Дачний календар

Основні властивості числових рядів. Застосування числового ряду Основні властивості числових рядів

1. Числові ряди: основні поняття, необхідні умови збіжності низки. Залишок ряду.

2. Ряди з позитивними членами та ознаки їх збіжності: ознаки порівняння, Даламбера, Коші.

3. Знакоочередние ряди, ознака Лейбніца.

1. Визначення числового ряду. Збіжність

У математичних додатках, і навіть під час вирішення деяких завдань економіки, статистиці та інших галузях розглядаються суми з нескінченним числом доданків. Тут ми дамо визначення того, що розуміється під такими сумами.

Нехай задана нескінченна числова послідовність

Визначення 1.1. Числовим поручабо просто порядназивається вираз (сума) виду

. (1.1)

Числа називаються членами ряду, –загальнимабо n-мчленом низки.

Щоб задати ряд (1.1) достатньо задати функцію натурального аргументу обчислення члена ряду за його номером

Приклад 1.1. Нехай. Ряд

(1.2)

називається гармонійним поряд.

Приклад 1.2. Нехай ,Ряд

(1.3)

називається узагальненим гармонійним рядом. В окремому випадку при виходить гармонійний ряд.

Приклад 1.3. Нехай =. Ряд

називається поруч геометричної прогресії.

З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність часткових сум де - сума перших членів ряду, яка називається n-й частковою сумою, тобто.

…………………………….

Числова послідовність при необмеженому зростанні номера може:

1) мати кінцеву межу;

2) не мати кінцевої межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).

Визначення 1.2. Ряд (1.1) називається схожим,якщо послідовність його часткових сум (1.5) має кінцеву межу, тобто.

У цьому випадку число називається сумоюряду (1.1) та пишеться

Визначення 1.3.Ряд (1.1) називається розбіжним,якщо послідовність його часткових сум немає кінцевої межі.

Розбіжному ряду не приписують жодної суми.

Таким чином, завдання знаходження суми ряду, що сходить (1.1) рівносильна обчисленню межі послідовності його часткових сум.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.4.Довести, що ряд

сходиться, і знайти його суму.

Знайдемо n-ю часткову суму даного ряду.

Загальний член ряду представимо у вигляді .

Звідси маємо: . Отже, даний ряд сходиться і його сума дорівнює 1:

Приклад 1.5. Дослідити на збіжність ряд

Для цього ряду

. Отже, цей ряд розходиться.

Зауваження.При ряд (1.6) є суму нескінченного числа нулів і є, очевидно, схожим.

2. Основні властивості числових рядів

Властивості суми кінцевого числа доданків відрізняються від властивостей ряду, тобто суми нескінченного числа доданків. Так, у разі кінцевого числа доданків їх можна групувати в будь-якому порядку, від цього сума не зміниться. Існують ряди, що сходяться (умовно схожі, які будуть розглянуті в розділі 5), для яких, як показав Ріман * , Змінюючи належним чином порядок прямування їх членів, можна зробити суму ряду рівною будь-якому числу, і навіть розбіжний ряд.

Приклад 2.1.Розглянемо розбіжний ряд виду (1.7)

Згрупувавши його члени попарно, отримаємо схожий числовий ряд із сумою, що дорівнює нулю:

З іншого боку, згрупувавши його члени попарно, починаючи з другого члена, отримаємо також схожий ряд, але вже із сумою, що дорівнює одиниці:

Ці ряди мають деякі властивості, які дозволяють діяти з ними, як з кінцевими сумами. Так їх можна множити на числа, почленно складати та віднімати. У них можна об'єднувати в групи будь-які складові, що стоять поруч.

Теорема 2.1.(Необхідна ознака збіжності низки).

Якщо ряд (1.1) сходиться, його спільний член прагне нулю при необмеженому зростанні n, тобто.

Доказ теореми випливає з того, що , і якщо

S - сума ряду (1.1), то

Умова (2.1) є необхідною, але недостатньою умовою для збіжності ряду. Т. е., якщо загальний член низки прагне нулю при , це не означає, що ряд сходиться. Наприклад, для гармонійного ряду (1.2) однак, як показано нижче, він розходиться.

Слідство(Достатня ознака розбіжності низки).

Якщо загальний член низки не прагне нуля при, цей ряд розходиться.

Приклад 2.2.Дослідити на збіжність ряд

Для цього ряду

Отже, цей ряд розходиться.

Розглянуті вище розбіжні ряди (1.6), (1.7) також є такими з того що для них не виконується необхідна ознака збіжності. Для ряду (1.6) межа для ряду (1.7) межа не існує.

Властивість 2.1.Схожість або розбіжність ряду не зміниться, якщо довільним чином видалити з нього, додати до нього, переставити в ньому кінцеве число членів (при цьому для ряду, що сходить, його сума може змінитися).

Доказ якості випливає з того, що ряд (1.1) та будь-який його залишок сходяться або розходяться одночасно.

Властивість 2.2.Схожий ряд можна множити на число, тобто якщо ряд (1.1) сходиться, має суму S і c - деяке число, тоді

Доказ випливає речей, що з кінцевих сум справедливі рівності

Властивість 2.3.Збігаються ряди можна почленно складати і віднімати, тобто якщо ряди ,

сходяться,

сходиться та її сума дорівнює тобто.

Доказ випливає з властивостей межі кінцевих сум, тобто.

ВСТУП

Методичний посібник призначений для викладачів математики в технікумах, а також для студентів другого курсу всіх спеціальностей.

У цьому роботі викладаються основні поняття теорії рядів. Теоретичний матеріал відповідає вимогам Державного освітнього стандарту середньої професійної освіти (Міністерство освіти Російської Федерації. М., 2002р.).

Виклад теоретичного матеріалу по всій темі супроводжується розглядом великої кількості прикладів і завдань, ведеться доступною, по-можливості суворою мовою. Наприкінці посібника наведено приклади та завдання, які студенти можуть виконувати у режимі самоконтролю.

Посібник призначений для студентів заочної та денної форм навчання.

Враховуючи рівень підготовки учнів технікуму, а також вкрай обмежену кількість годин (12 годин + 4 ф.), що відводиться програмою для проходження вищої математики в технікумах, суворі висновки, що представляють великі труднощі для засвоєння, опущені, обмежуючись розглядом прикладів.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

Вирішення задачі, представленої в математичних термінах, наприклад, у вигляді комбінації різних функцій, їх похідних та інтегралів, потрібно вміти "довести до числа", яке найчастіше і є остаточною відповіддю. І тому у різних розділах математики вироблені різні методи.

Розділ математики, що дозволяє вирішити будь-яке коректно поставлене завдання з достатньою для практичного використання точністю, називається теорією рядів.

Навіть якщо деякі тонкі поняття математичного аналізу з'явилися поза зв'язком із теорією рядів, вони негайно застосовувалися до рядів, які служили як би інструментом для випробування значущості цих понять. Таке становище зберігається і зараз.

Вираз виду

де;;;…;;… - члени ряду; - n-ийабо загальний член ряду, називається нескінченним рядом.

Якщо члени ряду:

I. Числовий ряд

1.1. Основні поняття числового ряду.

Числовим рядом називається сума виду

, (1.1)

де ,,,…,,…, звані членами низки, утворюють нескінченну послідовність; член називається загальним членом ряду.

складені з перших членів низки (1.1), називаються частковими сумами цього ряду.

Кожному ряду можна порівняти послідовність часткових сум .

Якщо при нескінченному зростанні номера nчасткова сума низки прагне межі, то ряд називається схожим, а число - сумою схожого ряду, тобто.

Цей запис рівносильний запису

Якщо часткова сума ряду (1.1) при необмеженому зростанні nне має кінцевої межі (прагне або ), то такий ряд називається розбіжним .

Якщо ряд схожий , то значення за досить великого n є наближеним виразом суми ряду S.

Різниця називається залишком низки. Якщо ряд збігається, його залишок прагне до нуля, тобто, і навпаки, якщо залишок прагне до нуля, то ряд збігається.

1.2. Приклади числових рядів.

Приклад 1. Ряд виду

(1.2)

називається геометричним .

Геометричний ряд утворений із членів геометричної прогресії.

Відомо, що сума її перших nчленів. Очевидно: це n-часткова сума ряду (1.2).

Можливі випадки:

Ряд (1.2) набуває вигляду:

,ряд розходиться;

Ряд (1.2) набуває вигляду:

Немає межі, ряд розходиться.

- Кінцеве число, ряд сходиться.

- Ряд розходиться.

Отже, цей ряд сходиться за і розходиться за .

Приклад 2. Ряд виду

(1.3)

називається гармонійним .

Запишемо часткову суму цього ряду:

Сума більша за суму, подану наступним чином:

або .

Якщо то , або .

Отже, якщо , то , тобто. гармонійний ряд розходиться.

Приклад 3. Ряд виду

(1.4)

називається узагальненим гармонічним .

Якщо , то цей ряд звертається до гармонійного ряду, який є розбіжним.

Якщо члени даного ряду більше відповідних членів гармонійного ряду і, значить, він розходиться. При маємо геометричний ряд, в якому ; він є схожим.

Отже, узагальнений гармонійний ряд сходиться за і розходиться за .

1.3. Необхідні та достатні ознаки збіжності.

Необхідна ознака збіжності низки.

Ряд може сходитися лише за умови, що його спільний член при необмеженому збільшенні номери прагне нулю: .

Якщо , то ряд розходиться – це достатня ознака розбіжності низки.

Достатні ознаки збіжності поруч із позитивними членами.

