Gdy tylko asymptotyka krzywej zostanie posunięta do przodu, wykres funkcji będzie łatwiejszy na różne sposoby.

Proporcja asymptotyków równa się tragedii. Pokaż się tak, jakby: całe życie waliło się prosto do obowiązkowego znaku, podejdź do niego jak najbliżej, ale nadal nie możesz go dosięgnąć. Na przykład pragnati na swojej ścieżce życia ze ścieżki ludu bazhan, w pewnym momencie zbliż się do niej, ale nie trzymaj się. Abo pragnut zarób miliard, ale zanim osiągniesz cel, zaznacz wpis do Księgi Rekordów Guinnessa za swój występ, nie uciekaj od setek centów. Lubię to. Czyli z asymptotą: nie da się dotrzeć do zakrzywionego wykresu funkcji, zbliża się on do minimalnej możliwej odległości, ale joga to za mało.

Spotkanie 1. Asymptoty nazywane są takimi liniami prostymi, które zawsze znajdują się blisko wykresu funkcji, jeśli wartość jest zmieniona plus niespójność lub minus niespójność.

Spotkanie 2. Nazywa się to wprost asymptotą wykresu funkcji, ponieważ znajduje się w zmiennym punkcie M wykres funkcji do linii prostej do zera, gdy punkt nie jest obramowany M wyświetlić kolbę współrzędnych w zależności od tego, czy jest to galeria wykresu funkcji.

Istnieją trzy rodzaje asymptot: pionowa, pozioma i ugięcia.

Asymptoty pionowe

Najpierw musisz wiedzieć o asymptotach pionowych: smród jest równoległy do ​​osi Auć .

Wizyta, umówione spotkanie. Prosty x = aє asymptota pionowa wykresu funkcji jak punkt x = aє Wytnę inny rodzaj dla tej funkcji.

Z punktu widzenia wynika, że ​​jest prosty x = aє pionowa asymptota wykresu funkcji f(x) , aby ktoś chciał użyć jednego umysłu:

Na jakiej funkcji? f(x) może buti vzagalі nie vyznachen vіdpovіdno at x ≥ aі x ≤ a .

Szacunek:

Przykład 1. Harmonogram funkcji tak=ln x mieć pionową asymptotę x= 0 Auć) w międzyobszarach przypisania, tak jak funkcje międzyfunkcyjne podczas wykonywania xsu do zera, po prawej, minus niespójność:

(Mały do ​​bestii).

samodzielnie, a następnie przejrzyj decyzję

tyłek 2. Poznaj asymptotykę wykresu funkcji.

Przykład 3. Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Asymptoty poziome

Najpierw musisz wiedzieć o asymptotach poziomych: smród jest równoległy do ​​osi Wół .

Yakshcho (między funkcjami z pragmatycznym argumentem na plus lub minus niezgodność z podaną wartością b), następnie tak = b – asymptota pozioma krzywa tak = f(x ) (prawo z iksi, co oznacza plus nieostrość, leva z iksi, co oznacza minus nieostrość, i dwustronne, a także pomiędzy, jeśli iksa ma prawo do plus lub minus nieostrości).

Przykład 5. Harmonogram funkcji

w a> 1 maє lewa asymptota pozioma tak= 0 Wół), tak aby pomiędzy funkcjami z pragmatyczną „iksa” aż do minus niespójność była równa zero:

Nie ma prawej asymptotyki poziomej dla krzywej, ale nie ma śladów inter-funkcji z ćwiczeniem „iksa” aż do plus niespójność lub niespójność:

Asymptoty Pohili

Asymptoty pionowe i poziome, jak widzieliśmy więcej, są równoległe do osi współrzędnych, więc do nich będziemy potrzebować więcej niż małej liczby - punktu na osi odciętej lub rzędnych, przez asymptotę, aby przejść przez asymptotę. Przy chorowitej asymptocie trzeba mieć więcej – najwyższy współczynnik k, który pokazuje cięcie na bezczelny prosty, czyli dobry członek b, co pokazuje, że łuski znajdują się mniej więcej pod kolbą współrzędnych. Nie zrozumieli idei zapominania o geometrii analitycznej, która niejako równa się liniom prostym, aby uszanować to, co wiesz o kruchych asymptotach wyrównanie linii prostych ze współczynnikiem cięcia. Przyczynę brzydkiej asymptotyki uznaje się za obraźliwe twierdzenie, na podstawie którego znamy nazwy różnych współczynników.

Twierdzenie. Aby być krzywym tak = f(x) mała asymptota tak = kx + b konieczne i wystarczające, sob kі b badana funkcja w przypadku zmiany pragmatycznej x do plus niespójność i minus niespójność:

(1)

(2)

Znalezione w ten sposób liczby kі b oraz є współczynniki słabej asymptoty.

Pierwszy (z pragmatycznym x na plus nieostrość) ma prawo umrzeć asymptotą, drugi (z pragmatycznym x na minus nieostrość) - lewa. Prosty kąt asymptoty pokazano na ryc. na dole.

Jeśli znamy równość chorowitych asymptotyków, należy sprawdzić poprawność x i plus niezgodność oraz minus niezgodności. W przypadku niektórych funkcji, na przykład dla funkcji ułamkowo-wymiernych, liczby między nimi są różne, ale w przypadku funkcji bogatych liczby między różnymi i mogą używać tylko jednej z nich.

Kiedy zbіgu między w iksi, scho pragne do plus niewyraźność i minus niespójność jest prosta tak = kx + b jest dwustronną asymptotą krzywej.

Jak chcesz użyć jednego z inter, jak określić asymptotę tak = kx + b , nie, to wykres funkcji nie ma złej asymptoty (alternatywnie może być pionowy).

Nie ma znaczenia, czy asymptota jest pozioma tak = bє ozdobimy vipadok słabych tak = kx + b w k = 0 .

Ponadto, jeśli mam prostą krzywą, która ma poziomą asymptotę, to nie mam prostej asymptoty i navpaki.

Przykład 6. Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie. Funkcja jest przypisana do całej linii liczbowej, crim x= 0, więc.

