Визначення. Лінійною комбінацією векторів a 1 , ..., a n з коефіцієнтами x 1 , ..., x n називається вектор

x 1 a 1 + ... + x n a n.

тривіальноїякщо всі коефіцієнти x 1 , ..., x n рівні нулю.

Визначення. Лінійна комбінація x 1 a 1 + ... + x n a n називається нетривіальною, Якщо хоча б один з коефіцієнтів x 1, ..., x n не дорівнює нулю.

лінійно незалежними, якщо немає нетривіальної комбінації цих векторів рівної нульовому вектору .

Тобто вектора a 1 , ..., a n лінійно незалежні якщо x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тоді і лише тоді, коли x 1 = 0, ..., x n = 0.

Визначення. Вектори a 1 , ..., a n називаються лінійно залежнимиякщо існує нетривіальна комбінація цих векторів дорівнює нульовому вектору.

Властивості лінійно залежних векторів:

Для 2-х та 3-х мірних векторів.

Два лінійно залежні вектори - колінеарні. (Колінеарні вектори - лінійно залежні.) .

Для трьох мірних векторів.

Три лінійно залежні вектори - компланарні. (Три компланарні вектори - лінійно залежні.)

• Для n-мірних векторів.

  n + 1 вектор завжди лінійно залежні.

Приклади завдань на лінійну залежність та лінійну незалежність векторів:

Приклад 1. Перевірити чи вектори a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) лінійно незалежними.

Рішення:

Вектори будуть лінійно залежними, оскільки розмірність векторів менша за кількість векторів.

Приклад 2. Перевірити чи вектори a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) лінійно незалежними.

Рішення:

з першого рядка віднімемо другий; до третього рядка додамо другий:

Дане рішення показує, що система має безліч рішень, тобто існує не нульова комбінація значень чисел x 1 , x 2 x 3 таких, що лінійна комбінація векторів a , b , c дорівнює нульовому вектору, наприклад:

A + b + c = 0

а це означає вектори a, b, c лінійно залежні.

Відповідь:вектора a, b, c лінійно залежні.

Приклад 3. Перевірити чи вектори a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) лінійно незалежними.

Рішення:Знайдемо значення коефіцієнтів при якому лінійна комбінація цих векторів дорівнюватиме нульовому вектору.

Це векторне рівняння можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь

Вирішимо цю систему використовуючи метод Гауса

з другого рядка віднімемо перший; з третього рядка віднімемо перший:

з першого рядка віднімемо другий; до третього рядка додамо другий.

Система векторів , називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , серед яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівність https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" >.

Якщо ж ця рівність виконується тільки в тому випадку, коли всі , то система векторів називається лінійно незалежної.

Теорема.Система векторів буде лінійно залежноютоді й тільки тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших.

приклад 1.Багаточлен є лінійною комбінацією багаточленів. Багаточлени складають лінійно незалежну систему, так як багаточлен https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

приклад 2.Система матриць , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> є лінійно незалежною, так як лінійна комбінація дорівнює нульовій матриці тільки в тому випадку, коли https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21"> /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> лінійно залежною.

Рішення.

Складемо лінійну комбінацію даних векторів https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" 22">.

Прирівнюючи однойменні координати рівних векторів, отримуємо width="289" height="69">

Остаточно отримаємо

і

Система має єдине тривіальне рішення, тому лінійна комбінація даних векторів дорівнює нулю лише у випадку, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Тому система векторів лінійно незалежна.

Приклад 4.Вектори лінійно незалежні. Якими будуть системи векторів

a).;

b).?

Рішення.

a).Складемо лінійну комбінацію та прирівняємо її до нуля

Використовуючи властивості операцій з векторами в лінійному просторі, перепишемо останню рівність у вигляді

Так як вектори лінійно незалежні, то коефіцієнти повинні бути рівні нулю, тобто .

Отримана система рівнянь має єдине тривіальне рішення .

Оскільки рівність (*) виконується тільки при лінійних незалежних;

b).Складемо рівність https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" (**)

Застосовуючи аналогічні міркування, отримаємо

Вирішуючи систему рівнянь методом Гауса, отримаємо

або

Остання система має безліч рішень https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким чином, існує, ненульовий набір коефіцієнтів, для якого виконується рівність (**) . Отже, система векторів - Лінійно залежна.

