Як визначити, що функція безперервна. Безперервна функція. Основні властивості безперервних функцій

Процес дослідження функції на безперервність нерозривно пов'язані з навичкою перебування односторонніх меж функції. Тому, щоб розпочати вивчення матеріалу цієї статті, бажано попередньо розібрати тему межі функції.

Функція f(x) є безперервнийу точці x 0 , якщо межа зліва дорівнює межі праворуч і збігається зі значенням функції у точці x 0 , тобто: lim x → x 0 - 0 f (x) = f (x 0)

Дане визначення дозволяє вивести наслідок: значення межі функції у точках безперервності збігається зі значенням функції у цих точках.

Приклад 1

Дана функція f(x) = 1 6 (x – 8) 2 – 8 . Необхідно довести її безперервність у точці х 0 = 2.

Рішення

Насамперед, визначимо існування межі зліва. Щоб це зробити, використовуємо послідовність аргументів х n , що зводиться до х 0 = 2 · (х n< 2) . Например, такой последовательностью может быть:

2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Відповідна послідовність значень функцій виглядає так:

f (- 2); f(0); f(1); f 1 1 2; f 1 3 4; f 1 7 8; f 1 15 16; . . . ; f 1 1023 1024; . . . = = 8. 667; 2 . 667; 0 . 167; - 0. 958; -1. 489; -1. 747; -1. 874; . . . ; -1. 998; . . . → - 2

на кресленні вони позначені зеленим кольором.

Досить очевидно, що така послідовність зводиться до - 2, отже, lim x → 2 - 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Визначимо існування межі праворуч: використовуємо послідовність аргументів х n , що зводиться до х 0 = 2 (х n> 2). Наприклад, такою послідовністю може бути:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Відповідна послідовність функцій:

f(6); f(4); f(3); f 2 1 2; f 2 1 4; f 2 1 8; f 2 1 16; . . . ; f 2 1 1024; . . . = = -7. 333; - 5. 333; -3. 833; -2. 958; -2. 489; -2. 247; -2. 247; -2. 124; . . . ; -2. 001; . . . → - 2

на малюнку позначена синім кольором.

І ця послідовність зводиться до - 2 тоді lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Діями вище було показано, що межі праворуч і ліворуч є рівними, а значить існує межа функції f(x) = 1 6 x - 8 2 - 8 у точці х 0 = 2 , при цьому lim x → 2 1 6 (x - 8 ) 2-8 = -2.

Після обчислення значення функції у заданій точці очевидно виконання рівності:

lim x → 2 – 0 f (x) = lim x → 2 + 0 f (x) = f (2) = 1 6 (2 – 8) 2 – 8 = – 2 що свідчить про безперервність заданої функції у заданій точці.

Покажемо графічно:

Відповідь:Безперервність функції f(x) = 1 6 (x – 8) 2 – 8 у заданій частині доведено.

Усунутий розрив першого роду

Функція має усувний розрив першого родуу точці х 0 коли межі справа і зліва рівні, але не рівні значення функції в точці, тобто:

lim x → x 0 - 0 f(x) = lim x → x 0 + 0 f(x) ≠ f (x 0)

Приклад 2

Задана функція f(x) = x 2 – 25 x – 5 . Необхідно визначити точки її розриву та визначити їх тип.

Рішення

Спочатку позначимо область визначення функції: D (f (x)) ⇔ D x 2 - 25 x - 5 ⇔ x - 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ (- ∞ ; 5) ∪ (5 ; + ∞)

У заданій функції точкою розриву може лише гранична точка області визначення, тобто. х 0 = 5. Досліджуємо функцію на безперервність у цій точці.

Вираз x 2 – 25 x – 5 спростимо: x 2 – 25 x – 5 = (x – 5) (x + 5) x – 5 = x + 5 .