Dlatego zwracam uwagę x= 0 krzywa może mieć pionową asymptotę. W rzeczywistości między funkcjami, gdy wartość x jest do zera, koszt jest większy plus niespójność:

Otzhe, x= 0 to pionowa asymptota wykresu funkcji.

Asymptotyka pozioma wykresu funkcji nie może być, dlatego między funkcjami z wykonaniem x do plus niezgodność jest droższa plus niezgodność:

Oczywiste jest, że brzydka asymptota jest widoczna:

Zabrali ostatnie granice k= 2 ta b= 0. Prosto tak = 2xє dwustronna krucha asymptota wykresu funkcji (rys. w środku doczołu).

Przykład 7. Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie. Funkcja może otworzyć jeden punkt x= -1. Obliczanie jednostronne między i znacząco różnymi rodzajami rozwoju:

Visnovok: x\u003d -1 - punkt do innego rodzaju, do tego jest bezpośredni x= −1 є pionowa asymptota wykresu funkcji.

Żartuję tylko z asymptot. Tak więc podana jest funkcja - ułamkowo-racjonalna, między kiedy ja kiedy zbіgatimutsya. W tej kolejności znamy współczynniki podstawienia w linii prostej – słabą asymptotę:

Zastępując znane współczynniki linii prostej współczynnikiem kulminacyjnym, jest on równy kruchej asymptotyce:

tak = −3x + 5 .

Na małym wykresie funkcji wartości w kolorach bordowym, a asymptoty w kolorze czarnym.

Przykład 8. Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie. Funkcja Oskіlki tsya jest nieprzerwana, її harmonogram nie ma żadnych pionowych asymptot. Asymptoty Shukaemo pokhili:

.

W ten sposób wykres funkcji może mieć asymptotę. tak= 0 dla i nie ma asymptotyki dla .

Przykład 9. Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie. Stopniowo, asymptotyki pionowe. Dzięki temu znamy zakres przypisanej funkcji. Funkcja jest przypisywana, jeśli we własnym zakresie występuje nierównowaga. Znak węża x znak zbіgaєtsya zі. Do tego możemy spojrzeć na odpowiednik nerwowości. Dlaczego zakres przypisanej funkcji: . Asymptota pionowa może być mniejsza na obszarach między regionami przypisanej funkcji. ale x= 0 może być pionową asymptotą, funkcja skalowania jest przypisana w x = 0 .

Spójrzmy na prawą granicę, gdy (lewa granica nie jest wyraźna):

.

Kropka, cętkowane x= 2 - punkt do innego rodzaju, do tego jest bezpośredni x= 2 - pionowa asymptota wykresu funkcji.

Asymptoty Shukaemo pokhili:

Otzhe, tak = x+ 1 - koszt asymptoty wykresu funkcji dla . Asymptota Shukaєmo pokhila w:

Otzhe, tak = −x − 1 - przerwa asymptoty w .

tyłek 10 Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie. Funkcja może mieć zakres . Pionowa asymptota wykresu funkcji może znajdować się tylko w obszarze międzyobszarowym, znamy jednostronną interfunkcję w .

Samo typowe zadanie jest sformułowane w ten sposób i przekazuje znaczenie WSZYSTKICH asymptot grafu (pionowych, kruchych/poziomych). Jeśli chcesz być dokładniejszy w formułowaniu żywienia - przejdź do obserwacji obecności asymptot (nawet jeśli takie mogą się nie pojawić).

Zacznijmy od czegoś prostego:

tyłek 1

Rozwiązanie ręcznie podzielić na dwa punkty:

1) Jest odwrócony, chi є pionowe asymptoty. Baner zmienia się na zero w nieskończona ekspansja, Prosta, dana równa pionowej asymptocie wykresu funkcji . Ale najpierw sporządź taki visnovok, konieczne jest poznanie jednostronnych granic:

Chyba technika jest obliczona, za co podobnie brzmiałem na statystyce nieprzerwana funkcja. Punkty otwarcia. W viraz pod znakiem między miejscem reprezentowane jest „Іks”. Cyfra nie ma nic do powiedzenia:
.

I oś przy sztandarze do wyjścia nieskończenie mała liczba ujemna:
, Vono i vyznaє udział między.

Granica lewostronna nie jest wąska i w zasadzie nadal można winić werdykt o obecność pionowej asymptoty. Ale jednostronne potrzeby pośrednika są nie tylko dla innych - smród POMAGA POWODZIE, JAK planowanie harmonogramu funkcji i zachęcanie do jogi PRAWIDŁOWY. Do tego obov'yazkovo jest obliczalne, a prawa granica:

Visnovok: jednokierunkowe między niespójnościami, również linia prosta z pionową asymptotą wykresu funkcji w .

granica perszy kіntsevy Otzhe, konieczne jest „kontynuowanie rozmovu” i poznanie różnicy między:

Inne granice tezh kіntsevy.

Zatem nasza asymptota to:

Visnovok: Prosta podana równa poziomej asymptocie wykresu funkcji w .

Dla wartości asymptoty poziomej możesz koristuvatisya za pomocą prostej formuły:

Jakby istniała wyraźna granica, to linia jest poziomą asymptotą wykresu funkcji.

Nie jest ważne, aby pamiętać, że cyfra i baner funkcji jeden rząd wzrostu, co oznacza, że ​​pomiędzy będzie koniec:

Vidpovid:

Dla umysłu nie trzeba wygrywać fotela, ale nawet w samym ogniu funkcje uzupełniające, to na czarnej linii są małe robimo:

Opierając się na trójce wiedzy pomiędzy, spróbuj samodzielnie wymyślić, jak możesz rozszerzyć harmonogram funkcji. Czy to naprawdę ważne? Znajdź 5-6-7-8 pikseli i oznacz je na fotelu. Wt, harmonogram funkcji będzie pomocny transformacja wykresu funkcji elementarnej, a czytelnicy, którzy z szacunkiem przyjrzeli się Butt 21 przydzielonych artykułów, łatwo zgadnąć, jaka jest krzywa.

tyłek 2

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania. Proces, zgadywanie, dzieli się ręcznie na dwa punkty - asymptoty pionowe i asymptoty pokhil. Jednocześnie za uproszczonym schematem znaleziono poziomą asymptotę.

