Защо е полезна векторната проекция? Проекционен вектор. Координатни оси. Точкова проекция. Координати на точки като цяло. Проверете сами векторите и след това разгледайте решението
а. Проекцията на точка A върху целия PQ (фиг. 4) е основата на перпендикуляра, спуснат от дадената точка върху qi на цялото. Цялото това нещо, както го проектираме, се нарича много проекции.
б. Въведете данните за двуосов вектор AB, обозначен на фиг. 5.
Векторът на кочана на който е проекцията на кочана и края - проекцията на края на този вектор се нарича проекция на вектора A върху целия PQ, той се записва като такъв;
Никой индикатор PQ не е изписан в долната част, трябва да се прави в тихи настроения, ако PQ не е наличен от друга страна, може да се проектира.
С. Теорема I. Стойностите на векторите, които лежат на една ос, се задават като стойности на техните проекции, било то всичко.
Нека е дадена ос на векторите, посочени на фиг. 6. Ясно е, че двата вектора се разглеждат като проекции на тях.
Тъй като векторите на фотьойла са изправени от различни страни, тогава стойностите на тях може да са различни, тогава,
Очевидно големината на проекциите също може да има различен знак:
замествайки (2) в (3) в (1), вземаме
Сменете знаците на портата, отнесете я
Ако векторите са една и съща права линия, ще има една права линия от двете проекции; формули (2) и (3) няма да имат знаци минус. Замествайки (2) и (3) равновесието (1), незабавно отнемаме равновесието (4). Оттук нататък теоремата е доказана за всички режими.
д. Теорема II. Стойността на проекцията на вектора върху това дали цялата стойност на вектора или не, умножена по косинуса на кута mіzh vіssyu проекции i vіssyu вектор 7. Нека векторът на същото насочване е собствена линия и инкрустации, например, под формата на пресечна точка на осите. Позволете ми да правя скъпата си йога сама. Йога със същата стойност
На гърба на ума си, познайте какво координира цяло, проекция на точка върху цялотоі координати на точката по оста.
Координирайте цяло- направо е, надявам се да е направо. Можете да се досетите, че това е вектор с безкрайно голям модул.
Координирайте цялоОбозначава се с буквата: X, Y, Z, s, t... Звук по оста, изберете (доста) точка, както се нарича кочан в случай на i, като правило, това е обозначава се с буквата О. В случай на точка, тя се изготвя до други точки за нас.
Проекция на точка като цяло- веригата на опората на перпендикуляра, спусната от qiєї точки към qiu на цялото (фиг. 8). Това е проекцията на точка върху цялата точка.
Точкова координата на всички- цялото число, чиято абсолютна стойност е най-важната двойна ос (в избрания мащаб), положена между кочана на оста и проекцията на точката върху qiu на цялото. Това число се взема със знак плюс, така че проекцията на точката да се завърти по директната ос в кочана и със знака минус, като в обратна посока.
Скаларна проекция на вектор като цяло- ce номере абсолютната стойност на някаква най-дълго съществуваща ос vіdrіzka (в обърнат мащаб), положена между проекциите на точката върху кочана и точката на края на вектора. Важно! Звучи виразу скаларен проекционен вектор като цялоизглежда просто - векторна проекция като цяло, след това думата скалареннисък. векторна проекцияобозначава се с буквата, която е векторът, който се проектира (при обичайното, не удебелено изписване), с долния (като правило) индекс на име оста, върху която се проектира векторът. Например, например се проектира вектор за всички X а,його проекция се присвоява като x . Когато проектирате същия вектор от другата страна, да речем, цялата Y-та проекция ще бъде приписана на y (фиг. 9).
шоб вирахувати векторна проекция като цяло(например всички X) трябва да вземете координатата на точката на кочана от координатите на точката на th
и x \u003d x k - x n.
Трябва да запомните: Скаларна проекция на вектор върху всички (или просто проекция на вектор върху всички) е число (не вектор)!Освен това, проекцията може да бъде положителна, така че стойността на x е по-голяма от стойността на x n, отрицателна, така че стойността на x е по-малка от стойността на x n и по-близо до нула, така че x е по-близо до x n (фиг. . 10).
