Дачний календар

Нелінійні коливання. Нелінійні акустичні коливання Ідеологія теорії нелінійних коливань

НЕЛІНІЙНІ КОЛИВАННЯ

Нелінійність процесів, зокрема і коливань, математично виявляється у нелінійності відповідних рівнянь руху. З погляду фізики нелінійність коливань характеризується двома абсолютно різними властивостями: ангармонічністю та неізохронністю. Під ангармонічністюрозуміють наявність у спектрі коливань частот, кратних основний, - Фур'є-гармонік,або обертонів. Неізохронниминазиваються коливання, частоти (основний та вищих гармонік) яких залежать від амплітуди або енергії коливань.

Класичним прикладом нелінійних коливань може бути звернення планет навколо Сонця - завдання, з вирішення якої почалися сучасні механіка та фізика. За третім законом Кеплера, частота з обігу планет навколо Сонця задається їх повною енергією:

w=│ E│ 3/2 .

Неізохронність, взагалі кажучи, не пов'язана з ангармонічністю. Так, заряджена частка, що рухається по круговій орбіті в постійному магнітному полі зі швидкістю, близькою до швидкості світла, робить коливання суто гармонійні, а частота її обігу обернено пропорційна енергії.

Нелінійний осцилятор

Лінійний (без загасання - гармонійний) осцилятор - основна модель лінійної теорії коливань. Його рівняння руху (за другим законом Ньютона):

де х- величина, коливання якої визначає модель (амплітуда усунення маятника, струм чи напруга в коливальному контурі, чисельність популяції тощо. буд.),- її «прискорення».

Нелінійний осцилятор – основна модель нелінійної теорії коливань. Його рівняння руху:

де f(.х) - нелінійна функція, що містить принаймні один нелінійний (не першого ступеня х) Член. Повна енергія системи залежить від часу, т. е. система консервативна.

Неізохронні коливання здійснює, наприклад, частка в плоскій потенційній ямі - ящику з нескінченно високими стінками:

U(x)=0 при - l/ 2<х< l/ 2; U(х)=¥ при х£ - l/ 2х>l/ 2.

Частка рухається з постійною швидкістю всередині ящика, миттєво пружно відбиваючись на межах. Її кінетична енергія Е до =mv 2/2, тобто швидкість V= Ö (2Е до /m) залежить від енергії. Період коливань частки виражається формулою

З формули (3) видно, що період коливань зменшується зі зростанням енергії (для інших систем він може зростати).

Закон збереження енергії Еосцилятора (консервативної нелінійної системи) має вигляд

Повну якісну картину руху нелінійного осцилятора надає його фазовий портрет. Із закону збереження енергії можна вивести

ЛЕОНІД ІСААКОВИЧ МАНДЕЛЬШТАМ

Навіть неповний перелік відкриттів та фундаментальних робіт академіка Леоніда Ісааковича Мандельштама (1879-1944) вражає різноманітністю: комбінаційне та флуктуаційне розсіювання світла, теорія мікроскопа, нелінійні коливання та радіотехніка, теорія резонансів, радіогеодезі. Виняткова, щоб не сказати хвороблива, вимогливість Л. І. Мандельштама до результатів роботи не дозволила включити до цього переліку низку інших, не менш важливих відкриттів, - наприклад, експериментальне виявлення у 1912 р. (за кілька років до класичних дослідів Стюарта та Толмена) інерції електронів у металах.

Але за всією вражаючою різноманітністю досягнень і широтою інтересів у науковій творчості Мандельштама виразно простежується головна тема – теорія коливань. Вперше познайомившись із цією областю за двотомною «Теорією звуку» лорда Релея, Мандельштам перейнявся красою її ідей і неодноразово вдавався до «коливальної допомоги», що дозволяла знаходити аналогії між результатами з різних розділів фізики.

У Мандельштамі щасливо втілилося рідкісне поєднання теоретика та експериментатора, дослідника та лектора. Він говорив, що існує розуміння першого роду, коли читають і розуміють все, що написано, можуть вивести будь-яку формулу, але ще не здатні самостійно відповісти на будь-яке питання з прочитаного, і розуміння другого роду, коли ясна вся картина, весь зв'язок ідей, явищ . Глибокий і тонкий мислитель, Мандельштам досяг розуміння другого роду всієї фізики і щедро ділився знаннями з численними учнями (серед них А. А. Андронов, А. А. Вітт, Г. С. Горелік, Г. С. Ландсберг, М. А. Леонтович, В. В. Мігулін, С. М. Ритов, С. П. Стрєлков, І. Є. Тамм, С. Е. Хайкін, С. П. Шубін та ін) та студентами.

Народився Мандельштам у Могильові в сім'ї, яка дала світові вчених, лікарів та письменників. Незабаром родина переїхала до Одеси. До 12 років хлопчик навчався вдома, потім у гімназії, яку закінчив із золотою медаллю. У 1897 р. він вступив на математичне відділення фізико-математичного факультету Новоросійського університету (Одеса). Через два роки у зв'язку зі студентськими заворушеннями юнака виключили з університету. За порадою батьків Мандельштам поїхав до Страсбурга, одного з центрів фізичних досліджень, де й продовжив освіту. У Страсбурзькому університеті тоді викладали математик Генріх Вебер (учень Рімана та автор класичного курсу «Диференціальні рівняння математичної фізики»), фізик Фердинанд Браун (за сумісництвом директор Фізичного інституту), кафедрою теоретичної фізики завідував Еміль Кон (автор відомої праці «Електр.

Пров. з англ. Болдова Б. А. та Гусєва Г. Г. За редакцією В. Є. Боголюбова. - М: Мир, 1968. - 432 с.
534 (Механічні коливання. Акустика). Є текстовий шар (тобто легко копіюється текст).
Монографія відомого японського вченого Т. Хаясі присвячена теорії нелінійних коливальних процесів, що відбуваються в різних фізичних системах.
Книга є перероблене і доповнене видання однієї з найраніших робіт автора, знайомої радянському читачеві з російського перекладу (Хаясі Т., Вимушені коливання в нелінійних системах, Іл, М., 1957). Проте після переробки та доповнення вийшла фактично нова книга.
Вона відрізняється від попередньої як новими розділами, а й значно вдосконаленою методикою викладу. Книга цікавить як фізиків та інженерів різних спеціальностей, мають справу з теорією нелінійних коливань та її додатками, так математиків, котрі займаються теорією диференціальних рівнянь.
Зміст.
Передмова до російського видання.
Передмова.
Вступ.
Частина i. Основні методи аналізу нелінійних коливань.
Розділ i.
аналітичні методи.
Вступ.
Метод обурень.
Метод ітерації.
Метод усереднення.
Принцип гармонійного балансу.
Численні приклади вирішення рівняння Дуффінг.
Розділ II.
Топологічні методи та графічні рішення.
Вступ.
Інтегральні криві та особливі точки на площині станів.
Інтегральні криві та особливі точки у просторі станів.
Метод ізоклін.
Метод Льєнара.
Дельта метод.
Метод похилих прямих.
Розділ III.
Стійкість нелінійних систем.
Визначення стійкості за Ляпуновим.
Критерій Рауса – Гурвіца для нелінійних систем.
Критерій стійкості за Ляпуновим.
Стійкість періодичних коливань.
Рівняння Матьє.
Рівняння Хілла.
Поліпшене наближення характеристичного показника.
рівняння Хілла.
Частина ii, Вимушені коливання в режимі.
Розділ iy.
Стійкість періодичних коливань у системах другого порядку.
Вступ.
Умова сталості періодичних рішень.
Поліпшені умови сталості.
Додаткові зауваження щодо умов стійкості.
Розділ y.
Гармонійні коливання.
Гармонічні коливання за симетричної нелінійної характеристики.
Гармонічні коливання за несиметричної нелінійної характеристики.