W praktyce najczęściej wykorzystywane są funkcje strzałowo-racjonalne, a po treningu na hiperbolach zadanie jest łatwiejsze:

tyłek 3

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie: Raz, dwa i gotowe:

1) Znane są pionowe asymptoty w punktach niewyczerpanego wzrostu, należy pogodzić się, że baner zwraca się do zera. Wiriszima wyrównanie do kwadratu :

Wyróżnik jest pozytywny, istnieją dwa prawdziwe korzenie, a robot jest znacząco dodany =)

Metodą odległej znajomości jednostronnych trójmianów międzykwadratowych ręcznie podziel na mnożniki:
(Dla zwięzłego zapisu do pierwszego łuku dodano „minus”). Dla celów ubezpieczeniowych musimy ponownie sprawdzić, przemyśleć, albo na czarno, krzywe ramiona.

Przepiszmy funkcję widoku

Jednostronną granicę znamy w punkcie:

I w kropkach:

W tej kolejności linie proste i pionowe asymptoty wykresu funkcji, które można zobaczyć.

2) Jeśli podziwiasz tę funkcję, to jest całkowicie oczywiste, że między nami asymptota będzie pozioma. Pokazywanie її obecności w skrócie:

W tej kolejności linia prosta (wszystkie odcięte) jest poziomą asymptotą wykresu funkcji.

Vidpovid:

Znajomość między i asymptotyka daje niewiele informacji o wykresie funkcji. Spróbuj wydobyć swoje myśli na światło dzienne, rozwiązując nadchodzące fakty:

Schematycznie przedstaw swoją wersję wykresu na czarno.

Oczywiście znajomość granic nie przesądza jednoznacznie o rodzaju harmonogramu i możliwe, że możesz wybaczyć, ale sam masz prawo do udzielenia nieocenionej pomocy w trakcie kursu pełna kontrola funkcji. Prawidłowy obraz - jak lekcja.

tyłek 4

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

tyłek 5

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Niezależne rozwiązanie Tse zavdannya. Obrażając wykresy, ponownie kieruję się poziomymi asymptotami, które są niedbale wykrywane za takimi znakami: Przykład 4 rosnący porządek występuje większa liczba banerów, niższy rząd wzrostu w księdze numerów, a także w księdze numerów i baneru Applied 5 jeden rząd wzrostu. W przypadku rozwiązania pierwsza funkcja została rozszerzona o obecność kruchych asymptot po tej samej ścieżce, a druga - przez granicę.

Asymptoty poziome, na mojej subiektywnej zmianie, są wyostrzane częściej, niżej, jakby „w odpowiedni sposób”. Gorący spadek Dovgoochіkuvany:

tyłek 6

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie: klasyka gatunku:

1) Oskіlki znamennik jest dodatni, to funkcja nieprzerwany na całej osi liczbowej i pionowe asymptoty w dniach. ... Czy dobrze? Niewłaściwe słowo - cud! Pozycja nr 1 zamknięta.

2) Odwrócenie obecności słabych asymptot:

granica perszy kіntsevy to demo zostało wydane. Pod godziną obliczania drugiej granicy do adopcji nieistotność „niespójność minus niespójność” prowadzimy viraz do śpiącego sztandaru:

Inne granice tezh kіntsevy, Również wykres analizowanej funkcji ma złą asymptotę:

Visnovok:

W ten sposób z wykresem funkcji bardzo blisko zbliżanie się do linii prostej:

Szanuj, że zmieniasz swoją słabą asymptotę na kolbę współrzędnych, więc punkty zmiany są ogólnie akceptowalne - ważne jest, aby „wszystko było w porządku” w przypadku niespójności (no cóż, porozmawiaj o asymptotach i idź tam sam).

tyłek 7

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie: nie komentować niczego konkretnie, sporządzę przybliżoną ocenę ostatecznej decyzji:

1) Asymptoty pionowe. Przejdźmy do rzeczy.

Linia prosta jest pionową asymptotą wykresu w .

2) Asymptoty Pohili:

Linia prosta jest słabą asymptotą dla wykresu w .

Vidpovid:

Znane jednostronne granice i asymptotyki o wysokiej niezawodności pozwalają na akceptację, jakby patrząc na wykres funkcji. Właściwe krzesło jest jak lekcja.

tyłek 8

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

To jest przykład samodzielnej decyzji, jasność kalkulacji aktów między wami można podzielić według terminu na baner. Ponownie analizując wyniki, spróbuj przekroczyć harmonogram funkcji.

Jest oczywiste, że Volodarianie „właściwych” słabych asymptot są wykresami tych funkcji ułamkowo-racjonalnych, które mogą być starszym rzędem liczebnika jeszcze jeden starszy stopień sztandaru. Co więcej - odrapanych asymptot już nie będzie (na przykład).

A jeszcze inne cuda są pułapką w życiu:

tyłek 9

Rozwiązanie: funkcja nieprzerwany na całej osi liczbowej również pionowe asymptotyki dnia. Ale pohili tsіlkom może buti. Zweryfikować:

Domyślam się, że BNZ ma podobną funkcję i po prostu nie mogę uwierzyć, że stracił asymptotę. Aż do cichej jodły, doki bez liczenia się między:

Ściśle pozorne, są tu dwie niespójności: ja, ale poza tym, trzeba wygrać metodę rozwiązania, czyli analizę kolb 5-6 artykułów o składaniu inter-zaawansowanym. Mnożymy i dzielimy na podstawie viraz, dzięki czemu możemy przyspieszyć formułę:

Vidpovid:

Może najpopularniejsza śmierć asymptoty.

Dosі neskіchennosti przeszedł do „wytnij jeden grzebień”, ale funkcje bova, scho graph dwa różne asymptoty pohili w i w:

tyłek 10

Prześledź wykres funkcji obecności asymptot

Rozwiązanie: subroot viraz pozytywnie, średni, wyznaczony obszar- czy to fikcyjna liczba i nie może być żadnych pionowych pętli.

Perevirimo, chi іsnuyut pokhіlі asymptoty.

