Закон інерції квадратичних форм. Написати матрицю квадратичної форми

Отже, згідно з теоремою про приведення квадратичної форми, для будь-якої квадратичної форми \(A(x,x)\) існує канонічний базис \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\)\), так що для будь-якого вектора \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] Оскільки \(A(x,x)\) речовинно-значна, і наші заміни базису також включають лише речові числа, приходимо до висновку, що числа \(\lambda _k\) є речовинними. Серед цих чисел є позитивні, негативні та рівні нулю.

Визначення. Число \(n_+\) позитивних чисел \(\lambda _k\) називається позитивним індексом квадратичної форми \(A(x,x)\) , число \(n_-\) негативних чисел \(\lambda _k\) називається негативним індексом квадратичної форми число \((n_++n_-)\) називається рангом квадратичної форми . Якщо \(n_+=n\), квадратична форма називається позитивною .

Взагалі, приведення квадратичної форми до діагонального вигляду реалізується не єдиним чином. Виникає питання: чи залежать числа \(n_+\), \(n_-\) від вибору базису, в якому квдратична форма діагональна?

Теорема (Закон інерції квадратичних форм). Позитивний та негативний індекси квадратичної форми не залежать від способу приведення її до канонічного вигляду.

Нехай є два канонічні базиси, \(\(f\)\), \(\(g\)\), так що будь-який вектор \(x\) представляється у вигляді: \[ x=\sum_(k=1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] причому \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k^2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Нехай серед \(\lambda _k\) перші \(p\) позитивні, інші або негативні, або нулі, серед \(\mu_m\) перші \(s\) позитивні, інші або негативні, чи нульові. Нам необхідно довести, що (p = s). Перепишемо (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] так що всі доданки в обох частинах рівності невід'ємні. Припустимо, що (p) і (s) не рівні, наприклад, (p)

Ми довели, що збігаються позитивні індекси. Аналогічно можна довести, що збігаються і негативні індекси. ч.т.д.

1. Перетворити на суму квадратів квадратичні форми:

а) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

Концепція квадратичні форми. Матриця квадратичних форм. Канонічний вигляд квадратичного форми. Метод Лагранжа. Нормальний вигляд квадратичного форми. Ранг, індекс та сигнатура квадратичної форми. Позитивно певна квадратична форма. Квадрики.

Поняття квадратичної форми:функція на векторному просторі, що задається однорідним багаточленом другого ступеня координат вектора.

Квадратичною формою від nневідомих називається сума, кожне доданок якої є або квадратом однієї з цих невідомих, або твором двох різних невідомих.

Матриця квадратичної форми:Матрицю називають матрицею квадратичної форми у даному базисі. Якщо характеристика поля не дорівнює 2, можна вважати, що матриця квадратичної форми симетрична, тобто .

Написати матрицю квадратичної форми:

Отже,

У векторно-матричній формі квадратична форма має вигляд:

Канонічний вигляд квадратичної форми:Квадратична форма називається канонічною, якщо всі тобто.

Будь-яку квадратичну форму можна привести до канонічного виду за допомогою лінійних перетворень. Насправді зазвичай застосовують такі методи.

Метод Лагранжа : Послідовне виділення повних квадратів. Наприклад, якщо

Потім подібну процедуру роблять з квадратичною формою і т. д. Якщо в квадратичній формі все але є то після попереднього перетворення справа зводиться до розглянутої процедури. Так, якщо, наприклад, то вважаємо

Нормальний вигляд квадратичної форми:Нормальною квадратичною формою називається така канонічна квадратична форма, яка має всі коефіцієнти рівні +1 або -1.

Ранг, індекс та сигнатура квадратичної форми:Рангом квадратичної форми Аназивається ранг матриці А. Ранг квадратичної форми не змінюється при невироджених перетвореннях невідомих.

Кількість негативних коефіцієнтів називається негативним індексом форми.

Число позитивних членів у канонічному вигляді називається позитивним індексом інерції квадратичної форми, число негативних членів – негативним індексом. Різниця між позитивним та негативним індексами називається сигнатурою квадратичної форми

Позитивно визначена квадратична форма:Речовинна квадратична форма називається позитивно визначеною (негативно визначеною), якщо за будь-яких не рівних одночасно нулю речових значеннях змінних

В цьому випадку матриця також називається позитивно визначеною (негативно визначеною).

Клас позитивно визначених (негативно визначених) форм є частиною класу невід'ємних (відповідно непозитивних) форм.

