Prawo bezwładności form kwadratowych. Napisz macierz kwadratową

Ponadto, zgodnie z twierdzeniem o zredukowanej formie kwadratowej, dla dowolnej formy kwadratowej \(A(x,x)\) istnieje baza kanoniczna \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \) , więc co dla dowolnego wektora \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \ lambda _k\eta _k ^2. \] Oskіlki \(A(x,x)\) jest wartością mowy, a nasze podstawienia dla podstawy również obejmują więcej niż liczby mowy, dochodzi do skrętu, że liczby \(\lambda _k\) są mową. Środek tych liczb jest dodatni, ujemny i równy zero.

Wizyta, umówione spotkanie. Liczbę \(n_+\) liczb dodatnich \(\lambda _k\) nazywamy dodatni indeks postaci kwadratowej \(A(x,x)\) , liczba \(n_-\) liczb ujemnych \(\lambda _k\) nazywa się ujemny indeks postaci kwadratowej liczba \((n_++n_-)\) nazywa się rząd formy kwadratowej . Podobnie jak \(n_+=n\), forma kwadratowa nazywa się pozytywny .

Vzagali, redukcja kwadratowej formy do przekątnej nie jest realizowana w jednym zamówieniu. Obwiniaj potęgę: chi lie liczby \(n_+\), \(n_-\) zgodnie z wyborem podstawy, w której formie kwadratu jest przekątna?

Twierdzenie (Prawo bezwładności form kwadratowych). Wskaźniki dodatnie i ujemne formy kwadratowej nie stoją na przeszkodzie redukcji do poglądu kanonicznego.

Załóżmy dwie bazy kanoniczne, \(\(f\)\), \(\(g\)\), aby każdy wektor \(x\) mógł być reprezentowany przez przeglądarkę: \[ x=\sum_( k= 1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] i \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k^ 2= \suma _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Mam na myśli \(\lambda _k\) persh \(p\) dodatnie, іnshі lub ujemne, lub zero, med \(\mu_m\) persh \(s\) dodatnie, іnshі lub ujemna, zero. Co musimy przynieść (p = s). Przepisz (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] obie części równoważności są nevid'emni. Dopuszczalne jest, aby (p) i (s) nie były równe, na przykład (p)

Przywieźliśmy, że generowane są dodatnie indeksy. W podobny sposób można doprowadzić do ujemnych wskaźników. c.d.

1. Przelicz na sumę kwadratów w postaciach kwadratowych:

a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

Pojęcie formy kwadratowej. Macierz form kwadratowych. Kanoniczny wygląd formy kwadratowej. Metoda Lagrange'a. Normalnie wyglądająca forma kwadratowa. Ranga, indeks i sygnatura formy kwadratowej. Pozytywnie pevna kwadratowa forma. Kwadryki.

Zrozumienie formy kwadratowej: funkcja na przestrzeni wektorowej, którą podaje jednorodny wyraz bogaty innego stopnia współrzędnych wektora.

Kwadratowy kształt n nevіdomih nazywa się sumą, skóra dodanok jest albo kwadratem jednego z nich neіdomih, albo stworzeniem dwóch różnych nevіdomih.

Macierz kwadratowa: Macierz nazywana jest macierzą postaci kwadratowej dla danej podstawy. Jeżeli charakterystyka pola nie jest tak dobra jak 2, można przyjąć, że macierz postaci kwadratowej jest symetryczna, czyli .

Napisz macierz kwadratową:

Otzhe,

W przypadku postaci wektorowej z macierzą postać kwadratowa może wyglądać tak:

Kanoniczny wygląd formy kwadratowej: Forma kwadratowa nazywana jest kanoniczną, tak jak wszystko inne.

Czy forma kwadratowa może zostać sprowadzona do formy kanonicznej dla dodatkowych przekształceń liniowych. Naprawdę wzywaj do takich metod.

Metoda Lagrange'a : Po obejrzeniu ostatnich kwadratów. Na przykład jak

Następnie postępujmy zgodnie z procedurą pracy z formą kwadratową itd. Tak jak w formie kwadratowej wszystko jest ale, to po przekształceniu w przód w prawo doprowadzi to do badanej procedury. Więc jak na przykład vvazhaemo

Normalnie wyglądająca forma kwadratowa: Normalna forma kwadratowa to taka kanoniczna forma kwadratowa, która może mieć wszystkie współczynniki równe +1 lub -1.

Ranga, indeks i podpis formy kwadratowej: Rząd formy kwadratowej ALE nazwany rangą macierzy ALE. Ranga formy kwadratowej nie zmienia się wraz z nieżyciowymi przekształceniami nie-domów.

Liczba ujemnych współczynników nazywana jest ujemnym indeksem postaci.

Liczba wyrazów dodatnich w ujęciu kanonicznym nazywana jest dodatnim wskaźnikiem bezwładności postaci kwadratowej, liczba wyrazów ujemnych nazywana jest wskaźnikiem ujemnym. Różnica między indeksami dodatnimi i ujemnymi nazywana jest sygnaturą formy kwadratowej

Forma kwadratowa jest pozytywnie przypisana: Kwadratowa forma mowy nazywa się pozytywnie przypisaną (przypisaną ujemnie), ponieważ dla dowolnych nie równych zeru wartości zmiany mowy

W ten sposób macierz nazywana jest również przypisaną dodatnio (przypisaną ujemnie).

Klasa form przypisanych dodatnio (przypisanych ujemnie) jest częścią klasy form niedodatnich (pozornie niedodatnich).