Ознака порівняння рядів із позитивними членами.

Досліджуваний ряд сходиться, якщо його члени не перевищують відповідних членів іншого, свідомо схожого ряду; досліджуваний ряд розходиться, якщо його члени перевершують відповідні члени іншого, свідомо розбіжного ряду.

Ознака Даламбера.

Якщо для поряд з позитивними членами

виконується умова , то ряд сходить при і розходиться при .

Ознака Даламбера не дає відповіді, якщо . І тут дослідження низки застосовуються інші прийоми.

Вправи.

Записати ряд за його заданим спільним членом:

Вважаючи ,,,…, маємо нескінченну послідовність чисел:

Склавши його члени, отримаємо ряд

Вчиняючи так само, отримаємо ряд

Надаючи значення 1,2,3,… і з огляду на, що,,,…, отримаємо ряд

Знайти n-ий член ряду за його даними першим членам:

Знаменники членів низки, починаючи з першого, є парними числами; отже, n-ий член ряду має вигляд.

Чисельники членів ряду утворюють натуральний ряд чисел, а відповідні їм знаменники – натуральний ряд чисел, а відповідні їм знаменники – натуральний ряд чисел, починаючи з 3. Знаки чергуються за законом або законом. Значить, n-й член ряду має вигляд. або .

Дослідити збіжність ряду, застосовуючи необхідну ознаку збіжності та ознаку порівняння:

;

Знаходимо .

Необхідний ознака збіжності низки виконується, але вирішення питання про збіжності необхідно застосувати одне із достатніх ознак збіжності. Порівняємо цей ряд з геометричним рядом

який сходиться, оскільки.

Порівнюючи члени даного ряду, починаючи з другого, з відповідними членами геометричного ряду, отримаємо нерівності

тобто. члени даного ряду, починаючи з другого, відповідно менше членів геометричного ряду, звідки випливає, що цей ряд сходиться.

Тут виконується достатня ознака розбіжності низки; отже, ряд розходиться.

Знаходимо .

Необхідна ознака збіжності ряду виконується. Порівняємо цей ряд із узагальненим гармонічним рядом

який сходиться, оскільки, отже, сходиться і цей ряд.

Дослідити збіжність ряду, використовуючи ознаку Даламбер:

;

Підставивши в спільний член ряду замість nчисло n+ 1, отримаємо . Знайдемо межу відношення -го члена до n-му члену при:

Отже, цей ряд сходиться.

Отже, цей ряд розходиться.

Тобто. ряд розходиться.

ІІ. Знакозмінний ряд

2.1 Поняття знакозмінного ряду.

Числовий ряд

називається знакозмінним , якщо серед його членів є як позитивні, і негативні числа.

Числовий ряд називається знакочередним , якщо будь-які два члени, що стоять поруч, мають протилежні знаки.

де для всіх (тобто ряд, позитивні та негативні члени якого йдуть один за одним по черзі). Наприклад,

;

Для знакочередних рядів має місце достатня ознака збіжності (встановлений в 1714 р. Лейбніцем у листі до І. Бернуллі).

2.2 Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжність ряду.

Теорема (Ознака Лейбніца).

Знак чередующийся ряд сходиться, якщо:

Послідовність абсолютних величин членів низки монотонно зменшується, тобто. ;

Загальний член низки прагне нуля:.

При цьому сума S ряду задовольняє нерівності

Зауваження.

Дослідження знакочередного ряду виду

(з негативним першим членом) зводиться шляхом множення всіх його членів до дослідження ряду .

Ряди, для яких виконуються умови теореми Лейбніца, називаються лейбницькими (або лавами Лейбниця).

Співвідношення дозволяє отримати просту та зручну оцінку помилки, яку ми припускаємося, замінюючи суму Sданого ряду його частковою сумою.

Відкинутий ряд (залишок) є також рядом, що знак чергується. , сума якого за модулем менше першого члена цього ряду, тобто. Тому помилка менше модуля першого з відкинутих членів.

приклад. Обчислити приблизно суму ряду.

Рішення: цей ряд Лейбніцевського типу. Він сходиться. Можна записати:

Взявши п'ятьох членів, тобто. замінна

Зробимо помилку, меншу,

чим . Отже.

Для знакозмінних рядів має місце наступна загальна достатня ознака збіжності.

Теорема. Нехай дано знакозмінний ряд

Якщо сходиться ряд

складений із модулів членів даного ряду, то сходиться і сам знакозмінний ряд.

Ознака збіжності Лейбниця для знакочередних рядів служить достатньою ознакою збіжності знаків рядів, що чергуються.

Знакозмінний ряд називається абсолютно схожим , якщо сходиться ряд, складений із абсолютних величин його членів, тобто. всякий абсолютно схожий ряд є схожим.

Якщо знакперемінний ряд сходиться, а складений з абсолютних величин його членів ряд розходиться, то цей ряд називається умовно (Неабсолютно) схожим.

2.3. Вправи.

Дослідити на збіжність (абсолютну або умовну) ряд, що чергується:

Отже, за ознакою Лейбніца, ряд сходиться. З'ясуємо, чи сходиться цей ряд абсолютно чи умовно.

Ряд , Складений з абсолютних величин даного ряду, є гармонічним рядом, який, розходиться. Тому цей ряд сходиться умовно.

Члени даного ряду за абсолютною величиною монотонно зменшуються:

, але

Ряд розходиться, оскільки ознака Лейбніца не виконується.

Використовуючи ознаку Лейбніца, отримаємо

тобто. ряд сходиться.

Це геометричний ряд виду, де сходиться. Тому цей ряд сходиться абсолютно.

Використовуючи ознаку Лейбніца, маємо

;

, тобто. ряд сходиться.

Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів цього ряду:

, або

Це узагальнений гармонійний ряд, який розходиться, оскільки. Отже, цей ряд сходиться умовно.

ІІІ. Функціональний ряд

3.1. Концепція функціонального ряду.

Ряд, членами якого є функції від , називається функціональним :

Надаючи певного значення, отримаємо числовий ряд

який може бути як схожим, так і таким, що розходиться.

Якщо отриманий числовий ряд сходиться, то точка називається точкою збіжності функціонального ряду; якщо ж ряд розходиться – точкою розбіжності функціонального ряду.

Сукупність числових значень аргументу , у яких функціональний ряд сходиться, називається його областю збіжності .

В області збіжності функціонального ряду його сума є деякою функцією від:.

Визначається вона у сфері збіжності рівністю

, де

Часткова сума низки.

приклад. Знайти область збіжності ряду.

Рішення. Цей ряд є поруч геометричної прогресії зі знаменником. Отже, цей ряд сходиться за , тобто. при всіх ; сума ряду дорівнює;

, за .

3.2. Ступінні ряди.

Ступінним рядом називається ряд виду

де числа називаються коефіцієнтами ряду а член - загальним членом ряду.

Областю збіжності статечного ряду називається безліч всіх значень, при яких цей ряд сходиться.

Число називається радіусом збіжності степеневого ряду, якщо при ряд сходиться і до того ж абсолютно, а при ряд розходиться.

Радіус збіжності знайдемо, використовуючи ознаку Даламбер:

(не залежить від),

тобто. якщо статечний ряд сходиться за будь-яких, що задовольняють цій умові і розходиться при .

Звідси випливає, що якщо існує межа

то радіус збіжності рядавенний цій межі і статечний ряд сходиться при , тобто. у проміжку , який називається проміжком (інтервалом) збіжності.

Якщо, то статечний ряд сходиться в єдиній точці.

На кінцях проміжку ряд може збігатися (абсолютно або умовно), але може розходитися.

Збіжність статечного ряду при і досліджується за допомогою будь-якої з ознак збіжності.

3.3. Вправи.

Знайти область збіжності ряду:

Рішення. Знайдемо радіус збіжності даного ряду:

Отже, цей ряд абсолютно сходиться на всій числовій осі.

Рішення. Скористаємося ознакою Даламбер. Для цього ряду маємо:

Ряд абсолютно сходиться, якщо або . Досліджуємо поведінку низки кінцях інтервалу збіжності.

При маємо ряд

При маємо ряд - це Лейбнітевський ряд, що теж сходиться. Отже, областю збіжності вихідного ряду є відрізок.

Рішення. Знайдемо радіус збіжності низки:

Отже, ряд сходиться за, тобто. при.

Приймаємо ряд , що сходиться за ознакою Лейбніца

Приймаємо розбіжний ряд

Отже, областю збіжності вихідного ряду є проміжок.

IV. Розкладання елементарних функцій до ряду Маклорена.

Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати в статечний ряд, тобто. функцію представляти як суми статечного ряду.

Поряд Тейлора для функції називається статечним рядом виду

Якщо, то отримаємо окремий випадок ряду Тейлора

який називається поруч Маклорена .

Ступіньовий ряд усередині його проміжку збіжності можна почленно диференціювати і інтегрувати скільки завгодно разів, причому отримані ряди мають той самий проміжок збіжності, що й вихідний ряд.

Два статечних ряди можна почленно складати і множити за правилами складання та множення багаточленів. При цьому проміжок збіжності одержаного нового ряду збігається із загальною частиною проміжків збіжності вихідних рядів.

Для розкладання функції до ряду Маклорена необхідно:

Обчислити значення функції та її послідовних похідних у точці, тобто,,,,…,;

Скласти ряд Маклорена, підставивши значення функції та її послідовних похідних формулу ряду Маклорена;

Знайти проміжок збіжності отриманого ряду за формулою

, .

