Циклічні групи

Циклічна група- Група, яка є власною циклічною підгрупою. У прикладі 5.7 група має циклічну підгрупу H 5 = G . Це означає, що група G – циклічна група. У цьому випадку елемент, який генерує циклічну підгрупу, може також генерувати групу. Цей елемент далі називається "генератор". Якщо g - генератор, елементи кінцевої циклічної групи можуть бути записані як

(e, g, g 2, ....., g n-1), де g n = e.

Зауважимо, що циклічна група може мати багато генераторів.

Приклад 5.9

а. Група G = - циклічна група з двома генераторами, g = 1 та g = 5 .

б. Група - циклічна група з двома генераторами, g = 3 та g = 7 .

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжапоказує відношення між порядком групи до порядку підгрупи. Припустимо, що G – група та H – підгрупа G . Якщо порядок G та H - |G| та |H| , відповідно, відповідно до цієї теореми |H| ділить | G | . У прикладі 5.7 | G | = 6 . Порядок підгрупи - | H1 | = 1, | H2 | = 3, | H3 | = 2 та |H4| = 6 . Очевидно, всі ці порядки є дільниками 6 .

Теорема Лагранжа має дуже цікавий додаток. Коли дана група G та її порядок | G | , можуть бути легко визначені порядки потенційних підгруп , якщо можна знайти дільники. Наприклад, порядок групи G = - Це |17| . Дільники 17 є 1 та 17 . Це означає, що ця група може мати лише дві підгрупи – нейтральний елемент і H 2 = G .

Порядок елемента

Порядок елементау групі ord (a) (порядок (a)) є найменшим цілим числом n таким, що a n = e . Іншими словами: порядок елемента – порядок групи, яку він генерує.

Приклад 5.10

a. У групі G = , порядки елементів: порядок ord(0) = 1 , порядок ord (1) = 6 , порядок ord (2) = 3 , порядок ord (3) = 2 , порядок ord (4) = 3 , порядок ord (5) = 6 .

b. У групі G = , порядок елементів: порядок ord (1) = 1 , порядок ord (3) = 4 , порядок ord (7) = 4 , порядок (9) = 2 .

• 1. Група Zцілих чисел із операцією складання.
• 2. Група всіх комплексних коренів ступеня nіз одиниці з операцією множення. Оскільки циклічне число ізоморфізм

група є циклічною та елемент утворює.

Ми бачимо, що циклічні групи можуть бути як кінцевими, так і нескінченними.

3. Нехай - довільна група та довільний елемент. Багато є циклічною групою з утворюючим елементом g . Вона називається циклічною підгрупою, породженою елементом g, та її порядок - порядком елемента g. По теоремі Лагранжа порядок елемента є дільником групи. Відображення

що діє за формулою:

Вочевидь є гомоморфізмом та її образ збігається з. Відображення сюр'єктивно тоді і лише тоді, коли група G- циклічна та gїї утворює елемент. У цьому випадку називатимемо стандартним гомоморфізмом для циклічної групи G c обраною твірною g.

Застосовуючи в цьому випадку теорему про гомоморфізм, ми отримуємо важливу властивість циклічних груп: будь-яка циклічна група є гомоморфним чином. Z .

У будь-якій групі Gможуть бути визначені ступеняелемента з цілими показниками:

Має місце властивість

Це очевидно, якщо . Розглянемо випадок, коли . Тоді

Аналогічно розглядаються інші випадки.

З (6) випливає, що

Крім того, за визначенням. Таким чином, ступеня елемента утворюють підгрупу у групі G.Вона називається циклічною підгрупою, породженою елементом,і позначається через .

Можливі два принципово різні випадки: або всі ступені елемента різні, або ні. У першому випадку підгрупа нескінченна. Розглянемо докладніше другий випадок.

Нехай ,; тоді. Найменше із натуральних чисел т,для яких називається в цьому випадку порядкомелемента і позначається через .

Пропозиція 1. Якщо , то

Доказ. 1) Розділимо mна піз залишком:

Тоді через визначення порядку

В силу попереднього

Наслідок. Якщо, підгрупа mo містить n елементів.

Доказ.Справді,

причому всі ці елементи різні.

У тому випадку, коли не існує такого натурального т,що (тобто має місце перший із описаних вище випадків), вважають . Відмітимо, що; порядки всіх інших елементів групи більше 1.

В адитивній групі говорять не про степені елемента , а про його кратних,які позначають через . Відповідно до цього порядок елемента адитивної групи G- це найменше з натуральних чисел т(якщо такі існують), для яких

ПРИКЛАД 1.Характеристика поля є порядок будь-якого ненульового елемента у його адитивній групі.