Визначимо межі праворуч та ліворуч. Оскільки функція g (x) = x + 5 є безперервною за будь-якого дійсного x , тоді:

lim x → 5 – 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10

Відповідь:межі праворуч і ліворуч є рівними, а задана функція у точці х 0 = 5 не визначено, тобто. у цій точці функція має усунутий розрив першого роду.

Непереборний розрив першого роду також визначається точкою стрибка функції.

Визначення 3 Приклад 3

Задано шматково-безперервну функцію f (x) = x + 4 , x< - 1 , x 2 + 2 , - 1 ≤ x < 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Рішення

Розриви даної функції може бути лише у точці х 0 = - 1 чи точці х 0 = 1 .

Визначимо межі праворуч і ліворуч від цих точок та значення заданої функції у цих точках:

• ліворуч від точки х 0 = - 1 задана функція є f (x) = x + 4 тоді в силу безперервності лінійної функції: lim x → - 1 - 0 f (x) = lim x → - 1 - 0 (x + 4 ) = - 1 + 4 = 3;
• безпосередньо в точці х 0 = - 1 функція набуває вигляду: f (x) = x 2 + 2, тоді: f (- 1) = (- 1) 2 + 2 = 3;
• на проміжку (- 1; 1) задана функція є: f(x) = x 2 + 2 . Маючи властивість безперервності квадратичної функції, маємо: lim x → - 1 + 0 f (x) = lim x → - 1 + 0 (x 2 + 2) = (- 1) 2 + 2 = 3 lim x → 1 - 0 f(x) = lim x → 1 - 0 (x 2 + 2) = (1) 2 + 2 = 3
• у точці х 0 = - 1 функція має вигляд: f(x) = 2 x та f(1) = 2 · 1 = 2 .
• праворуч від точки х 0 задана функція є f(x) = 2 x . З огляду на безперервність лінійної функції: lim x → 1 + 0 f (x) = lim x → 1 + 0 (2 x) = 2 · 1 = 2

Відповідь:зрештою ми отримали:

• lim x → - 1 - 0 f(x) = lim x → - 1 + 0 f(x) = f(-1) = 3 - це означає, що в точці х 0 = - 1 задана шматкова функція безперервна;
• lim x → - 1 - 0 f (x) = 3, lim x → 1 + 0 f (x) = 2 - таким чином, у точці х 0 = 1 визначено непереборний розрив першого роду (стрибок).

Нам залишається лише підготувати креслення цього завдання.

Функція має розрив другого родуу точці х 0 , коли якоїсь межі зліва lim x → x 0 - 0 f (x) або справа lim x → x 0 + 0 f (x) не існує або нескінченний.

Приклад 4

Задано функцію f(x) = 1 x . Необхідно досліджувати задану функцію на безперервність, визначити вид точок розриву, підготувати креслення.

Рішення

Запишемо область визначення функції: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) .

Знайдемо межі праворуч та ліворуч від точки х 0 = 0 .

Задамо довільну послідовність значень аргументу, що сходить до х 0 зліва. Наприклад:

8 ; - 4 ; - 2 ; - 1 ; - 1 2 ; - 1 4 ; . . . ; - 1 1024 ; . . .

Їй відповідає послідовність значень функції:

f (- 8); f (- 4); f (- 2); f (- 1); f - 1 2; f - 14; . . . ; f-1 1024; . . . = = - 18; - 1 4; - 1 2; - 1; - 2; - 4; . . . ; - 1024; . . .

Очевидно, що ця послідовність є нескінченно великою негативною, тоді lim x → 0 - 0 f (x) = lim x → 0 - 0 1 x = - ∞ .

Тепер задамо довільну послідовність значень аргументу, що сходить до х 0 справа. Наприклад: 8; 4; 2; 1; 1 2; 1 4; . . . ; 1 1024; . . . , і їй відповідає послідовність значень функції:

f(8); f(4); f(2); f(1); f 1 2; f 1 4; . . . ; f 1 1024; . . . = = 1 8; 1 4; 1 2; 1; 2; 4; . . . ; 1024; . . .