Приклад 1. Розкласти до ряду Маклорена функцію.

Рішення. Так як , то, замінюючи на розкладанні , отримаємо:

Приклад 2. Виписати ряд функцій Маклорена .

Рішення. Оскільки , то скориставшись формулою , у якій замінимо на , отримаємо:

Приклад 3. Розкласти до ряду Маклорена функцію.

Рішення. Скористаємося формулою. Так як

, то замінившинабудемо:

, або

де, тобто. .

V. Практичні завдання самоконтролю студентів.

За допомогою ознаки порівняння рядів встановити збіжність

сходиться умовно;

сходиться абсолютно.

;

VII. Історична довідка.

Вирішення багатьох завдань зводиться до обчислення значень функцій та інтегралів або вирішення диференціальних рівнянь, що містять похідні або диференціали невідомих функцій.

Однак точне виконання зазначених математичних операцій у багатьох випадках виявляється дуже скрутним або неможливим. У цих випадках можна отримати наближене розв'язання багатьох завдань із будь-якою бажаною точністю за допомогою рядів.

Ряди є простим і досконалим інструментом математичного аналізу для наближеного обчислення функцій, інтегралів і рішень диференціальних рівнянь.

І функціональним поруч, що стоїть праворуч.

Для того, щоб замість знака “” можна було поставити знак рівності, необхідно провести деякі додаткові міркування, пов'язані саме з нескінченністю числа доданків у правій частині рівності та області збіжності ряду.

При формула Тейлора набуває вигляду, в якому називається формулою Маклорена:

Колін Маклорен (1698 – 1746), учень Ньютона, у роботі “Трактат про флюксиях” (1742) встановив, що статечний ряд, який виражає аналітичну функцію, - єдиний, і це буде ряд Тейлора, породжений такою функцією. У формулі бінома Ньютона коефіцієнти при ступенях є значення , де .

Отже, лави виникли у XVIII ст. як спосіб уявлення функцій, що допускають нескінченне диференціювання. Однак функція, що представляється поруч, не називалася його сумою, і взагалі на той час не було ще визначено, що таке сума числового чи функціонального ряду, були лише спроби запровадити це поняття.

Наприклад, Л. Ейлер (1707-1783), виписавши для функції відповідний їй статечний ряд, надавав змінної конкретного значення. Виходив числовий ряд. Сумою цього ряду Ейлер вважав значення вихідної функції в точці. Але це не завжди вірно.

Про те, що ряд, що розходиться, не має суми, вчені стали здогадуватися тільки в XIX ст., хоча в XVIII ст. багато, і Л. Ейлер, багато працювали над поняттями збіжності і розбіжності. Ейлер називав ряд схожим, якщо його загальний член прагне нуля у разі зростання .

Теоретично розбіжних рядів Ейлер отримав чимало істотних результатів, проте ці результати довго не знаходили застосування. Ще 1826г. Н.Г. Абель (1802 - 1829) називав розбіжні ряди "диявольським вигадуванням". Результати Ейлера знайшли обґрунтування лише наприкінці ХІХ ст.

У формуванні поняття суми ряду, що сходить, велику роль зіграв французький учений О.Л. Коші (1789 – 1857); він зробив надзвичайно багато у теорії рядів, а й теорії меж, у створенні самого поняття межі. У 1826р. Коші заявив, що ряд, що розходиться, не має суми.

У 1768р. французький математик та філософ Ж.Л. Д'Аламбер досліджував ставлення наступного члена до попереднього в біноміальному ряді і показав, що якщо це відношення за модулем менше одиниці, то ряд сходиться. Коші у 1821р. довів теорему, що викладає у загальному вигляді ознаку збіжності знакопозитивних рядів, які тепер називають ознакою Д'Аламбера.

Для дослідження збіжності знакочередних рядів використовується ознака Лейбніца.

Г.В. Лейбніц (1646 - 1716), великий німецький математик і філософ, поряд з І. Ньютон є основоположником диференціального та інтегрального обчислення.

Список літератури:

Основна:

Богомолов Н.В., Практичні заняття з математики. М., "Вища школа", 1990 - 495 с.;
Тарасов Н.П., курс вищої математики для технікумів. М., "Наука", 1971 - 448 с.;
Зайцев І.Л., курс вищої математики для технікумів. М., державне видавництво технікумів – теоретичної літератури, 1957 – 339 с.;
Письмовий Д.Т., Курс лекцій з вищої математики. М., "Айріс Прес", 2005, частина 2 - 256 с.;
Вигодський М.Я., Довідник із вищої математики. М., "Наука", 1975 - 872 с.;

Додаткова:

Гусак А.А., Вища математика. У 2-х т., т.2: Навчальний посібник для студентів вишів. Мос., "ТетраСистемс", 1988 - 448 с.;
Григулецький В.Г., Лук'янова І.В., Петуніна І.А., Математика для студентів економічних спеціальностей. Частина 2. Краснодар, 2002 - 348 с.;
Григулецький В.Г. та ін. Задачник-практикум з математики. Краснодар. КДАУ, 2003 – 170 с.;
Григулецький В.Г., Степанцова К.Г., Гетьман В.М., Завдання та вправи для студентів обліково-фінансового факультету. Краснодар. 2001 - 173 с.;
Григулецький В.Г., Ященко З.В., Вища математика. Краснодар, 1998 - 186 с.;
Малихін В.І., Математика економіки. М., "Інфра-М", 1999 - 356с.

Розглянемо нескінченну послідовність чисел, тобто. безліч чисел, у якому кожному натуральному числу nза певним правилом відповідає деяке число a n. Вираз виду називається числовим рядом, самі числа - членами ряду, - спільним членом ряду. Коротко ряд записують так: .

Суми , в яких присутні тільки nперших членів ряду, називаються частковими сумами ряду.

Числовий ряд називається схожим, якщо послідовність його часткових сум має кінцеву межу. Число Sназивається сумою ряду.

Якщо межа не існує, то ряд називається .

приклад 1.Дана нескінченна геометрична прогресія. Складемо ряд

і досліджуємо його збіжність, з визначення збіжності ряду. І тому складемо часткову суму =. Зі шкільного курсу математики відомо, що . Нагадаємо, як це виходить. Для доказу зробимо розподіл

Обчислимо тепер межу , враховуючи, що тут можливі три випадки:

2) якщо q= 1, то = і ,

3) якщо q= -1, то =, і, а =, і. Отже, послідовність часткових сум єдиної межі немає.

Тому робимо висновок: геометрична прогресія сходиться, як і розходиться при .

приклад 2.Довести розбіжністьряду

Рішення.Оцінимо часткову суму ряду:

> , тобто. > ,

а межа часткової суми дорівнює нескінченності (за відомою теоремою про межі: якщо x n > y n, то): = ¥. Отже, цей ряд розходиться.

Властивості схожих рядів

Розглянемо два ряди та . Другий ряд отриманий з першого шляхом відкидання перших mйого членів. Цей ряд називається залишком ряду та позначається r n.

Теорема 1. Якщо члени ряду, що сходить, помножити на деяке число З, то збіжність ряду не порушиться, а сума помножиться на З.

Теорема 2. Два ряди, що сходяться, можна почленно складати (віднімати) і сума отриманого ряду дорівнюватиме , де - сума першого ряду, а - сума другого.

Теорема 3. Якщо сходиться ряд, то сходиться кожен із його залишків. Зі збіжності залишку ряду випливає збіжність самого ряду.

Можна сказати й по-іншому: на збіжність низки впливає відкидання (чи приписування) кінцевого число членів ряду. І ця властивість найпрекрасніша. Справді, нехай сума ряду дорівнює нескінченності (ряд розходиться). Ми складаємо дуже велике, але кінцеве число членів низки. Ця сума може бути дуже великою, але, знову ж таки, кінцевим числом. Так, значить, сума залишку ряду, а там члени ряду вже мізерні малі числа, все одно дорівнює нескінченності за рахунок нескінченності числа доданків.

Теорема 4. Необхідна ознака збіжності.

Якщо ряд сходиться, то його спільний член a nпрагне нуля, тобто. .

Доказ. Справді,

І якщо ряд сходиться, то і, отже, при .

Зазначимо, що це ознака перестав бути достатнім, тобто. ряд може розходитися, яке спільний член прагне нулю. У прикладі 2 ряд розходиться, хоча його спільний член.

Але якщо а nне прагне нуля при , то ряд є розбіжним ( достатня ознака розбіжності ряду).

Схожість рядів із позитивними членами

Ряд називається позитивним, якщо все.

Часткові суми такого ряду S nутворюють зростаючу послідовність, оскільки кожна попередня менше наступної, тобто. . З теорії меж відомо (теорема Больцано-Вейєрштрасса), якщо зростаюча послідовність обмежена зверху (тобто всім S nіснує така кількість М, що S n < Мдля всіх n), вона має межу. Звідси випливає наступна теорема.

Теорема. Ряд з позитивними членами сходиться, якщо часткові суми його обмежені зверху, і розходиться інакше.

На цій властивості засновані всі достатні ознаки збіжності рядів із позитивними членами. Розглянемо основні їх.

Ознака порівняння

Розглянемо два ряди з неотрицательными членами: - (3) і - (4), причому , починаючи з деякого n. Тоді зі збіжності ряду (4) випливає збіжність ряду (3). А з розбіжності ряду (3) випливає розбіжність ряду (4).

Інакше: якщо сходиться ряд із більшими членами, то сходиться й ряд із меншими членами; якщо розходиться ряд із меншими членами, то розходиться і ряд із більшими членами.

