Kvadrātisko formu inerces likums. Uzrakstiet kvadrātveida matricu

Tāpat, saskaņā ar teorēmu par reducēto kvadrātformu, jebkurai kvadrātveida formai \(A(x,x)\) ir kanoniskais pamats \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \) , ko tad jebkuram vektoram \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \ lambda _k\eta _k ^2. \] Oskіlki \(A(x,x)\) ir runas vērtība, un mūsu bāzes aizvietojumos ir iekļauts arī vairāk nekā runas skaitļi, tas ir tāds, ka skaitļi \(\lambda _k\) ir runa. Šo skaitļu vidus ir pozitīvs, negatīvs un vienāds ar nulli.

Pieraksts. Pozitīvo skaitļu \(\lambda _k\) skaitlis \(n_+\) tiek izsaukts Kvadrātiskās formas pozitīvais indekss \(A(x,x)\) , tiek izsaukts negatīvo skaitļu skaits \(n_-\) \(\lambda _k\) kvadrātiskās formas negatīvais indekss tiek izsaukts skaitlis \((n_++n_-)\). kvadrātveida formas rangs . Tāpat kā \(n_+=n\), tiek izsaukta kvadrātiskā forma pozitīvs .

Vzagali, kvadrātveida formas samazināšana līdz diagonālajam izskatam netiek īstenota vienā kārtībā. Vainot spēku: chi meli skaitļi \(n_+\), \(n_-\) pēc bāzes izvēles, kurā kvadrātveida forma ir diagonāle?

Teorēma (Kvadrātisko formu inerces likums). Kvadrātiskās formas pozitīvie un negatīvie indeksi nav šķērslis kanoniskajam skatījumam.

Pieņemsim divas kanoniskās bāzes \(\(f\)\), \(\(g\)\), lai skatītājs varētu attēlot jebkuru vektoru \(x\): \[ x=\sum_( k= 1) ^n\eta _kf_k=\summa _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] un \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k^ 2= ​​\sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Es domāju \(\lambda _k\) persh \(p\) pozitīvs, іnshі vai negatīvs, vai nulle, med \(\mu_m\) persh \(s\) pozitīvs, іnshі vai negatīvs, nulle. Mums jāatnes kas (p = s). Pārrakstiet (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] abas ekvivalences daļas ir nevid'emni. Ir pieļaujams, ka (p) un (s) nav vienādi, piemēram, (p)

Mēs esam panākuši, ka tiek ģenerēti pozitīvi indeksi. Līdzīgā veidā ir iespējams panākt negatīvus indeksus. h.t.d.

1. Pārveidojiet kvadrātu summu kvadrātveida formās:

a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

Kvadrātiskās formas jēdziens. Kvadrātisko formu matrica. Kvadrātiskās formas kanoniskais izskats. Lagranža metode. Normāla izskata kvadrātveida forma. Kvadrātformas rangs, rādītājs un paraksts. Pozitīvi pevna kvadrātveida forma. Kvadriķi.

Kvadrātiskās formas izpratne: funkcija vektoru telpā, ko dod homogēns bagātināts faktors citam vektora koordinātu posmam.

Kvadrātveida forma n nevіdomih sauc par summu, āda dodanok ir vai nu kvadrāts viens no tiem neіdomih, vai arī izveidot divas dažādas nevіdomih.

Kvadrātiskā matrica: Matricu sauc par kvadrātiskās formas matricu noteiktam pamatam. Ja lauka raksturlielums nav tik labs kā 2, var pieņemt, ka kvadrātveida formas matrica ir simetriska, tāpēc .

Uzrakstiet kvadrātveida matricu:

Oce,

Vektora matricas formai kvadrātveida forma var izskatīties šādi:

Kvadrātiskās formas kanoniskais izskats: Kvadrātisko formu, tāpat kā visu pārējo, sauc par kanonisko.

Vai kvadrātveida formu var pārvērst par kanonisko formu papildu lineārām transformācijām. Tiešām pieprasiet šādas metodes.

Lagranža metode : Pēc pēdējo kvadrātu apskatīšanas. Piemēram, patīk

Izdarīsim līdzīgu procedūru, lai strādātu ar kvadrātformu un tā tālāk.Tāpat kā kvadrātformā viss ir ale, tad pēc transformācijas uz priekšu labajā pusē tas novedīs pie apskatāmās procedūras. Tātad, tāpat kā, piemēram, tad vvazhaemo

Normāla izskata kvadrātveida forma: Parastā kvadrātiskā forma ir tāda kanoniskā kvadrātiskā forma, kuras visi koeficienti var būt vienādi ar +1 vai -1.

Kvadrātformas rangs, rādītājs un paraksts: Kvadrātiskās formas pakāpe BET sauc par matricas rangu BET. Kvadrātiskās formas rangs nemainās ar ne-domu nevirogēnām transformācijām.

Negatīvo koeficientu skaitu sauc par negatīvās formas indeksu.

Pozitīvo vārdu skaitu kanoniskajā skatījumā sauc par kvadrātiskās formas pozitīvo inerces indeksu, negatīvo vārdu skaitu par negatīvo indeksu. Atšķirību starp pozitīvajiem un negatīvajiem indeksiem sauc par kvadrātveida formas parakstu

Kvadrātiskā forma ir pozitīvi piešķirta: Runas kvadrātiskā forma tiek saukta par pozitīvi piešķirtu (negatīvi piešķirtu), jo jebkurai runai, kas nav vienāda ar nulli, runas vērtības mainās

Tādā veidā matricu sauc arī par pozitīvi piešķirtu (negatīvi piešķirtu).

Pozitīvi piešķirto (negatīvi piešķirto) formu klase ir daļa no nepozitīvo (acīmredzot nepozitīvo) formu klases.

