Квітник

Дивитися сторінки, де згадується термін розподілу коші. Коші розподіл Розподіл коші в excel

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Розподіл Коші

Щільність ймовірності Зелена крива відповідає стандартному розподілу Коші
Функція розподілу Кольори знаходяться відповідно до графіка вище
Позначення	$\mathrm(C)(x_0,\gamma)$
Параметри	$x_0$ - Коефіцієнт зсуву $\gamma > 0$ - Коефіцієнт масштабу
Носій	$x \in (-\infty; +\infty)$
Щільність ймовірності	$\frac(1)(\pi\gamma\,\left)$
Функція розподілу	$\frac(1)(\pi) \mathrm(arctg)\left(\frac(x-x_0)(\gamma)\right)+\frac(1)(2)$
Математичне очікування	не існує
Медіана	$x_0$
Мода	$x_0$
Дисперсія	$+\infty$
Коефіцієнт асиметрії	не існує
Коефіцієнт ексцесу	не існує
Диференційна ентропія	$\ln(4\,\pi\,\gamma)$
Функціонування моментів	не визначена
Характеристична функція	$\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,$

Визначення

Нехай розподіл випадкової величини

X

задається щільністю

f_X(x)

, що має вигляд:

$f_X(x) = \frac(1)(\pi\gamma \left) = ( 1 \over \pi ) \left[ ( \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 ) \right]$ ,

$x_0 \in \mathbb(R)$ - Параметр зсуву;
$\gamma > 0$ - Параметр масштабу.

Тоді кажуть, що $X$ має розподіл Коші та пишуть $X \sim \mathrm(C)(x_0,\gamma)$ . Якщо $x_0 = 0$ і $\gamma = 1$ , то такий розподіл називається стандартнимрозподілом Коші.

Функція розподілу

F^(-1)_X(x) = x_0 + \gamma\,\mathrm(tg)\,\left[\pi\,\left(x-(1 \over 2)\right)\right].

Це дозволяє генерувати вибірку із розподілу Коші за допомогою методу зворотного перетворення.

Моменти

\int\limits_(-\infty)^(\infty)\!x^(\alpha)f_X(x)\, dx

не визначений для $\alpha \geqslant 1$ , Ні математичне очікування (хоча інтеграл 1-го моменту в сенсі головного значення дорівнює: $\lim\limits_(c \rightarrow \infty) \int\limits_(-c)^(c) x \cdot ( 1 \over \pi ) \left[ ( \gamma \over (x - x_0)^2 + \ gamma^2 ) \right]\, dx = x_0$ ), ні дисперсія, ні моменти старших порядків цього розподілу не визначено. Іноді кажуть, що математичне очікування не визначене, а дисперсія нескінченна.

Інші властивості

Розподіл Коші нескінченно ділимо.
Розподіл Коші стійкий. Зокрема, вибіркове середнє вибірки зі стандартного розподілу Коші має стандартний розподіл Коші: якщо $X_1,\ldots, X_n\sim\mathrm(C)(0,1)$ , то

\overline(X) = \frac(1)(n) \sum\limits_(i=1)^n X_i \sim \mathrm(C)(0,1)

Зв'язок з іншими розподілами

Якщо $U \sim U$ , то

x_0 + \gamma\,\mathrm(tg)\,\left[\pi\left(U-(1 \over 2)\right)\right] \sim \mathrm(C)(x_0,\gamma)

Якщо $X_1,X_2$ - незалежні нормальні випадкові величини, такі що $X_i \sim \mathrm(N)(0,1),\; i=1,2$ , то

\frac(X_1)(X_2) \sim \mathrm(C)(0,1)

Стандартний розподіл Коші є окремим випадком розподілу Стьюдента:

\mathrm(C)(0,1) \equiv \mathrm(t)(1)

Поява у практичних завданнях

Розподілом Коші характеризується довжина відрізка, що відсікається на осі абсцис прямої, закріпленої в точці на осі ординат, якщо кут між прямою та віссю ординат має рівномірний розподіл на інтервалі (−π; π) (тобто напрямок прямий ізотропно на площині).
У фізиці розподілом Коші (названим також формою Лоренца) описуються профілі рівномірно розширених спектральних ліній.
Розподіл Коші визначає амплітудно-частотні характеристики лінійних коливальних систем на околиці резонансних частот.