Розділ Yi.
Ультрагармонійні коливання.
Ультрагармонічні коливання в.
послідовно-резонансних ланцюгах.
Експериментальне дослідження.
Ультрагармонічні коливання у паралельно-резонансних ланцюгах.
Експериментальне дослідження.
Розділ Yii.
Субгармонічні коливання.
Вступ.
Зв'язок між нелінійною характеристикою та порядком.
субгармонійних коливань.

характеристиці, представленої кубічною функцією
Субгармонічні коливання порядку 1/3 за нелінійної.
характеристиці, представленої поліном п'ятого ступеня.
Експериментальне дослідження.

характеристиці, представленої поліном третього ступеня.
Субгармонічні коливання порядку 1/2 за нелінійної.
характеристиці, представленої симетричною квадратичною.
функцією.
Експериментальне дослідження.
Частина ІІІ. Перехідні процеси вимушених вагань.
Глава ІІІ.
Гармонійні коливання.
Вступ.
Періодичні рішення та їхня стійкість.
Аналіз гармонійних коливань із допомогою інтегральних.
кривих.
Аналіз гармонічних коливань фазової площині.
Геометричний аналіз інтегральних кривих для консервативних систем
Геометричний аналіз інтегральних кривих для дисипативних систем.
Експериментальне дослідження.
Розділ ix.
Субгармонічні коливання.
Аналіз субгармонійних коливань за допомогою інтегральних кривих.
Аналіз субгармонічних коливань порядку 1/3 фазової площині.
Експериментальне дослідження.
Субгармонійні коливання порядку 1/5.
Субгармонійні коливання порядку 1/2.
Аналіз субгармонічних коливань порядку 1/2 фазової.
площині.
Дослідження на аналоговій обчислювальній машині.
Розділ x.
Початкові умови, що призводять до різних видів.
періодичних коливань.
Метод аналізу.
Симетричні системи.

коливань порядку 1/3.
Несиметричні системи.
Області тяжіння для гармонійних та субгармонічних.
коливань порядків 1/2 та 1/3.
Експериментальні дослідження.
Розділ XІ.

Вступ.
Майже періодичні коливання у резонансному ланцюзі з підмагнічуванням постійним струмом.
Зміст.
Експериментальне дослідження.
Майже періодичні коливання параметрично.
збуджуваного ланцюга.
Частина IV. Автоколивальні системи за періодичного впливу зовнішньої сили.
Розділ XII.
Захоплення частоти.
Вступ.

Гармонічне захоплення.
Ультрагармонійне захоплення.
Субгармонічне захоплення.
Області захоплення частоти.
Аналіз за допомогою аналогової обчислювальної машини.

Автоколивальна система при нелінійній силі, що відновлює.
Розділ XIII.
Майже періодичні коливання.
Рівняння Ван-дер-Поля з примушуючим членом.

гармонійних коливань.
Геометричний розгляд інтегральних кривих.
межі гармонійного захоплення.
Майже періодичні коливання, що виникають.
ультрагармонійних коливань.
Майже періодичні коливання, що виникають.
субгармонійних коливань.
Автоколивальна система з нелінійною силою, що відновлює.
Додаток i. Розкладання функцій Матьє.
Додаток ii. Нестійкі рішення рівняння Хілла.
Додаток iii. Нестійкі рішення узагальненого рівняння Хілла.
Додаток iv. Критерій стійкості, отриманий методом.
обурень.
Додаток v. Зауваження щодо інтегральних кривих та особливих точок.
Програма Vi. Електронний синхронний комутатор.
Завдання.
Література.
Покажчик.
Т. Хаясі.
Нелінійні коливання у фізичних системах.

Редактор Н. Плужнакова Художник О. Шкловська.
Художній редактор В. Шаповалов Технічний редактор Н. Турсукова.
Здано у виробництво 9/Х 1967 р. Підписано до друку 25/Ш 1968 р.
Папір 60х90у1в-= 13,5 бум. л. 27,0 друк. л.
Уч. -вид. л. 24,
0. Вид. №1/3899.
Ціна 1р. 91 к. Зак. 907.
Темплан 1968 р. вид-ва «Мир», пір. №38.
Видавництво "Мир", Москва, 1-й Ризький пров. 2.
Ленінградська друкарня №2 імені Євгенії Соколової Головполіграфпрому Комітету.
з друку при Раді Міністрів СРСР. Ізмайловський пр., 29.

Дивіться також

Андріанов І.В., Данишевський В.В., Іванков А.О. Асимптотичні методи в теорії коливань балок та пластин

формат файлу: pdf
розмір: 5.53 МБ
доданий: 25 вересня 2011 р.

Дніпропетровськ: Придніпровська державна академія будівництва та архітектури, 2010 р., 217 с. У монографії розглядаються асимптотичні методи вирішення завдань коливань балок та пластин. Основна увага приділена гомотопічному методу збурень, що ґрунтується на введенні штучного малого параметра. Досліджено лінійні коливання конструкцій зі змішаними граничними умовами, а також нелінійні коливання систем з розподіленими...

Вібрації у техніці. Том 6. Захист від вібрації та ударів

формат файлу: djvu
розмір: 7.28 МБ
додано: 27 жовтня 2009 р.

Фролов К. В. У шостому томі викладено методи зниження віброактивності джерел коливань та настроювання динамічних гасників. Розглянуто питання балансування деталей машин, що обертаються, врівноважування машин і механізмів, вибору раціональних законів переміщення робочих органів машин, ізоляції обладнання та підстави, а також проблеми захисту людини від вібрації. Довідник призначений для інженерно-технічних працівників, зайнятих розрахунками, пр...

Ганієв Р.Ф., Кононенко В.О. Коливання твердих тіл

формат файлу: djvu
розмір: 8.89 МБ
додано: 27 жовтня 2011 р.

М.: Наука, 1976, 432 с. Досліджено нелінійні коливання у просторовому русі, зокрема умови виникнення резонансів. Робота актуальна під час створення систем амортизації авіаційної та космічної техніки. Ганієв Р. Ф. – акад. РАН, Кононенко В. О. – акад. АН України. Амортизатор пружний 39 Віброамортизація 145, 41, 7 Віброізоляція 145, 417 Порушення кінематичне 134, 358 Гірорама двовісна 343 Гірорама тривісна 353 Гіроскоп астатич.

Ден-Гартог Д.П. Механічні коливання

формат файлу: djvu
розмір: 7.5 МБ
доданий: 25 травня 2010 р.

М. Фізматгіз. 1960р. 574 с. Кінематика коливань. Системи з одним ступенем свободи. Два ступені свободи. Системи із довільним числом ступенів свободи. Багатоциліндрові двигуни. Частини машин, що обертаються. Автоколивання. Квазігармонічні та нелінійні коливання систем.

Мігулін В.В. Основи теорії коливань

формат файлу: djvu
розмір: 3.88 МБ
додано: 10 січня 2010 р.

