Складання обертань тіла навколо двох осей. Складання обертань твердого тіла Що робитимемо з отриманим матеріалом

З іншого боку, аналізований плоский рух можна як миттєве обертання біля осі, що проходить через миттєвий центр і перпендикулярної до площини руху. Щоб знайти положення цієї осі, позначимо вектор-радіус миттєвого центру Рчерез і напишемо умову, що абсолютна швидкість точки плоскої фігури Рдорівнює нулю. Вважаючи рівності (2.41) і отримаємо

Рис.45.

Помножимо обидві частини цієї рівності векторно на одиничний вектор осі Oz;тоді, розкриваючи подвійне векторне твір і оскільки вектора і перепендикулярні одиничному вектору, отримаємо: де і згідно з прийнятими позначеннями представляють алгебраїчні величини кутових швидкостей (знак плюс, якщо обертання позитивно для спостерігача, що дивиться з осі Oz або знак мінус у протилежному випадку). Отже, за

(2.43)

З останньої рівності видно, що за будь-яких залежностей між і миттєвий центр Рзнаходиться на лінії 00" . Щоб знайти кутову швидкість обертання навколо миттєвого центру, віднімемо (2.42) з (2.41); отримаємо:

Це - формула обертальної швидкості навколо точки Р,з абсолютною кутовою швидкістю, що дорівнює

Отже, аналізований абсолютний рух твердого тіла еквівалентно обертанню навколо миттєвої осі, що проходить через миттєвий центр Р, з абсолютною кутовою швидкістю, що дорівнює геометричній сумі переносної та відносної кутових швидкостей. Зазначимо можливі випадки розташування миттєвої осі.

Рис.46.

ж знак, наприклад, позитивний. І тут із рівнянь (2.43) видно, що точка лежить між центрами Проі на відстанях, обернено пропорційних величинам кутових швидкостей (рис 46). Абсолютна кутова швидкість обертання навколо осі, що проходить через точку Р, По (63) дорівнює сумі кутових швидкостей.

2. Напрямок обертань по-різному, тобто мають різні знаки, наприклад > 0, a< 0, причем положим для определенности, что >. В цьому випадку з формули (62) випливає: .Точка, крапка Р, отже, лежить за точкою Про.

Як приклад розглянемо питання про визначення кутових швидкостей в епіциклічному зачепленні зубчастих коліс. причому зачеплення може бути як зовнішнім, і внутрішнім. Колеса, з'єднані з рукояткою, що обертається, називають сателітами.

Рис. 47.

Виведемо загальне співвідношення між кутовими швидкостями коліс та рукоятки по відношенню до основи механізму у випадках зовнішнього та внутрішнього зачеплення. На малюнку всі кутові швидкості показані у напрямку за годинниковою стрілкою; знак надалі покаже справжній напрямок обертань. Кутова швидкість рукоятки позначена через .Надамо механізму в цілому обертання з кутовою швидкістю (- ), що дорівнює за величиною кутової швидкості рукоятки, але протилежної їй у напрямку. Тоді по теоремі про складання кутових швидкостей основа механізму стане рухомою ланкою, що має кутову швидкість (-), а рукоятка, навпаки, стане нерухомою і відіграватиме роль основи механізму. Механізм з осями, що переміщуються, перетвориться при цьому в систему зубчастих коліс з нерухомими осями, але кутові швидкості коліс будуть вже рівні відповідно і . Тоді, користуючись відомим співвідношенням між кутовими швидкостями та радіусами, знайдемо:

тут знак "-" для зовнішнього зачеплення та "+" для внутрішнього.

3. Напрями обертань різні, але кутові швидкості їх дорівнюють за величиною ( =- ). І тут має місце миттєво-поступальний рух тіла.

Поєднуючи всі три випадки, приходимо до наступного результату: при складанні обертань навколо паралельних осей кутові швидкості складаються так само, як паралельні сили у статиці. При проведенні цієї аналогії переносна і відносна кутові швидкості розглядаються як доданки, а абсолютна кутова швидкість відповідає рівнодіючої силі.

2. Теорема про складання обертань навколо осей, що перетинаються.