Quady:Quadric — n-spokojna hiperpowierzchnia w n+1-world expans jest podawany jako anonimowe zero bogatego terminu kolejnego kroku. Jak wprowadzić współrzędne ( x 1 , x 2 , x n+1) (w przestrzeni euklidesowej lub ateńskiej)

Wiersz można przepisać bardziej zwięźle w kategoriach macierzowych:

de x = ( x 1 , x 2 , x n+1) - wektor wierszowy, x T - wektor transpozycji, Q- rozszerzona matryca ( n+1)×( n+1) (przenoszenie jeśli chcesz jeden її niezerowy element), P- Wektor wiersza i R- Stała. Najczęściej patrzy się na kwadryki nad liczbami rzeczywistymi i zespolonymi. Wizja może być umieszczona na kwadrykach w pobliżu przestrzeni projekcyjnej, div. niżej.

Bardziej dziko, anonimowe zera układu wielomianu równają się w domu jako różnica algebraiczna. W tej kolejności kwadryczne є (afiniczne lub rzutowe) wariacje algebraiczne innego poziomu i korozmіrnosti 1.

Transformacja kwadratu i przestrzeni.

Wyznaczone przekształcenie terenu. Wyznaczona ruina. cechy ruhu. Dwa rodzaje ruhіv: ruh pierwszego rodzaju i ruh drugiego rodzaju. Zastosuj ruhiv. Analityczny Viraz Ruhu. Klasyfikacja wytrzymałych mieszkań (depozyt ze względu na obecność nieryczących punktów i niezmiennych linii prostych). Grupa ruin płaskich.

Oznaczenie przekształcenia terenu: Oznaczenie. Przekształcenie terenu jest pobierane z wybrzeża i nazywa się między punktami wysypka(lub ruchome) obszary. Przekształcenie obszaru nazywa się powinowactwo to tak, jakby były trzy punkty, które leżą na jednej prostej, przechodząc w trzy punkty, więc leż na jednej prostej i tym po prostu weź trzy punkty.

Kierunek Ruhu: tse transformacja figur, w której zostaje się zapisany w środku punktów. Jakby na pierwszy rzut oka dwie liczby były dokładnie jedną z jedną, te liczby są takie same, równe.

Potężny ruch: w każdy sposób, w jaki wybierasz orientację rux płaszczyzny, albo przez przesunięcie równoległe, albo przez obracanie, w każdy sposób zmieniasz orientację rux płaszczyzny, albo symetrię osiową, albo symetrię kovznoi. Punkty leżące na linii prostej przesuwają się na godzinę w punkcie leżącym na linii prostej i ustala się kolejność ich wzajemnego rozszerzania się. W godzinie szczytu kuti między znakami zostaje ocalone.

Dwa rodzaje ruhіv: ruh pierwszego rodzaju i ruh drugiego rodzaju: Rukhowie pierwszego rodzaju to właśnie tacy Rukhowie, jaka zachowują orientację podstaw jak figury. Smród może być wprowadzony bez przerwy.

Rukhami innego rodzaju są takimi rukhami, jakby zmieniali orientację baz na przeciwną. Smród może być wprowadzony bez przerwy.

W przypadku kolb pierwszego rodzaju skręt jest przenoszony na linię prostą, a w przypadku rąk drugiego rodzaju ta lustrzana symetria jest centralna.

Skład, niezależnie od tego, czy jest to duża liczba ruhіv pierwszego rodzaju є ruh pierwszego rodzaju.

Skład sparowanej liczby ruhіv innego rodzaju to rodzaj ruh 1, a skład niesparowanej liczby ruhіv 2 to rodzaj ruh 2.

Zastosuj ruhіv:Transfer równoległy. Niech a będzie wektorem. Przeniesienie równoległe do wektora nazywamy rozszerzeniem płaszczyzny na sobie, gdy punkt skóry M zostanie przesunięty do punktu M 1, więc wektor MM 1 jest bliższy wektorowi a.

Przenoszenie równoległe ręcznie, odłamki do powierzchni powierzchni na sobie, co oszczędza powietrze. Początkowo ten ruch jest możliwy jako zniszczenie wszystkich samolotów w pobliżu danego wektora ale w następnym dniu.

Skręcać. Znacząco na płaszczyźnie punktu O ( środek skrętu) ustawiam α ( wyciąć skręt). Obracając obszar wokół punktu O na przecięciu α, powierzchnia samolotu jest wywoływana sama, gdy punkt skóry M pojawia się w punkcie M 1, więc GM \u003d OM 1 i cięcie MOM 1 to więcej α. Jeśli tak, punkt O pozostaje na swoim miejscu, to pojawia się sam w sobie, a wszystkie inne punkty obracają się wokół punktu O w tym samym kierunku - za strzałką roku lub przeciw strzałce roku (obrót strzałki roku jest pokazane na małym).

Obracając є rękę, oskolki є vіrazhennyam plaschiny na siebie, w przypadku yakom zberіgayutsya vіdstanі.

Analityczny Viraz Ruhu: Widać powiązanie analityczne między współrzędnymi obrazu wstępnego a obrazem punktu (1).

Klasyfikacja mieszkania rukhіv (depozyt ze względu na obecność punktów bez przemocy i niezmiennych linii): Oznaczenie:

Punkt płaszczyzny jest niezmienny (niedestrukcyjny), więc kiedy zostanie przekształcony, przejdzie do siebie.

Tyłek: Przy centralnej symetrii niezmiennej istnieje punkt do środka symetrii. Kiedy skręcanie jest niezmienne, punktem jest środek skrętu. W przypadku symetrii osiowej linii niezmiennej, cała symetria jest punktem niezmiennym linii prostej.

