Сезонні роботи

Емпіричний розподіл приклад. Емпірична функція розподілу. Графічне зображення рядів розподілу

Як відомо, закон розподілу випадкової величини можна задавати у різний спосіб. Дискретну випадкову величину можна задати за допомогою низки розподілу або інтегральної функції, а безперервну випадкову величину – за допомогою інтегральної або диференціальної функції. Розглянемо вибіркові аналоги цих двох функцій.

Нехай є вибіркова сукупність значень деякої випадкової величини обсягу і кожному варіанту з цієї сукупності поставлена у відповідність його частість. Нехай далі, - Деяке дійсне число, а - Число вибіркових значень випадкової величини
, менших . Тоді число є часткою спостережуваних у вибірці значень величини X, менших , тобто. часткою появи події
. При зміні xу загальному випадку змінюватиметься і величина . Це означає, що відносна частота є функцією аргументу . Оскільки ця функція знаходиться за вибірковими даними, отриманими в результаті дослідів, то її називають вибірковою або емпіричної.

Визначення 10.15. Емпіричною функцією розподілу(функцією розподілу вибірки) називають функцію
, що визначає для кожного значення xвідносну частоту події
.

(10.19)

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки функцію розподілу F(x) генеральної сукупності називають теоретичною функцією розподілу. Відмінність між ними полягає в тому, що теоретична функція F(x) визначає ймовірність події
, А емпірична – відносну частоту цієї події. З теореми Бернуллі випливає

,
(10.20)

тобто. при великих ймовірність
та відносна частота події
, тобто.
мало відрізняються одне від одного. Вже звідси слід доцільність використання емпіричної функції розподілу вибірки для наближеного представлення теоретичної (інтегральної) функції розподілу генеральної сукупності.

Функція
і
мають однакові властивості. Це випливає із визначення функції.

Властивості
:

Приклад 10.4.Побудувати емпіричну функцію щодо даного розподілу вибірки:

Варіанти
Частоти

Рішення:Знайдемо обсяг вибірки n= 12 +18 +30 = 60. Найменша варіанта
, отже,
при
. Значення
, а саме
спостерігалося 12 разів, отже:

=
при
.

Значення x< 10, а саме
і
спостерігалися 12+18=30 разів, отже,
=
при
. При

.

Шукана емпірична функція розподілу:

Графік
представлений на рис. 10.2

Р
іс. 10.2

Контрольні питання

1. Які основні завдання вирішує математична статистика? 2. Генеральна та вибіркова сукупність? 3. Дайте визначення об'єму вибірки. 4. Які вибірки називаються репрезентативними? 5. Помилки репрезентативності. 6. Основні засоби освіти вибірки. 7. Поняття частоти, відносної частоти. 8. Поняття статистичного ряду. 9. Запишіть формулу Стерджес. 10. Сформулюйте поняття розмаху вибірки, медіани та моди. 11. Полігон частот, гістограма. 12. Поняття точкової оцінки вибіркової сукупності. 13. Зміщена та незміщена точкова оцінка. 14. Сформулюйте поняття вибіркової середньої. 15. Сформулюйте поняття вибіркової дисперсії. 16. Сформулюйте поняття вибіркового середньоквадратичного відхилення. 17. Сформулюйте поняття вибіркового коефіцієнта варіації. 18. Сформулюйте поняття вибіркової середньої геометричної.

Визначення емпіричної функції розподілу

Нехай $ X $ - випадкова величина. $F(x)$ - функція розподілу цієї випадкової величини. Будемо проводити в одних і тих самих незалежних один від одного умов $n$ дослідів над даною випадковою величиною. При цьому отримаємо послідовність значень $x_1, x_2 $, ..., $ \ x_n $, яка і називається вибіркою.

Визначення 1

Кожне значення $x_i$ ($i=1,2\$, ...,$\n$) називається варіантом.

Однією з оцінок теоретичної функції розподілу є емпірична функція розподілу.

Визначення 3

Емпіричною функцією розподілу $F_n(x)$ називається функція, яка визначає для кожного значення $x$ відносну частоту події $X \

де $n_x$ - число варіантів, менших за $x$, $n$ -- обсяг вибірки.