Ця послідовність - нескінченно велика позитивна, отже, lim x → 0 + 0 f (x) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .

Відповідь: точка х 0 = 0 – точка розриву функції другого роду.

Проілюструємо:

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Ця стаття - про безперервну числову функцію. Про безперервні відображення в різних розділах математики див. безперервне відображення.

Безперервна функція- функція без «стрибків», тобто така, яка має малі зміни аргументу призводять до малих змін значення функції.

Безперервна функція, взагалі кажучи, синонім поняття безперервне відображення, проте найчастіше цей термін використовується у більш вузькому сенсі - для відображень між числовими просторами, наприклад, на речовій прямій. Ця стаття присвячена саме безперервним функціям, визначеним на підмножині речових чисел, що приймають речові значення.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ Безперервність функції та точки розриву функції

✪ 15 Безперервна функція

✪ Безперервні функції

✪ Математичний аналіз, 5 урок, Безперервність функції

✪ Безперервна випадкова величина. Функція розподілу

Субтитри

Визначення

Якщо "поправити" функцію f (\displaystyle f)у точці усувного розриву і покласти f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), то вийде функція, безперервна у цій точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до безперервноїабо довизначенням функції безперервності, що і доводить назву точки, як точки усувногорозриву.

Точка розриву «стрибок»

Розрив «стрибок» виникає, якщо

Крапка розриву «полюс»

Розрив «полюс» виникає, якщо одна з односторонніх меж нескінченна.

Крапка суттєвого розриву

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх меж взагалі відсутня.

Класифікація ізольованих особливих точок R n , n>1

Для функцій f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(n))і f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) )немає потреби працювати з точками розриву, проте часто доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в R (\displaystyle \mathbb (R) )вважається стрибком, у просторах більших розмірностей - істотна особлива точка.

Властивості

Локальні

• Функція, безперервна у точці a (\displaystyle a), є обмеженою в деякій околиці цієї точки.
• Якщо функція f (\displaystyle f)безперервна у точці a (\displaystyle a)і f(a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(або f(a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), то f(x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(або f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) для всіх x (\displaystyle x), досить близьких до a (\displaystyle a).
• Якщо функції f (\displaystyle f)і g (\displaystyle g)безперервні в точці a (\displaystyle a), то функції f + g (\displaystyle f+g)і f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g)теж безперервні в точці a (\displaystyle a).
• Якщо функції f (\displaystyle f)і g (\displaystyle g)безперервні в точці a (\displaystyle a)і при цьому g(a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), то функція f / g (\displaystyle f/g)теж безперервна у точці a (\displaystyle a).
• Якщо функція f (\displaystyle f)безперервна у точці a (\displaystyle a)та функція g (\displaystyle g)безперервна у точці b = f (a) (\displaystyle b = f(a)), то їх композиція h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f)безперервна у точці a (\displaystyle a).

Глобальні

• компактному множині), рівномірно безперервна на ньому.
• Функція, безперервна на відрізку (або будь-якому іншому компактному множині), обмежена і досягає на ньому свої максимальне і мінімальне значення.
• Область значень функції f (\displaystyle f), безперервний на відрізку , є відрізок [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],)де мінімум і максимум беруться за відрізком [ a , b ] (\displaystyle ).
• Якщо функція f (\displaystyle f)безперервна на відрізку [ a , b ] (\displaystyle )і f(a) ⋅ f(b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} то існує точка в якій f(ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
• Якщо функція f (\displaystyle f)безперервна на відрізку [ a , b ] (\displaystyle )і число φ (\displaystyle \varphi)задовольняє нерівності f(a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi або нерівності f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),)то існує точка ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)в якій f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi).
• Безперервне відображення відрізка в речову пряму ін'єктивно в тому і тільки в тому випадку, коли ця функція на відрізку суворо монотонна.
• Монотонна функція на відрізку [ a , b ] (\displaystyle )безперервна в тому і лише в тому випадку, коли область її значень є відрізком із кінцями f(a) (\displaystyle f(a))і f (b) (\displaystyle f(b)).
• Якщо функції f (\displaystyle f)і g (\displaystyle g)безперервні на відрізку [ a , b ] (\displaystyle ), причому f(a)< g (a) {\displaystyle f(a)і f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),)то існує точка ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)в якій f(ξ) = g(ξ) . (\displaystyle f(\xi)=g(\xi).)Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке безперервне відображення відрізка має хоча б одну нерухому точку .

