Kāpēc vektora projekcija ir noderīga? Projekcijas vektors. Koordinātu asis. Punkta projekcija. Punktu koordinātas kopumā. Pārbaudiet vektorus pats un pēc tam apskatiet risinājumu

a. Punkta A projekcija uz visa PQ (4. att.) ir perpendikula bāze, kas ir nolaista no dotā punkta uz visa qi. To visu, kā mēs to projicējam, sauc par daudzām projekcijām.

b. Ievadiet datus uz divu asu vektoru AB, kas apzīmēts attēlā. 5.

Kuras vālītes vektors ir vālītes un gala projekcija - šī vektora beigu projekciju sauc par vektora A projekciju uz visu PQ, tā tiek ierakstīta kā tāda;

Jebkurš indikators PQ nav rakstīts apakšā, tas jādara klusās noskaņās, ja PQ nav pieejams no otras puses, to varētu projicēt.

Ar. Teorēma I. Vektoru vērtības, kas atrodas uz vienas ass, ir iestatītas kā to projekciju vērtības neatkarīgi no tā.

Ļaujiet dotajam vektoru asij, kas norādīts 6. attēlā. Ir skaidrs, ka abi vektori ir redzami kā to projekcijas.

Tā kā vektori uz atzveltnes krēsla ir iztaisnoti dažādās pusēs, tad їх vērtības var atšķirties, tad

Acīmredzot arī projekciju lielumam var būt cita zīme:

aizstājot (2) ar (3) ar (1), mēs ņemam

Mainot zīmes uz vārtiem, ņemiet tos prom

Ja vektori būs viena un tā pati taisne, tad būs viena abu projekciju taisne; formulām (2) un (3) nebūs mīnus zīmju. Aizvietojot (2) un (3) vienlīdzību (1), mēs nekavējoties atņemam vienlīdzību (4). Turpmāk teorēma ir pierādīta visiem režīmiem.

d. II teorēma. Vektora projekcijas vērtība, vai visa vektora vērtība, reizināta ar kuta mіzh vіssyu projekciju kosinusu i vіssyu vektora 7. Lai vienas virzības vektors ir sava līnija un ielaidumi, piemēram, asu krustpunkta formā. Ļaujiet man nodarboties ar savu dārgo jogu vienatnē. Tādas pašas vērtības joga

Domājot, uzminiet, ko koordinēt veselumu, punkta projekcija uz veselumuі punktu koordinātas uz ass.

Koordinēt veselumu- tas ir taisni, es ceru, ka tas ir taisni. Jūs varat uzminēt, ka tas ir bezgala liela moduļa vektors.

Koordinēt veselumu To apzīmē ar burtu: X, Y, Z, s, t... Skaņa uz ass, izvēlieties (diezgan) punktu, kā to sauc par vālīti i gadījumā, kā likums, tas ir apzīmē ar burtu O. Punkta gadījumā tas mums tiek noformēts uz citiem punktiem.

Punkta projekcija kopumā- perpendikula balsta ķēde, nolaista no qiєї punktiem uz veseluma qiu (8. att.). Tā ir punkta projekcija uz visu punktu.

Punkta koordinātas uz visiem- vesels skaitlis, kura absolūtā vērtība ir vissvarīgākā dubultass (izvēlētajā mērogā), kas atrodas starp ass vālīti un punkta projekciju uz veseluma ciu. Šis skaitlis tiek ņemts ar plusa zīmi, lai punkta projekcija tiktu pagriezta tiešās ass vālītē un ar mīnusa zīmi, piemēram, pretējā virzienā.

Vektora skalārā projekcija kopumā- ce numuru ir dažas visilgāk stāvošās vіdrіzka ass absolūtā vērtība (apgrieztā mērogā), kas atrodas starp punkta projekcijām uz vālītes un vektora gala punktu. Svarīgs! Skan virazu skalārās projekcijas vektors kopumāšķiet vienkārši - vektora projekcija kopumā, tad vārds skalārs zemāks. vektora projekcija apzīmē ar burtu, kas ir projicējamais vektors (parasti, bez treknraksta), ar zemāko (parasti) indeksu nosauc asi, uz kuras vektors tiek projicēts. Piemēram, vektors tiek izstrādāts visiem X a, yogo projekcija ir piešķirta kā x . Projicējot to pašu vektoru otrā pusē, teiksim, visa Y projekcija tiks piešķirta y (9. att.).

shob virahuwati vektora projekcija kopumā(piemēram, visi X) jums ir jāņem vālītes punkta koordinātas no th punkta koordinātām.

un x \u003d x k - x n.