приклад.Дослідити на збіжність ряд.

Рішення.Загальний член ряду, а ряд є нескінченна сума членів геометричної прогресії зі знаменником< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Ознака порівняння у граничній формі

Розглянемо два ряди і , і нехай - кінцеве число. Тоді обидва ряди сходяться або розходяться одночасно.

приклад.

Рішення. Виберемо ряд для порівняння, з'ясувавши для цього, як поводиться загальний член ряду при великих n:

Тобто. ~ , і як ряд порівняння беремо ряд , який розходиться, що було показано раніше.

Обчислимо межу

і отже, обидва ряди поводяться однаково, тобто. цей ряд теж розходиться.

Ознака Даламбера

Нехай дано ряд і існує межа. Тоді, якщо l < 1, то ряд сходится, если l> 1, то ряд розходиться, якщо l= 1, то ця ознака відповіді не дає (тобто необхідно додаткове дослідження).

приклад.Дослідити збіжність ряд (нагадаємо, що , тобто. n-факторіал є добуток всіх цілих чисел від 1 до n).

Рішення.Для цього ряду , (для знаходження потрібно nпідставити n+ 1). Обчислимо межу

і оскільки межа менше 1, цей ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші

Нехай дано ряд і існує межа. Якщо l< 1, то ряд сходится, если l> 1, то ряд розходиться, якщо l= 1, це ознака відповіді не дає (необхідне додаткове дослідження).

приклад.Дослідити на збіжність ряд

Рішення.Загальний член низки. Обчислимо межу. Значить, низка сходиться.

Інтегральна ознака Коші

Розглянемо ряд і припустимо, що на проміжку хÎ існує безперервна, позитивна і монотонно спадна функція така, що , n= 1, 2, 3…. Тоді ряд і невласний інтеграл сходяться чи розходяться одночасно.

Зазначимо, що якщо даний ряд то і функція розглядається на проміжку .

Нагадаємо, що вказаний невласний інтегралназивається схожим, якщо існує кінцева межа, і тоді =. Якщо при не має кінцевої межі, то кажуть, що невласний інтегралрозходиться.

приклад.Розглянемо ряд - узагальнений гармонійний рядабо ряд Діріхле з показником ступеня s. Якщо s= 1, то ряд називають гармонійним поряд.

Досліджуємо цей ряд, використовуючи інтегральний ознака Коші: =, і функція = має всі властивості, зазначені в ознакі. Обчислимо невласний інтеграл.

Можливі три випадки:

1) s < 1, и тогда

інтеграл розходиться.

2) при s = 1

інтеграл розходиться.

3) якщо s> 1, то

інтеграл сходиться.

Висновок. Узагальнений гармонійний ряд сходиться, якщо s> 1, і розходиться, якщо s ≤ 1.

Цей ряд часто використовують для порівняння з іншими рядами, що містять ступеня n.

приклад.Дослідити ряд на збіжність.

Рішення.Для цього ряду ~ =, значить, цей ряд порівнюємо з рядом , який сходиться, як ряд Диріхле з показником ступеня s = 2 > 1.

За ознакою порівняння у граничній формі знаходимо межу відношення спільних членів даного ряду та ряду Диріхле:

Отже, цей ряд теж сходиться.

Базові тези

Спочатку представимо систему: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . де a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

Наприклад, візьмемо такі числа, як: 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , . . . .

Визначення 1

Числовий ряд – це сума членів ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 +. . . + a n +. . . .

Щоб краще зрозуміти визначення, розглянемо випадок, у якому q = - 0 . 5: 8 – 4 + 2 – 1 + 1 2 – 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Визначення 2

a k є спільним або k –имчленом низки.

Він виглядає приблизно таким чином - 16 · - 1 2 k.

Визначення 3

Часткова сума рядувиглядає приблизно таким чином Sn = a1+a2+. . . + a n , у якій n-Будь-яке число. S n є n-ойсумою низки.

Наприклад, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S 1, S 2,. . . , S n , . . . утворюють нескінченну послідовність числового ряду.

Для ряду n-асуму знаходиться за формулою S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n . Використовуємо наступну послідовність часткових сум: 8, 4, 6, 5,. . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

Визначення 4

Ряд ∑ k = 1 ∞ a k є схожимтоді, коли послідовність має кінцеву межу S = lim S n n → + ∞ . Якщо межі немає або послідовність нескінченна, то ряд ∑ k = 1 ∞ a k називається розбіжним.

Визначення 5

Сумою ряду, що сходить∑ k = 1 ∞ a k є межа послідовності ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

У даному прикладі lim S nn → + ∞ = lim 16 3 т → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 ряд ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k сходиться. Сума дорівнює 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Приклад 1

Як приклад розбіжного ряду можна навести суму геометричної прогресії зі знаменником більшим, ніж одиниця: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.

n -а часткова сума визначається виразом S n = a 1 · (1 - qn) 1 - q = 1 · (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 , а межа часткових сум нескінченна: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Ще одним прикладом розбіжного числового ряду є сума виду ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . У цьому випадку n часткова сума може бути обчислена як S n = 5 n . Межа часткових сум нескінченна lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

Визначення 6

Сума такого виду як ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n +. . . – це гармонійнийчисловий ряд.

Визначення 7

Сума ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 ns + . . . , де s-дійсне число, є узагальнено гармонійним числовим рядом.

Визначення, розглянуті вище, допоможуть вам для вирішення більшості прикладів та завдань.

Щоб доповнити визначення, необхідно довести певні рівняння.

∑ k = 1 ∞ 1 k – розбіжний.

Діємо способом від зворотного. Якщо він сходиться, то межа скінченна. Можна записати рівняння як lim n → + ∞ S n = S та lim n → + ∞ S 2 n = S . Після певних дій ми отримуємо рівність l i m n → ∞ (S 2 n - S n) = 0 .

Навпаки,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n

Справедливі такі нерівності 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Отримуємо, що S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Вираз S 2 n - S n > 1 2 свідчить про те, що lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 не досягається. Ряд розходиться.

b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Необхідно підтвердити, що сума послідовності чисел сходить при q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Згідно з наведеними вище визначеннями, сума nчленів визначається згідно з формулою S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Якщо q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · qn - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Ми довели, що числовий ряд сходиться.

При q = 1b1+b1+b1+. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Суми можна знайти з використанням формули S n = b 1 · n , межа нескінченна lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . У цьому варіанті ряд розходиться.

Якщо q = - 1, то ряд виглядає як b1-b1+b1-. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Часткові суми виглядають як S n = b 1 для непарних n, і S n = 0 для парних n. Розглянувши цей випадок, ми переконаємося, що межі немає і ряд є розбіжним.

При q > 1 справедливо lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (qn - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

Ми довели, що числовий ряд розходиться.

Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s збігається, якщо s > 1і розходиться, якщо s ≤ 1 .

Для s = 1отримуємо ∑ k = 1 ∞ 1 k , ряд розходиться.

При s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,натурального числа. Оскільки ряд є розбіжним ∑ k = 1 ∞ 1 k , то межі немає. Дотримуючись цього, послідовність ∑ k = 1 ∞ 1 k s необмежена. Робимо висновок, що обраний ряд розходиться за s< 1 .

Необхідно надати докази, що ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходить при s > 1.

Представимо S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Припустимо, що 1 (n+1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Представимо рівняння для чисел, які є натуральними та парними n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Отримуємо:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s +. . . + 1 15 s +. . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Вираз 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Це сума геометричної прогресії q = 1 2 s - 1 . Згідно з вихідними даними при s > 1, то 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1збільшується і обмежується зверху 11-12s-1. Уявімо, що є межа і ряд є схожим ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Визначення 8

Ряд ∑ k = 1 ∞ a k позитивний у тому випадкуякщо його члени > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знак череднийякщо знаки чисел відрізняються. Даний приклад представлений як ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · ak або ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · ak , де ak > 0 , k = 1, 2,. . . .

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакозмінний, тому що в ньому безліч чисел, негативних та позитивних.

Другий варіант ряд – це окремий випадок третього варіанту.

Наведемо приклади для кожного випадку відповідно:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Для третього варіанту також можна визначити абсолютну та умовну збіжність.

Визначення 9

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно збігається у тому випадку, коли ∑ k = 1 ∞ b k також вважається таким, що сходить.

Докладно розберемо кілька характерних варіантів

Приклад 2

Якщо ряди 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . і 6+3-3 2+3 4+3 8-3 16+. . . визначаються як схожі, то правильно вважати, що 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .

Визначення 10

Знакоперемінний ряд ∑ k = 1 ∞ b k вважається умовно схожим у тому випадку, якщо ∑ k = 1 ∞ b k – розбіжний, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k вважається схожим.

Приклад 3

Докладно розберемо варіант ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 – 1 2 + 1 3 – 1 4 + . . . . Ряд ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , що складається з абсолютних величин, визначається як розбіжний. Цей варіант вважається таким, що сходить, так як це легко визначити. З цього прикладу ми дізнаємося, що ряд ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . буде вважатися умовно схожим.

Особливості схожих рядів

Проаналізуємо властивості для певних випадків

Якщо ∑ k = 1 ∞ a k буде сходиться, то й ряд ∑ k = m + 1 ∞ a k також визнається таким, що сходить. Можна зазначити, що ряд без mчленів також вважається схожим. У випадку, якщо ми додаємо до ∑ k = m + 1 ∞ a k кілька чисел, то результат, що вийшов, також буде схожим.
Якщо ∑ k = 1 ∞ a k сходить і сума = S, то сходиться і ряд ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S , де A-Постійна.
Якщо ∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k є схожими, суми Aі Bтеж, то й ряди ∑ k = 1 ∞ a k + b k та ∑ k = 1 ∞ a k - b k також сходяться. Суми дорівнюватимуть A+Bі A - Bвідповідно.