Книга знайомить читача із загальними властивостями коливальних процесів, що відбуваються в радіотехнічних, оптичних та інших системах, а також із різними якісними та кількісними методами їх вивчення. Значну увагу приділено розгляду параметричних, автоколивальних та інших нелінійних коливальних систем. Вивчення описаних у книзі коливальних систем і процесів у них наведено відомими методами теорії коливань без докладних...

Обморшев О.М. Введення в теорію коливань

формат файлу: pdf
розмір: 8.75 МБ
додано: 23 лютого 2010 р.

Печенкін А.А. Парадигма та ідеологія: досвід філософської реконструкції історії теорії нелінійних коливань // Філософія науки. Вип. 7: Формування сучасної природничо парадигми - М.: , 2001

А.А.Печенкін

Парадигма та ідеологія: досвід філософської реконструкції історії теорії

нелінійних коливань*

Попередні зауваження

Щоб показати введені поняття "в роботі", розглянемо низку фрагментів історії теорії нелінійних коливань. Термін «теорія нелінійних коливань» ми використовуємо у куніанському соціологізованому сенсі. Не просто дедуктивна система (чи спроба сформулювати таку), а соціальне явище – уявлення, розвинені наприкінці 20-х гг. ХХ століття та у 30-ті рр. ХХ ст. спільнотою вчених, що називається зазвичай школою Л.І.Мандельштама. Теорія нелінійних коливань, що розглядається, змінила нелінійну теорію електричних коливань голландського фізика і радіоінженера Б. Ван дер Поля, над якою той працював вже на початку 20-х рр. У 1927 р. Л.І.Мандельштам поставив перед своїм аспірантом А.А.Андроновим завдання, яке вилилося в серію основних робіт, виконаних за участю двох інших аспірантів Л.І.Мандельштама – А.А.Вітта та С.Е.Хайкіна . При цьому Л. І. Мандельштам не тільки ініціював створення теорії нелінійних коливань, але разом зі своїм другом і співавтором Н. Д. Папалексі зробив внесок у розробку цієї теорії. У цій розробці брали участь також деякі інші учні Л.І. Мандельштама, співробітники Н.Д. свою школу, яка може розглядатися як гілка школи Мандельштама.

Теорія нелінійних коливань не одразу була визнана за кордоном. Її повноцінне визнання припадає вже на повоєнні роки, коли М.Мінорський написав свою книгу, в якій представив основні результати школи Л.І.Мандельштама. У 1949 р. вийшов англійський переклад книги А.А.Андронова, А.А.Вітта та С.Е.Хайкіна «Теорія коливань», виданої в СРСР в 1937 р. (оскільки Вітт був заарештований, його ім'я було видалено з титулу цієї книги), книги, що представляє основний зміст та програму теорії нелінійних коливань (так, у всякому разі, йдеться у передмові Мандельштама до цієї книги). У 1966 р. вийшов англійський переклад другого видання цієї книги (1959), підготовленого учнем Андронова Н.А.Железцова. Згодом роботи з теорії нелінійних коливань розчинилися у загальному потоці публікацій з нелінійної динаміки.

У цій статті планується показати, що не лише парадигма, а й ідеологія спрямовувала формування та розвиток теорії нелінійних коливань, причому саме ідеологія призвела до нетривіальних концепцій, що опинилися у 70-ті роки. у сфері інтересів синергетики – теорії самоорганізації. У наступному параграфі

мова йтиме про ту парадигму, у межах якої формувалася теорія нелінійних коливань. У третьому параграфі розглянемо цю парадигму «в роботі», тобто. обговоримо низку досягнень теорії нелінійних коливань (30-ті рр.), отриманих по дорозі те, що Т.Кун називав «вирішення головоломок». У четвертому параграфі буде описано ідеологію нелінійних коливань і буде простежено, як вона «працювала» поза тими завданнями, які вирішувалися в рамках парадигми.

Парадигма теорії нелінійних коливань

Як зазначалося вище, теорія нелінійних коливань прийшла зміну нелінійної теорії електричних коливань ван дер Поля. Остання, у свою чергу, генетично пов'язана з розробкою теорії радіотехнічного пристрою – лампового генератора. У цьому пристрої, що працює, як і будь-який реальний пристрій, з «тертям» (тобто є неконсервативною системою), виникають коливання. Звичайно, це означає, що система містить джерело енергії (або в систему надходить енергія ззовні). Проте не йдеться про вимушені коливання. Ламповий генератор сам генерує незатухаючі коливання. Він автономної системою (диференціальні рівняння таких систем не містять часу явно), тобто. системою з неперіодичним джерелом енергії Незагасні коливання виникають за рахунок особливої конструкції лампового генератора, що включає, крім коливального контуру, підсилювач (електронну лампу), пов'язаний з коливальним контуром зворотним зв'язком.

Залишаючи відкритим питання про парадигму теорії ван дер Поля, опишемо ту парадигму, що склалася у роботах Мандельштама, Андронова та їхніх співробітників наприкінці 20-х рр. Наслідуватимемо «елементам дисциплінарної матриці», перерахованим Куном у «Додатку 1969 р.» до його книги «Структура наукових революцій».

Як перший елемент Кун вказує на «символічні узагальнення» – математичні формули, що виражають універсальні наукові закони. У сучасній фізиці – це переважно диференціальні рівняння. «Символічні узагальнення» мають бути достатньо ємними, щоб постановка конкретних завдань йшла шляхом «розшифрування» цих «узагальнень».

Ван дер Поль здебільшого виходив із рівняння, що носить тепер його ім'я і описує принцип дії простого лампового генератора:

d 2 x/dt 2 –μ(1–2x 2)dx/dt+x=0 (1)

Тут x– узагальнена координата (у разі лампового генератора – сила струму), t- час, а нелінійний елемент 2x 2 dx/dt висловлює роботу підсилювача (електронної лампи).

У працях Андронова та інших представників школи Мандельштама «символічним узагальненням» стає диференціальне рівняння, стосовно якого рівняння ван дер Поля – окремий випадок. Це таке рівняння:

d 2 x/dt 2 +2δdx/dt+ω 2 x=f(x,dx/dt) (2)

де x та t,як і раніше, узагальнена координата і час, δ – коефіцієнт загасання, ω – власна частота, тобто. циклічна частота того процесу, який відбувався б у відсутності тертя та зовнішньої сили, f(x, dx/dt) - Нелінійна функція, що описує дію джерела енергії, включеного в систему управління, що забезпечує незагасаючі коливання. Рівняння (2) може бути щоразу записано для різних нелінійних завдань радіотехніки і механіки – для опису лампового генератора, годинника, фрикційного маятника (так званого маятника Фроуда, що являє собою звичайний маятник, посаджений з тертям на вал, що обертається з постійною швидкістю) і т.д.

На другому місці після «символічних узагальнень» у Куна стоять «загальновизнані розпорядження» типу «теплота є кінетичною енергією частин, що становлять тіло». У Мандельштама, Андронова, їхніх співробітників та учнів таким розпорядженням було насамперед таке: «побудувати фазовий портрет коливальної системи – її траєкторію на фазовій площині (де осями координат є х, dx/dt)». Рівняння (2), взагалі, не інтегрується, не вирішується в елементарних функціях. Ван дер Поль, вирішуючи рівняння (1), діяв винайденим ним же наближеним методом – методом амплітуд, що повільно змінюються (μ трактувалося ним як малий параметр). Побудова фазового портрета можна також розглядати як інтегрування. Оскільки фазовий портрет підпорядковується суворим законам теорії диференціальних рівнянь, побудова фазового портрета забезпечує точне розв'язання диференціального рівняння. Оскільки фазовий портрет сам по собі не несе кількісної інформації про амплітуду, фазу та частоту коливань, то це рішення якісне. Звідси термін, популярний серед Андронова, – «якісне інтегрування».