Kvadricikli:Kvadriķis — n-mierīga hipervirsma iekšā n+1 pasaules izplatība tiek dota kā anonīma nulle cita soļa bagātinātam vārdam. Kā ievadīt koordinātas ( x 1 , x 2 , x n+1) (Eiklīda vai Atēnu plašumā)

Līniju var pārrakstīt kompaktāk matricas izteiksmē:

de x = ( x 1 , x 2 , x n+1) - rindas vektors, x T - transpozīcijas vektors, J- matrica paplašināta ( n+1)×( n+1) (pārsūtot, ja vēlaties vienu її elementu, kas nav nulle), P- Rindas vektors un R- Pastāvīgi. Visizplatītākais ir aplūkot kvadrātiskos skaitļus, nevis reālos un kompleksos skaitļus. Vīziju var novietot uz četrstūriem projekcijas telpas tuvumā, div. zemāks.

Vēl trakāk, anonīmās polinoma sistēmas nulles vienādas mājā kā algebriska atšķirība. Šādā secībā kvadrātiskās є (afīnās vai projektīvās) cita līmeņa algebriskās variācijas un korozmіrnosti 1.

Laukuma un telpas transformācija.

Noteikta teritorijas pārveide. Iecelts drupas. ruhu īpašības. Divu veidu ruhіv: ruh no pirmā veida un ruh no otrā veida. Piesakies ruhiv. Analītiskais Viraz Ruhu. Nelīdzenu dzīvokļu klasifikācija (nogulsnējums nerūkošu punktu un nemainīgu taisnu līniju klātbūtnes dēļ). Dzīvokļu drupu grupa.

Teritorijas pārveides apzīmējums: Apzīmējums. Apgabala transformācija tiek ņemta no krasta un tiek izsaukta starp punktiem steigties(vai kustīgās) zonas. Apgabala transformāciju sauc afinīms Tas ir tā, it kā ir trīs punkti, kas atrodas uz vienas taisnes, pārejot trīs punktos, tāpēc guliet uz vienas taisnes un ar to vienkārši paņemiet trīs punktus.

Galamērķis Ruhu: tse figūru transformācija, kurā viens tiek saglabāts punktu vidū. It kā divas figūras ir tieši viena ar vienu no pirmā acu uzmetiena, šīs figūras ir vienādas, vienādas.

Spēcīga kustība: visādā ziņā jūs izvēlaties plaknes rux orientāciju, vai nu ar paralēlo translāciju, vai pagriežot, visos veidos jūs maināt plaknes rux orientāciju, vai nu aksiālo simetriju, vai kovznoi simetriju. Punkti, kas atrodas uz taisnas līnijas, stundu pārvietojas uz punktu, kas atrodas uz taisnes, un tiek pieņemta to savstarpējās paplašināšanās secība. Zem steigas stundas kuti starp dziedam tiek izglābti.

Divu veidu ruhіv: ruh no I veida un ruh no II veida: Pirmā veida ruki ir tādi ruki, jaki kā figūriņas saglabā pamatu orientāciju. Smirdēšanu var īstenot bez pārtraukuma.

Dažāda veida ruki ir tādi ruki, it kā tie maina bāzu orientāciju uz pretējo. Smirdēšanu var īstenot bez pārtraukuma.

Ar pirmā veida dibeniem pagrieziens tiek pārnests uz taisnu līniju, un ar otra veida rokām šī spoguļa simetrija ir centrālā.

Sastāvs, vai tas ir liels skaits ruhіv no pirmās ģints є ruh no pirmās ģints.

Citas ģints pāra skaitļa ruhіv sastāvs ir ruh 1 ģints, un nepāra skaitļa ruhіv 2 ģints sastāvs ir ruh 2 ģints.

Piesakies ruhіv:Paralēlā pārsūtīšana. Ļaujiet a būt vektoram. Paralēlu pārnesi uz vektoru sauc par plaknes pārspīlēšanu uz sevi, kad ādas punkts M parādās punktam M 1 tā, ka vektors MM 1 atrodas tuvāk vektoram a.

Paralēla pārnešana ar roku, šķembas uz virsmas virsmu uz pašas, kas ietaupa gaisu. Sākumā šis gājiens ir iespējams kā visu lidmašīnu iznīcināšana pie dotā vektora ale nākamajā dienā.

Pagriezieties. Ievērojami plaknes punktā O ( pagrieziena centrs) es iestatu α ( griezt pagriezienu). Pagriežot plakni ap punktu O uz griezuma α, plaknes virsma tiek izsaukta pati par sevi, kad ādas punkts M parādās punktā M 1, tātad GM \u003d OM 1 un griezums MOM 1 ir vairāk α. Ja tā, tad punkts O tiek atstāts savā vietā, tātad tas parādās pats par sevi, un visi pārējie punkti griežas ap punktu O tajā pašā virzienā – aiz gada bultiņas vai pret gada bultiņu (gada bultiņas mija ir parādīts uz mazā).

Pagriežot є roku, oskolki є vіrazhennyam plaschiny uz sevi, ja yakom zberіgayutsya vіdstanі.

Analītiskais Viraz Ruhu: var redzēt analītisku saikni starp priekšattēla koordinātām un punkta attēlu (1).

Rukhіv dzīvokļa klasifikācija (noguldījums nevardarbīgu punktu un nemainīgu līniju klātbūtnes dēļ): Apzīmējums:

Plaknes punkts ir nemainīgs (nesagraujošs), tāpēc, kad tas tiek pārveidots, tas pāriet uz sevi.

Muca: ar centrālo nemainīgo simetriju ir punkts uz simetrijas centru. Ja pagrieziens ir nemainīgs, punkts ir pagrieziena centrs. Ar nemainīgas līnijas aksiālo simetriju visa simetrija ir taisnas līnijas invariants punkts.