Приклад 4

Визначити, що ряд сходить ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Змінимо вираз ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 вважається схожим, оскільки ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходить при s > 1. Відповідно до другої властивості, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Приклад 5

Визначити, чи сходиться ряд ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 .

Перетворимо початковий варіант ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

Отримуємо суму ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 та ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Кожен ряд визнається таким, що сходиться відповідно до властивості. Оскільки ряди сходяться, то вихідний варіант теж.

Приклад 6

Обчислити, чи сходиться ряд 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . та обчислити суму.

Розкладемо вихідний варіант:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Кожен ряд сходиться, оскільки є одним із членів числової послідовності. Відповідно до третього властивості, ми можемо обчислити, що вихідний варіант також є схожим. Обчислюємо суму: Перший член ряду ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, а знаменник = 0 . 5 , за цим слідує, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Перший член ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , а знаменник спадної числової послідовності = 1 3 . Отримуємо: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Використовуємо вирази, отримані вище, для того, щоб визначити суму 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 · 9 2 = - 7

Необхідна умова для визначення, чи є ряд схожим

Визначення 11

Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ a k є схожим, то межа його k-огочлена = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Якщо ми перевіримо будь-який варіант, потрібно не забувати про неодмінну умову. Якщо вона не виконується, то ряд розходиться. Якщо lim k → + ∞ a k ≠ 0 то ряд розбіжний.

Слід уточнити, що умова важлива, але мало. Якщо рівність lim k → + ∞ a k = 0 виконується, це не гарантує, що ∑ k = 1 ∞ a k є схожим.

Наведемо приклад. Для гармонійного ряду ∑ k = 1 ∞ 1 k умова виконується lim k → + ∞ 1 k = 0 , але ряд все одно розходиться.

Приклад 7

Визначити збіжність ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n.

Перевіримо вихідний вираз на виконання умови lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → 0 = + ∞ ≠ 0

Межа n-огочлена не дорівнює 0 . Ми довели, що цей ряд розходиться.

Як визначити збіжність знакопозитивного ряду.

Якщо постійно користуватись зазначеними ознаками, доведеться постійно обчислювати межі. Цей розділ допоможе уникнути складнощів під час вирішення прикладів та завдань. А, щоб визначити збіжність знакопозитивного низки, існує певна умова.

Для збіжності знакопозитивного ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1, 2, 3, . . . Необхідно визначати обмежену послідовність сум.

Як порівнювати ряди

Існує кілька ознак порівняння рядів. Ми порівнюємо ряд, збіжність якого пропонується визначити, з тим рядом, збіжність якого відома.

Перша ознака

∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні ряди. Нерівність a k ≤ b k справедлива для k = 1, 2, 3, ...З цього випливає, що з ряду ∑ k = 1 ∞ b k ми можемо отримати ∑ k = 1 ∞ a k . Оскільки ∑ k = 1 ∞ a k розходиться, то ряд ∑ k = 1 ∞ b k можна визначити як такий, що розходиться.

Це правило постійно використовується на вирішення рівнянь і є серйозним аргументом, що допоможе визначити збіжність. Складнощі можуть полягати в тому, що підібрати потрібний приклад для порівняння можна знайти далеко не в кожному випадку. Досить часто ряд вибирається за принципом, згідно з яким показник k-огочлена дорівнюватиме результату віднімання показників ступенів чисельника та знаменника k-огочлена низки. Припустимо, що a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 різниця буде дорівнює 2 – 3 = - 1 . В даному випадку можна визначити, що для порівняння необхідний ряд k-имчленом b k = k - 1 = 1 k, який є гармонічним.

Для того, щоб закріпити отриманий матеріал, розглянемо детально пару типових варіантів.

Приклад 8

Визначити, яким є ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k – 1 2 .

Оскільки межа = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 ми виконали необхідну умову. Нерівність буде справедливою 1 k< 1 k - 1 2 для k ,які є натуральними. З попередніх пунктів ми дізналися, що гармонійний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k – розбіжний. Згідно з першою ознакою, можна довести, що вихідний варіант є розбіжним.

Приклад 9

Визначити, чи є ряд схожим або розбіжним ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

У цьому прикладі виконується необхідна умова, тому що lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Подаємо у вигляді нерівності 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 є схожим, оскільки гармонійний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходиться при s > 1. Згідно з першою ознакою, ми можемо зробити висновок, що числовий ряд є схожим.

Приклад 10

Визначити, яким є ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

У цьому випадку можна відзначити виконання необхідної умови. Визначимо ряд для порівняння. Наприклад, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Щоб визначити, чому дорівнює ступінь, розглянемо послідовність (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Члени послідовності ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . збільшується до безкінечності. Проаналізувавши рівняння, можна відзначити, що, взявши як значення N = 1619, члени послідовності > 2 . Для даної послідовності буде справедлива нерівність 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Друга ознака

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k – знакопозитивні числові ряди.

Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k збігається, і ∑ k = 1 ∞ a k сходить також.

Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , оскільки ряд ∑ k = 1 ∞ b k розходиться, то ∑ k = 1 ∞ a k також розходиться.

Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ і lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , то збіжність чи розбіжність ряду означає збіжність чи розбіжність іншого.

Розглянемо ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k – 1 за допомогою другої ознаки. Для порівняння ∑ k = 1 ∞ b k візьмемо ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Визначимо межу: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Згідно з другою ознакою можна визначити, що ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, що збігається, означає, що початковий варіант також сходиться.

Приклад 11

Визначити, який ряд ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Проаналізуємо необхідну умову lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, яка в даному варіанті виконується. Згідно з другою ознакою, візьмемо ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k . Шукаємо межу: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Відповідно до наведених вище тез, ряд, що розходиться, тягне собою розбіжність вихідного ряду.

Третя ознака

Розглянемо третю ознаку порівняння.

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k та _ ∑ k = 1 ∞ b k – знакопозитивні числові ряди. Якщо умова виконується для певного номера a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , то збіжність даного ряду ∑ k = 1 ∞ b k означає, що ряд ∑ k = 1 ∞ a k також є схожим. Рядний ряд ∑ k = 1 ∞ a k тягне за собою розбіжність ∑ k = 1 ∞ b k .

Ознака Даламбера

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k - знакопозитивний числовий ряд. Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, то розбіжним.

Примітка 1

Ознака Даламбера справедлива у разі, якщо межа нескінченний.

Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , то ряд є схожим, якщо lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ то розбіжним.

Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 то ознака Даламбера не допоможе і потрібно провести ще кілька досліджень.

Приклад 12

Визначити, чи є ряд схожим або розбіжним ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k за ознакою Даламбера.

Необхідно перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності. Обчислимо межу, скориставшись правилом Лопіталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Ми можемо побачити, що умова виконується. Скористаємося ознакою Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

Ряд є схожим.

Приклад 13

Визначити, чи є ряд розбіжним ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Скористаємося ознакою Даламбера для того, щоб визначити розбіжність ряду: k + ∞ k + 1 k = 1 k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e > 1

Отже, ряд є розбіжним.

Радикальна ознака Коші

Допустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k – це знакопозитивний ряд. Якщо lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, то розбіжним.

Примітка 2

Якщо lim k → + ∞ a k k = 1 , то ця ознака не дає жодної інформації – потрібне проведення додаткового аналізу.

Ця ознака може бути використана в прикладах, які легко визначити. Випадок буде характерним тоді, коли член числового ряду – це показово статечне вираз.

Щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька характерних прикладів.

Приклад 14

Визначити, чи є позитивний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k на схожому.

Потрібна умова вважається виконаною, оскільки lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Згідно з ознакою, розглянутою вище, отримуємо lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

Приклад 15

Чи сходиться числовий ряд ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Використовуємо ознаку, описану в попередньому пункті lim k → + ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 k = 1 3 · lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Інтегральна ознака Коші

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k є позитивним рядом. Необхідно позначити функцію безперервного аргументу y = f(x), Що збігається a n = f (n) . Якщо y = f(x)більше нуля, не переривається і зменшується на [a; + ∞) , де a ≥ 1

То у разі, якщо невласний інтеграл ∫ a + ∞ f (x) d x є схожим, то ряд, що розглядається, також сходиться. Якщо ж він розходиться, то в прикладі ряд теж розходиться.

При перевірці зменшення функції можна використовувати матеріал, розглянутий на попередніх уроках.

Приклад 16

Розглянути приклад ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на збіжність.

Умова збіжності ряду вважається виконаною, тому що lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Розглянемо y = 1 x · ln x. Вона більше нуля, не переривається і зменшується на [2; + ∞). Перші два пункти достеменно відомі, а на третьому слід зупинитися докладніше. Знаходимо похідну: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 xx · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Вона менша за нуль на [ 2 ; + ∞) Це доводить тезу про те, що функція є спадною.

Власне, функція y = 1 x · ln x відповідає ознакам принципу, що ми розглядали вище. Скористаємося ним: ∫ 2 + ∞ dxx · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Відповідно до отриманих результатів, вихідний приклад розходиться, оскільки невласний інтеграл є розбіжним.

Приклад 17

Доведіть збіжність ряду ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Оскільки lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, то умова вважається виконаною.

