Чому дорівнює векторна проекція. Вектор проекції. Координатні осі. Проекція точки. Координати точки на вісь. Вирішити завдання на вектори самостійно, а потім переглянути рішення

а. Проекцією точки А на вісь PQ (рис. 4) називається основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на цю вісь. Та вісь, яку ми проектуємо, називається віссю проекцій.

Ь. Нехай дані дві осі та вектор АВ, зазначені на рис. 5.

Вектор початком якого служить проекція початку і кінцем - проекція кінця даного вектора називається проекцією вектора А на вісь PQ, Записується це так;

Іноді покажчик PQ внизу не пишеться, це робиться в тих випадках, коли крім PQ немає іншої осіги на яку можна було б проектувати.

с. Теорема I. Величини векторів, що лежать однією осі, ставляться як величини їх проекцій будь-яку вісь.

Нехай дані осі та вектори, зазначені на рис, 6. З подоби трикутників видно, що довжини векторів відносяться, як довжини їх проекцій, тобто.

Так як вектори на кресленні спрямовані в різні боки, то величини їх мають різний нак, отже,

Очевидно, величини проекцій також мають різний знак:

підставляючи (2) в (3) в (1), отримаємо

Змінюючи знаки на зворотні, отримаємо

Якщо вектори будуть однаково спрямовані, будуть одного напрямку та їх проекції; у формулах (2) та (3) знаків мінус не буде. Підставляючи (2) і (3) у рівність (1), ми одразу отримаємо рівність (4). Отже, теорема доведена для всіх випадків.

d. Теорема ІІ. Величина проекції вектора на будь-яку вісь дорівнює величині вектора, помноженої на косинус кута між віссю проекцій і віссю вектора, Нехай дані осі вектор як зазначено на рис. 7. Побудуємо вектор однаково спрямований зі своєю віссю та відкладений, наприклад, від точки перетину осей. Нехай довжина його дорівнює одиниці. Тоді й величина його

Спочатку згадаємо, що таке координатна вісь, проекція точки на вісьі координати точки на осі.

Координатна вісь- це пряма, якій надається якийсь напрямок. Можете вважати, що це вектор із нескінченно великим модулем.

Координатна вісьпозначається якоюсь буквою: X, Y, Z, s, t... Зазвичай на осі вибирається (довільно) точка, яка називається початком відліку і, як правило, позначається буквою О. Від цієї точки відраховуються відстані до інших цікавих для нас точок.

Проекція точки на вісь- це підстава перпендикуляра, опущеного з цієї точки на цю вісь (рис. 8). Тобто проекцією точки на вісь є точка.

Координата точки на вісь- це число, абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка осі (у вибраному масштабі), укладеного між початком осі та проекцією точки на цю вісь. Це число береться зі знаком плюс, якщо проекція точки розташовується у напрямі осі від її початку та зі знаком мінус, якщо у протилежному напрямку.

Скалярна проекція вектор на вісь- це числоабсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка осі (в обраному масштабі), укладеного між проекціями точки початку і точки кінця вектора. Важливо! Зазвичай замість виразу скалярна проекція вектор на віськажуть просто - проекція вектора на вісь, тобто слово скалярнаопускають. Векторна проекціяпозначається тією ж літерою, що і вектор, що проектується (у звичайному, нежирному написанні), з нижнім (як правило) індексом назви осі, на яку цей вектор проектується. Наприклад, якщо на вісь Х проектується вектор а,його проекція позначається а x . При проектуванні цього ж вектора на іншу вісь, скажімо, вісь Y його проекція буде позначатися а y (рис. 9).

Щоб вирахувати проекцію вектора на вісь(наприклад, вісь X) треба з координати точки його кінця відняти координату точки початку, тобто

а x = х к − x н.

