Град в метрото

Познайте функцията на нов приложен диференциал. Диференциално изравняване на други диференциали. Методът за последващо наблюдение на диференциала

Може да се окаже, че последната част от диференциалното изравняване

е povny диференциално действащи функции:

и по-късно, равно (7) изглежда като .

Ако функцията е равна на решенията (7), тогава , i, също,

de - postina и navpaki, сякаш функцията се трансформира в еднаквост на крайното изравняване (8), след което, като се диференцира от еднаквостта, тя се отнема и по-късно de - достатъчно стана, є загален интегрант на равно равенство.

Ако дадената стойност е постоянна, тогава тя ще бъде постоянна (8) и

е частен интеграл. Като точка, тогава равно (9) означава като имплицитна функция vіd.

За да бъде лявата част на уравнението (7) най-горният диференциал на текущата функция, е необходимо и достатъчно, че

Сякаш умът, посочен от Ойлер, е виконан, тогава равното (7) е лесно за интегриране. Правилно,. От другата страна,. Отже,

При изчисляване на интеграла стойността се приема такава, каквато е станала, за което е достатъчна функция във формата. За целта на функцията диференциалната функция е известна

Въз основа на което се определя равното, то е интегрируемо, известно е.

Според хода на математическия анализ е по-лесно да се присвои функция зад нейния горен диференциал, като се вземе криволинейният интеграл между фиксирана точка и точка с променящи се координати по пътя:

Най-често срещаният начин за интегриране е ръчно вземане на ламан, сгънат от два крака, успоредни на координатните оси; в коя посока

дупето. .

Лявата част е равна на горния диференциал на текущата функция, фрагменти

Отже, дълбокият интеграл може да изглежда

Можете да добавите друг метод за присвояване на функция:

За точката на кочана избираме, например, кочана на координатите, като начин за интегриране - ламан. Тоди

този дълбок интеграл може да изглежда

Какво работи с предишния резултат, водещ до спящ банер.

В някои случаи, ако лявата част на равното (7) не е един и същ диференциал, е лесно да се промени функцията, след като се умножи по лявата част на равното (7) тя се преобразува в новия диференциал. Такава функция се нарича интегриращ множител. С уважение, какво умножение с множител, какво може да се интегрира, може да се произведе преди появата на частни решения, които обвиват този множител до нула.

дупето. .

Очевидно, след умножение по множител, лявата част се трансформира в нов диференциал. Вярно е, след умножаване по otrimaemo

в противен случай, интегриране, . Умножаване по 2 и потентност, matimemo.

Очевидно интегриращият фактор далеч не се улавя толкова лесно. За да се намери стойността на интегриращ множител, трябва да се избере див тип, ако едно не е равно на същата нула, частно решение е равно на частни подобни, но в ревящ вид

все едно след това отидох на онова прехвърляне на едни dodankivs в другата част на еквивалентността да се доведа до ума

В глобален начин за интегриране на този вид равенство между частните роднини дори не е лесно за тях, не е лесно да се интегрира вида на човек, но в някои случаи интегрирането на частно решение (11) не става трудно.

Освен това е важно интегриращият множител да е функция само на един аргумент (например функция само или само, или функция само или само и т.н.), можете също лесно да интегрирате равно (11) използва се множител от този тип. Самият Тим може да види класа на равните, който е интегриращ множител, който лесно може да бъде известен.

Например, знаете, имайте предвид, че някои равни могат да имат интегриращ множител, за да положат само няколко, tobto. . В същото време (11) попитайте и погледнете гледката, звездите, вважувайки непрекъсната функция на гледката, вземете

Въпреки че функционира само като vіd, тогава интегриращ множител, който е по-малко вероятно да бъде депозиран vіd, іsnuє i dоrivnyuє (12), в противен случай няма интегриращ множител.

Umov іsnuvannya іntegryuchy множител, scho депозит само vіd, vykonano, например, за линейно іvnyannya abo. Дейсно, аз, по-късно, . Абсолютно по подобен начин може да се намери причината за интегриране на фактори във формата и т.н.

