Закон за инерцията на квадратните форми. Напишете квадратна матрица

Също така, според теоремата за редуцираната квадратична форма, за всяка квадратна форма \(A(x,x)\) има канонична основа \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \) , така че какво за всеки вектор \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \ ламбда _k\eta _k ^2. \] Oskіlki \(A(x,x)\) е с речева стойност и нашите замествания на основата също включват повече от числата на речта, стига се до обрат, че числата \(\lambda _k\) са реч. Средата на тези числа е положителна, отрицателна и равна на нула.

Назначаване. Извиква се номерът \(n_+\) на положителни числа \(\lambda _k\). положителен индекс на квадратната форма \(A(x,x)\) , броят \(n_-\) на отрицателните числа \(\lambda _k\) се нарича отрицателен индекс на квадратната форма числото \((n_++n_-)\) се извиква ранг на квадратна форма . Подобно на \(n_+=n\), квадратната форма се нарича положителен .

Взагали, редуцирането на квадратната форма до диагоналния вид не се изпълнява в един ред. Обвинете силата: чи лъжа числата \(n_+\), \(n_-\) според избора на основа, в коя квадратна форма е диагонална?

Теорема (Закон за инерцията на квадратните форми). Положителните и отрицателните индекси на квадратичната форма не пречат на свеждането до каноничния изглед.

Нека имаме две канонични бази, \(\(f\)\), \(\(g\)\), така че всеки вектор \(x\) да може да бъде представен от зрителя: \[ x=\sum_( k= 1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] и \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k^ 2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Нека имам предвид \(\lambda _k\) persh \(p\) положителен, іnshі или отрицателен, или нула, med \(\mu_m\) persh \(s\) положителен, іnshі или отрицателен, нула. Трябва да донесем какво (p = s). Пренапишете (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] и двете части на еквивалентността са nevid'emni. Приемливо е (p) и (s) да не са равни, например (p)

Доведохме, че се генерират положителни индекси. По подобен начин е възможно да се постигнат отрицателни индекси. h.t.d.

1. Преобразувайте в сумата от квадрати в квадратни форми:

а) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

Концепцията за квадратична форма. Матрица на квадратни форми. Каноничният вид на квадратна форма. Метод на Лагранж. Нормално изглеждаща квадратна форма. Ранг, индекс и подпис на квадратната форма. Положително pevna квадратна форма. квадрики.

Разбиране на квадратната форма:функция върху векторно пространство, която е дадена от хомогенен богат член на друг етап от векторните координати.

Квадратна форма н nevіdomih се нарича сумата, кожата dodanok е или квадрат на един от тях neіdomih, или създаването на две различни nevіdomih.

Квадратна матрица:Матрицата се нарича матрица на квадратична форма за дадена основа. Ако характеристиката на полето не е толкова добра, колкото 2, може да се приеме, че матрицата на квадратната форма е симетрична, така че .

Напишете квадратна матрица:

Отже,

За форма с векторна матрица квадратната форма може да изглежда така:

Каноничният вид на квадратна форма:Квадратната форма се нарича канонична, както всичко останало.

Дали квадратична форма може да бъде доведена до канонична форма за допълнителни линейни трансформации. Наистина призовавам за такива методи.

Метод на Лагранж : След като видя последните квадратчета. Например, като

Нека направим подобна процедура, за да работим с квадратна форма и т. н. Както в квадратна форма, всичко е ейл, тогава след преобразуването вдясно, това ще доведе до разглежданата процедура. Така че, като, например, тогава vvažhaemo

Нормално изглеждаща квадратна форма:Нормална квадратна форма е такава канонична квадратична форма, която може да има всички коефициенти, равни на +1 или -1.

Ранг, индекс и подпис на квадратната форма:Рангът на квадратна форма НОнаречен ранг на матрицата НО. Рангът на квадратична форма не се променя с невирогени трансформации на не-домове.

Броят на отрицателните коефициенти се нарича индекс на отрицателна форма.

Броят на положителните членове в каноничния изглед се нарича положителен индекс на инерцията на квадратичната форма, броят на отрицателните членове се нарича отрицателен индекс. Разликата между положителните и отрицателните индекси се нарича сигнатура на квадратична форма

Квадратната форма се задава положително:Квадратната форма на речта се нарича положително присвоена (отрицателно присвоена), тъй като за всяка не е равна на нула стойностите на промяната на речта

По този начин матрицата се нарича още положително присвоена (отрицателно присвоена).

Класът на положително присвоените (отрицателно присвоени) форми е част от класа на неположителните (привидно неположителни) форми.