Рис.48.

Нехай відносне обертання тіла з відносною кутовою швидкістю відбувається навколо осі Oz", а переносним рухом є обертання системи Ox"y"z"з переносною кутовою швидкістю навколо нерухомої осі Oz, що перетинається з віссю Oz"у точці Про. Абсолютним рухом буде рух тіла по відношенню до системи координат Oxyz. Абсолютний рух тіла, що розглядається, є обертанням навколо нерухомого центру. Про. Будь-яке обертання тіла навколо нерухомого центру можна як обертання навколо деякої миттєвої осі. Визначимо напрямок миттєвої осі та знайдемо вектор абсолютної кутової швидкості обертання тіла. Для цього візьмемо якусь точку Мтіла з вектор-радіусом і напишемо теорему про складання швидкостей: в даному випадку

Слід розглянути три випадки.

1) Обертання мають однакові напрямки.Тіло бере участь у двох обертаннях: переносному з кутовою швидкістю та відносному з кутовою швидкістю (рис. 71). Таким тілом є диск, на рис. 72. Пересічем осі обертання перпендикулярної прямої. Отримаємо точки перетину та , у які можна перенести вектори кутових швидкостей та . На відрізку тіла в даний момент є точка , швидкість якої дорівнює нулю. Справді, за теоремою складання швидкостей для точки маємо

Точки тіла, для яких переносна та відносна швидкості паралельні та протилежні, можуть бути лише на відрізку між точками і . Швидкість точки дорівнює нулю, якщо , , . Отже,

Пряму, перпендикулярну до осей обертання, можна провести на будь-якій відстані. Отже, існує вісь, скріплена з тілом і паралельна до осей обертання, швидкості точок якої рівні нулю в даний момент. Вона є миттєвою віссю обертанняв даний момент часу.

Для визначення кутової швидкості обертання тіла навколо миттєвої осі обчислимо швидкість точки, вважаючи її рух складним. Отримаємо:

Отже,

Для швидкості точки при обертанні тіла навколо миттєвої осі маємо

Прирівнюючи швидкості точки , отримані двома способами, маємо

Згідно (138)

Формулу (138) можна як:

Утворюючи похідну пропорцію та використовуючи формулу (139), отримаємо

Таким чином, при додаванні двох обертань тіла навколо паралельних осей в однакових напрямках виходить обертання навколо паралельної осі в тому ж напрямку з кутовою швидкістю, що дорівнює сумі кутових швидкостей складових обертань. Миттєва вісь отриманого обертання ділить відрізок між осями складових обертань на частини, обернено пропорційні кутовим швидкостям обертань, внутрішнім чином. Крапка при такому розподілі розташовується між точками та .

Справедливо протилежне. Обертання навколо осі з кутовою швидкістю можна розкласти на два обертання навколо двох паралельних осей з кутовими швидкостями і .

Тіло, що бере участь у двох обертаннях навколо паралельних осей, здійснює плоский рух. Плоский рух твердого тіла можна як два обертання, переносне і відносне, навколо паралельних осей. Плоский рух колеса сателіту 2 по нерухомому колесу 1 (рис. 73) є прикладом руху, яке можна замінити двома обертаннями навколо паралельних осей в тому самому напрямку, наприклад проти руху годинникової стрілки. Колесо сателіту здійснює переносне обертання разом з кривошипом навколо осі, що проходить через точку з кутовою швидкістю, і відносне обертання навколо осі, що проходить через точку з кутовою швидкістю. Обидва обертання мають однакові напрямки. Абсолютне обертання відбувається навколо осі, що проходить через точку , яка є зараз МЦС. Вона знаходиться в місці дотику коліс, якщо рухоме колесо котиться без ковзання по нерухомому. Кутова швидкість абсолютного обертання

Абсолютне обертання з цією кутовою швидкістю відбувається в тому ж напрямку, що й складові руху.