Jāatceras: vektora skalārā projekcija uz visiem (vai tikai vektora projekcija uz visiem) ir skaitlis (nevis vektors)! Turklāt projekcija var būt pozitīva, lai x vērtība būtu lielāka par x n vērtību, negatīva, lai x vērtība būtu mazāka par x n vērtību un būtu tuvāk nullei, lai x būtu lielāka par x n (10. att.).

Var zināt vektora projekciju kopumā, zinot vektora moduli un kut, kurš vin ir salocīts no veseluma cenas.

No mazā 11 ir skaidrs, ka x = un Cos α

Tobto, vektora projekcija visā vektora moduļa pagarinājuma garumā uz kuta kosinusu starp vektora taisni un taisni. Ja tas ir kut hostry, tad Cos α > 0 un x > 0, un ja tas ir stulbs, tad stulbā kuta kosinuss ir negatīvs, un vektora projekcija uz visiem būs negatīva.

Kuti, kas ir redzami asī pret gada bultas gaitu, tiek uztverti kā pozitīvi un negatīvi. Tomēr, ja kosinuss ir pāra funkcija, tad Cos α \u003d Cos (− α), tad, aprēķinot projekcijas, jūs varat noslēgt kā gada stundu rādītāju un otrādi.

Sakārtojot uzdevumus, uzvarētāji bieži ņem vērā šādas jaudas prognozes:

a = b + c +…+ d, tad a x = b x + c x + ... + d x (līdzīgi kā citai asij),

a= m b, tad a x = mb x (līdzīgi kā citas asis).

Formula a x = a Cos α būs biežāk zustrichatsya ķiršu dienas stundā, ka її obov'yazkovo prasa muižniecību. Projekcijas iecelšanas noteikums ir jāzina atgādini man!

Atcerieties!

Lai zinātu vektora projekciju kopumā, vektora modulis jāreizina ar koa kosinusu starp tiešo asi un tiešo vektoru.

Vēlreiz - ATKLĀJIES!

Ass ir taisna. Otzhe, projekciju uz visu tieši ciena viens un viņš pats. Projekcija ir gan algebriska, gan ģeometriska. Ģeometriskais saprot vektora projekciju uz veselumu kā vektoru, bet algebriskais - skaitli. Lai zastosovyatsya saprastu vektora projekciju kopumā un vektora skaitlisko projekciju kopumā.

Ja mēs varam redzēt L un nulles vektoru A B → , mēs varam inducēt vektoru A 1 B 1 ⇀ , zinot th punkta A 1 un B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 būs vektora A B → L projekcija.

Tikšanās 1

Vektora projekcija kopumā nosauc vektoru, vālīti un jebkuras vālītes projekcijas beigas un dotā vektora beigas. n p L A B → → pieņemts domāt A B → projekciju uz L . Lai veicinātu projekciju L, nometiet perpendikulus uz L .

dibens 1

Vektora projekcijas piemērs kopumā.

Punkts M 1 (x 1 , y 1) ir iestatīts uz koordinātu plaknes O x. Punkta M 1 rādiusa vektora attēlā nepieciešams izveidot projekcijas uz O x i O. Mēs atņemam vektoru (x 1 , 0) un (0 , y 1) koordinātas.

Ja ejam pa projekciju a → uz nulli neatšķirīgu b → vai projekciju a → taisni uz priekšu b → , tad projekcija a → uz veselumu var atrasties uz robežas, no kuras taisne b → . Projekciju a → uz taisnes, kas apzīmēta ar b → var atpazīt n p b → a → → . Vіdomo, ja kut mіzh a → і b → varat ievadīt n p b → a → → і b → līdzvirziena. Reizēm, ja griezums ir blāvs, n p b → a → → і b → taisni taisni. Perpendikularitātes situācijā a → un b → , turklāt a → - nulle, projekcija a → y taisne b → є nulles vektors.

Vektora projekcijas skaitliskais raksturojums kopumā - vektora digitālā projekcija uz doto veselumu.

Tikšanās 2

Vektora skaitliskā projekcija kopumā skaitļa nosaukšana, lai uzlabotu dotā vektora vērtību ar kuta kosinusu starp doto vektoru un vektoru, kas tieši apzīmē asi.

Skaitliskajai projekcijai A B → L var piešķirt n p L A B → , un a → b → - n p b → a → .

Atkarībā no formulas ņemam n p b → a → a = a cos a → , b → ^ , zvaigznes a → є vektora garums a → , a ⇀ , b → ^ - izgriezts starp vektoriem a → і b → .