Можете да знаете проекцията на вектора като цяло, като знаете модула на вектора и кута, който vin е сгънат от цената на цялото.
От малко 11 става ясно, че x = и Cos α
Тобто, проекцията на вектора по цялата дължина на разширението на модула на вектора върху косинуса на кута между правата линия и правата линия на вектора. Ако е kut hostry, тогава Cos α > 0 и x > 0, а ако е глупаво, тогава косинусът на глупавата kuta е отрицателен и проекцията на вектора върху всички ще бъде отрицателна.
Кути, които се виждат по оста срещу хода на стрелката на годината, се приемат за положителни и отрицателни по пътя. Ако обаче косинусът е функция на двойката, тогава Cos α = Cos (− α), тогава с изчисляването на прогнозите можете да навиете като стрелката на часа на годината и обратно.
Когато подреждат задачи, победителите често вземат предвид такива проекции на мощност:
а = б + ° С +…+ д, тогава a x = b x + c x + ... + d x (подобно на друга ос),
а= m б, тогава a x = mb x (подобно на други оси).
Формулата a x = a Cos α ще бъде по-често zustrichatsya в часа на черешовия ден, че її obov'yazkovo изисква благородство. Правилото за назначаване на проекцията е необходимо да знаете напомни ми!
Помня!
За да знаете проекцията на вектора като цяло, трябва да умножите модула на вектора по косинуса на кута между директната ос и директния вектор.
Още веднъж - РАЗКРИ!
Оста е права. Otzhe, проекцията върху всичко е директно уважавана от един и самият той. Проекцията е както алгебрична, така и геометрична. Геометричната разбира проекцията на вектора върху цялото като вектор, а алгебричната - числото. За zastosovyatsya разбирането на проекцията на вектора като цяло и числената проекция на вектора като цяло.
Ако можем да видим L и ненулев вектор A B → , можем да индуцираме вектора A 1 B 1 ⇀ , като знаем проекциите на тата точка A 1 и B 1 .
A 1 B → 1 ще бъде проекцията на вектора A B → L .
Назначаване 1
Проекция на вектора като цялоназовете вектора, кочана и края на всяка проекция на кочана и края на дадения вектор. n p L A B → → обичайно е да се означава проекцията на A B → върху L . За да насърчите проекцията L, пуснете перпендикулярите на L.
дупе 1
Пример за векторна проекция като цяло.
Точка M 1 (x 1 , y 1) е поставена върху координатната равнина O x. Необходимо е да се създадат проекции върху O x i O в образа на радиус вектора на точката M 1 . Отнемаме координатите на векторите (x 1, 0) и (0 , y 1) .
Ако разгледаме проекцията a → върху ненулева b → или проекцията a → право напред b → , тогава проекцията a → върху цялото може да бъде на ръба, от която правата b → . Проекция a → върху права линия, която се означава b → може да се разпознае n p b → a → → . Vіdomo, ако kut mіzh a → і b → можете да въведете n p b → a → → і b → co-directional. В моменти, ако разрезът е тъп, n p b → a → → і b → прав прав. В ситуацията на перпендикулярност a → и b → , освен това a → - нула, проекция a → y права b → є нулев вектор.
Числова характеристика на проекцията на вектора върху цялото - цифровата проекция на вектора върху даденото цяло.
Назначаване 2
Числова проекция на вектора като цялоименуване на число, като начин за подобряване на стойността на даден вектор чрез косинус на кута между даден вектор и вектор, който обозначава директно оста.
Числовата проекция A B → L може да бъде приписана n p L A B → , и a → b → - n p b → a → .
В зависимост от формулата вземаме n p b → a → a = a cos a → , b → ^ , звезди a → є дължината на вектора a → , a ⇀ , b → ^ - изрязване между вектори a → і b → .