ПРИКЛАД 2. Вочевидь, що у кінцевої групі порядок будь-якого елемента кінцевий. Покажемо, як обчислюються порядки елементів групи Підстановка називається цикломдовжини і позначається через якщо вона циклічно переставляє

а решта всіх залишає на місці. Очевидно, що порядок циклу довжини дорівнює нар.Цикли і називаються незалежними,якщо серед чисел, що фактично переставляються ними, немає загальних; в цьому випадку . Будь-яка підстановка однозначно розкладається на твір незалежних циклів. Наприклад,

що наочно показано малюнку, де дію підстановки зображено стрілками. Якщо підстановка розкладається на твір незалежних циклів довжин , то

ПРИКЛАД 3.Порядок комплексного числа з групі кінцевий тоді й тільки тоді, коли це число є корінь деякою мірою з одиниці, що, своєю чергою, має місце тоді й лише тоді, коли, a порівняємо з, тобто. .

ПРИКЛАД 4.Знайдемо елементи кінцевого порядку групи рухів площині. Нехай. Для будь-якої точки точки

циклічно переставляються рухом , так що їхній центр тяжіння пронерухомий щодо. Отже, - або поворот на кут виду навколо точки про, або відображення щодо деякої прямої, що проходить через про.

ПРИКЛАД 5. Знайдемо порядок матриці

як елемент групи. Маємо

так що. Звичайно, цей приклад спеціально підібраний: ймовірність того, що порядок удачу обраної матриці буде кінцевий, дорівнює нулю.

Пропозиція 2. Якщо , то

Доказ.Нехай

так що. Маємо

Отже, .

Визначення 1 . Група Gназивається циклічною,якщо існує такий елемент , що . Кожен такий елемент називається породжувальним елементомгрупи G.

ПРИКЛАД 6.Адитивна група цілих чисел є циклічною, оскільки породжується елементом 1.

ПРИКЛАД 7.Адитивна група відрахувань за модулем nє циклічною, оскільки породжується елементом.

ПРИКЛАД 8.Мультиплікативна група комплексного коріння n-го ступеня з 1 є циклічною. Насправді, це коріння суть числа

Ясно що . Отже група породжується елементом.

Легко бачити, що в нескінченній циклічній групі елементами, що породжують, є тільки і. Так, у групі Z породжувальними елементами є лише 1 та - 1.

Число елементів кінцевої групи Gназивається її порядкомта позначається через. Порядок кінцевої циклічної групи дорівнює порядку її елемента, що породжує. Тому із пропозиції 2 випливає

Пропозиція 3 . Елемент циклічної групи порядку n породжує тоді і тільки тоді, коли

ПРИКЛАД 9.Породжуючі елементи групи називаються первісним корінням n-й ступеня з 1. Це коріння виду , де. Наприклад, первісне коріння 12-го ступеня з 1- це.

Циклічні групи - це найпростіші групи, які можна собі уявити. (Особливо вони абелеві.) Наступна теорема дає їх повний опис.

Теорема 1. Будь-яка нескінченна циклічна група ізоморфна групі. Будь-яка кінцева циклічна група порядку п ізоморфна групі.

Доказ. Якщо - нескінченна циклічна група, то через формулу (4) відображення є ізоморфізм.

Нехай - кінцева циклічна група порядку п.Розглянемо відображення

то відображення коректно визначено та бієктивно. Властивість

випливає із тієї ж формули (1). Таким чином, - ізоморфізм.

Теорему доведено.

Для розуміння будови якоїсь групи важливу роль відіграє знання її підгруп. Усі підгрупи циклічної групи можуть бути легко описані.

Теорема 2. 1) Будь-яка підгрупа циклічної групи є циклічною.

2) У циклічній групі порядку n порядок будь-якої підгрупи ділить n і для будь-якого дільника q числа n Існує рівно одна підгрупа порядку q.

Доказ. 1) Нехай - циклічна група і Н- її підгрупа, відмінна від (Одинічна підгрупа, очевидно, є циклічною.) Зауважимо, що якщо для будь-якого, то і . Нехай т- найменше з натуральних чисел, для яких . Доведемо, що . Нехай . Поділимо дона тіз залишком:

звідки з визначення числа тслід, що й, отже, .

2) Якщо , то попереднє міркування, застосоване до (у цьому випадку ), показує, що . При цьому

і Нє єдиною підгрупою порядку qв групі G.Назад, якщо q- будь-який дільник числа пі , то підмножина Н,визначається рівністю (9), є підгрупою порядку q. Теорему доведено.

Слідство . У циклічній групі простого порядку будь-яка непоодинока підгрупа збігається з усією групою.

