowany liniowo.

 Chodź
to samo.

Na wynos
, a następnie do wyznaczenia odłogu liniowego układu wektorów przez zerową kombinację liniową (12) system jest odłogiem liniowym.

Twierdzenie 3 (Podsystem Depozyt w układzie wektorów)

Tak jak system wektorowy jest podsystemem liniowo odłogiem, tak ten system jest podsystemem liniowo odłogiem.

 Chodź
- podsystem liniowy odłogiem
, którego środek, jeśli jeden nie jest równy zero:

Otzhe, w przypadku spotkań 23, system jest odłogiem liniowym.

Twierdzenie 4

Czy podsystem systemu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.

 Niedopuszczalne. Niech system będzie liniowo niezależny i posiada podsystem liniowo odłogowany. Aletody po Twierdzeniu 3, cały system będzie również odłogowany liniowo. Czyszczenie. Również podsystem liniowo niezależnego systemu może być liniowo odłogowany.

Geometryczny sens liniowości i niezależności układu wektorowego

Twierdzenie 5

Dwa wektory і liniyno zalezhnі odі i lishe odі, jeśli
.

 Konieczność.

і - depozyty liniowe
co podbija umysł?
. Todi
, następnie.
.

Dostępność.

Złoża liniowe.

Ostatnie 5.1

Wektor zerowy jest współliniowy z dowolnym wektorem

Ostatnie 5.2

Aby dwa wektory były liniowo niezależne, konieczne i wystarczające, więc buv nie jest współliniowe .

Twierdzenie 6

Aby układ trzech wektorów był liniowo odłogiem, konieczne i wystarczające jest, aby te wektory były współpłaszczyznowe. .

 Konieczność.

- liniowo odłogiem, dlatego jeden wektor można zobaczyć z liniowej kombinacji dwóch innych.

, (13)

de
і
. Za regułą równoległoboku є przekątna równoległoboku z bokami
, ale równoległobok - figura płaska
współpłaszczyznowy
- również współpłaszczyznowe.

Dobrobyt.

- Towarzysz. Podajemy trzy wektory do rzeczy:

– ugór liniowy 

Ostatnie 6,1

Wektor zerowy jest współpłaszczyznowy, niezależnie od tego, czy jest parą wektorów.

Ostatnie 6,2

W celu wektoryzacji
były liniowo niezależne i konieczne, aby smród nie był współpłaszczyznowy.

Ostatnie 6,3

Niezależnie od tego, czy istnieje wektor obszaru, można spojrzeć na kombinację liniową, czy w środku i na płaszczyźnie znajdują się dwa wektory niewspółliniowe.

Twierdzenie 7

Be-yakі chotiri vectori w pobliżu przestrzeni złóż liniowych .

 Rzućmy okiem na 4 vipadie:

Narysujmy samolot przez wektory, narysujmy samolot przez wektory i narysujmy samolot przez wektory. Narysujmy płaszczyzny przechodzące przez punkt D, równolegle do par wektorów; ; oczywiście. Wzdłuż linii peretina samolotów będzie równoległościan OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Patrzeć na OB 1 D 1 C 1 - równoległobok po pobudova według zasady równoległoboku
.

Przyjrzyjmy się OADD 1 - równoległobokowi (z potęgi równoległościanu)
Również

Osadź równanie.3.

Zgodnie z twierdzeniem 1
Więc co. Todi
, system wektorów jest liniowo odłogiem.

Ostatnie 7.1

Suma trzech wektorów niewspółpłaszczyznowych w przestrzeni to wektor, który wyrasta z przekątnej równoległościanu, w oparciu o te trzy wektory, nałożony na zewnętrzną kolbę, ponadto ucho wektora sumi zbіgaєtsya z zewnętrznej kolby tych trzy wektory.

Ostatnie 7.2

Jeśli weźmiesz 3 niewspółpłaszczyznowe wektory w przestrzeni, to czy wektor tej przestrzeni może być ułożony w liniowej kombinacji tych trzech wektorów.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Rozwiązanie. Shukaєmo zagalne rіshennya rіvnyan system

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Metoda Gaussa. Dla których zapisujemy jednorodny układ współrzędnych:

Macierz systemowa

System może patrzeć na: (r A = 2, n= 3). System jest spіlna i jest niewidoczny. ї zagalne orzeczenie ( x 2 - bezpłatna zmiana): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Obecność niezerowego prywatnego rozwiązania, na przykład, aby mówić o tych wektorach a 1 , a 2 , a 3 depozyty liniowe.

tyłek 2.

Z'yasuvati, chi є układ wektorów jest dany liniowo odłogiem lub liniowo niezależnym:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Rozwiązanie. Przyjrzyjmy się jednorodnemu systemowi wyrównywania a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

lub w ryczącym spojrzeniu (za współrzędnymi)

System jest jednolity. Jeśli nie jest wirogenną, jest tylko jedno rozwiązanie. Jak radzić sobie z jednorodnym systemem jest rozwiązaniem zerowym (trywialnym). Czasami układ wektorów jest niezależny. Cóż, w systemie Virogen mogą być decyzje niezerowe i dlatego jest odłogiem.

Dokonujemy przeglądu systemu pod kątem wirogenności:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.