Отнемаме формулата за изчисляване на числената проекция: n p b → a → = a → cos a → , b → ^ . Vaughn zastosovna at vіdomi dovzhina a → ta b → ta vugіllі m_zh. Формулата е в застой за дадените координати a → і b → ale є її опростения вид.
дупе 2
Разпознайте числовата проекция на a → непосредствено зад прякото b → с по-дълго a → по-разширено 8 и разрез между тях 60 градуса. Отвъд ума има a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. След това представяме числовата стойност на формулата n p b ⇀ a → = a → cos a → b → ^ = 8 cos 60 ° = 8 1 2 = 4.
Внушение: 4.
Когато видите cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , може би a → , b → като скаларен телевизор a → і b → . Въз основа на формулата n p b → a → a = a cos a ⇀ , b → ^ , можем да знаем числената проекция на a → директно върху вектора b → і можем да вземем n p b → a → = a → , b → b → . Формулата е еквивалентна на стойността, дадена на кочана на артикула.
Назначаване 3
Числовата проекция на вектора a → върху правата, която минава направо от b → , се нарича разширение на скаларното разширение на вектора в a → і b до дължината на b → . Формулата n p b → a → = a → , b → b → е фиксирана за стойността на числовата проекция a → върху права линия, тъй като следва права линия от b → , с дадени a → и b → координати.
дупе 3
Задачи b → = (- 3, 4). Намерете числената проекция a → = (1, 7) върху L.
Решение
На координатната равнина npb → a → = a → , b → b → може да се види npb → a → = a → , b → b = ax bx + ay bybx 2 + by 2, с a → = (ax, ay) i b → = bx, по. За да се знае числената проекция на вектора a → върху всички L е необходимо: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3) + 7 4 (-3) 2 + 4 2 = 5 .
Внушение: 5.
дупе 4
Познайте проекцията на a → върху L , така че тя да върви право напред b → , de є a → = - 2 , 3 , 1 і b → = (3 , - 2 , 6) . Заложено е тривиално пространство.
Решение
За задачите a → = a x , a y , a z і b → = b x , b y , b z , изчислимото скаларно добут: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Довжина b → известен с формулата b → = b x 2 + y 2 + b z 2 . Ясно е, че формулата за зададената числова проекция a → ще бъде: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Числовата стойност е представена: np L a → = npb → a → = (-2) 3 + 3 (-2) + 1 6 3 2 + (-2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Отговор: - 6 7 .
Нека разгледаме връзката между a → на L и същата проекция на a → върху L. Нека съберем всички L , добавяйки a → і b → 3 точки L , след което изчертаваме перпендикулярно на правата линия от края a → L і начертаваме проекция върху L . Използвайте 5 варианта на изображението:
първипадне, когато a → = npb → a → → означава a → = npb → a → → .
Друго n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , по-късно, n p b → a = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
ТретоБих искал да обясня, че когато npb → a → → = 0 → можем да вземем npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0 , тогава npb → a → → = 0 npb → a → = 0 = npb → a → → .
тримесечие npb → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , следващо npb → a → = a → cos (a → , b → ^ ) = - npb → a → → .
Пятий vypadok показва a → = npb → a → → , което означава a → = npb → a → → , може да бъде npb → = - npb → a →.
Назначаване 4
Числова проекция на вектора a → върху цялото L , което се изправя като i b → максималната стойност:
- вземете проекцията на вектора a → върху L за ума, така че да е между a → и b → по-малко от 90 градуса abodorivnyu 0: n p b → a → = n p b → a → → отвъд ума 0 ≤ (a → , б →) ^< 90 ° ;
- нула за перпендикулярност на ума a → і b → : n p b → a → = 0, ако (a → , b → ^) = 90°;
- дълга проекция a → върху L , умножена по -1, ако є е глупав или сгънат вектор на изрязване в a → і b → : n p b →< a → , b → ^ ≤ 180 ° .
дупе 5
Дадена е проекция a → върху L 2 . Познайте числената проекция a → знайте каква е цената 5 6 rad.
Решение
Виждате, че cey kut е глупав: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Отговор: - 2 .
