Город на підвіконні

Знайти функцію її повного диференціалу приклади. Диференціальні рівняння у повних диференціалах. Метод послідовного виділення диференціалу

Може статися, що ліва частина диференціального рівняння

є повним диференціалом деякої функції:

і отже, рівняння (7) набуває вигляду .

Якщо функція є рішенням рівняння (7), то , і, отже,

де - постійна, і навпаки, якщо деяка функція перетворює на тотожність кінцеве рівняння (8), то, диференціюючи отримане тотожність, отримаємо , і, отже, , де - довільна стала, є загальним інтегралом вихідного рівняння.

Якщо дані початкові значення , то постійна визначається (8) і

є приватним інтегралом. Якщо точка , то рівняння (9) визначає як неявну функцію від .

Для того, щоб ліва частина рівняння (7) була повним диференціалом деякої функції, необхідно і достатньо, щоб

Якщо ця умова, вказана Ейлером, виконана, то рівняння (7) легко інтегрується. Справді, . З іншого боку, . Отже,

При обчисленні інтеграла величина сприймається як стала, тому є довільною функцією від . Для визначення функції диференціюємо знайдену функцію з і, оскільки , отримаємо

На цьому рівняння визначаємо і, інтегруючи, знаходимо .

Як відомо з курсу математичного аналізу, ще простіше можна визначити функцію за її повним диференціалом, взявши криволінійний інтеграл від між деякою фіксованою точкою і точкою зі змінними координатами по будь-якому шляху:

Найчастіше як шлях інтегрування зручно брати ламану, складену з двох ланок, паралельних осям координат; в цьому випадку

приклад. .

Ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції, оскільки

Отже, загальний інтеграл має вигляд

Можна застосувати й інший метод визначення функції:

За початкову точку вибираємо, наприклад, початок координат, як шлях інтегрування -ламану. Тоді

та загальний інтеграл має вигляд

Що збігається з попереднім результатом, призводячи до спільного знаменника.

У деяких випадках, коли ліва частина рівняння (7) не є повним диференціалом, легко вдається підібрати функцію , після множення на яку ліва частина рівняння (7) перетворюється на повний диференціал . Така функція називається інтегруючим множником. Зауважимо, що множення на множник, що інтегрує, може призвести до появи зайвих приватних рішень, що обертають цей множник в нуль.

Приклад. .

Очевидно, що після множення на множник ліва частина перетворюється на повний диференціал. Справді, після множення на отримаємо

або, інтегруючи, . Помножуючи на 2 і потенціюючи, матимемо .

Звичайно, далеко не завжди інтегруючий множник підбирається так легко. У загальному випадку для знаходження інтегруючого множника треба підібрати хоча б одне не рівне тотожному нулю приватне рішення рівняння в приватних похідних, або в розгорнутому вигляді

яке після поділу на та перенесення деяких доданків в іншу частину рівності наводиться до виду

У загальному випадку інтегрування цього рівняння у приватних похідних є завданням аж ніяк не простішим, ніж інтегрування вихідного рівняння, однак у деяких випадках підбір приватного рішення рівняння (11) не становить труднощів.

Крім того, вважаючи, що інтегруючий множник є функцією тільки одного аргументу (наприклад, є функцією тільки або тільки , або функцією тільки , або тільки і т.д.), можна вже легко проінтегрувати рівняння (11) і вказати умови, за яких інтегруючий множник даного виду існує. Тим самим виділяються класи рівнянь, котрим інтегруючий множник легко можна знайти.

Наприклад, знайдемо умови, у яких рівняння має інтегруючий множник, залежить тільки від , тобто. . При цьому рівняння (11) спрощується і набуває вигляду, звідки, вважаючи безперервною функцією від , отримаємо

Якщо є функцією тільки від , то інтегруючий множник, що залежить лише від , існує і дорівнює (12), інакше інтегруючого множника виду не існує.

Умова існування інтегруючого множника, що залежить тільки від , виконано, наприклад, для лінійного рівняння або . Дійсно, і, отже, . Абсолютно аналогічно можуть бути знайдені умови існування інтегруючих множників виду і т.д.

приклад.Чи має рівняння інтегруючий множник виду?

Позначимо. Рівняння (11) приймає вигляд , звідки або

Для існування інтегруючого множника заданого виду необхідно і в припущенні безперервності достатньо, щоб була лише функцією . У разі , отже, інтегруючий множник існує і дорівнює (13). При отримаємо. Помножуючи вихідне рівняння на , наведемо його до вигляду

Інтегруючи, отримаємо, а після потенціювання матимемо, або в полярних координатах - сімейство логарифмічних спіралей.

Приклад. Знайти форму дзеркала, що відображає паралельно даному напрямку всі промені, що виходять із заданої точки.

Помістимо початок координат у задану точку та направимо вісь абсцис паралельно заданому в умовах завдання напрямку. Нехай промінь падає на дзеркало у точці. Розглянемо переріз дзеркала площиною, що проходить через вісь абсцис та крапку. Проведемо дотичну до перерізу поверхні дзеркала в точці . Оскільки кут падіння променя дорівнює куту відбиття, то трикутник - рівнобедрений. Отже,

Отримане однорідне рівняння легко інтегрується заміною змінних, але ще простіше, звільнившись від ірраціональності у знаменнику, переписати його як . Це рівняння має очевидний інтегруючий множник , , , (родина парабол).