Приклади

Елементарні функції

Ця функція безперервна у кожній точці x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0).

Крапка є точкою розриву першого роду, причому

тоді як у самій точці функція перетворюється на нуль.

Ступінчаста функція

Ступінчаста функція, що визначається як

є всюди безперервною, крім точки x = 0 (\displaystyle x=0), де функція зазнає розриву першого роду. Тим не менш, у точці x = 0 (\displaystyle x=0)існує правостороння межа, що збігається зі значенням функції у цій точці. Таким чином, ця функція є прикладом безперервна справафункції по всій області визначення.

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

є прикладом безперервної злівафункції по всій області визначення.

Функція Діріхле

Безперервність функції у точці

Нехай функція f(x) визначена в околиці O(x0) точки x0 (включаючи саму точку x0).

Функція f(x) називається безперервною у точці x0, якщо існує limx → x0 f(x) , що дорівнює значенню функції f(x) у цій точці: lim

f(x) = f(x0), (1)

тобто. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O(x0) Ю f(x) O(f(x0)) .

Зауваження. Рівність (1) можна записати у вигляді: lim

тобто. під знаком безперервної функції можна переходити межі.

Нехай Δx = x − x0 - збільшення аргументу, Δy = f(x) − f(x0) - відповідне збільшення функції.

Необхідна і достатня умова безперервності функції у точці

Функція y = f(x) безперервна у точці х0 тоді і лише тоді, коли

Зауваження. Умову (2) можна трактувати як друге визначення безперервності функції у точці. Обидва визначення еквівалентні.

Нехай функція f(x) визначена напівінтервалі .

Функція f(x) називається безперервною зліва в точці x0, якщо існує одностороння межа lim

Безперервність суми, твору та приватного двох безперервних функцій

Теорема 1. Якщо функції f(x) і g(x) безперервні у точці х0, то в цій точці безперервні f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)

Безперервність складної функції

Теорема 2. Якщо функція u(x) безперервна у точці х0, а функція f(u) безперервна у відповідній точці u0 = f(x0), то складна функція f(u(x)) безперервна у точці х0.

Усі елементарні функції безперервні у кожній точці їх областей визначення.

Локальні властивості безперервних функцій

Теорема 3 (обмеженість безперервної функції). Якщо функція f(x) безперервна в точці x0, існує околиця O(x0), у якій f(x) обмежена.

Доказ випливає із твердження про обмеженість функції, що має межу.

Теорема 4 (стійкість знаку безперервної функції). Якщо функція f(x) безперервна в точці x0 і f(x0) ≠ 0, то існує околиця точки x0, в якій f(x) ≠ 0, причому знак f(x) у цьому околиці збігається зі знаком f(x0).

Класифікація точок розриву

Умова (1) безперервності функції f(x) у точці x0 дорівнює умові f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

де f(x 0 − 0) = lim

f(x) та f(x0 + 0) = lim

f(x) - односторонні межі функції f(x) у точці x0.

За порушення умови (3) точка x0 називається точкою розриву функції f(x). Залежно від виду порушення умови (3) точки розриву мають різний характер та класифікуються таким чином:

1. Якщо у точці x0 існують односторонні межі f(x0 − 0), f(x0 + 0) та

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), точка х0 називається точкою розриву функції f(x) (рис. 1).

Зауваження. У точці x0 функція може бути визначена.

2. Якщо в точці x0 існують односторонні межі f(x0 − 0), f(x0 + 0) та

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), точка x0 називається точкою розриву з кінцевим стрибком функції f(x) (рис.2).