Teorēma: Ja ruh nav piemērota nemainīga punkta, tad vin var vēlēties tikai vienu nemainīgu taisni.

Piemērs: Paralēlā pārnešana. Pa labi, taisni, paralēli nemainīgai taisnei kā figūrai, es gribu saskaitīt no nemainīgiem punktiem.

Teorēma: Ja tas sabrūk kā solījums, apsoliet iztulkot mājās, tas ir tas pats, pretējā gadījumā tā ir transformācija, pretējā gadījumā simetrija var būt taisna, lai atriebtu doto solījumu.

Tāpēc, lai noteiktu nemainīgu punktu un figūru klātbūtni, ir iespējams veikt rukhivu klasifikāciju.

Ruhіv apgabala grupa:Ģeometrijā svarīga loma ir sevis mulsinošu figūru grupām. Jakščo - deka figūra uz dzīvokļa (vai telpā), tad var paskatīties uz bezpersonisku kluso dzīvokļa (vai brīvā laukuma) rūtiņu, ar šādu figūru pāriet mājās.

Tsya daudzveidība ir grupa. Piemēram, vienādmalu trikotnikam dzīvokļu grupa, kas mājās tulko tricutnik, sastāv no 6 elementiem: ieslēdzot griezumu ap punktu un simetriskas apmēram trīs taisnas līnijas.

Smaka ir parādīta att. 1 sarkana līnija. Pareizā trikutnika pašsummēšanas grupas elementus var iestatīt citādi. Lai izskaidrotu, numurējiet parastā trikotnika virsotnes ar skaitļiem 1, 2, 3. Neatkarīgi no tā, vai tas ir pašpārliecināts trikotniks, tulkojiet punktus 1, 2, 3 pašā punktā vai ņemiet to citā secībā. Jūs varat tikai garīgi ierakstīties, skatoties uz vienu no šiem lokiem:

kur skaitļi 1, 2, 3 apzīmē tādu virsotņu skaitļus, lai analizētās kustības rezultātā tiktu garām virsotnēm 1, 2, 3.

Šo modeļu projektīvā telpa.

Projektīvās telpas jēdziens ir projektīvās telpas modelis. Dizaina ģeometrijas pamatfakti. Taisnu līniju sasaiste ar centru projekcijas plaknes punkta O modelī. Dizaina punkti. Paplašināts laukums - projekcijas laukuma modelis. Expansion trivimirny Atēnu vai Eiklīda plašums - projektīvās telpas modelis. Plakanu un plašu figūru attēli ar paralēlu dizainu.

Projektīvās telpas jēdziens un projektīvās telpas modelis:

Projektīvais izplatījums virs lauka ir platums, kas veidojas no taisnām līnijām (viendimensijas apakštelpām) lineāram izpletumam virs šī lauka. Tiek saukti tiešie plašumi punkti dizaina telpa. Tikšanās mērķim ir jābūt norādītam uz noteikta ķermeņa

Ja ir atstarpe, tad skaitli sauc par dizaina telpas telpu, bet pašu projektīvo telpu apzīmē un sauc par asociatīvo s (lai norādītu, ka apzīmējums ir pieņemts).

Tiek saukta pāreja no vektora telpas uz dizaina telpu projekcijas telpa.

Krapki var aprakstīt ar viendabīgu koordinātu palīdzību.

Projektīvās ģeometrijas pamatfakti: Projektīvā ģeometrija - sadala ģeometriju, veidojot dizaina laukumu un telpu. Projektīvās ģeometrijas galvenā iezīme ir balstīta uz subversijas principu, kas bagātīgām struktūrām piešķir atšķaidītu simetriju. Projektīvo ģeometriju var aplūkot kā tīri ģeometrisku skatu punktu, kā arī analītisko (aiz viendabīgu koordinātu palīdzību) un algebrisko, aplūkojot projekta plakni kā struktūru virs lauka. Bieži un vēsturiski runas dizaina plakne tiek uzskatīta par Eiklīda plakni, pievienojot “taisni pie neatbilstības”.

Tāpat kā rakstu spēks, ar kuru Eiklīda ģeometrija var būt pareiza, є metriska(specifiskas kutiv, vіdrіzkіv, platības vērtības), un skaitļu līdzvērtība ir vienāda ar kongruence(tas ir, ja figūras var pārtulkot vienu pašu citā, lai palīdzētu kustībai no metrisko autoritāšu ietaupījumiem), lai saprastu ģeometrisko figūru "dziļi guļošo" autoritāti, jo tās tiek ņemtas lielāka zagāla transformāciju laikā. tips, zemāks Rukh. Projektīvā ģeometrija ir saistīta ar to figūru spēku attīstību, kuras klasē ir nemainīgas projektīvā permutācija, un navіt paši tsikh transformācija.

Projektīvā ģeometrija papildina eiklīdu, sniedzot garni un vienkāršības risinājumus bagātīgām problēmām, padarot paralēlu līniju klātbūtni sarežģītāku. Galīgo pārskatījumu dizaina teorija ir īpaši vienkārša un izsmalcināta.

Ir trīs galvenās pieejas dizaina ģeometrijai: neatkarīga aksiomatizācija, papildu Eiklīda ģeometrija i struktūras virs lauka.

Aksiomatizācija

Projektīvo plašumu var attiecināt uz papildinošu aksiomu kopu.

