Dlaczego rzutowanie wektorowe jest przydatne? Wektor projekcji. Osie współrzędnych. Rzut punktowy. Współrzędne punktu w całości. Sprawdź wektory samodzielnie, a następnie przejrzyj rozwiązanie

a. Rzut punktu A na cały PQ (ryc. 4) jest podstawą prostopadłej, opuszczonej od danego punktu na qi całości. To wszystko, jak to projektujemy, nazywa się całą masą projekcji.

b. Wprowadź dane na wektorze dwuosiowym AB, oznaczonym na ryc. 5.

Wektor kolby jest rzutem kolby i końcem - rzut końca tego wektora nazywa się rzutem wektora A na cały PQ, jest rejestrowany jako taki;

Żaden wskaźnik PQ nie jest napisany na dole, należy to robić w spokojnych nastrojach, z drugiej strony, jeśli PQ nie jest dostępny, można go wyświetlić.

Z. Twierdzenie I. Wartości wektorów, które leżą na jednej osi, są ustawione jako wartości ich rzutów, czy to wszystko.

Niech dana oś wektorów wskazanych na rys. 6. Jasne jest, że oba wektory są postrzegane jako ich rzuty.

Ponieważ wektory na fotelu są wyprostowane z różnych stron, to wartości їх mogą być różne, więc

Oczywiście wielkość projekcji może mieć również inny znak:

zastępując (2) w (3) w (1), bierzemy

Zmieniając znaki na bramie, zabierz to

Jeżeli wektory będą tą samą linią prostą, to w obu rzutach będzie jedna linia prosta; formuły (2) i (3) nie będą miały znaku minus. Zastępując (2) i (3) zrównoważenie (1), natychmiast usuwamy spokój (4). Odtąd twierdzenie zostało udowodnione dla wszystkich trybów.

d. Twierdzenie II. Wartość rzutu wektora na to, czy cała wartość wektora, pomnożona przez cosinus kuta mіzh vіssyu projekcji i wektor vіssyu 7. Niech wektor tego samego kierunku będzie swoją własną linią i inkrustacjami, na przykład w postaci punktu przecięcia osi. Pozwól mi sama ćwiczyć moją ukochaną jogę. Joga o tej samej wartości

Z tyłu głowy, zgadnij co koordynować całość, rzut punktu na całośćі współrzędne punktu na osi.

Koordynuj całość- jest proste, mam nadzieję, że jest proste. Możesz się domyślać, że jest to wektor o nieskończenie wielkim module.

Koordynuj całość Jest to oznaczone literą: X, Y, Z, s, t... Dźwięk na osi, wybierz (prawie dużo) punkt, jak to się nazywa kolba w przypadku i, z reguły jest oznaczony literą O. W przypadku punktu jest on sporządzony do innych punktów za nas.

Rzut punktu na całość- łańcuch podpory prostopadłej, obniżony z qiєї wskazuje na qiu całości (ryc. 8). To jest rzut punktu na cały punkt.

Współrzędne punktu na wszystkich- liczba całkowita, której wartością bezwzględną jest najważniejsza podwójna oś (w wybranej skali), ułożona między kolbą osi a rzutem punktu na qiu całości. Liczbę tę przyjmuje się ze znakiem plus, tak aby rzut punktu był obrócony w osi prostej w kolbie i ze znakiem minus, jak w kierunku przeciwnym.

Skalarne odwzorowanie wektora na całości- ce numer jest wartością bezwzględną jakiejś najdłużej stojącej osi vіdrіzki (w odwróconej skali), ułożonej między rzutami punktu na kolbie i punktem końca wektora. Ważny! Dźwięk virazu skalarny wektor projekcji na całości wydają się proste - rzutowanie wektorowe na całości, potem słowo skalarny niżej. projekcja wektorowa oznaczone literą, która jest wektorem, który jest rzutowany (zwykłym, nie pogrubionym pismem), z dolnym (z reguły) indeksem nazwać oś, na którą rzutowany jest wektor. Na przykład projektowany jest wektor dla wszystkich X a, projekcja Yogo jest przypisana jako x . Podczas rzutowania tego samego wektora na drugą stronę, powiedzmy, cały rzut Y zostanie przypisany do y (rys. 9).

shob virahuwati rzutowanie wektorowe na całości(na przykład wszystkie X) musisz wziąć współrzędną punktu na kolbie ze współrzędnych punktu th

i x \u003d x k - x n.