2) Обертання мають протилежні напрямки. Розглянемо випадок, коли (рис. 74). Отримаємо такі формули:

Для виведення цих формул розкладемо обертання з кутовою швидкістю на два обертання у тому напрямку навколо двох паралельних осей з кутовими швидкостями і . Вісь одного з обертань з кутовою швидкістю візьмемо проходить через точку і виберемо. Інше обертання з кутовою швидкістю пройде через точку (мал. 75). На підставі (139) та (140) маємо

Справедливість формул (141) та (142) доведена. Таким чином, при додаванні двох обертань твердого тіла навколо паралельних осей у протилежних напрямках виходить обертання навколо паралельної осі з кутовою швидкістю, що дорівнює різниці кутових швидкостей складових обертань у бік обертання з більшою кутовою швидкістю. Вісь абсолютного обертання ділить відрізок між осями складових обертань на частини, обернено пропорційні кутовим швидкостям цих обертань внутрішнім чином.Крапка при такому розподілі знаходиться на відрізку за точкою, через яку проходить вісь обертання з більшою кутовою швидкістю.

Можна також одне обертання розкласти на два навколо паралельних осей із протилежними напрямками обертання. Прикладом плоского руху твердого тіла, яке може бути представлене двома обертаннями навколо паралельних осей у протилежних напрямках, є рух сателітового колеса, що котиться всередині нерухомого колеса без ковзання (рис. 76). Переносним у цьому випадку є обертання 2 колеса разом з кривошипом з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через точку . Відносним буде обертання колеса 2 навколо осі, що проходить через точку з кутовою швидкістю і абсолютним - обертання цього колеса навколо осі, що проходить через МЦС, точку з кутовою швидкістю . В цьому випадку і тому кутова швидкість абсолютного обертання. Це обертання у напрямку збігається з напрямком обертання, що має велику кутову швидкість. Вісь абсолютного обертання розташована поза відрізком за віссю обертання з більшою кутовою швидкістю.

3) Пара обертань. Парою обертаньназивається сукупність двох обертань твердого тіла, переносного та відносного навколо паралельних осей з однаковими кутовими швидкостями в протилежних напрямках (рис. 77). В цьому випадку . Розглядаючи рух тіла як складне, за теоремою складання швидкостей для точки маємо

Складові рухи є обертаннями з кутовими швидкостями та . За формулою Ейлера їм отримаємо

Після цього для абсолютної швидкості маємо

так як . Враховуючи, що , отримуємо

Оскільки векторний добуток можна назвати моментом кутової швидкості щодо точки , то

Вона дорівнює векторному моменту пари обертань, який може бути виражений векторним моментом однієї з кутових швидкостей щодо будь-якої точки, розташованої на осі обертання тіла з іншою кутовою швидкістю, що входить у пару обертань. Швидкість поступального руху тіла, що у парі обертань, залежить лише від параметрів пари обертань. Вона перпендикулярна до осей пари обертань. Числове її значення можна виразити як

де – найкоротша відстань між осями пари чи плече пари.

Пара обертань аналогічна парі сил, що діє на тверде тіло. Кутові швидкості обертання тіла, аналогічно силам, є векторами, що ковзають. Векторний момент пари сил є вільним вектором. Аналогічну властивість має і векторний момент пари обертань.

Якщо з шестернею 2 скріпити прямолінійний відрізок , він при русі механізму залишатиметься паралельним своєму початковому положенню. Якщо цей горизонтальний відрізок поєднати з дном стаканчика з водою, прикріпивши стаканчик до рухомої шестерні, вода не виллється зі стаканчика при русі механізму у вертикальній площині.

При поступальному русі траєкторії всіх точок тіла однакові. Крапка описує коло радіусу. Траєкторії всіх інших точок рухомої шестерні будуть теж колами такого ж радіусу. Тіло, що бере участь у парі обертань, здійснює плоский поступальний рух.

Розглянемо випадок, коли відносний рух тіла є обертанням з кутовою швидкістю навколо осі укріпленої на кривошипі (рис. 198 а), а переносне - обертанням кривошипа навколо осі паралельної з кутовою швидкістю Тоді рух тіла буде плоскопаралельним по відношенню до площини, перпендикулярної осях. Тут можливі три окремі випадки.