четворки:Квадрик — н-спокойна хиперповърхност в н+1-световно пространство, се дава като анонимна нула на богат член на друга стъпка. Как да въведете координати ( х 1 , х 2 , x n+1) (в евклидовата или атинската шир)

Редът може да бъде пренаписан по-компактно в матрични термини:

де х = ( х 1 , х 2 , x n+1) - вектор ред, х T - вектор на транспониране, В- матрица разширена ( н+1)×( н+1) (прехвърляне, ако искате един ненулев елемент), П- Редов вектор и Р- Постоянно. Най-често квадриките се разглеждат над реални и комплексни числа. Vision може да бъде поставен върху квадрики близо до проективното пространство, div. нисък.

По-диво, анонимни нули на системата от полиномни равни в къщата като алгебрична разлика. В този ред квадриката є (афинна или проективна) алгебрични вариации от друго ниво и корозмирности 1.

Трансформацията на квадрата и пространството.

Целена трансформация на района. Назначена разруха. характеристики на руху. Два вида ruhіv: ruh от първия вид и ruh от втория вид. Нанесете ruhiv. Аналитичен Вираз Руху. Класификация на грапавите апартаменти (депозит поради наличието на нешумящи точки и неизменни прави линии). Група руини плоски.

Обозначение на преобразуването на площта: Обозначение.Преобразуването на областта се взема от брега и се извиква между точките втурвам се(или движещи се) зони. Преобразуването на областта се нарича афинимСякаш има три точки, които лежат на една права линия, премествайки се в три точки, така че лежи на една права линия и с това просто вземете три точки.

Дестинация Руху: tse трансформация на фигури, при която една се записва в средата на точките. Сякаш две фигури са точно една с една на пръв поглед, тези фигури са еднакви, равни.

Мощно движение:по всякакъв начин избирате ориентацията на линията на равнината, или чрез паралелно преместване, или чрез завъртане, по всякакъв начин променяте ориентацията на линията на равнината, или аксиална симетрия, или ковзнои симетрия. Точките, които лежат на права линия, за един час се придвижват до точката в точка, която лежи на права линия, и се взема редът на тяхното взаимно разширяване. Под часа на бързината се запазват кутите между пеенето.

Два вида ruhіv: ruh от I вид и ruh от втория вид:Рухите от първия вид са такива Рухи, яки запазват ориентацията на основите като фигури. Вонята може да се прилага без прекъсване.

Rukhs от различен вид са такива rukhs, сякаш променят ориентацията на основите към противоположното. Вонята може да се прилага без прекъсване.

При прикладите от първия вид завоят се прехвърля в права линия, а при ръцете от другия вид тази огледална симетрия е централна.

Съставът, независимо дали е голям брой рухи от първия род, е рух от първия род.

Съставът на сдвоеното число ruhіv от друг род е ruh 1 род, а съставът на несдвоеното число ruhіv 2 род е ruh 2 род.

Приложете ruhіv:Паралелен трансфер. Нека a е векторът. Паралелното прехвърляне към вектора се нарича преувеличение на равнината върху себе си, когато точката на кожата M се появи до точката M 1, така че векторът MM 1 е по-близо до вектора a.

Паралелно пренасяне с ръка, парчета към повърхността на повърхността върху себе си, което спестява въздуха. Първоначално това движение е възможно като унищожаване на всички равнини в близост до дадения векторен ейл през следващия ден.

Обърни се.Значително на равнината точка O ( център на завоя) задавам α ( отрежете завой). Чрез завъртане на равнината около точката O на разреза α, повърхността на равнината се нарича сама по себе си, когато точката на кожата M се появи до точката M 1, така че GM = OM 1 и разрезът MOM 1 е повече α. Ако е така, точката O е оставена на своето място, така че тя се появява сама по себе си, а всички останали точки се завъртат около точка O в същата посока - зад стрелката на годината или срещу стрелката на годината (завоят на стрелката на годината е показано на малкия).

Обръщайки е ръка, oskolki є vіrazhennyam plaschiny върху себе си, в случай на yakom zberіgayutsya vіdstanі.

Аналитичен Вираз Руху:може да се види аналитична връзка между координатите на предобраза и образа на точката (1).

Класификация на rukhіv плосък (депозит поради наличието на ненасилствени точки и инвариантни линии): Обозначение:

Точката на равнината е инвариантна (неразрушаваща), така че когато се трансформира, тя ще премине към себе си.

Дупе: При централна инвариантна симетрия има точка към центъра на симетрия. Когато завъртането е инвариантно, точката е центърът на завоя. При аксиална симетрия на инвариантна линия цялата симетрия е инвариантна точка на права линия.

Теорема: Ако ruh няма подходяща инвариантна точка, тогава vin може да иска само една инвариантна права линия.

Пример: Паралелен пренос. Вдясно, права, успоредна на правата линия на инвариант като фигура, искам да събера от инвариантни точки.