Потрібно пам'ятати: скалярна проекція вектора на вісь (або просто проекція вектора на вісь) - це число (не вектор)!Причому, проекція може бути позитивною, якщо величина х до більша за величину х н, негативної, якщо величина х до менша за величину х н і дорівнює нулю, якщо х до дорівнює х н (рис. 10).

Проекцію вектора на вісь можна знайти, знаючи модуль вектора і кут, який він складає з цією віссю.

З малюнка 11 видно, що x = а Cos α

Тобто, проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між напрямком осі та напрямком вектора. Якщо кут гострий, то Cos α > 0 і а x > 0, а якщо тупий, то косинус тупого кута негативний, і проекція вектора на вісь теж буде негативна.

Кути, що відлічуються від осі проти ходу годинникової стрілки, прийнято вважати позитивними, а по ходу негативними. Однак, оскільки косинус - функція парна, тобто Cos α = Cos (− α), то при обчисленні проекцій кути можна відраховувати як під час годинникової стрілки, так і проти.

При розв'язанні задач часто використовуватимуться такі властивості проекцій: якщо

а = b + c +…+ d, то а x = b x + c x + ... + d x (аналогічно інші осі),

a= m b, то а x = mb x (аналогічно інші осі).

Формула а x = а Cos α буде дуже частозустрічатися під час вирішення завдань, тому її обов'язково треба знати. Правило визначення проекції треба знати напам'ять!

Запам'ятайте!

Щоб знайти проекцію вектора на вісь треба модуль цього вектора помножити на косинус кута між напрямком осі та напрямком вектора.

Ще раз - НАЯВНІСТЬ!

Ось – це напрямок. Отже, проекція на вісь чи спрямовану пряму вважається одним і тим самим. Проекція буває алгебраїчна та геометрична. У геометричному розуміють проекцію вектора на вісь як вектор, а алгебраїчному – число. Тобто застосовуються поняття проекція вектора на вісь та числова проекція вектора на вісь.

Якщо маємо вісь L і ненульовий вектор A B → , можемо побудувати вектор A 1 B 1 ⇀ , позначивши проекції його точок A 1 і B 1 .

A 1 B → 1 буде проекцією вектора A B → L .

Визначення 1

Проекцією вектора на вісьназивають вектор, початок і кінець якого є проекції початку та кінця заданого вектора. n p L A B → → прийнято позначати проекцію A B → на L . Для побудови проекції L опускають перпендикуляри на L .

Приклад 1

Приклад векторної проекції на вісь.

На координатній площині О х задається точка M 1 (x 1 , y 1) . Необхідно побудувати проекції на О х і О у зображення радіус-вектора точки M 1 . Отримаємо координати векторів (x 1 , 0) та (0 , y 1) .

Якщо йдеться про проекцію a → на ненульовий b → або проекцію a → на напрямок b → , то мається на увазі проекція a → на вісь, з якою збігається напрямок b → . Проекція a → на пряму, що визначається b → має позначення n p b → a → → . Відомо, що коли кут між a → і b → можна вважати n p b → a → → і b → сонаправленными. У разі коли кут тупий, n p b → a → → і b → протилежно спрямовані. У ситуації перпендикулярності a → та b → , причому a → - нульовий, проекція a → у напрямку b → є нульовим вектором.

Числова характеристика проекції вектора на вісь – цифрова проекція вектора на задану вісь.

Визначення 2

Числовою проекцією вектора на вісьназивають число, яке дорівнює добутку довжини даного вектора на косинус кута між даним вектором та вектором, який визначає напрямок осі.

Числова проекція A B → L має позначення n p L A B → , а a → b → - n p b → a → .

Виходячи з формули, отримаємо n p b → a → a = a cos a → , b → ^ , звідки a → є довжиною вектора a → , a ⇀ , b → ^ - кут між векторами a → і b → .

Отримаємо формулу обчислення числової проекції: n p b → a → = a → cos a → , b → ^ . Вона застосовна при відомих довжинах a → та b → та вугіллі між ними. Формула застосовна при відомих координатах a → і b → але є її спрощений вигляд.