Починаючи з k = 4 , вірний вираз 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Якщо ряд ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 буде вважатися схожим, то, згідно з одним із принципів порівняння, ряд ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 також буде вважатися таким, що сходить. Таким чином, ми зможемо визначити, що вихідний вираз також є схожим.

Перейдемо до доказу ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Оскільки функція y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 більша за нуль, не переривається і зменшується на [ 4 ; + ∞). Використовуємо ознаку, описану в попередньому пункті:

∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 · lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

В отриманому ряді, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , можна визначити, що ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8) )) 3 також сходиться.

Ознака Раабе

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k – знакопозитивний числовий ряд.

Якщо lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, то сходиться.

Даний спосіб визначення можна використовувати у тому випадку, якщо описані вище техніки не дають видимих результатів.

Дослідження на абсолютну збіжність

Для дослідження беремо ∑ k = 1 ∞ b k. Використовуємо позитивний ∑ k = 1 ∞ b k . Ми можемо використовувати будь-яку з відповідних ознак, які ми описували вище. Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ b k збігається, то вихідний ряд є абсолютно схожим.

Приклад 18

Дослідити ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 на збіжність ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2k-1.

Умову виконується lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Використовуємо ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 і скористаємось другою ознакою: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 сходиться. Вихідний ряд також абсолютно схожий.

Розбіжність знакозмінних рядів

Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ b k – розбіжний, то відповідний знакперемінний ряд ∑ k = 1 ∞ b k або розбіжний, або умовно схожий.

Лише ознака Даламбера та радикальна ознака Коші допоможуть зробити висновки про ∑ k = 1 ∞ b k за розбіжністю з модулів ∑ k = 1 ∞ b k . Ряд ∑ k = 1 ∞ b k також розходиться, якщо не виконується необхідна умова збіжності, тобто якщо lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

Приклад 19

Перевірити розбіжність 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

Модуль k-огочлена представлений як b k = k! 7 k.

Досліджуємо ряд ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k на збіжність за ознакою Даламбер: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k розходиться як і, як і вихідний варіант.

Приклад 20

Чи є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) схожим.

Розглянемо необхідну умову lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Умова не виконана, тому ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ряд розбіжний. Межа була вирахована за правилом Лопіталя.

Ознаки умовної збіжності

Ознака Лейбниця

Визначення 12

Якщо величини членів знакочередного ряду спадають b 1 > b 2 > b 3 > . . . >. . . і межа модуля = 0 при k → + ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k збігається.

Приклад 17

Розглянути ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) на збіжність.

Ряд представлений як ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Потрібна умова виконується lim k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Розглянемо ∑ k = 1 ∞ 1 k за другою ознакою порівняння lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Отримуємо, що ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) розходиться. Ряд ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) сходиться за ознакою Лейбниця: послідовність 2 · 1 + 1 5 · 1 · 1 1 + 1 = 3 10 , 2 · 2 + 1 5 · 2 · (2 + 1) = 5 30, 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1,. . . зменшується і lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Ряд умовно сходиться.

Ознака Абеля-Діріхле

Визначення 13

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходить у тому випадку, якщо ( u k ) не зростає, а послідовність ∑ k = 1 + ∞ v k обмежена.

Приклад 17

Досліджуйте 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . на збіжність.

Уявимо

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 · 1 + 1 2 · (- 3) + 1 3 · 2 + 1 4 · 1 + 1 5 · (- 3) + 1 6 · = ∑ k = 1 ∞ u k · v k

де (u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Незростаюча, а послідовність (v k ) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . обмежена (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Ряд сходиться.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Вступ

числової коші даламбер

Поняття нескінченних сум фактично було відоме вченим Стародавню Грецію (Евдокс, Евклід, Архімед). Знаходження нескінченних сум було складовою так званого методу вичерпування, широко використовуваного давньогрецькими вченими знаходження площ фігур, обсягів тіл, довжин кривих тощо. Так, наприклад, Архімед для обчислення площі параболічного сегмента (тобто фігури, обмеженої прямою та параболою) знайшов суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником 1/4.

Ряд як самостійне поняття математики стали використовувати в XVII ст. І. Ньютон та Г. Лейбніц застосовували ряди для вирішення алгебраїчних та диференціальних рівнянь. Теорія рядів у XVIII-XIX ст. розвивалася в роботах Я. та І. Бернуллі, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Ейлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа та ін. Сувора теорія рядів була створена в XIX ст. на основі поняття межі в працях К. Гауса, Б. Больцано, О. Коші, П. Діріхле, Н. Абеля, К. Вейєрштрасса, Б. Рімана та ін.

Актуальність вивчення цієї проблеми зумовлена тим, що розділ математики, що дозволяє вирішити будь-яке коректно поставлене завдання з достатньою для практичного використання точністю, називається теорією рядів. Навіть якщо деякі тонкі поняття математичного аналізу з'явилися поза зв'язком із теорією рядів, вони негайно застосовувалися до рядів, які служили як би інструментом для випробування значущості цих понять. Таке становище зберігається і зараз. Таким чином, є актуальним вивчити числові ряди, їх основні поняття та особливості збіжності ряду.

1. Історія виникнення

.1 Перша згадка та використання числового ряду

Правила арифметики дають нам можливість визначити суму двох, трьох, чотирьох та взагалі будь-якого кінцевого набору чисел. А якщо кількість доданків нескінченна? Нехай це «найменша» нескінченність, тобто. нехай число доданків лічильне.

Знаходження нескінченних сум було складовою так званого методу вичерпування, широко використовуваного давньогрецькими вченими знаходження площ фігур, обсягів тіл, довжин кривих тощо. Так, наприклад, Архімед для обчислення площі параболічного сегмента (тобто фігури, обмеженої прямою та параболою) знайшов суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником 1/4.

Майже дві з половиною тисячі років тому грецький математик та астроном Євдокс Кнідський застосовував метод «вичерпування» до знаходження площ та обсягів. Ідея цього методу полягає в тому, щоб тіло, що досліджується, розбити на лічильне число частин, площі або обсяги яких відомі, а потім ці обсяги скласти. Цей метод застосовували і Евклід та Архімед. Звичайно, повного та акуратного обґрунтування методу в роботах античних математиків не було. До цього треба було пройти ще довгий двохтисячолітній шлях, на якому були і блискучі одкровення, і помилки, і курйози.

Ось, наприклад, як міркував один середньовічний богослов за доказом – не більше і не менше – існування Всемогутнього Бога.

Запишемо в рівновеликих величинах S як нескінченну суму

S = 1010101010 ... (1)

«Замінимо у правій частині цієї рівності кожен нуль у сумі 1+(-1)

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Залишивши на самоті перший доданок у правій частині (2), об'єднаємо за допомогою дужок другий доданок з третім, четвертий з п'ятим і т.д. Тоді

S = 1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) + ... = 1 +0 +0 + ... = 1. »

«Якщо з нуля можна за бажанням отримати одиницю, то припустимо і припущення про створення світу з нічого!»

Чи погодимося ми з такою міркуванням? Звичайно, ні. З погляду сучасної математики помилка автора полягає в тому, що він намагається оперувати з поняттями, яким не дано визначення (що це таке - «сума нескінченної кількості доданків»), і робить перетворення (розкриття дужок, перегруп-піровка), законність яких не була ним обґрунтована.

Широко користувалися рахунковими сумами, не приділяючи достатньої уваги питанню про те, що ж означає це поняття, найбільші математики XVII і XVIII століть - Ісаак Ньютон (1642-1727), Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716), Брук Тейлор (1685-17) ), Колін Маклорен (1698-1746), Жозеф Луї Лагранж (1736-1813). Віртуозною майстерністю поводження з рядами відзначався Леонард, Ейлер (1707-1783), водночас нерідко визнавав недостатнє обгрунтування використовуваних їм прийомів. У ста роботах неодноразово зустрічаються пропозиції на кшталт такого: «Ми виявили, що ці два нескінченні вислови рівні, хоча і виявилося неможливим це довести». Він застерігає математиків від використання «рядів, що розходяться», хоча сам не завжди дбав від цього, і лише геніальна інтуїція захищає його від невірних висновків; правда, і в нього трапляються «проколи».

На початку ХІХ століття необхідність акуратного обгрунтування властивостей «численних сум» стає ясною. У 1812 році Карл Фрідріх Гаус (1777-1865) дає перший зразок дослідження збіжності ряду, у 1821 році наш добрий знайомий Огюстен Луї Коші (1789-1857) встановлює основні сучасні принципи теорії рядів.

.2 Подальше вивчення числових рядів. Чітке формулювання поняття числового ряду

Підсумовування нескінченних геометричних прогресій зі знаменником, меншим 1, проводилося вже у давнину (архімед). Розбіжність гармонійного ряду була встановлена італійським ученим Менголі в 1650 р. Ступінні ряди з'явилися у Ньютона (1665), який вважав, що статечним рядом можна уявити будь-яку функцію. У вчених XVIII століття ряди постійно зустрічалися у обчисленнях, але далеко не завжди приділяли увагу питанню про збіжність. Точна теорія рядів починається з робіт Гауса (1812), Больцано (1817) і, нарешті, Коші, де вперше дано сучасне визначення суми ряду, що сходить, і встановлені основні теореми. 1821 Коші публікує «Курс аналізу в Політехнічній королівській школі», який мав найбільше значення для поширення нових ідей обґрунтування математичного аналізу в першій половині XIX століття.