дупе 6
Площта O x y z е дадена с дължината на вектора a → 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) с разрез от 30 градуса. Намерете координатите на проекцията a → върху цялото L .
Решение
За кочана, числената проекция на вектора a → : n p L a → = n p b → a = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .
Зад умственото коефициент, тогава числовата проекция a → = втората проекция на вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Тази линия показва, че векторите n p L a → → і b → са съвместно насочени, също и числото t, което има правилно подравняване: n p L a → → = t · b → . Следователно можем да знаем стойността на параметъра t: t = n p L a → b → = 9 (-2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Тогава np L a → → = 3 b → с координатите на проекцията на вектора a → върху всички L добавете b → = (- 2 , 1 , 2) , така че трябва да умножите стойността по 3. Може np L a → → = (- 6 , 3, 6). Предложение: (- 6, 3, 6).
Необходимо е да се повтори по-ранна информация за менталната колинарност на векторите.
Как запомнихте извинението в текста, бъдете любезни, вижте го и натиснете Ctrl + Enter
Нека нарисуваме векторно описание на движението, така че на едно кресло да можете да изобразите богато разнообразие от различни вектори и да разгледате „картинката“ на движението, преди да я разгледате. Въпреки това е трудоемко да се опитате да начертаете линия и транспортир за работа с вектори. Към това qі dі zvodat to dіy іz по положителни и отрицателни числа - проекции на вектори.
Проекция на вектора като цялоназовете скаларна стойност, равна на нарастването на модула на проектирания вектор от косинуса на coota между посоките на вектора и реципрочната координатна ос.
На левия фотьойл индикациите са вектора на изместване, чийто модул е 50 км, което директно одобрявам тъпо рязане 150 ° s право по оста X.
sx = s cos (α) = 50 km cos ( 150 °) = -43 km
Частите се нарязват между осите 90 °, лесно се повдигат, така че да можете да се движите направо от правата ос Y, хостът се нарязва на 60 °. Vikoristovuyuchi назначаване, ние знаем проекцията на изместване върху цялото Y:
sy = s cos(β) = 50 km cos( 60°) = +25 km
Като бахит, като прав вектор utvoryuє z право по оста на гостри кут, проекцията е положителна; Тъй като векторът е директно настроен към оста на глупавия разрез, проекцията е отрицателна.
На десния фотьойл на показанията, векторът на скоростта, чийто модул е 5 m / s, и директно регулира 30 ° от директната ос X. Ние знаем проекциите:
υx = υ cos(α) = 5 m/s cos ( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos( 120°) = –2,5 m/s
Много по-лесно е да се познават проекциите на векторите върху осите, както и векторите, които се проектират, са успоредни или перпендикулярни на избраните оси. Жалко е, че за вертикален паралелизъм има две опции: вектор за изправяне на оста и вектор на противоположното изправяне на оста, а за вертикалната перпендикулярност има само една опция.
Проекцията на вектора, перпендикулярна на оста, трябва да бъде равна на нула (div. sy и ay на лявото кресло, както и sx и υx на дясното кресло). Всъщност, за вектор, перпендикулярен на оста, kut mіzh him i vіssyu dorivnyuє 90 °, така че косинусът също е по-скоро като нула, а проекцията е по-скоро като нула.
Проекцията на вектора, съвместно насочена от небето, е положителна и равна на ти модул, например sx = +s (Div. Levi на стола). Всъщност за вектор, съвместно насочен с посоката на вектора, kut между него и другия е равен на нула, другият е косинусът „+1“, така че проекцията е по-равна на вектора: sx = x – xo = +s .
Проекцията на вектора, противоположна на оста, е отрицателна и равна на ти модул, взет със знака минус, например sy = –s (раздел. дясно кресло). Всъщност за вектор, който е противоположен на оста, той е между нея и е равен на 180 °, това е косинусът „–1“, което е проекцията на най-дългия вектор, взет с отрицателен знак: sy = y – yo = –s .