дупето.Чи може да е равно интегриращ множител ум?

Значително. Rivnyannia (11) погледнете, звезди или

За базата на интегриращ множител от даден тип е необходимо и при липса на прекъсване е достатъчно, за да бъде повече от функция. В същото време се използва и усъвършенства интегриращият множител (13). Когато се приема. Умножаване на vihіdne равно на

Интегриране, отвличане и след това потенциране matimemo или в полярни координати - семейство от логаритмични спирали.

дупето. Познайте формата на огледалото, което отразява успоредно с тази права линия всички промени, които излизат от дадена точка.

Нека поставим кочана на координатите в дадена точка и да насочим всички абсцисите успоредно на тази, дадена в съзнанието на задачата директно. Не се колебайте да паднете върху огледалото в точката. Можем да погледнем през огледалото с равнина, която може да премине през цялата абсцис и петънцата. Нека го направим до резекцията на повърхността на огледалото в точки. Oskіlki kuta падение вместо a dorіvnyuє kuta vіdbittya, а след това trikutnik - rіvnobradrenny. Отже,

Otrimane е еднакво равностойно да бъде лесно интегриран чрез замяна на промените, а още по-просто, след като се промени в ирационалността на знаменосца, да се пренапише йога як. Има очевиден интегриращ множител , , , (родното място на параболите).

По-лесно е да се движите в координатите i, така че когато изрежете разместванията на повърхността, вие я гледате.

Възможно е да се донесе основата на интегриращ множител, в противен случай, точно същото, основата на ненулево решение на равенството в частно (11) в активната област, тъй като функциите могат да бъдат непрекъснато загубени и приемайки една от тези функции не се превръща в нула. Също така, методът на интегриращия фактор може да се разглежда като дълбок метод на интеграция, равен на ума, защитават от трудността да се намери интегриращ фактор и този метод най-вероятно ще застои в тихи ситуации, ако интегриращият фактор е очевидно.

Диференциал наричан равен на ума

П(x,y)dx + В(x,y)dy = 0 ,

de lіva chastina є povniy диференциални be-подобни функции на две zminnyh.

Значително неизвестна функция на две променливи (її нещо и е необходимо да се знае в случай на други равни в други диференциали) чрез Фи скоро се обърнете към нея.

На първо място, какво трябва да се спазва: в дясната част на линията obov'yazkovo може да бъде нула, а знакът, който включва два члена в лявата част, може да бъде плюс.

От друга страна е възможно да се вземе деак на еквивалентността, тъй като потвърждава, че диференциалната еквивалентност е равна на еквивалентността на други диференциали. Tsya reverification е obov'yazykovoy част от алгоритъма virіshenna vіvnyan і vnіh диференциали (vіn і в другия параграф на урока), за да процесът на търсене на функцията Фда завършим трудоемко и важно на етапа на кочана, за да се переконатим, за да не прекараме един час за нищо.

Отже, неизвестна функция, която е необходимо да се знае, беше обозначена чрез Ф. Сумата от частните диференциали за всички независими промени дава един и същ диференциал. Otzhe, сякаш е равна на останалите диференциали, лявата част на равните е сумата от частните диференциали. Тоди за среща

dF = П(x,y)dx + В(x,y)dy .

Нека намерим формулата за изчисляване на общия диференциал на функция от две променливи:

Virishuyuchi две оставащи равни, можем да напишем

Първата ревност се диференцира за смяната "iplayer", за приятел - за промяната "iks":

какъв е умът на това, на което е даден диференциал, равен на равен, равен на равен на другите диференциали.

Алгоритъм за извеждане на диференциални равни от други диференциали

Крок 1.Промяна, scho е равно на равно на други диференциали. По ред, шоб вираз беше най-горният диференциал на текущата функция Ф(x, y) , необходимо и достатъчно, schob . С други думи, необходимо е да се вземат частни пари за хЩе отида насаме гІnshoy dodanku і, yakshko tsі pokhіdnі rivnі, then іvnyannja є іvnyannâ і pokhіdnі dіvniakh.

