Град в метрото

Как да обозначим, чи є вектори и линейни угари. Линейна независимост и линейна независимост на векторната система. Приложете решението на задачите към линейна независимост или линейна независимост на векторите

Хайде Л- дълго линейно пространство, a и Î Л- Його елементи (вектор).

Назначаване 3.3.1.Вираз , де , - предговорни числа, наречени линейна комбинация вектор_vа 1, а 2,…, а н.

Yakscho вектор Р = , тогава изглежда така Р оформления за векториа 1, а 2,…, а н.

Назначаване 3.3.2.Линейна комбинация от вектори се нарича нетривиален yakscho сред числата е, които искат да използват едно vіdmіnne vіd нула. По друг начин се нарича линейната комбинация тривиално.

Назначаване 3.3.3 . Вектори a 1 , a 2 ,…, a нсе наричат линейно угар, което означава, че има нетривиална линейна комбинация, такава, че

= 0 .

Назначаване 3.3.4. Вектори a 1 ,a 2 ,..., a нсе наричат линейно независими, като ревността = 0 по-добре е да имате vipadku, ако всички числа л 1, л 2,…, l nедна нощ до нула.

Важно е, че всеки ненулев елемент a 1 може да бъде линейно независима система, ла 1 = 0 може би повече за вашия ум л= 0.

Теорема 3.3.1.Необходим и достатъчен умствен линеен угар a 1 , a 2 ,…, a не възможността на последната спирка да се разположи един от тези елементи от останалите.

Доказателство. Необходимост. Нека елементите a 1 , a 2 ,…, a нлинейни депозити. Tse какво означава = 0 , освен това, ако искате едно от числата л 1, л 2,…, l nвидимо нула. Хайде да пеем л 1 ¹ 0. Тоди

така че елемент a 1 се разширява след елементи a 2 , a 3 , …, a н.

Наличност. Нека елемент a 1 бъде разложен на елементи a 2 , a 3 , …, a н, тогава a1 = . Тоди = 0 , също така, основната нетривиална линейна комбинация от вектори a 1 , a 2 ,..., a н, ривна 0 така че вонята е линейно угар .

Теорема 3.3.2. Искам един от елементите a 1 , a 2 ,…, a ннулеви, q вектори и линейни депозити.

доказателство . Хайде а н= 0 todi = 0 което означава линейност на значимостта на елементите.

Теорема 3.3.3. Само средното n на вектора p (стр< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Доказателство. Нека елементите a 1, a 2, ..., a стрлинейни депозити. Tse означава, че има такава нетривиална линейна комбинация, че = 0 . Собственият капитал е указан да бъде запазен, за да се добави елемент към двете части. Тоди + = 0 ако искате едно от числата л 1, л 2,…, lpвидимо нула. Отново вектори a 1 , a 2 ,..., a нє линеен угар.

Последна 3.3.1.Ако n елемента са линейно независими, тогава независимо дали някои от тях са линейно независими (k< n).

Теорема 3.3.4. Yakscho vectoriа 1, а 2,…, а н- 1 линейно независими и елементиа 1, а 2,…, а н- 1 , а n линейно депозиран, след това векторъта n може да бъде разширено извън векторитеа 1, а 2,…, а н- 1 .

Доказателство. Oskіlki за ума a 1 , a 2 ,…, а н- 1 , а н линейно угар, то това е нетривиална линейна комбинация = 0 , освен това (inakshe, да са линейно угарни вектори a 1 , a 2 ,..., a н-едно). Ale tody вектор

каквото трябваше да донеса.

Въведено от нас линейни операции върху векторида се даде възможност за сгъване на raznі vrazi за векторни количестваи да ги трансформира с помощта на властите, които бяха инсталирани за тези операции.

Изходящите от даден набор от вектори a 1, ..., a n могат да бъдат сумирани във формата

de a 1, ... и n са добри числа. Tsey viraz се нарича линейна комбинация от вектори a 1, ..., a n. Числата α i , i = 1, n , са коефициенти на линейна комбинация. Набор от вектори за назоваване на повече векторна система.

Във връзка с въвеждането на понятията за линейна комбинация от вектори, проблемът е да се опишат безличните вектори, които могат да бъдат записани в привидно линейна комбинация от дадена система от вектори a 1, ..., a n. В допълнение, законите на ума за ума, по някаква причина, появата на вектор в линейна комбинация, че за единството на такова явление.