	пІмовірнісні розподіли
	Одномірні	Багатовимірні
Дискретні:	Бернуллі \| Біноміальний \| Геометричне \| Гіпергеометричне \| Логарифмічне \| Негативне біномне \| Пуассона \| Дискретне рівномірне	Мультиноміальне
Абсолютно безперервні:	Бета \| Вейбулла Гамма \| Гіперекспоненційне \| Розподіл Гомпертця Колмогорова \| Коші\| Лапласа \| Логнормальне \| Нормальне (Гаусса) Логістичне \| Накагамі \| Парето Пірсона \| Експонентне \| Variance-gamma	Багатовимірне нормальне \| Копула

Напишіть відгук про статтю "Розподіл Коші"

Уривок, що характеризує Розподіл Коші

Ростов дав шпори коня, гукнув унтер офіцера Федченку і ще двох гусар, наказав їм їхати за собою і риссю поїхав під гору в напрямку криків, що продовжувалися. Ростову і моторошно і весело було їхати одному з трьома гусарами туди, в цю таємничу і небезпечну туманну далечінь, де ніхто не був раніше за нього. Багратіон закричав йому з гори, щоб він не їздив далі струмка, але Ростов вдав, ніби не чув його слів, і, не зупиняючись, їхав далі і далі, безперестанку обманюючись, приймаючи кущі за дерева і вибоїни за людей і безперестанку пояснюючи свої обмани. Спустившись риссю під гору, він уже не бачив ні наших, ні ворожих вогнів, але голосніше чув крики французів. У лощині він побачив перед собою щось подібне до річки, але коли він доїхав до неї, він дізнався проїжджену дорогу. Виїхавши на дорогу, він притримав коня в нерішучості: їхати по ньому, або перетнути його і їхати по чорному полю в гору. Їхати дорогою, що світлішала в тумані, було безпечніше, бо швидше можна було розглянути людей. "Пішов за мною", промовив він, перетнув дорогу і став підніматися галопом на гору, до того місця, де звечора стояв французький пікет.
- Ваше благородіє, ось він! - промовив ззаду один із гусар.
І не встиг ще Ростов розгледіти щось, що раптом зачорніло в тумані, як блиснув вогник, клацнув постріл, і куля, ніби скаржачись на щось, задзижчала високо в тумані і вилетіла з слуху. Інша рушниця не вистрілила, але блиснув вогник на полиці. Ростов повернув коня і галопом поїхав назад. Ще пролунали в різних проміжках чотири постріли, і на різні тони заспівали кулі десь у тумані. Ростов притримав коня, що повеселішало так само, як він, від пострілів, і поїхав кроком. «Ну ка ще, ну ка ще!» говорив у його душі якийсь веселий голос. Але пострілів не було.
Тільки під'їжджаючи до Багратіона, Ростов знову пустив свого коня в галоп і, тримаючи руку біля козирка, під'їхав до нього.
Долгоруков наполягав на своїй думці, що французи відступили і тільки для того, щоб обдурити нас, розклали вогні.
- Що це доводить? – говорив він, коли Ростов під'їхав до них. – Вони могли відступити та залишити пікети.
- Мабуть, ще не всі пішли, князю, - сказав Багратіон. - До завтрашнього ранку, завтра все дізнаємося.
- На горі пікет, ваше сіятельство, все там же, де був з вечора, - доповів Ростов, нагинаючись уперед, тримаючи руку біля козирка і не в силах утримати посмішку веселощів, викликаної в ньому його поїздкою і, головне, звуками куль.
- Добре, добре, - сказав Багратіон, - дякую вам, пане офіцер.
- Ваше сіятельство, - сказав Ростов, - дозвольте вас просити.
- Що таке?
– Завтра наш ескадрон призначений у резерви; дозвольте вас просити відрядити мене до одного ескадрону.
– Як прізвище?
- Граф Ростов.
- А добре. Залишайся при мені ординарцем.
– Іллі Андрійовича син? – сказав Долгоруков.
Але Ростов не відповів йому.
– Так я сподіватимусь, ваше сіятельство.
– Я накажу.
«Завтра, може, пошлють з якимось наказом до государя, — подумав він. - Слава Богу".