Musisz pamiętać: skalarne rzutowanie wektora na wszystko (lub tylko rzutowanie wektora na wszystko) jest liczbą (nie wektorem)! Co więcej, rzut może być dodatni, aby wartość x była większa niż wartość x n, ujemna, aby wartość x była mniejsza niż wartość x n i była bliższa zeru, więc x jest większe niż x n (rys. 10).

Możesz poznać rzut wektora na całość, znając moduł wektora i kut, który vin składa się z ceny całości.

Z małego 11 widać, że x = i Cos α

Tobto, rzut wektora na całej długości wydłużenia modułu wektora na cosinus kuty między linią prostą a linią prostą wektora. Jeśli jest to hostry kut, to Cos α > 0 i x > 0, a jeśli jest głupie, to cosinus głupiego kuta jest ujemny, a rzut wektora na wszystko będzie ujemny.

Kuti, które są widoczne na osi na tle strzałki Roku, uważane są za pozytywne, a po drodze negatywne. Jeśli jednak cosinus jest funkcją pary, to Cos α \u003d Cos (− α), a następnie obliczając prognozy, możesz skończyć jak godzina w roku i na odwrót.

Podczas układania zadań zwycięzcy często biorą pod uwagę takie projekcje mocy:

a = b + c +…+ d, to a x = b x + c x + ... + d x (podobnie jak inna oś),

a= m b, to x = mb x (podobnie jak inne osie).

Wzór a x = a Cos α będzie częściej zustrichatsya o godzinie wiśniowego dnia, że ​​її obov'yazkovo wymaga szlachetności. Wymagana jest znajomość zasady wyznaczania projekcji Przypomnij mi!

Pamiętać!

Aby poznać rzut wektora na całość, należy pomnożyć moduł wektora przez cosinus coota między osią prostą a wektorem prostym.

Jeszcze raz - ODKRYJ!

Oś jest prosta. Otzhe, projekcja na wszystko jest bezpośrednio szanowana przez jednego i przez siebie. Rzut jest zarówno algebraiczny, jak i geometryczny. Geometryczny rozumie rzut wektora na całość jako wektor, a algebraiczny liczbę. Aby zastosovyatsya zrozumieć rzut wektora na całość i rzut liczbowy wektora na całość.

Jeśli widzimy L i niezerowy wektor A B → , możemy indukować wektor A 1 B 1 ⇀ , znając rzuty punktu A 1 i B 1 .

A 1 B → 1 będzie rzutem wektora A B → L .

Spotkanie 1

Projekcja wektora w całości nazwij wektor, kolbę i koniec dowolnego rzutu kolby oraz koniec danego wektora. n p L A B → → zwyczajowo oznacza rzut A B → na L . Aby zachęcić do projekcji L, upuść prostopadłe na L .

tyłek 1

Przykład rzutu wektorowego na całość.

Punkt M 1 (x 1 , y 1) jest ustawiony na płaszczyźnie współrzędnych O x. Konieczne jest wykonanie rzutów na O x i O na obrazie wektora promienia punktu M 1 . Odbieramy współrzędne wektorów (x 1 , 0) i (0 , y 1 ).

Jeśli przejdziemy na rzut a → na niezerową b → lub rzut a → na wprost b → , to rzut a → na całość może znajdować się na krawędzi, z której prosta b → . Rzut a → na linii prostej, który jest oznaczony b → można rozpoznać n p b → a → → . Vіdomo, jeśli kut mіzh a → і b → możesz wpisać n p b → a → → і b → dwukierunkowy. W czasach, gdy cięcie jest nudne, n p b → a → → і b → prosto prosto. W sytuacji prostopadłości a → i b → , ponadto a → - zero, rzut a → y prosta b → є wektor zerowy.

Charakterystyka numeryczna rzutu wektora na całość - cyfrowe rzutowanie wektora na daną całość.

Spotkanie 2

Rzut numeryczny wektora na całość nazwanie liczby, jako sposób na poprawienie wartości danego wektora o cosinus kuty pomiędzy danym wektorem a wektorem wyznaczającym bezpośrednio oś.

Rzutowi liczbowemu A B → L można przypisać n p L A B → , a a → b → - n p b → a → .

W zależności od wzoru przyjmujemy n p b → a → a = a cos a → , b → ^ , gwiazdy a → є długość wektora a → , a ⇀ , b → ^ - cięcie między wektorami a → і b → .