Квадрики:Квадрик — n-мірна гіперповерхня в n+1-мірному просторі, задана як безліч нулів багаточлена другого ступеня. Якщо ввести координати ( x 1 , x 2 , x n+1) (в евклідовому або афінному просторі), загальне рівняння квадрики має вигляд

Це рівняння можна переписати компактніше в матричних позначеннях:

де x = ( x 1 , x 2 , x n+1) - вектор-рядок, x T - транспонований вектор, Q- матриця розміру ( n+1)×( n+1) (передбачається, що хоча б один її елемент ненульовий), P- Вектор-рядок, а R- Константа. Найчастіше розглядають квадрики над дійсними чи комплексними числами. Визначення можна розповсюдити на квадрики у проективному просторі, див. нижче.

Більше загально, безліч нулів системи поліноміальних рівнянь відоме як алгебраїчне різноманіття. Таким чином, квадрика є (афінним або проектним) алгебраїчним різноманіттям другого ступеня та корозмірності 1.

Перетворення площини та простору.

Визначення перетворення площини. Визначення руху. характеристики руху. Два види рухів: рух I роду та рух II роду. Приклади рухів. Аналітичний вираз руху. Класифікація рухів площини (залежно від наявності нерухомих точок та інваріантних прямих). Група рухів площині.

Визначення перетворення площини: Визначення.Перетворення площини зберігає відстань між точками називається рухом(або переміщенням) площини. Перетворення площини називається афіннимякщо воно будь-які три точки, що лежать на одній прямій перекладає в три точки також лежать на одній прямій і при цьому зберігає просте відношення трьох точок.

Визначення руху:це перетворення фігур, у якому зберігаються відстані між точками. Якщо дві фігури точно поєднати одна з одною у вигляді руху, ці фігури однакові, рівні.

Властивості руху:всяке що зберігає орієнтацію рух площини є або паралельним переносом, або поворотом, всяке змінює орієнтацію рух площини або осьової симетрією, або ковзної симетрією. Точки, що лежать на прямій, під час руху переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їхнього взаємного розташування. Під час руху зберігаються кути між напівпрямими.

Два види рухів: рух I роду та рух II роду:Рухи першого роду – такі рухи, які зберігають орієнтацію базисів якоїсь фігури. Вони можуть бути реалізовані безперервними рухами.

Рухи другого роду – такі рухи, які змінюють орієнтацію базисів на протилежну. Вони можуть бути реалізовані безперервними рухами.

Прикладами рухів першого роду є перенесення та поворот навколо прямої, а рухами другого роду – центральна та дзеркальна симетрії.

Композицією будь-якої кількості рухів першого роду є рух першого роду.

Композиція парного числа рухів другого роду є рухом 1 роду, а композиція непарного числа рухів 2 роду - рух 2 роду.

Приклади рухів:Паралельне перенесення. Нехай а – цей вектор. Паралельним перенесенням на вектор називається відображення площини на себе, при якому кожна точка М відображається в точку М 1 , що вектор MМ 1 дорівнює вектору а.

Паралельний перенесення є рухом, оскільки є відображенням площини на себе, що зберігає відстані. Наочно цей рух можна як зрушення всієї площині у бік даного вектора але в його довжину.

Поворот.Позначимо на площині точку О ( центр повороту) і задаємо кут α ( кут повороту). Поворотом площини навколо точки О на кут α називається відображення площини на себе, при якому кожна точка М відображається в точку М 1 , що ГМ = ОМ 1 і кут MOМ 1 дорівнює α. При цьому точка О залишається на своєму місці, тобто відображається сама в себе, а всі інші точки повертаються навколо точки О в однаковому напрямку - за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки (на малюнку зображено поворот проти годинникової стрілки).

Поворот є рухом, оскільки є відображенням площини на себе, при якому зберігаються відстані.

Аналітичний вираз руху:аналітичний зв'язок між координатами прообразу і образу точки має вигляд (1).

Класифікація рухів площини (залежно від наявності нерухомих точок та інваріантних прямих): Визначення:

Точка площини інваріантної (нерухомої), якщо при цьому перетворенні вона переходить у себе.

Приклад: При центральній інваріантній симетрії є точка центру симетрії. При повороті інваріантним є точка центру повороту. При осьовій симетрії інваріантною є пряма – вісь симетрії – це пряма інваріантна точка.

Теорема: Якщо рух не має жодної інваріантної точки, то він має хоча б один інваріантний напрямок.

Приклад: Паралельне перенесення. Справді, прямі, паралельні цьому напрямку інваріантних як фігура загалом, хоча складається з інваріантних точок.

Теорема: Якщо рухається якийсь промінь, промінь переводить у себе, це рух або тотожне перетворення, або симетрія щодо прямої містить даний промінь.