Приклад 5Система векторів лінійно незалежна, а система векторів лінійно залежна. gif (***)

У рівності (***) . Справді, система була б лінійно залежною.

Зі співвідношення (***) отримуємо або Позначимо .

Отримаємо

Завдання для самостійного вирішення (в аудиторії)

1. Система, що містить нульовий вектор, є лінійно залежною.

2. Система, що складається з одного вектора а, лінійно залежна тоді і лише тоді, коли, а=0.

3. Система, що складається з двох векторів, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли вектори пропорційні (тобто один з них виходить з іншого множенням на число).

4. Якщо до лінійно-залежної системи додати вектор, то вийде лінійно-залежна система.

5. Якщо з лінійно незалежної системи видалити вектор, отримана система векторів лінійна незалежна.

6. Якщо система Sлінійно незалежна, але стає лінійно залежною при додаванні вектора b, то вектор bлінійно виражається через вектори системи S.

c).Система матриць , у просторі матриць другого порядку.

10. Нехай система векторів a,b,cВекторний простір лінійно незалежний. Доведіть лінійну незалежність наступних систем векторів:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–довільне число

c).a+b, a+c, b+c.

11. Нехай a,b,c– три вектори на площині, у тому числі можна скласти трикутник. Чи будуть ці вектори лінійно залежними?

12. Дано два вектори a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Підібрати ще два чотиривимірні вектори a3 таa4так, щоб система a1,a2,a3,a4була лінійно незалежною .

Лінійна залежність та лінійна незалежність векторів.
Векторні бази. Афінна система координат

В аудиторії знаходиться візок із шоколадками, і кожному відвідувачу сьогодні дістанеться солодка парочка – аналітична геометрія з лінійною алгеброю. У цій статті будуть порушені відразу два розділи вищої математики, і ми подивимося, як вони вживаються в одній обгортці. Зроби паузу, з'їж «Твікс»! …млинець, ну і нісенітниця суперечок. Хоча гаразд, забивати не буду, зрештою, на навчання має бути позитивний настрій.

Лінійна залежність векторів, лінійна незалежність векторів, базис векторівта ін терміни мають не тільки геометричну інтерпретацію, але, перш за все, алгебраїчне значення. Саме поняття "вектор" з погляду лінійної алгебри - це далеко не завжди той "звичайний" вектор, який ми можемо зобразити на площині або в просторі. За доказом далеко не треба ходити, спробуйте намалювати вектор п'ятимірного простору. . Або вектор погоди, за яким я щойно сходив на Гісметео: – температура та атмосферний тиск відповідно. Приклад, звичайно, некоректний з точки зору властивостей векторного простору, проте ніхто не забороняє формалізувати дані параметри вектором. Дихання осені.

Ні, я не збираюся вантажити вас теорією, лінійними векторними просторами, завдання полягає в тому, щоб зрозумітивизначення та теореми. Нові терміни (лінійна залежність, незалежність, лінійна комбінація, базис і т.д.) придатні до всіх векторів з точки зору алгебри , але приклади будуть дані геометричні. Таким чином, все просто, доступно та наочно. Крім завдань аналітичної геометрії ми розглянемо деякі типові завдання алгебри. Для освоєння матеріалу бажано ознайомитись із уроками Вектори для чайниківі Як визначити обчислювач?

Лінійна залежність та незалежність векторів площини.
Базис площини та афінна система координат

Розглянемо площину комп'ютерного столу (просто столу, тумбочки, підлоги, стелі, кому що подобається). Завдання полягатиме у таких діях:

1) Вибрати базис площини. Грубо кажучи, стільниця має довжину і ширину, тому інтуїтивно зрозуміло, що для побудови базису потрібно два вектори. Одного вектора явно мало, три вектори – зайва.

2) На основі вибраного базису встановити систему координат(координатну сітку), щоб присвоїти координати всім предметам, що знаходяться на столі.

