Miasto w metrze

Poznaj funkcję nowego zastosowanego mechanizmu różnicowego. Wyrównanie różniczkowe innych różniczek. Metoda późniejszej obserwacji różniczki

Może się zdarzyć, że ostatnia część wyrównania różnicowego

є funkcje różniczkowe povny:

a później równa (7) wygląda jak .

Jeżeli funkcja jest równa rozwiązaniom (7), to , i, również,

de - permanent, oraz navpaki, jak gdyby funkcja przekształcała się w identyczność ostatecznego wyrównania (8), następnie różnicując się z identycznością, jest ona odejmowana, a później wystarczająca stała się całka całkowa wyrównanie.

Jeśli dana wartość jest stała, to będzie stała (8) i

całka prywatna. Jako punkt , to równa (9) oznacza niejawną funkcję vіd .

Aby lewa część równania (7) była najwyższą różniczką funkcji prądu, konieczne i wystarczające jest, aby

Jakby umysł, wskazany przez Eulera, był vikonanem, to równanie (7) jest łatwe do zintegrowania. Prawidłowy, . Z innej strony, . Otzhe,

Przy obliczaniu całki przyjmuje się wartość taką, jaka się stała, do tego jest funkcją wystarczającą w formularzu. Na potrzeby funkcji znana jest funkcja różniczkowa

Na podstawie którego wyznacza się równość, jest całkowalna, jest znana.

Zgodnie z tokiem analizy matematycznej, łatwiej jest przypisać funkcję za górną różniczką її, biorąc całkę krzywoliniową między punktem stałym a punktem ze zmieniającymi się współrzędnymi na ścieżce:

Najpopularniejszym sposobem integracji jest ręczne wzięcie lamana, złożonego z dwóch nóg równoległych do osi współrzędnych; w którym kierunku?

krupon. .

Lewa część jest równa górnej różniczce bieżącej funkcji, shards

Otzhe, może wyglądać głęboka całka

Możesz dodać inną metodę przypisywania funkcji:

Jako punkt kolby wybieramy np. kolbę współrzędnych, podobnie jak sposób na całkowanie - laman. Todi

może wyglądać głęboka całka

Co działa z poprzednim wynikiem, prowadząc do śpiącego banera.

W niektórych przypadkach, jeśli lewa część równej (7) nie jest tą samą różniczką, łatwo jest znaleźć tę funkcję, po pomnożeniu przez to samo lewa część równej (7) jest konwertowana na nową różniczkę. Taka funkcja nazywa się mnożnik całkujący. Z poważaniem, jakie mnożenie przez mnożnik, co można scalić, może powstać przed pojawieniem się prywatnych rozwiązań, które zawijają ten mnożnik do zera.

Krupon. .

Oczywiście, po pomnożeniu przez mnożnik, lewa część zostaje przekształcona w nową różniczkę. To prawda, po pomnożeniu przez otrimaemo

w przeciwnym razie integracja, . Mnożenie przez 2 i moc, matimemo.

Oczywiście, czynnik integrujący nie jest tak łatwy do wychwycenia. Aby znaleźć wartość mnożnika całkującego, dzikus musi wybrać taki, który nie jest równy zeru, prywatne rozwiązanie równości w prywatnych podobnych, ale w ryczącym spojrzeniu

jakbym po tym przeszedł do tego przeniesienia niektórych dodankivów na drugą część ekwiwalencji, aby sobie przypomnieć

W globalnym sposobie integracji tego rodzaju równości wśród prywatnych krewnych nie jest nawet dla nich łatwe, nie jest łatwo zintegrować rodzaj osoby, jednak w niektórych przypadkach integracja prywatnej decyzji (11) nie staje się trudna.

Ponadto ważne jest, aby mnożnik całkujący był funkcją tylko jednego argumentu (na przykład funkcja tylko lub tylko lub funkcja tylko lub tylko itp.), można również łatwo całkować równe (11) używany jest mnożnik tego typu. Sam Tim widzi klasę równych, która jest mnożnikiem całkującym, który można łatwo poznać.

Na przykład, wiecie, pamiętajcie, że niektóre równe mogą mieć mnożnik całkujący, aby określić tylko kilka, tobto. . W tym samym czasie (11) zapytaj i spójrz na widok, gwiazdy, vvazhuyuchi nieprzerwaną funkcję widoku, weź

Chociaż działa tylko jako vіd, to mnożnik całkujący, który jest mniej prawdopodobny, aby zostać zdeponowany, іsnuє i dorivnyuє (12), w przeciwnym razie nie ma mnożnika całkującego.