Теорема: Ако се срине като обещание, обещайте да преведете у дома, това е едно и също нещо, в противен случай е трансформация, в противен случай симетрията може да бъде направо, за да отмъсти за даденото обещание.

Следователно, за наличието на инвариантни точки и фигури, е възможно да се извърши класификация на rukhivs.

Група Рухів:В геометрията важна роля играят групи от самообъркващи фигури. Yakshcho - деак фигура на апартамента (или в пространството), след което можете да разгледате безличния тих рухів на апартамента (или откритото пространство), с такава фигура, за да преминете у дома.

Tsya множественост е група. Например, за едностранен трикутник, група от плоски, която превежда трикутник у дома, се състои от 6 елемента: обръщане на разреза около точката и симетрично около три прави линии.

Вонята е показана на фиг. 1 червени линии. Елементи на група от самосумиране на правилния трикутник могат да се задават по друг начин. За да обясните, номерирайте върховете на обикновен трикутник с номера 1, 2, 3. Независимо дали е самопризнаващ трикутник, преведете точки 1, 2, 3 в самата точка или я вземете в различен ред тогава. Можете само да се впишете мислено, гледайки един от тези лъкове:

където числата 1, 2, 3 означават номерата на такива върхове, така че да преминат върхове 1, 2, 3 в резултат на анализираното движение.

Проективно пространство на тези модели.

Концепцията за проективно пространство е моделът на проективното пространство. Основни факти на геометрията на дизайна. Свързване на прави линии с центъра в точката O-модел на проективната равнина. Точки за проектиране. Разширена площ - модел на проективна площ. Разширение trivimirny атинска или евклидова шир - модел на проективно пространство. Изображения на плоски и просторни фигури с паралелен дизайн.

Концепцията за проективно пространство и моделът на проективното пространство:

Проективната шир над полето е широчината, която е образувана от прави линии (едномерни подпространства) на линейна шир над това поле. Преките простори се наричат точкипространство за проектиране. Предполага се, че целта на назначението е отбелязана върху определен орган

Ако има интервал, тогава числото се нарича пространство на пространството за проектиране, а самото проективно пространство се обозначава и нарича асоциативно s (за да се посочи, че обозначението е прието).

Преходът от векторното пространство към пространството за проектиране се нарича проективизацияпространство.

Крапки могат да бъдат описани с помощта на хомогенни координати.

Основни факти на проективната геометрия:Проективна геометрия - разделя геометрията, оформяйки зоната на проектиране и пространството. Основната характеристика на проективната геометрия се основава на принципа на субверсия, който добавя изтънена симетрия към богатите структури. Проективната геометрия може да се разглежда като чисто геометрична гледна точка, както и аналитична (зад помощта на хомогенни координати) и алгебрична, като се разглежда равнината на проекта като структура над поле. Често и исторически, равнината на дизайна на речта се приема като евклидова равнина с добавянето на „право на несъответствие“.

Точно както силата на членовете, с които евклидовата геометрия може да бъде права, є метрични(специфични стойности на kutiv, vіdrіzkіv, площ), а еквивалентността на цифрите е равна на конгруентност(тоест, ако фигурите могат да бъдат преведени сами в друга с помощта на движението от спестяванията на метричните авторитети), за да се разбере "дълбоко легналата" власт на геометричните фигури, тъй като те са взети по време на трансформации на по-голям загал тип, долен Рух. Проективната геометрия се занимава с развитието на степените на фигурите, които са инвариантни спрямо класа проективна пермутация, и navіt себе си tsikh трансформация.

Проективната геометрия допълва Евклидова, като дава гарни и опростени решения за богати проблеми, което прави наличието на успоредни линии по-сложно. Теорията на дизайна на окончателните ревизии е особено проста и сложна.

Има три основни подхода към геометрията на дизайна: независима аксиоматизация, допълнителен Евклидова геометрия i структури над полето.

Аксиоматизация

Проективната експанзия може да се припише на допълнителен набор от аксиоми.

Кокстър казва това:

1. Дали правилната точка не е върху него.

2. Вземете три точки на кожата права линия.

3. През две точки може да се проведе една права линия.

4. Якшо А, Б, ° С, і д- разлика в точките АБі CDсмяна, значи ACі BDкалайджия.

5. Якшо ABC- равнина, тогава приемаме, че една точка не е в равнината ABC.

6. Две различни равнини се припокриват в две точки.

7. Три диагонални точки на тотален choticutor не са колинеарни.

8. Като три точки на права линия х х

Проективната равнина (без третото измерение) се определя от други аксиоми:

1. През две точки може да се проведе една права линия.

2. Бъдете като две прави линии, които се преплитат.

3. Използвайте чотири точки, от които няма много колинеарни.

4. Три диагонални точки на външните чотирикутници не са колинеарни.