Не дивуйтеся, що спочатку пояснення будуть на пальцях. До того ж, на ваших. Будь ласка, помістіть вказівний палець лівої рукина край стільниці так, щоб він дивився на монітор. Це буде вектор. Тепер помістіть мізинець правої рукина край столу так само - щоб він був спрямований на екран монітора. Це буде вектор. Усміхніться, ви чудово виглядаєте! Що можна сказати про вектори? Дані вектори колінеарни, а значить, лінійновиражаються один через одного:
, ну, або навпаки: , де - деяке число, відмінне від нуля.

Картинку цього дійства можна переглянути на уроці Вектори для чайниківде я пояснював правило множення вектора на число.

Чи будуть ваші пальчики задавати базис на поверхні комп'ютерного столу? Очевидно, що ні. Колінеарні вектори подорожують туди-сюди одномунапрямку, а площина має довжину і ширину.

Такі вектори називають лінійно залежними.

Довідка: Слова «лінійний», «лінійно» позначають те що, що у математичних рівняннях, висловлюваннях немає квадратів, кубів, інших ступенів, логарифмів, синусів тощо. Є тільки лінійні (1-го ступеня) вирази та залежності.

Два вектори площині лінійно залежнітоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Схрестіть пальці на столі, щоб між ними був будь-який кут крім 0 або 180 градусів. Два вектори площинілінійно незалежні в тому і тільки тому випадку, якщо вони не колінеарні. Отже, базис отримано. Не треба бентежитись, що базис вийшов «косим» з неперпендикулярними векторами різної довжини. Незабаром ми побачимо, що для його побудови придатний не тільки кут 90 градусів, і не тільки одиничні, рівні за довжиною вектори.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномрозкладається по базису:
, Де - дійсні числа. Числа називають координатами векторау цьому базисі.

Також кажуть, що векторпредставлений у вигляді лінійної комбінаціїбазисних векторів. Тобто вираз називають розкладання векторапо базисуабо лінійною комбінацієюбазових векторів.

Наприклад, можна сказати, що вектор розкладений по ортонормованого базису площини, а можна сказати, що він представлений у вигляді лінійної комбінації векторів.

Сформулюємо визначення базисуформально: Базисом площининазивається пара лінійно незалежних (неколлінеарних) векторів, , при цьому будь-якийВектор площини є лінійною комбінацією базисних векторів.

Істотним моментом визначення є той факт, що вектори взяті у певному порядку. Базиси – це два абсолютно різні базиси! Як то кажуть, мізинець лівої руки не переставиш на місце мізинця правої руки.

З базисом розібралися, але його недостатньо, щоб задати координатну сітку та присвоїти координати кожному предмету вашого комп'ютерного столу. Чому замало? Вектори є вільними і блукають у всій площині. То як привласнити координати тим маленьким брудним точкам столу, які залишилися після бурхливих вихідних? Потрібен відправний орієнтир. І таким орієнтиром є знайома всім точка – початок координат. Розбираємось із системою координат:

Почну зі «шкільної» системи. Вже на вступному уроці Вектори для чайниківя виділяв деякі відмінності між прямокутною системою координат та ортонормованим базисом. Ось стандартна картина:

Коли говорять про прямокутної системи координат, то найчастіше мають на увазі початок координат, координатні осі та масштаб по осях. Спробуйте набрати в пошуковій системі «прямокутна система координат», і ви побачите, що багато джерел вам будуть розповідати про знайомі з 5-6-го класу координатні осі і про те, як відкладати точки на площині.

З іншого боку, складається враження, що прямокутну систему координат цілком можна визначити через ортонормований базис. І це майже так. Формулювання звучить так:

початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат площини . Тобто прямокутна система координат однозначновизначається єдиною точкою та двома одиничними ортогональними векторами. Саме тому ви бачите креслення, яке я привів вище – у геометричних завданнях часто (але далеко не завжди) малюють і вектори, і координатні осі.

Думаю, всім зрозуміло, що за допомогою точки (початку координат) та ортонормованого базису БУДЬ ТОЧЦІ площині і БУДЬ-ЯКОМУ ВЕКТОРУ площиніможна присвоїти координати. Образно кажучи, «на поверхні все можна пронумерувати».