Coxeter saka:

1. Vai pareizais punkts nav uz tā.

2. Paņemiet trīs punktus uz ādas taisnes līnijas.

3. Caur diviem punktiem var novilkt vienu taisni.

4. Jakšo A, B, C, і D- punktu starpība ABі CD maiņa, tad ACі BD lāpīt.

5. Jakšo ABC- plakne, tad pieņemam, ka viens punkts nav plaknē ABC.

6. Divos punktos pārklājas divas dažādas plaknes.

7. Kopējā choticutor trīs diagonālie punkti nav kolineāri.

8. Tāpat kā trīs punkti uz taisnes X X

Projektīvo plakni (bez trešās dimensijas) nosaka citas aksiomas:

1. Caur diviem punktiem var novilkt vienu taisni.

2. Esi kā divas taisnas līnijas, kas savijas.

3. Izmantojiet chotiri punktus, no kuriem nav trīs kolineāru.

4. Trīs ārējo chotirikutniku diagonālie punkti nav kolineāri.

5. Tāpat kā trīs punkti uz taisnes X invariants attiecībā pret projektivitāti φ, tad visi punkti ieslēgti X invariants kā φ.

6. Desarga teorēma Ja taisnā līnijā ir daudzsološi divi triko, tad taisnā tie ir daudzsološi

Trešās pasaules acīmredzamības labad Desargues teorēmu var pabeigt, neieviešot ideālu punktu un līniju.

Paplašināts laukums — projektīvā laukuma modelis:Ņemsim Atēnu telpā A3 taisnes S(O) saiti ar centru O punktā plakni Π, kas neiet caur saites centru: O 6∈ Π. Taisnu līniju saistīšana ar Atēnu plašumu ar dizaina apgabala modeli. Plaknes Π bezpersoniskos punktus ir ierasts attēlot uz bezpersoniskām taisnām saitēm S

Trivimirny Atēnu vai Eiklīda izplešanās - projektīvās telpas modelis:

Lai padarītu to surjektīvāku, mēs atkārtojam afīnās plaknes Π formālu paplašināšanas procesu līdz projektīvajai plaknei Π, pievienojot plakni Π bezjēdzīgajiem negludajiem punktiem (M∞), lai: ((M∞)) = P0(O). Plakņu S(O) saites ādas plaknes apgrieztā attēla ķemmīšgliemenes ir taisnas uz plaknes d, redzams, ka ir bezpersoniski negludi paplašinātās plaknes punkti: Π = Π ∩ (M ∞ paplašinātās plaknes, kā vienskaitļa plaknes Π0 priekšattēls: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23). Papildinot nelineārās taisnes līnijas afinitātes plakni, mums izdevās panākt, lai paplašinājums (I.21) kļūtu aktīvs visu paplašinātās plaknes punktu bezpersoniskumā:

Plakanu un plašu figūru attēli ar paralēlu dizainu:

Stereometrijā figūru plašumi ir savīti, proteas uz atzveltnes krēsla smakas attēlotas kā plakanas figūras. Kādā secībā uz dzīvokļa attēlot plašu figūru? Skaņa pēc ģeometrijas, kura uzvarējusi paralēli dizainam. Ļaujiet p - deyak flat, l- Taisni, scho peretinaє її (1. att.). Caur noteiktu punktu A, tāpēc nemelo taisni l, kas novilkta ar taisnu līniju, paralēli taisnei l. Taisnes līnijas krustpunktu ar plakni p sauc par punkta paralēlo projekciju A apgabalā p pie taisnes l. Ievērojami її A"Kāda jēga A guli taisni l, tad paralēlā projekcija A plaknē p taisnes šķērslīnijas punkts lіz lpp.

Tādā veidā ādas punktiņi A projekcijai atvēlēta vieta A uz apgabalu lpp. Tsya vіdpovіdnіst sauc par paralēli, kas projicējas uz laukuma p taisnā līnijā l.

Dizaina izmaiņu grupa. Papildinājums rozvyazannya uzdevumiem.

Teritorijas dizaina transformācijas koncepcija. Pielietojiet teritorijas dizaina transformāciju. Dizaina spēks mainās. Homoloģija, spēka homoloģija. Dizaina izmaiņu grupa.

Izpratne par teritorijas dizaina pārveidošanu: Projektīvās transformācijas jēdziens ir pazīstams centrālās projekcijas jēdziens. Vienkārši vikonē plaknes α centrālo projekciju uz plaknes α 1 plakni, tad α 1 projekciju uz α 2, α 2 projekciju uz α 3, ... i, nareshti, tāda plakne α n jauns uz α 1, tad visu šo projekciju sastāvs un є ir plaknes α projektīvā transformācija; šāda lancete var ietvert paralēlas projekcijas.

Lietojiet plaknes projektīvo pārkārtošanu: Apdzīvotās vietas projektīvās pārvērtības sauc par vīnu atveidojumu viens pret vienu un viens pret vienu, kurā ņemta punktu kolinearitāte, chi, citādi šķiet, rangs ir taisns un taisns. Vai tas būtu transformācijas projekts vai centrālo un paralēlo projekciju lancetes kompozīcija. Atēnu transformācija ir vienīgais projektīvā moments, ar kuru taisne šķērso sevī bezgalīgi tālu.

Projektīvo transformāciju spēks:

Izmantojot projektīvo transformāciju, trīs punkti, kas neatrodas uz taisnes, šķērso trīs punktus, kas neatrodas uz taisnes.

Ar projektīvo transformāciju rāmis tiek pārveidots par rāmi.

Projektīvās transformācijas gadījumā taisne pārvēršas taisnē, stars pārvēršas starā.

Homoloģija, spēka homoloģija:

Plaknes projektīvu transformāciju, kurai ir taisns invariants punkts un līdz ar to nemainīgu līniju kopums, sauc par homoloģiju.

1. Taisne, kas var iet cauri otrajiem homoloģijas punktiem, kas nesakrīt, ir nemainīga taisne;

2. Taisnes līnijas, kas iet cauri otrajiem homoloģijas punktiem, kas nepārklājas, atrodas vienā starā, kura centrs ir nemainīgs punkts.