1. Обертання направлено в один бік. Зобразимо перетин S тіла площиною, перпендикулярною до осей (рис. 198, б). Сліди осей у перерізі 5 позначимо буквами А і В. Легко бачити, що точка А, як лежача на осі отримує швидкість тільки від обертання навколо осі ВЬ, отже, точно так само

При цьому вектори паралельні один одному (обидва перпендикулярні до АВ) і направлені в різні боки. Тоді точка С (див. § 56, рис. 153 б) є миттєвим центром швидкостей а отже, вісь паралельна осям і ВЬ, є миттєвою віссю обертання тіла.

Для визначення кутової швидкості з абсолютного обертання тіла навколо осі та положення самої осі, тобто точки С, скористаємось рівністю [див. § 56, формула (57)]

Останній результат виходить із властивостей пропорції. Підставляючи на ці рівності знайдемо остаточно:

Отже, якщо тіло бере участь одночасно у двох спрямованих в один бік обертання навколо паралельних осей, то його результуючий рух буде миттєвим обертанням з абсолютною кутовою швидкістю навколо миттєвої осі, паралельної даним; становище цієї осі визначається пропорціями (98).

З часом миттєва вісь обертання змінює своє положення, описуючи циліндричну поверхню.

2. Обертання спрямовані у різні сторони. Зобразимо знову перетин S тіла (рис. 199) і допустимо для певності, що шсоз. Тоді, розмірковуючи, як у попередньому випадку, знайдемо, що швидкості точок А і В будуть чисельно рівними: при цьому паралельні один одному і направлені в один бік.

Тоді миттєва вісь обертання проходить через точку С (рис. 199), причому

Останній результат теж виходить із властивостей пропорції. Підставляючи на ці рівності значення знайдемо остаточно:

Отже, у цьому випадку результатуючий рух є миттєвим обертанням з абсолютною кутовою швидкістю навколо осі положення якої визначається пропорціями (100).

3. Пара обертань. Розглянемо окремий випадок, коли обертання навколо паралельних осей направлені в різні боки (рис. 200), але за модулем .

Така сукупність обертань називається парою обертань, а вектори утворюють пару кутових швидкостей. У цьому випадку отримуємо, Тоді (див. § 56, рис. 153, а) миттєвий центр швидкостей знаходиться в нескінченності і всі точки тіла в даний час мають однакові швидкості .

Отже, результатуючий рух тіла буде поступальним (або миттєво поступальним) рухом зі швидкістю, чисельно рівною і спрямованою перпендикулярно до площини, що проходить через вектори напрям вектора v визначається так само, як у статиці визначалося напрям моменту пари сил (див. § 9). Інакше кажучи, пара обертань еквівалентна поступального (або миттєво поступального) руху зі швидкістю v, що дорівнює моменту пари кутових швидкостей цих обертань.

На рис. 54 зображено тіло, яке здійснює складний рух - обертання навколо осі, яка сама обертається навколо іншої, нерухомої осі. Звичайно, перше обертання слід назвати відносним рухом тіла, друге - переносним, а відповідні осі позначити і .

Рис.54

Абсолютним рухом буде обертання навколо точки перетину осей Про. (Якщо тіло має більший розмір, то його точка, що збігається з Про, весь час буде нерухомим). Кутові швидкості переносного обертання та відносного обертання зображується векторами та , відкладеними з нерухомої точки Про, Точки перетину осей, за відповідними осями.

Знайдемо абсолютну швидкість якоїсь точки Мтіла, становище якої визначається радіусом-вектором (рис.54).

Як відомо, вона складається з двох швидкостей, відносної та переносної: . Але відносне рух точки (використовуючи правило зупинки), є обертання з кутовою швидкістю навколо осі, визначається радіусом-вектором. Тому, .

Переносний рух точки в даний момент часу, знову використовуючи правило зупинки, теж є обертання, але навколо осі з кутовою швидкістю і визначатиметься тим самим радіусом-вектором. Тому і переносна швидкість.

Абсолютна швидкість, швидкість при обертанні навколо нерухомої точки Про, при сферичному русі визначається аналогічно , де - абсолютна кутова швидкість, спрямована по миттєвій осі обертання Р.