Twierdzenie: Jeśli ruh nie ma odpowiedniego punktu niezmiennika, to vin może chcieć tylko jednej niezmiennej linii prostej.

Przykład: przeniesienie równoległe. Po prawej, prosto, równolegle do prostej niezmiennika jak figura, chcę zsumować z punktów niezmiennika.

Twierdzenie: Jeśli się zawali jak obietnica, obiecuję przetłumaczyć w domu, to to samo, w przeciwnym razie to transformacja, w przeciwnym razie symetria może być prosta, aby pomścić daną obietnicę.

Dlatego w przypadku obecności niezmiennych punktów i cyfr możliwe jest przeprowadzenie klasyfikacji rukhivów.

Grupa obszarowa Ruhіv: W geometrii ważną rolę odgrywają grupy mylących siebie postaci. Yakshcho - słaba postać w mieszkaniu (lub na otwartej przestrzeni), wtedy możesz spojrzeć na bezosobową ciszę mieszkania (lub otwartego), z taką postacią, aby przejść do domu.

Wielość Tsya to grupa. Np. w przypadku trójcinaka równobocznego grupa mieszkań, co przekłada się na trójcięty w domu, składa się z 6 elementów: obracającego się na przecięciu wokół wierzchołka i symetrycznego wokół trzech prostych.

Smród pokazano na ryc. 1 czerwona linia. Elementy grupy samosumowania poprawnego trikutnika można ustawić inaczej. Aby to wyjaśnić, ponumeruj wierzchołki zwykłego trykotu liczbami 1, 2, 3. Niezależnie od tego, czy jest to trikutnik, który sam się przyznał, przetłumacz punkty 1, 2, 3 w samym punkcie, czy też weź to w innej kolejności. Możesz tylko wpisać się w myślach patrząc na jeden z tych łuków:

gdzie liczby 1, 2, 3 oznaczają numery takich wierzchołków, aby w wyniku analizowanego ruchu przeszły wierzchołki 1, 2, 3.

Przestrzeń projekcyjna tych modeli.

Pojęcie przestrzeni projekcyjnej jest modelem przestrzeni projekcyjnej. Podstawowe fakty z geometrii konstrukcji. Łączenie linii prostych wyśrodkowanych w punkcie O-modelu płaszczyzny rzutowej. Punkty projektowe. Obszar rozszerzony - rzutowy model obszaru. Ekspansja trivimirny Przestrzeń ateńska lub euklidesowa - model przestrzeni rzutowej. Obrazy płaskich i przestronnych postaci o równoległym designie.

Pojęcie przestrzeni rzutowej i model przestrzeni rzutowej:

Przestrzeń projekcyjna nad polem to rozpiętość utworzona z linii prostych (jednowymiarowych podprzestrzeni) liniowej rozpiętości nad tym polem. Bezpośrednie przestrzenie nazywają się kropki przestrzeń projektowa. Cel powołania ma być zaznaczony na konkretnym ciele

Jeśli istnieje przestrzeń, to liczba nazywana jest przestrzenią przestrzeni projektowej, a sama przestrzeń rzutowa jest wyznaczana i nazywana skojarzoną (aby wskazać, że oznaczenie jest akceptowane).

Nazywa się przejście z przestrzeni wektorowej do przestrzeni projektowej projekcja przestrzeń.

Krapki można opisać za pomocą współrzędnych jednorodnych.

Podstawowe fakty geometrii rzutowej: Geometria projekcyjna - podzieliła geometrię, kształtując obszar projektowy i przestrzeń. Główna cecha geometrii rzutowej opiera się na zasadzie subwersji, która dodaje cieńszej symetrii bogatym strukturom. Geometrię rzutową można postrzegać z punktu widzenia czysto geometrycznego, a także analitycznego (za pomocą jednorodnych współrzędnych) i algebraicznego, patrząc na płaszczyznę projektu jako strukturę nad polem. Często i historycznie płaszczyzna projektowania mowy jest traktowana jako płaszczyzna euklidesowa z dodatkiem „prosto w niespójności”.

Podobnie jak potęga przedimków, z którymi geometria euklidesowa może mieć rację, є metryczny(konkretne wartości kutiv, vіdrіzkіv, obszar), a równoważność liczb jest równa stosowność(to znaczy, jeśli figury można przetłumaczyć same na inne dla pomocy ruchu z oszczędności władz metrycznych), aby zrozumieć „głęboko leżący” autorytet figur geometrycznych, jak są one przyjmowane podczas przekształceń większego zagala typ, niższy Rukh. Geometria rzutowa dotyczy rozwoju potęg figur, które są niezmienne w ramach klasy permutacja projekcyjna i sami nawigują transformacją tsikh.

Geometria rzutowa uzupełnia Euklidesa, dając bogate i proste rozwiązania dla bogatych problemów, co sprawia, że ​​obecność równoległych linii jest bardziej skomplikowana. Teoria projektowania ostatecznych wersji jest szczególnie prosta i wyrafinowana.

Istnieją trzy główne podejścia do geometrii projektu: niezależna aksjomatyzacja, uzupełniające Geometria euklidesowa Struktury na polu.

Aksjomatyzacja

Ekspansja projekcyjna może być przypisana komplementarnemu zestawowi aksjomatów.