Тому за наявності інваріантних точок чи фігур можна провести класифікацію рухів.

Група рухів площини:У геометрії важливу роль відіграють групи самосуміщень фігур. Якщо - деяка фігура на площині (або в просторі), то можна розглянути безліч тих рухів площини (або простору), при яких фігура переходить у себе.

Ця множина є групою. Наприклад, для рівностороннього трикутника група рухів площини, що переводять трикутник у себе, складається з 6 елементів: поворотів на кути навколо точки та симетрій щодо трьох прямих.

Вони зображені на рис. 1 червоні лінії. Елементи групи самосуміщень правильного трикутника можуть бути задані інакше. Щоб пояснити це, пронумеруємо вершини правильного трикутника числами 1, 2, 3. Будь-яке самосуміщення трикутника переводить точки 1, 2, 3 у самі точки, але взяті іншому порядку, тобто. може бути умовно вписано у вигляді однієї з таких дужок:

де числами 1, 2, 3 позначені номери тих вершин, які переходять вершини 1, 2, 3 в результаті аналізованого руху.

Проективні простори та їх моделі.

Поняття проективного простору та моделі проективного простору. Основні факти проектної геометрії. Зв'язка прямих із центром у точці O-модель проективної площини. Проектні точки. Розширена площина – модель проективної площини. Розширений тривимірний афінний або евклідовий простір - модель проективного простору. Зображення плоских та просторових фігур при паралельному проектуванні.

Поняття проективного простору та моделі проективного простору:

Проективний простір над полем - простір, що складається з прямих (одномірних підпросторів) деякого лінійного простору над цим полем. Прямі простори називаються точкамипроектного простору. Це визначення піддається узагальнення на довільне тіло

Якщо має розмірність , то розмірністю проектного простору називається число , а саме проективне простір позначається і називається асоційованим з (щоб це вказати прийнято позначення ).

Перехід від векторного простору розмірності до відповідного проектного простору називається проективізацієюпростору.

Крапки можна описувати за допомогою однорідних координат.

Основні факти проективної геометрії:Проективна геометрія - розділ геометрії, що вивчає проектні площини та простори. Головна особливість проективної геометрії полягає в принципі подвійності, який додає витончену симетрію у багато конструкцій. Проективна геометрія може вивчатися як з чисто геометричної точки зору, так з аналітичної (за допомогою однорідних координат) та салгебраїчної, розглядаючи проектну площину як структуру над полем. Часто, і історично, речовинна проектна площина сприймається як Евклідова площину з додаванням «прямий у нескінченності».

Тоді як властивості постатей, з якими має справу Евклідова геометрія, є метричними(конкретні величини кутів, відрізків, площ), а еквівалентність фігур рівнозначна їх конгруентності(тобто коли фігури можуть бути переведені одна в іншу за допомогою руху із збереженням метричних властивостей), існують "глибоко лежачі" властивості геометричних фігур, які зберігаються при перетвореннях більш загального типу, ніж рух. Проективна геометрія займається вивченням властивостей фігур, інваріатних при класі проективних перетворень, і навіть самих цих перетворень.

Проективна геометрія доповнює Евклідову, надаючи гарні та прості рішення для багатьох завдань, ускладнених присутністю паралельних прямих. Особливо проста і витончена проектна теорія конічних перерізів.

Є три основні підходи до проектної геометрії: незалежна аксіоматизація, доповнення Евклідова геометріяі структури над полем.

Аксіоматизація

Проективний простір можна визначити за допомогою різного набору аксіом.

Коксетер надає такі:

1. Існує пряма та точка не на ній.

2. На кожній прямій є принаймні три точки.

3. Через дві точки можна провести одну пряму.

4. Якщо A, B, C, і D— різні точки та ABі CDперетинаються, то ACі BDперетинаються.

5. Якщо ABC- площина, то існує принаймні одна точка не в площині ABC.

6. Дві різні площини перетинаються принаймні у двох точках.

7. Три діагональні точки повного чотирикутника не колінеарні.

8. Якщо три точки на прямій X X

Проективна площина (без третього виміру) визначається дещо іншими аксіомами:

1. Через дві точки можна провести одну пряму.

2. Будь-які дві прямі перетинаються.

3. Існує чотири точки, з яких немає трьох колінеарних.

4. Три діагональні точки повних чотирикутників не колінеарні.

5. Якщо три точки на прямій Xінваріантні по відношенню до проективності φ, то всі точки на Xінваріантні щодо φ.