Крики і вогні в ворожій армії відбувалися від того, що в той час, як військами читали наказ Наполеона, сам імператор верхи об'їжджав свої бівуаки. Солдати, побачивши імператора, запалювали пуки соломи і з криками: vive l'empereur! бігли за ним. Наказ Наполеона був наступний:
«Солдати! Російська армія виходить проти вас, щоб помститися за австрійську, ульмську армію. Це ті ж баталіони, які ви розбили при Голлабрунні, і які ви з того часу переслідували постійно до цього місця. Позиції, які ми займаємо, - могутні, і поки вони йдуть, щоб обійти мене праворуч, вони виставлять мені фланг! Солдати! Я сам керуватиму вашими баталіонами. Я буду триматися далеко від вогню, якщо ви, з вашою звичайною хоробрістю, внесете в ряди ворожі безладдя і сум'яття; але якщо перемога буде хоч одну хвилину сумнівною, ви побачите вашого імператора, який зазнає перших ударів ворога, тому що не може бути коливання в перемозі, особливо в той день, коли йдеться про честь французької піхоти, яка так необхідна для честі своєї нації.

Фізична енциклопедія

КОШІ РОЗПОДІЛ

Розподіл ймовірностей із щільністю

та ф-цією розподілу

Параметр зсуву >0 - параметр масштабу. Розглянуто в 1853 р. О. Коші. Характеристична функціяК. р. дорівнює ехр ; моменти порядку р 1 не існують, тому великих чисел закондля К. н. не виконується [якщо X 1 ..., Х n- незалежні випадкові величини з однаковим К. р., то n -1 (Х 1 + ... + Х n) має те ж К. р.]. Сімейство До. замкнуто щодо лінійних перетворень: якщо випадкова величина Xмає розподіл (*), то аХ+bтакож має К. н. з параметрами . К. р.- стійкий розподілз показником 1, симетричне щодо точки х=. К. р. має, напр., відношення X/Yнезалежних нормально розподілених випадкових величин з нульовими середніми, а також ф-ція де випадкова величина Zрівномірно розподілена на . Розглядають також багатовимірні аналоги К. н.

Літ.:Феллер Ст, Введення в теорію ймовірностей та її застосування, пров. з англ., т. 2, М., 1984.

- Поверхня, що є межею області причинної передбачуваності фіз. явищ у майбутньому на поч. даним, заданим на деякій просторовоподібної тривимірної поверхні.
Фізична енциклопедія
- Завдання про знаходження рішення диференц. ур-ня, що задовольняє поч. умов. Розглянута в 1823-24 О. Коші...
Фізична енциклопедія
- інтегральна ф-ла, що виражає значення аналітичної функції f у точці, що лежить усередині замкнутого контуру, що не містить у собі особливостей f , через її значення на цьому контурі: ...
Фізична енциклопедія
- ...
Етнографічні терміни
- див. Частота розподілу...
Медичні терміни
– Огюстен Луї, барон, французький математик, творець комплексного аналізу. Розвиваючи ідеї ЕЙЛЕРА, формалізував багато понять математичного ЗЛІЧЕННЯ.
Науково-технічний енциклопедичний словник
- відомий французький математик. Першим його вчителем і вихователем був його батько - пристрасний латиніст та ревний католик. 13-ти років Огюстен К. був визначений до центральної школи.
Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона
– Огюстен Луї, французький математик, член Паризької АН. Закінчив Політехнічну школу та Школу мостів та доріг у Парижі. У 1810-13 працював інженером у м. Шербур.
- одне з основних завдань теорії диференціальних рівнянь, що вперше систематично вивчалася О. Коші. Полягає у знаходженні рішення u ...
Велика Радянська Енциклопедія
- інтеграл виду...
Велика Радянська Енциклопедія
- нерівність для кінцевих сум, що має вигляд: ...
Велика Радянська Енциклопедія
- Спеціальний вид розподілу ймовірностей випадкових величин. Введено О. Коші; характеризується щільністю p = 0...
Велика Радянська Енциклопедія
– Огюстен Луї, французький математик. Один із основоположників теорії функцій. Праці з теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики, теорії чисел, геометрії...
Сучасна енциклопедія
- РИМАНА РІВНЯННЯ - диференціальні рівняння з приватними похідними 1-го порядку, що пов'язують дійсну та уявну частини аналітичної функції комплексного змінного...
- одне з основних завдань теорії диференціальних рівнянь. Полягає у знаходженні розв'язання такого рівняння, що задовольняє т.з. початковим умовам...
Великий енциклопедичний словник
- сущ., кількість синонімів: 1 взуття...
Словник синонімів