Mnożnik Umov іsnuvannya іntegryuchy, depozyt scho tylko vіd, vykonano, na przykład dla liniowej іvnyannya abo. Deisno, ja, później, . Zupełnie podobnie można znaleźć przyczynę integracji czynników w formie i tak dalej.

krupon. Chi maє równa się integrujący umysł mnożnikowy?

Znacznie. Riwniania (11) spójrz, gwiazdy lub

Dla podstawy mnożnika całkującego danego typu jest to konieczne i przy braku przerwy wystarczające, aby był on czymś więcej niż funkcją. Jednocześnie wykorzystywany i zaawansowany jest mnożnik całkujący (13). Po podjęciu. Mnożenie vihіdne równej

Całkowanie, umniejszanie, a następnie wzmacnianie matimemo, czyli we współrzędnych biegunowych – rodzina spiral logarytmicznych.

Krupon. Poznaj kształt lustra, które równolegle do tej prostej odbija wszystkie zmiany, które wychodzą z danego punktu.

Umieśćmy kolbę współrzędnych w danym punkcie i skierujmy wszystkie odcięte równolegle do tej podanej w umysłach zadania bezpośrednio. Nie wahaj się spaść na lustro w punkcie. Możemy patrzeć przez lustro płaszczyzną, która może przejść przez całą odciętą i plamki. Zróbmy to aż do wycięcia powierzchni lustra w punktach. Oskіlki kuta spadają zamiast dorіvnyuє kuta vіdbittya, a następnie trikutnik - rіvnobradrenny. Otzhe,

Otrimane jest równie łatwy do zintegrowania, zastępując zmiany, a jeszcze prościej, zmieniając się w formie irracjonalności u chorążego, przepisując jogę jaka. Istnieje oczywisty mnożnik całkowania , , , (miejsce narodzin parabol).

Łatwiej jest poruszać się we współrzędnych i , więc kiedy przecinasz tasowanie na powierzchni, patrzysz na to.

Możliwe jest sprowadzenie podstawy mnożnika całkującego, w przeciwnym razie tak samo, podstawę niezerowego rozwiązania równości w prywatnym (11) w obszarze aktywnym, ponieważ funkcje mogą być nieprzerwanie tracone i akceptując jedną z tych funkcji nie zwraca się do zera. Ponadto metodę czynnika integrującego można uznać za głęboką metodę integracji równą umysłowi, prote zvayut na trudności w znalezieniu czynnika integrującego, a ta metoda najprawdopodobniej zatrzyma się w cichych sytuacjach, jeśli czynnik integrujący jest oczywiste.

Mechanizm różnicowy nazwany równym umysłowi

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

de lіva chastina є povniy różnicowe podobne funkcje dwóch zminnyh.

Istotnie nieznana funkcja dwóch zmiennych (її coś i trzeba wiedzieć w przypadku innych równych w innych różniczkach) poprzez F i wkrótce zwróć się do niej.

Przede wszystkim, co należy szanować: w prawej części linii obov'yazkovo może wynosić zero, a znak, który obejmuje dwóch członków w lewej części, może być plusem.

Z drugiej strony można zrobić deak równoważności, ponieważ potwierdza to, że tse różniczkowa równoważność jest równa równoważności innych różniczek. Weryfikacja Tsya – część obov'yazykovoy algorytmu virіshennya w nowych różnicach (w innym akapicie lekcji), ten proces wygląda na funkcję F dokończyć pracochłonne i ważne na etapie kolby perekonatisya, abyśmy nie spędzali godziny na nic.

Otzhe, nieznana funkcja, którą trzeba znać, została wyznaczona przez F. Suma różnic prywatnych dla wszystkich niezależnych zmian daje taką samą różnicę. Otzhe, jakby równa innym różniczkom, lewa część równej jest sumą różnic prywatnych. Todi na spotkanie

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Znajdźmy wzór na obliczenie różniczki całkowitej funkcji dwóch zmiennych:

Virishuyuchi dwa pozostałe równe, możemy napisać

Pierwsza zazdrość rozróżniana jest na zmianę „iplayer”, dla kolegi – na zmianę „iks”:

jaki jest umysł tego, co otrzymuje różnicę równą równej równej innym różniczkom.

Algorytm wyprowadzania różniczki równej z innych różniczek

Krok 1. Zmiana, scho równa się innym różnicom. W porządku, shob viraz była najwyższą różniczką bieżącej funkcji F(x, y), konieczne i wystarczające, schob . Innymi słowy, trzeba wziąć prywatne pieniądze na x pójdę prywatnie takІnshoy dodanku і, yakshko tsі pokhіdnі rivnі, a następnie іvnyannja є іvnyannâ і pokhіdnі dіvniakh.