Чи мають координатні вектори бути одиничними? Ні, вони можуть мати довільну ненульову довжину. Розглянемо точку та два ортогональні вектори довільної ненульової довжини:

Такий базис називається ортогональним. Початок координат з векторами задають координатну сітку, і будь-яка точка площини будь-який вектор мають свої координати в даному базисі. Наприклад, або . Очевидна незручність у тому, що координатні вектори у загальному випадкумають різні довжини, відмінні від одиниці. Якщо довжини дорівнюють одиниці, то виходить звичний ортонормований базис.

! Примітка : в ортогональному базисі, а також нижче в афінних базисах площини та простору одиниці по осях вважаються УМОВИМИ. Наприклад, в одній одиниці по осі абсцис міститься 4 см, в одній одиниці по осі ординат 2 см. Даної інформації достатньо, щоб при необхідності перевести "нестандартні" координати "наші звичайні сантиметри".

І друге питання, на яке вже насправді дана відповідь – чи обов'язково кут між базисними векторами має дорівнювати 90 градусам? Ні! Як свідчить визначення, базові вектори повинні бути лише неколлінеарними. Відповідно кут може бути будь-яким, крім 0 та 180 градусів.

Точка площини, яка називається початком координат, і неколінеарнівектори , , задають афінну систему координат площини :

Іноді таку систему координат називають косокутноїсистемою. Як приклади на кресленні зображені точки та вектори:

Як розумієте, афінна система координат ще менш зручна, у ній не працюють формули довжин векторів та відрізків, які ми розглядали у другій частині уроку Вектори для чайників, багато смачні формули, пов'язані з скалярним твором векторів. Зате справедливі правила складання векторів і множення вектора на число, формули поділу відрізка в даному відношенні, а також деякі типи завдань, які ми швидко розглянемо.

А висновок такий, що найзручнішим окремим випадком афінної системи координат є декартова прямокутна система. Тому її, рідну, найчастіше і доводиться бачити. …Втім, все в цьому житті відносно – існує чимало ситуацій, в яких доречна саме косокутна (або якась інша, наприклад, полярна) система координат. Та й гуманоїдам такі системи можуть прийтись до смаку =)

Переходимо до практичної частини. Усі завдання даного уроку справедливі як прямокутної системи координат, так загального афінного випадку. Складного нічого немає, весь матеріал доступний навіть школяру.

Як визначити колінеарність векторів площини?

Типова річ. Для того, щоб два вектори площині були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їхні відповідні координати були пропорційними. Фактично, це покоординатная деталізація очевидного співвідношення .

Приклад 1

а) Перевірити, чи колінеарні вектори .
б) Чи утворюють базис вектори ?

Рішення:
а) З'ясуємо, чи існує для векторів коефіцієнт пропорційності, такий, щоб виконувались рівності:

Обов'язково розповім про «піжонський» різновид застосування цього правила, який цілком прокочує на практиці. Ідея полягає в тому, щоб одразу скласти пропорцію та подивитися, чи буде вона вірною:

Складемо пропорцію із відносин відповідних координат векторів:

Скорочуємо:
, таким чином, відповідні координати пропорційні, отже,

Ставлення можна було скласти і навпаки, це рівноцінний варіант:

Для самоперевірки можна використовувати те, що колінеарні вектори лінійно виражаються один через одного. У цьому випадку мають місце рівності . Їхня справедливість легко перевіряється через елементарні дії з векторами:

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони не колінеарні (лінійно незалежні). Досліджуємо на колінеарність вектори . Складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , з другого рівняння випливає, що , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, відповідні координати векторів не є пропорційними.

Висновок: вектори лінійно незалежні та утворюють базис

Спрощена версія рішення виглядає так:

Складемо пропорцію з відповідних координат векторів :
Отже, дані вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Зазвичай такий варіант бракують рецензенти, але виникає проблема у випадках, коли деякі координати рівні нулю. Ось так: . Або так: . Або так: . Як тут діяти через пропорцію? (Справді, на нуль ж ділити не можна). Саме з цієї причини я назвав спрощене рішення «піжонським».

Відповідь:а), б) утворюють.

Невеликий творчий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

При якому значенні параметра вектори будуть колінеарні?