Відмінність емпіричної функції від теоретичної полягає в тому, що теоретична функція визначає можливість події $X

Властивості емпіричної функції розподілу

Розглянемо тепер кілька основних властивостей функції розподілу.

Область значень функції $F_n\left(x\right)$ - відрізок $$.

$F_n\left(x\right)$ незнищувальна функція.

$F_n\left(x\right)$ безперервна зліва функція.

$F_n\left(x\right)$ шматково-постійна функція і зростає тільки в точках значень випадкової величини $X$

Нехай $X_1$ - найменша, а $X_n$ - найбільша варіанта. Тоді $F_n\left(x\right)=0$ при $(x\le X)_1$і $F_n\left(x\right)=1$ при $x\ge X_n$.

Введемо теорему, яка пов'язує між собою теоретичну та емпіричну функції.

Теорема 1

Нехай $F_n\left(x\right)$ - емпірична функція розподілу, а $F\left(x\right)$ - теоретична функція розподілу генеральної вибірки. Тоді виконується рівність:

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

Приклади завдань знаходження емпіричної функції розподілу

Приклад 1

Нехай розподіл вибірки має такі дані, записані за допомогою таблиці:

Малюнок 1.

Знайти обсяг вибірки, скласти емпіричну функцію розподілу та побудувати її графік.

Обсяг вибірки: $ n = 5 +10 +15 +20 = 50 $.

За якістю 5, маємо, що з $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, а за $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.

Значення $x

Таким чином, отримуємо:

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Приклад 2

З міст центральної частини Росії випадково обрано 20 міст, для яких отримані такі дані щодо вартості проїзду в громадському транспорті: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14, 15, 13 , 13, 12, 12, 15, 14, 14

Скласти емпіричну функцію розподілу цієї вибірки та побудувати її графік.

Запишемо значення вибірки у порядку зростання і порахуємо частоту кожного значення. Отримуємо наступну таблицю:

Рисунок 4.

Обсяг вибірки: $ n = 20 $.

За якістю 5, маємо, що з $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, а при $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.

Значення $x

Таким чином, отримуємо:

Малюнок 5.

Побудуємо графік емпіричного розподілу:

Рисунок 6.

Оригінальність: $92,12%.

Визначення емпіричної функції розподілу

Визначення 1

Кожне значення $x_i$ ($i=1,2\$, ...,$\n$) називається варіантом.

Однією з оцінок теоретичної функції розподілу є емпірична функція розподілу.

Визначення 3

де $n_x$ - число варіантів, менших за $x$, $n$ -- обсяг вибірки.

Властивості емпіричної функції розподілу

Розглянемо тепер кілька основних властивостей функції розподілу.

Область значень функції $F_n\left(x\right)$ - відрізок $$.

$F_n\left(x\right)$ незнищувальна функція.

$F_n\left(x\right)$ безперервна зліва функція.

$F_n\left(x\right)$ шматково-постійна функція і зростає тільки в точках значень випадкової величини $X$

Нехай $X_1$ - найменша, а $X_n$ - найбільша варіанта. Тоді $F_n\left(x\right)=0$ при $(x\le X)_1$і $F_n\left(x\right)=1$ при $x\ge X_n$.

Введемо теорему, яка пов'язує між собою теоретичну та емпіричну функції.

Теорема 1

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

Приклади завдань знаходження емпіричної функції розподілу

Приклад 1

Нехай розподіл вибірки має такі дані, записані за допомогою таблиці:

Малюнок 1.

Знайти обсяг вибірки, скласти емпіричну функцію розподілу та побудувати її графік.

Обсяг вибірки: $ n = 5 +10 +15 +20 = 50 $.

За якістю 5, маємо, що з $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, а за $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.

Значення $x

Таким чином, отримуємо:

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Приклад 2

Скласти емпіричну функцію розподілу цієї вибірки та побудувати її графік.

Рисунок 4.

Обсяг вибірки: $ n = 20 $.