Jak „iks” pragne „minus niespójność”, wtedy:
(podczas wpisywania „iksa” pod pierwiastek kwadratowy należy dodać znak „minus”, aby nie zmarnować znaku minus)

Wygląda niepozornie, ale tutaj jest nieistotność „niespójność minus niespójność”. Cyfra i baner mnożymy w dniu viraz:

W tej kolejności linia jest słabą asymptotą wykresu w .

Z „plus niekonsekwencja” wszystko jest banalne:

I prosto - o godz.

Vidpovid:

Jakscho;
yakscho.

Nie stronię od obrazu graficznego:

Tse jeden z hilok hiperbola .

Nierzadko, jeśli potencjalność asymptot jest ograniczona obszar przypisanej funkcji:

tyłek 11

Prześledź wykres funkcji obecności asymptot

Rozwiązanie: oczywiste jest, że tylko półpłaszczyzna jest rozpatrywana po prawej stronie, de wykres funkcji.

1) funkcja nieprzerwany na przedziale , a następnie jako pionowa asymptota іsnuє, tse mozhe ale tylko wszystkie rzędne. Śledź zachowanie funkcji w pobliżu punktu po prawej:

Okazuj szacunek, nie ma niezgodności(na takich vipadkach podkreślano szacunek dla kolby stati Metody zbierania wisienek pomiędzy).

Zatem linia prosta (wszystkie rzędne) jest pionową asymptotą wykresu funkcji w .

2) Rozszerzenie na słabą asymptotę można przeprowadzić dla nowego schematu, ale dla statystyki Lopitalne zasady wyjaśniliśmy, że funkcja liniowa najwyższego rzędu wzrostu, dolna logarytmiczna, również: (Div. Zastosowano 1 na lekcję).

Visnovok: wszystkie odcięte to pozioma asymptota wykresu funkcji w .

Vidpovid:

Jakscho;
yakscho.

Fotel dla precyzji:

Widać, że dla podobnej funkcji nie ma asymptot (można je odwrócić).

Dwa ostatnie tyłki na niezależny ślub:

tyłek 12

Prześledź wykres funkcji obecności asymptot

Aby uzyskać pogłos na asymptotykach pionowych, trzeba wiedzieć zakres funkcji, a następnie virahuvat kilka jednostronnych między „podejrzanymi” punktami. Asymptoty Pohili nie są uwzględniane, ale funkcji jest przypisana niespójność plus lub minus.

tyłek 13

Prześledź wykres funkcji obecności asymptot

I tu asymptoty mogą być nieco gorsze, a ponadto od razu można na nie spojrzeć.

Chyba znasz niezbędną asymptotę =)

Życzę Ci sukcesu!

Rozwiązanie i porady:

Przykład 2:Rozwiązanie :
. Znamy granice jednostronne:

Prosty є pionowa asymptota wykresu funkcji w .
2) Słabe asymptoty.

Prosty .
Vidpovid:

Rysunek do tyłka 3:

Przykład 4:Rozwiązanie :
1) Asymptoty pionowe. Funkcja znoszenia nieograniczonego wzrostu w punkcie . Policzmy jednostronne granice:

Notatka: nieskończenie mała liczba ujemna w świecie chłopców jest równa nieskończenie małej liczbie dodatniej: .

Prosty є pionowa asymptota wykresu funkcji.
2) Słabe asymptoty.

Prosty (wszystkie odcięte) є pozioma asymptota wykresu funkcji w .
Vidpovid: . .
To znaczy dla wykres nie ma brzydkich asymptot.

W ten sposób prosto є pozioma asymptota wykresu danej funkcji w .
Vidpovid: wszystkie odcięte w .

Matematyka Vishcha dla studentów korespondencyjnych i nie mniej >>>

(Przejdź do strony głównej)

Funkcje zerowe. Przedziały znajomości funkcji.

Metoda interwałowa

Znaczna część materiału, warta podobnych i kolejnych funkcji, jest tradycyjnie włączana do programu szkolnego i ten artykuł nie jest winą reguły. Dzisiaj przećwiczymy znajomość zer i przedziałów znaków funkcji, a także w raporcie przeanalizujemy metodę przedziałów, którą można porównać z powyższym wzmocnieniem w ścianach przez oglądanych .

Jeśli twój przyszły projekt jest na etapie pit, proszę, zacznij od wstępnej lekcji na temat wykresów funkcji. Ponadto ważna jest znajomość tych artykułów: zakres funkcji, asymptotyka grafu, że w rzeczywistości informacje po drugiej stronie są logiczną kontynuacją. Materiał oczywiście będzie znany uczniom szkół średnich.

W 2020 roku NASA rozpoczyna wyprawę na Marsa. Dostarcz statek kosmiczny na Marsa z elektronicznym nośnikiem z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych uczestników wyprawy.

Rejestracja uczestników głosowania. Zabierz swój bilet na Marsa po błogosławieństwa.

Polub ten post, po rozwiązaniu problemu lub po prostu będąc na ciebie godnym, podziel się swoją siłą ze znajomymi w sieciach społecznościowych.

Musisz skopiować i wkleić jedną z tych opcji kodu do kodu swojej strony internetowej, między tagami і Inaczej . Za pierwszą wersją MathJaxa preferowana jest mniejsza i mniej tandetna strona. Kolejna opcja Natomist automatycznie wybiera i aktualizuje do najnowszej wersji MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on musiał być okresowo aktualizowany. Jeśli wstawisz inny kod, strony będą bardziej zainteresowane, więc nie będziesz musiał stale śledzić aktualizacji MathJax.

Włącz MathJax w najprostszy sposób w Bloggerze lub WordPressie: dodaj widżet w panelu kasy witryny, miejsca docelowe wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj pierwszą lub inną opcję do kodu zaangażowania przedstawionego powyżej i zmień rozmiar widżetu bliżej na górze szablonu (przed mową nie potrzebujemy nowych 'Język, skrypty MathJax są wywoływane asynchronicznie). Od wszystkich. Teraz sprawdź składnię MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz wstawić formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.

Czergowy przed Nową Skałą... mroźna pogoda, te snizhinki na szibtach... Wszystko skłoniło mnie do ponownego napisania o... fraktalach, io tych, którzy wiedzą o Wolframie Alpha. Od pierwszego napędu є tsіkava stattya, w yakіy є pośladkach dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Tutaj możemy zobaczyć składane przykłady fraktali trivimerowych.