Назначаване 2.1.Вектори a 1 ..., a n име линеен угаркак имате такъв набор от коефициенти α 1 , ... , α n , че

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

и ако искате един от тези коефициенти да е различен от нула. Ако няма зададен набор от коефициенти, тогава векторите се извикват линейно независими.

Ако α 1 = ... = α n = 0, тогава очевидно α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. и n е линейно независимо, поради равенството (2.2) виждаме, че всички коефициенти α 1 , ... , α n равно на нула.

Напредналата теорема обяснява защо новата концепция се нарича терминът "депозит" (или "независимост") и дава прост критерий за линеен угар.

Теорема 2.1.Соб векторите a 1 , ..., a n , n > 1, са линейно угари, необходими и достатъчни, така че един от тях е линейна комбинация от други.

◄ Необходимост. Да приемем, че векторите са 1 ... и n са линейни отлагания. Zgіdno s vznachennyam 2.1 линейни депозити, равномерност (2.2) zlіva є искащ един ненулев коефициент, например α 1 . След като оставим първия dodanok в лявата част на еквивалентността, ние го прехвърляме в дясната част, променяйки, като огнени, те имат знаци. Разделянето на еквивалентността на отриман на α 1 се отнема

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tobto. представяне на вектор a 1 като линейна комбинация от други вектори a 2 , ..., a n .

Наличност. Да кажем, например, първият вектор a може да бъде представен чрез привидно линейна комбинация от други вектори: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Прехвърляйки всички складове от дясната страна на лявата, вземаме a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, тогава. линейна комбинация от вектори a 1 , ..., a n с коефициенти α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , равни нулев вектор.В тази линейна комбинация не всички коефициенти са равни на нула. Vіdpovіdno до назначение 2.1, вектори a 1 ..., и n линейни депозити.

Целта на този критерий за линеен угар е формулирана по такъв начин, че два или повече вектора могат да присъстват едновременно. Можем обаче да говорим за линейност на един вектор. За да се реализира такава възможност, е необходимо да се замени "вектор линейно депозиран" с "векторна система линейно депозиран". Няма значение дали е съгласуван, защото „системата от един вектор е линейно угара“ означава, че този единичен вектор е нулев (в линейна комбинация има само един коефициент и той не е виновен за достигане на нула).

Концепцията за линеен угар може просто да се интерпретира геометрично. Това тълкуване се пояснява от три твърдения.

Теорема 2.2.Два вектора и линейно угари, и по-малко от другите, ако смърди колинеарна.

◄ Въпреки че векторите a и b са линейно депозирани, тогава един от тях, например, a, се изразява през другия. a = b за десетичното число λ. Vіdpovіdno до назначаване 1.7 създавайвектори по число, векторите і b є колинеарни.

Нека сега вектор и ta b kolіnearnі. Ако вонята обижда нула, тогава е очевидно, че вонята е линейно угара, така че да е линейна комбинация от нулев вектор. Нека един от тези вектори не е равен на 0, например вектор b. Показателно е, че по отношение на λ, разширението на дължините на векторите: λ = |а|/|b|. Колинеарните вектори могат да бъдат единична директнаили изправяне. В останалия случай знакът на λ се променя. След това, обръщайки обозначението 1.7, преосмисляме, че a \u003d b. Подобно на теорема 2.1, векторите a и b са линейно кумулативни.

Уважение 2.1.В случай на два вектора, враховващи критерий за линейна угара, теоремата може да се преформулира по следния начин: два вектора са колинеарни един и само един от тях, ако единият от тях е представен като другия с число. Това е разумен критерий за колинеарност на два вектора.

Теорема 2.3.Три вектора са линейно угари и по-малко, ако вонята компланарен.

◄ Ако има три вектора a, b, с линейни угари, тогава използвайки теорема 2.1 един от тях, например, a, е линейна комбинация от останалите: a = βb + γс. Подозрителен кочан на вектор b i c в точка A. Значи вектори βb, γc правило на паралелограма тяхната сума, tobto. вектор a, буде вектор h кочан A i късен, което е върхът на паралелограма, базиран на векторите-dodankіv. Следователно всички вектори лежат в една и съща равнина, т.е. те са компланарни.