За якістю 5, маємо, що з $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, а при $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.

Значення $x

Таким чином, отримуємо:

Малюнок 5.

Побудуємо графік емпіричного розподілу:

Рисунок 6.

Оригінальність: $92,12%.

Дізнайтесь, що таке емпірична формула.У хімії ЕФ – це найпростіший спосіб опису сполуки – по суті, це список елементів, що утворюють сполуку з урахуванням їх процентного змісту. Слід звернути увагу, що ця найпростіша формула не описує порядокатомів у поєднанні, вона просто вказує, з яких елементів воно складається. For example:

З'єднання, що складається із 40,92% вуглецю; 4,58% водню та 54,5% кисню, матиме емпіричну формулу C 3 H 4 O 3 (приклад того, як знайти ЕФ цієї сполуки буде розглянуто у другій частині).

Засвоїть термін "процентний склад"."Процентним складом" називається процентний вміст кожного окремого атома у всьому розглянутому з'єднанні. Щоб знайти емпіричну формулу сполуки, необхідно знати відсотковий склад сполуки. Якщо ви знаходите емпіричну формулу як домашнє завдання, то відсотки, швидше за все, будуть дані.

Щоб знайти відсотковий склад хімічної сполуки в лабораторії, його піддають деяким фізичним експериментам, а потім кількісному аналізу. Якщо ви не перебуваєте в лабораторії, вам не потрібно робити ці експерименти.

Майте на увазі, що вам доведеться мати справу з грам-атомами.Грам-атом – це певна кількість речовини, маса якої дорівнює його атомній масі. Щоб знайти грам-атом, потрібно скористатися наступним рівнянням: Відсотковий вміст елемента з'єднанні ділиться на атомну масу елемента.

Припустимо, наприклад, що ми маємо сполуку, що містить 40,92% вуглецю. Атомна маса вуглецю дорівнює 12, тому наше рівняння матиме 40,92/12 = 3,41.

Знайте, як шукати атомне співвідношення.Працюючи зі з'єднанням, у вас виходитиме більше одного грам-атома. Після знаходження всіх граматомів вашого з'єднання, подивіться на них. Щоб знайти атомне співвідношення, вам потрібно буде вибрати найменше значення грам-атома, які ви обчислили. Потім потрібно буде розділити всі грам-атоми на найменший грам-атом. Наприклад:

Допустимо ви працюєте зі з'єднанням, що містить три грам-атоми: 1,5; 2 та 2,5. Найменше із цих чисел – 1,5. Тому, щоб знайти співвідношення атомів, ви повинні розділити всі числа на 1,5 і поставити між ними знак відношення : .
1,5/1,5 = 1. 2/1,5 = 1,33. 2,5/1,5 = 1,66. Отже, співвідношення атомів одно 1: 1,33: 1,66 .

Розберіться, як переводити значення відношень атомів у цілі числа.Записуючи емпіричну формулу, ви маєте використовувати цілі числа. Це означає, що ви не можете використовувати цифри на зразок 1,33. Після того, як ви знайдете відношення атомів, вам потрібно перевести дробові числа (на зразок 1,33) у цілі (наприклад, 3). Для цього вам потрібно знайти ціле число, помноживши на кожне число атомного співвідношення, ви отримаєте цілі числа. Наприклад:

Спробуйте 2. Помножте числа атомного співвідношення (1, 1,33 та 1,66) на 2. Ви отримаєте 2, 2,66 та 3,32. Це не цілі числа, тому два не підходить.
Спробуйте 3. Якщо ви помножите 1, 1,33 та 1,66 на 3, у вас вийде 3, 4 та 5 відповідно. Отже, атомне співвідношення цілих чисел має вигляд 3: 4: 5 .

Лекція 13. Поняття про статистичні оцінки випадкових величин

Нехай відомий статистичне розподіл частот кількісної ознаки X. Позначимо через число спостережень, у яких спостерігалося значення ознаки, менше x і через n – загальне число спостережень. Очевидно, відносна частота події X< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Емпіричною функцією розподілу(функцією розподілу вибірки) називають функцію , що визначає для кожного значення x відносну частоту події X< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки, функцію розподілу генеральної сукупності називають теоретичною функцією розподілу.Відмінність між цими функціями у тому, що теоретична функція визначає ймовірністьподії X< x, тогда как эмпирическая – відносну частотуцієї ж події.