Зауваження. У точці розриву з кінцевим стрибком значення функції може бути будь-яким, а може бути не визначено.

Крапки усуненого розриву і кінцевого стрибка називаються точками розриву 1-го роду. Їхньою відмінною ознакою є існування кінцевих односторонніх меж f(x0 − 0) і

3. Якщо в точці x0 хоча б одна з односторонніх меж f(x0 − 0), f(x0 + 0) дорівнює нескінченності або не існує, то
x0 називається точкою розриву 2-го роду (рис. 3).

Якщо хоча б одна з односторонніх меж f(x0 − 0), f(x0 + 0) дорівнює нескінченності, то пряма x = x 0 називається вертикальною асимптотою графіка функції y = f(x).

Визначення. Функція f(x), визначена на околиці деякої точки х0, називається безперервною у точці х0, якщо межа функції та її значення у цій точці рівні, тобто.

Той самий факт можна записати інакше:

Визначення. Якщо функція f(x) визначена в деякій околиці точки х0, але не є безперервною в самій точці х0, вона називається розривною функцією, а точка х0 – точкою розриву.

Визначення. Функція f(x) називається безперервною у точці х0, якщо для будь-якого позитивного числа e>0 існує таке число D>0, що для будь-яких х, що задовольняють умові

Правильне нерівність.

Визначення. Функція f(x) називається безперервною в точці х = х0, якщо збільшення функції в точці х0 є нескінченно малою величиною.

f(x) = f(x0) + a(x)

де a(х) – нескінченно мала за х®х0.

Властивості безперервних функцій.

1) Сума, різницю та добуток безперервних у точці х0 функцій – є функція, безперервна у точці х0.

2) Приватне двох безперервних функцій – є безперервна функція за умови, що g(x) не дорівнює нулю у точці х0.

3) Суперпозиція безперервних функцій – є безперервна функція.

Ця властивість може бути записана наступним чином:

Якщо u = f(x), v = g(x) – безперервні функції у точці х = х0, то функція v = g(f(x)) – теж безперервна функція у цій точці.

Справедливість наведених вище властивостей можна легко довести, використовуючи теореми про межі

Властивості функцій, безперервних на відрізку.

Властивість 1: (Перша теорема Вейєрштрасса (Вейєрштрасс Карл (1815-1897) - німецький математик)). Функція, безперервна на відрізку, обмежена цьому відрізку, тобто. на відрізку виконується умова –M £ f(x) £ M.

Доказ цієї властивості заснований на тому, що функція, безперервна в точці х0, обмежена в деякій її околиці, а якщо розбивати відрізок на нескінченну кількість відрізків, які "стягуються" до точки х0, то утворюється деяка околиця точки х0.

Властивість 2: Функція, безперервна на відрізку, набуває на ньому найбільшого та найменшого значення.

Тобто. існують такі значення х1 і х2, що f(x1) = m, f(x2) = M, причому

Відзначимо ці найбільші та найменші значення функція може приймати на відрізку та кілька разів (наприклад, f(x) = sinx).

Різниця між найбільшим та найменшим значенням функції на відрізку називається коливанням функції на відрізку.

Властивість 3: (Друга теорема Больцано – Коші). Функція, безперервна на відрізку, приймає цьому відрізку всі значення між двома довільними величинами.

Властивість 4: Якщо функція f(x) безперервна в точці х = х0, існує певна околиця точки х0, в якій функція зберігає знак.

Властивість 5: (Перша теорема Больцано (1781-1848) – Коші). Якщо функція f(x)- безперервна на відрізку і має кінцях відрізка значення протилежних знаків, існує така точка всередині цього відрізка, де f(x) = 0.

Тобто. якщо sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $х0: f(x0) = 0.