Нека векторите a, b са компланарни. Ако един от тези вектори е нулев, тогава е очевидно, че грешката ще бъде линейна комбинация от останалите. Достатъчно всички коефициенти на линейната комбинация трябва да бъдат взети равни на нула. Може да се каже, че и трите вектора не са нулеви. Суми на кочан tsikh vectorіv в централната точка O. Нека да отидем их их точките ще бъдат същите точки A, B, C (фиг. 2.1). Начертайте права линия през точка C, успоредна на прави линии, които минават през точка O, A и O, B. След като сме посочили пресечните точки през A" и B", вземаме паралелограма OA"CB", също така, OC " = OA" + OB" . OA" и ненулев вектор a= OA са колинеарни и първият от тях може да бъде изваден чрез умножението на другото върху отдалеченото число α:OA" = αOA. По същия начин, OB" = βOB , β ∈ R. В резултат на това е възможно OC" = α OA + βOB , тогава векторът е линейна комбинация от вектори a и b.

Теорема 2.4. Be-yakі chotiri vectori linіyno zalezhnі.

◄ Доказателството следва същата схема като в теорема 2.3. Нека да разгледаме някои от векторите a, b, c и d. Или един от двата вектора е нулев, или в средата им има два колинеарни вектора, или три от двата вектора са компланарни и тези два вектора са линейно угари. Например, тъй като векторите a и b са колинеарни, можем да съберем тяхната линейна комбинация αa + βb = 0 с ненулеви коефициенти и след това да добавим два вектора към комбинацията, като вземем нулеви коефициенти в коефициента. Отнемаме линейна 0 комбинация от няколко вектора, в който случай има ненулеви коефициенти.

По този начин можем да разберем, че между тях няма нулеви вектори, два не са колинеарни и три не са компланарни. Нека изберем точка O като външен кочан. Тогава векторите a, b, c, d ще бъдат точки A, B, C, D (фиг. 2.2). Начертайте три равнини през точка D, успоредни на равнините ОВС, OCA, OAB, и нека A", B", C" - точките на пресичане на тези равнини с правите OA, OB, OS са ясни. B " DA", і вектори a, b, z лежат върху йога ръбовете, които излизат от върховете O. И така, тъй като chotiric OC "DC" е успоредник, тогава OD = OC "+ OC" . паралелограм OA"C "B", към това OC" = OA" + OB" , и OD = OA" + OB" + OC" .

Струва си да се спомене, че векторите за залагане OA ≠ 0 і OA" , OB ≠ 0 і OB" , OC ≠ 0 і OC" са колинеарни, i също така можете да изберете коефициентите α, β, γ, така че OA" = αOA , OB" = βOB и OC" = γOC. Остатъчен OD = αOA + βOB + γOC. Също така, векторът OD се изразява чрез решение на три вектора и всичките три вектора, съгласно теорема 2.1, са линейно депозирани.

Вектори, их мощност и dії z тях

Вектор dії z вектори, линейно векторно пространство.

Последователността от крайни числа е векторно подредена.

Dії: 1. Умножаване на вектор по число: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0.7)*3=(9, 12,0.21)

2. Сгъваеми вектори (да лежат в едно и също векторно пространство) вектор x + вектор y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Вектор 0=(0,0…0)--n E n – n-свет (линейно пространство) вектор x + вектор 0 = вектор x

Теорема. Sob системата от n вектори, n-световно линейно пространство е линейно угар, необходимо и достатъчно, така че един от векторите ще бъде линейна комбинация от други.

Теорема. Be-yaka sukupnіst n+ 1-ви вектор n- мирна линейна шир yavl. линеен угар.

Добавяне на вектори, умножаване на вектори по числа. Vіdnіmannya vektorіv.

Сумата от два вектора се нарича вектор, изправящ се от кочана на вектора до края на вектора, за да се има предвид, че кочана е от края на вектора. Точно както векторите се задават от техните оформления по отношение на векторите на базовата единица, когато векторите са сгънати, съответните им координати се добавят.

Нека да разгледаме примера на декартовата координатна система. Хайде

Да покажем какво

Z бебе 3 можете да видите това

Сборът от произволен краен брой вектори може да се намери зад правилото на bagatokutnik (фиг. 4): за да се индуцира сумата от крайния брой вектори, е достатъчно да се вземе ухото на вектора на кожната обида с края на предния и индуцирайте вектора, който минава зад ухото на първия вектор с последния от останалите.

Силата на операцията на сгъване на векторите:

В cich virase m, n са числа.

Разликата на векторите се нарича вектор Друг dodanok е вектор, противоположен вектор за права линия, но равен на един за доджина.