Odbieramy wzór do obliczenia rzutu numerycznego: n p b → a → = a → cos a → , b → ^ . Vaughn zastosovna w vіdomi dovzhina a → tab b → ta vugіllі m_zh. Formuła jest stagnacja dla podanych współrzędnych a → і b → ale є її uproszczenia wyglądają.

tyłek 2

Rozpoznaj numeryczny rzut a → bezpośrednio za bezpośrednim b → z dłuższym a → bardziej zaawansowanym 8 i przecięciem między nimi 60 stopni. Poza umysłem maєmo a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Następnie przedstawiamy wartość liczbową wzoru n p b ⇀ a → = a → cos a → b → ^ = 8 cos 60 ° = 8 1 2 = 4.

Sugestia: 4.

Kiedy zobaczysz cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , może a → , b → jak telewizor skalarny a → і b → . Na podstawie wzoru n p b → a → a = a cos a ⇀ , b → ^ , możemy znać rzutowanie liczbowe a → bezpośrednio na wektor b → і możemy przyjąć n p b → a → = a → , b → b → . Formuła odpowiada wartości podanej na kolbie przedmiotu.

Spotkanie 3

Rzut liczbowy wektora a → na linię, która biegnie prosto od b → , nazywa się przedłużeniem rozszerzenia skalarnego wektora w a → і b do długości b → . Wzór n p b → a → = a → , b → b → jest ustalony dla wartości rzutu numerycznego a → na prostej, przebiegającej po prostej z b → , o danych współrzędnych a → i b →.

tyłek 3

Zadania b → = (- 3, 4). Znajdź rzut liczbowy a → = (1, 7) na L.

Rozwiązanie

Na płaszczyźnie współrzędnych npb → a → = a → , b → b → widać npb → a → = a → , b → b = ax bx + ay bybx 2 + o 2 , gdzie a → = (ax , ay ) ja b → = bx, wg. Aby poznać rzut liczbowy wektora a → na wszystkie L, konieczne jest: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + o 2 = 1 (- 3) + 7 4 (-3) 2 + 4 2 = 5 .

Sugestia: 5.

tyłek 4

Poznaj rzut a → na L , tak aby szedł prosto b → , de є a → = - 2 , 3 , 1 і b → = (3 , - 2 , 6 ). Trywialna przestrzeń jest ustawiona.

Rozwiązanie

Dla zadań a → = a x , a y , a z і b → = b x , b y , b z , obliczalny skalarny dobut: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Dovzhina b → znany wzorem b → = b x 2 + y 2 + b z 2 . Oczywiste jest, że wzór dla przypisanego rzutowania liczbowego a → będzie wyglądał następująco: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y by y + a z b b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Wartość liczbowa jest reprezentowana: np L a → = npb → a → = (-2) 3 + 3 (-2) + 1 6 3 2 + (-2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odpowiedź: - 6 7 .

Przyjrzyjmy się powiązaniu między a → na L i tym samym rzutem a → na L . Dodajmy wszystkie L , dodając a → і b → 3 punkty L , po czym rysujemy prostopadle do linii prostej od końca a → L і rysujemy rzut na L . Użyj 5 odmian obrazu:

perski spada, gdy a → = npb → a → → oznacza a → = npb → a → → .

Inny n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , później n p b → a = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trzeci Chciałbym wyjaśnić, że gdy npb → a → → = 0 → możemy przyjąć npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0 , wtedy npb → a → → = 0 npb → a → = 0 = npb → a → → .

kwartał npb → a → → = a → cos (180° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , dalej npb → a → = a → cos (a → , b → ^ ) = - npb → a → → .

P'yatiy vypadok pokazuje a → = npb → a → → , co oznacza a → = npb → a → → , może to być npb → = - npb → a →.

Spotkanie 4

Rzut numeryczny wektora a → na cały L , który jest wyprostowany jako i b → wartość maksymalna:

• weź rzut wektora a → na L dla umysłu, tak aby był między a → ib → mniej niż 90 stopni abodorivnyu 0: n p b → a → = n p b → a → → poza umysłem 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zero dla prostopadłości umysłu a → і b → : n p b → a → = 0, jeśli (a → , b → ^) = 90°;
• długi rzut a → na L , pomnożony przez -1, jeśli є jest głupim lub złożonym wektorem cięcia w a → і b → : n p b →< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

tyłek 5

Dany rzut a → na L 2 . Znaj rzutowanie numeryczne a → poznaj koszt 5 6 rad.