До завдання побудови фазового портрета близько підійшов ван дер Поль у 1926 р. Діючи методом ізоклін, він намітив контури того, що потім було названо фазовим портретом рівняння (1). Але його «фазовий портрет» був об'єктом якісної теорії диференціальних рівнянь, закладеної А.Пуанкаре останні десятиліття ХІХ століття. Це була скоріше картинка, графічна ілюстрація.

Фазові портрети рівнянь (1) та (2) побудував Андронов у своїх роботах 1928–1929 рр., що стали основою його кандидатської дисертації. Андронов показав, що незатухаючі коливання, що мають місце в ламповому генераторі, годинник і т.д. (Він назвав їх автоколиваннями), зображуються на фазовій площині у вигляді граничних циклів Пуанкаре - замкнутих кривих, до яких асимптотично наближаються всі близькі криві. Граничний цикл оточує особливу точку, що символізує стан рівноваги. У подальших роботах Андронов розглянув перехідні процеси – випадки «жорсткого» та «м'якого» збудження коливань у ламповому генераторі – і знайшов їх геометричні образи на фазовій площині.

"Якісне інтегрування" передбачає аналіз стійкості коливань. Андронов показав, що автоколиванням відповідають стійкі граничні цикли Пуанкаре. При цьому суттєвими виявляються два види стійкості: стійкість за Ляпуновим і структурна стійкість (грубість) коливальної системи. Стійкість за Ляпуновим означає стійкість по відношенню до малих змін початкових умов. Термін «грубість динамічної системи» був запроваджений Андроновим вже у його перших роботах про граничні цикли. Проте коректне формулювання цього поняття було здійснено їм разом із Л.С.Понтрягіним у 1937 р. Грубою називається система, фазовий портрет якої стійкий до невеликих змін диференціального рівняння, що описує цю систему. Щоб сформулювати «грубість» точніше, треба рівняння (2) переписати у такому вигляді:

d 2 x/dt 2 +ω 2 x=f(x,dx/dt) (3)

де нелінійна функція f(x, dx/dt) представляє вже не тільки неперіодичний джерело енергії, а й фактор загасання (до того є свій резон, тому що тертя може бути нелінійним). Грубим рухом буде стійке до малих змін правої частини рівняння (3).

Керуючись теорією стійкості, розвиненою А.М.Ляпуновим на початку ХХ століття, Андронов разом з А.А.Виттом показали, що за умови грубості системи за характеристичними показниками Ляпунова можна судити про стійкість граничного циклу і, отже, наявність автоколивань.

автоматичне регулювання. Андронов писав, що саме в ці роки їм було вирішено завдання стійкості рухів, поставлене перед ним Мандельштамом у 1927 році.

Користуючись методом припасування, фазовий портрет шукають шляхом складання рішення нелінійного рівняння типу (2) зі шматочків рішень лінійних рівнянь, що апроксимують окремі ділянки цього рішення, та «зшивання» лінійних рішень виходячи з вимоги безперервності рішення нелінійного рівняння. При цьому константу інтегрування лінійного рішення, що відповідає наступному лінійному шматочку, знаходять шляхом «припасовування» цієї ділянки до попереднього: початкові значення, що характеризують цю ділянку, повинні співпадати з кінцевими значеннями, що характеризують попередню ділянку.

Той ескіз фазового портрета, що дає метод припасовування, залежить від початкових значень, у яких отримано рішення першого лінійного рівняння, словом, від цього, за яких умов розпочато «припасовування». За допомогою методу точкових відображень цей недолік може бути частково подоланий: до уваги може бути прийнятий інтервал можливих початкових значень. Так чи інакше, метод припасовування дозволяє судити про характер фазового портрета задачі, що вирішується, і оцінити кількісні характеристики цього портрета. Він хіба що відкриває двері у фазове простір, перебуваючи у якому треба вже рухатися за іншими законами – за законами емпіричних спостережень і правил, а, по законам суворої математичної теорії – якісної теорії диференціальних рівнянь.

Вище згадувався інший наближений метод – метод амплітуд, що повільно змінюються, розроблений ван дер Полем. Цей метод також використовувався для евристичних міркувань щодо фазового портрета. У 1930 р. Андронов і Вітт за допомогою методу амплітуд, що повільно змінюються, розглянули явище «захоплення», що має місце в неавтономній системі (на відміну від рівнянь (1) і (2), що описують автономні системи, в рівняннях для неавтономних систем присутній член, що враховує періодичну зовнішню силу)*. При цьому вони отримали образ цього

* Для неавтономних систем типові «биття», коливання, що характеризуються двома частотами (частотою ω – див. рівняння (2) та частотою зовнішньої сили). "Захопленням" називається примусова синхронізація: змінюючи частоту зовнішньої сили, ми спостерігаємо, що при певному значенні цього параметра виникають однорідні коливання із цією частотою.

явища у фазовому просторі, тобто. простежили зміну фазового портрета автоколивальної системи із зміною частоти зовнішньої сили.

Метод амплітуд, що повільно змінюються, полягає в заміні рівняння (1) більш простими «укороченими» рівняннями, чиє рішення апроксимує рішення вихідного рівняння при малих значеннях параметра μ. У книзі Андронова, Вітта та Хайкіна пояснюється співвідношення фазових портретів вихідного рівняння та фазового портрета «укорочених рівнянь». Система координат вихідного рівняння, поміщена на фазову площину «укорочених» рівнянь, обертається за годинниковою стрілкою з кутовою швидкістю, що дорівнює 1. траєкторії на цьому допоміжному фазовому портреті

Вочевидь, ці відповідності ведуть лише до ймовірному фазовому портрету вихідного рівняння. Однак це припущення вводиться у контекст суворої математичної теорії – якісної теорії диференціальних рівнянь. Тим самим воно набуває вищого статусу у структурі фізики. Усі теорії фізики ймовірні. Однак серед них є замкнуті концептуальні системи, що оперують суворими поняттями та законами. Цю строгість надає їм строгий математичний апарат, у якого вони формулюються. Завдяки якісній теорії диференціальних рівнянь такою теорією стає теорія нелінійних коливань.

Вже у перших своїх роботах з граничних циклах Пуанкаре Андронов застосовував інший асимптотичний метод – метод малого параметра, введений Пуанкаре у «Нових методах небесної механіки» (цей метод називають також методом Пуанкаре). У 1930-х роках. у співавторстві з Віттом він застосовував цей метод у галузі, що виходить за межі тих досліджень, які велися на основі якісної теорії диференціальних рівнянь.

Зіставивши «онтологічні» та «евристичні» моделі, ми вже торкнулися третього елемента куновської «дисциплінарної» матриці – цінності. Для школи Мандельштама був характерний фундаменталізм – перевага надавалася загальним фізичним теоріям, а не «продуктивним» моделям. Як сам Андронов, і Мандельштам тлумачили роботу Андронова по граничним циклам Пуанкаре як основну теоретично нелінійних коливань. Вони вважали, що завдяки цій роботі теорія нелінійних коливань набула

Суворий математичний апарат і тим самим наблизився за своїм статусом до фундаментальної теорії (типу механіки, електродинаміки тощо). Ван дер Поль, який розвинув теорію електричних коливань і публікував свої дослідження одночасно з Мандельштамом і Андроновим, як використовував наближені методи, він декларував принципову важливість цих методів. Мандельштам і Андронов, віддаючи належне ефективності методів ван дер Поля, відзначали, що їм не було створено теорії, «адекватної» предмету, що розглядається, і веде до далекосяжних якісних передбачень.

