Дачний календар

Закон збереження кількості руху механічної системи. Закон збереження кількості руху та рівняння руху. Рівняння для швидкості (збереження кількості руху) виведемо спочатку для ідеальної рідини (без в'язкості). Закон збереження кількостей

Закон збереження імпульсу для малого об'єму W, що рухається, рідкої частинки (з непроникними стінками) є

де у правій частині стоїть сума всіх сил, що діють на виділений обсяг, причому для простоти спочатку припускатимемо, що внутрішній приплив маси відсутній (M"=0). Обмежуючись розглядом масової сили F m (наприклад, відцентрової або сили тяжіння, що діють на одиницю маси, [н/кг]) та сил тиску P (діють на одиницю площі, [н/м 2 ]), запишемо

Враховуючи що (інтеграл береться по рідкій частинці, тобто за заданою кількістю рідини), і, перетворюючи поверхневий інтеграл тиску в об'ємний, можна переписати рівняння у вигляді

. (1.15)

Це закон збереження кількості руху на інтегральної формі.

Виходячи з довільного вибору об'єму рідкої частинки, можна перейти до диференціальної форми:

. (1.16)

Це закон збереження кількості руху у вигляді Лагранжа.

Похідна dV/dt, що входить до рівняння, – це субстанційна похідна, яка визначає зміну швидкості рідкої частинки.

Використовуючи зв'язок субстанційної (повної) похідної за часом з приватною похідною швидкості за часом (зміна швидкості в заданій точці), отриманий раніше, приходимо до іншої диференціальної форми рівняння збереження кількості руху (формі Ейлера):

. (1.17)

Це рівняння Ейлера, воно отримано ним ще 1755 р. Це рівняння висловлює закон збереження кількості руху (імпульсу).

У проекціях на осі декартової системи це рівняння має вигляд

Запишемо отримані рівняння руху на інший формі – у вигляді перенесення імпульсу. Для цього виконаємо такі перетворення, використовуючи рівняння нерозривності:

, але ,

тоді і, отже,

. (1.18)

У декартовій системі координат ці рівняння мають вигляд

Ці рівняння, як і у разі рівняння нерозривності, можуть бути отримані ще одним способом.Виділимо в потоці маси, що рухається, фіксований елементарний паралелепіпед зі сторонами dx, dy, dz і підрахуємо масу рідини, що протікає через нього за час dt.

Виділимо в потоці газу або рідини елементарний паралелепіпед з ребрами dx, dy, dz. На виділений обсяг діють масові сили (наприклад, інерційні, гравітаційні), поверхневі сили – тиск та тертя. Знайдемо проекції цих сил на вісь х (рис.1.5):

а) масові сили прикладемо у центрі елемента обсягом dw.

Її проекція на вісь х дорівнює:

аналогічно інші осі;

б) сила тиску. На лівій грані елемента по осі x питомий тиск дорівнює Р, площадку dydz діє сила Pdydz. На протилежній грані питомий тиск дорівнює, а на цю грань діє сила . Знак «–» вказує на те, що сила діє проти спрямування осі х. Рівнодійна цих сил дорівнює їх алгебраїчній сумі:

. (1.19)

Відповідно до другого закону механіки рівнодіюча дорівнює добутку маси елемента ρdW на його прискорення dV x /dt:

де - локальне, - конвективна зміна величини V х, d/dt – субстанціальна похідна:

Прирівнюючи рівняння (1.19) та (1.20), отримаємо:

Аналогічно запишемо рівняння для проекцій сил на осі y та z:

Це рівняння руху. Його часто записують у вигляді

У разі стаціонарності процесу перші члени рівняння дорівнюватимуть нулю.

Розглянемо тепер цей закон для реальної рідини,враховуючи в'язкість (внутрішнє тертя). Почнемо з розгляду рівнянь руху для ізотермічної рідини і ще раз нагадаємо, що рівняння безперервності справедливе і реальної рідини, оскільки його висновок грунтувався лише з законі збереження речовини. Скористаємося рівнянням, записаним у формі закону для перенесення імпульсу ідеальної рідини, і допишемо до нього доданки, які відповідають за перенесення імпульсу внаслідок дії в'язких сил.