Coxeter mówi tak:

1. Czy właściwy punkt nie jest na tym.

2. Zrób trzy punkty na linii prostej skóry.

3. Przez dwa punkty można narysować jedną linię prostą.

4. Jakscho A, B, C, і D- różnica punktów ABі płyta CD przesunięcie, więc ACі BD majstrować.

5. Jakscho ABC- samolot, to zakładamy, że jeden punkt nie znajduje się na płaszczyźnie ABC.

6. Dwie różne płaszczyzny nakładają się w dwóch punktach.

7. Trzy punkty po przekątnej całego choticutora nie są współliniowe.

8. Jak trzy punkty na linii prostej X X

Płaszczyznę rzutową (bez trzeciego wymiaru) określają inne aksjomaty:

1. Przez dwa punkty można narysować jedną linię prostą.

2. Bądź jak dwie proste linie przeplatające się.

3. Użyj punktów chotiri, których nie ma zbyt wielu współliniowych.

4. Trzy przekątne punkty zewnętrznych chotirikutników nie są współliniowe.

5. Jak trzy punkty na linii prostej X niezmienna względem rzutowości φ, to wszystkie punkty włączone X niezmienny jak φ.

6. Twierdzenie Desargue'a Jeśli dwa trykoty obiecują w linii prostej, to obiecują w linii prostej

Dla oczywistości trzeciego świata twierdzenie Desarguesa można uzupełnić bez wprowadzania idealnego punktu i linii.

Obszar rozszerzony — model obszaru rzutowego: Przyjmijmy w przestrzeni ateńskiej A3 połączenie prostych S(O) ze środkiem w punkcie O i płaszczyzną Π, która nie przechodzi przez środek połączenia: O 6∈ Π. Łączenie linii prostych z przestrzenią ateńską z modelem obszaru projektowego. Przypisany do bezosobowych punktów płaszczyzny Π na bezosobowych prostych łączach S

Ekspansja trivimirny ateńska lub euklidesowa przestrzeń - model przestrzeni rzutowej:

Aby uczynić ją bardziej surjektywną, powtarzamy proces formalnego przedłużania płaszczyzny afinicznej Π do płaszczyzny rzutowej Π, dodając płaszczyznę Π do bezsensownych niejasnych punktów (M∞) tak, że: ((M∞)) = P0(O). Przegrzebki na odwróconym obrazie płaszczyzny skóry połączenia płaszczyzn S(O) są proste na płaszczyźnie d, oczywiste jest, że istnieją nieosobowe nierówne punkty płaszczyzny rozszerzonej: Π = Π ∩ (M∞), (M∞), jest nieliniową linią d ∞ wydłużonej płaszczyzny, jako wstępny obraz osobliwej płaszczyzny Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23). Uzupełniając płaszczyznę powinowactwa nieliniowej linii prostej, udało nam się uczynić wyświetlacz (I.21) bardziej aktywnym na bezosobowości wszystkich punktów płaszczyzny rozszerzonej:

Obrazy płaskich i przestronnych postaci o równoległym kształcie:

Na stereometrii przestrzenie figur są skręcone, protea na smrodzie fotela są przedstawione jako płaskie figury. W jakiej kolejności należy przedstawić przestronną sylwetkę na mieszkaniu? Dźwięk, którego geometria zwycięża równolegle do projektu. Niech p - deyak płasko, ja- Prosto, scho peretinaє її (ryc. 1). Przez pewien punkt A, więc nie kłam prosto ja, narysowany linią prostą, równoległą do linii prostej ja. Punkt przecięcia prostej z płaszczyzną p nazywamy rzutem równoległym punktu A na obszarze p w linii prostej ja. Znacząco A„Co za punkt A leżeć prosto ja, to projekcja równoległa A na płaszczyźnie p punkt przecięcia linii prostej ja z p.

W ten sposób kropki na skórze A miejsce na projekcję A do pow. Tsya vіdpovіdnіst nazywa się równoległym rzutowaniem na obszar p w linii prostej l.

Grupa zmian konstrukcyjnych. Dodatek do zadań rozvyazannya.

Koncepcja przekształcenia projektowego terenu. Zastosuj transformację projektową obszaru. Siła zmian projektowych. Homologia, homologia mocy. Grupa zmian konstrukcyjnych.

Zrozumienie transformacji projektowej obszaru: Pojęcie transformacji projekcyjnej jest znanym pojęciem projekcji centralnej. Wystarczy wikonować rzut centralny płaszczyzny α na płaszczyznę płaszczyzny α 1, następnie rzut α 1 na α 2, α 2 na α 3, ... i, nareshti, taka płaszczyzna α n nowy na α 1 to złożenie wszystkich tych rzutów i є jest przekształceniem rzutowym płaszczyzny α; taki lancet może zawierać równoległe występy.

Zastosuj rzutowe przetasowanie samolotu: Przekształcenia projekcyjne zaludnionego obszaru nazywane są reprezentacjami win jeden-do-jednego i jeden-do-jednego, w których kolinearność punktów, chi, skądinąd pozorna, jest prosta i prosta. Niezależnie od tego, czy będzie to projekt transformacji, czy kompozycja lancetu z rzutami centralnymi i równoległymi. Transformacja ateńska jest jedynym momentem rzutu, z którym linia prosta przecina się w sobie w nieskończenie odległy sposób.

Moc transformacji projekcyjnych:

Przy transformacji rzutowej trzy punkty, które nie leżą na linii prostej, przechodzą w trzech punktach, które nie leżą na linii prostej.

W przypadku transformacji projekcyjnej rama jest przekształcana w klatkę.

W przypadku transformacji rzutowej linia prosta przechodzi w linię prostą, belka w belkę.

Homologia, homologia mocy:

Przekształcenie rzutowe płaszczyzny, która ma prosty niezmienny punkt, a zatem wiązkę niezmiennych linii, nazywa się homologią.