"КОШІ РОЗПОДІЛ" у книгах

Розподіл

З книги Спогади та роздуми про давно минуле автора Болібрух Андрій Андрійович

Ще задовго до закінчення аспірантури я визначився з вибором майбутньої професії, вирішивши стати викладачем математики у ВНЗ. Я зовсім свідомо не хотів йти працювати в якесь НДІ, керуючись при цьому наступними двома

37. Коші та чакри

З книги Пранаяма. Шлях до таємниць йоги автора Лісбет Андре ван

37. Коші та чакри Щоб глибоко зрозуміти значення пранаями у всіх її вимірах, яке далеко виходить за суто фізіологічні рамки, необхідно знати фундаментальні принципи індійської філософії. Проте можу запевнити західних читачів, що тут вони не зустрінуться з

РОЗПОДІЛ ЧЛЕНІВ СУСПІЛЬСТВА. РОЗПОДІЛ МАТЕРІАЛЬНИХ БЛАГ

З книги На шляху до суспільства автора Зінов'єв Олександр Олександрович

РОЗПОДІЛ ЧЛЕНІВ СУСПІЛЬСТВА. РОЗПОДІЛ МАТЕРІАЛЬНИХ БЛАГ У сучасних великих суспільствах багато мільйонів людей займають якісь соціальні позиції. Склалася грандіозна система підготовки людей для заняття цих позицій – для заміни відпрацьованого

5. Розподіл Максвелла (розподіл газових молекул за швидкостями) та Больцмана

З книги Медична фізика автора Підколзина Віра Олександрівна

5. Розподіл Максвелла (розподіл газових молекул за швидкостями) та Больцмана Розподіл Максвелла – у рівноважному стані параметри газу (тиск, об'єм та температура) залишаються незмінними, проте мікростану – взаємне розташування молекул, їх

Коші

З книги Енциклопедичний словник автора Брокгауз Ф. А.

автора БСЕ

Коші розподіл

БСЕ

Коші теорема

З книги Велика Радянська Енциклопедія (КО) автора БСЕ

Огюстен Коші

автора Дуран Антоніо

Огюстен Коші У першій половині XIX століття було остаточно сформовано чіткий фундамент аналізу нескінченно малих. Вирішення цього завдання розпочав Коші, а завершив Вейєрштрас. Значний внесок також зробив Бернард Больцано своїми роботами про безперервні функції, що виходять за

Ейлер, Коші та естетична цінність математики

З книги Істина у межі [Аналіз нескінченно малих] автора Дуран Антоніо

Ейлер, Коші та естетична цінність математики Слід розповісти і про естетичний початок, оскільки, всупереч думці багатьох, естетика не тільки не чужа математиці, а й становить її значну частину.

Здавалося б, розподіл Коші виглядає дуже привабливо для опису та моделювання випадкових величин. Однак насправді це не так. Властивості розподілу Коші різко відмінні від властивостей розподілу Гауса, Лапласа та інших експонентних розподілів.

Справа в тому, що розподіл Коші близький до гранично пологого. Нагадаємо, що розподіл називається гранично пологим, якщо при х -> +оо його щільність ймовірності

Для розподілу Коші немає навіть першого початкового моменту розподілу , тобто математичного очікування , оскільки визначальний його інтеграл розходиться. У цьому розподіл має і медіану і моду, які дорівнюють параметру а.