Головний вектор кількості руху До системи матеріальних частинок дорівнює інтегралу від творів їх елементарних мас на вектори швидкостей частинок V:

Застосуємо обсяг W масою m теорему про зміну головного вектора кількості руху. Прирівнявши повну похідну за часом від головного вектора кількостей руху головному вектору зовнішніх масових F і поверхневих сил P, отримаємо

, (13)

де p n – результуюча складова внутрішніх сил у газі (сил тиску та напруги в'язкості), прикладена до поверхні S обсягу W.

Обчислимо повну похідну від головного вектора, причому для простоти спочатку припускатимемо, що внутрішній приплив маси відсутній (M"=0), тоді

Щоб перетворити поверхневий інтеграл у правій частині (13) на об'ємний, перепишемо його у вигляді:

де p х, p y , p z – вектор напруг, прикладений до позитивних сторін майданчика, та застосуємо формули векторного аналізу:

(1.23)

Тоді матимемо

. (1.24)

Підставляючи в (1.16) значення величин, що входять до нього, і перенісши всі члени в один рядок, отримаємо

. (1.25)

Використовуючи положення про довільність обсягу W і прирівнюючи підінтегральну функцію нулю, отримаємо

Проектуючи обидві частини рівності на напрямі осей координат, отримаємо:

(1.27)

Ці рівняння динаміки суцільного середовища «напруження», або «рівняння імпульсів».

Сила тертя на одиницю поверхні за законом Ньютона

(μ - коефіцієнт динамічної в'язкості, Н×с/м 2).

Підсумовуючи сили, отримаємо проекцію на вісь х рівнодіючих всіх сил, прикладених до обсягу dW:

. (1.28)

Отримаємо рівняння руху з урахуванням в'язкості, використовуючи підхід, зображений на рис.1.5.Додамо силу тертя, визначивши її з розгляду плоского ламінарного потоку, у якому швидкість V x змінюється лише у бік осі y. І тут сила тертя s виникає лише з бічних гранях елемента (рис.1.6).

Біля лівої грані швидкості руху частинок менше, ніж у самому елементі, тому тут у перетині "y" сила тертя спрямована проти руху і дорівнює – sdxdz. У правій грані швидкість руху більша, ніж у самому елементі, тому тут у перетині "y+dy" сила тертя спрямована у бік руху і дорівнює

Тут – сила тертя на одиницю поверхні, згідно із законом Ньютона.

Підставивши цей вираз у попереднє рівняння та приймаючи μ = const, отримаємо .

У випадку, коли V x змінюється за трьома напрямками, проекція сили тертя на вісь х визначається виразом

Підсумовуючи сили, отримаємо проекцію на вісь х рівнодіючих всіх сил, прикладених до обсягу dW:

. (1.29)

Використовуючи знову поняття субстанціальної похідної

згідно з другим законом механіки отримаємо:

Аналогічно запишемо рівняння для проекцій сил на осі y і z (з огляду на те, що ):

Ці рівняння руху називають рівняннями Нав'є-Стокса. Диференціальне рівняння руху у формі Навье-Стокса описує рух в'язкої рідини або газу, що стискається, і справедливо як для ламінарного, так і для турбулентного руху.

У разі гіпотези "ідеального газу" рівняння руху Навье - Стокса переходять у рівняння Ейлера:

(1.30)

У разі стаціонарності процесу перші члени рівняння дорівнюватимуть нулю. Для дво- і одновимірного руху рівняння Навье-Стокса та Ейлера відповідним чином спрощуються.