У разі зростання n відносна частота події X< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами

Властивості емпіричної функції розподілу:

1) Значення емпіричної функції належать відрізку

2) - незнищувальна функція

3) Якщо - найменший варіант, то = 0 при , якщо - найбільший варіант, то = 1 при .

Емпірична функція розподілу вибірки служить оцінки теоретичної функції розподілу генеральної сукупності.

Приклад. Побудуємо емпіричну функцію щодо розподілу вибірки:

Варіанти
Частоти

Знайдемо обсяг вибірки: 12+18+30=60. Найменша варіанта дорівнює 2, тому =0 при x £ 2. Значення x<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. таким чином, шукана емпірична функція має вигляд:

Найважливіші властивості статистичних оцінок

Нехай потрібно вивчити деяку кількісну ознаку генеральної сукупності. Припустимо, що з теоретичних міркувань вдалося встановити, яке самерозподіл має ознаку та необхідно оцінити параметри, якими воно визначається. Наприклад, якщо досліджуваний ознака розподілено у генеральній сукупності нормально, необхідно оцінити математичне очікування і середнє квадратичне відхилення; якщо ознака має розподіл Пуассон – необхідно оцінити параметр l.

Зазвичай є дані вибірки, наприклад значення кількісного ознаки , отримані в результаті n незалежних спостережень. Розглядаючи як незалежні випадкові величини, можна сказати, що знайти статистичну оцінку невідомого параметра теоретичного розподілу – отже знайти функцію від спостережуваних випадкових величин, що дає наближене значення параметра, що оцінюється. Наприклад, для оцінки математичного очікування нормального розподілу роль функції виконує середнє арифметичне

Для того щоб статистичні оцінки давали коректні наближення параметрів, що оцінюються, вони повинні задовольняти деяким вимогам, серед яких найважливішими є вимоги незміщеності і заможності оцінки.

Нехай – статистична оцінка невідомого параметра теоретичного розподілу. Нехай за вибіркою обсягу n знайдено оцінку. Повторимо досвід, тобто. вилучимо з генеральної сукупності іншу вибірку того ж обсягу та за її даними отримаємо іншу оцінку. Повторюючи досвід багаторазово, отримаємо різні числа. Оцінку можна як випадкову величину, а числа - як її можливі значення.

Якщо оцінка дає наближене значення з надлишком, тобто. кожне число більше істинного значення як наслідок, математичне очікування (середнє значення) випадкової величини більше, ніж :. Аналогічно, якщо дає оцінку з нестачею, то.

Таким чином, використання статистичної оцінки, математичне очікування якої не дорівнює параметру, що оцінюється, призвело б до систематичних (одного знака) помилок. Якщо, навпаки, то це гарантує від систематичних помилок.

Незміщеною називають статистичну оцінку, математичне очікування якої дорівнює параметру, що оцінюється при будь-якому обсязі вибірки.

Зміщеноюназивають оцінку, що не задовольняє цій умові.

Несмещенность оцінки ще гарантує отримання хорошого наближення для оцінюваного параметра, оскільки можливі значення може бути сильно розпорошені довкола свого середнього значення, тобто. Дисперсія може бути значною. У цьому випадку знайдена за даними однієї вибірки оцінка, наприклад, може виявитися значно віддаленою від середнього значення, а значить, і від параметра, що оцінюється.

Ефективною називають статистичну оцінку, яка при заданому обсязі вибірки n має найменшу можливу дисперсію .

При розгляді вибірок великого обсягу статистичним оцінкам пред'являється вимога заможності .

Заможною називається статистична оцінка, яка при n®¥ прагне ймовірно до оцінюваного параметра. Наприклад, якщо дисперсія незміщеної оцінки при n®¥ прагне нуля, то така оцінка виявляється і заможною.