Приклад 2

Дізнатися числову проекцію a → на пряму за напрямом b → при довжині a → дорівнює 8 і кутом між ними 60 градусів. За умовою маємо a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Отже, підставляємо числові значення у формулу n p ​​b ⇀ a → = a → cos a → b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Відповідь: 4.

При відомому cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , маємо a → , b → як скалярний твір a → і b → . Виходячи з формули n p b → a → a = a cos a ⇀ , b → ^ , ми можемо знайти числову проекцію a → спрямовану по вектору b → і отримаємо n p b → a → = a → , b → b → . Формула еквівалента визначенню, вказаному на початку пункту.

Визначення 3

Числовою проекцією вектора a → на вісь, що збігається у напрямку з b → , називають відношення скалярного добутку векторів a → і b до довжини b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → застосовна для знаходження числової проекції a → на пряму, яка збігається за напрямком з b → , при відомих a → та b → координатах.

Приклад 3

Заданий b → = (- 3, 4). Знайти числову проекцію a → = (1, 7) на L.

Рішення

На координатній площині npb → a → = a → , b → b → має вигляд npb → a → = a → , b → b = ax · bx + ay · bybx 2 + by 2 , при a → = (ax , ay ) і b → = bx, by. Щоб знайти числову проекцію вектора a → на вісь L потрібно: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax · bx + ay · bybx 2 + by 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (-3) 2 + 4 2 = 5 .

Відповідь: 5.

Приклад 4

Знайти проекцію a → на L , яка збігається з напрямком b → , де є a → = - 2 , 3 , 1 і b → = (3 , - 2 , 6) . Задано тривимірний простір.

Рішення

За заданими a → = a x , a y , a z і b → = b x , b y , b z обчислимо скалярний добуток: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Довжину b → знайдемо за формулою b → = b x 2 + y 2 + b z 2 . Звідси випливає, що формула визначення числової проекції a → буде: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Підставляємо числові значення: np L a → = npb → a → = (-2) · 3 + 3 · (-2) + 1 · 6 3 2 + (-2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Відповідь: - 6 7 .

Переглянемо зв'язок між a → на L та довжиною проекції a → на L . Накреслимо вісь L , додавши a → і b → з точки L , після чого проведемо перпендикулярну пряму з кінця a → L і проведемо проекцію на L . Існують 5 варіацій зображення:

Першийвипадок при a → = npb → a → → означає a → = npb → a → → , звідси випливає npb → a → = a → cos (a, → b → ^) = a → cos 0 ° = npb → a → → .

Другийвипадок має на увазі застосування n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , отже, n p b → a = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Третійвипадок пояснює, що при npb → a → → = 0 → отримуємо npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0 , тоді npb → a → → = 0 npb → a → = 0 = npb → a → → .

Четвертийвипадок показує npb → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , слід npb → a → = a → cos (a → , b → ^) = - npb → a → → .

П'ятийвипадок показує a → = npb → a → → , що означає a → = npb → a → → , звідси маємо npb → = - npb → a →.

Визначення 4

Числовою проекцією вектора a → на вісь L , яка спрямована як і b → має значення:

• довжини проекції вектора a → на L за умови, якщо кут між a → та b → меншим за 90 градусів або дорівнює 0: n p b → a → = n p b → a → → з умовою 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• нуля за умови перпендикулярності a → і b → : n p b → a → = 0, коли (a → , b → ^) = 90°;
• довжини проекції a → на L , помноженої на -1, коли є тупий або розгорнутий кут векторів a → і b → : n p b →< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Приклад 5

Дана довжина проекції a → на L 2 . Знайти числову проекцію a → за умови, що кут дорівнює 5 6 радіан.

Рішення

З умови видно, що цей кут тупий: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Відповідь: - 2 .

Приклад 6

Дана площина О х y z з довжиною вектора a → 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) з кутом в 30 градусів. Знайти координати проекції a → на вісь L .