Rozwiązanie

Widać, że cey kut jest głupi: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odpowiedź: - 2 .

tyłek 6

Pole O x y z jest podane z długością wektora a → 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) z przecięciem 30 stopni. Znajdź współrzędne rzutu a → na całe L .

Rozwiązanie

W przypadku kolby rzut liczbowy wektora a → : n p L a → = n p b → a = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Za ilorazem mentalnym następuje rzut numeryczny a → = drugi rzut wektora a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Ta linia pokazuje, że wektory n p L a → → і b → są współkierunkowe, także liczba t, która ma prawidłowe wyrównanie: n p L a → → = t · b → . Dlatego możemy poznać wartość parametru t: t = n p L a → b → = 9 (-2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Wtedy np L a → → = 3 b → ze współrzędnymi rzutu wektora a → na wszystkie L dodaj b → = (- 2 , 1 , 2) , więc musisz pomnożyć wartość przez 3. Może np L a → → = (- 6 , 3, 6). Sugestia: (- 6, 3, 6).

Konieczne jest powtórzenie wcześniejszych informacji o mentalnej współliniowości wektorów.

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

Narysujmy wektorowy opis ruchu, tak aby na jednym fotelu można było przedstawić bogatą różnorodność różnych wektorów i spojrzeć na „obraz” ruchu, zanim na niego spojrzysz. Jednak próba narysowania linii i kątomierza do pracy z wektorami jest pracochłonna. Do tego qі dії zvodat do dіy іz przez liczby dodatnie i ujemne - rzuty wektorów.

Projekcja wektora w całości nazwij wartość skalarną równą zwiększeniu modułu rzutowanego wektora o cosinus coota między kierunkami wektora i odwrotną osią współrzędnych.

Na lewym fotelu wskazania to wektor przemieszczenia, którego moduł to 50 km, co bezpośrednio zatwierdzam głupie cięcie 150 ° s prosto wzdłuż osi X.

sx = s cos (α) = 50 km cos ( 150 °) = -43 km

Odłamki są cięte między osiami 90 °, łatwo je podnieść, dzięki czemu można poruszać się na wprost od prostej osi Y, host jest cięty 60 °. Znamy rzut przemieszczenia na cały Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos( 60°) = +25 km

Jak bachit, jak prosty wektor utvoryuє z prosto na osi gostry kut, rzut jest dodatni; Ponieważ wektor jest dopasowany bezpośrednio do osi głupiego cięcia, rzut jest ujemny.

Na prawym fotelu odczyty wektorów prędkości, których moduł wynosi 5 m/s, i bezpośrednio dopasowuje się do 30 ° od prostej osi X. Znamy rzuty:

υx = υ cos(α) = 5 m/s cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos( 120°) = –2,5 m/s

Znacznie łatwiej jest poznać rzuty wektorów na osie, tak jak rzutowane wektory są równoległe lub prostopadłe do wybranych osi. Szkoda, że ​​dla równoległości pionowej możliwe są dwie opcje: wektor prostowania osi i wektor przeciwprostowania osi, a dla pionu prostopadłości jest tylko jedna opcja.

Rzut wektora prostopadły do ​​osi musi być równy zeru (podział sy i ay na lewym fotelu oraz sx i υx na prawym fotelu). W rzeczywistości, dla wektora prostopadłego do osi, kut mіzh go i vіssyu dorivnyuє 90 °, więc cosinus jest bardziej podobny do zera, a rzut jest bardziej podobny do zera.

Rzut wektora współkierowanego z nieba jest dodatni i równy modułowi, na przykład sx = +s (Div. Levi z krzesła). W rzeczywistości, dla wektora współkierunkowego z kierunkiem wektora, kut między nim a drugim jest równy zero, drugi to cosinus „+1”, więc rzut jest bardziej równy wektorowi: sx = x – xo = +s .

Rzut wektora, przeciwny do osi, jest ujemny i równy modułowi-temu, branemu ze znakiem minus, np. sy = –s (dział prawy fotel). W rzeczywistości dla wektora przeciwnego do osi jest on pomiędzy nią i jest o 180 ° większy niż 180 °, czyli cosinus „-1”, a więc rzut wektora przeciwnego, wzięty ze znakiem ujemnym: sy = y – yo = –s .

W prawej części obu foteli pokazane są inne nachylenia, jeśli wektory są równoległe do jednej z osi współrzędnych i prostopadłe do drugiej. Sugeruje się, abyś rozważył niezależnie, czy w tych przypadkach zasady sformułowane w poprzednich paragrafach również się pogodzą.