3. Krapka, ka homoloģijas centrs atrodas uz vienas taisnes.

Dizaina izmaiņu grupa: varam aplūkot projektīvās plaknes P 2 dizainu uz sevi, tātad plaknes projektīvo transformāciju (P 2 ' = P 2).

Tāpat kā iepriekš, projekcijas plaknes P 2 projektīvo pārveidojumu f 1 і f 2 sastāvs f ir secīgās transformācijas f 1 і f 2 rezultāts: f = f 2 °f 1 .

1. teorēma: visu projektīvās plaknes projekcijas transformāciju bezpersoniskums P 2 ir jebkura projekcijas pārveidojumu kompozīcijas grupa.

§ 4. Kvadrātformu inerces likums. Kvadrātisko formu klasifikācija

1. Kvadrātformu inerces likums. Mēs jau esam norādījuši (dievišķā cieņa pret iepriekšējās rindkopas 2 p. 1), ka kvadrātveida formas pakāpe ir vienāda ar nulles kanonisko koeficientu pirmatnējo tipu skaitu. Vēlāk neapstrādātas transformācijas izvēlē var atrast nulles kanonisko koeficientu skaita skaitli, ar kura palīdzību formu A (x, x) var inducēt kanoniskajā formā. Patiešām, jebkurā veidā redukējot formu A (x, x) uz kanonisko formu, pozitīvo un negatīvo kanonisko koeficientu skaits nemainās. Tsya spēku sauc par kvadrātisko formu inerces likumu.
Pāriesim pie inerces likuma kavēšanas, centīsimies to ievērot.
Formu A (x, x) y bāze e \u003d (e 1, e 2, ..., e n) piešķir matrica A (e) \u003d (a ij):

de ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n ir bāzes e vektora x y koordinātes. Pieņemsim, ka forma pēc koordinātu neatgriezeniskās transformācijas tiek pārvesta uz kanonisko formu

turklāt λ 1 , λ 2 ,..., λ k- apzīmē ar nulles kanoniskajiem koeficientiem, kas numurēti tā, lai pirmais no šiem koeficientiem q būtu pozitīvs, bet nākamie – negatīvi:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λq+1< 0, ..., λ k <0.

Apskatīsim gaidāmo koordinātu μ i nevirogēnu transformāciju (ir viegli saprast, ka šīs transformācijas zīme ir kā nulle):

Šīs transformācijas rezultātā būs redzama forma A (x, x).

ierindojas pēc kvadrātiskās formas normālās formas.
Vēlāk bāzē e = (e 1 , e 2 ,..., e n ) esošā vektora x koordinātu ξ 1 , ξ 2 , ..., n neapstrādātas transformācijas palīdzībai

( є tver transformācija ξ par μ un μ par η pēc formulām (7.30)) kvadrātisko formu var reducēt uz normālu skatu (7.31).
Saņemsim šo firmu.
7.5. teorēma (kvadrātformu inerces likums). Papildinājumu skaits ar pozitīviem (negatīviem) koeficientiem normāla izskata kvadrātiskā formā nav atrodams veidā, kas samazina formu līdz sākotnējai formai.
Pierādījums. Ļaujiet formu A(x, x) pēc koordinātu nedeģenerētās transformācijas (7.32) palīdzības nogādāt normālskatā (7.31) un pēc otras koordinātu nedeģenerētās transformācijas palīdzības nogādāt parastais skats

Acīmredzot, lai pierādītu teorēmu, ir jāpārskata vienādības p = q derīgums.
Ļaujiet p > q. Mainīsim, kurā virzienā є nulle neviendabīgs vektors x ir tāds, ka, paplašinot uz bāzēm, kurām forma A (x, x) var izskatīties kā (7.31) un (7.33), koordinātes η 1 , η 2 , ..., η q un ζ p+1 , ..., ζ n kurš vektors ir vienāds ar nulli:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ p+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7,34)

Oskilki koordinātas η i atņemot koordinātu ξ 1 , ..., ξ n un koordinātes ζ neapstrādātās transformācijas ceļu (7.32) i- līdzīgas nedeģenerētas koordinātu ξ 1 , ..., ξ n transformācijas palīdzībai, tad sp_v_dnoshenie (7.34) var uzskatīt par koordinātu ξ 1 , ..., ξ n 1 lineāru viendabīgu sakārtojumu sistēmu. , e 2 ,..., e n ) (piemēram, sp_v_dnoshenna sp_v_dnoshenna η 1 = 0 maє, zgіdno (7.32), ierakstiet a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0)- Tā kā p > q, tad viendabīgo vienādību (7.34) skaits ir mazāks par n, tātad sistēmai (7.34) koordinātām ξ 1 , ..., ξ n var būt nulles atrisinājums. nejaušības vektors x. Tāpat, ja p > q ir nulles vektors x, kuram aprēķina sakarību (7.34).
Apskatīsim vektora x formas A(x, x) vērtību. Pagriežot līdz spіvvidnoshen (7.31) un (7.33), mēs ņemam