Рішення

Для початку обчислюємо числову проекцію вектора a → : n p L a → = n p b → a = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

За умовою кут гострий, тоді числова проекція a → = довжині проекції вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Цей випадок показує, що вектори n p L a → → і b → сонаправлены, отже є число t , у якому правильна рівність: n p L a → → = t · b → . Звідси бачимо, що n p L a → → = t · b → , отже, можемо знайти значення параметра t: t = n p L a → b → = 9 (-2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Тоді np L a → → = 3 · b → з координатами проекції вектора a → на вісь L дорівнюють b → = (- 2 , 1 , 2) , де необхідно помножити значення на 3. Маємо np L a → → = (- 6 , 3, 6) . Відповідь: (- 6, 3, 6).

Необхідно повторити раніше вивчену інформацію про умову колінеарності векторів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Векторний опис руху є корисним, тому що на одному кресленні завжди можна зобразити багато різноманітних векторів та отримати перед очима наочну «картину» руху. Однак щоразу використовувати лінійку та транспортир, щоб робити дії з векторами, дуже трудомістко. Тому ці дії зводять до дій із позитивними та негативними числами – проекціями векторів.

Проекцією вектора на вісьназивають скалярну величину, рівну добутку модуля проектованого вектора на косинус кута між напрямками вектора та обраної координатної осі.

На лівому кресленні показаний вектор переміщення, модуль якого 50 км, яке напрям утворює тупий кут 150° з напрямком осі X. Використовуючи визначення, знайдемо проекцію переміщення на вісь X:

sx = s · cos (α) = 50 км · cos ( 150 °) = -43 км

Оскільки кут між осями 90°, легко підрахувати, що напрямок переміщення утворює із напрямком осі Y гострий кут 60°. Використовуючи визначення, знайдемо проекцію переміщення на вісь Y:

sy = s · cos(β) = 50 км · cos( 60°) = +25 км

Як бачите, якщо напрямок вектора утворює з напрямком осі гострий кут, проекція позитивна; якщо напрямок вектора утворює з напрямком осі тупий кут, проекція негативна.

На правому кресленні показаний вектор швидкості, модуль якого 5 м/с, а напрямок утворює кут 30° з напрямком осі X. Знайдемо проекції:

υx = υ · cos(α) = 5 м/c · cos( 30°) = +4,3 м/с
υy = υ · cos(β) = 5 м/с · cos( 120°) = –2,5 м/c

Набагато простіше знаходити проекції векторів на осі, якщо вектори, що проектуються, паралельні або перпендикулярні вибраним осям. Звернемо увагу, що для випадку паралельності можливі два варіанти: вектор співспрямований осі та вектор протиспрямований осі, а для випадку перпендикулярності є лише один варіант.

Проекція вектора, перпендикулярного осі, завжди дорівнює нулю (див. sy та ay на лівому кресленні, а також sx та υx на правому кресленні). Справді, для вектора, перпендикулярного до осі, кут між ним і віссю дорівнює 90°, тому косинус дорівнює нулю, отже, і проекція дорівнює нулю.

Проекція вектора, сонаправленного з віссю, позитивна і дорівнює його модулю, наприклад, sx = +s (див. лівий креслення). Справді, для вектора, сонаправленного з віссю, кут між ним та віссю дорівнює нулю, та його косинус «+1», тобто проекція дорівнює довжині вектора: sx = x – xo = +s .

Проекція вектора, протиспрямованого осі, негативна і дорівнює його модулю, взятому зі знаком «мінус», наприклад sy = –s (див. правий креслення). Справді, для вектора, протиспрямованого осі, кут між ним та віссю дорівнює 180°, та його косинус «–1», тобто проекція дорівнює довжині вектора, взятої з негативним знаком: sy = y – yo = –s .