За формулою складання швидкостей отримаємо: або .

Тобто миттєва кутова швидкість, кутова швидкість абсолютного руху є векторна сума кутових швидкостей переносного і відносного рухів. А миттєва вісь обертання P, Спрямована по вектору , збігається з діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (рис.54).

Приватні випадки:

1. Осі обертання та паралельні, напрямки обертань однакові (рис. 55).

Рис.55

Так як вектори і паралельні і спрямовані в одну сторону, абсолютна кутова швидкість за величиною дорівнює сумі їх модулів і вектор її направлений в ту ж сторону. Миттєва вісь обертання Рділить відстань між осями на частини обернено пропорційні і :

. (аналогічно рівнодіючої паралельних сил).

У цьому окремому випадку тіло Аздійснює плоскопаралельний рух. Миттєвий центр швидкостей знаходиться на осі Р.

2.Осі обертання паралельні, напрямки обертань протилежні (рис.56).

Рис.56

І тут (при ). Миттєва вісь обертання і миттєвий центр швидкостей знаходяться за вектором більшої кутової швидкості на таких відстанях, що (знову за аналогією визначення рівнодіючої паралельних сил).

3.Осі обертання паралельні, напрямки обертань протилежні та кутові швидкості рівні.

Кутова швидкість абсолютного руху і, отже, тіло здійснює поступальний рух. Цей випадок називається парою обертань, За аналогією з парою сил.

Приклад 16.Диск радіусом Rобертається навколо горизонтальної осі з кутовою швидкістю, а ця вісь разом із рамкою обертається навколо вертикальної нерухомої осі з кутовою швидкістю (рис.57).

Рис.57

Горизонтальна вісь - це вісь відносного обертання; вертикальна вісь - вісь переносного обертання. Відповідно кутові швидкості вектори їх спрямовані по осях і .

Абсолютна кутова швидкість , а величина її, так як ,

Швидкість точки А, наприклад, можна знайти або як суму переносної та відносної швидкостей: , де

або як при абсолютному русі, при обертанні навколо миттєвої осі Р, .

Вектор швидкості буде розташований у площині перпендикулярної вектору та осі Р.

Приклад 17Водило ОАіз укріпленими на ньому двома колесами 2 та 3 обертається навколо осі Проз кутовою швидкістю. Колесо 2 при цьому обкатуватиметься по нерухомому колесу 1 і змусить обертатися колесо 3. Знайдемо кутову швидкість цього колеса. Радіуси коліс (рис. 58).

Рис.58

Колесо 3 бере участь у двох рухах. Повертатися разом із водилом навколо осі Проі щодо осі. Ось Пробуде переносною віссю, вісь – відносною. Переносна кутова швидкість колеса 3 – це кутова швидкість водила , спрямована за годинниковою стрілкою, як .

Щоб визначити кутову швидкість відносного руху, спостерігачеві потрібно знаходитись на водилі. Він побачить водило нерухомим, колесо 1, що обертається проти годинникової стрілки зі швидкістю (мал. 59), а колесо 3 – що обертається з відносною кутовою швидкістю, проти годинникової стрілки. Бо , то . Осі обертання паралельні, напрямки обертань протилежні. Тому і спрямована так само, як проти годинникової стрілки. Зокрема, якщо , то і Колесо 3 рухатиметься поступово.

Рис.59

Дослідження руху інших подібних конструкцій (планетарних та диференціальних редукторів, передач) ведеться аналогічним способом.

Переносною кутовою швидкістю є кутова швидкість водила (рамки, хрестовини тощо), а щоб визначити відносну швидкість якогось колеса, потрібно водило зупинити, а нерухоме колесо змусити обертатися з кутовою швидкістю водила, але в протилежний бік.

Кутові прискорення тіла в абсолютному русі можна шукати як похідну, де. Покажемо (рис.60) поодинокі вектори (орти осей і ), а вектори кутових швидкостей запишемо так: , . і як швидкість кінця вектора . Модуль додаткового кутового прискорення, де – кут між осями.

Звичайно, якщо осі обертання паралельні, це кутове прискорення дорівнюватиме нулю, так як .