Mēs atņemam skaitliskās projekcijas aprēķina formulu: n p b → a → = a → cos a → , b → ^ . Vaughn zastosovna pie vіdomi dovzhina a → ta b → ta vugіllі m_zh. Formula ir nemainīga dotajām koordinātām a → і b → ale є її vienkāršojumiem izskatās.

dibens 2

Atpazīt a → skaitlisko projekciju tieši aiz tiešā b → ar garāku a → progresīvāku 8 un griezumu starp tiem 60 grādu leņķī. Ārpus prāta maєmo a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Tad mēs attēlojam formulas n p b ⇀ a → = a → cos a → b → ^ = 8 cos 60 ° = 8 1 2 = 4 skaitlisko vērtību.

Ieteikums: 4.

Kad redzat cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , varbūt a → , b → kā skalārais televizors a → і b → . Pamatojoties uz formulu n p b → a → a = a cos a ⇀ , b → ^ , mēs varam zināt a → skaitlisko projekciju tieši uz vektora b → і, mēs varam ņemt n p b → a → = a → , b → b → . Formula ir līdzvērtīga vērtībai, kas norādīta preces vālītē.

Tikšanās 3

Vektora a → skaitlisko projekciju uz taisnes, kas iet taisni no b → , sauc par vektora skalārā paplašinājuma paplašinājumu a → і b līdz b → garumam. Formula n p b → a → = a → , b → b → ir fiksēta skaitliskās projekcijas a → vērtībai uz taisnes, jo tā seko taisnei no b → , ar dotām a → un b → koordinātām.

dibens 3

Uzdevumi b → = (- 3, 4). Atrodiet skaitlisko projekciju a → = (1, 7) uz L.

Risinājums

Koordinātu plaknē npb → a → = a → , b → b → var redzēt npb → a → = a → , b → b = ax bx + ay bybx 2 + by 2 , ar a → = (ax , ay ) i b → = bx, pēc. Lai zinātu vektora a → skaitlisko projekciju uz visu L ir nepieciešams: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + ar 2 = 1 (- 3) + 7 4 (-3) 2 + 4 2 = 5 .

Ieteikums: 5.

dibens 4

Zināt a → projekciju uz L , lai tā iet taisni uz priekšu b → , de є a → = - 2 , 3 , 1 і b → = (3 , - 2 , 6) . Ir iestatīta triviāla telpa.

Risinājums

Uzdevumiem a → = a x , a y , a z і b → = b x , b y , b z , aprēķināmi skalārais dobuts: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Dovžina b → zināms pēc formulas b → = b x 2 + y 2 + b z 2 . Ir skaidrs, ka piešķirtās skaitliskās projekcijas a → formula būs šāda: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Skaitliskā vērtība ir attēlota: np L a → = npb → a → = (-2) 3 + 3 (-2) + 1 6 3 2 + (-2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atbilde: - 6 7 .

Apskatīsim saikni starp a → uz L un to pašu a → projekciju uz L . Saskaitīsim visus L , saskaitot a → і b → 3 punktus L , pēc kuriem novelkam perpendikulāri taisnei no gala a → L і velkam projekciju uz L . Izmantojiet 5 attēla variantus:

pershy kritums, kad a → = npb → a → → nozīmē a → = npb → a → → .

Cits n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , vēlāk, n p b → a = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trešais Es gribētu paskaidrot, ka, ja npb → a → → = 0 → mēs varam ņemt npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, tad npb → a → → = 0 npb → a → = 0 = npb → a → → .

ceturksnis npb → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , nākamais npb → a → = a → cos (a → , b → ^ ) = - npb → a → → .

P'yatiy vypadok parāda a ​​→ = npb → a → → , kas nozīmē a → = npb → a → → , tas var būt npb → = - npb → a →.

Tikšanās 4

Vektora a → skaitliskā projekcija uz visu L , kas ir iztaisnota kā i b → maksimālā vērtība:

• ņemt vektora a → projekciju uz L prātam, lai tā būtu starp a → un b → mazāk nekā 90 grādu abodorivnyu 0: n p b → a → = n p b → a → → ārpus prāta 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nulle prāta perpendikularitātei a → і b → : n p b → a → = 0, ja (a → , b → ^) = 90°;
• garā projekcija a → uz L , reizināta ar -1, ja є ir muļķīgs vai salocīts griezuma vektors a → і b → : n p b →< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

dibens 5

Dota projekcija a → uz L 2 . Zināt skaitlisko projekciju a → zināt, kādas ir izmaksas 5 6 rad.

Risinājums

Var redzēt, ka cey kut ir stulbs: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atbilde: - 2.

dibens 6

Laukums O x y z ir dots ar vektora garumu a → 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) ar 30 grādu griezumu. Atrodiet projekcijas a → koordinātas uz visu L .