Визначення. Функція f(x) називається рівномірно безперервною на відрізку , якщо для будь-якого e>0 існує D>0 таке, що для будь-яких точок х1Î і x2Î таких, що

ïх2 – х1ï< D

правильна нерівність ïf(x2) – f(x1)ï< e

Відмінність рівномірної безперервності від “звичайної” у цьому, що з будь-якого e існує своє D, яке залежить від х, а при “звичайній” безперервності D залежить від e і x.

Властивість 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) – німецький математик). Функція, безперервна на відрізку, поступово безперервна у ньому.

(Ця властивість справедлива тільки для відрізків, а не для інтервалів та напівінтервалів.)

Визначення безперервності

Функція f(x) називається безперервною у точці a, якщо: у f() рр

1) функція f(x) визначена у точці a,

2) має кінцеву межу при x→a; 2) має кінцеву межу при x→ a,

3) ця межа дорівнює значенню функції у цій точці:

Безперервність на проміжку

Функція f(x) називається безперервною на проміжку X, якщо у f() рр ру

Вона безперервна у кожній точці цього проміжку.

Твердження. Всеелементарні функції безперервні в

Області їх визначення.

Обмежена функція (bounded function)

Функція називається обмеженою на відрізку, якщо

існує число M таке, що для всіх x ∈ виконується

нерівність: | f(x)| ≤ M.

Дві теореми Вейєрштраса

Перша теорема Вейєрштраса. Якщо функція f (x р р рр фу f (

безперервна на відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку

Друга теорема Вейєрштрасса.Якщо функція f (x

безперервна на відрізку , то вона досягає на цьому відрізку

найменшого значення m і найбільшого значення M.

Теорема Больцано-Коші

Якщо функція f (x) безперервна на відрізку значення на фу f () рр р

кінцях цього відрізка f (a) і f (b) мають протилежні знаки,

товнутріотрезканайдетьсяточка c∈(a,b) така, що f(c) = 0. ур р() f()

Визначення.Нехай функція у = f(x) визначена в точці x0 та деякої її околиці. Функція у = f(x) називається безперервний у точці x0, якщо:

1. існує
2. ця межа дорівнює значенню функції у точці x0:

При визначенні межі підкреслювалося, що f(x) може бути не визначена в точці x0, а якщо вона визначена в цій точці, то значення f(x0) не бере участі у визначенні межі. При визначенні безперервності важливо, що f(x0) існує, і це має бути дорівнює lim f(x).

Визначення.Нехай функція у = f(х) визначена в точці x0 та деякої її околиці. Функція f(x) називається безперервною в точці x0, якщо для всіх ε>0 існує позитивне число δ, таке, що для всіх x з δ-околиці точки x0 (тобто |х-x0|
Тут враховується, що значення межі має дорівнювати f(x0), тому, порівняно з визначенням межі, знято умову проколотості δ-околиці 0
Дамо ще одне (рівносильне попереднім) визначення в термінах збільшення. Позначимо Δх = x - x0, цю величину називатимемо збільшенням аргументу. Оскільки х->x0, то Δх->0, тобто Δх - б.м. (Безмежно мала) величина. Позначимо Δу = f(х)-f(x0), цю величину називатимемо збільшенням функції, оскільки |Δу| має бути (при досить малих |Δх|) менше довільного числа ε>0, то Δу- теж б.м. величина, тому

Визначення.Нехай функція у = f(х) визначена в точці x0 та деякої її околиці. Функція f(х) називається безперервний у точці x0якщо нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале збільшення функції.

Визначення.Функція f(х), що не є безперервною в точці x0, називається розривноюу цій точці.

Визначення.Функція f(х) називається безперервною на множині X, якщо вона безперервна в кожній точці цієї множини.

Теорема про безперервність суми, твору, приватного

Теорема про перехід до межі під знаком безперервної функції

Теорема про безперервність суперпозиції безперервних функцій

Нехай функція f(x) визначена на відрізку та монотонна на цьому відрізку. Тоді f(x) може на цьому відрізку тільки точки розриву першого роду.