«Поруч називають необмежену послідовність кількостей

виходять один із інших за певним законом… Нехай

є сума n-перших членів, де n – якесь ціле число. Якщо при постійному зростанні значень n сума необмежено наближається до відомої межі S, ряд називається схожим, а ця межа сумою ряду. Навпаки, якщо при необмеженому зростанні n сума не наближається до жодної певної межі, ряд буде розбіжним і не матиме суми…» [З першої частини «Курсу аналізу в політехнічній королівській школі» О. Коші (1821) ( №54 т. III, c. 114-116, переклад А.П. Юшкевича}]

.3 Завдання, що призводять до поняття числового ряду та ті, в яких він використовувався

Бистроногий Ахілес ніколи не наздожене черепахи, якщо на початку руху черепаха знаходилася на деякій відстані попереду нього. Справді, нехай початкова відстань є а і нехай Ахіллес біжить в раз швидше за черепаху. Коли Ахіллес пройде відстань а, черепаха відповзе па а/k, коли Ахіллес пройде цю відстань, черепаха відповзе на a/, і т.д. щоразу між змаганнями залишатиметься відмінна від нуля відстань.

У цій апорії, крім того ж утруднення відрахованої нескінченності, є ще одне. Припустимо, що в якийсь час Ахіллес наздожене черепаху. Запишемо шлях Ахіллеса

та шлях черепахи

Кожному відрізку шляху а/, пройденому Ахілесом, відповідає відрізок шляху a/ черепахи. Тому до моменту зустрічі Ахіллес має пройти «стільки ж» відрізків колії, як і черепаха. З іншого боку, кожному відрізку а/, пройденому черепахою, можна порівняти рівний йому за величиною відрізок шляху Ахіллеса. Але, ще, Ахиллес повинен пробігти ще один відрізок довжини а, тобто. він має пройти на одиницю більше відрізків, ніж черепаха. Якщо кількість відрізків, пройдена останньою, є б, то отримуємо

"Стріла". "Стріла". Якщо час і простір складаються з неподільних частинок, то стріла, що летить, нерухома, так як у кожен неподільний момент часу вона займає рівне собі положення, тобто. спочиває, а час і є сума таких неподільних моментів.

Ця апорія спрямована проти ставлення до безперервної величині - як сумі нескінченного числа неподільних частинок.

"Стадіон". Нехай по стадіону рухаються паралельними прямими рівні маси з рівною швидкістю, але в протилежних напрямках. Нехай ряд означає нерухомі маси, ряд - маси, що рухаються вправо, а ряд - маси, що рухаються вліво (рис. 1). Тепер розглядатимемо маси. як неподільні. У неподільний час проходять неподільну частину простору. Справді, якби неподільний момент часу деяке тіло проходило більше однієї неподільної частини простору, то неподільний момент часу був би ділимо, якщо ж менше, то можна було б розділити неподільну частину простору. Розглянемо тепер рух неподільних один щодо одного: за два неподільні моменти часу, пройде дві неподільні частини, і одночасно відрахує чотири неподільні частини, тобто. неподільний момент часу виявиться поділеним.

Цій апорії можна надати і трохи іншу форму. За той самий час t точка проходить половину відрізка і цілий відрізок. Але кожному неподільному моменту часу відповідає неподільна частина простору, що проходить за цей час. Тоді в деякому відрізку а і відрізку 2а міститься «однакове» число точок, «однакове» у тому сенсі, що між точками обох відрізків можна встановити взаємно однозначну відповідність. Цим уперше було встановлено таку відповідність між точками відрізків різної довжини. Якщо вважати, що міра відрізка виходить як сума неподільних заходів, то висновок є парадоксальним.

2. Застосування числового ряду

.1 Визначення

Нехай задана нескінченна числова послідовність

Визначення 1.1. Числовим поручабо просто порядназивається вираз (сума) виду

Числа називаються членами ряду, - загальнимабо n-мчленом низки.

Щоб задати ряд (1.1), достатньо задати функцію натурального аргументу обчислення -го члена ряду за його номером

З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність часткових сумде - сума перших членів ряду, що називається n-й частковою сумою, тобто.

…………………………….

Числова послідовність при необмеженому зростанні номера може:

) мати кінцеву межу;

) не мати кінцевої межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).

У цьому випадку число називається сумоюряду (1.1) та позначається

Визначення 1.3.Ряд (1.1) називається розбіжним,якщо послідовність його часткових сум немає кінцевої межі.

Розбіжному ряду не приписують жодної суми.

.2 Основні властивості числових рядів

Властивості суми кінцевого числа доданків відрізняються властивостей ряду, тобто. суми нескінченного числа доданків. Так, у разі кінцевого числа доданків їх можна групувати в будь-якому порядку, від цього сума не зміниться. Існують ряди, що сходяться (умовно схожі), для яких, як показав Ріман Георг Фрідріх Бернхард, змінюючи належним чином порядок слідування їх членів, можна зробити суму ряду рівною будь-якому числу, і навіть розбіжний ряд.

Приклад 2.1.Розглянемо ряд видів, що розходяться

Згрупувавши його члени попарно, отримаємо схожий числовий ряд із сумою, що дорівнює нулю:

Теорема 2.1.(Необхідна ознака збіжності низки).

Якщо ряд (1.1) сходиться, його спільний член прагне нулю при необмеженому зростанні n, тобто.

Доказ теореми випливає з того, що, і якщо

S - сума ряду (1.1), то

Умова (2.1) є необхідною, але недостатньою умовою для збіжності ряду. Т. е., якщо загальний член ряду прагне до нуля при, то це не означає, що ряд сходиться. Наприклад, для гармонійного ряду (1.2) він розходиться.

Слідство(Достатня ознака розбіжності низки).

Якщо загальний член низки не прагне нуля при, цей ряд розходиться.

Доказ якості випливає з того, що ряд (1.1) і його залишок сходяться або розходяться одночасно.

Доказ випливає речей, що з кінцевих сум справедливі рівності

Властивість 2.3.Схожі ряди можна почленно складати і віднімати, тобто. якщо ряди,

сходяться,

сходиться та її сума дорівнює тобто.

Підтвердження випливає з властивостей межі кінцевих сум, тобто.

Ознака порівняння

Нехай дані два позитивні ряди

і виконуються умови всім n=1,2,…

Тоді: 1) зі збіжності ряду (3.2) слід збіжність ряду (3.1);

) з розбіжності ряду (3.1) слід розбіжність ряду (3.2).

Доказ. 1. Нехай ряд (3.2) сходиться і його сума дорівнює В. Послідовність часткових сум ряду (3.1) є незменшною обмеженою зверху числом, тобто.

Тоді з властивостей таких послідовностей слід, що вона має кінцеву межу, тобто. ряд (3.1) сходиться.

Нехай ряд (3.1) розходиться. Тоді, якщо ряд (3.2) сходиться, то з доведеного вище пункту 1 сходився б і вихідний ряд, що суперечить нашій умові. Отже, ряд (3.2) також розходиться.

Ця ознака зручно застосовувати до визначення збіжності рядів, порівнюючи їх із рядами, збіжність яких вже відома.

Ознака Даламбера

Тоді: 1) при q< 1 ряд (1.1) сходится;

) при q > 1 ряд (1.1) розходиться;

) при q = 1 про збіжність низки (1.1) нічого сказати не можна, необхідні додаткові дослідження.

Зауваження:Ряд (1.1) буде розходитися й у тому випадку, коли

Ознака Коші

Нехай члени позитивного ряду (1.1) такі, що існує межа

Тоді: 1) при q< 1 ряд (1.1) сходится;

) при q > 1 ряд (1.1) розходиться;

3) при q = 1 про збіжність низки (1.1) нічого сказати не можна, потрібні додаткові дослідження.

Інтегральна ознака Коші - Маклорена

Нехай функція f(x) безперервна невід'ємна функція, що не збільшується, на проміжку

Тоді ряд і невласний інтеграл сходяться чи розходяться одночасно.

.3 Завдання

Числові ряди застосовуються у математиці, а й у інших наук. Хотів би навести кілька прикладів такого використання.

Наприклад, на дослідження властивостей структур уламкових порід. Насправді використання поняття «структура» переважно звелося до характеристики розмірних властивостей зерен. У зв'язку з цим поняття «структура» у петрографії не відповідає поняттю «структура» у кристалографії, структурній геології та інших науках про будову речовини. В останніх структура більше відповідає поняттю текстура в петрографії і відображає спосіб заповнення простору. Якщо прийняти, що «структура» є просторовим поняттям, то такі структури слід вважати беззмістовними: вторинні чи первинні структури та текстури; кристалічні, хімічні, заміщення (роз'їдання, перекристалізації тощо), деформаційні структури, орієнтовані, залишкові структури та ін. Тому ці «структури» названі «хибними структурами».

Структура - це безліч структурних елементів, що характеризується розмірами зерен та його кількісними співвідношеннями.

При проведенні конкретних класифікацій зазвичай використовуються лінійні параметри зерна із послідовністю.

хоча кількісні оцінки поширеності здійснюються через майданні (відсоткові) параметри. Ця послідовність може мати значну довжину і не будується. Зазвичай говорять тільки про межі зміни параметрів, називаючи максимальні (max) і мінімальні (min) значення розмірів зерен.

Одне з напрямів представлення P4 - використання числових рядів, які будуються як і зазначена вище послідовність, але замість (?) ставиться знак суми (+). Згортка всіх послідовностей здійснюється об'єднанням рівних елементів та складанням їх площ. Тоді маємо послідовність:

Вираз означає, що виміряна площа, що займає всі перерізи тих зерен i, розмір яких дорівнює.