Це завдання ще простіше вирішується в координатах і , де при цьому рівняння перерізу шуканих поверхонь набуває вигляду .

Можна довести існування інтегруючого множника, або, що те ж саме, існування ненульового рішення рівняння в приватних похідних (11) в деякій області, якщо функції мають безперервні похідні і принаймні одна з цих функцій не звертається в нуль. Отже, метод інтегруючого множника можна розглядати як загальний метод інтегрування рівнянь виду , проте зважаючи на труднощі знаходження інтегруючого множника, цей метод найчастіше застосовується в тих випадках, коли інтегруючий множник очевидний.

Диференціальним називається рівняння виду

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

де ліва частина є повним диференціалом будь-якої функції двох змінних.

Позначимо невідому функцію двох змінних (її-то і потрібно знайти при вирішенні рівнянь у повних диференціалах) через Fі скоро повернемося до неї.

Перше, на що слід звернути увагу: у правій частині рівняння обов'язково має бути нуль, а знак, що з'єднує два члени у лівій частині, має бути плюсом.

Друге - має дотримуватися деяка рівність, яка є підтвердженням того, що це диференціальне рівняння є рівнянням у повних диференціалах. Ця перевірка є обов'язковою частиною алгоритму вирішення рівнянь у повних диференціалах (він у другому параграфі цього уроку), тому процес пошуку функції Fдосить трудомісткий і важливо на початковому етапі переконатися, що ми не витратимо час даремно.

Отже, невідому функцію, яку потрібно знайти, позначили через F. Сума приватних диференціалів за всіма незалежними змінними дає повний диференціал. Отже, якщо рівняння є рівнянням у повних диференціалах, ліва частина рівняння є сумою приватних диференціалів. Тоді за визначенням

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Згадуємо формулу обчислення повного диференціала функції двох змінних:

Вирішуючи дві останні рівністі, можемо записати

Першу рівність диференціюємо за змінною "ігрок", другу - за змінною "ікс":

що є умовою того, що дане диференціальне рівняння дійсно є рівнянням у повних диференціалах.

Алгоритм розв'язання диференціальних рівнянь у повних диференціалах

Крок 1.Переконатись, що рівняння є рівнянням у повних диференціалах. Для того, щоб вираз було повним диференціалом деякої функції F(x, y) , необхідно і достатньо, щоб . Іншими словами, потрібно взяти приватну похідну за xта приватну похідну по yіншого доданку і, якщо ці похідні рівні, то рівняння є рівнянням у повних диференціалах.

Крок 2Записати систему рівнянь із приватних похідних, що становлять функцію F:

Крок 3Проінтегрувати перше рівняння системи - x (y F:

,
y.

Альтернативний варіант (якщо так інтеграл знайти простіше) - проінтегрувати друге рівняння системи - y (xзалишається константою та виноситься за знак інтеграла). Таким чином, так само відновлюється функція F:

,
де - поки невідома функція від х.

Крок 4Результат кроку 3 (знайдений загальний інтеграл) продиференціювати за y(В альтернативному варіанті - по x) і прирівняти до другого рівняння системи:

а в альтернативному варіанті – до першого рівняння системи:

З отриманого рівняння визначаємо (в альтернативному варіанті)

Крок 5.Результат кроку 4 інтегрувати та знайти (в альтернативному варіанті знайти ).

Крок 6.Результат кроку 5 підставити в результат кроку 3 - у відновлену приватним інтегруванням функцію F. Довільну постійну Cчастіше записують після знаку рівності – у правій частині рівняння. Таким чином, отримуємо загальне рішення диференціального рівняння в повних диференціалах. Воно, як говорилося, має вигляд F(x, y) = C.

Приклади розв'язків диференціальних рівнянь у повних диференціалах

приклад 1.

Крок 1. рівнянням у повних диференціалах xодного доданку в лівій частині виразу

та приватну похідну по yіншого доданку
рівнянням у повних диференціалах .

Крок 2 F:

Крок 3по x (yзалишається константою та виноситься за знак інтеграла). Таким чином відновлюємо функцію F:

де - поки невідома функція від y.

Крок 4 y

Крок 5.

Крок 6. F. Довільну постійну C :
.

Яка помилка можлива тут із найбільшою ймовірністю? Найпоширеніші помилки - прийняти приватний інтеграл по одній із змінних за звичайний інтеграл твору функцій і намагатися інтегрувати частинами або замінною змінною а також прийняти приватну похідну двох співмножників за похідну твори функцій і шукати похідну за відповідною формулою.

Це треба запам'ятати: при обчисленні приватного інтеграла по одній із змінної інша є константою і виноситься за знак інтеграла, а при обчисленні приватної похідної по одній із змінної інша також є константою і похідна вирази знаходиться як похідна "діючої" змінної, помноженої на константу.