Z fizyki na stopień 9 (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999 r_k),
menedżer №5
do rozdziału ROZDZIAŁ 1».

1. Jak wygląda rzut wektora na oś współrzędnych?

1. Rzut wektora na linię współrzędnych nazywa się długością linii między rzutami kolby a końcem wektora a (prostopadłe, pominięte od zi punktu na linii) na linii współrzędnych qi .

2. W jakiej kolejności wiązań porusza się wektor ciała wraz ze swoimi współrzędnymi?

2. Rzuty wektora przemieszczenia s na osie współrzędnych pozwolą na zmianę odpowiednich współrzędnych ciała.

3. Jeśli współrzędna punktu zmienia się w czasie, jakim znakiem może być rzut wektora przemieszczenia na oś współrzędnych? I dlaczego ona się zmienia?

3. Jeżeli współrzędna punktu rośnie w czasie, to rzut wektora przemieszczenia na oś współrzędnych będzie dodatni, ponieważ w tym kierunku mi timemo w rzucie kolby na rzut końca wektora y bezpośrednio na samą oś.

Jeżeli współrzędna punktu zmienia się od czasu do czasu, to rzut wektora przemieszczenia na oś współrzędnych będzie ujemny, ponieważ w ten sposób przejdziemy od rzutu kolby do rzutu końca wektora na samą oś.

4. Skoro wektor przemieszczenia jest równoległy do ​​osi X, to dlaczego moduł rzutu wektora na całą oś? A moduł rzutowania wektora na całe Y?

4. Jeżeli wektor przemieszczenia jest równoległy do ​​osi X, to moduł rzutu wektora na cały moduł jest równy modułowi samego wektora, tak jak rzut na oś Y jest równy zero.

5. Wyznacz znaki rzutów na wszystkie X wektora przemieszczenia, który jest przedstawiony na maleńkim 22. Jak zmieniają się współrzędne ciała podczas tych przemieszczeń?

5. Na wszystkich niższych wysokościach współrzędna Y ciała nie zmienia się, a współrzędna X ciała zmienia się w następującej kolejności:

a) s 1;

rzut wektora s 1 na wszystkie X jest ujemny i modulo droższy niż wektor s 1 . Dla takiego przemieszczenia współrzędna X ciała zmieni się na długość wektora s 1 .

b) s2;

rzut wektora s 2 na cały X jest dodatni i równy modułowi drugiego wektora s 1 . Dla takiego ruchu współrzędna X ciała jest zwiększana o długość wektora s 2 .

c) 3;

rzut wektora s 3 na wszystkie X jest ujemny i równy modułowi drugiego wektora s 3 . Dla takiego ruchu współrzędna X ciała zmieni się na długość wektora s 3 .

d) s4;

rzut wektora s 4 na wszystkie X jest dodatni i równy modułowi drugiego wektora s 4 . Dla takiego ruchu współrzędna X ciała jest zwiększana o długość wektora s 4 .

e) 5;

rzut wektora s 5 na wszystkie X jest ujemny i równy modułowi drugiego wektora s 5 . Dla takiego ruchu współrzędna X ciała zmieni się na długość wektora s 5 .

6. Skoro wartość przebytej drogi jest duża, jaki moduł podróży może być mały?

6. Może. Dlatego przemieszczenie scho (przemieszczenie wektorowe) jest wielkością wektorową, to znaczy. є prostowanie pozycji vіdrіzok, scho zadnuє cob pozycji ciała z zaawansowanymi pozycjami Yogo. A ostatnia pozycja ciała (niezależnie, w zależności od wielkości pokonywanej ścieżki) zawsze może być zbliżona do pozycji kolby ciała. W momencie zmiany położenia końcówki i kolby ciała, moduł przemieszczenia jest równy zero.

7. Dlaczego wektor ruchu ciała jest niższy niż sposób, w jaki przechodzi w mechanice?

7. Główne zadania mechaników to wyznaczanie pozycji ciała, czy to czas. Znając poruszający się wektor ciała, możemy określić współrzędne ciała, tobto. obóz ciała jest blisko godziny, a znając tylko przejście ścieżki, możemy określić współrzędne ciała, ponieważ Nie mamy żadnych informacji o bezpośrednim pośpiechu, ale możemy jedynie ocenić długość przebytej ścieżki w danym momencie.