6. Теорема ДезаргуЯкщо два трикутники перспективні крізь точку, то вони перспективні крізь пряму

За наявності третього виміру, теорема Дезарга може бути доведена без введення ідеальної точки і прямої.

Розширена площина – модель проективної площини:візьмемо в афінному просторі A3 зв'язку прямих S(O) з центром у точці O та площину Π, що не проходить через центр зв'язки: O 6∈ Π. Зв'язування прямих у афінному просторі є моделлю проектної площини. Задамо відображення безлічі точок площини Π на безліч прямих зв'язки S (Бля, молись якщо дісталося це питання, вибач)

Розширений тривимірний афінний або евклідовий простір - модель проективного простору:

Для того щоб зробити відображення сюр'єктивним, повторимо процес формального розширення афінної площини Π до площини проективної, Π, доповнюючи площину Π безліччю невласних точок (M∞) таким, що: ((M∞)) = P0(O). Оскільки у відображенні прообразом кожної площини зв'язки площин S(O) є пряма на площині d, то очевидно, що безліч усіх невласних точок розширеної площини: Π = Π ∩ (M∞), (M∞), являє собою невласну пряму d∞ розширеною плоскості, яка є прообразом особливої ​​площини Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Договоримося, що остання рівність P0(O) = Π0 тут і надалі ми розумітимемо у сенсі рівності множин точок, але наділених різною структурою. Доповнивши афінну площину невласної прямої, ми домоглися того, що відображення (I.21) стало бієктивним на безлічі всіх точок розширеної площини:

Зображення плоских та просторових фігур при паралельному проектуванні:

У стереометрії вивчаються просторові фігури, проте на кресленні вони зображаються як плоских фігур. Яким чином слід зображати просторову фігуру на площині? Зазвичай у геометрії цього використовується паралельне проектування. Нехай p - деяка площина, l- Пряма, що перетинає її (рис. 1). Через довільну точку A, що не належить прямої l, проведемо пряму, паралельну прямий l. Точка перетину цієї прямої з площиною p називається паралельною проекцією точки Aна площину p у напрямі прямої l. Позначимо її A". Якщо точка Aналежить прямий l, то паралельною проекцією Aна площину p вважається точка перетину прямої lіз площиною p.

Таким чином, кожній точці Aпростору зіставляється її проекція Aна площину p. Ця відповідність називається паралельним проектуванням на площину p у напрямку прямої l.

Група проектних перетворень. Додаток до розв'язання задач.

Концепція проектного перетворення площини. Приклади проектних перетворень площини. Властивості проектних перетворень. Гомологія, властивості гомології. Група проектних перетворень.

Поняття проектного перетворення площини:Поняття проективного перетворення узагальнює поняття центральної проекції. Якщо виконати центральну проекцію площини α на деяку площину α 1 , то проекцію α 1 на α 2 , α 2 на α 3 , … і, нарешті, якійсь площині α nзнову на α 1 то композиція всіх цих проекцій і є проективне перетворення площини α; в такий ланцюжок можна включити іпаралельні проекції.

Приклади проективних перетворень площини:Проективним перетворенням поповненої площини називається її взаємно-однозначне відображення він, у якому зберігається колінеарність точок, чи, інакше кажучи, чином будь-який прямий є пряма. Будь-яке проектне перетворення є композиція ланцюжка центральних і паралельних проекцій. Афінне перетворення - це окремий випадок проективного, при якому нескінченно віддалена пряма переходить сама в себе.

Властивості проективних перетворень:

При проективному перетворенні три точки, що не лежать на прямій, переходять у три точки, що не лежать на прямій.

При проективному перетворенні репер перетворюється на репер.

При проективному перетворенні пряма перетворюється на пряму, пучок перетворюється на пучок.

Гомологія, властивості гомології:

Проективне перетворення площини, що має пряму інваріантну точку, а значить, і пучок інваріантних прямих називається гомологією.

1. Пряма, що проходить через відповідні точки гомології, що не співпадають, є інваріантною прямою;

2. Прямі, що проходять через відповідні точки гомології, що не співпадають, належать одному пучку, центр якого є інваріантною точкою.

3. Крапка, її образ та центр гомології лежать на одній прямій.

Група проектних перетворень:розглянемо проектне відображення проективної площини P 2 на себе, тобто проективне перетворення цієї площини (P 2 ' = P 2).

Як і раніше, композицією f проективних перетворень f 1 і f 2 проективної площини P 2 назвемо результат послідовного виконання перетворень f 1 і f 2: f = f 2 °f 1 .

Теорема 1: безліч всіх проективних перетворень проективної площини P 2 є групою щодо композиції проективних перетворень.