В дясната част на двата фотьойла са показани други наклони, ако векторите са успоредни на една от координатните оси и са перпендикулярни на другата. Предлага се да преразгледате самостоятелно, че в тези случаи формулираните в предходните параграфи правила също са съгласувани.
От физика за 9 клас (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999 r_k),
мениджър №5
до главата ГЛАВА 1».
1. Каква е проекцията на вектор върху координатна ос?
1. Проекцията на вектора върху координатната права се нарича дължината на линията между проекциите на кочана и края на вектора a (перпендикуляри, пропуснати от точката на оста на правата) върху координатната линия qi .
2. По какъв ред на връзките се движи векторът на тялото със своите координати?
2. Проекциите на вектора на изместване s върху осите на координатите ще ви позволят да промените съответните координати на тялото.
3. Ако координатата на точка се променя с времето, какъв знак може да бъде проекцията на вектора на преместване върху координатната ос? И защо се променя?
3. Ако координатата на точката се увеличава с времето, тогава проекцията на вектора на преместване върху координатната ос ще бъде положителна, т.к. в тази посока, mi timemo в проекцията на кочана към проекцията на края на вектора y директно върху самата ос.
Ако координатата на точката се променя от време на време, тогава проекцията на вектора на преместване върху координатната ос ще бъде отрицателна, т.к. по какъв начин ще преминем от проекцията на кочана към проекцията на края на вектора срещу самата ос.
4. Тъй като векторът на изместване е успореден на оста X, тогава защо модулът на проекцията на вектора е върху цялата ос? А модулът на проекцията на вектора върху цялото Y?
4. Ако векторът на изместване е успореден на оста X, тогава модулът на проекцията на вектора върху целия модул е равен на модула на самия вектор, както проекцията върху оста Y е равна на нула.
5. Определете знаците на проекции върху всички X на вектора на преместване, който е изобразен на малкия 22. Как се променят координатите на тялото при тези премествания?
5. Във всички по-ниски височини Y координатата на тялото не се променя, а X координатата на тялото се променя в следния ред:
а) s 1;
проекцията на вектора s 1 върху всички X е отрицателна и по модул по-скъпа от вектора s 1 . За такова преместване координатата X на тялото ще се промени на дължината на вектора s 1 .
б) s2;
проекцията на вектора s 2 върху целия X е положителна и равна на модула на втория вектор s 1 . За такова преместване координатата X на тялото се увеличава с дължината на вектора s 2 .
в) s 3;
проекцията на вектора s 3 върху всички X е отрицателна и равна на модула на втория вектор s 3 . За такова движение координатата X на тялото ще се промени на дължината на вектора s 3 .
г) s4;
проекцията на вектора s 4 върху всички X е положителна и равна на модула на втория вектор s 4 . За такова движение координатата X на тялото се увеличава с дължината на вектора s 4 .
д) s 5;
проекцията на вектора s 5 върху всички X е отрицателна и равна на модула на втория вектор s 5 . За такова движение координатата X на тялото ще се промени на дължината на вектора s 5 .
6. Тъй като стойността на изминатия път е голяма, какъв модул на пътуване може да бъде малък?
6. Може би. Следователно scho displacement (векторно изместване) е векторна величина, т.е. е изправяне на vіdrіzok, scho zadnuє кочан позиция на тялото с yogo напредване позиции. И последната позиция на тялото (независимо, в зависимост от размера на изминатия път) винаги може да бъде близо до позицията на кочана на тялото. В момента на промяната на позицията на терминала и кочана на тялото модулът на преместване е равен на нула.
7. Защо векторът на движение на тялото е по-нисък от начина, по който преминава в механиката?
7. Основните задачи на механиката са назначаването на позицията на тялото, независимо дали е време. Познавайки движещия се вектор на тялото, можем да определим координатите на тялото, tobto. лагерът на тялото е близо до часа и като знаем само преминаването на пътя, можем да определим координатите на тялото, т.к. Нямаме никаква информация за директния прилив, но можем само да преценим за дължината на изминатия път в даден момент.