Закон збереження енергії. Закон збереження енергії не тільки встановлює незмінність усієї енергії для будь-якої виділеної маси рідини або газу, але й відображає взаємоперетворення різних форм руху матерії, і в першу чергу механічної енергії на теплову. Для розрахунку цих перетворень служить рівняння балансу енергії, що виводиться із загального термодинамічного закону збереження енергії, який для індивідуального (непроникного) обсягу середовища, що рухається, формулюється так:

– зміна повної енергії виділеного обсягу рідини або газу за одиницю часу дорівнює сумі робіт прикладених до нього масових та поверхневих зовнішніх сил на поверхнях, що обмежують цей обсяг, та підведеного ззовні тепла за той самий час.

Цей закон виражається інтегральною рівністю

де - Питома повна енергія; U = c v T – питома внутрішня енергія; – результуюча масових сил, – результуюча складова внутрішніх сил у газі (сил тиску та напруги в'язкості), прикладена до поверхні S виділеного об'єму W; q – питома кількість енергії (зазвичай тепла), що підводиться в одиницю часу до робочого тіла у виділеному обсязі.

Враховуючи довільність виділеного обсягу W, отримуємо диференціальну форму цього закону:

Необхідність введення рівняння енергії випливає з того, що два рівняння – нерозривності (скалярне) та рухи (векторне) – містять три невідомі величини: одну векторну (швидкість) та дві скалярні (тиск р та щільність r), тому для газу (W=var ) Число шуканих величин на одну більше, ніж число рівнянь. Якщо приєднати рівняння енергії, то додасться ще одна невідома величина – температура Т. Система рівнянь вийти замкненою приєднанням рівняння стану, і тоді завдання аерогазодинаміки (за заданих граничних та початкових умов) стає певним.

Якщо розглядається ідеальна несжимаемая рідина, то вважають, що рідини відсутні теплообмін і тертя. У такому випадку рух адіабатичний у кожній рідкій частинці. Отже, закон збереження енергії виливається у твердження, що енергія кожного рідкого елемента залишається постійною:

Звідси випливає, що для опису руху ідеальної рідини, що не стискається, рівняння енергії не використовується.

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки.

1. Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху системи буде постійний за модулем і напрямом.

2. Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад, ) дорівнює нулю:

Тоді з рівнянь (20) випливає, що при цьому Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи на цю вісь є постійною.

Ці результати висловлюють закон збереження кількості руху системи. З них випливає, що внутрішні сили змінити кількість руху системи не можуть. Розглянемо деякі приклади.

Явище віддачі чи відкату. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити кількість руху системи, що дорівнює до пострілу кулю. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це спричинить рух гвинтівки назад, тобто так звану віддачу. Аналогічне явище утворюється при стрільбі з зброї (відкат).

Робота гребного гвинта (пропелера). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища, як внутрішні, не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) отримує відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишається рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.

Аналогічний ефект досягається дією весел або гребних коліс.

Реактивний рух. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору хвостової частини ракети (із сопла ракетного двигуна). Діючі при цьому сили тиску будуть внутрішніми силами і не можуть змінити кількість руху системи ракета - продукти горіння палива. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість, спрямовану вперед. Величина цієї швидкості буде визначено у § 114.

Звертаємо увагу на те, що гвинтовий двигун (попередній приклад) повідомляє об'єкту, наприклад літаку, рух за рахунок відкидання назад частинок того середовища, в якому він рухається. У безповітряному просторі такий рух неможливий. Реактивний двигун повідомляє рух за рахунок відкидання назад мас, що виробляються в самому двигуні (продукти горіння). Рух це однаково можливий і в повітрі, і в безповітряному просторі.

При розв'язанні задач застосування теореми дозволяє виключити з розгляду всі внутрішні сили. Тому розглянуту систему треба намагатися вибирати так, щоб усі (або частина) заздалегідь невідомі сили зробити внутрішніми.

Закон збереження кількості руху зручно застосовувати у тих випадках, коли щодо зміни поступальної швидкості однієї частини системи треба визначити швидкість іншої частини. Зокрема цей закон широко використовується в теорії удару.