Теорема про проміжне значення.Якщо функція f(x) безперервна на відрізку і в двох точках а і b (a менше b) набуває нерівних значень A = f(a) ≠ В = f(b), то для будь-якого числа С, що лежить між А і В, знайдеться точка c ∈ , у якій значення функції дорівнює З: f(c) = C.

Теорема про обмеженість безперервної функції на відрізку.Якщо функція f(x) безперервна на відрізку, вона обмежена на цьому відрізку.

Теорема про досягнення мінімального та максимального значень.Якщо функція f(x) безперервна на відрізку, вона досягає цьому відрізку свої нижню і верхню грані.

Теорема про безперервність зворотної функції.Нехай функція y = f (x) безперервна і строго зростає (зменшується) на відрізку [а, b]. Тоді на відрізку існує зворотна функція х = g(y), також монотонно зростаюча (зменшується) і безперервна.

На цьому уроці вчимося встановлювати безперервність функції. Робитимемо це за допомогою меж, причому односторонніх - правого та лівого, які зовсім не страшні, незважаючи на те, що записуються як і .

Але що таке взагалі безперервність функції? Поки ми не дійшли до суворого визначення, найпростіше уявити лінію, яку можна накреслити, не відриваючи олівець від паперу. Якщо така лінія накреслена, вона безперервна. Ця лінія є графіком безперервної функції.

Графічно функція безперервна у точці, якщо її графік не "розривається" у цій точці. Графік такої безперервної функції - показано на малюнку нижче.

Визначення безперервності функції через межу.Функція є безперервною у точці за дотримання трьох умов:

1. Функція визначена у точці .

Якщо хоча б одну з перерахованих умов не дотримано, функція не є безперервною у точці. При цьому кажуть, що функція зазнає розриву, а точки на графіку, в яких графік переривається, називаються точками розриву функції. Графік такої функції , яка зазнає розриву в точці x = 2 - на малюнку нижче.

приклад 1.Функція f(x) визначено наступним чином:

Чи буде ця функція безперервною у кожній з граничних точок її гілок, тобто у точках x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

Рішення. Перевіряємо всі три умови безперервності функції у кожній граничній точці. Перша умова дотримується, оскільки те, що функція визначенау кожному з граничних точок, випливає з визначення функції. Залишилося перевірити решту двох умов.

Точка, крапка x= 0. Знайдемо лівосторонню межу в цій точці:

.

Знайдемо правосторонню межу:

x= 0 повинні бути знайдені при тій галузі функції, яка включає в себе цю точку, тобто другий галузі. Знаходимо їх:

Як бачимо, межа функції та значення функції у точці x= 0 рівні. Отже, функція є безперервною у точці x = 0 .

Точка, крапка x= 1. Знайдемо лівосторонню межу в цій точці:

Знайдемо правосторонню межу:

Межа функції та значення функції у точці x= 1 повинні бути знайдені при тій галузі функції, яка включає в себе цю точку, тобто другий галузі. Знаходимо їх:

.

Межа функції та значення функції у точці x= 1 рівні. Отже, функція є безперервною у точці x = 1 .

Точка, крапка x= 3 . Знайдемо лівосторонню межу в цій точці:

Знайдемо правосторонню межу:

Межа функції та значення функції у точці x= 3 повинні бути знайдені при тій галузі функції, яка включає в себе цю точку, тобто другої гілки. Знаходимо їх:

.

Межа функції та значення функції у точці x= 3 рівні. Отже, функція є безперервною у точці x = 3 .

Основний висновок: дана функція є безперервною у кожній граничній точці.

Встановити безперервність функції в точці самостійно, а потім переглянути рішення

Безперервне зміна функції можна визначити як поступове зміна, без стрибків, при якому мале зміна аргументу тягне за собою мале зміна функції .

Проілюструємо цю безперервну зміну функції на прикладі.

Нехай над столом висить на нитці вантаж. Під дією цього вантажу нитка розтягується, тому відстань lвантажу від точки підвісу нитки є функцією маси вантажу m, тобто l = f(m) , m≥0 .