1. Linia prosta, która może przechodzić przez drugie punkty homologii, które się nie pokrywają, jest niezmienniczą linią prostą;

2. Linie proste, które przechodzą przez drugie punkty homologii, które się nie nakładają, leżą w jednej wiązce, której środek jest punktem niezmiennym.

3. Krapka, że ​​środek homologii leży na jednej prostej.

Grupa zmian konstrukcyjnych: możemy spojrzeć na projekt płaszczyzny rzutowej P 2 na sobie, a więc na rzutową transformację płaszczyzny (P 2 ' = P 2).

Tak jak poprzednio, skład f transformacji rzutowych f 1 na f 2 płaszczyzny rzutowej P 2 jest wynikiem kolejnej transformacji f 1 na f 2: f = f 2 ° f 1 .

Twierdzenie 1: bezosobowość wszystkich przekształceń rzutowych płaszczyzny rzutowej P 2 to grupa dowolnej kompozycji przekształceń rzutowych.

§ 4. Prawo bezwładności form kwadratowych. Klasyfikacja form kwadratowych

1. Prawo bezwładności form kwadratowych. Wskazaliśmy już (boski szacunek dla 2 p. 1 poprzedniego paragrafu), że rząd formy kwadratowej jest równy liczbie typów pierwotnych zerowych współczynników kanonicznych. Później liczbę zerowych współczynników kanonicznych można znaleźć przy wyborze transformacji innej niż pierwotna, za pomocą której forma A (x, x) jest wprowadzana do formy kanonicznej. Rzeczywiście, dla każdego sposobu sprowadzenia formy A (x, x) do formy kanonicznej liczba dodatnich i ujemnych współczynników kanonicznych nie zmienia się. Moc Tsya nazywana jest prawem bezwładności form kwadratowych.
Przejdźmy do blokowania prawa bezwładności, spróbujmy je uszanować.
Niech forma A (x, x) y podstawa e \u003d (e 1, e 2, ..., e n) jest przypisana przez macierz A (e) \u003d (a ij):

de ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n są współrzędnymi wektora x y bazy e. Załóżmy, że postać po przekształceniu współrzędnych niepierwotnych jest sprowadzana do postaci kanonicznej

ponadto λ 1 , λ 2 ,..., λ k- wskazywane przez zerowe współczynniki kanoniczne, ponumerowane tak, aby pierwszy z tych współczynników q był dodatni, a kolejne współczynniki ujemne:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λq+1< 0, ..., λ k <0.

Spójrzmy na nadchodzącą transformację nie-wirogenną współrzędnych μ i (łatwo się domyślić, że znak tej transformacji jest podobny do zera):

W wyniku tego przekształcenia będzie widoczna forma A (x, x)

szereguje według formy normalnej formy kwadratowej.
Później za pomocą niepierwotnej transformacji współrzędnych ξ 1 , ξ 2 , ..., n wektora x w bazie e = (e 1 , e 2 ,..., e n )

(przekształcenie є twer przekształcenie ξ w μ i μ w η za pomocą wzorów (7.30)) postać kwadratową można sprowadzić do widoku normalnego (7.31).
Zajmijmy się tym.
Twierdzenie 7.5 (prawo bezwładności form kwadratowych). Nie można znaleźć liczby dodatków o dodatnich (ujemnych) współczynnikach w normalnie wyglądającej formie kwadratowej, aby zredukować formę do jej pierwotnej postaci.
Dowód. Niech postać A(x,x) po pomocy niezdegenerowanej transformacji współrzędnych (7.32) zostanie przywrócona do normalnego widoku (7.31) i po pomocy innej niezdegenerowanej transformacji współrzędnych zostanie doprowadzona do normalny widok

Najwyraźniej, aby udowodnić twierdzenie, konieczne jest ponowne rozważenie ważności równości p = q.
Niech p > q. Zmieńmy, w którym kierunku є niezerowy wektor x jest taki, że poprzez rozszerzenie do baz, dla których postać A (x, x) może wyglądać (7.31) i (7.33), współrzędne η 1 , η 2 , ..., η q i ζ p+1 , ..., ζ n który wektor jest równy zero:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ p+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7,34)

Współrzędne Oskilki η i odebranie ścieżki transformacji innej niż pierwotna (7.32) współrzędnych ξ 1 , ..., ξ n i współrzędnej ζ i- za pomocą podobnej niezdegenerowanej transformacji współrzędnych ξ 1 , ..., ξ n , wtedy sp_v_dnoshenie (7.34) można uznać za układ liniowych jednorodnych wyrównań współrzędnych ξ 1 , ..., ξ n 1 , e 2 ,..., e n ) (na przykład w rozszerzonym sp_v_dnoshenna η 1 = 0 maє, zgіdno (7.32), wpisz 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0)- Ponieważ p > q, to ​​liczba jednorodnych równości (7,34) jest mniejsza niż n, więc układ (7,34) może mieć niezerowe rozwiązanie dla współrzędnych ξ 1 , ..., ξ n układu losowy wektor x. Również, jeśli p > q jest niezerowym wektorem x, dla którego obliczana jest zależność (7.34).
Rozważmy wartość postaci A(x, x) wektora x. Zwracając się do spіvvіdnoshen (7.31) i (7.33), bierzemy