Ця особливість зерен дозволяє проводити числовий аналіз отриманих співвідношень. По-перше, параметр можна як значення координатної осі і таким чином будувати деякий графік S=f(l). По-друге, послідовність (RSl) 1 можна ранжувати, наприклад, за зменшенням коефіцієнтів, в результаті виходить ряд

Саме цей ряд і називається структурою даного перерізу породи, він є і визначенням поняття «структура». Параметр є елементом структури, а параметр k= - довжина структури. За побудовою n = k. Таке уявлення структури дозволяє порівняти різні структури між собою.

Також, Бутусов Кирило Павлович відкрив явище «резонансу хвиль биття», на основі чого сформулював «закон планетних періодів», через який періоди звернень планет утворюють числові ряди Фібоначчі та Люка і довів, що «закон планетних відстаней» Йоганна Тіціуса є наслідком « резонансу хвиль биття» (1977). Одночасно виявив прояв «золотого перерізу» та у розподілі низки інших параметрів тіл Сонячної системи (1977). У зв'язку з цим веде роботу зі створення «золотої математики» - нової системи числення, заснованої на числі Фідія (1,6180339), більш адекватною завданням астрономії, біології, архітектури, естетики, теорії музики тощо.

З історії астрономії відомо, що І. Тиціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою цього ряду Фібоначчі знайшов закономірність та порядок у відстанях між планетами сонячної системи.

Однак один випадок, який, здавалося б, суперечив закону: між Марсом та Юпітером не було планети. Зосереджене спостереження за цією ділянкою піднебіння призвело до відкриття поясу астероїдів. Сталося це після смерті Тиціуса на початку ХІХ ст. Ряд Фібоначчі використовують широко: за його допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних споруд, і будову Галактик. Ці факти – свідчення незалежності числового ряду від умов його прояву, що є однією з ознак його універсальності.

Криптографія - наука про математичні методи забезпечення конфіденційності (неможливість прочитання інформації стороннім) та автентичності (цілісності та справжності авторства, а також неможливості відмови від авторства) інформації. Переважна більшість сучасних криптографічних систем використовують або потокові або блокові алгоритми, що базуються на різних типах шифрах заміни і перестановки. На жаль, практично всі алгоритми, що використовуються в потокових криптосистемах, орієнтованих на використання у військових та урядових системах зв'язку, а також, у деяких випадках, для захисту інформації комерційного характеру, що цілком природно робить їх секретними та недоступними для ознайомлення. Єдиними стандартними алгоритмами потокового шифрування є вже американський стандарт DES (режими CFB та OFB) та російський стандарт ГОСТ 28147-89 (режим гамування). При цьому алгоритми потокового шифрування, які у цих стандартах, є засекреченными.

Основу функціонування потокових криптосистем складають генератори випадкових або псевдовипадкових послідовностей. Розглянемо це питання докладніше.

Псевдовипадкові послідовності

Секретні ключі є основою криптографічних перетворень, котрим, слідуючи правилу Керкхофа, стійкість хорошої шифрувальної системи визначається лише секретністю ключа. Однак у практиці створення, розподіл та зберігання ключів рідко були складними технічно, хоч і дорогими завданнями. Основна проблема класичної криптографії тривалий час полягала у складності генерування непередбачуваних двійкових послідовностей великої довжини із застосуванням короткого випадкового ключа. Для її вирішення широко використовуються генератори двійкових псевдовипадкових послідовностей. Істотний прогрес у створенні та аналізі цих генераторів було досягнуто лише на початку шістдесятих років. Тому в цьому розділі розглянуті правила отримання ключів та генерації на їх основі довгих псевдовипадкових послідовностей, що використовуються криптографічними системами для перетворення повідомлення на шифрування.

Одержувані програмно з ключа, випадкові чи псевдовипадкові ряди чисел називаються на жаргоні вітчизняних криптографів гамою, за назвою у - літери грецького алфавіту, якою в математичних записах позначаються випадкові величини. Цікаво зазначити, що у книзі «Незнайомці на мосту», написаній адвокатом розвідника Абеля, наводиться термін гама, який фахівці ЦРУ позначили коментарем – «музична вправа?», тобто у п'ятдесяті роки вони не знали його сенсу. Отримання та розмноження реалізацій справжніх випадкових рядів є небезпечним, складним і накладним. Фізичне моделювання випадковості за допомогою таких фізичних явищ як радіоактивне випромінювання, дробовий шум в електронній лампі або тунельний пробій напівпровідникового стабілітрона не дають справжніх випадкових процесів. Хоча відомі випадки вдалих застосувань їх у генерації ключів, наприклад, у криптографічному російському пристрої КРИПТОН. Тому замість фізичних процесів для генерації гами застосовують програми для ЕОМ, які хоч і називаються генераторами випадкових чисел, але насправді видають детерміновані числові ряди, які лише здаються випадковими за своїми властивостями. Від них вимагається, щоб навіть знаючи закон формування, але не знаючи ключа у вигляді початкових умов, ніхто не зміг би відрізнити числовий ряд від випадкового, ніби він отриманий киданням ідеальних гральних кісток. Можна сформулювати три основні вимоги до криптографічно стійкого генератора псевдовипадкової послідовності або гами:

Період гами має бути досить великим для шифрування повідомлень різної довжини.

Гамма має бути важко передбачуваною. Це означає, що якщо відомий тип генератора та шматок гами, то неможливо передбачити наступний за цим шматком біт гами з ймовірністю вище х. Якщо криптоаналітику стане відома якась частина гами, він все ж таки не зможе визначити біти, що передують їй або наступні за нею.

Генерування гами не повинно бути пов'язане з великими технічними та організаційними труднощами.

Послідовності Фібоначчі

Цікавий клас генераторів випадкових чисел неодноразово пропонувався багатьма фахівцями цілої арифметики, зокрема Джорджем Марсаліа та Арифом Зейманом. Генератори цього засновані на використанні послідовностей Фібоначчі. Класичний приклад такої послідовності (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…). За винятком перших двох її членів, кожен наступний член дорівнює сумі двох попередніх. Якщо брати лише останню цифру кожного числа в послідовності, то вийде послідовність чисел (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4…) Якщо ця послідовність застосовується для початкового заповнення масиву великої довжини , то, використовуючи цей масив, можна створити генератор випадкових чисел Фібоначчі із запізненням, де складаються не сусідні, а віддалені числа. Марсалія і Зейман запропонували ввести в схему Фібоначчі «біт переносу», який може мати початкове значення 0 або 1. Побудований на цій основі генератор «складання з переносом» набуває цікавих властивостей, на їх підставі можна створювати послідовності, період яких значно більший, ніж у застосовуваних нині конгруентних генераторів. За образним виразом Марсалія, генератори цього класу можна розглядати як підсилювачі випадковості. «Ви берете випадкове заповнення довжиною кілька тисяч біт і генеруєте довгі послідовності випадкових чисел». Однак великий період сам по собі ще не є достатньою умовою. Слабкі місця гам буває важко виявити і аналітику потрібно застосовувати витончені методи аналізу послідовностей, щоб виділити певні закономірності, які приховані у великому масиві цифр.

Висновки

Ряди широко використовуються в математиці та її додатках, теоретичних дослідженнях, так і при наближених чисельних рішеннях завдань. Багато цифр може бути записані як спеціальних рядів, з допомогою яких зручно обчислювати їх наближені значення з необхідною точністю. Метод розкладання до лав є ефективним методом вивчення функцій. Він застосовується для обчислення наближених значень функцій, для обчислення та оцінок інтегралів, для вирішення різних рівнянь (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних).

Список літератури

1.Шилов Г.Є. Математичний аналіз. Функції одного змінного. Ч. 1-2 - М: Наука, 1969

Майков Є.В. Математичний аналіз. Числові ряди/Е.В. Майків. - 1999

.«Курс аналізу в політехнічній королівській школі»

О. Коші (1821) (№54 т. III, c. 114-116, переклад А.П. Юшкевича)

Історія математики з найдавніших часів на початок ХІХ століття (під ред. Юшкевича А.П., том I)

Хрестоматія з історії математики (частина II) (за ред. Юшкевича А.П.)

Вища математика: Загальний курс: Навч. - 2-ге вид., / А.І. Яблонська, А.В. Кузнєцов, Є.І. Шилкіна та ін; За заг. ред. С.А. Самаля. - Мн: Виш. шк., 2000. – 351 с.

Марков Л.М., Роздумович Г.П. Вища математика. Частина 2. Основи математичного аналізу та елементи диференціальних рівнянь. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.

8. Макаров В.П. Запитання теоретичної геології. 7. Елементи теорії структур. /Сучасні проблеми та шляхи їх вирішення в науці, транспорті, виробництві та освіті 2007. Одеса, Чорномор'я, 2007. Т.19. С. 27 – 40.

9.Половінкіна Ю. Ір. Структури гірських порід. Магматичні породи; Частина 2: Осадові породи; Частина 3 Метаморфічні породи. - М: Держгеоліздат, 1948.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

Http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

Навчально-методичний комплекс дисципліни "Математика". Розділ 10 "Ряди". Теоретичні основи. Методичні вказівки для студентів. Матеріали для самостійної роботи студентів. – Уфа: Видавництво УДНТУ, 2007. – 113 с.

13. http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14.Галуєв Г.А. Математичні основи криптології: Навчально-методичний посібник. Таганрог: Вид-во ТРТУ 2003.-120 с.

Репетиторство

Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?

Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.