У зразку рішення параметр знайдено через пропорцію.

Існує витончений метод алгебри перевірки векторів на колінеарність., систематизуємо наші знання і п'ятим пунктом якраз додамо його:

Для двох векторів площини еквівалентні наступні твердження:

2) вектори утворюють базис;
3) вектори не колінеарні;

+ 5) визначник, складений із координат даних векторів, відмінний від нуля.

Відповідно, еквівалентні наступні протилежні твердження:
1) вектори лінійно залежні;
2) вектори не утворюють базису;
3) вектори колінеарні;
4) вектори можна лінійно виразити один через одного;
+ 5) визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю.

Я дуже і дуже сподіваюся, що на даний момент вам вже зрозумілі всі терміни і твердження, що зустрілися.

Розглянемо докладніше новий, п'ятий пункт: два вектори площини колінеарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю:. Для застосування цієї ознаки, звичайно, необхідно вміти знаходити визначники.

ВирішимоПриклад 1 другим способом:

а) Обчислимо визначник, складений із координат векторів :
, отже, ці вектори колінеарні.

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони не колінеарні (лінійно незалежні). Обчислимо визначник, складений із координат векторів :
Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Відповідь:а), б) утворюють.

Виглядає значно компактніше і симпатичніше, ніж рішення з пропорціями.

З допомогою розглянутого матеріалу можна встановлювати як колінеарність векторів, а й доводити паралельність відрізків, прямих. Розглянемо пару завдань із конкретними геометричними фігурами.

Приклад 3

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є паралелограмом.

Доказ: Креслення в задачі будувати не потрібно, оскільки рішення буде чисто аналітичним Згадуємо визначення паралелограма:
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Таким чином, необхідно довести:
1) паралельність протилежних сторін та ;
2) паралельність протилежних сторін та .

Доводимо:

1) Знайдемо вектори:

2) Знайдемо вектори:

Вийшов той самий вектор («по шкільному» – рівні вектори). Колінеарність дуже очевидна, але рішення таки краще оформити з толком, з розстановкою. Обчислимо визначник, складений з координат векторів:
, Отже, дані вектори колінеарні, і .

Висновок: Протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, отже, він є паралелограмом за визначенням Що і потрібно було довести.

Більше фігур хороших та різних:

Приклад 4

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є трапецією.

Для суворішого формулювання докази краще, звичайно, роздобути визначення трапеції, але досить і просто згадати, як вона виглядає.

Це завдання самостійного рішення. Повне рішення наприкінці уроку.

А тепер настав час потихеньку перебиратися з площини в простір:

Як визначити колінеарність векторів простору?

Правило дуже схоже. Для того щоб два вектори простору були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх відповідні координати були пропорційними.

Приклад 5

З'ясувати, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:

а);
б)
в)

Рішення:
а) Перевіримо, чи є коефіцієнт пропорційності для відповідних координат векторів:

Система не має рішення, отже, вектори не є колінеарними.

"Спрощенка" оформляється перевіркою пропорції. В даному випадку:
– відповідні координати не пропорційні, отже, вектори не є колінеарними.

Відповідь:вектори не колінеарні.

б-в) Це пункти самостійного рішення. Спробуйте оформити його двома способами.

Існує метод перевірки просторових векторів на колінеарність та через визначник третього порядку, даний спосіб висвітлений у статті Векторний витвір векторів.

Аналогічно плоскому випадку, розглянутий інструментарій може застосовуватися для дослідження паралельності просторових відрізків і прямих.

Ласкаво просимо до другого розділу:

Лінійна залежність та незалежність векторів тривимірного простору.
Просторовий базис та афінна система координат

Багато закономірностей, які ми розглянули на площині, будуть справедливими і простору. Я постарався мінімізувати конспект з теорії, оскільки левова частка інформації вже розжована. Тим не менш, рекомендую уважно прочитати вступну частину, оскільки з'являться нові терміни та поняття.

Тепер замість площини комп'ютерного столу досліджуємо тривимірний простір. Спочатку створимо його базис. Хтось зараз знаходиться в приміщенні, хтось на вулиці, але в жодному разі нам нікуди не подітися від трьох вимірів: ширини, довжини та висоти. Тому для побудови базису потрібно три просторові вектори. Одного-двох векторів мало, четвертий – зайвий.