Якщо трохи змінити масу вантажу, то відстань lзміниться мало: малим змінам mвідповідають малі зміни l. Однак якщо маса вантажу близька до межі міцності нитки, то невелике збільшення маси вантажу може спричинити розрив нитки: відстань lстрибкоподібно збільшиться і дорівнюватиме відстані від точки підвісу до поверхні столу. Графік функції l = f(m) зображений малюнку. На ділянці цей графік є безперервною (суцільною) лінією, а точці він переривається. В результаті виходить графік, що складається із двох гілок. У всіх точках, крім , функція l = f(m) безперервна, а точці вона має розрив.

Дослідження функції на безперервність може бути як самостійним завданням, так і одним з етапів повного дослідження функції та побудови її графіка.

Безперервність функції на проміжку

Нехай функція y = f(x) визначена в інтервалі] a, b[ і безперервна у кожній точці цього інтервалу. Тоді вона називається безперервною в інтервалі. a, b[ . Аналогічно визначається поняття безперервності функції на проміжках виду ]- ∞, b[ , ]a, + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Нехай тепер функція y = f(x) визначено на відрізку [ a, b]. Різниця між інтервалом та відрізком: граничні точки інтервалу не входять до інтервалу, а граничні точки відрізка входять у відрізок. Тут слід згадати про так звану односторонню безперервність: у точці a, залишаючись на відрізку [ a, b] , ми можемо наближатися тільки праворуч, а до точки b- Тільки ліворуч. Функція називається безперервною на відрізку [ a, b] , якщо вона безперервна у всіх внутрішніх точках цього відрізка, безперервна праворуч у точці aі безперервна зліва в точці b.

Прикладом безперервної функції може бути будь-яка з елементарних функцій. Кожна елементарна функція безперервна будь-якому відрізку, у якому вона визначена. Наприклад, функції та безперервні на будь-якому відрізку [ a, b] , функція безперервна на відрізку [ 0 , b] , функція безперервна на будь-якому відрізку, що не містить точку a = 2 .

Приклад 4.Дослідити функцію на безперервність.

Рішення. Перевіряємо першу умову. Функція не визначена в точках - 3 і 3. Щонайменше одна з умов безперервності функції на всій числовій прямій не виконується. Тому ця функція є безперервною на інтервалах

Приклад 5.Визначити, за якого значення параметра aбезперервна на всій області визначенняфункція

Рішення.

Знайдемо правосторонню межу при:

.

Очевидно, що значення у точці x= 2 має бути рівним ax :

a = 1,5 .

Приклад 6.Визначити, за яких значень параметрів aі bбезперервна на всій області визначенняфункція

Рішення.
Знайдемо лівосторонню межу функції в точці:

.

Отже, значення в точці має дорівнювати 1:

Знайдемо ліву функцію в точці :

Очевидно, що значення функції в точці має бути рівним :

Відповідь: функція безперервна на всій області визначення при a = 1; b = -3 .

Основні властивості безперервних функцій

До поняття безперервної функції математика дійшла, вивчаючи насамперед різні закони руху. Простір і час нескінченні, і залежність, наприклад, шляхи sвід часу t, виражена законом s = f(t) , дає приклад безперервної функції f(t). Безперервно змінюється і температура води, що нагрівається, вона також є безперервною функцією від часу: T = f(t) .

У математичному аналізі доведені деякі властивості, які мають безперервні функції. Наведемо найважливіші з цих властивостей.

1. Якщо безперервна на інтервалі функція набирає на кінцях інтервалу значення різних знаків, то в деякій точці цього відрізка вона набуває значення, що дорівнює нулю. У формальному викладі ця властивість дано в теоремі, відомої як перша теорема Больцано-Коші.

2. Функція f(x) , безперервна на інтервалі [ a, b] , приймає всі проміжні значення між значеннями в кінцевих точках, тобто між f(a) та f(b). У формальному викладі ця властивість дано в теоремі, відомої як друга теорема Больцано-Коші.