5. Като три точки на права линия хинвариантно по отношение на проективността φ, тогава всички точки върху хинвариантно как φ.

6. Теоремата на ДезаргАко две трикота са обещаващи в права линия, тогава те са обещаващи по права линия

За очевидността на третия свят теоремата на Дезарг може да бъде завършена без въвеждане на идеална точка и права.

Разширена площ - модел на проективна площ:Да вземем в атинското пространство A3 връзката на прави S(O) с център в точка O равнината Π, която не минава през центъра на връзката: O 6∈ Π. Свързване на прави линии с атинската шир към модела на зоната за проектиране. Обичайно е да се показват безличните точки на равнината Π върху безличните прави връзки S

Разширение на тривимирна атинска или евклидова шир - модел на проективно пространство:

За да го направим по-сюръективно, ние повтаряме процеса на формално разширяване на афинната равнина Π до проективната равнина Π, като добавяме равнината Π към безсмислените неясни точки (M∞), така че: ((M∞)) = P0(O). Равнините при обратното изображение на равнината на кожата на лигамента на равнините S(O) са прави в равнината d, очевидно е, че има безлични негладки точки на разширената равнина: Π = Π ∩ (M ∞ на разширената равнина, като предобраз на сингулярната равнина Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23). Допълвайки равнината на афинитет на нелинейната права, успяхме да накараме разширението (I.21) да стане активно върху безличността на всички точки от разширената равнина:

Изображения на плоски и просторни фигури с паралелен дизайн:

При стереометрия ширите на фигурите са усукани, протеите на вонята на фотьойла са изобразени като плоски фигури. Какъв ред трябва да се използва за изобразяване на просторна фигура върху плосък? Звук, чиято геометрия е победоносен, успореден на дизайна. Нека p - deyak плосък, л- Право, scho peretinaє її (фиг. 1). През определена точка А, така че не лъжете прави л, начертана от права линия, успоредна на права линия л. Пресечната точка на правата с равнината p се нарича успоредна проекция на точката Авърху площта p по правата линия л. Значително її А„Каква точка Алежи прав л, след това успоредната проекция Ана равнината p точката на напречната линия на правата линия ліz стр.

По този начин кожните точки Асе отделя място на проекцията Акъм района п. Tsya vіdpovіdnіst се нарича паралел, проектиран върху площта p по права линия л.

Група промени в дизайна. Допълнение към задачите за rozvyazannya.

Концепцията за дизайнерска трансформация на района. Приложете дизайнерската трансформация на зоната. Силата на дизайна се променя. Хомология, хомология на мощността. Група промени в дизайна.

Разбиране на трансформацията на дизайна на района:Концепцията за проективна трансформация е позната концепция за централната проекция. Просто виконирайте централната проекция на равнината α върху равнината на равнината α 1, след това проекцията на α 1 върху α 2, α 2 върху α 3, ... i, nareshti, такава равнина α нново на α 1, тогава съставът на всички тези проекции и є е проективно преобразуване на равнината α; в такъв ланцет можете да включите успоредни проекции.

Приложете проективното разместване на равнината:Проективните трансформации на населеното място се наричат ​​едно към едно и едно към едно представяне на вината, при което се взема колинеарността на точките chi, иначе изглежда, рангът е прав и прав. Независимо дали е проект на трансформация или композиция от ланцет от централни и успоредни проекции. Атинската трансформация е единственият момент от проективното, с който правата линия пресича в себе си по безкрайно отдалечен начин.

Силата на проективните трансформации:

При проективна трансформация три точки, които не лежат на права линия, преминават в три точки, които не лежат на права линия.

С проективна трансформация рамката се трансформира в рамка.

В случай на проективна трансформация, права линия се трансформира в права линия, лъч се трансформира в лъч.

Хомология, хомология на мощността:

Проективна трансформация на равнина, която има права инвариантна точка и следователно сноп от инвариантни прави, се нарича хомология.

1. Правата, която може да минава през вторите точки на хомология, която не съвпада, е инвариантна права линия;

2. Прави, които минават през вторите точки на хомология, които не се припокриват, лежат в един лъч, центърът на който е инвариантна точка.

3. Крапка, че центърът на хомологията лежи на една права линия.

Група промени в дизайна:можем да разгледаме дизайна на проективната равнина P 2 върху себе си, така че проективната трансформация на равнината (P 2 ' = P 2).

Както и преди, съставът f на проективните трансформации f 1 і f 2 на проективната равнина P 2 е резултат от последователното преобразуване f 1 і f 2: f = f 2 °f 1 .

Теорема 1: безличността на всички проективни трансформации на проективната равнина P 2 е група от произволен състав от проективни трансформации.