Крок 2Запишете система от равни от частни, за да настроите функция Ф:

Крок 3Първо интегрирайте системата - х (г Ф:

,
г.

Алтернативен вариант (по-лесно е да знаете интеграла по този начин) - да интегрирате друга равна система - г (х zalishaєtsya константа и вина за знака на интеграла). В такъв ранг, по такъв начин, функцията Ф:

,
de - все още неизвестна функция vіd х.

Крок 4Резултатът от kroku 3 (познаване на интеграла) се диференцира за г(Алтернативно, според х) и сравнете с друга равностойна система:

и като алтернатива - към първо ниво на системата:

Z на премахнатото равенство е значимо (в алтернативната версия)

Крок 5.Резултатът от раздел 4 е интегрирането да се знае (алтернативно, да се знае).

Крок 6.Заменете резултата от ред 5 в резултата от ред 3 - добавената частна интеграционна функция Ф. Доста бързо ° Счесто се записва след знака за равенство - в дясната част на равенството. В този ранг има значително решение на изравняването на диференциала в най-новите диференциали. Воно, както казаха, може да изглежда Ф(x, y) = ° С.

Приложете rozv'yazkіv диференциал rivnіy при povnih диференциали

пример 1.

Крок 1. равно на най-новите диференциали хедна доданка в лявата част на страната

Ще отида насаме гоще едно дарение
равно на най-новите диференциали .

Крок 2 Ф:

Крок 3На х (г zalishaєtsya константа и вина за знака на интеграла). В този ранг разпознаваме функцията Ф:

de - все още неизвестна функция vіd г.

Крок 4 г

Крок 5.

Крок 6. Ф. Доста бързо ° С :
.

Какво помилване е възможно тук от най-голямото имовирнисти? Naiposhireshi -pardon - Privatey Privatey Intigal на същия IZ за Zvinya Intigal, за да създаде функциите на іntrivati от части на въздържаната змия, но същите връзки с лайна.

Tse Treba Blacksyatati: с уважението на частната Intigra, според един іz izhni іnsha е постоянен, т.е., ntegrail знак, а с оценения един по един, Izniu, virazi е известен на вената, .

Сред равни при най-новите диференциали не рядко - прилага се с степен. Такъв пример. Прави впечатление също, че има алтернативен вариант, който е победител.

дупе 2.Разв'язати диференциално подравняване

Крок 1. Perekonaєmosya, scho равна є равно на най-новите диференциали . За кого знаем насаме хедна доданка в лявата част на страната

Ще отида насаме гоще едно дарение
. Tsі pokhіdnі rivnі, otzhe, rivnyannia є равно на най-новите диференциали .

Крок 2Нека напишем система от равни от частни роднини, която ще създаде функция Ф:

Крок 3Нека интегрираме друга система - за г (х zalishaєtsya константа и вина за знака на интеграла). В този ранг разпознаваме функцията Ф:

de - все още неизвестна функция vіd х.

Крок 4Резултатът от Kroku 3 (познаване на общия интеграл) се диференцира с х

и равно на първото ниво на системата:

От премахнатото равно е важно:
.

Крок 5.Резултатът от Crocu 4 е интегрируем и известен:
.

Крок 6.Резултатът от ред 5 е представен в резултата от ред 3 - новодобавената частна интеграционна функция Ф. Доста бързо ° Сзапишете след знака на спокойствие. В този ранг сънят се взема rozv'azannya диференциално изравняване в други диференциали :
.

При нападателния дупе се превръща от алтернативата към основната.

Пример 3.Разв'язати диференциално подравняване

Крок 1. Perekonaєmosya, scho равна є равно на най-новите диференциали . За кого знаем насаме гедна доданка в лявата част на страната

Ще отида насаме хоще едно дарение
. Tsі pokhіdnі rivnі, otzhe, rivnyannia є равно на най-новите диференциали .