І знову розминаємось на пальцях. Будь ласка, підніміть руку вгору і розчепіріть у різні боки великий, вказівний та середній палець. Це будуть вектори, вони дивляться у різні боки, мають різну довжину та мають різні кути між собою. Вітаю, базис тривимірного простору готовий! До речі, не потрібно демонструвати таке викладачам, як не крути пальцями, а від визначень нікуди не подітися =)

Далі поставимо важливе питання, будь-які три вектори утворюють базис тривимірного простору? Будь ласка, щільно притисніть три пальці до стільниці комп'ютерного столу. Що сталося? Три вектори розташувалися в одній площині, і, власне кажучи, у нас зник один з вимірів – висота. Такі вектори є компланарнимиі, очевидно, що базису тривимірного простору не створюють.

Слід зазначити, що компланарні вектори нічого не винні лежати у одній площині, можуть перебувати у паралельних площинах (тільки робіть цього з пальцями, так відривався лише Сальвадор Далі =)).

Визначення: вектори називаються компланарнимиякщо існує площина, якою вони паралельні. Тут логічно додати, що якщо такої площини не існує, то вектори будуть не компланарні.

Три компланарні вектори завжди лінійно залежнітобто лінійно виражаються один через одного. Для простоти знову уявімо, що вони лежать в одній площині. По-перше, вектори мало того, що компланарні, можуть бути ще колінеарні, тоді будь-який вектор можна виразити через будь-який вектор. У другому випадку, якщо, наприклад, вектори не колінеарні, то третій вектор виражається через них єдиним чином: (а чому легко здогадатися за матеріалами попереднього розділу).

Справедливе та зворотне твердження: три некомпланарні вектори завжди лінійно незалежні, тобто аж ніяк не виражаються один через одного. І, очевидно, лише такі вектори можуть утворити базис тривимірного простору.

Визначення: Базисом тривимірного просторуназивається трійка лінійно незалежних (некомпланарних) векторів, взятих у певному порядкупри цьому будь-який вектор простору єдиним чиномрозкладається по даному базису , де координати вектора в даному базисі

Нагадую, також можна сказати, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінаціїбазових векторів.

Поняття системи координат вводиться так само, як і для плоского випадку, достатньо однієї точки та будь-яких трьох лінійно незалежних векторів:

початком координат, і некомпланарнівектори , взяті у певному порядку, задають афінну систему координат тривимірного простору :

Звичайно, координатна сітка «коса» і малозручна, але побудована система координат дозволяє нам однозначновизначити координати будь-якого вектора та координати будь-якої точки простору. Аналогічно площині, в афінній системі координат простору нічого очікувати працювати деякі формули, про які я вже згадував.

Найбільш звичним і зручним окремим випадком афінної системи координат є прямокутна система координат простору:

Точка простору, яка називається початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат простору . Знайоме зображення:

Перед тим, як перейти до практичних завдань, знову систематизуємо інформацію:

Для трьох векторів простору еквівалентні такі твердження:
1) вектори лінійно незалежні;
2) вектори утворюють базис;
3) вектори не компланарні;
4) вектори не можна лінійно висловити один через одного;
5) визначник, складений із координат даних векторів, відмінний від нуля.

Протилежні висловлювання, гадаю, зрозумілі.

Лінійна залежність/незалежність векторів простору традиційно перевіряється за допомогою визначника (пункт 5). Практичні завдання, що залишилися, носитимуть яскраво виражений алгебраїчний характер. Пора повісити на цвях геометричну ключку і орудувати бейсбольною бітою лінійної алгебри:

Три вектор просторукомпланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів, дорівнює нулю : .

Звертаю увагу на невеликий технічний нюанс: координати векторів можна записувати не лише в стовпці, а й у рядки (значення визначника від цього не зміниться – див. властивості визначників). Але набагато краще у стовпці, оскільки це вигідніше для вирішення деяких практичних завдань.