По този начин операцията по преместване на вектора се заменя с операцията на сгъване

Векторът, чийто кочан е разположен върху кочана на координатите, а краят - в точката A (x1, y1, z1), се нарича радиус вектор на точка A i, или просто. Части от його координатите се изместват от координатите на точка А, може да се види його оформлението по векторите

Вектор, който може да започне в точка A(x1, y1, z1) и да завърши в точка B(x2, y2, z2)

de r 2 - радиус вектор на точката; r 1 е радиус векторът на точка А.

Следователно може да се види оформлението на вектора по отношение на векторите

Його дожина е по-красива между точки А и Б

Умножете се

Така че, в случай на плоска задача, векторът на a = (ax; ay) върху числото b се намира зад формулата

a b = (ax b; ay b)

Пример 1. Намерете приращението на вектора a = (1; 2) с 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Така че, в случай на проблем с пространството, увеличаването на вектора a = (ax; ay; az) с числото b е зад формулата

a b = (ax b; ay b; az b)

Пример 1. Намерете приращението на вектора a = (1; 2; -5) с 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Скаларен dobootok vector_v това разрязване между вектори ta; yakscho abo, тогава

От гледна точка на скаларното творение, вие викате това

de, например, є стойността на проекцията на вектора директно към вектора .

Скаларен квадратен вектор:

Сила на скаларното създаване:

Скаларен twir в координати

Yakscho тогава

Кут миж вектори

Изрязване между вектори – изрязване между прави линии между векторите (най-малкият разрез).

Vector TV (Векторна телевизия от два вектора)Това е псевдовектор, перпендикулярен на равнината, индуциран от два spіv умножителя, който е резултат от двоичната операция „умножение на вектори“ върху вектори в тривиалното евклидово пространство. Tvіr не е нито комутативен, нито асоциативен (антикомутативен е), но резонира със скаларното създаване на вектори. За богатите инженери и физика е необходимо майката да може да бъде вектор, перпендикулярен на двете реалности – векторната телевизия да е възможна. Векторното разширение на corisny за „обръщане“ на перпендикулярността на векторите е дължината на векторното разширение на два вектора в посока на разширението на техните дожини, тъй като те са перпендикулярни, и се променя на нула, тъй като векторите са успоредни или антипаралелен.

Векторът tvir е приписан само на тривимера и седемте световни простори. Резултатът от създаването на вектор, подобно на скаларен, се намира в метриката на Евклидовото пространство.

От друга страна, формулата за изчисляване на координатите на векторния скаларен обект в триизмерна правоъгълна координатна система;

Колинеаризъм на векторите.

Два ненулеви (не равни на 0) вектора се наричат колинеарни, защото лежат на успоредни прави или на една и съща права. Допустимо е, но не се препоръчва като синоним - "паралелни" вектори. Колинеарните вектори могат да бъдат еднакво изправени („ко-насочени“) или противоположно изправени (в останалия случай понякога се наричат „антиколинеарни“ или „антипаралелни“).

Zmіshane viroblennya vektorіv( а, б, в)- скаларно разширение на вектор a към векторно разширение на вектор b и c:

(a, b, c) = a ⋅ (b × c)

понякога се нарича тринарно скаларно създаване на вектори, може би чрез тези, чийто резултат е скалар (по-точно псевдоскалар).

Геометричен zmist: Модулът на рекламното послание zmіsha е числено по-важен от задължението на паралелепипеда, направен от вектори (а, б, в) .

мощност

Zmіshane tvir е косо-симетрична по отношение на всичките си аргументи: т.е. д. пермутацията на това дали има две spіvmulnikiv променя знака на творението. Резултатите показват, че промяната в дясната декартова координатна система (в ортонормалната основа) е по-близо до вектора на матрицата, сгънат от векторите:

Промените в лявата декартова координатна система (в ортонормирана основа) са по-близо до вектора на матрицата, сгънат от векторите и взети със знака "минус":

Зокрема,

Сякаш има два вектора и паралелни, тогава с трети вектор на вонята се установява вонята на твира, която е равна на нула.

Има три вектора, които са линейно угари (тоест те са компланарни, лежат в една равнина) и техните отклонения са равни на нула.

Геометричен смисъл - Промени в абсолютната стойност за увеличаване на обема на паралелепипеда (божествени малки), съставен от вектори i; знак за лягане в зависимост от това дали е трипосочен вектор надясно или наляво.

Компланарност на векторите.

Три вектора (или повече) се наричат компланарни, сякаш вонята, сведена до кочана, лежи в една и съща равнина

Доминирането на компланарността

Ако искате един от трите вектора да бъде нулев, тогава трите вектора също могат да бъдат компланарни.

Трио от вектори за отмъщение на двойка колинеарни вектори, които са компланарни.