ПРИКЛАД 10.У групі будь-яка підгрупа має вигляд, де.

ПРИКЛАД 11.У групі коренів n-го ступеня з 1 будь-яка підгрупа є групою коренів q-й ступеня з 1, де.

Розглянемо мультиплікативну групу всіх цілих ступенів двійки (2Z, ), де 2Z = (2n | пе Z). Аналогом цієї групи адитивною мовою є адитивна група парних цілих чисел (2Z, +), 2Z = (2n | п е Z). Дамо загальне визначення груп, окремими прикладами яких є дані групи.

Визначення 1.8. Мультиплікативна група (G,) (Адитивна група (G, +)) називається циклічною,якщо вона складається з усіх цілих ступенів (відповідно, усіх цілих кратних) одного елемента а е G,тобто. G =(А п | п е Z) (відповідно, G - (па | п е Z)). Позначення: (а), читається: циклічна група, породжена елементом а.

Розглянемо приклади.

• 1. Прикладом мультиплікативної нескінченної циклічної групи може бути група всіх цілих ступенів деякого фіксованого цілого числа а Ф±1, вона позначається а р.Таким чином, а г – (а).
• 2. Прикладом мультиплікативної кінцевої циклічної групи є група С„ коренів n-го ступеня з одиниці. Нагадаємо, що коріння n-го ступеня з одиниці знаходиться

за формулою e k= cos---hisin^-, де до = 0, 1, ..., п - 1. Слід- п п

вально, З„ =(е х)= (е х = 1, е х, ef = е 2 ,..., е" -1 = ?„_ х ). Згадаємо, що комплексні числа е до, до = 1, ..., п - 1, зображаються точками одиничного кола, які поділяють її на прівних частин.

• 3. Характерним прикладом адитивної нескінченної циклічної групи є адитивна група цілих чисел Z вона породжується числом 1, тобто. Z = (1). Геометрично вона зображується у вигляді цілих точок числової прямої. Фактично так само зображується мультиплікативна група 2 7 - = (2), у загальному випадку a z = (а),де ціле число а Ф±1 (див. рис. 1.3). Цю подібність зображень ми обговоримо у параграфі 1.6.
• 4. Виберемо у довільній мультиплікативній групі Gдеякий елемент а.Тоді всі цілі ступені цього елемента утворюють циклічну підгрупу (а) = (а п п е Z) G.
• 5. Доведемо, що адитивна група раціональних чисел Q сама не циклічна, а будь-які два її елементи лежать у циклічній підгрупі.

А. Доведемо, що адитивна група Q не циклічна. Припустимо неприємне: нехай Q = (-). Існує ціле число Ь,

не ділить т.е.Оскільки - eQ = (-) = sn-|neZ>, то суще-

Ъ т/ (т J

є ціле число гс 0 , таке що - = п 0 -. Але тоді т = n 0 kb

звідки т:- дійшли суперечності.

Б. Доведемо, що два довільні раціональні числа -

з „ /1

і - належать циклічній підгрупі (-), де тє най- d т/

менше загальне кратне чисел bі d.Справді, нехай т-Ьі

, а аї 1 /1 з cv 1/1

і m = av, u, v е Z, тоді - = - = аї-е(-)і - = - = cv-е (-).

b Ьі т т/ a dv т т/

Теорема 1.3. Порядок циклічної групи дорівнює порядку породжувального елемента цієї групи, тобто.|(а)| = | а |.

Доказ. 1. Нехай | = «>. Доведемо, що всі натуральні ступені елемента арізні. Припустимо неприємне: нехай а к = а ті 0 до Тоді т - до- натуральне число та а т ~ до = е.Але це суперечить тому, що | а = ° °.Таким чином, всі натуральні ступені елемента арізні, звідки випливає нескінченність групи (а). Отже, | (а)| = ° ° = | а |.

2. Нехай | а | = п. Доведемо, що (а) = (е - а 0, а, а 2,..., а" -1 ). З визначення циклічної групи випливає включення (а 0, а, а 2, ..., o" 1-1) з (а). Доведемо зворотне включення. Довільний елемент циклічної групи (а)має вигляд а т,де ті Z. Розділимо шнапс залишком: m-nq + r,де 0 п. Оскільки а п = е,то а т = а п я +г = а п ч? а г = а г е(а 0, а, а 2 ,..., а"- 1 ). -1).

Залишається довести, що всі елементи множини (а 0 , а, а 2 ,..., а "-1) різні. Припустимо неприємне: нехай 0 i п,але а" = а).Тоді він - ета 0 j - i - дійшли суперечності з умовою | а | = п.Теорему доведено.