Krok 2 Zapisz system równych z prywatnych, aby skonfigurować funkcję F:

Krok 3 Najpierw zintegruj system - x (tak F:

,
tak.

Alternatywna opcja (w ten sposób łatwiej poznać całkę) - integracja innego równego systemu - tak (x zalishaєtsya stała i winę za znak całki). W takiej randze, w taki sposób, funkcja F:

,
de - jeszcze nieznana funkcja vіd X.

Krok 4 Wynik kroku 3 (wiedza o całce całkowej) jest różnicowany dla tak(Alternatywnie, zgodnie z x) i porównaj z innym systemem równym:

oraz alternatywnie - do pierwszego poziomu systemu:

Z usuniętej równości jest znaczące (w wersji alternatywnej)

Krok 5. Wynikiem sekcji 4 jest integracja wiedzieć (ewentualnie wiedzieć).

Krok 6. Zastąp wynik wiersza 5 wynikiem wiersza 3 - dodana prywatna funkcja integracji F. Całkiem szybko C często zapisuj po znaku równości - po prawej stronie równości. W tej randze istnieje znacząca różnica w ustawieniu mechanizmu różnicowego w najnowszych mechanizmach różnicowych. Vono, jak powiedzieli, może wyglądać F(x, y) = C.

Zastosuj rozv'yazkіv dyferencjał rivnіy przy dyferencjałach povnih

Przykład 1.

Krok 1. równy najnowszym różnicom x jedna dodanka w lewej części kraju

pójdę prywatnie tak kolejna darowizna
równy najnowszym różnicom .

Krok 2 F:

Krok 3 na x (tak zalishaєtsya stała i winę za znak całki). W tym rankingu rozpoznajemy funkcję F:

de - jeszcze nieznana funkcja vіd tak.

Krok 4 tak

Krok 5.

Krok 6. F. Całkiem szybko C :
.

Jakie ułaskawienie jest tu możliwe od największego imovirnistyu? Naiposhireshi -pardon - Privatey Privatey Intigal w tym samym iz dla Zvinya Intigal, aby stworzyć funkcje intrivati przez części abstynowanego węża, ale te same więzi z gównem.

Tse Treba Blacksyatati: z szacunkiem prywatnej Intigra, według jednej stałej іz izhni іnsha є, tj. Znaku ntegrail, a z szacowanym jednym po drugim, Izniu, virazi jest znane vena, .

Sered równe w najnowszych różnicach nierzadki - aplikuj z wykładnikiem. Taki przykład. Warto również zauważyć, że istnieje wariant alternatywny, który jest zwycięski.

tyłek 2. Wyrównanie różnicowe Razv'yazati

Krok 1. Perekonaєmosya, scho równe є równy najnowszym różnicom . Dla kogo znamy prywatnie x jedna dodanka w lewej części kraju

pójdę prywatnie tak kolejna darowizna
. Tsі pokhіdnі rivnі, otzhe, rivnyannia є równy najnowszym różnicom .

Krok 2 Napiszmy system równych od krewnych prywatnych, który utworzy funkcję F:

Krok 3 Zintegrujmy inny system - dla tak (x zalishaєtsya stała i winę za znak całki). W tym rankingu rozpoznajemy funkcję F:

de - jeszcze nieznana funkcja vіd X.

Krok 4 Wynik Kroku 3 (znajomość całki całkowitej) różnicuje się przez: X

i równy pierwszemu poziomowi systemu:

Z usuniętych równych jest to znaczące:
.

Krok 5. Wynik Crocu 4 jest całkowalny i znany:
.

Krok 6. Wynik linii 5 jest prezentowany w wyniku linii 3 - nowo dodana prywatna funkcja integracji F. Całkiem szybko C zapisz po znaku spokoju. W tym rankingu sen jest zajęty równoważność różniczkowa rozv'azannya w innych różniczkach :
.

W ofensywnym tyłku zmienia się z alternatywy na główną.

Przykład 3. Wyrównanie różnicowe Razv'yazati

Krok 1. Perekonaєmosya, scho równe є równy najnowszym różnicom . Dla kogo znamy prywatnie tak jedna dodanka w lewej części kraju

pójdę prywatnie x kolejna darowizna
. Tsі pokhіdnі rivnі, otzhe, rivnyannia є równy najnowszym różnicom .

Krok 2 Napiszmy system równych od krewnych prywatnych, który utworzy funkcję F:

Krok 3 Zintegrowany pierwszy poziomowanie systemu - na x (tak zalishaєtsya stała i winę za znak całki). W tym rankingu rozpoznajemy funkcję F:

de - jeszcze nieznana funkcja vіd tak.