Fraktal może być wizualnie zamanifestowany (opisany), jako figura geometryczna, jakby była ciałem (wyłaniającym się na powierzchni, że inaczej bezosobowym, w danym kierunku, bezosobowym punktem), detalami, które mogą mieć ten sam kształt , podobnie jak sama figura. Oznacza to, że struktura jest samopodobna, patrząc na detale jakby były powiększone, wciąż możemy znaleźć tę samą formę, która jest bez powiększenia. Podobnie w efektownej wizualnie figurze geometrycznej (nie fraktal), z ważniejszymi szczegółami, jakby kształt był prostszy, sama figura jest widoczna. Na przykład, kiedy skończysz dużą część elipsy, wygląda ona jak proste drzewo. Inaczej jest w przypadku fraktali: w przypadku jakiejkolwiek poprawy, odnowimy tę bardzo pofałdowaną formę, jakby powtarzając się w kółko z ulepszeniami skóry.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, napisał w swoim artykule „Fraktale i tajemnica” w imieniu nauki: „Fraktale to kształty geometryczne, ale składane w swoich szczegółach, a także w ich zagalnej formie. zostaną zredukowane do rozciągłości całości będzie wyglądała jak całość lub dokładnie, a może z nieznaczną deformacją.

Jeśli widzisz punkt krzywej y \u003d f (x), którego nie można zawęzić, do linii prostej w świecie punktu wzdłuż krzywej do nieskończoności zera, to jest to bezpośrednio nazywane asymptotą krzywa.

Rozróżnij asymptoty: 1) poziome, 2) pionowe i 3) zwisające.

1. Krzywa y \u003d f (x) może mieć poziomą asymptotę y \u003d b tylko w takim przypadku, jeśli istnieje ostateczna granica między funkcjami f (x) w ,

2. Krzywa y \u003d f (x) ma pionową asymptotę x \u003d a yaksho kiedy . Do zdefiniowania asymptot pionowych konieczna jest znajomość wartości argumentu, przy których f(x) nie jest możliwe przekroczenie wartości bezwzględnej. Jeżeli takie wartości argumentu є a1, a2, ..., to wyrównanie asymptot pionowych będzie

x=a1, x=a2...

3. Aby zdefiniować faul asymptotyki y = kx + b przez krzywą y = f(x), musisz znać liczby k i b ze wzorów

(Rzućmy okiem na wzloty i upadki). Asymptotyka Pohili na krzywej y = f(x) jest wyraźna pod tym względem, a jeszcze mniej, jeśli q pomiędzy może mieć wartość końcową. W przypadku powołanych cihów łatwo jest przyspieszyć na zasadzie Lopitala.

krupon. Poznaj asymptoty krzywej

Rozwiązanie. Nie ma asymptot poziomych. Rozumiemy pionową asymptotę

2x + 3 \u003d 0 \u003d x \u003d - 3/2, z kim y
, jeśli
, tak
, jeśli
. Istotnie gorsze asymptotyki, równe niektórym z nich, wyglądały następująco: y = kx + b

Oskіlki k i b mogą mieć ostateczne znaczenie i są sobie równe w x
ja w x
, to jest jeden koszt asymptoty równy

Bardziej zaawansowane funkcje

W ramach ostatnich ukończonych funkcji wszechstronność takich pokarmów powinna brzmieć:

Przeznaczenie zakresu podstawy funkcji.

Ujawnił pokarm o parzystości i nieparzystości funkcji.

Wyznaczony punkt rozwoju funkcji.

Wyznaczona asymptota wykresu funkcji.

Wyznaczone przedziały wzrostu i zmiany funkcji.

Przypisany do ekstremum funkcji.

Wyznaczanie przedziałów pęcznienia i kurczenia się wykresu funkcji.

Wyznaczonym punktem jest zakręt.

Znakhodzhennya peretina z osi współrzędnych.

Funkcja graficzna Pobudowej.

krupon. Doslidzhu (funkcja Mo)

D(y) = (
). Funkcja jest nieprzerwana we wszystkich obszarach przydziału. Nie ma sensu się łamać.

Funkcja nie jest sparowana, niesparowana ani okresowa.

Nie ma sensu się łamać.

Nie ma pionowych asymptotów;
, nie ma słabych asymptot.

5, 6.
. Punkty krytyczne x = -2, x = 0.

7, 8.
,
przy x = 1,
nieważne dla x = 0.

9.
x \u003d 0 i x \u003d -5.

Głowa 1

Wypisz macierz A w innej kolejności

Oblicz macierz trzeciego rzędu

Oblicz lidera macierzy B, głosząc yogo w dowolnej kolejności, a ja stanę

Oblicz władcę matrycy, korodującego z mocami władców. Oblicz kalkulację trzeciego rzędu wodza do kalkulacji jednego wodza drugiego rzędu

Menedżer 2

1. Sprawdź układ równych metodą Cramera Ach = a

Rozwiąż system metodą Cramera Wx = b

Rozwiąż metodę Gaussa systemu wyrównywania Wx = b

Zadanie 3.

Ach = a

Rozłóż układ równych metodą macierzową Wx = b

Zadanie 4.

Oblicz rangę macierzy.

1., 2.
;

3.
4.

5.
6.

7.
8

9.
10.

Siedziba główna 5

Biorąc pod uwagę dwa wierzchołki trykotu Δ ABC: A (X 1 tak 1 ), W(X 2 tak 2 ) ja spec D (x 3 , tak 3 ) wysokości peretina:

a) zsumuj wysokości, mediany, dwusieczne trykotu Δ ABC.

b) znać wyrównanie linii prostych przechodzących przez wierzchołki tricutnika i równoległych do boków.

c) określić wysokość trykotu i wysokość punktu M (X 4 , tak 4 ) po bokach trykotu.

Zadanie 6.

Biorąc pod uwagę współrzędne wierzchołków piramidy ABCD: ALE (X 1 tak 1 , z 1 ), W(X 2 tak 2 , z 3 ) ,C (x 2 , tak 2 , z 2 ) ,D (X 4 , tak 4 , z 3 )

1) żeberka dożina AB;.