Atlikušais greizsirdība var būt mātes vieta mazāk reizēm η q+1 = ... = η k = 0 i ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Tādā veidā strāvas bāzei ir visas koordinātes ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ n ne-nulles vektors x ir vienāds ar nulli (dal. atlikums vienāds un vienāds (7.34)), tas ir. vektors x ir vienāds ar nulli. Otzhe, pripuschennya p > q noved pie super-asuma. Par līdzīgiem mirkuvannyami radīt super-precizitāti, ka pabalstu< q.
Vēlāk p = q. Teorēma ir pabeigta.
2. Kvadrātisko formu klasifikācija. Otrā iedalījuma 2.§ 1.punktā (2.piešķīrums) tika ieviests jēdziens pozitīvi piešķirtas, negatīvi piešķirtas, parakstītas un kvazizīmētas kvadrātformas.
Šajā brīdī, lai palīdzētu izprast kvadrātveida formas inerces indeksu, pozitīvos un negatīvos inerces indeksus, mēs varam pateikt, kādā secībā ir iespējams izskaidrot kvadrātveida formas derīgumu tai pārējo tipu ķei. Ar kuru kvadrātiskās formas inerces indeksu sauc par nulles formas kanonisko koeficientu skaitu (tobto її rangs), pozitīvais inerces indekss ir pozitīvo kanonisko koeficientu skaits, negatīvais kanoniskais indekss ir negatīvo negatīvo koeficientu skaits. Bija skaidrs, ka pozitīvo un negatīvo inerces indeksu summa ir vienāda ar inerces indeksu.
Tāpat neiegūsim inerces indeksu, kvadrātformas A(x, x) pozitīvais un negatīvais inerces indekss ir līdzīgi k, p і q (k = p + q) f , f 2 , ..., fn) šai veidlapai var izveidot aizvainojošu normālu izskatu:

de η 1 , η 2 ..., η n - vektora x y koordinātas bāzes f .
1°. Nepieciešama pietiekama kvadrātiskās formas intelektuālā nozīme. Godīga є aizskaroša cietība.
Šim nolūkam n-pasaules lineārajā telpā L ir dota kvadrātiskā forma A(x, x), tā ir ar zīmi zīmēta, nepieciešama un pietiekama, tātad vai nu pozitīvais inerces indekss p, vai negatīvais indekss Inerce q ir pietiekama telpas L izmērā n.
Ja tā, ja p = n, tad forma ir piešķirta pozitīvi, ja q = n, tad forma ir negatīva.
Pierādījums. Tā kā pozitīvi piešķirtās formas un negatīvi piešķirtās veidlapas tiek skatītas līdzīgi, apstiprinājuma pārbaude tiek veikta pozitīvi piešķirtajām veidlapām.
1) Nepieciešamība. Pozitīvi piešķirta forma A(x, x). Todi viraz (7.35) turpmāk skatīšos

A (x, x) \u003d η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.

Jakščo pie tsiomu r< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 \u003d 0, η 2 \u003d 0, ..., η p \u003d 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

forma A(x, x) tiek pārvērsta par nulli, bet tā vietā, lai pārrēķinātu pozitīvi definētās kvadrātiskās formas vērtību. Arī p = n.
2) Pieejamība. Ļaujiet p = n. Tad sp_v_dnoshennia (7.35) var izskatīties kā A(x, x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2 . Ir skaidrs, ka A(x, x) ≥ 0, un, ja A = 0, tad η 1 = η 2 = ... = η n= 0, tad vektors x ir nulle. Arī A(x, x) ir pozitīvi vienkārša forma.
Cieņa. Lai izskaidrotu kvadrātiskās formas apzīmējuma uzturvērtību, forma ir jāpārnes uz kanonisko formu papildu zīmēm.
Sākumā ņemam Silvestra kvadrātiskās formas zīmīgās nozīmes kritēriju, ar kura palīdzību var izskaidrot uzturvērtību par formas zīmīgumu, dots jebkādā veidā, nereducējot uz kanonisko formu.
2°. Nepieciešama pietiekama kvadrātiskās formas garīga pārzināšana. Saņemsim šo firmu.
Lai kvadrātveida forma būtu pazīstama, tā ir nepieciešama un pietiekama, lai tā būtu gan pozitīva, gan negatīva, un formas inerces indeksam jābūt līdzīgam nullei.
Pierādījums. 1) Nepieciešamība. Oskilki pazīstamajai formai ir gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības, її G.35 izpausme) normāla izskata cilvēkā var būt atriebība kā pozitīva, un negatīvi papildinājumi (pretējā gadījumā forma ieguva vai nu nenegatīvas, vai nepozitīvas vērtības). Arī kā pozitīvs un negatīvs inerces indekss nulles formā.
2) Pieejamība. Pieņemsim, ka p ≠ 0 i q ≠ 0. Tas pats vektoram x 1 ar koordinātām η 1 ≠ 0, ..., η p ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 varbūt A(x 1 x 1) > 0, un vektoram x 2 iz koordinātas η 1 = 0, ..., η p = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 varbūt A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Nepieciešamā un pietiekamā kvadrātformas Umova kvazizīmes vērtība. Godīga є aizskaroša cietība.
Lai forma A (x, x) būtu kvazi nozīmīga, ir nepieciešams un pietiekams, lai konotācijas būtu< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Pierādījums. Mēs varam aplūkot pozitīvi kvazi nozīmīgu formu. Līdzīgi tiek aplūkotas arī Vipadok formas negatīvi kvazi-zīmes.
1) Nepieciešamība. Ļaujiet formai A(x, x) būt ar pozitīvu kvazizīmi. Tad acīmredzami q = 0 un p< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Pieejamība. Yakscho r< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 varbūt A(x, x) = 0, tad. A(x, x) ir pozitīvi kvazizīmes forma.
3. Silvestra (Džeimss Džozefs Silvestrs (1814-1897) - angļu matemātiķis) kvadrātformas zīmīgās nozīmes kritērijs. Formu A (x, x) y bāze e \u003d (e 1, e 2, ..., e n) piešķir matrica A (e) \u003d (a ij):

un ļauj man Δ 1 \u003d a 11, - kutovі minor un vyznachnik matrica (а ij). Godīga є aizskaroša cietība.
7.6. teorēma (Silvestera kritērijs). Lai kvadrātforma A(x, x) būtu pozitīvi piešķirta, ir nepieciešams un pietiekami pārvarēt nelīdzenumus Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0.
Lai kvadrātveida forma tiktu apzīmēta negatīvi, ir nepieciešams un pietiekami, lai tiktu uzzīmētas augšējo nepilngadīgo zīmes, turklāt Δ 1< 0.
Pierādījums. 1) Nepieciešamība. Parunāsim par kvadrātveida formas A (x, x) zīmes vērtība ir skaidra Δ i ≠ 0, i = 1, 2, ..., n.
Ejam tālāk, sho pripuschenna Δ k= 0, kas noved pie super-precizitātes - šajā gadījumā tiek izmantots nulles vektors x, kuram A (x, x) = 0, kas supernosaka formas zīmi-nozīmību.
Otzhe, nāc Δ k= 0. Apskatīsim kvadrātveida vienotas lineāro izlīdzinājumu sistēmas pieeju:

Oskilki Δ k- sistēmas apzīmētājs Δ k= 0, sistēmai ir atrisinājums, kas atšķiras no nulles ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k (ne visi ξ i ir vienādi ar 0). Pirmo reiziniet (7.36) ar ξ 1 , otru ar ξ 2 ... un pārējo ar ξ k un varam salocīt nobīdi. Rezultātā tiek pieņemta līdzvērtība , kuras kreisā daļa ir kvadrātformas A(x, x) vērtība vektoram, kas nav nulle ar koordinātām (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k , 0, ..., 0 ) . Vērtība ir vienāda ar nulli, kas aizstāj veidlapas zīmes.
Otzhe, mēs sajaucām, scho Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n. Tāpēc mēs varam precizēt Jacobi redukcijas metodi formā A(x, x) līdz kvadrātu summai (dal. teorēma 7.4) un reducēt ar formulām (7.27) kanoniskajiem koeficientiem λ i. Yakshcho A(x, x) ir pozitīvi dziedama forma, visi kanoniskie koeficienti ir pozitīvi. Ale todi іz spіvvіdnoshen (7.27) ir acīmredzams, scho Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Tā kā A(x, x) ir negatīva forma, tad visi kanoniskie koeficienti ir negatīvi. Formulu (7.27) aleksi ir skaidri, tātad ir uzzīmētas virsotņu minoru zīmes, turklāt Δ 1< 0.
2) Pieejamība. Ļaujiet vikonanі mazgāt, pārklāji uz kutovі minori Δ i pie teorēmas formulēšanas. Oskilki Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n , tad formu A var reducēt līdz kvadrātu summai ar Jakobi metodi (dal. 7.4. teorēma), un kanoniskos koeficientus λ i var atrast aiz formulām (7.27). Ja Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, tad no spіvvіdnoshen (7.27) mēs redzam, ka visi λ i> 0, t.i., forma A(x, x) ir piešķirta pozitīvi. Kā ir zīmes Δ i uzzīmējiet, ka Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Pavasaris izrādījās veiksmīgs mēnesis visām aktīvu kategorijām. Pēc "Grosha" aplēsēm, visas investīcijas ir nodrošinājušas pozitīvu rezultātu. Kam vislielākos ienākumus nesuši zelta noguldījumi, viņi spēlēja dārgā metāla sadārdzināšanā un rubļa vājināšanā. Lielu peļņu investoriem nesušas galvenās investīciju fondu kategorijas, noguldījumi, kā arī lielākā daļa Krievijas akciju. Pārējie obligāciju fondu, kā arī Oschadbank akciju likteņi kļuva par populārākajiem, jo ​​tie visvairāk var ciest no ASV sankciju pastiprināšanās.

Vitālijs Kapitonovs

Piecus mēnešus vēlāk zelts kļuva par mēneša vērtīgāko ieguldījumu. "Penija" vērtējumam 15 sirpju ielikšana dārgā metāla 100 īvē. berzēt., Investors nekavējoties pacelšanās mēnesī mayzhe 5 īve. berzēt. ienākumiem. Tse, izņemot šī likteņa ikmēneša rezultātu lielumu. Jo lielāks investors brīdis, lai nopelnītu no dzīvokļa - 9,3 tūkst. berzēt.

Augstā džentlmeta ieguldījuma rentabilitāte retāk ir saistīta ar jogas cenas pieaugumu. No sirpja vidus zelta cena pieauga par 2,4%, līdz 1205 USD par Trojas unci. Tse ir kļuvusi par piemēru inflācijas korekcijām Amerikas Savienotajās Valstīs. Pēc ASV Tirdzniecības departamenta datiem inflācija valstī ir pieaugusi no 2,9% liepā līdz 2,7% sirpjā, un to joprojām pārspēj FRS. Tādā veidā inflācija turpina augt, lai ļautu Fed paaugstināt likmi bez krasām izmaiņām. Dārgajam metālam atbalstu devušas ziņas par tām, ka ASV un Kanādas valdība turpina mēģināt rast kompromisu jaunajai NAFTA labvēlībai. "Šie jauninājumi samazina darījumu satricinājumus, jo tie rada spiedienu uz zelta tirgu un paaugstināja dolāra kursu," saka Mihailo Šeibe, Sberbank Investment Research preču tirgu operāciju stratēģis. Zelta cenu pieauguma ietekme bija dolāra kursa pieauguma kāpums Krievijā (+2,5%). Rezultātā rubļa investīcijas dārgā metālā nesa ievērojamus ienākumus.

Vtіm, lidz turpmākiem ieguldījumiem zelts varto novietots ar aizsardzību, tirgus dalībnieki tiek cienīti. Tirdzniecības opozīcijas saasināšanās starp ASV un Ķīnu ir galvenais risks investīcijām džentlmeņu metālrūpniecībā. "Ieslēgumu politiskā spiediena faktors, kas nozīmē, ka jaunu barjeru rašanās praktiski ir pa labi. Šāda attīstība zeltam ir negatīva;

Cik lielus ienākumus nesušas zelta iemaksas (%)

Džerela: Bloomberg, Reuters, Oschadbank.