Тим читачам, які трішки забули методи розрахунку визначників, а може і взагалі слабо в них орієнтуються, рекомендую один із моїх найстаріших уроків: Як визначити обчислювач?

Приклад 6

Перевірити, чи утворюють базис тривимірного простору такі вектори:

Рішення: Фактично все рішення зводиться до обчислення визначника

а) Обчислимо визначник, складений із координат векторів (визначник розкритий за першим рядком):

Отже, вектори лінійно незалежні (не компланарні) і утворюють базис тривимірного простору.

Відповідь: дані вектори утворюють базис

б) Це пункт самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Трапляються і творчі завдання:

Приклад 7

За якого значення параметра вектори будуть компланарні?

Рішення: Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів дорівнює нулю:

Фактично, потрібно вирішити рівняння з визначником. Налітаємо на нулі як шуліки на тушканчиків - визначник найвигідніше розкрити по другому рядку і відразу ж позбутися мінусів:

Проводимо подальші спрощення та зводимо справу до найпростішого лінійного рівняння:

Відповідь: при

Тут легко виконати перевірку, для цього потрібно підставити отримане значення у вихідний визначник та переконатися, що , розкривши його наново.

На закінчення розглянемо ще одну типову задачу, яка носить більше алгебраїчний характер і зазвичай включається до курсу лінійної алгебри. Вона настільки поширена, що заслуговує на окремий топік:

Довести, що 3 вектори утворюють базис тривимірного простору
та знайти координати 4-го вектора в даному базисі

Приклад 8

Дані вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.

Рішення: Спочатку розбираємось з умовою За умовою дано чотири вектори, і, як бачите, вони вже мають координати в деякому базисі. Який це базис – нас не цікавить. А цікавить така річ: три вектори можуть утворювати новий базис. І перший етап повністю збігається з рішенням Прикладу 6, необхідно перевірити, чи вектори лінійно незалежні:

Обчислимо визначник, складений з координат векторів:

Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис тривимірного простору.

! Важливо : координати векторів обов'язковозаписуємо у стовпцівизначника, а не в рядки. Інакше буде плутанина у подальшому алгоритмі розв'язання.

Визначення 1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо одне із векторів системи можна як лінійної комбінації інших векторів системи, і лінійно незалежної - інакше.

Визначення 1 '. Система векторів називається лінійно залежною, якщо знайдуться числа з 1 , з 2 , …, з k , не всі рівні нулю, такі, що лінійна комбінація векторів з даними коефіцієнтами дорівнює нульовому вектору: = , інакше система називається лінійно незалежною.

Покажемо, що це визначення еквівалентні.

Нехай виконується визначення 1, тобто. один із векторів системи дорівнює лінійній комбінації інших:

Лінійна комбінація системи векторів дорівнює нульовому вектору, причому всі коефіцієнти цієї комбінації рівні нулю, тобто. виконується визначення 1 '.

Нехай виконується визначення 1. Лінійна комбінація системи векторів дорівнює , причому в повному обсязі коефіцієнти комбінації рівні нулю, наприклад, коефіцієнти при векторі .

Один із векторів системи ми представили як лінійної комбінації інших, тобто. Виконується визначення 1.

Визначення 2. Єдиним вектором, або ортом, називається n-мірний вектор, у якого i-я координата дорівнює одиниці, інші - нульові.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Різні одиничні вектори n-мірного простору лінійно незалежні.

Доказ.Нехай лінійна комбінація цих векторів із довільними коефіцієнтами дорівнює нульовому вектору.

З цієї рівності випливає, що всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Набули протиріччя.

Кожен вектор n-мірного простору ā (а 1 , а 2 , ..., а n) може бути представлений у вигляді лінійної комбінації одиничних векторів з коефіцієнтами, рівними координатам вектора

Теорема 2. Якщо системи векторів містить нульовий вектор, вона лінійно залежна.

Доказ.Нехай дана система векторів та один із векторів є нульовим, наприклад = . Тоді з векторами даної системи можна скласти лінійну комбінацію, що дорівнює нульовому вектору, причому не всі коефіцієнти будуть нульовими:

Отже система лінійно залежна.

Теорема 3. Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то вся система лінійно залежна.