Задача 126. Куля масою, що летить горизонтально зі швидкістю і, потрапляє у встановлений на візку ящик з піском (рис 289). З якою швидкістю почне рухатися візок після удару, якщо маса візка разом із ящиком дорівнює

Рішення. Розглянемо кулю і візок як одну систему Це дозволить при вирішенні завдання виключити сили, які виникають при ударі кулі об ящик. Сума проекцій прикладених до системи зовнішніх сил на горизонтальну вісь Ох равіа нулю. Отже, або де – кількість руху системи до удару; - Після удару.

Оскільки до удару візок нерухома, то .

Після удару візок і куля рухаються із загальною швидкістю, яку позначимо через v. Тоді.

Прирівнюючи праві частини виразів, знайдемо

Завдання 127. Визначити швидкість вільного відкату зброї, якщо вага частин, що відкочуються, дорівнює Р, вага снаряда , а швидкість снаряда по відношенню до каналу ствола дорівнює в момент вильоту .

Рішення. Для виключення невідомих сил тиску порохових газів розглянемо снаряд і частини, що відкочуються як одну систему.

Подивимося тепер, що виходить у разі великої кількості частинок, тобто коли тіло складається з безлічі частинок з безліччю сил, що діють між ними та ззовні. Зрозуміло, ми вже знаємо, що момент сили, що діє на будь-яку частину (т. е. добуток сили, що діє на i-ю частинку, на її плече), дорівнює швидкості зміни моменту кількості руху цієї частки, а момент кількості руху i-ї частинки у свою чергу дорівнює добутку імпульсу частки на його плече. Припустимо тепер, що ми склали моменти сил i всіх частинок і назвали це повним моментом сил . Ця величина повинна дорівнювати швидкості зміни суми моментів кількості руху всіх частинок L i . Цю суму можна прийняти за визначення нової величини, яку назвемо повним моментом кількості руху L . Точно так, як імпульс тіла дорівнює сумі імпульсів складових його частинок, момент кількості руху тіла теж дорівнює сумі моментів складових його частинок. Таким чином, швидкість зміни повного моменту кількості руху L дорівнює повному моменту сил

З незвички може здатися, що повний момент сил - дуже складна штука. Адже треба враховувати усі внутрішні та зовнішні сили. Однак якщо ми згадаємо, що за законом Ньютона сили дії та протидії не тільки рівні, а й (що особливо важливо!) діють по одній і тій самій прямій у протилежних напрямках (неважливо, чи говорив про це сам Ньютон чи ні, неявно він мав на увазі це), то два моменти внутрішніх сил між двома взаємодіючими частинками повинні дорівнювати один одному і спрямовані протилежно, оскільки для будь-якої осі плечі їх будуть однакові. Тому всі внутрішні моменти сил взаємно скорочуються і виходить чудова теорема: швидкість зміни моменту кількості руху щодо будь-якої осі дорівнює моменту зовнішніх сил щодо цієї осі!

Отже, ми отримали до рук потужну теорему про рух великого колективу частинок, що дозволяє вивчати загальні властивості руху, не знаючи деталей його внутрішнього механізму. Ця теорема правильна для будь-якого набору частинок, незалежно від того, утворюють вони тверде тіло чи ні.
Особливо важливим окремим випадком цієї теореми є закон збереження моменту кількості руху, який говорить: якщо систему частинок не діють ніякі зовнішні моменти сил, її момент кількості руху залишається постійним.
Розглянемо один дуже важливий окремий випадок набору частинок, коли вони утворюють тверде тіло, тобто об'єкт, який завжди має певну форму та геометричний розмір, і може лише крутитися навколо якоїсь осі. Будь-яка частина такого об'єкта у будь-який момент часу розташована

однаковим чином щодо інших його частин. Спробуємо знайти повний момент кількості руху твердого тіла. Якщо маса i-ї частинки його дорівнює m i , а положення її (x i , y i), то завдання зводиться до визначення моменту кількості руху цієї частки, оскільки повний момент кількості руху дорівнює сумі моментів кількості руху всіх таких частинок, що утворюють тіло. Для точності, що рухається по колу, момент кількості руху дорівнює, звичайно, добутку її маси на швидкість і на відстань до осі обертання, а швидкість у свою чергу дорівнює кутової швидкості, помноженої на відстань до осі:

Підсумовуючи L i для всіх частинок, отримуємо

Цей вираз дуже схожий на формулу для імпульсу, що дорівнює добутку маси на швидкість. Швидкість при цьому замінюється на кутову швидкість, а маса, як бачите, замінюється на деяку нову величину, яку називають моментом інерції I. Ось що грає роль маси при обертанні! Рівняння (18.21) і (18.22) говорять нам, що інерція обертання тіла залежить не тільки від мас його частинок, але й від того, наскільки далеко розташовані вони від осі. Так що якщо ми маємо два тіла рівної маси, але в одному з них маси розташовані далі від осі, то його інерція обертання буде більшою. Це легко продемонструвати на пристрої, зображеному на фіг. 18.4. Маса М у цьому пристрої не може падати дуже швидко, тому що вона повинна крутити важкий стрижень. Розташуємо спочатку маси m біля осі обертання, причому вантаж М буде якось прискорюватися. Однак після того, як ми змінимо момент інерції, розташувавши маси m набагато далі від осі, ми побачимо, що грузик М прискорюється набагато повільніше, ніж раніше. Відбувається це внаслідок зростання інертності обертання, що становить фізичний сенс моменту інерції- суми творів всіх мас квадрати їх відстаней від осі обертання.
Між масою та моментом інерції є суттєва різниця, яка проявляється дивовижним чином. Справа в тому, що маса об'єкта зазвичай не змінюється, тоді як момент інерції легко змінити. Уявіть собі, що ви стали на стіл, який може обертатися без тертя, і тримайте в витягнутих руках гантелі, а самі повільно крутитеся. Можна легко змінити момент інерції, зігнувши руки; при цьому наша маса залишиться тією самою. Коли ми зробимо все це, то закон збереження моменту кількості руху творитиме чудеса, станеться щось дивовижне. Якщо моменти зовнішніх сил дорівнюють нулю, то момент кількості руху дорівнює моменту інерції. I 1 помноженому на кутову швидкість ω 1 , тобто ваш момент кількості руху дорівнює I 1 ω 1 . Зігнувши руки, ви тим самим зменшили момент інерції до величини I 2 . Але оскільки закону збереження моменту кількості руху твір I ω має залишитися тим самим, то I 1 ω 1 має дорівнювати I 2 ω 2 . Так що якщо ви зменшили момент інерції, то ваша кутова швидкість внаслідок цього має зрости.

Розглянемо найзагальніші закони збереження, яким підпорядковується весь матеріальний світ і які вводять у фізику ряд фундаментальних понять: енергія, кількість руху (імпульс), момент імпульсу, заряд.

Закон збереження імпульсу

Як відомо, кількістю руху, або імпульсом, називають добуток швидкості на масу тіла, що рухається: p = mvЦя фізична величина дозволяє знайти зміну руху тіла за певний проміжок часу. Для вирішення цього завдання слід застосовувати другий закон Ньютона незліченну кількість разів, у всі проміжні моменти часу. Закон збереження кількості руху (імпульсу) можна отримати, використовуючи другий та третій закони Ньютона. Якщо розглядати дві (або більше) матеріальні точки (тіла), що взаємодіють між собою та утворюють систему, ізольовану від дії зовнішніх сил, то за час руху імпульси кожної точки (тіла) можуть змінюватись, але загальний імпульс системи повинен залишатися незмінним:

m 1 v+m 1 v 2 = const.

Взаємодіючі тіла обмінюються імпульсами за збереження загального імпульсу.

У загальному випадку отримуємо:

де P Σ - загальний, сумарний імпульс системи, m i v i- Імпульси окремих взаємодіючих частин системи. Сформулюємо закон збереження імпульсу:

Якщо сума зовнішніх сил дорівнює нулю, імпульс системи тіл залишається постійним при будь-яких процесах, що відбуваються в ній.