2) cięcie między żebrami ABі ALED;

3) kut medu ruba OGŁOSZENIE ta krawędź ABC;

4) obszar twarzy ABC;

5) piramida obsyag;

6) wyrównanie linii prostej AB;

7) niwelacja terenu ABC;

8) jednakowa wysokość, obniżona od góry D pomiędzy ABC.

Zadanie 7.

Zadanie 8. Poznaj zakres funkcji

5.

7.

8.

9.

10.

Zadanie 9. Wprowadź harmonogram funkcji

1.

2.

3.

4

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Zadanie 10. Poznaj między funkcjami

1.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

2.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

3.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

4.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

5.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

6.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

7.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

8.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

9.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

10 a)
, b)
, w)
,

G)
mi)

Zadanie 11. Poznaj drogę

1.
, b),

w)
, G)
mi)
e)

2.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)
,mi)

3. a), b)
, w)
, G)
mi)
e)

4.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)
e)

5.a)
, b)
, w)
, G)
mi)
,

mi)

6. a)
, b)
, w)
, G)
mi)
,

mi)

7.a)
, b),

w)
, G)
mi)
,

mi)

8.a)
, b)
, w)
, G)
mi)
,

mi)

9.a)
, b)
, w)
,

G)
mi)
e)

10 a)
, b)
, w)
,

G)
mi)
e)

Zadanie 12. Pokaż, że funkcja jest zadowolona z równowagi

Zadanie 13. Znajdź znajomego odpowiednią funkcję podaną parametrycznie.

1 .
6.

2.
7

3.
8

4.
9.

5.
10.

Zadanie 14

Zadanie 15. Znajdź ekstrema funkcji zadaniowych.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

Zadanie 16. Znajdź największe i najmniejsze wartości na wskazanych interwałach i na wskazanych interwałach.

Zadanie 17. Przeprowadź dalsze badania tych funkcji i porównaj ich grafiki.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

Literatura:

Bawrin I.I. Kurs matematyki wyższej.-M.: Prosvitnitstvo, 1992.-400 s.

Bronstein I.M., Semendyaev K.A. Doktor matematyki. M, 1967, 608 s

Globalny kurs matematyki dla ekonomistów, wyd. VI Ermakova-M. „Infra-M”. 1999-655 s.

Teush V.L. Kurs najbardziej zaawansowanej matematyki. - M: Nauka Radiańska, 1958, 270 s.

Shipachov V.S. Matematyka Vishcha: Headbook Szkoła M. Vishcha, lata 1990-479.

Matematyka Vishcha dla ekonomistów: Asystent ds. Uczelni / N.Sh.Kremer, B.A.Putko i in.; M: UNITI, 2002. - 461 s.

Val'ev K.G., Dzhalladova I.A. Pomocnik.

Asymptoty wykresu funkcji

Burmistrz asymptotyków od dawna wędruje po miejscu schob, nareshti, materiałach w artykule okremo i przynosi w szczególności gromadzenie chitach, spatelicians Zmienione funkcje. Znaczące asymptoty wykresu to jedna z nielicznych części wyznaczonego zadania, która wisi po kursie szkolnym tylko w porządku poglądowym, okruchy podpodziału są owinięte w obliczeniach między funkcjami, I śmierdzą tak samo do wyższej matematyki. Pozornie nie znam się zbytnio na analizie matematycznej, myślę, że jestem sprytny ;-) ... stop-stop, zobacz gdzie? Między- To jest łatwe!

Zastosuj asymptoty do pierwszej lekcji na temat wykresy funkcji elementarnych i każdorazowo temat jest szczegółowo brany pod uwagę.

Czym jest asymptota?

Ujawnić zmień punkt, Co do "podróży" dla harmonogramu funkcji. Asymptota - tse prosty, dopóki tuż obok wykres funkcji zbliża się, gdy punkt zmiany jest daleko w niespójności.

Notatka : to dla ciebie substytut, bo potrzebujesz wzoru w analizie matematycznej, bądź uprzejmy, zwróć się do złotej rączki.

Na powierzchni asymptotyki są klasyfikowane według ich naturalnej ekspansji:

1) Asymptoty pionowe, Yakі są pytani o równe umysłowi, De „alfa” jest liczbą dziesiętną. Popularnym reprezentantem jest cały orędownik,
z atakiem hiperboli płuc nudoti zgaduєmo.

2) Asymptoty Pohili tradycyjnie zarejestruj się proste linie ze współczynnikiem cięcia. Niektórzy ludzie w małej grupie widzą wiele wahań. asymptoty poziome. Na przykład ta sama hiperbola z asymptotą.

Shvidko pіshlo-poїhalo, vdarim na tych krótkich automatach czarnych:

Ile asymptot może utworzyć wykres funkcji?

Żodnoj, jeden, dwa, trzy lub nieskończenie bogaty. Na tyłki daleko nie zajedziemy, zgadnij co podstawowe funkcje. Parabola, parabola sześcienna, sinusoida nie wydają się mieć asymptoty. Wykres wykładniczej funkcji logarytmicznej ma pojedynczą asymptotę. Arc tangens arc tangens ma dwa, a tangens cotangens ma nieskończenie bogate. Nierzadko, jeśli harmonogram zatrudnienia ma asymptoty poziome i pionowe. Hiperbola, upewnij się, że cię kochasz.

Co znaczy?

Asymptoty pionowe wykresu funkcji

Z reguły pionowa asymptota wykresu to w punkcie niewyczerpanego wzrostu Funkcje. To proste: jeśli w punkcie funkcja zna niewyczerpane rozwinięcie, to jest proste, co daje pionowa asymptota grafu.

Notatka : Szanuj, że płyta jest zwycięska, aby zrozumieć dwie zupełnie różne osoby. Punkt maє na uvazi lub liniach prostych - leżeć w kontekście.