У своїй передмові до книги Андронова, Вітта та Хайкіна Мандельштам наголосив на концептуальній значущості цієї роботи. У ньому як розбиралися методи, враховують нелінійність як поправки до лінійним розрахункам, а й створювався специфічний мову нелінійної фізики. «У складній області нелінійних коливань, – пророкував Мандельштам, – викристалізуються свої специфічні загальні поняття, положення та методи, які увійдуть в ужиток фізика, стануть звичними та наочними, дозволять йому розбиратися в складній сукупності явищ і дадуть потужне евристі». .. Фізик, який цікавиться сучасними проблемами коливань, має вже тепер брати участь у просуванні цим шляхом» .

Сказане значить, що Мандельштам, Андронов, їхні співробітники та учні недооцінювали наближені методи. Швидше навпаки, майже всі їхні роботи 30-х років. пов'язані із застосуванням наближених методів. Перевага, що віддається точним методам, була своєрідною регулятивною ідеєю. Воно визначало виклад матеріалу у підручниках та оглядових статтях. Крім того, ця перевага стимулювала роботу з обґрунтування наближеного методу амплітуд, що повільно змінюються (Л.І.Мандельштам і Н.Д.Папалексі, 1935 р.). І нарешті (і це, мабуть, найголовніше), поставивши на чільне місце якісну теорію диференціальних рівнянь, Андронов у співавторстві з низкою своїх співробітників і учнів розробив теорію еволюції фазового портрета системи, що має місце при зміні параметра системи. Ця розробка почалася з згадуваного вище дослідження «м'якого» та «жорсткого» збудження лампового генератора і призвела до збагачення теорії нелінійних коливань концепціями «зміни стійкості» та точок біфуркації,

А якийсь асимптотичний метод, якийсь кореспондент-принцип», – говорив Мандельштам. Однак згодом він не тільки схвалив роботи своїх учнів, які використовували метод малого параметра, але й сам разом із Н.Д.Папалексі застосував цей метод у статті про резонанс другого роду (1934–35 рр.). Андронов та Вітт використовували метод малого параметра при розрахунку системи з двома ступенями свободи. Вони самі відзначали, що ця система поки що надто складна для розгляду її з позицій якісної теорії диференціальних рівнянь. Тим не менш, керуючись тією шкалою цінностей, яка була прийнята в школі Мандельштама, Г.С.Горелік, один з останніх аспірантів Мандельштама та співробітник Андронова, писав, що «метод малого параметра займає в його (Андронова) роботах зовсім другорядне місце. Головне в них – застосування до дослідження нелінійних коливань якісної теорії диференціальних рівнянь та пов'язаних із нею топологічних методів».

І нарешті, четвертий компонент «дисциплінарної матриці» – приклади, на яких відпрацьовується формулювання та вирішення завдань, приклади, що показують як конкретизувати «символічні узагальнення» та застосовувати до них «розпорядження», як «евристичні моделі» дозволяють побудувати «онтологічну модель». Як зазначалося вище, теорія нелінійних коливань спочатку складалася як теорія простого радіотехнічного устрою – лампового генератора. Цей пристрій і служило «прикладом, що розділяється», на якому в підручниках пояснювалося поняття автоколивань і використання граничних циклів Пуанкаре для опису автоколивань. У «Лекціях з коливань» Мандельштам наводить ще один приклад – маятник Фроуда, у книзі Андронова, Вітта та Хайкіна ламповий генератор є сусідами з годинником.

Парадигма «у роботі»

Щоб пояснити ту роль, яку грала парадигма у становленні теорії нелінійних коливань, розглянемо, як було вирішено два завдання: завдання про коливання в мультивібраторі Абрагама і Блоха (система, що не містить помітних індуктивностей) і завдання про коливання скрипкової струни. Перше завдання (1930 р.) призвело до формування вчення про релаксаційні коливання, сильно несинусоїдальних коливаннях, що складаються з швидких і повільних рухів. Друга (1936 р.) означала прорив у область розподілених систем, безперервних середовищ. У своїх перших роботах, ініційованих

андроновським застосуванням граничних циклів Пуанкаре, Мандельштам, його співробітники та учні мали справу виключно із зосередженими системами, коливання яких є просторовими переміщеннями – гойданнями маятника, рухами електричного заряду. Хоча параметри, що визначають поведінку таких систем – маса маятника, індуктивність та ємність у коливальному контурі, – практично не є точковими, а розподілені за своїми просторовими областями, від цієї їх неточності можна відволіктися. Зосереджені системи описують прості диференціальні рівняння, розподілені – рівняння у приватних похідних.

Андронов сам дав такий опис цієї історії: «У 1929 р. я стою, – як далі буде видно, у певному сенсі надто прямолінійно, на тій точці зору, що математичним чином незатухаючих коливань, або автоколивань є граничний цикл Пуанкаре. Я розглядаю різні системи та шукаю скрізь граничні цикли. Однак, я беру звичайну ідеалізовану схему мультивібратора Абрагама - Блоха, що містить одні тільки ємності, але показує автоколивання. Я пишу диференціальні рівняння динаміки, шукаю циклу, але без результатів. Більше того, я зміг довести, що аналізовані диференціальні рівняння не можуть мати граничного циклу. Замість циклу я знайшов специфічну криву, що показує, що фазова швидкість стає нескінченною. Наявність такої кривої не дозволяє однозначно встановити рух зображувальної точки. Виходить феномен: автоколивання означають цикли, циклів немає, а система

здійснює автоколивання. З цим парадоксом я прийшов до Мандельштама, який негайно зрозумів, у чому справа. Після деякої дискусії він підсумував: «Якщо доведено, що циклів немає, то це вже щось. Оскільки система здійснює коливання, або ваша ідеалізація непридатна, або Ви не знаєте, як з нею працювати». Він додав, що їде до Ленінграда і постарається там обміркувати цей парадокс. Після повернення з Ленінграда він сказав таке: «Ми з Н.Д.Папалексі думаємо, що з вашою ідеалізацією можна працювати і знайти періодичне рішення, цікаве з фізичного погляду. Але це рішення не належатиме до безперервних рішень, які ви шукаєте. Це буде розривне рішення, тобто. відповідний рух зображувальної точки буде здійснювати миттєві стрибки. Ми думаємо, що можна знайти періодичне рішення, якщо запровадити додаткову гіпотезу, що за цих змін енергія, запасена в конденсаторах, змінюється безперервно». Незабаром я разом із Віттом спробували реалізувати ці міркування Мандельштама. Подолавши деякі обчислювальні проблеми, ми знайшли розривне періодичне рішення» .

Отже, завдання про мультивібратор Абрагама-Блоха було вирішено Андроновим у два етапи.

Андронов суворо показав, що ця система рівнянь "не допускає жодних безперервних періодичних рішень". У той самий час парадигмальні завдання підказували йому, що є автоколебательной, тобто. здійснює безперервний періодичний рух.