§ 4. Закон інерції квадратичних форм. Класифікація квадратичних форм

1. Закон інерції квадратичних форм. Ми вже відзначали (див. зауваження 2 п. 1 попереднього параграфа), що ранг квадратичної форми дорівнює числу відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів. Отже, число відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів залежить від вибору невиродженого перетворення, з допомогою якого форма А(х, х) наводиться канонічного виду. Насправді за будь-якого способу приведення форми А(х, х) до канонічного виду не змінюється число позитивних і негативних канонічних коефіцієнтів. Ця властивість називається законом інерції квадратичних форм.
Перш ніж перейти до обґрунтування закону інерції, зробимо деякі зауваження.
Нехай форма А(х, х) у базисі е = (е 1 , е 2 ,..., е n ) визначається матрицею А(е) = (а ij ):

де ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n - координати вектора х у базисі е. Припустимо, що ця форма за допомогою невиродженого перетворення координат наведена до канонічного виду

причому λ 1 , λ 2 ,..., λ k- відмінні від нуля канонічні коефіцієнти, занумеровані так, що перші з цих коефіцієнтів q позитивні, а наступні коефіцієнти - негативні:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λ q+1< 0, ..., λ k <0.

Розглянемо наступне невироджене перетворення координат μ i (легко бачити, що визначник цього перетворення відмінний від нуля):

В результаті цього перетворення форма А(х, х) набуде вигляду

званий нормальним видом квадратичної форми.
Отже, за допомогою деякого невиродженого перетворення координат ξ 1 , ξ 2 , ..., n вектора х в базисі е = (е 1 , е 2 ,..., е n )

(це перетворення є твір перетворень ξ в μ і μ в η за формулами (7.30)) квадратична форма може бути приведена до нормального вигляду (7.31).
Доведемо таке твердження.
Теорема 7.5 (закон інерції квадратичних форм). Число доданків з позитивними (негативними) коефіцієнтами в нормальному вигляді квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до цього виду.
Доказ. Нехай форма А(х, х) за допомогою невиродженого перетворення координат (7.32) наведена до нормального вигляду (7.31) та за допомогою іншого невиродженого перетворення координат наведена до нормального вигляду

Вочевидь, на доказ теореми досить переконатися у справедливості рівності р = q.
Нехай р> q. Переконаємося, що в цьому випадку є ненульовий вектор х такий, що по відношенню до базисів, у яких форма А(х, х) має вигляд (7.31) та (7.33), координати η 1 , η 2 , ..., η q та ζ р+1 , ..., ζ nцього вектора дорівнюють нулю:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)

Оскільки координати η iотримані шляхом невиродженого перетворення (7.32) координат ξ 1 , ..., ξ n а координати ζ i- за допомогою аналогічного невиродженого перетворення цих координат ξ 1 , ..., ξ n , то співвідношення (7.34) можна розглядати як систему лінійних однорідних рівнянь щодо координат ξ 1 , ..., ξ n шуканого вектора х в базисі е = ( е 1 , е 2 ,..., е n ) (наприклад, у розгорнутому вигляді співвідношення η 1 = 0 має, згідно (7.32), вид а 11 ξ 1 + а 12 ξ 2 + а 1 n ξ n= 0)- Так як р > q, то число однорідних рівнянь (7.34) менше n і тому система (7.34) має ненульове рішення щодо координат ξ 1 , ..., ξ n шуканого вектора х. Отже, якщо р > q існує ненульовий вектор х, для якого виконуються співвідношення (7.34).
Підрахуємо значення форми А(х, х) цього вектора х. Звертаючись до співвідношень (7.31) та (7.33), отримаємо

Остання рівність може мати місце лише у разі η q+1 = ... = η k = 0 і ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Таким чином, у деякому базисі всі координати ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ nненульового вектора х рівні нулю (див. останні рівність і співвідношення (7.34)), тобто. вектор х дорівнює нулю. Отже, припущення р > q веде до суперечності. За аналогічними міркуваннями веде до суперечності та припущення р< q.
Отже, р = q. Теорему доведено.
2. Класифікація квадратичних форм. У п. 1 §2 цього розділу (див. визначення 2) були введені поняття позитивно визначеної, негативно визначеної, знакозмінної та квазізнаковизначеної квадратичних форм.
У цьому пункті за допомогою понять індексу інерції, позитивного та негативного індексів інерції квадрата форми ми вкажемо, яким чином можна з'ясувати належність квадратичної форми до того чи іншого з наведених вище типів. При цьому індексом інерції квадратичної форми називатимемо число відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів цієї форми (тобто її ранг), позитивним індексом інерції – число позитивних канонічних коефіцієнтів, негативним індексом інерції – число негативних канонічних коефіцієнтів. Зрозуміло, що сума позитивного та негативного індексів інерції дорівнює індексу інерції.
Отже, нехай індекс інерції, позитивний і негативний індекси інерції квадратичної форми А(х, х) відповідно дорівнюють k, p і q (k = p + q).B попередньому пункті було доведено, що в будь-якому канонічному базисі f = (f , f 2 , ..., fn) ця форма може бути наведена до наступного нормального вигляду:

де η 1 , η 2 ..., η n - координати вектора х у базисі f .
1°. Необхідна та достатня умова знаковизначеності квадратичної форми. Справедливим є наступне твердження.
Для того щоб квадратична форма А(х, х), задана в n-мірному лінійному просторі L, була знаковизначеною, необхідно і достатньо, щоб або позитивний індекс інерції р, або негативний індекс інерції q дорівнював розмірності n простору L.
При цьому, якщо р = n то форма позитивно визначена, якщо ж q = n, то форма негативно визначена.
Доказ. Так як випадки позитивно визначеної форми та негативно визначеної форми розглядаються аналогічно, то доказ затвердження проведемо для позитивно визначених форм.
1) Необхідність. Нехай форму А(х, х) позитивно визначено. Тоді вираз (7.35) набуде вигляду

А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 .

Якщо при цьому р< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

форма А(х, х) перетворюється на нуль, але це суперечить визначенню позитивно визначеної квадратичної форми. Отже, р = n.
2) Достатність. Нехай р = n. Тоді співвідношення (7.35) має вигляд А(х, х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 . Ясно, що А(х, х) ≥ 0, причому якщо А = 0, то η 1 = η 2 = ... = η n= 0, тобто вектор х нульовий. Отже, А(х, х) – позитивно певна форма.
Зауваження. Для з'ясування питання знаковизначеності квадратичної форми за допомогою зазначеної ознаки ми повинні привести цю форму до канонічного виду.
У наступному пункті ми доведемо критерій Сільвестру знаковизначеності квадратичної форми, за допомогою якого можна з'ясувати питання про знаковизначеність форми, заданої в будь-якому базисі без приведення до канонічного виду.
2°. Необхідна та достатня умова знакозмінності квадратичної форми. Доведемо таке твердження.
Для того, щоб квадратична форма була знакозмінною, необхідно і достатньо, щоб як позитивний, так і негативний індекси інерції цієї форми були відмінними від нуля.
Доказ. 1) Необхідність. Оскільки знакозмінна форма приймає як позитивні, і негативні значення, її уявлення G.35) у нормальному вигляді має містити як позитивні, і негативні доданки (інакше ця форма приймала б або неотрицательные, або непозитивні значення). Отже, як позитивний, і негативний індекси інерції відмінні від нуля.
2) Достатність. Нехай р ≠ 0 і q ≠ 0. Тоді для вектора x 1 з координатами η 1 ≠ 0, ..., η р ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0маємо А(х 1 x 1) > 0, а для вектора х 2 із координатами η 1 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0маємо А(х 2, х 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3 °. Необхідна і достатня умова квазізнаковизначеності квадратичної форми. Справедливим є наступне твердження.
Для того щоб форма А(х, х) була квазізнаковизначеною, необхідно і достатньо, щоб виконувались співвідношення: або р< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Доказ. Ми розглянемо випадок позитивно квазізнаковизначеної форми. Випадок негативно квазізнаковизначеної форми розглядається аналогічно.
1) Необхідність. Нехай форма А(х, х) позитивно квазізнаковизначена. Тоді, очевидно, q = 0 і р< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Достатність. Якщо р< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0маємо А(х, х) = 0, тобто. А(х, х) - позитивно квазізнаковизначена форма.
3. Критерій Сільвестра (Джемс Джозеф Сільвестр (1814-1897) – англійський математик) знаковизначеності квадратичної форми. Нехай форма А(х, х) у базисі е = (е 1 , е 2 ,..., е n ) визначається матрицею А(е) = (а ij ):