Pozostała zazdrość może czasami być miejscem dla matki mniej q+1 = ... = η k = 0 i ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
W ten sposób aktualna baza ma wszystkie współrzędne ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ n niezerowy wektor x jest równy zeru (reszta z dziel. równa i równa (7.34)), to znaczy. wektor x jest równy zero. Otzhe, pripuschennya p > q prowadzą do superostrości. Za podobne mirkuvannyami prowadzą do super-dokładności, że naddatek< q.
Później p = q. Twierdzenie zostało zakończone.
2. Klasyfikacja form kwadratowych. W paragrafie 1 § 2 działu drugiego (dział 2) wprowadzono pojęcia dodatnio przypisanych, ujemnych, podpisanych i quasi-znakowych form kwadratowych.
W tym miejscu, aby pomóc w zrozumieniu wskaźnika bezwładności, dodatnich i ujemnych wskaźników bezwładności formy kwadratowej, możemy powiedzieć, w jaki sposób można wyjaśnić słuszność formy kwadratowej do tego, że indukuje więcej typów. Przy dowolnym wskaźniku bezwładności postaci kwadratowej nazywa się liczbę współczynników kanonicznych postaci zerowej (tobto її ranga), dodatni wskaźnik bezwładności to liczba dodatnich współczynników kanonicznych, ujemny wskaźnik kanoniczny to liczba ujemnych współczynniki ujemne Było jasne, że suma dodatnich i ujemnych wskaźników bezwładności jest równa wskaźnikowi bezwładności.
Nie otrzymujmy również wskaźnika bezwładności, dodatni i ujemny wskaźnik bezwładności postaci kwadratowej A(x, x) są podobnie równe k, p і q (k = p + q).f , f 2 , ..., fn) ta forma może zostać podniesiona do obraźliwego normalnego wyglądu:

de η 1 , η 2 ..., η n - współrzędne wektora x y baza f .
1°. Potrzebne jest wystarczające intelektualne znaczenie formy kwadratowej. Dobra ofensywna twardość.
W tym celu kwadratowa forma A(x, x) jest podana w n-światowej przestrzeni liniowej L, jest ze znakiem, jest to konieczne i wystarczające, albo dodatni wskaźnik bezwładności p, albo ujemny wskaźnik bezwładności q jest dobre dla wymiaru n przestrzeni L.
Jeśli tak, jeśli p = n, to forma jest przypisywana dodatnio, jeśli q = n, to forma jest przypisywana ujemnie.
Dowód. Ponieważ formularze z dodatnim wynikiem i formularze z ujemnym wpisem są postrzegane w ten sam sposób, dowód potwierdzenia jest przeprowadzany dla formularzy z dodatnim wpisem.
1) Konieczność. Niech forma A(x,x) będzie przypisana dodatnio. Todi viraz (7.35) w przyszłości będę wyglądać

A (x, x) \u003d η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.

Yakshcho w tsiomu r< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 \u003d 0, η 2 \u003d 0, ..., η p \u003d 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

forma A(x,x) jest konwertowana na zero, ale zamiast przeliczania wartości dodatnio zdefiniowanej formy kwadratowej. Również p = n.
2) Dostępność. Niech p = n. Wtedy sp_v_dnoshennia (7.35) może wyglądać A(x, x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2 . Oczywiste jest, że A(x,x) ≥ 0, a jeśli A = 0, to η 1 = η 2 = ... = η n= 0, to wektor x jest pusty. Ponadto A(x, x) jest formą dodatnio prostą.
Szacunek. W celu wyjaśnienia odżywiania znaczenia formy kwadratowej konieczne jest sprowadzenie formy do formy kanonicznej dla dodatkowych znaków.
W punkcie wyjścia przynosimy Sylwestrowe kryterium znaczenia znakowego formy kwadratowej, za pomocą którego można wyjaśnić odżywianie o znaczeniu znakowym formy podanej w dowolnej podstawie bez sprowadzania do formy kanonicznej.
2°. Konieczna jest wystarczająca mentalna znajomość formy kwadratowej. Zajmijmy się tym.
Aby forma kwadratowa była znana, jest to konieczne i wystarczające, aby była zarówno dodatnia, jak i ujemna, a wskaźnik bezwładności formy powinien być równy zero.
Dowód. 1) Konieczność. Znajoma forma Oskilki przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, її przejaw G.35) u osoby normalnie wyglądającej może mieć zarówno dodatnie, jak i ujemne dodatki (w przeciwnym razie forma przyjmowała albo wartości nieujemne, albo niedodatnie). Również jako dodatni i ujemny wskaźnik bezwładności w postaci zera.
2) Dostępność. Niech p ≠ 0 i q ≠ 0. To samo dla wektora x 1 o współrzędnych η 1 ≠ 0, ..., η p ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 może A(x 1 x 1) > 0, a dla wektora x 2 iz współrzędne η 1 = 0, ..., η p = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 może A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Niezbędna i wystarczająca wartość quasi-znakowa Umova postaci kwadratowej. Dobra ofensywna twardość.
Aby forma A (x, x) była quasi-znacząca, jest konieczne i wystarczające, aby konotacje były< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Dowód. Możemy spojrzeć na pozytywnie quasi-znaczącą formę. Vipadok negatywnie quasi-znaki formy są postrzegane w podobny sposób.
1) Konieczność. Niech forma A(x,x) będzie dodatnio quasi-znakowa. Wtedy oczywiście q = 0 i p< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Dostępność. Yakscho r< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 może wtedy A(x, x) = 0. A(x, x) jest postacią dodatnio quasi-znakową.
3. Kryterium Sylwestra (James Joseph Sylvester (1814-1897) - matematyk angielski) o znaczeniu znakowym formy kwadratowej. Niech forma A (x, x) y podstawa e \u003d (e 1, e 2, ..., e n) jest przypisana przez macierz A (e) \u003d (a ij):