Zmishane tvir компланарни вектори. Това е критерият за компланарност на три вектора.

Придружаващи вектори - линейни угари. Същият критерий за копланарност.

В 3-световно пространство 3 некомпланарни вектора установяват основа

Линейно угар и линейно независими вектори.

Линейни угари и независими векторни системи.Назначаване. Векторната система се нарича линеен угарако само една нетривиална линейна комбинация от тези вектори, която е равна на нулевия вектор. Както и да е, тогава. просто тривиална линейна комбинация от тези вектори към нулев вектор, векторите се наричат линейно независими.

Теорема (линеен критерий за угар). За да бъде системата от вектори в линейното пространство линейно угара, е необходимо и достатъчно, за да приеме един от тези вектори в линейната комбинация от други.

1) Ако средният вектор е, ако искате един нулев вектор, тогава цялата система от вектори е линейно угара.

Вярно е, като например тогава, vvahayuchi, може би нетривиална линейна комбинация.

2) Щом средните вектори са установени линейно угарна система, тогава цялата система е линейно угара.

Добре, нека са вектори, линейни отлагания. Също така, това е нетривиална линейна комбинация, която е подобна на нулевия вектор. Але тоди, гадая вземаме и нетривиална линейна комбинация, равна на нулевия вектор.

2. Основа и размирност. Назначаване. Система от линейно независими вектори векторното пространство се нарича основав пространството, сякаш вектор може да бъде представен чрез линейна комбинация от вектори в системата, т.е. за скин вектор така, какво може да бъде мястото на ревността Ця ревност се нарича векторно оформлениеспоред основата и числата Наречен координати на вектора според основата(в противен случай в основата) .

Теорема (за единството на подреждането зад основата). Кожен вектор може да бъде свободно разположен зад основата един чин, tobto. координати на скин вектора в основата изпъкват ясно.

Основното значение на базата е, че операциите на сгъване на вектори и умножения на числа в дадена база се трансформират в двойни операции върху числата - координатите на тези вектори. И само по себе си, честна офанзива

Теорема. При добавяне на два вектора в линейно пространство техните координати (ако има такова базисно пространство) се сумират; когато се умножава достатъчен вектор, независимо дали броят на всички координати на вектора се умножава по .

Назначаване - мирно yakscho по нов начин са линейно независими вектори, но дали векторите вече са линейно угари. На какъв номер се извиква спокойствиепространство.

Разнообразието на векторното пространство, което се състои от един нулев вектор, се приема за равно на нула.

Razvіrnіst шир звъни като символ.

Назначаване. Векторното пространство се нарича непростимо yakscho по нов начин be-yak броят на линейно независими вектори. Напиши в каква випадка.

Z'yasuєmo zv'yazok mіzh ponyattyami основа и простор.

Теорема. Yakshcho е векторна шир на отвореност, тогава независимо дали линейно независими вектори на тази шир удовлетворяват тази основа.

Теорема. Ако векторното пространство е основа, съставена от вектори, тогава .

Подобна информация.

Линеен угар и независимост на векторите

Обозначаване на линейни угари и независими векторни системи

Назначаване 22

Нека имам система от n-вектори и може би набор от числа
също

(11)

се нарича линейна комбинация от дадена система от вектори и набор от коефициенти.

Назначаване 23

Векторна система
се нарича линейно угар, като такъв набор от коефициенти
, Ако само един от тях не е равен на нула, тогава линейна комбинация от дадена система от вектори с набор от коефициенти е равна на нулевия вектор:

Хайде
също

Среща 24 (чрез проявлението на един вектор на системата под формата на линейна комбинация от други)

Векторна система
се нарича линейно угар, дори ако искате един от векторите в системата е възможно да имате линейна комбинация от други вектори в системата.

Потвърждение 3

Означените 23 и 24 са еквивалентни.

Назначаване 25(чрез нулева комбинация от линии)

Векторна система
се нарича линейно независим, така че нулевата линейна комбинация на системата може да се използва само за всички
равно на нула.

Назначаване 26(чрез невъзможността да се представи един вектор на системата като линейна комбинация от други)

Векторна система
се наричат линейно независими, тъй като нито един от векторите в системата не може да се види в линейна комбинация от други вектори в системата.

Доминиране на линейно угарни и независими системи от вектори

Теорема 2 (нулев вектор за системата от вектори)

Ако системата от вектори е нулев вектор, тогава системата е линейно угар.

 Хайде
един и същ.