Крок 2Нека напишем система от равни от частни роднини, която ще създаде функция Ф:

Крок 3Интегрируемо първо нивелиране на системата - На х (г zalishaєtsya константа и вина за знака на интеграла). В този ранг разпознаваме функцията Ф:

de - все още неизвестна функция vіd г.

Крок 4Резултатът от Kroku 3 (познаване на общия интеграл) се диференцира с г

и равен на друга система, равен:

От премахнатото равно е важно:
.

Крок 5.Резултатът от Crocu 4 е интегрируем и известен:

Пример 4.Разв'язати диференциално подравняване

Крок 1. Perekonaєmosya, scho равна є равно на най-новите диференциали . За кого знаем насаме гедна доданка в лявата част на страната

Ще отида насаме хоще едно дарение
. Tsі pokhіdnі rіvnі, otzhe, rіvnyannja є rivnyannâ povnih диференциали.

Крок 2Нека напишем система от равни от частни роднини, която ще създаде функция Ф:

de - все още неизвестна функция vіd г.

Крок 4Резултатът от Kroku 3 (познаване на общия интеграл) се диференцира с г

и равен на друга система, равен:

От премахнатото равно е важно:
.

Крок 5.Резултатът от Crocu 4 е интегрируем и известен:

Пример 5.Разв'язати диференциално подравняване

В тези теми можем да разгледаме начина за пресъздаване на функцията на нейния нов диференциал и след това да приложим реда с окончателния анализ на решението.

Buvay, scho диференциалното изравняване (DE) от вида P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 може да има същите диференциали на едни и същи функции в левите части. Тогава можем да знаем общия интеграл на DK, тъй като предварително можем да видим функцията на общия диференциал.

дупе 1

Нека разгледаме подравняването P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 . Записът на лявата част има диференциала на текущата функция U(x, y) = 0. За което може да се vykonuvatitsya Umov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Последният диференциал на функцията U (x, y) = 0 може да изглежда d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Моля, разберете, че ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x е приемливо:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

След като преправихме първото равно от премахнатата система от равни, можем да вземем предвид:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Можем да познаем функцията φ (y) от друга равна система:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) dx ∂ ydy

Така че знаехме, че ще ни трябва функцията U (x, y) = 0.

дупе 2

Намерете за DC (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 е голямо решение.

Решение

P (x, y) \u003d x 2 - y 2 Q (x, y) = - 2 x y

Нека преосмислим как um ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Нашите умове са лоши.

Въз основа на изчислението можем да изчислим висновока, който е лявата част на външното разстояние keruvane є горния диференциал на действащата функция U (x , y) = 0 . Трябва да знаем тази функция.

Мащаб (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Интегриране по x преди подравняване на системата:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Сега диференциране по отношение на y изваждане на резултата:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

След като сме променили системата на друго ниво, можем да приемем: ∂ U ∂ y = - 2 x y. Tse какво означава
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

de S - станах доста.

Взето: U(x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Интегралът от върховете на външното подравняване е ê x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Нека да разгледаме още един метод за znakhodzhennya funktsії за vіdomim povnym диференциал. Прехвърляне на криволинейния интеграл от фиксирана точка (x 0 , y 0) в точка с променящи се координати (x , y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

При различни стойности на интеграла е невъзможно да лежиш по пътя на интегрирането. Можем да го приемем като начин за интегриране на ламана, линиите са сортирани успоредно на координатните оси.

дупе 3

Намерете разликата между диференциалното изравняване (y – y 2) d x + (x – 2 x y) d y = 0 .

Решение

Нека отново проверим дали формулата на Умов е ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Изглежда, че лявата част на диференциалното уравнение е представена от най-големия диференциал на текущата функция U(x, y) = 0 . За да се знае тази функция, е необходимо да се изчисли криволинейният интеграл от точките (1 ; 1) преди (x, y). Нека го приемем като начин за интегриране на ламан, да продължим направо y=1от точка (1, 1) до (x, 1) и след това от точка (x, 1) до (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) = xy - xy 2

Отнехме цялостното решение на диференциалното уравнение от вида x y - x y 2 + C = 0.