W ten sposób, aby ustalić obecność asymptoty pionowej w punkcie, wystarczy pokazać, że chciałbym jeden z jednostronnego niewyczerpany. Najczęściej punkt, mianownik funkcji, jest bliższy zeru. Właściwie w pozostałych przykładach lekcji znaliśmy już pionowe asymptoty o ciągłości funkcji. Ale w rzędzie vipadkіv іsnuіє tylko jedna jednostronna granica, ja, jeśli nie jest wąska, to znowu - kochaj i kołysz pionową asymptotą. Najprostsza ilustracja: wszystkie rzędne (div. Wykresy i potęga funkcji elementarnych).

Z powyższego wynika również oczywisty fakt: więc funkcja jest nieprzerwana przez, wtedy asymptoty pionowe są dzienne. Na myśl o Chomusie zasnęła parabola. Naprawdę, gdzie jesteś tutaj „ustromish”? ... więc ... rozumiem ... wyznawcy wujka Freuda skulili się w histerii =)

Twardość Zvorotnego w sposób ogólny jest błędna: funkcja nie jest więc przypisana do całej liczbowej linii prostej, ale jest całkowicie pozbawiona asymptot.

Asymptotyka Pohili wykresu funkcji

Pohili (jak okremy vipadok - poziome) można namalować asymptoty, podobnie jak argument funkcji pragne „plus niespójność” lub „minus niespójność”. Tomek wykres funkcji nie może mieć więcej niż dwóch kruchych asymptot. Na przykład wykres funkcji wykładniczej może mieć pojedynczą poziomą asymptotę w , a wykres łuku stycznego w - dwie takie asymptoty, co więcej, różne.

Jeżeli wykres zarówno tam, jak i tam zbiega się z pojedynczą kruchą asymptotą, wówczas „niespójności” są akceptowane jako połączone w jednym wpisie. Na przykład ... odgadłem poprawnie :.

Duża praktyczna zasada:

Jak założyć dwa? kіntsevih pomiędzy wtedy linia prosta jest słabą asymptotą wykresu funkcji w . Yakscho chciałbym jeden z zestawień między niezgodnościami, wtedy obumarła asymptota asymptoty dziennej.

Notatka : formuły pozostają sprawiedliwe, np. „iks” tylko „plus niedyskrecja” lub tylko „minus niespójność”

Wykazano, że parabola nie ma słabych asymptot:

Mezha bez skóry, odtąd asymptota codziennej asymptoty obumarła. Szanuj to, co jest ważne między potrzeba została odrzucona, odłamki zostały już zabrane.

Notatka : jeśli masz błędy (lub winę) trudno jest zrozumieć znaki „plus-minus”, „minus-plus”, bądź miły, spójrz wstecz na początek lekcji
o nieskończenie małych funkcjach de I rozpoviv, jak poprawnie zinterpretować podane znaki.

Oczywiście, czy jest to funkcja kwadratowa, sześcienna, bogaty wyraz stopnia czwartego i wyższego, nie ma też kruchych asymptot.

A teraz zmieniamy, że przy wykresie nie ma brzydkich asymptot. Za nieistotność rozkrittya Reguła Lopitala:
, Co trzeba czcić.

Gdy funkcją jest nieograniczony wzrost, proteus nie ma tak bezpośredniej linii, dopóki nie zbliża się harmonogram bardzo blisko.

Przejdźmy do praktycznej części lekcji:

Jak poznać asymptotykę wykresu funkcji?

Samo typowe zadanie jest sformułowane w ten sposób i przekazuje znaczenie WSZYSTKICH asymptot grafu (pionowych, kruchych/poziomych). Jeśli chcesz być bardziej precyzyjny w formułowaniu pokarmu - zajmij się badaniem obecności asymptot (nawet jeśli takie mogą się nie pojawić). Zacznijmy od czegoś prostego:

tyłek 1

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie ręcznie podzielić na dwa punkty:

1) Jest odwrócony, chi є pionowe asymptoty. Baner zmienia się na zero w nieskończona ekspansja, Prosta, dana równa pionowej asymptocie wykresu funkcji . Ale najpierw sporządź taki visnovok, konieczne jest poznanie jednostronnych granic:

Chyba technika jest obliczona, za co podobnie brzmiałem na statystyce Nieprzerwana funkcja. Punkty otwarcia. W viraz pod znakiem między miejscem reprezentowane jest „Іks”. Cyfra nie ma nic do powiedzenia:
.

I oś przy sztandarze do wyjścia nieskończenie mała liczba ujemna:
, Vono i vyznaє udział między.

Granica lewostronna nie jest wąska i w zasadzie nadal można winić werdykt o obecność pionowej asymptoty. Ale jednostronne potrzeby pośrednika są nie tylko dla innych - smród POMAGA POWODZIE, JAK planowanie harmonogramu funkcji i zachęcanie do jogi PRAWIDŁOWY. Do tego obov'yazkovo jest obliczalne, a prawa granica:

Visnovok: jednokierunkowe między niespójnościami, również linia prosta z pionową asymptotą wykresu funkcji w .

granica perszy kіntsevy Otzhe, konieczne jest „kontynuowanie rozmovu” i poznanie różnicy między:

Inne granice tezh kіntsevy.

Zatem nasza asymptota to:

Visnovok: Prosta podana równa poziomej asymptocie wykresu funkcji w .

Dla wartości asymptoty poziomej
możesz koristuvatisya za pomocą prostej formuły:

Skąd wiesz kіntsevy granica, to linia jest poziomą asymptotą wykresu funkcji przy.

Nie jest ważne, aby pamiętać, że cyfra i baner funkcji jeden rząd wzrostu, co oznacza, że ​​pomiędzy będzie koniec:

Vidpovid:

Dla umysłu nie trzeba wygrywać fotela, ale nawet w samym ogniu funkcje uzupełniające, to na czarnej linii są małe robimo:

Opierając się na trójce wiedzy pomiędzy, spróbuj samodzielnie wymyślić, jak możesz rozszerzyć harmonogram funkcji. Czy to naprawdę ważne? Znajdź 5-6-7-8 pikseli i oznacz je na fotelu. Wt, harmonogram funkcji będzie pomocny transformacja wykresu funkcji elementarnej, a czytelnicy, którzy z szacunkiem przyjrzeli się Butt 21 przydzielonych artykułów, łatwo zgadnąć, jaka jest krzywa.

tyłek 2

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania. Proces, zgadywanie, dzieli się ręcznie na dwa punkty - asymptoty pionowe i asymptoty pokhil. Jednocześnie za uproszczonym schematem znaleziono poziomą asymptotę.