ІІ. Обговоривши питання з Мандельштамом, Андронов у співавторстві із Віттом вирішив «головоломку». Утримуючи ту ж ідеалізацію, він прийняв «гіпотезу стрибка», підказану йому Мандельштамом та Папалексі. Ця гіпотеза, яка полягає в тому, що напруга на конденсаторах безперервна, дозволяє «добудувати» фазову траєкторію рівнянь мультивібратора до граничного циклу в чотиривимірному фазовому просторі. Зображувальна точка, досягнувши критичного значення (швидкість зміни напруги на сітці звертається в нескінченність), здійснює стрибок у точку кривої, визначеної зазначеними умовами безперервності, і потім знову рухається фазової траєкторії цих рівнянь,

звертається в нескінченність), здійснює стрибок у точку кривої, визначеної зазначеними умовами безперервності, і потім знову рухається фазовою траєкторією цих рівнянь.

Завдання про коливання скрипкової струни вирішував Вітт, який ще 1934 р. опублікував статтю про «розподілені автоколивальні системи». У цій роботі, проте, як Вітт сам застерігає, він діяв дуже грубими наближеними методами. По-перше, він розглядає нелінійні системи як слабо нелінійні, що дає можливість застосовувати метод малого параметра, причому в його найпростішому варіанті, де враховується лише перший член ряду за ступенями параметра μ. По-друге, Вітт припускає, що теорема Ляпунова про стійкість, справедлива для концентрованих систем, має й для розподілених систем.

У статті про коливання скрипкової струни Вітт вже працює у рамках парадигми теорії нелінійних коливань. Математично це завдання формулюється як системи диференціальних рівнянь у приватних похідних: хвильове рівняння і рівняння, виражають граничні умови – одне їх нелінійне. Щоб привести завдання до виду, що відповідає «символічному узагальнення» (1)–(2), Вітт використовує метод точкових відображень (див. вище). Іншими словами, він із рівнянь у приватних похідних отримав «функціональне рівняння», якого відповідно до методу точкових відображень наводяться завдання зі звичайними диференціальними рівняннями. «Щоб отримати універсальні співвідношення, ми користуватимемося безрозмірними величинами, – пише Вітт. – Положення точки на струні ми вимірюватимемо величиною y=x/l, де x– відстань даної точки струни від закріпленого кінця, / – довжина половини струни, час ми вимірюватимемо ставленням τ=tc/l=4t/T , де с –швидкість поширення коливань у струні, t –час, T – період основного тону вільних коливань. Позначимо через uвідношення v/l, де v – усунення струни. За Даламбер:

u=φ 1 (τ-у)+φ 2 (τ+у) (а)

при y=0: u=0 і, отже, ъ=0 (для >0) (б)

ϕ(τ+ Τ )=ψ(ϕ(τ))

з початковими значеннями ϕ(t)=ϕ 0 (τ), 0<τ<Τ.

Це рівняння, що б точкові відображення, він досліджував за допомогою ітерацій. При цьому він ввів поняття стаціонарної послідовності, прикладами таких послідовностей є послідовності, всі члени яких однакові, і періодичні послідовності. Він також ввів поняття послідовності, стійкою за Кенігсом Аналогія з граничними циклами виникає, коли ці послідовності наносяться на діаграми Лемерея у декартових координатах ϕ(τ)=х і ϕ(τ+Т)=ψ).

Вітт розглядав приклад простий розподіленої нелінійної системи: нелінійність у нього була зосередженою в точці дотику смичка та струни. Систематичне дослідження нелінійних коливань розподілених систем почалося пізніше – у 50-х роках. І проводилося вже не в рамках «парадигми автоколивань», а «ідеології автоколивань».

Ідеологія теорії нелінійних коливань

Ідеологія теорії нелінійних коливань – це насамперед поняття автоколивань, запроваджене, як зазначалося вище, Андроновим у статтях 1928–1929 рр. Фактично з автоколиваннями мав справу і ван дер Поль, описуючи незатухаючі коливання в ламповому генераторі, але не вводив для них спеціального терміну. Андронов не лише ввів спеціальний термін, він надав цьому явищу теоретичну глибину, зв'язавши автоколивання з граничними циклами на фазовій площині. І до Андронова радіоінженери та радіофізики знали, що для лампового генератора типові незатухаючі коливання, що характеризуються своєю специфічною амплітудою, незалежною від умов порушення цих коливань. Андронов, однак, зробив це поняття теоретичним. Він показав,

що стійкість автоколивань може розумітися в математичному сенсі та експлікується як стійкість за Ляпуновим і грубість коливальної системи.

Поняття автоколивань стало набирати авторитет після Першої Всесоюзної конференції з коливань (1931 р.), яку провела школа Л. І. Мандельштама. Автоколивання були у центрі уваги цієї конференції. Ми читаємо в одній із статей 1936 р., що «в даний час існує математично строга і фізично адекватна теорія великого класу автоколивальних явищ, що довела свою плідність у великій кількості досліджень». "Явлення автоколивань ... зустрічається в природі на кожному кроці", - пише у своєму підручнику Г.С.Горелік, про підхід якого до методу малого параметра йшлося вище. «Радянськими вченими, - йдеться в одному з оглядів, - по суті була створена нова галузь науки про коливання - область автоколивань, яка в даний час поповнюється новими дослідженнями та результатами».

У повоєнні роки з'являються книги, спеціально присвячені автоколиванням. У 1944 р. вийшла книга К.Ф.Теодорчика, який зайняв у 1939 р. пост. в.о. завідувача кафедри коливань, заснованої Л.І.Мандельштамом. Книга називалася «Автолікарні системи», і вона витримала три видання. Три видання витримала і книга великого спеціаліста з проблем автоматичного регулювання А.А.Харкевича «Автолібання». У передмові до цієї книги, написаної "без єдиної математичної формули в основному тексті", констатується "широке значення автоколивань не тільки для техніки, але й взагалі для природознавства".

Ідеологія виникає разом із парадигмою, можна також сказати, що парадигма несе якусь ідеологію. Проте ідеологія поширюється далі за парадигму. Вище ми охарактеризували чотири складові частини парадигм за Куном: «символічні узагальнення» (зазвичай це – диференціальні рівняння), «розпорядження» (зазвичай це – методи вирішення диференціальних рівнянь), цінності, що встановлюють ієрархію серед приписів, і приклади, що розділяються, досить прості завдання, дозволяють пояснити, як «приписи» забезпечують застосування «символічних узагальнень». Як «символічні узагальнення», і «розпорядження» обумовлені певними правилами (наприклад, правилами математики). Ідеологія ж – це і висловлювання, значення яких пояснюються з прикладів (аналогіях і ілюстраціях). Застосування цих слів та виразів спрямовується інтуїцією. Звісно, у кожному науковому співтоваристві – своя інтуїція. Але інтуїція

може йти далі правил і навіть ставити проблеми, які потребують ревізії правил. Значення слів та виразів можуть розвиватися, утворюючи те, що Л. Вітгенштейн називав «сімейні подібності». Наприклад, значення слова «гра», яке Вітгенштейн бере як зразок, припускає такі приклади, як шахи, пасьянс, хоровод. Значення ж слова «автоколивання» може бути розроблено в ряді ілюстрацій, що починаються ламповим генератором, маятником Фроуда і механічним годинником і що включає скрипкову струну, що збуджується смичком, зірки змінної яскравості (cepheids), серце та «біологічний годинник». Якщо ж звернутися до такого предикату, як «бути обумовленими властивостями самої системи, а не початковими умовами», цей ряд поповниться такими об'єктами, як автохвилі та дисипативні структури.