і нехай Δ 1 = а 11 , - кутові мінори та визначник матриці (а ij). Справедливим є наступне твердження.
Теорема 7.6 (Критерій Сільвестру). Для того, щоб квадратична форма А(х, х) була позитивно визначеною, необхідно і достатньо, щоб були виконані нерівності Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0.
Для того, щоб квадратична форма була негативно визначеною, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувалися, причому Δ 1< 0.
Доказ. 1) Необхідність. Доведемо спочатку, що з умови знаковизначеності квадратичної форми А(х, х) випливає Δ i ≠ 0, i = 1, 2, ..., n.
Переконаємося, що припущення Δ k= 0 веде до суперечності - при цьому припущенні існує ненульовий вектор х, для якого А (х, х) = 0, що суперечить знаковизначеності форми.
Отже, нехай Δ k= 0. Розглянемо наступну квадратну однорідну систему лінійних рівнянь:

Оскільки Δ k- визначник цієї системи та Δ k= 0, система має ненульове рішення ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k (не всі ξ i рівні 0). Помножимо перше з рівнянь (7.36) на ξ 1 , друге на ξ 2 ..., останнє на ξ k і складемо отримані співвідношення. В результаті отримаємо рівність , ліва частина якого є значенням квадратичної форми А(х, х) для ненульового вектора х з координатами (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k , 0, ..., 0 ). Це значення дорівнює нулю, що суперечить знаковизначеності форми.
Отже, ми переконалися, що Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n. Тому ми можемо застосувати метод Якобі приведення форми А(х, х) до суми квадратів (див. теорему 7.4) та скористатися формулами (7.27) для канонічних коефіцієнтів λ i. Якщо А(х, х) - позитивно певна форма, всі канонічні коефіцієнти позитивні. Але тоді із співвідношень (7.27) випливає, що Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Якщо ж А(х, х) – негативно визначена форма, то всі канонічні коефіцієнти негативні. Але тоді формул (7.27) випливає, що знаки кутових мінорів чергуються, причому Δ 1< 0.
2) Достатність. Нехай виконані умови, накладені на кутові мінори Δ iу формулюванні теореми. Оскільки Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n , то форму А можна призвести до суми квадратів методом Якобі (див. теорему 7.4), причому канонічні коефіцієнти λ iможуть бути знайдені за формулами (7.27). Якщо Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, то із співвідношень (7.27) випливає, що всі λ i> 0, т. е. форма А(х, х) позитивно визначена. Якщо ж знаки Δ iчергуються та Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Вересень виявився успішним місяцем для всіх класів активів. За оцінками "Грошей", майже всі інвестиції забезпечили позитивний результат. У цьому найвищий дохід принесли вкладення золото, які виграли від зростання вартості дорогоцінного металу, а й від послаблення рубля. Високий прибуток принесли інвесторам основні категорії ПІФів, депозити, а також більшість російських акцій. Збитковими стали популярні останніми роками фонди облігацій, а також акції Ощадбанку, які найсильніше можуть постраждати у разі посилення санкцій США.

Віталій Капітонов

Через п'ять місяців найприбутковішою інвестицією за місяць стало золото. За оцінкою "Грошей", вклавши 15 серпня в дорогоцінний метал 100 тис. руб., Інвестор міг отримати через місяць майже 5 тис. руб. доходу. Це другий за величиною місячний результат цього року. Більше інвестор міг заробити у квітні - 9,3 тис. руб.

Висока дохідність вкладень у шляхетний метал лише частково пов'язана зі зростанням його ціни. З середини серпня вартість золота зросла на 2,4%, до $1205 за тройську унцію. Це стало відображенням інфляційних очікувань у США. За даними Міністерства торгівлі США, інфляція в країні сповільнилася з 2,9% у липні до 2,7% у серпні, але залишається вищою за цілі ФРС. Таким чином, інфляція продовжує зростати, що дозволить ФРС підвищувати ставку без різких змін. Підтримку дорогоцінного металу надали новини про те, що влада США і Канади продовжує робити спроби знайти компроміс за новою угодою НАФТА. "Ці новини знижують стурбованість щодо торговельних відносин, яка чинила тиск на ринок золота і підтримувала долар", - зазначає стратег з операцій на товарно-сировинних ринках Sberbank Investment Research Михайло Шейбе. Ефект зростання цін на золото був посилений зростанням курсу долара в Росії (+2,5%). В результаті рублеві інвестиції в дорогоцінний метал принесли значний дохід.

Втім, до подальших інвестицій у золото варто ставитись з обережністю, вважають учасники ринку. Ключовим ризиком для інвестицій у шляхетний метал залишається ескалація торговельного протистояння між США та Китаєм. "Фактор політичного тиску виключений, а це означає, що поява нових бар'єрів - справа практично вирішена. Такий розвиток подій негативний для золота, оскільки зросте попит на долар як на захисний актив", - вважає Михайло Шейбе.

Який дохід принесли вкладення у золото (%)

Джерела: Bloomberg, Reuters, Ощадбанк.