Risinājums

Vālītei vektora a → : n p L a → = n p b → a = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 skaitliskā projekcija.

Aiz mentālā koeficienta, tad skaitliskā projekcija a → = vektora a → otrā projekcija: n p L a → = n p L a → → = 9 . Šī līnija parāda, ka vektori n p L a → → і b → ir līdzvirzīti, arī skaitlis t, kuram ir pareizs izlīdzinājums: n p L a → → = t · b → . Tāpēc mēs varam zināt parametra t vērtību: t = n p L a → b → = 9 (-2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tad np L a → → = 3 b → ar vektora a → projekcijas koordinātām uz visiem L pieskaita b → = (- 2 , 1 , 2) , tāpēc vērtība jāreizina ar 3. Maijs np L a → → = (- 6, 3, 6). Ieteikums: (- 6, 3, 6).

Ir nepieciešams atkārtot agrāko informāciju par vektoru garīgo kolinaritāti.

Kā atcerējāties piedošanu tekstā, esiet laipni, skatiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Uzzīmēsim kustības vektora aprakstu, lai uz viena atzveltnes krēsla varētu attēlot bagātīgu dažādu vektoru klāstu un pirms apskates aplūkot kustības “attēlu”. Tomēr ir darbietilpīgi mēģināt novilkt līniju un transportieri, lai strādātu ar vektoriem. Uz to qі dії zvodat to dіy іz ar pozitīviem un negatīviem skaitļiem - vektoru projekcijām.

Vektora projekcija kopumā nosauciet skalāro vērtību, kas vienāda ar projicētā vektora moduļa pieaugumu par kootēnas kosinusu starp vektora virzieniem un savstarpējo koordinātu asi.

Uz kreisā krēsla norādes ir nobīdes vektors, kura modulis ir 50 km, ko es tieši apstiprinu stulbs griezums 150 ° s taisni pa X asi.

sx = s cos (α) = 50 km cos ( 150 °) = -43 km

Šķembas tiek sagrieztas starp asīm 90 °, to ir viegli pacelt, lai jūs varētu pārvietoties taisni uz priekšu no taisnās Y ass, saimnieks ir nogriezts par 60 °. Mēs zinām nobīdes projekciju uz visu Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos( 60°) = +25 km

Tāpat kā bahīts, kā taisns vektors utvoryuє z taisni uz gostry kut ass, projekcija ir pozitīva; Tā kā vektors ir tieši pielāgots stulbā griezuma asij, projekcija ir negatīva.

Nolasījumu labajā atzveltnes krēslā ātruma vektors, kura modulis ir 5 m / s, un tieši regulē 30 ° no tiešās ass X. Mēs zinām projekcijas:

υx = υ cos(α) = 5 m/s cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos( 120°) = –2,5 m/s

Daudz vienkāršāk ir zināt vektoru projekcijas uz asīm, tāpat kā projicētie vektori ir paralēli vai perpendikulāri izvēlētajām asīm. Žēl, ka vertikālajam paralēlismam ir iespējami divi varianti: ass iztaisnošanas vektors un ass prettaisnošanas vektors, un perpendikulitātes vertikālei ir tikai viena iespēja.

Vektora projekcijai perpendikulāri asij jābūt vienādai ar nulli (div. sy un ay uz kreisā krēsla, kā arī sx un υx uz labā krēsla). Faktiski vektoram, kas ir perpendikulārs asij, kut mіzh him i vіssyu dorivnyuє 90 °, tāpēc arī kosinuss ir vairāk kā nulle, un projekcija ir vairāk kā nulle.

Vektora projekcija, kas virzīta no debesīm, ir pozitīva un vienāda ar th moduli, piemēram, sx = +s (krēsla dalījums Levi). Faktiski vektoram, kas vērsts kopā ar vektora virzienu, kut starp to un otru ir vienāds ar nulli, otrs ir kosinuss “+1”, tāpēc projekcija ir vairāk vienāda ar vektoru: sx = x – xo = +s .

Vektora projekcija pretī asij ir negatīva un vienāda ar th moduli, kas ņemta ar mīnusa zīmi, piemēram, sy = –s (div. labais krēsls). Faktiski vektoram, kas ir pretējs asij, tas atrodas starp to un ir par 180 ° vairāk nekā 180 °, tas ir kosinuss “–1”, tātad pretējā vektora projekcija ar negatīvu zīmi: sy = y – yo = –s .

Uz abu atzveltnes krēslu labajām daļām ir parādīti citi slīpumi, ja vektori ir paralēli vienai no koordinātu asīm un ir perpendikulāri otrai. Jums tiek ieteikts patstāvīgi pārdomāt, vai šajos gadījumos tiek saskaņoti arī iepriekšējos punktos formulētie noteikumi.