§ 4. Закон за инерцията на квадратните форми. Класификация на квадратните форми

1. Законът за инерцията на квадратните форми. Вече посочихме (божествено уважение към 2 стр. 1 от предходния параграф), че рангът на квадратична форма е равен на броя на първичните типове на нулеви канонични коефициенти. По-късно броят на броя на нулевите канонични коефициенти може да се намери при избора на недевствена трансформация, с помощта на която формата A (x, x) може да бъде индуцирана в каноничната форма. Всъщност, за всеки начин за редуциране на формата A (x, x) до каноничната форма, броят на положителните и отрицателните канонични коефициенти не се променя. Силата на Tsya се нарича закон за инерцията на квадратните форми.
Нека преминем към възпрепятстване на закона за инерцията, нека се опитаме да го спазваме.
Нека формата A (x, x) y основа e \u003d (e 1, e 2, ..., e n) се задава от матрицата A (e) \u003d (a ij):

de ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n са координатите на вектора x y на базата e. Да приемем, че формата след преобразуването на координатите без девственост е приведена в каноничната форма

освен това λ 1 , λ 2 ,..., λ к- обозначени с нулеви канонични коефициенти, номерирани така, че първият от тези коефициенти q е положителен, а следващите коефициенти са отрицателни:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λq+1< 0, ..., λ k <0.

Нека да разгледаме предстоящата невирогена трансформация на координатите μ i (лесно е да разберем, че знакът на тази трансформация е vіdminniy като нула):

В резултат на тази трансформация ще се види формата A (x, x).

се подрежда по нормалната форма на квадратната форма.
По-късно, с помощта на необработена трансформация на координатите ξ 1 , ξ 2 , ..., n на вектора x в основата e = (e 1 , e 2 ,..., e n )

(преобразуването на є tver преобразуване на ξ в μ и μ в η по формули (7.30)) квадратичната форма може да се сведе до нормалния изглед (7.31).
Да вземем тази фирма.
Теорема 7.5 (законът за инерцията на квадратните форми). Броят на допълненията с положителни (отрицателни) коефициенти в нормално изглеждаща квадратна форма не може да бъде намерен в начина на редуциране на формата до нейната първоначална форма.
Доказателство. Нека формата A(x, x) след помощта на недегенерираното преобразуване на координатите (7.32) бъде доведена до нормалния изглед (7.31) и след помощта на другата недегенерирана трансформация на координатите ще бъде доведена до нормалният изглед

Очевидно, за да се докаже теоремата, е необходимо да се преразгледа валидността на равенството p = q.
Нека p > q. Нека променим в коя посока е ненулев вектор x е такъв, че чрез разширение към основите, за които формата A (x, x) може да изглежда като (7.31) и (7.33), координати η 1 , η 2 , ..., η q и ζ p+1 , ..., ζ нкой вектор е равен на нула:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ p+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)

Оскилки координати η иотнемане на пътя на недевствената трансформация (7.32) на координатите ξ 1 , ..., ξ n и координатата ζ и- с помощта на подобна недегенерирана трансформация на координати ξ 1 , ..., ξ n , тогава sp_v_dnoshenie (7.34) може да се разглежда като система от линейни хомогенни подравнявания на координати ξ 1 , ..., ξ n 1 , e 2 ,..., e n ) (например в разгорещен вид sp_v_dnoshenna η 1 = 0 maє, zgіdno (7.32), въведете a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0)- Тъй като p > q, то броят на хомогенните равенства (7.34) е по-малък от n, така че системата (7.34) може да има ненулево решение за координатите ξ 1 , ..., ξ n на произволен вектор x. Също така, ако p > q е ненулев вектор x, за който се изчислява съотношението (7.34).
Нека разгледаме стойността на формата A(x, x) на вектора x. Обръщайки се към spіvvіdnoshen (7.31) и (7.33), вземаме

Оставащата ревност може да бъде мястото на майката по-малко в пъти η q+1 = ... = η k = 0 i ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
По този начин текущата база има всички координати ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ нненулев вектор x е равен на нула (div. остатък равен и равен (7.34)), т.е. векторът x е равен на нула. Otzhe, pripuschennya p > q водят до супер острота. За подобни mirkuvannyami доведе до супер-точност, че надбавка< q.
По-късно p = q. Теоремата е завършена.
2. Класификация на квадратичните форми. В параграф 1 на §2 от второ разделение (раздел. присвояване 2) е въведено понятието положително присвоени, отрицателно присвоени, подписани и квазизнакови квадратични форми.
В този момент за помощ за разбиране на индекса на инерцията, положителните и отрицателните индекси на инерцията на квадратната форма, можем да кажем, по какъв начин е възможно да се обясни валидността на квадратната форма на този chi s h, предизвикващ повече типове. С всеки индекс на инерция на квадратната форма се нарича броят на каноничните коефициенти под формата на нула (tobto її ранг), положителният индекс на инерция е броят на положителните канонични коефициенти, отрицателният каноничен индекс е броят на отрицателните отрицателни коефициенти Беше ясно, че сумата от положителните и отрицателните индекси на инерцията е равна на индекса на инерцията.
Също така, нека не получаваме индекса на инерцията, положителният и отрицателният индекс на инерцията на квадратната форма A(x, x) са равни на k, p і q (k = p + q). f , f 2 , ..., fn) тази форма може да бъде доведена до обиден нормален вид:

de η 1 , η 2 ..., η n - координати на вектора x y база f .
1°. Това, което е необходимо, е достатъчното интелектуално значение на квадратната форма. Сравнителна обидна твърдост.
За това квадратната форма A(x, x), е дадена в n-световното линейно пространство L, тя е със знак, необходимо и достатъчно е или положителният индекс на инерцията p, или отрицателният индекс на инерцията q е добро за размерността n на пространството L.
Ако е така, ако p = n, тогава формата е положително присвоена, ако q = n, тогава формата е отрицателно присвоена.
Доказателство. Тъй като положително зададените формуляри и отрицателно зададените формуляри се разглеждат по един и същи начин, доказването на потвърждението се извършва за положително зададените формуляри.
1) Необходимост. Нека формата A(x, x) е положително зададена. Тоди вираз (7.35) в бъдеще ще гледам

A (x, x) \u003d η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.

Yakshcho at tsiomu r< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η p \u003d 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

формата A(x, x) се преобразува в нула, но вместо да се преизчислява стойността на положително дефинираната квадратична форма. Също така, p = n.
2) Наличност. Нека p = n. Тогава sp_v_dnoshennia (7.35) може да изглежда A(x, x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2 . Ясно е, че A(x, x) ≥ 0 и ако A = 0, тогава η 1 = η 2 = ... = η н= 0, тогава векторът x е нулев. Също така, A(x, x) е положително проста форма.
Уважение. За да се обясни храненето на значението на квадратната форма, е необходимо формата да се доведе до каноничната форма за допълнителни знаци.
В изходната точка извеждаме критерия на Силвестър за знаковата значимост на квадратна форма, с помощта на който може да се обясни храненето за знаковата значимост на дадена форма, дадена във всяка основа, без да се свежда до канонична форма.
2°. Необходимо е достатъчно умствено познаване на квадратната форма. Да вземем тази фирма.
За да е позната квадратната форма, тя е необходима и достатъчна, така че тя да бъде както положителна, така и отрицателна, а индексът на инерция на формата трябва да бъде равен на нула.
Доказателство. 1) Необходимост. Oskilki познатата форма приема както положителни, така и отрицателни стойности, її проява на G.35) при нормално изглеждащ човек може да има както положителни, така и отрицателни добавки (в противен случай формата приема или неотрицателни или неположителни стойности). Също така, като положителен и отрицателен индекс на инерция под формата на нула.
2) Наличност. Нека p ≠ 0 i q ≠ 0. Същото е и за вектора x 1 с координати η 1 ≠ 0, ..., η p ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0може би A(x 1 x 1) > 0, а за вектора x 2 iz координатите η 1 = 0, ..., η p = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0може би A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Необходима и достатъчна квазизнакова стойност на Умов на квадратната форма. Сравнителна обидна твърдост.
За да бъде формата A (x, x) квазизначима, е необходимо и достатъчно, така че конотациите да са< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Доказателство. Можем да разгледаме положително квазизначима форма. Випадок отрицателно квази-знаците на формата се разглеждат по подобен начин.
1) Необходимост. Нека формата A(x, x) е с положителен квазизнак. Тогава, очевидно, q = 0 и p< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Наличност. Yakscho r< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0тогава може би A(x, x) = 0. A(x, x) е положително квазизнакова форма.
3. Критерий на Силвестър (Джеймс Джоузеф Силвестър (1814-1897) - английски математик) за значимост на знака на квадратична форма. Нека формата A (x, x) y основа e \u003d (e 1, e 2, ..., e n) се задава от матрицата A (e) \u003d (a ij):

и ме остави Δ 1 \u003d a 11, - kutovі минор и vyznachnik матрица (а ij). Сравнителна обидна твърдост.
Теорема 7.6 (критерий на Силвестър). За да бъде зададена положително квадратната форма A(x, x), е необходимо и достатъчно да се преодолеят неравномерността Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0.
За да бъде квадратната форма отрицателно обозначена, е необходимо и достатъчно, така че знаците на горните минорни да бъдат начертани, освен това Δ 1< 0.
Доказателство. 1) Необходимост. Нека поговорим за стойността на знака на квадратната форма A (x, x) е ясна Δ i ≠ 0, i = 1, 2, ..., n.
Да продължим, шо pripuschenna Δ к= 0, водещо до свръхточност - за този случай се използва ненулевият вектор x, за който A (x, x) = 0, което супер-определя знаковата значимост на формата.
Отже, хайде Δ к= 0. Нека разгледаме подхода на квадратна равномерна система от линейни подравнявания:

Oskilki Δ к- сигнификатор на системата Δ к= 0, системата има ненулево решение ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k (не всички ξ i са равни 0). Умножете първото равно (7.36) по ξ 1 , другото по ξ 2 ..., а останалите по ξ k и можем да сгънем отместването. В резултат на това се взема еквивалентност , чиято лява част е стойността на квадратната форма A(x, x) за ненулев вектор x с координати (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k , 0, ..., 0 ) . Стойността е равна на нула, което замества знаците на формуляра.
Otzhe, объркахме се, scho Δ и≠ 0, i = 1, 2,..., n. Следователно можем да прецизираме метода на редукция на Якоби на формата A(x, x) до сумата от квадрати (div. Theorem 7.4) и да редуцираме по формули (7.27) за каноничните коефициенти λ и. Yakshcho A(x, x) е положително изпяема форма, всички канонични коефициенти са положителни. Ale todi іz spіvvіdnoshen (7.27) е очевидно, scho Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Тъй като A(x, x) е отрицателна форма, тогава всички канонични коефициенти са отрицателни. Алексите на формули (7.27) са ясни, така че знаците на върховите минорни са начертани, освен това Δ 1< 0.
2) Наличност. Оставете vikonanі да се измие, наслагва върху kutovі minori Δ ипри формулирането на теоремата. Oskilki Δ и≠ 0, i = 1, 2,..., n , то формата A може да се редуцира до сума квадрати по метода на Якоби (div. Теорема 7.4), а каноничните коефициенти λ иможе да се намери зад формули (7.27). Ако Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, то от spіvvіdnoshen (7.27) виждаме, че всички λ и> 0, т.е. формата A(x, x) е положително зададена. Как са знаците Δ иначертайте, че Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Пролетта се оказа успешен месец за всички класове активи. Според оценките на "Гроша", май всички инвестиции са осигурили положителен резултат. За които най-голям доход донесоха златните депозити, те играха в нарастването на цената на скъпия метал и в отслабването на рублата. Висока печалба донесе на инвеститорите основните категории инвестиционни фондове, депозити, както и по-голямата част от руските акции. Останалата част от съдбите на облигационните фондове, както и акциите на Oschadbank, станаха най-популярни, тъй като те могат да пострадат най-много от засилването на санкциите на САЩ.

Виталий Капитон

Пет месеца по-късно златото се превърна в най-ценната инвестиция за един месец. За оценка на "Пенни", поставяне на 15 сърпа в скъп метал 100 тис. rub., Инвеститор незабавно излитане в един месец mayzhe 5 тис. търкайте. доходи. Tse различни от величината на месечния резултат от тази съдба. Колкото по-голям е инвеститорът в момента да печелят от апартамента - 9,3 THS. търкайте.

Високата рентабилност на приноса на джентри метала по-рядко се обвързва с нарастването на цената на йога. От средата на сърпа цената на златото се увеличи с 2,4% до 1205 долара за тройунция. Tse се превърна в пример за инфлационни корекции в Съединените щати. По данни на Министерството на търговията на САЩ инфлацията в страната се е повишила от 2,9% в липата до 2,7% в сърпа и все още е превъзхождана от ФРС. По този начин инфлацията продължава да расте, за да позволи на Фед да повиши лихвата без резки промени. Новините за тези, че правителството на САЩ и Канада продължават да се опитват да намерят компромис за новата благосклонност на NAFTA, дадоха подкрепа на скъпия метал. „Тези иновации намаляват турбуленцията в сделките, тъй като оказват натиск върху пазара на злато и стимулират долара“, казва Михайло Шейбе, стратег по операции на стоковите пазари в Sberbank Investment Research. Ефектът от увеличението на цените на златото беше увеличението на нарастването на обменния курс на долара в Русия (+2,5%). В резултат на това инвестициите в рубли в скъп метал донесоха значителни приходи.

Vtіm, до по-нататъшно инвестиране, златото се поставя с защита, участниците на пазара се уважават. Ескалацията на търговското противопоставяне между САЩ и Китай е основният риск за инвестиции в индустрията за благородни метали. "Факторът на политическия натиск на включванията, което означава, че появата на нови бариери, на практика не може да се говори. Такова развитие е негативно за златото, ще източи парчетата от растежа за долара като обезценен актив", казва Михайло Шейбе.