Зрозуміло, дисперсія цього розподілу (другий центральний момент) також дорівнює нескінченності. Насправді це означає, що оцінка дисперсії за вибіркою з розподілу Коші буде необмежено зростати зі збільшенням обсягу даних.

Зі сказаного вище, що апроксимація розподілом Коші випадкових процесів, які характеризуються кінцевим математичним очікуванням і кінцевою дисперсією, неправомірна.

Отже, ми отримали симетричне розподіл, залежить від трьох параметрів, з допомогою якого можна описувати вибірки випадкових величин, зокрема з пологими спадами. Однак, цей розподіл має недоліки, які були розглянуті при обговоренні розподілу Коші, а саме, математичне очікування існує тільки при а>1, дисперсія кінцева тільки при ОС>2, і взагалі, кінцевий момент розподілу до-го порядку існує при а>k .

На малюнку 14.1 використано 8 000 вибірок із відомого розподілу Коші, який має нескінченне середнє та дисперсію. Розподіл Коші докладніше описується нижче. Використовуваний тут ряд був "нормалізований" шляхом віднімання середнього та поділу на вибіркове стандартне відхилення. Таким чином, всі одиниці виражені у стандартних відхиленнях. Для порівняння ми використовуємо 8000 гаусових випадкових змінних, які були нормалізовані аналогічним чином. Важливо зрозуміти, що наступні два кроки завжди будуть закінчуватися в середньому 0 і стандартному відхиленні 1, тому що вони були нормалізовані до цих значень. Конвергенція означає, що часовий ряд швидко йде до сталого значення.

Ці два відомих розподілу, розподіл Коші та нормальний розподіл мають багато застосувань. Вони також є єдиними двома членами сімейства стійких розподілів, для яких можуть бути явно виведені функції густини ймовірностей. У всіх інших дробових випадках вони мають бути оцінені, зазвичай у вигляді чисельних коштів. Ми обговоримо один із цих методів в одному з наступних розділів цього розділу.

У розділі 14 ми досліджували послідовне стандартне відхилення та середнє значення американської фондової біржі та порівняли його з тимчасовим рядом, отриманим з розподілу Коші. Ми зробили це, щоб побачити вплив нескінченних дисперсії та середнього на тимчасовий ряд. Послідовне стандартне відхилення – стандартне відхилення тимчасового ряду, коли ми за раз додаємо

Зробіть перше наближення Z до u(o,F), взявши виважене середнє значення F квантилів розподілів Коші та гаусових розподілів.

Таблиця А3.2 перетворює результати Таблиці А3.1 квантили. Щоб дізнатися, яке значення F пояснює 99 відсотків спостережень для а = 1,0, опустіться по стовпцю F вліво до 0,99 і поперек значення =31,82. Розподіл Коші вимагає спостережень 31,82 значень від середнього, щоб охопити 99 відсотків ймовірності. Навпаки, нормальний випадок досягає 99-відсоткового рівня при =3,29. Це відрізняється від стандартного нормального випадку, який становить 2,326 стандартних відхилень, а не 3,29 одиниць.

Р(> (птг)1/2Г(п/2) п При п = 1 відповідний розподіл називають розподілом Коші.

Якщо ряд є стаціонарним у сенсі, він не обов'язково є строго стаціонарним . У той же час, і строго стаціонарний ряд може не бути стаціонарним у широкому сенсі просто тому, що в нього можуть не існувати математичне очікування та дисперсія. (Щодо останнього прикладом може бути випадкова вибірка з розподілу Коші.) Крім того, можливі ситуації, коли зазначені три умови виконуються, але, наприклад, Е(Х) залежить від t.

У той самий час, у випадку, навіть якщо деякі випадкові величини Х, . .., Х взаємно незалежні і мають однаковий розподіл, це ще не означає, що вони утворюють процес білого шуму, т.к. випадкова величина Xt може просто не мати математичного очікування та/або дисперсії (як приклад ми знову можемо вказати на розподіл Коші).