Приклад дії закону збереження імпульсу можна розглянути на процесі взаємодії човна з людиною, яка уткнулася носом у берег, а людина в човні швидко йде з корми в ніс зі швидкістю v 1 . В цьому випадку човен відійде від берега зі швидкістю v 2 :

Аналогічний приклад можна навести зі снарядом, який розірвався у повітрі на кілька частин. Векторна сума імпульсів всіх уламків дорівнює імпульсу снаряда до розриву.

Закон збереження моменту імпульсу

Обертання твердих тіл зручно характеризувати фізичною величиною, яка називається моментом імпульсу.

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі кожна окрема частка тіла рухається по колу радіусом. r iз якоюсь лінійною швидкістю v i. Швидкість v iта імпульс p = m i v iперпендикулярні радіусу r i . Твір імпульсу p = m i v iна радіус r iназивається моментом імпульсу частинки:

L i= m i v i r i= P i r i·

Момент імпульсу всього тіла:

Якщо замінити лінійну швидкість кутовий щ (vi = ωr i), то

де J = mr2 - момент інерції.

Момент імпульсу замкнутої системи не змінюється у часі, тобто L= const та Jω = const.

При цьому моменти імпульсу окремих частинок тіла, що обертається, можуть як завгодно змінюватися, проте загальний момент імпульсу (сума моментів імпульсу окремих частин тіла) залишається постійним. Продемонструвати закон збереження моменту імпульсу можна, спостерігаючи обертання фігуриста на ковзанах із руками, витягнутими убік, і з руками, піднятими над головою. Оскільки Jω = const, то у другому випадку момент інерції Jзменшується, отже, у своїй має зрости кутова швидкість щ, оскільки Jω = const.

Закон збереження енергії

Енергія– це універсальна міра різних форм руху та взаємодії. Енергія, віддана одним тілом іншому, завжди дорівнює енергії, отриманої іншим тілом. Для кількісної оцінки процесу обміну енергією між взаємодіючими тілами у механіці вводиться поняття роботи сили, що викликає рух.

Кінетична енергія механічної системи – це енергія механічного руху системи. Сила, що викликає рух тіла, здійснює роботу, а енергія тіла, що рухається, зростає на величину витраченої роботи. Як відомо, тіло масою m,що рухається зі швидкістю v,має кінетичну енергію E=mv 2 /2.

Потенціальна енергія– це механічна енергія системи тіл, які взаємодіють за допомогою силових полів, наприклад, за допомогою гравітаційних сил. Робота, що здійснюється цими силами, при переміщенні тіла з одного положення до іншого не залежить від траєкторії руху, а залежить тільки від початкового та кінцевого положення тіла у силовому полі.

Такі силові поля називають потенційними, а сили, які у них, – консервативними.Гравітаційні сили є консервативними силами, а потенційна енергія тіла є масою m,піднятого на висоту hнад поверхнею Землі, дорівнює

Е піт = mgh,

де g- прискорення вільного падіння.

Повна механічна енергія дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергії:

E= Е кін + Е піт

Закон збереження механічної енергії(1686 р., Лейбніц) говорить, що у системі тіл, між якими діють лише консервативні сили, повна механічна енергія зберігається незмінною у часі. При цьому можуть відбуватися перетворення кінетичної енергії на потенційну і назад в еквівалентних кількостях.

Існують ще один вид систем, у яких механічна енергія може зменшуватися за рахунок перетворення на інші форми енергії. Наприклад, під час руху системи з тертям частина механічної енергії зменшується за рахунок тертя. Такі системи називаються дисипативними,тобто системами, що розсіюють механічну енергію. У таких системах закон збереження повної механічної енергії несправедливий. Однак при зменшенні механічної енергії завжди виникає еквівалентна цього зменшення кількість енергії іншого виду. Таким чином, енергія ніколи не зникає і не з'являється знову, вона лише перетворюється з одного виду на інший.Тут проявляється властивість незнищенності матерії та її руху.