Колко доходи са донесени от вноските в злато (%)

Джерела: Bloomberg, Reuters, Oschadbank.

Сред най-печелившите финансови продукти са фондовете за акционерно инвестиране, а други продукти на управляващи компании могат да осигурят марж, който надвишава цената на златото. Жовтни най-успешни бяха депозитите от фондовите фондове на Галузев, фокусирани върху металургията, телекомуникациите и нефтените и газови компании. За оценката на "Грош", базирана на парите на Investfunds, за подторбите от месечна инвестиция такива фондове донесоха на частни инвеститори около 2,2 хиляди. рубли, до 5,2 хиляди. търкайте.

Високите печалби бяха осигурени от други категории фондове: индексни фондове, чуждестранни инвестиции, еврооблигации. Средствата от тези категории могат да донесат на инвеститорите си около 200 рубли. до 4 хил търкайте. на 100 хиляди вмъкване.

Отрицателният резултат донесе облигационните фондове, които се харесаха на частните инвеститори. Средствата от категорията могат да бъдат консервативни, така че разходите на частните инвеститори бяха символични - до 1 хил. рубли. търкайте. За такива умове инвеститорите започнаха да фиксират печалби от облигационни фондове. Зад почитта Investfunds инвеститорите набраха 4 милиарда рубли от облигационни фондове. По-голямата част от вонята е взета от фондовете на категорията от бебета през 2014г. На фона на девалвацията на обменния курс на рублата и бързото нарастване на лихвените проценти на вътрешния пазар инвеститорите набраха над 4,5 милиарда рубли от фондовете.

Повишената ликвидност на инвеститорите често се използва за набиране на по-рискови фондови фондове. Размерът на парите, инвестирани във фондовете от категорията tsієї в serpni, преведени 3,5 милиарда рубли, което е 500 милиона рубли. повече obsyagu zaluchen липа. Той ще пие от рисковата стратегия за растеж още през първия месец на сън, а депозитът ще заема все повече и повече от дела на дивата вълна на rozdrіbnі fondi. Най-голямата инвестиция в инвеститорите е финансирана от телекомуникации и нефт и газ.

Какъв доход са донесли инвестициите на взаимни фондове (%)

Джерела: Национална лига на Керивники, Investfunds.

Serpnevі аутсайдери - акции - се издигнаха до третото място от четвъртия рейтинг на "Grosha". През последния месец инвестициите в индекса на MICEX донесоха на инвеститорите на дребно 3,4 хиляди рубли. търкайте. При първия кочан от изследвания период такъв висок резултат не се усеща. В периода от 15 до 18 април индексът на MICEX се понижи с 1,2%. Ситуацията с протестите се подобри след 24 април. За три дни индексът се повиши с 5% и се покачи до ниво от 2374 пункта. Това е само с 2 пункта по-ниско от историческия максимум, инсталации в близост до бреза.

Междувременно през пролетта много борсови индекси на държави и други страни показаха положителна динамика. Според оценките на Bloomberg руските индекси са нараснали в доларово изражение с по-малко от 4,4%. По-силен ръст показаха само турските индекси, които се повишиха с 5.9-6.3%. Италианският FTSE MIB стана лидер сред водещите показатели в страната, като добави 3,4% за месеца.

Акциите на ALROSA, Gazprom, MMC Norilsk Nickel и Magnit нараснаха най-много: от тези книжа инвеститорът можеше да спечели 4,2-8,3 хил. търкайте. за сто хиляди инвестиции в кожа. След думите на Антон Старцев, водещ анализатор в Olma Investment Company, че интересът на инвеститорите към книжата на АЛРОСА е последван от министъра на финансите Антон Силуанов за тези, че компанията може да насочи 75% от нетната печалба за изплащане на дивиденти.

Вината за голямата картина бяха акциите на RusHydro, Rostelecom, Aeroflot; до 1,4 хил търкайте. Максималните разходи показаха инвеститорите, които инвестираха стотинки в цени на хартия на Oschadbank - 2,1 хиляди рубли. търкайте. Акциите се затварят под натиска на коментари на служители в Държавния департамент на САЩ, тъй като не виждат възможност за санкции срещу банка през есента на листата. Такива перспективи са крещящи за международните инвеститори и те изглежда се смущават не само от ОФЗ, но и от хартиените банки.

След срива на сърпа и пролетта акциите на Oschadbank станаха по-привлекателни за инвестиции, интересуват се анализатори. „Възстановяването в документите на най-голямата руска банка е още по-значително и рисковете от техните покупки са напълно погрешни. Средносрочните инвеститори все още трябва да се съсредоточат върху фиксирането на печалбата в района на 180 рубли на акция“, смята Алексей Брокеров, анализатор в АЛОР Брокерс.

Какъв доход са донесли инвестициите в акции (%)