Krok 4 Wynik Kroku 3 (znajomość całki całkowitej) różnicuje się przez: tak

i równy innemu systemowi równy:

Z usuniętych równych jest to znaczące:
.

Krok 5. Wynik Crocu 4 jest całkowalny i znany:

Przykład 4. Wyrównanie różnicowe Razv'yazati

Krok 1. Perekonaєmosya, scho równe є równy najnowszym różnicom . Dla kogo znamy prywatnie tak jedna dodanka w lewej części kraju

pójdę prywatnie x kolejna darowizna
. Tsі pokhіdnі rіvnі, otzhe, rіvnyannja є rivnyannâ povnih dyferencjały.

Krok 2 Napiszmy system równych od krewnych prywatnych, który utworzy funkcję F:

Krok 3 Zintegrowany pierwszy poziomowanie systemu - na x (tak zalishaєtsya stała i winę za znak całki). W tym rankingu rozpoznajemy funkcję F:

de - jeszcze nieznana funkcja vіd tak.

Krok 4 Wynik Kroku 3 (znajomość całki całkowitej) różnicuje się przez: tak

i równy innemu systemowi równy:

Z usuniętych równych jest to znaczące:
.

Krok 5. Wynik Crocu 4 jest całkowalny i znany:

Przykład 5. Wyrównanie różnicowe Razv'yazati

W tych tematach możemy przyjrzeć się sposobowi odtworzenia funkcji nowej różniczki її, a następnie zastosować porządek z ostateczną analizą rozwiązania.

Buvay, równanie różniczkowe scho (DE) postaci P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 może mieć te same różniczki tych samych funkcji w lewych częściach. Wtedy możemy poznać całkę całkowitą z DK, ponieważ z góry możemy zobaczyć funkcję różniczki całkowitej.

tyłek 1

Przyjrzyjmy się wyrównaniu P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 . Rekord lewej części ma różniczkę bieżącej funkcji U(x, y) = 0. Dla którego można vykonuvatitsya Umov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Najnowsza różniczka funkcji U (x, y) = 0 może wyglądać d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Proszę zrozumieć ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x jest dopuszczalne:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Po przerobieniu pierwszego równego z usuniętego systemu równych możemy wziąć pod uwagę:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Możemy poznać funkcję φ (y) z innego równego układu:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) dx ∂ ydy

Więc wiedzieliśmy, że będziemy potrzebować funkcji U (x , y) = 0 .

tyłek 2

Wiedzieć o DC (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 jest dużym rozwiązaniem.

Rozwiązanie

P (x, y) \u003d x 2 - y 2 Q (x, y) \u003d - 2 x y

Zastanówmy się, jak um ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Nasze umysły są niegodziwe.

Na podstawie obliczeń możemy obliczyć visnovok, który jest lewą częścią zewnętrznej odległości keruwanu є górna różniczka działającej funkcji U (x , y) = 0 . Powinniśmy znać tę funkcję.

Skale (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Całkowalne przez x przed wyrównaniem systemu:

U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Teraz różnicowanie względem y odejmując wynik:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Po zmianie systemu na inny poziom możemy założyć: ∂ U ∂ y = - 2 x y. Tse znaczy co
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

de S - stałem się całkiem.

Wzięto: U(x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Całka narzutu wyrównania na zewnątrz wynosi є x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Rzućmy okiem na jeszcze jedną metodę znakhodzhennya funktsії dla różnicy vіdomim povnym. Przeniesienie całki krzywoliniowej z punktu stałego (x 0 , y 0) do punktu o zmiennych współrzędnych (x , y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Przy różnych wartościach całki nie można leżeć na ścieżce integracji. Możemy to potraktować jako sposób na zintegrowanie lamana, linie są posortowane równolegle do osi współrzędnych.

tyłek 3

Znajdź różnicę między wyrównaniem różnicowym (y – y 2) d x + (x – 2 x y) d y = 0 .

Rozwiązanie

Sprawdźmy ponownie, że wzór Umova to ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Wydaje się, że lewa część równania różniczkowego jest reprezentowana przez największą różniczkę bieżącej funkcji U(x, y) = 0 . Aby poznać tę funkcję, należy obliczyć całkę krzywoliniową punktów (1 ; 1) zanim (x, y). Potraktujmy to jako sposób na zintegrowanie lamana, chodźmy przed siebie y=1 od punktu (1, 1) do (x, 1), a następnie od punktu (x, 1) do (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy \u003d (xy - xy 2) y 1 \u003d \u003d xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) \u003d xy - xy 2

Odjęliśmy całościowe rozwiązanie równania różniczkowego postaci x y - x y 2 + C = 0.

tyłek 4

Wybierz globalne rozwiązanie równania różniczkowego y cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Rozwiązanie

Jest odwracalne, że chi jest zużywalne ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Oskіlki ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x , wtedy nie ma umysłu. Tse oznacza, że lewa część równania różniczkowego nie jest tą samą funkcją różniczkową. Parzystość różnicowa Tse ze zmianami, które są rozdzielone, a dla tego wariantu odpowiednie są inne sposoby odsprzęgania.