Однією з важливих ознак ідеологічного застосування поняття є розмивання його змісту. Поняття як би виходить за межі своєї галузі застосування. По суті це означає, що формулюються аналоги цього поняття, що виникають нові поняття під тим самим терміном, причому поняття, не визначені чітко.

Першим таким порогом, що порушило поняття автоколивань, був поріг між автоколиваннями та вимушеними коливаннями. «У зв'язку з відкриттям нових принципів генерації автоколивань та розвитком вже відомих, поняття автоколивань після Другої світової війни значно розширилося. Зокрема, до автоколивань стали відносити не тільки ті невгамовні коливання, енергія яких черпається з постійного джерела, але й ті коливання, які підтримуються за рахунок енергії іншого досить сильного коливального процесу, що збуджується ззовні... (такі коливання можуть бути повністю погашені зміною якого -або параметра системи, скажімо, згасання або розлади)» .

Продовженням цього процесу розмивання виявляється реплікація поняття як лінгвістичних аналогів. По відношенню до автоколивань такою стала поява понять автохвилі та автоструктури. Перше ввів Р.В.Хохлов у відгуку докторську дисертацію А.М.Жаботинского, присвячену коливальним хімічним реакціям (1972 р.). Хохлов мав на увазі, що Жаботинський описав не лише власне хімічні автоколивання, а й схожі хвильові процеси, схожі в сенсі їхньої суверенності – незалежності від початкових і, до деяких меж, граничних умов та визначення параметрами системи.

Поняття автоструктур з'являється у спільній статті двох авторів, які відносяться до школи Мандельштама, – А.В.Гапонова-Грехова (колишнього аспіранта Андронова) та М.І.Рабіновича. Під автоструктурою розуміється стійка просторова або тимчасова впорядкованість, що виникає в розподіленій системі з явно вираженою нелінійністю і далеко від рівноважного стану. Властивістю автоструктур знову є їхня відносна незалежність від початкових та граничних умов.

Неважко бачити, що при формулюванні таких понять, як автохвилі та автоструктури, використовується не просто якесь визначення автоколивань, але мовні форми, закладені в цих визначеннях. Ці мовні форми передають вже не просто інтуїцію граничного циклу, яку несуть визначення автоколивань, а скоріше інтуїцію атрактора взагалі.

Вище згадувалась стаття Гапонова-Грехова та Рабіновича, в якій запроваджувалися «автоструктури». В інтерв'ю, даному автору цих рядків (22.05.1992), у відповідь на запитання: «Чи не можна сказати, що для Вас істотна якась «автохитна ідеологія»?» - М.І.Рабінович сказав: «Так, безумовно. Насправді, навіть не в слові справа. Просто автоколивання, як і автохвилі, які вигадав Р.В.Хохлов. Він вигадав не самі хвилі, а слово, дуже вдалий оборот… Але, розумієте, дуже вдале слово. Я практично все життя займаюся нелінійними дисипативними нерівноважними системами. Це може бути середовище. Я, як правило, хвильовими завданнями займаюсь чи турбулентністю, але там завжди є диссипація. У мене гамільтонові системи, системи без тертя, без дисипації, завжди граничний випадок. Мені цікавіше завжди були системи з атракторами, у яких при t→∞ завжди щось встановлюється: хаос, хаос, періодичні коливання, так періодичні коливання, стохастичні структури – заради бога. У цьому сенсі мені структури і динамічний хаос – просто різні типи аттрактора, які встановлюються при t, що прагне нескінченності, у процесі еволюції поведінки системи. Мене завжди цікавили системи, в яких щось встановлюється, де є щось об'єктивне, незалежне від початкових умов».

Отже, М.І.Рабінович захоплений не так самою концепцією автоколивань, як ідеєю суверенності, що міститься в ній, що несе інтуїцію атрактора.

Висновок

При філософської кваліфікації наукової теорії упор зазвичай роблять або з її описові можливості, або з її пояснювальний інструментарій. У цій статті взяті до уваги обидві ці іпостасі теоретичного знання. Парадигма – це посібник з вирішення завдань, з побудови наукових пояснень і прогнозів. Ідеологія ж - це мова, апарат наукового опису, що тягнеться, як правило, за межі пояснювальних ресурсів.

Примітки

Кун Т. Структура наукових революцій/Пер. з англ. І.З.Налетова. За ред. С.Р.Мікулінського та Л.А.Маркової. М, 1975. З. 70.

Minorsky N. Introduction to Nonlinear Mechanics. Michigan: J. W. Edwards, 1947.

Andronov A.A., Chaikin S.E. Theory of Oscillations. Princeton: Princeton Univ. Press., 1949.

Van der Pol B. On Relaxation Oscillations // Philos. Mag. Ser. 7. Vol. 2, 1926. P. 978-992.

Андронов А.А.Граничні цикли Пуанкаре і теорія коливань// IV з'їзд російських фізиків. М., Н.-Новгород, Казань, Саратов (5-16 серпня 1928). Перелік доповідей, поданих на з'їзд з коротким змістом. М.-Л., 1928. С. 23-24; Він же. Les cycles limites de Poincarй et la thйorie des oscillations autoentrenues // C.r. Acad sci. Париж. T. 189, 1929. P. 559-561. Передруковано: Андронов А.А.Зібр. тр. М., 1956. С. 32-33, 41-43.

Андронов А.А., Вітт А.А. Zur Theorie des Mitnehmens van van der Pol // Archiv fuer Elektrotechnik. Bd. 24, 1930. S. 99-110. Передруковано: Горєлік Г.С.Коливання та хвилі. М.; Л.: ГТТІ, 1950. C. 105.

Крилов Н.М.Шляхи розвитку теорії нелінійних коливань СРСР за 50 років // Радіотехніка. 1969. Т. 24 № 5. С. 10.

Харкевич А.А.Автоколивання. М., 1950. З. 5.

Каплан А.Автоколивання (не опубліковано). 1979. С. 5.

Гапонов-Грєхов А.В., Рабінович М.І. Л.І.Мандельштам та сучасна теорія нелінійних коливань та хвиль // Успіхи фізичних наук. Т. 128, 1979. С. 579-624.

1. Використана вище в лінійному аналізі гіпотеза про нескінченно малу величину збурень не дозволяє розглянути розвиток дійсних збурень. У лінійній теорії, очевидно, амплітуда обурень або взагалі визначено (на межі стійкості), або зростає безмежно (в зоні нестійкості), що виходить як її вихідних положень. Насправді при деякій амплітуді збурень стають суттєвими нелінійні ефекти, які запобігають безкінечному збільшенню амплітуди і призводять до граничного циклу коливань.

Нелінійність починає проявлятися лише для обурень з певною (критичною) амплітудою: при меншій амплітуді згідно з нелінійною теорією коливання згасають, при більшій - має місце так звана нелінійна нестійкість (нестійкість у великому, імпульсна нестійкість). Нелінійності коливального процесу в РДТТ визначаються нелінійністю процесу горіння та хвильового руху в камері, що проявляється у зростанні кривизни хвиль тиску, дисперсії обурень та у виникненні ударних хвиль.

Незважаючи на те, що лінійні теорії забезпечують досить повне розуміння проблеми нестійкості РДТТ, вони не можуть вирішити надзвичайно важливого для практики питання про найбільш небезпечні для двигуна та для всього ЛА коливання великої амплітуди. Тому вивченню таких нелінійних коливань приділяється дедалі більша увага. В даний час можна вказати вузьке коло вирішених нелінійних завдань.