Коша два або більше факторів, наприклад трудові та матеріальні активи, беруть участь у процесі виробництва товарів та надання послуг, а також у подальшому формуванні грошових надходжень, логічне розподілення останніх за факторами представляється в цілому неможливим. Передбачалося приводити у відповідність активам, які могли бути використані, чисті граничні надходження, але сума приватних граничних надходжень може виявитися вищою за сукупні чисті надходження від реалізації продукції та надання послуг.

Такі розподіли з довгими хвостами, особливо в даних, отриманих Парето, призвели до того, що Леві (Levy, 1937), французький математик, сформулював узагальнену функцію щільності, окремими випадками якої були нормальні розподіли, так само як і розподіл Коші. Леві використав узагальнену версію Центральної граничної теореми. Ці розподіли відповідають великому класу природних явищ, але вони не привертали великої уваги внаслідок їх незвичайних і на вигляд проблем, які важко вирішити. Їх незвичайні властивості продовжують робити їх непопулярними, проте їхні інші властивості такі близькі нашим результатам, отриманим на ринках капіталу, що ми повинні їх досліджувати. Крім того, було виявлено, що стійкі розподіли Леві корисні в описі статистичних властивостей турбулентного потоку та l/f-шуму - до того ж вони фрактальні.

На малюнку 14.2(а) показано послідовне стандартне відхилення для тих двох рядів. Послідовне стандартне відхилення , подібно до послідовного середнього, є обчисленням стандартного відхилення , у міру того як по одному додаються спостереження. У цьому випадку різниця ще більш вражаюча. Випадковий еяд швидко сходиться до стандартного відхилення 1. Розподіл Коші, навпаки, ніколи не сходиться. Натомість воно характеризується декількома великими уривчастими стрибками та великими відхиленнями від нормалізованого значення 1.

Це логарифм характеристичної функції для розподілу Коші, який, як відомо, має нескінченну дисперсію та середню. У цьому випадку 8 стає медіаною розподілу, а з - семи-інтерквартильним розмахом.

Холт і Кроу (Holt and row, 1973) знайшли функцію щільності ймовірностей для а = 0,25 - 2,00 та Р рівного від -1,00 до +1,00, обидва в приростах 0,25. Використовувана ними методологія інтерполювала між відомими розподілами, типу розподілів Коші та нормальних розподілів, та інтегрального уявлення з роботи Золотарьова (Zolotarev, 1964/1966). Таблиці, підготовлені для колишнього

Як ми говорили в Главі 14, явні висловлювання для стійких розподілів існують лише для окремих випадків нормальних розподілів і розподілів Коші. Проте Бергстром (Bergstrom, 1952) розробив розкладання до ряду, яке Фаме і Ролл використовували для наближення щільностей для багатьох значень альфи. Коли a > 1.0, вони могли використовувати результати Бергстрому для виведення наступного ряду

КОШІ РОЗПОДІЛ, розподіл ймовірностей випадкової величини Х, що має щільність

де - ∞< μ < ∞ и λ>0 – параметри. Коші розподіл унімодально та симетрично щодо точки х = μ, що є модою та медіаною цього розподілу [на малюнку а і б зображені графіки щільності р(х; λ, μ) та відповідної функції розподілу F (х; λ, μ) при μ =1 ,5 та λ = 1]. Математичне очікування Коші розподілу не існує. Характеристична функція Коші розподілу дорівнює e iμt - λ|t| , - ∞< t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

Якщо незалежні випадкові величини Х 1 ,...,Х n мають один і той же Коші розподіл, то їх арифметичне середнє (Х 1 + ... + X n)/n для будь-якого n = 1,2, ... має той самий розподіл; цей факт було встановлено С. Пуассоном (1830). Коші розподіл є стійким розподілом. Відношення X/Y незалежних випадкових величин Х та Y зі стандартним нормальним розподілом має Коші розподіл з параметрами 0 та 1. Розподіл тангенсу tg Z випадкової величини Z, з рівномірним розподілом на відрізку [-π/2, π/2], також має Коші розподіл з параметрами 0 і 1. Коші розподіл розглядався О. Коші (1853).