Доказ.Дана система векторів. Припустимо, система лінійно залежна, тобто. знайдуться числа з 1 , з 2 , …, з r , Не всі рівні нулю, такі, що = .Тоді

Вийшло, що лінійна комбінація векторів всієї системи дорівнює, причому не всі коефіцієнти цієї комбінації дорівнюють нулю. Отже, система векторів лінійно залежить.

Наслідок.Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її підсистема також лінійно незалежна.

Доказ.

Припустимо неприємне, тобто. деяка підсистема лінійно залежна. З теореми випливає, що система лінійно залежна. Ми дійшли суперечності.

Теорема 4 (Теорема Штейніца).Якщо кожен із векторів є лінійною комбінацією векторів та m>n, система векторів лінійно залежна.

Наслідок.У будь-якій системі n-вимірних векторів не може бути більше ніж n лінійно незалежних.

Доказ.Кожен n-вимірний вектор виражається у вигляді лінійної комбінації n одиничних векторів. Тому, якщо система містить mвекторів та m>n, то, за теоремою, ця система лінійно залежна.

Вираз виду називається лінійною комбінацією векторів A 1 , A 2 ,...,A nз коефіцієнтами λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Визначення лінійної залежності системи векторів

Система векторів A 1 , A 2 ,...,A nназивається лінійно залежною, якщо існує ненульовий набір чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n, при якому лінійна комбінація векторів λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nдорівнює нульовому вектору, тобто система рівнянь: має ненульове рішення.
Набір чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n є ненульовим, якщо хоча б одне з чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n відмінно від нуля.

Визначення лінійної незалежності системи векторів

Система векторів A 1 , A 2 ,...,A nназивається лінійно незалежної, якщо лінійна комбінація цих векторів λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nдорівнює нульовому вектору лише за нульового набору чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , тобто система рівнянь: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θмає єдине нульове рішення.

Перевірити, чи є лінійно залежною система векторів

Рішення:

1. Складаємо систему рівнянь:

2. Вирішуємо її методом Гауса. Перетворення Жордано системи наведено у таблиці 29.1. При розрахунку праві частини системи не записуються оскільки вони дорівнюють нулю і за перетвореннях Жордана не змінюються.

3. З останніх трьох рядків таблиці записуємо дозволену систему, рівносильну вихіднійсистемі:

4. Отримуємо загальне рішення системи:

5. Задавши на власний розсуд значення вільної змінної x 3 =1, отримуємо приватне ненульове рішення X = (-3,2,1).

Відповідь: Таким чином, при ненульовому наборі чисел (-3,2,1) лінійна комбінація векторів дорівнює нульовому вектору -3A1+2A2+1A3=Θ. Отже, система векторів лінійно залежна.

Властивості систем векторів

Властивість (1)
Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один із векторів розкладається за іншими і, навпаки, якщо хоча б один із векторів системи розкладається за іншими, система векторів лінійно залежна.

Властивість (2)
Якщо якась підсистема векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Властивість (3)
Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема лінійно незалежна.

Властивість (4)
Будь-яка система векторів, що містить нульовий вектор, є лінійно залежною.

Властивість (5)
Система m-мірних векторів завжди є лінійно залежною, якщо число векторів n більше їх розмірності (n>m)

Базис системи векторів

Базисом системи векторів A 1 , A 2 ,..., A n називається така підсистема B 1 , B 2 ,...,B r(кожен із векторів B 1 ,B 2 ,...,B r є одним із векторів A 1 , A 2 ,..., A n) , яка задовольняє наступним умовам:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rлінійно-незалежна система векторів;
2. будь-який вектор A j системи A 1 , A 2 ,..., A n лінійно виражається через вектори B 1 ,B 2 ,...,B r

r- Число векторів входять в базис.

Теорема 29.1 Про одиничний базис системи векторів.

Якщо система m-мірних векторів містить m різних одиничних векторів E 1 E 2 ,..., E m , всі вони утворюють базис системи.

Алгоритм знаходження базису системи векторів

Для того щоб знайти базис системи векторів A 1 ,A 2 ,...,A n необхідно:

• Скласти відповідну систему векторів однорідну систему рівнянь A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Навести цю систему