No fizikas 9. klasei (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999 r_k),
vadītājs №5
līdz nodaļai 1. NODAĻA».

1. Kāda ir vektora projekcija uz koordinātu asi?

1. Vektora projekciju uz koordinātu taisnes sauc par taisnes garumu starp vālītes projekcijām un vektora a galu (perpendikuli, izlaisti no z un punkta uz taisnes) uz qi koordinātu taisnes. .

2. Kādā saistījumu secībā ir ķermeņa kustības vektors ar tā koordinātām?

2. Nobīdes vektora s projekcijas uz koordinātu asīm ļaus mainīt atbilstošās ķermeņa koordinātas.

3. Ja punkta koordināte laika gaitā mainās, kāda zīme var būt nobīdes vektora projekcija uz koordinātu asi? Un kāpēc viņa mainās?

3. Ja punkta koordināte laika gaitā palielinās, tad nobīdes vektora projekcija uz koordinātu asi būs pozitīva, jo šajā virzienā mi timemo vālītes projekcijā līdz vektora y gala projekcijai tieši uz pašas ass.

Ja punkta koordināte ik pa laikam mainās, tad nobīdes vektora projekcija uz koordinātu asi būs negatīva, jo kādā veidā mēs pāriesim no vālītes projekcijas uz vektora gala projekciju pret pašu asi.

4. Tā kā nobīdes vektors ir paralēls X asij, tad kāpēc vektora projekcijas modulis ir uz visu asi? Un vektora projekcijas modulis uz visu Y?

4. Ja nobīdes vektors ir paralēls X asij, tad vektora projekcijas modulis uz visu moduli ir vienāds ar paša vektora moduli, tāpat kā projekcija uz Y asi ir vienāda ar nulli.

5. Apzīmējiet projekciju zīmes uz visiem pārvietošanās vektora X, kas attēlots uz mazā 22. Kā mainās ķermeņa koordinātas šo pārvietojumu laikā?

5. Visos zemākajos paaugstinājumos ķermeņa Y koordināte nemainās, un ķermeņa X koordināte mainās šādā secībā:

a) s 1;

vektora s 1 projekcija uz visu X ir negatīva un moduli dārgāka nekā vektors s 1 . Šādai nobīdei ķermeņa koordināte X mainīsies uz vektora s 1 garumu.

b) s2;

vektora s 2 projekcija uz visu X ir pozitīva un vienāda ar otrā vektora moduli s 1 . Šādai kustībai ķermeņa koordinātu X palielina par vektora s 2 garumu.

c) s 3;

vektora s 3 projekcija uz visu X ir negatīva un vienāda ar otrā vektora s 3 moduli. Šādai kustībai ķermeņa X koordināte mainīsies uz vektora s 3 garumu.

d) s4;

vektora s 4 projekcija uz visu X ir pozitīva un vienāda ar otrā vektora s 4 moduli. Šādai kustībai ķermeņa koordinātu X palielina par vektora s 4 garumu.

e) s 5;

vektora s 5 projekcija uz visu X ir negatīva un vienāda ar otrā vektora s 5 moduli. Šādai kustībai ķermeņa koordināte X mainīsies uz vektora s 5 garumu.

6. Tā kā noietā ceļa vērtība ir liela, kāds ceļojuma modulis var būt mazs?

6. Varbūt. Tāpēc scho nobīde (vektora nobīde) ir vektora lielums, tas ir. є iztaisnošana vіdrіzok, scho zadnuє vālītes stāvoklis ķermeņa ar yogo virzību pozīcijām. Un ķermeņa pēdējā pozīcija (neatkarīgi, atkarībā no nobrauktā ceļa lieluma) vienmēr var būt tuvu ķermeņa vālītes stāvoklim. Korpusa spailes un vālītes stāvokļa maiņas brīdī pārvietojuma modulis ir vienāds ar nulli.

7. Kāpēc ķermeņa pārvietošanas vektors mehānikā ir zemāks par tā kustību?

7. Mehānikas galvenie uzdevumi ir ķermeņa stāvokļa noteikšana, vai tas ir laiks. Zinot ķermeņa kustīgo vektoru, varam noteikt ķermeņa koordinātas, tobto. ķermeņa nometne ir tuvu stundai, un, zinot tikai ceļa pāreju, mēs varam noteikt ķermeņa koordinātas, jo Mums nav informācijas par tiešu steigu, bet varam spriest tikai par nobrauktā ceļa garumu konkrētajā brīdī.