2. Вихідні рівняння . Розглянемо у наступній постановці завдання про нелінійні акустичні коливання для одномірної течії. Система нелінійних диференціальних рівнянь для такої нагоди може бути представлена в наступному вигляді:

рівняння збереження маси газу

рівняння збереження маси частинок

; (5.85)

рівняння збереження кількості руху

; (5.86)

рівняння збереження енергії

де індекс « l » означає масову витрату на одиницю довжини; v- на одиницю обсягу; інші індекси та величини колишні.

3. Основні припущення . Для вирішення цих рівнянь зробимо такі припущення:

Відсутнє догорання, тобто = 0; Q = 0;

Обмін енергією представлений теплообміном між частинками та газом у КС;

Перетин каналу заряду незмінний, тобто. F= const;

При z= 0 швидкості газу та частинок раїни нулю;

Для двофазного потоку в соплі передбачається постійне відставання важкої фракції;

Режим роботи сопла квазістаціонарний;

Характеристики перехідного горіння визначаються функцією чутливості як

. (5.88)

отже, характеристика горіння передбачає лінійність;

Враховується зв'язок швидкості горіння з тиском, в окремих випадках – зі швидкістю потоку;

Частинки розглядають лише одного розміру, причому з використанням лінійного та нелінійного коефіцієнта опору.

4. Результати чисельного рішення . Численні методи розв'язання нелінійних задач стійкості включають метод характеристик, метод «дискретизації» та ін. Система представлених рівнянь (5.84)...(5.87) може вирішуватися, наприклад, методом характеристик. Таке рішення, отримане Ф. Куликом, дає залежність амплітуди збурень від часу. Приклади результатів чисельних розрахунків Ф. Кулика показано на рис.7. Початкові умови задавалися у вигляді стоячої хвилі основної частоти камери. Початкове обурення становило рівну частину першої та другої моди, але після трьох циклів тиск майже не містив другої гармоніки. Вплив зв'язку з перехідним горінням у цьому випадку, очевидно, грає вирішальну роль; функція чутливості при прийнятих А і В показує це сильно для основної частоти і слабкої - для другої моди. Можна також відзначити, що амплітуда тиску починає зростати не відразу; навіть спостерігається навіть деяке її згасання після одного циклу. Це можна пояснити тим, що швидкість горіння тільки після декількох циклів досягає значення, що відповідає обуренням тиску.

Далеко не при будь-яких коливаннях сила, що повертає, пропорційна відхиленню (тобто змінюється за законом (- кх)).Розглянемо, наприклад, ресору, зображену малюнку 2.74. Вона складається з кількох пластин. При невеликих деформаціях згинаються лише довгі пластини. При великих навантаженнях вигину піддаються і короткі (і жорсткіші) пластини. Повертаючу силу тепер можна описати так:

бальний режим переходить у аперіодичний,коли коливання зникають, і тіло просто повільно наближається до положення рівноваги (мал. 2.72, б, в).

Введіть замість рядка, де ставляться точки (t, x),рядок, де ставляться точки ( x,v), і отримайте фазові портрети загасаючих коливань при різному терті. Можна скористатися і однією з готових програм Phaspdem*або Phport *з наявних у пакеті ПАКПРО. Повинні виходити діаграми типу зображених малюнку 2.73.

Щоб вона була повертає, тобто. Fі хзавжди мали різні знаки, її слід розкласти в ряд за непарними ступенями х.Оскільки потенційна енергія Uпов'язана із силою формулою F = - dU/dx, це означає, що

тобто коливання відбуваються в потенційній ямі зі стінками, крутішими, ніж у параболи (рис. 2.75, а). Тертя пластин одна про одну забезпечує загасання, необхідне демпфування коливань.

Можливі коливання і в асиметричній ямі, коли

(Рис. 2.75, б). Повертальна сила при цьому дорівнюватиме

Під час вирішення завдань на нелінійні коливання неминуче використання комп'ютера, оскільки аналітичних рішень немає. На комп'ютері рішення зовсім не складно. Потрібно лише у рядку, де проводиться нарощування швидкості (v = v + F At/m),повністю написати вираз для F, наприклад -кх-гх 2 - рх 3 .

приклад. Програма для креслення графіка нелінійних коливань наведена у пакеті ПАКПРО під ім'ям Nlkol.Запустіть її у роботу. Має вийти серія кривих для різних початкових відхилень. При х 0 більшому деякого значення коливається частка залишає потенційну яму, подолавши потенційний бар'єр.

Випробуйте також роботу програм Nlcol*і Nlosc.*,наявних у пакеті ПАКПРО, а також програми, за допомогою яких можна отримати фазові портрети нелінійних коливань: Phaspnl.*, Phportnl*.

Зазначимо, що, строго кажучи, будь-які коливання є нелінійними. Тільки за малих амплітудах їх вважатимуться лінійними (нехтувати членами з х 2 , х 3 тощо. буд. у формулах типу (2.117)).

Нехай на осцилятор, крім сили, що забезпечує власні коливання з частотою С0о, діє ще зовнішня сила, причому змінюється періодично з частотою з, рівною або не рівною (Оо. Ця сила буде розгойдувати тіло з частотою с. Виникають при цьому коливання називаються вимушеними.

Рівняння руху в цьому випадку буде таким:

Спочатку відбувається процес встановлення коливань. Від першого поштовху тіло починає коливатися з частотою з 0 . Потім поступово власні коливання згасають, і сила, що змушує, починає керувати процесом. Встановлюються вимушені коливання вже не з частотою (Оо, а з частотою змушує сили зі. Перехідний процес дуже складний, аналітичного рішення не існує. При розв'язанні задачі чисельним методом програма буде нітрохи не складніша, ніж, скажімо, програма для загасаючих коливань. Потрібно тільки в рядку, де відповідно до рівняння руху проводиться нарощування швидкості, додати вимушальну силу у вигляді FobiH = Focos(cot).

приклад. У пакеті ПАКГ1РО наведено приклад програми для отримання графіка вимушених коливань на екрані комп'ютера. також програми Ustvcol.pasі UstvcoW.pas.Отриманий графік х(?) і фазова діаграма v(x)показано малюнку 2.76. При успішному підборі параметрів добре видно, як поступово встановлюються вимушені коливання. Встановлення вимушених коливань цікаво спостерігати також на фазовій діаграмі (програма Phpforc.pas).

Коли коливання з частотою зі вже встановилися, можна визначити рішення рівняння (2.118) як

Тут Жо - амплітуда коливань, що встановилися. Якщо підставити (2.119) у (2.118), знайшовши заздалегідь похідні за часом х"і х"та враховуючи, що до= соо 2 тп, то виявляється, що (2.119) буде рішенням рівняння (2.118) за умови, що

Тертя не враховувалося, коефіцієнт апокладався рівним нулю. Видно, що амплітуда коливань різко зростає при наближенні до Сйо (рис. 2.77). Це явище зветься резонансу.

Якби тертя дійсно не було, амплітуда при со = (Оо була б нескінченно великою. Реально так не буває. На тому ж малюнку 2.77 показано, як зі збільшенням тертя змінюється резонансна крива. Але все ж таки при збігу со і соо амплітуда може стати в десятки і сотні разів більше, ніж при со ФСОо. У техніці це явище небезпечне, тому що вимушені коливання двигуна можуть потрапити в резонанс із власною частотою будь-яких частин машини, і вона може зруйнуватися.