Серед найбільш прибуткових фінансових продуктів залишаються пайові інвестиційні фонди, а окремі продукти управляючих компаній змогли забезпечити маржу, що перевищує показник золота. У жовтні найуспішнішими виявилися вкладення у галузеві фонди акцій, орієнтовані на металургійні, телекомунікаційні та нафтогазові компанії. За оцінкою "Грошей", заснованої на даних Investfunds, за підсумками місяця вкладення такі фонди принесли б приватним інвесторам від 2,2 тис. руб., До 5,2 тис. руб.

Високий заробіток забезпечили інші категорії фондів: індексні фонди, змішаних інвестицій, єврооблігацій. Фонди цих категорій змогли б принести своїм інвесторам від 200 руб. до 4 тис. руб. на 100 тис. вкладень.

Негативний результат принесли облігаційні фонди, що полюбилися приватним інвесторам. Фонди цієї категорії належать до консервативних, тому втрати приватних інвесторів були символічними - до 1 тис. руб. За таких умов інвестори почали фіксувати прибуток у облігаційних фондах. За даними Investfunds, у серпні роздрібні інвестори вивели з облігаційних фондів 4 млрд руб. Швидше вони забирали із фондів цієї категорії у грудні 2014 року. Тоді на тлі девальвації курсу рубля та стрімкого зростання ставок на внутрішньому ринку інвестори вивели із фондів понад 4,5 млрд руб.

Вивільнену ліквідність інвестори частково спрямовують для придбання більш ризикованих фондів акцій. Обсяг вкладених коштів у фонди цієї категорії у серпні перевищив 3,5 млрд руб., що на 500 млн руб. більше обсягу залучень у липні. Попит на ризикові стратегії зростає вже шостий місяць поспіль, а обсяг вкладень займає дедалі більшу частку загальному припливу роздрібні фонди. Найбільшим попитом в інвесторів користуються фонди телекомунікацій та нафтогазу.

Який дохід принесли вкладення пайових фондів (%)

Джерела: Національна ліга керівників, Investfunds.

Серпневі аутсайдери - акції - піднялися на третє місце з четвертого рейтингу "Грошей". За минулий місяць інвестиції в індекс ММВБ принесли роздрібним інвесторам 3,4 тис. руб. При цьому початок розглянутого періоду не віщувало такого високого результату. У період із 15 по 18 серпня індекс ММВБ знизився на 1,2%. Проте ситуація покращилася після 24 серпня. За три тижні індекс підскочив майже на 5% і піднявся до рівня 2374 пунктів. Це всього на 2 пункти нижче за історичний максимум, встановлений у березні.

Втім, у вересні багато фондових індексів країн і розвинених країн продемонстрували позитивну динаміку. За оцінками Bloomberg, російські індекси зросли у доларовому вираженні лише на 4,4%. Сильніше зростання продемонстрували лише турецькі індекси, що піднялися на 5,9-6,3%. Серед індикаторів розвинених країн лідером став італійський FTSE MIB, який за місяць додав 3,4%.

Найсильніше підросли акції АЛРОСА, "Газпрому", ГМК "Норільський нікель" та "Магніта": на цих паперах інвестор міг заробити 4,2-8,3 тис. руб. на кожну сотню тисяч інвестицій. За словами провідного аналітика ІК "Олма" Антона Старцева, інтерес інвесторів до паперів АЛРОСА підтримало висловлювання міністра фінансів Антона Силуанова про те, що компанія може спрямувати 75% чистого прибутку на виплату дивідендів.

Винятком із загальної картини стали акції "РусГідро", "Ростелекому", "Аерофлоту", інвестиції в які завдали б збитку в розмірі від 200 руб. до 1,4 тис. руб. Максимальні втрати виявилися б у інвесторів, які вклали гроші в цінні папери Ощадбанку - 2,1 тис. руб. Його акції залишаються під тиском коментарів чиновників Держдепартаменту США, які не відкидають можливості санкцій щодо банку в листопаді. Такі перспективи лякають міжнародних інвесторів і змушують їх виходити не лише з ОФЗ, а й із паперів банку.

Після обвалу у серпні та вересні акції Ощадбанку стали привабливими для інвестування, вважають аналітики. "Отскок у паперах найбільшого російського банку дуже ймовірний, і ризики їх покупок цілком виправдані. Середньостроковим інвесторам поки що слід орієнтуватися на фіксацію прибутку в районі 180 руб. за акцію", - вважає аналітик "АЛОР Брокер" Олексій Антонов.

Який дохід принесли вкладення в акції (%)