i pozwól mi Δ 1 \u003d 11, - matryca kutovі minor i vyznachnik (а ij). Dobra ofensywna twardość.
Twierdzenie 7.6 (kryterium Sylvestera). Aby postać kwadratowa A(x, x) była dodatnio przypisana, konieczne i wystarczające jest pokonanie nierówności Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0.
Aby forma kwadratowa była oznaczona w sposób ujemny, jest to konieczne i wystarczające, aby narysowane zostały ponadto znaki górnych małoletnich - 1< 0.
Dowód. 1) Konieczność. Porozmawiajmy o wartości znaku formy kwadratowej A (x, x) jest jasne Δ ja ≠ 0, i = 1, 2, ..., n.
Przejdźmy dalej, sho pripuschenna Δ k= 0 prowadzące do superścisłości - w takim przypadku stosuje się niezerowy wektor x, dla którego A (x, x) = 0, co super określa znak istotności formy.
Otzhe, chodź k= 0. Przyjrzyjmy się podejściu kwadratowego jednolitego układu wyrównań liniowych:

Oskilki k- oznaczenie systemu Δ k= 0, system ma niezerowe rozwiązanie ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k (nie wszystkie ξ i są równe 0). Pomnóż pierwszy równy (7,36) przez ξ 1 , drugi przez ξ 2 ..., a resztę przez ξ k i możemy złożyć offset. W rezultacie przyjmuje się równoważność , którego lewa część jest wartością postaci kwadratowej A(x, x) dla niezerowego wektora x o współrzędnych (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k , 0, ..., 0 ) . Wartość jest równa zeru, co zastępuje znaki formularza.
Otzhe, zawiedliśmy, scho Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n. Dlatego możemy udoskonalić metodę redukcji Jacobiego postaci A(x, x) do sumy kwadratów (Div. Twierdzenie 7.4) i zredukować wzorami (7.27) dla współczynników kanonicznych λ i. Yakshcho A(x, x) jest formą dodatnio pojedynczą, wszystkie współczynniki kanoniczne są dodatnie. Ale todi іz spіvvіdnoshen (7.27) jest oczywiste, scho Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Ponieważ A(x, x) jest formą ujemną, wszystkie współczynniki kanoniczne są ujemne. Aleksy formuł (7.27) są czytelne, więc narysowane są znaki apex minors 1< 0.
2) Dostępność. Niech vikonanі myje się, nakładki na kutovі minori Δ i przy sformułowaniu twierdzenia. Oskilki i≠ 0, i = 1, 2,..., n , to postać A można sprowadzić do sumy kwadratów metodą Jacobiego (div. Twierdzenie 7.4) oraz współczynników kanonicznych λ i można znaleźć za formułami (7.27). Jeśli Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, to z spіvvіdnoshen (7.27) widzimy, że wszystkie λ i> 0, czyli postać A(x,x) jest przypisana dodatnio. Jakie są znaki Δ i narysuj to Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Wiosna okazała się miesiącem udanym dla wszystkich klas aktywów. Według szacunków „Groszy” wszystkie inwestycje majzhe przyniosły pozytywny wynik. Ci, którym największe dochody przynosiły złoża złota, grali we wzroście kosztu drogiego metalu i osłabieniu rubla. Wysoki zysk inwestorom przyniosły główne kategorie funduszy inwestycyjnych, depozyty, a także większość akcji rosyjskich. Pozostałe losy funduszy obligacyjnych, a także akcje Oschadbanku stały się najbardziej popularne, ponieważ to one mogą najbardziej ucierpieć w wyniku zaostrzenia amerykańskich sankcji.

Witalij Kapitonow

Pięć miesięcy później złoto stało się najcenniejszą inwestycją na miesiąc. Dla oceny "Penny" włożenie 15 sierpów do drogiego metalu 100 cisów. rub., Inwestor natychmiast wystartuje za miesiąc majz 5 cisów. pocierać. dochód. Tse inny niż wielkość miesięcznego wyniku tego losu. Im większy inwestorowi moment zarobienia na mieszkaniu - 9,3 tys. pocierać.

Wysoka opłacalność wkładu szlacheckiego metalu jest rzadziej związana ze wzrostem ceny jogi. Od połowy sierpa cena złota wzrosła o 2,4%, do 1205 dolarów za uncję. Tse stało się przykładem dostosowań inflacyjnych w Stanach Zjednoczonych. Według danych Departamentu Handlu USA inflacja w kraju wzrosła z 2,9% w lipie do 2,7% w sierpie i nadal jest przewyższana przez FRS. W ten sposób inflacja nadal rośnie, aby Fed mógł podnieść stopę bez gwałtownych zmian. Wiadomość o tych, że rząd USA i Kanady nadal próbuje znaleźć kompromis dla nowej łaski NAFTA, wsparła drogi metal. „Te innowacje zmniejszają turbulencje w transakcjach, ponieważ wywierają presję na rynek złota i wzmacniają dolara”, mówi Mikhailo Sheibe, strateg operacyjny rynków towarowych w Sbierbank Investment Research. Efektem wzrostu cen złota był wzrost wzrostu kursu dolara w Rosji (+2,5%). W rezultacie inwestycje rubla w drogi metal przyniosły znaczne dochody.

Jednak do czasu dalszych inwestycji złoto jest objęte ochroną, uczestnicy rynku są szanowani. Eskalacja opozycji handlowej między USA a Chinami jest kluczowym ryzykiem dla inwestycji w szlachecką branżę metalową. „Czynnik politycznej presji inkluzji, co oznacza, że ​​pojawienie się nowych barier praktycznie nie wchodzi w rachubę. Taki rozwój jest negatywny dla złota, wysysa odłamki wzrostu dla dolara jako zamortyzowanego aktywa” mówi Mikhailo Sheibe.