Starp ienesīgākajiem finanšu produktiem ir akciju ieguldījumu fondi, un citi pārvaldīto uzņēmumu produkti varētu nodrošināt maržu, kas atsver zelta cenu. Zhovtnі visveiksmīgākie bija noguldījumi no Galuzev fundi akcijām, kas vērstas uz metalurģiju, telekomunikācijām un naftas un gāzes uzņēmumiem. "Grosh" novērtējumam, pamatojoties uz Investfunds naudu, par mēneša ieguldījumu apakšmaisiem šādi fondi privātajiem investoriem atnesa ap 2,2 tūkst. rub., līdz 5,2 tūkst. berzēt.

Augstus ienākumus nodrošināja citu kategoriju fondi: indeksu fondi, ārvalstu investīcijas, eiroobligācijas. Šo kategoriju fondi saviem investoriem varētu dot aptuveni 200 rubļu. līdz 4 tūkst berzēt. uz 100 tūkst ievietot.

Negatīvu rezultātu atnesa obligāciju fondi, kas iepatikās privātajiem investoriem. Kategorijas fondi var būt konservatīvi, tāpēc privāto investoru tēriņi bija simboliski - līdz 1 tūkstotim rubļu. berzēt. Šādiem prātiem investori sāka fiksēt peļņu no obligāciju fondiem. Aiz Investfunds nodevas investori no obligāciju fondiem piesaistīja 4 miljardus rubļu. Lielākā daļa smirdoņu ņemta no kategorijas kategorijas līdzekļiem no mazuļiem 2014. gadā. Rubļa kursa devalvācijas un straujā likmju pieauguma rezultātā vietējā tirgū investori no fondiem piesaistīja vairāk nekā 4,5 miljardus rubļu.

Investoru palielināta likviditāte bieži tiek izmantota, lai piesaistītu riskantākus akciju fondus. Naudas summa, kas ieguldīta tsієї kategorijas fondos serpni, pārskaitot 3,5 miljardus rubļu, kas ir 500 miljoni rubļu. vairāk obsyagu zaluchen liepa. Viņš dzers par riskanto izaugsmes stratēģiju jau pirmajā miega mēnesī, un depozīts aizņemsies arvien vairāk no rozdrіbnі fondi savvaļas plūdmaiņas. Lielāko ieguldījumu investoros finansē telekomunikācijas un nafta un gāze.

Kādus ienākumus nesuši ieguldījumu fondu ieguldījumi (%)

Džerela: Kerivņiku Nacionālā līga, Investfunds.

Uz trešo vietu no "Grosha" ceturtā reitinga pacēlās Serpņevі autsaideri - akcijas. Pēdējā mēneša laikā investīcijas MICEX indeksā privātajiem investoriem atnesa 3,4 tūkstošus rubļu. berzēt. Apskatāmā perioda pirmajā vālītē tik augsts rezultāts nebija jūtams. Laika posmā no 15. aprīļa līdz 18. aprīlim MICEX indekss samazinājās par 1,2%. Proteitu situācija uzlabojās pēc 24. aprīļa. Trīs dienas indekss pieauga par 5% un pacēlās līdz 2374 punktu līmenim. Tas ir tikai par 2 punktiem zemāks par vēsturisko maksimumu, instalācijām pie bērza.

Savukārt pavasarī daudzi valstu un citu valstu akciju indeksi uzrādīja pozitīvu dinamiku. Pēc Bloomberg aplēsēm, Krievijas indeksi dolāros pieauga par nepilniem 4,4%. Spēcīgāku izaugsmi uzrādīja tikai Turcijas indeksi, kas pieauga par 5,9-6,3%. Itālijas FTSE MIB kļuva par līderi starp valsts vadošajiem rādītājiem, mēneša laikā pievienojot 3,4%.

Visvairāk auga ALROSA, Gazprom, MMC Norilsk Nickel un Magnit akcijas: uz šiem papīriem investors varēja nopelnīt 4,2-8,3 tūkst. berzēt. par simts tūkstošu ādas investīcijām. Aiz Olma Investment Company vadošā analītiķa Antona Starceva vārdiem investoru interesei par ALROSA vērtspapīriem sekoja finanšu ministra Antona Siluanova vārdi par tiem, kuriem uzņēmums var novirzīt 75% no neto ienākumiem. dividenžu izmaksa.

Vainojamas lielajā attēlā bija RusHydro, Rostelecom, Aeroflot akcijas; līdz 1,4 tūkst berzēt. Maksimālos tēriņus uzrādīja investori, kuri Oschadbank papīra cenās ieguldīja santīmus - 2,1 tūkstoti rubļu. berzēt. Akcijas tiek slēgtas, pakļaujoties ASV Valsts departamenta amatpersonu komentāru spiedienam, jo ​​viņi neredz iespēju noteikt sankcijas pret kādu banku lapu rudenī. Šādas izredzes raugās uz starptautiskiem investoriem, un šķiet, ka viņi ir apmulsuši ne tikai no OFZ, bet arī no papīra bankām.

Pēc sirpja un pavasara sabrukuma Oschadbank akcijas kļuva pievilcīgākas investīcijām, analītiķi rūpējas. "Lielākās Krievijas bankas vērtspapīru atsitiens ir vēl nozīmīgāks, un to pirkumu riski ir pilnīgi nepareizi. Vidēja termiņa investoriem joprojām jākoncentrējas uz peļņas fiksēšanu 180 rubļu apgabalā par akciju," uzskata Oleksijs. Brokerovs, ALOR Brokers analītiķis.

Kādus ienākumus nesuši ieguldījumi akcijās (%)