За вкъщи
, след това за обозначаване на линейна угарна система от вектори чрез нулева линейна комбинация (12) системата е линейно угар. 

Теорема 3 (Депозитна подсистема в системата от вектори)

Точно както векторната система е линейно угарна подсистема, тази система е линейно угарна.

 Хайде
- линейна угарна подсистема
, чиято среда, ако едно не е равно на нула:

Отже, за назначения 23, системата е линейно угар. 

Теорема 4

Дали подсистемата на линейно независима система е линейно независима.

 Някак неприемливо. Нека системата е линейно независима и има линейно угарна подсистема. Aletody след теорема 3, цялата система също ще бъде линейно угар. Почистване. Също така, подсистемата на линейно независима система може да бъде линейно угар. 

Геометричен усет за линейност и независимост на векторната система

Теорема 5

Два вектора і liniyno zalezhnі odі i lishe odі, if
.

 Необходимост.

і - линейни отлагания
, което печели ума
. Тоди
, тогава.
.

Наличност.

Линейни депозити. 

Последна 5.1

Нулевият вектор е колинеарен на всеки вектор

Последна 5.2

За да бъдат два вектора линейно независими, необходими и достатъчни, т.н buv не е колинеарен .

Теорема 6

За да бъде система от три вектора линейно угари, е необходимо и достатъчно тези вектори да са компланарни. .

 Необходимост.

- линейно угар, следователно един вектор може да се види от линейна комбинация от два други.

, (13)

де
і
. Зад правилото на паралелограма є диагонал на успоредник със страни
, алей паралелограм - плоска фигура
компланарен
- също компланарен.

просперитет.

- Придружител. Отчитаме три вектора до точката:

° С

– линеен угар 

Последна 6.1

Нулевият вектор е компланарен, независимо дали е двойка вектори.

Последно 6.2

За да се векторизира
са линейно независими и необходими, така че вонята да не е компланарна.

Последно 6.3

Независимо дали има вектор на областта, е възможно да се разгледа линейна комбинация, дали има два неколинеарни вектора в центъра и равнината.

Теорема 7

Be-yakі chotiri vectori близо до простора на линейни отлагания .

 Нека да разгледаме 4 випадии:

Нека начертаем равнината през векторите, нека начертаем равнината през векторите и начертаем равнината през векторите. Нека начертаем равнините, които минават през точката D, успоредни на двойките вектори; ; очевидно. По линиите на перетина на равнините ще има паралелепипед OB 1 д 1 ° С 1 ABDC.

Вижте OB 1 д 1 ° С 1 - успоредник след pobudova след правилото на паралелограма
.

Нека да разгледаме OADD 1 - успоредник (от степента на паралелепипеда)
също

Вграждане на уравнение.3.

Според теорема 1
така че какво. Тоди
, системата от вектори е линейно угара. 

Последен 7.1

Сборът от три некомпланарни вектора в пространството е вектор, който расте от диагонала на паралелепипеда, въз основа на тези три вектора, приложен към външния кочан, освен това ухото на вектора sumi zbіgaєtsya от външния кочан на тези три вектора.

Последен 7.2

Ако вземете 3 некомпланарни вектора в пространство, тогава дали вектор от това пространство може да бъде разположен в линейна комбинация от тези три вектора.

а 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, а 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, а 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Решение. Shukaєmo zagalne rіshennya rіvnyan система

а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

Метод на Гаус. За което записваме хомогенна система за координатите:

Системна матрица

Системата има право да разглежда: (р А = 2, н= 3). Системата е спилна и е невидима. ї загално решение ( х 2 - безплатна смяна): х 3 = 13х 2 ; 3х 1 – 2х 2 – 13х 2 = 0 => х 1 = 5х 2 => х o = . Наличието на ненулево частно решение, например, за да се говори за тези вектори а 1 , а 2 , а 3 линейни депозити.

дупе 2.

Z'yasuvati, chi є системата от вектори е дадена или линейно угара, или линейно независима:

1. а 1 = { -20, -15, - 4 }, а 2 = { –7, -2, -4 }, а 3 = { 3, –1, –2 }.

Решение.Нека да разгледаме хомогенната система за изравняване а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

или в ревящ поглед (зад координатите)

Системата е еднородна. Ако тя не е вирогена, има само едно решение. Как да се справим с хомогенна система е нулево (тривиално) решение. Също така, понякога системата от вектори е независима. Е, системата Virogen, може да има ненулеви решения и следователно тя е угарна.

Преглеждаме системата за вирогенност:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.