На правих частинах обох креслень показані інші випадки, коли вектори паралельні до однієї з координатних осей і перпендикулярні до іншої. Пропонуємо вам переконатися самостійно, що й у цих випадках також виконуються правила, сформульовані у попередніх абзацах.

З фізики за 9 клас (І.К.Кікоїн, А.К.Кікоїн, 1999 рік),
завдання №5
до глави « ГЛАВА 1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО РУХ».

1. Що називають проекцією вектора на координатну вісь?

1. Проекцією вектора на координатну вісь називають довжину відрізка між проекціями початку і кінця вектора а (перпендикулярами, опущеними з цих точок на вісь) на цю координатну вісь.

2. Яким чином пов'язаний вектор переміщення тіла з його координатами?

2. Проекції вектора переміщення s на осі координат дорівнюють зміні відповідних координат тіла.

3. Якщо координата точки з часом збільшується, який знак має проекція вектора переміщення на координатну вісь? А якщо вона зменшується?

3. Якщо координата точки з часом збільшується, то проекція вектора переміщення на координатну вісь буде позитивною, т.к. у цьому випадку ми йтимемо від проекції початку до проекції кінця вектора у напрямку самої осі.

Якщо координата точки з часом зменшуватиметься, то проекція вектора переміщення на координатну вісь буде негативною, т.к. в цьому випадку ми будемо йти від проекції початку до проекції кінця вектора проти самої осі.

4. Якщо вектор переміщення паралельний осі X, то чому дорівнює модуль проекції вектора на цю вісь? А модуль проекції цього вектора на вісь У?

4. Якщо вектор переміщення паралельний осі Х, то модуль проекції вектора на цю вісь дорівнює модулю самого вектора, яке проекція на вісь Y дорівнює нулю.

5. Визначте знаки проекцій на вісь X векторів переміщення, що зображені на малюнку 22. Як при цих переміщеннях змінюються координати тіла?

5. У всіх нижченаведених випадках координата Y тіла не змінюється, а координата Х тіла змінюватиметься таким чином:

a) s 1;

проекція вектора s 1 на вісь Х негативна і по модулю дорівнює довжині вектора s 1 . За такого переміщення координата Х тіла зменшиться на довжину вектора s 1 .

b) s 2;

проекція вектора s 2 на вісь X позитивна і дорівнює модулю довжині вектора s 1 . За такого переміщення координата Х тіла збільшиться на довжину вектора s 2 .

c) s 3;

проекція вектора s 3 на вісь Х негативна і дорівнює модулю довжині вектора s 3 . За такого переміщення координата Х тіла зменшиться на довжину вектора s 3 .

d) s 4;

проекція вектора s 4 на вісь X позитивна і дорівнює модулю довжині вектора s 4 . За такого переміщення координата Х тіла збільшиться на довжину вектора s 4 .

e) s 5;

проекція вектора s 5 на вісь Х негативна і дорівнює модулю довжині вектора s 5 . За такого переміщення координата Х тіла зменшиться на довжину вектора s 5 .

6. Якщо значення пройденого шляху велике, чи модуль переміщення може бути малим?

6. Може. Це з тим, що переміщення (вектор переміщення) є векторної величиною, тобто. є спрямований відрізок прямий, що з'єднує початкове положення тіла з його наступними положеннями. А кінцеве положення тіла (незалежно від величини пройденого шляху) може бути як завгодно близько до початкового положення тіла. У разі збігу кінцевого та початкового положень тіла, модуль переміщення дорівнюватиме нулю.

7. Чому в механіці важливіший вектор переміщення тіла, ніж пройдений ним шлях?

7. Основним завданням механіки є визначення положення тіла будь-якої миті часу. Знаючи вектор переміщення тіла, ми можемо визначити координати тіла, тобто. становище тіла у час, а знаючи лише пройдений шлях ми можемо визначити координати тіла, т.к. ми не маємо відомостей про напрям руху, а можемо тільки судити про довжину пройденого шляху на даний момент часу.