Подивимося тепер, що виходить у разі великої кількості частинок, тобто коли тіло складається з безлічі частинок з безліччю сил, що діють між ними та ззовні. Зрозуміло, ми вже знаємо, що момент сили, що діє на будь-яку i-ю частинку (тобто твір сили, що діє на i-ю частинку, на її плече), дорівнює швидкості зміни моменту кількості руху цієї частки, а момент кількості руху i-й частинки своєю чергою дорівнює добутку імпульсу частки з його плече. Припустимо, що ми склали моменти сил x i всіх частинок і назвали це повним моментом сил τ. Ця величина повинна дорівнювати швидкості зміни суми моментів кількості руху всіх частинок L i . Цю суму можна прийняти за визначення нової величини, яку ми назвемо повним моментом кількості руху L. Так само, як імпульс тіла дорівнює сумі імпульсів складових його частинок, момент кількості руху тіла теж дорівнює сумі моментів складових його частинок. Таким чином, швидкість зміни повного моменту кількості руху L дорівнює повному моменту сил.

З незвички може здатися, що повний момент сил - дуже складна штука. Адже треба враховувати усі внутрішні та зовнішні сили. Однак якщо ми згадаємо, що за законом Ньютона сили дії та протидії не тільки рівні, а й (що особливо важливо!) діють по одній і тій же прямій у протилежних напрямках (неважливо, чи говорив про це сам Ньютон чи ні, неявно він мав на увазі це), то два моменти внутрішніх сил між двома взаємодіючими частинками повинні дорівнювати один одному і спрямовані протилежно, оскільки для будь-якої осі плечі їх будуть однакові. Тому всі внутрішні моменти сил взаємно скорочуються і виходить чудова теорема: швидкість зміни моменту кількості руху щодо будь-якої осі дорівнює моменту зовнішніх сил щодо цієї осі!

Особливо важливим окремим випадком цієї теореми є закон збереження моменту кількості руху, який говорить: якщо систему частинок не діють ніякі зовнішні моменти сил, її момент кількості руху залишається постійним.

Розглянемо один дуже важливий окремий випадок набору частинок, коли вони утворюють тверде тіло, тобто об'єкт, який завжди має певну форму та геометричний розмір і може лише крутитись навколо якоїсь осі. Будь-яка частина такого об'єкта будь-якої миті часу розташована однаковим чином щодо інших його частин. Спробуємо знайти повний момент кількості руху твердого тіла. Якщо маса i-ї частинки його дорівнює m i , а положення її (x i , y i), то завдання зводиться до визначення моменту кількості руху цієї частки, оскільки повний момент кількості руху дорівнює сумі моментів кількості руху всіх таких частинок, що утворюють тіло. Для рухомої по колу точки кількості руху дорівнює, звичайно, добутку її маси на швидкість і на відстань до осі обертання, а швидкість у свою чергу дорівнює кутової швидкості, помноженої на відстань до осі:

Між масою та моментом інерції є суттєва різниця, яка проявляється дивовижним чином. Справа в тому, що маса об'єкта зазвичай не змінюється, тоді як момент інерції легко змінити. Уявіть собі, що ви стали на стіл, який може обертатися без тертя, і тримайте в витягнутих руках гантелі, а самі повільно крутитеся. Можна легко змінити момент інерції, зігнувши руки; при цьому наша маса залишиться тією самою. Коли ми зробимо все це, то закон збереження моменту кількості руху творитиме чудеса, станеться щось дивовижне. Якщо моменти зовнішніх сил дорівнюють нулю, то момент кількості руху дорівнює моменту інерції I 1 , помноженому на кутову швидкість ω 1 , тобто ваш момент кількості руху дорівнює I 1 ω 1 . Зігнувши руки, ви тим самим зменшили момент інерції до величини I 2 . Але оскільки закону збереження моменту кількості руху твір /з повинен залишитися тим самим, то I 1 ω 1 має бути дорівнює I 2 ω 2 . Так що якщо ви зменшили момент інерції, то ваша кутова швидкість внаслідок цього має зрости.