W praktyce najczęściej wykorzystywane są funkcje strzałowo-racjonalne, a po treningu na hiperbolach zadanie jest łatwiejsze:

tyłek 3

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie: Raz, dwa i gotowe:

1) Znane są pionowe asymptoty w punktach niewyczerpanego wzrostu, należy pogodzić się, że baner zwraca się do zera. Wiriszima wyrównanie do kwadratu:

Wyróżnik jest pozytywny, istnieją dwa prawdziwe korzenie, a robot jest znacząco dodany =)

Metodą odległej znajomości jednostronnych trójmianów międzykwadratowych ręcznie podziel na mnożniki:
(Dla zwięzłego zapisu do pierwszego łuku dodano „minus”). Dla celów ubezpieczeniowych musimy ponownie sprawdzić, przemyśleć, albo na czarno, krzywe ramiona.

Przepiszmy funkcję widoku

Jednostronną granicę znamy w punkcie:

I w kropkach:

W tej kolejności linie proste i pionowe asymptoty wykresu funkcji, które można zobaczyć.

2) Jak spojrzeć na funkcję? , to jest zupełnie oczywiste, że między nami asymptota będzie pozioma. Pokazywanie її obecności w skrócie:

W tej kolejności linia prosta (wszystkie odcięte) jest poziomą asymptotą wykresu funkcji.

Vidpovid:

Znajomość między i asymptotyka daje niewiele informacji o wykresie funkcji. Spróbuj wydobyć swoje myśli na światło dzienne, rozwiązując nadchodzące fakty:

Schematycznie przedstaw swoją wersję wykresu na czarno.

Oczywiście znajomość granic nie przesądza jednoznacznie o rodzaju harmonogramu i możliwe, że możesz wybaczyć, ale sam masz prawo do udzielenia nieocenionej pomocy w trakcie kursu pełna kontrola funkcji. Prawidłowy obraz - jak lekcja.

tyłek 4

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

tyłek 5

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Niezależne rozwiązanie Tse zavdannya. Obrażając wykresy, ponownie kieruję się poziomymi asymptotami, które są niedbale wykrywane za takimi znakami: Przykład 4 rosnący porządek chorąży jeszcze, niższy rząd wzrostu w księdze liczb oraz Zastosowana 5 księga liczb i baner jeden rząd wzrostu. W zastosowaniu rozwiązania pierwsza funkcja jest pokazana na pojawieniu się kruchych asymptot tą samą ścieżką, a druga - przez granicę.

Asymptoty poziome, na mojej subiektywnej zmianie, są wyostrzane częściej, niżej, jakby „w odpowiedni sposób”. Gorący spadek Dovgoochіkuvany:

tyłek 6

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie: klasyka gatunku:

1) Oskіlki znamennik jest dodatni, to funkcja nieprzerwany na całej osi liczbowej i pionowe asymptoty w dniach. ... Czy dobrze? Niewłaściwe słowo - cud! Pozycja nr 1 zamknięta.

2) Odwrócenie obecności słabych asymptot:

granica perszy kіntsevy to demo zostało wydane. Pod godziną obliczania drugiej granicy do adopcji nieistotność „niespójność minus niespójność” prowadzimy viraz do śpiącego sztandaru:

Inne granice tezh kіntsevy, Również wykres analizowanej funkcji ma złą asymptotę:

Visnovok:

W ten sposób z wykresem funkcji bardzo blisko zbliżanie się do linii prostej:

Szanuj, że zmieniasz swoją słabą asymptotę na kolbę współrzędnych, więc punkty zmiany są ogólnie akceptowalne - ważne jest, aby „wszystko było w porządku” w przypadku niespójności (no cóż, porozmawiaj o asymptotach i idź tam sam).

tyłek 7

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

Rozwiązanie: nie komentować niczego konkretnie, sporządzę przybliżoną ocenę ostatecznej decyzji:

1) Asymptoty pionowe. Przejdźmy do rzeczy.

Linia prosta jest pionową asymptotą wykresu w .

2) Asymptoty Pohili:

Linia prosta jest słabą asymptotą dla wykresu w .

Vidpovid:

Znane jednostronne granice i asymptotyki o wysokiej niezawodności pozwalają na akceptację, jakby patrząc na wykres funkcji. Właściwe krzesło jest jak lekcja.

tyłek 8

Poznaj asymptotykę wykresu funkcji

To jest przykład samodzielnej decyzji, jasność kalkulacji aktów między wami można podzielić według terminu na baner. Ponownie analizując wyniki, spróbuj przekroczyć harmonogram funkcji.

Jest oczywiste, że Volodarianie „właściwych” słabych asymptot są wykresami tych funkcji ułamkowo-racjonalnych, które mogą być starszym rzędem liczebnika jeszcze jeden starszy stopień sztandaru. Co więcej - nie będzie żadnych odrapanych asymptot (na przykład ).

A jeszcze inne cuda są pułapką w życiu:

tyłek 9

tyłek 11

Prześledź wykres funkcji obecności asymptot

Rozwiązanie: oczywiście Za to uważa się tylko prawo do prawa do terenu, de є harmonogram funkcji.

Zatem linia prosta (wszystkie rzędne) jest pionową asymptotą wykresu funkcji w .

2) Rozszerzenie na słabą asymptotę można przeprowadzić dla nowego schematu, ale dla statystyki Zasady Lopitala wyjaśniliśmy, że funkcja liniowa najwyższego rzędu wzrostu, niższa logarytmiczna, również: (Div. Butt 1 tej samej lekcji).

Visnovok: wszystkie odcięte to pozioma asymptota wykresu funkcji w .

Vidpovid:
, jakscho;
yakscho.

Fotel dla precyzji:

Widać, że dla podobnej funkcji nie ma asymptot (można je odwrócić).

Dwa ostatnie tyłki na niezależny ślub:

tyłek 12

Prześledź wykres funkcji obecności asymptot