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

Powołanie 8.4. Dyferencjał równy umysłowi

de
nazywany równym innym różniczkom.

Z szacunkiem, że część lva tego równa się górnej różniczce istniejącej funkcji.
.

Na dzikiej vpadce równe (8.4) można opodatkować na widok

Zastępca równy (8,5) może być postrzegany jako równy

wyprowadzenie takiego wyrównania całkowego (8.4). Zatem do rozwiązania równania (8.4) konieczna jest znajomość funkcji
. Vіdpovіdno do vzdannya vnyannia (8.4), być może

(8.6)

Funkcjonować
żartujmy, jak funkcja, jak zaspokojenie jednego z tych umysłów (8.6):

de - całkiem funkcja, jak odkładanie wody .

Funkcjonować
być wyświetlane w taki sposób, że zwycięska była ekspresja drugiego umysłu (8.6)

(8.7)

Przez virazu (8.7) i funkcja jest określona
. Przesyłanie її do viraz dla
i uzyskać wysoką całkę poziomu wyjściowego.

Zadanie 8.3. Zintegruj rzekę

Tutaj
.

Otzhe, tse rіvnyannja v_dnositsya do typu różnicowego rіvnyan w povnih różnicach. Funkcjonować
pośmiejmy się

Z innej strony,

W wielu umysłach vipadkiv
nie możesz schrzanić.

Tak po prostu, jest równy oglądanemu typowi, który należy pomnożyć przez tzw. mnożnik całkujący, który w dzikim nastroju jest tylko funkcją lub .

Jak jeden równy ma mnożnik całkujący, który można zdeponować tylko w , to vin jest przypisane do wzoru

de vіdnoshennia może być mniej funkcjonalny .

Podobnie jak zintegrować mnożnik, jak wpłacić tylko kilka , w zależności od wzoru

de vіdnoshennia
może być mniej funkcjonalny .

Vidsutnіst w wywoływaniu spіvvіdnіshnyah, na pierwszym obrocie zmiany , a w innym - zmiana є znak podstawy mnożnika całkującego dla danego wyrównania.

Zadanie 8.4. Doprowadź cenę równą w ostatnich różnicach.

Spójrzmy na ustawienie:

Temat 8.2. Liniowe wyrównanie różnicowe

Spotkanie 8,5. Wyrównanie różnicowe
nazywa się liniową, jakby była funkcją liniową , її lubię i nie mścij się na stworzeniu funkcji shukano i її pokhіdnoї.

Widok z góry liniowego wyrównania różnicowego jest podobny do następującego:

(8.8)

Jak część praw spivvіdnoshnі (8.8)
, Take equal nazywa się liniowym jednorodnym. Miej vipadku, jeśli właściwa część
Takie wyrównanie nazywa się liniowym niejednorodnym.

Pokażmy, że równanie (8.8) może być całkowane przez kwadratury.

W pierwszym etapie możemy przyjrzeć się jednorodności liniowej.

To jest równe zmianom, które są podzielone. Prawdziwe,

;

Reszta spіvvіdnoshnja vznachaє zagalne rіshennya liniowy jednolity rіvnyannia.

Do poszukiwania dzikiego rozwiązania liniowego, heterogenicznego wyrównania stosuje się metodę wariacji podobnego postiynoy. Ideą metody jest to, że rozwiązanie liniowego nierównomiernego ustawienia wygląda jak rozwiązanie jednolitego jednolitego ustawienia, proteo jest dość szybkie zostać zastąpione przez inną funkcję
, jaki jest cel spotkania. Ojcze proszę:

(8.9)

Zastąpienie spіvvіdnoshennia (8.8) virazi, vіdpovіdnі
і
, zajęty

Zastępując pozostałą virasę w spivvіdnennia (8.9), uzyskują globalną całkę liniowego niejednorodnego wyrównania.

W ten sposób główne rozwiązanie liniowej niejednorodnej trasy wyznaczają dwie kwadratury: rozwiązanie globalne liniowej jednorodnej trasy i ostateczne rozwiązanie liniowej niejednorodnej trasy.

Zadanie 8.5. Zintegruj rzekę