дупе 4

Изберете глобално решение на диференциалното уравнение y cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Решение

Обратимо е, че чи е консумируемо ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Oskіlki ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x , тогава няма ум. Tse означава, че лявата част на диференциалното уравнение не е същата диференциална функция. Това диференциално паритет с промените, които са разделени, и за този вариант са подходящи други начини за отделяне.

Как запомнихте извинението в текста, бъдете любезни, вижте го и натиснете Ctrl + Enter

Назначаване 8.4.Диференциал равен на ума

де
се нарича равен на други диференциали.

С уважение, че частта lva на това е равна на горния диференциал на съществуващата функция.
.

При дивата впадка, равна (8.4) може да се облага с данък на гледката

Заместник равен (8.5) може да се види равен

извеждане на такова интегрално изравняване (8.4). По този начин, за да се реши уравнението (8.4), е необходимо да се знае функцията
. Vіdpovіdno до vzdannya vnyannia (8.4), може би

(8.6)

Функция
нека се пошегуваме, като функция, като задоволяване на един от тези умове (8.6):

де - доста функция, като депозиране на вода .

Функция
да бъде показано по такъв начин, че изражението на другия ум да бъде победоносно (8.6)

(8.7)

Чрез virazu (8.7) и функцията се определя
. Изпращане на вираз за
и получавате висок интеграл от изходното ниво.

Задача 8.3.Интегрирайте реката

Тук
.

Otzhe, tse rіvnyannja v_dnositsya към вида на диференциала rіvnyan в povnih диференциали. Функция
нека се пошегуваме

От другата страна,

В редица vipadkiv умове
не можеш да прецакаш.

Точно така, той е равен на типа, който се разглежда, да бъде умножен по така наречения интегриращ множител, който в диво настроение е само функция или .

Как един равен има интегриращ множител, който може да бъде депозиран само в , тогава vin се присвоява на формулата

de vіdnoshennia може да е по-малко функционален .

По същия начин, как да интегрирате множител, как да депозирате само няколко , в зависимост от формулата

de vіdnoshennia
може да е по-малко функционален .

Vidsutnіst при предизвикване на spіvvіdnіshnyah, при първия завой на промяната , а в друг - промяна є знак на основата на интегриращия множител за даденото изравняване.

Задача 8.4.Доведете цената равна на равна в последните диференциали.

Нека разгледаме настройката:

Тема 8.2. Линейно диференциално подравняване

Назначаване 8.5. Диференциално изравняване
се нарича линейна, сякаш е линейна функция , її харесвам и не отмъщавайте за създаването на функцията shukano и її pokhіdnoї.

Изгледът отгоре на линейното диференциално подравняване е подобен на следния:

(8.8)

Как spivvіdnoshnі (8.8) права част
, Вземете равно се нарича линейно хомогенно. Имат vipadku, ако дясната част
, Такова изравняване се нарича линейно хетерогенно.

Нека покажем, че уравнението (8.8) може да се интегрира чрез квадратури.

На първия етап можем да разгледаме линейната еднородност.

Такова е равно на равното на промените, които се разделят. Вярно,

;

Останалата част от spіvvіdnoshnja vznachaє zagalne rіshennya линейна униформа rіvnyannia.

За търсене на диво решение на линейно, хетерогенно подравняване, се използва метод за вариация на подобна postiynoy. Идеята на метода е, че решението на линейното неравномерно подравняване изглежда като решение на равномерното равномерно подравняване, протео е доста бързо да бъде заменен с друга функция
, каква е целта на назначението. Татко, моля:

(8.9)

Замяна на spіvvіdnoshennia (8.8) virazi, vіdpovіdnі
і
, взета

Замествайки останалата вираза в spivvіdnennia (8.9), те получават глобалния интеграл от линейното нехомогенно подравняване.

В този ред основното решение на линейното неравномерно подравняване се маркира с две квадратури: глобалното решение на линейното равномерно подравняване и крайното решение на линейното неравномерно подравняване.

Задача 8.5.Интегрирайте реката