Ile dochodu przyniosły wpłaty w złocie (%)

Dzherela: Bloomberg, Reuters, Oschadbank.

Do najbardziej dochodowych produktów finansowych należą fundusze akcji, a inne produkty firm zarządzających mogą zapewnić marżę przewyższającą cenę złota. Zhovtnі najbardziej udane były depozyty z akcji funduszu Galużew, skoncentrowane na firmach metalurgicznych, telekomunikacyjnych oraz naftowych i gazowych. Według oceny „Grosha”, opartej na pieniądzach Investfunds, za podtorby miesięcznej inwestycji takie fundusze przyniosły inwestorom prywatnym około 2,2 tys. rub., do 5,2 tys. pocierać.

Wysokie zyski zapewniły inne kategorie funduszy: fundusze indeksowe, inwestycje zagraniczne, euroobligacje. Fundusze tych kategorii mogą przynieść swoim inwestorom około 200 rubli. do 4 tys. pocierać. na 100 tys. wstawić.

Negatywny wynik przyniosły fundusze obligacyjne, które spodobały się prywatnym inwestorom. Fundusze tej kategorii mogą być konserwatywne, więc wydatki prywatnych inwestorów były symboliczne - do 1 tys. rubli. pocierać. Dla takich umysłów inwestorzy zaczęli ustalać zyski z funduszy obligacji. Za hołdem dla Investfunds inwestorzy zebrali 4 miliardy rubli z funduszy obligacji. Większość smrodu pochodziła z funduszy kategorii od niemowląt w 2014 roku. Na skutek dewaluacji kursu rubla i gwałtownego wzrostu kursów na rynku krajowym inwestorzy pozyskali z funduszy ponad 4,5 mld rubli.

Zwiększona płynność inwestorów jest często wykorzystywana do pozyskiwania bardziej ryzykownych funduszy akcyjnych. Kwota pieniędzy zainwestowana w fundusze kategorii tsієї w serpni po przekazaniu 3,5 miliarda rubli, czyli 500 milionów rubli. więcej obsyagu zaluchen lipa. Będzie pił ryzykowną strategię wzrostu już przez pierwszy miesiąc snu, a depozyt będzie pożyczał coraz więcej udziału dzikiej fali rozdrіbnі fondi. Największe inwestycje w inwestorów finansowane są przez telekomunikację oraz ropę i gaz.

Jakie dochody przyniosły inwestycje funduszy inwestycyjnych (%)

Dzherela: Liga Narodowa Kerivniki, Fundusze Inwestycyjne.

Osoby z zewnątrz Serpnevі - akcje - wzrosły na trzecie miejsce z czwartej oceny "Groshy". W ciągu ostatniego miesiąca inwestycje w indeks MICEX przyniosły inwestorom detalicznym 3,4 tys. rubli. pocierać. Przy pierwszej kolbie badanego okresu tak wysokiego wyniku nie dało się odczuć. W okresie od 15 kwietnia do 18 kwietnia indeks MICEX spadł o 1,2%. Sytuacja protetyczna poprawiła się po 24 kwietnia. Przez trzy dni indeks wzrósł o 5% i wzrósł do poziomu 2374 punktów. To tylko 2 punkty mniej niż historyczne maksimum, instalacje w pobliżu brzozy.

Tymczasem wiosną wiele indeksów giełdowych krajów i innych krajów wykazywało dodatnią dynamikę. Według szacunków Bloomberga, rosyjskie indeksy wzrosły w ujęciu dolarowym o niecałe 4,4%. Silniejszy wzrost wykazały jedynie indeksy tureckie, które wzrosły o 5,9-6,3%. Włoski FTSE MIB stał się liderem wśród wiodących wskaźników w kraju, dodając 3,4% w ciągu miesiąca.

Najbardziej wzrosły akcje ALROSA, Gazpromu, MMC Norylsk Nickel i Magnit: na tych papierach inwestor mógł zarobić 4,2-8,3 tys. pocierać. za sto tysięcy inwestycji w skórę. Idąc za słowami Antona Startseva, czołowego analityka Olma Investment Company, że zainteresowanie inwestorów papierami ALROSY śledził minister finansów Anton Siluanov, mówiąc, że firma może przeznaczyć 75% dochodu netto na wypłatę dywidendy.

Winą za duży obraz były akcje RusHydro, Rostelecom, Aeroflot; do 1,4 tys. pocierać. Maksymalne wydatki pokazali inwestorzy, którzy zainwestowali grosze w ceny papieru do Oschadbanku - 2,1 tys. rubli. pocierać. Akcje są zamykane pod presją komentarzy urzędników Departamentu Stanu USA, którzy nie widzą możliwości nałożenia sankcji na bank w okresie jesiennych urlopów. Takie perspektywy rażąco rzucają się w oczy międzynarodowych inwestorów i wydają się być zawstydzeni nie tylko OFZ, ale także papierowymi bankami.

Po załamaniu się sierpa i wiosny akcje Oschadbanku stały się bardziej atrakcyjne inwestycyjnie, troszczą się analitycy. „Odbicie w papierach największego rosyjskiego banku jest jeszcze większe, a ryzyko ich zakupów jest całkowicie błędne. Inwestorzy średnioterminowi wciąż muszą skupić się na ustaleniu zysku w okolicach 180 rubli na akcję” – uważa Ołeksij. Brokerov, analityk w ALOR Brokers.

Jaki dochód przyniosły inwestycje w akcje (%)