Серед рівнянь у повних диференціалах не рідкість – приклади з експонентою. Такий такий приклад. Він же примітний і тим, що його вирішення використовується альтернативний варіант.

приклад 2.Розв'язати диференціальне рівняння

Крок 1.Переконаємося, що рівняння є рівнянням у повних диференціалах . Для цього знаходимо приватну похідну по xодного доданку в лівій частині виразу

та приватну похідну по yіншого доданку
. Ці похідні рівні, отже, рівняння є рівнянням у повних диференціалах .

Крок 2Запишемо систему рівнянь із приватних похідних, що становлять функцію F:

Крок 3Проінтегруємо друге рівняння системи - за y (xзалишається константою та виноситься за знак інтеграла). Таким чином відновлюємо функцію F:

де - поки невідома функція від х.

Крок 4Результат кроку 3 (знайдений загальний інтеграл) продиференціюємо по х

і прирівняємо до першого рівняння системи:

З отриманого рівняння визначаємо:
.

Крок 5.Результат кроку 4 інтегруємо та знаходимо:
.

Крок 6.Результат кроку 5 підставляємо в результат кроку 3 - у відновлену приватним інтегруванням функцію F. Довільну постійну Cзаписуємо після знаку рівності. Таким чином отримуємо спільне розв'язання диференціального рівняння у повних диференціалах :
.

У наступному прикладі повертаємось від альтернативного варіанту до основного.

Приклад 3.Розв'язати диференціальне рівняння

Крок 1.Переконаємося, що рівняння є рівнянням у повних диференціалах . Для цього знаходимо приватну похідну по yодного доданку в лівій частині виразу

та приватну похідну по xіншого доданку
. Ці похідні рівні, отже, рівняння є рівнянням у повних диференціалах .

Крок 2Запишемо систему рівнянь із приватних похідних, що становлять функцію F:

Крок 3Проінтегруємо перше рівняння системи - по x (yзалишається константою та виноситься за знак інтеграла). Таким чином відновлюємо функцію F:

де - поки невідома функція від y.

Крок 4Результат кроку 3 (знайдений загальний інтеграл) продиференціюємо по y

і прирівняємо до другого рівняння системи:

З отриманого рівняння визначаємо:
.

Крок 5.Результат кроку 4 інтегруємо та знаходимо:

Приклад 4.Розв'язати диференціальне рівняння

Крок 1.Переконаємося, що рівняння є рівнянням у повних диференціалах . Для цього знаходимо приватну похідну по yодного доданку в лівій частині виразу

та приватну похідну по xіншого доданку
. Ці похідні рівні, отже, рівняння є рівнянням повних диференціалах.

Крок 2Запишемо систему рівнянь із приватних похідних, що становлять функцію F:

де - поки невідома функція від y.

З отриманого рівняння визначаємо:
.

Крок 5.Результат кроку 4 інтегруємо та знаходимо:

Приклад 5.Розв'язати диференціальне рівняння

У цій темі ми розглянемо спосіб відновлення функції з її повному диференціалу, дамо приклади завдань з повним розбором рішення.

Буває, що диференціальні рівняння (ДУ) виду P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 можуть у лівих частинах повні диференціали деяких функцій. Тоді ми можемо знайти загальний інтеграл ДК, якщо попередньо відновимо функцію її повного диференціалу.

Приклад 1

Розглянемо рівняння P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 . У записі лівої частини міститься диференціал деякої функції U (x, y) = 0. Для цього має виконуватися умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Повний диференціал функції U (x , y) = 0 має вигляд d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . З урахуванням умови ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x отримуємо:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x , y) ∂ U ∂ y = Q (x , y)

Перетворивши перше рівняння з отриманої системи рівнянь, ми можемо отримати:

U (x , y) = ∫ P (x , y) d x + φ (y)

Функцію φ (y) ми можемо знайти з другого рівняння отриманої системи:
∂ U (x , y) ∂ y = ∂ ∫ P (x , y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x , y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x , y) - ∂ ∫ P (x , y) dx ∂ ydy

Так ми знайшли потрібну функцію U (x , y) = 0 .

Приклад 2

Знайдіть для ДК (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 загальне рішення.

Рішення

P (x , y) = x 2 - y 2 Q (x , y) = - 2 x y

Перевіримо, чи виконується умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Наша умова виконується.

На основі обчислень ми можемо зробити висновок, що ліва частина вихідного дистанційного керування є повним диференціалом деякої функції U (x , y) = 0 . Нам слід знайти цю функцію.

Оскільки (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y є повним диференціалом функції U (x , y) = 0 то

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Інтегруємо по x перше рівняння системи:

U (x , y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Тепер диференціюємо по y отриманий результат:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Перетворивши друге рівняння системи, отримуємо: ∂ U ∂ y = - 2 x y. Це означає що
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y "(y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

де С – довільна стала.

Отримуємо: U(x, y) = x 3 3 – x y 2 + φ (y) = x 3 3 – x y 2 + C . Загальним інтегралом вихідного рівняння є x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Розберемо ще один метод знаходження функції за відомим повним диференціалом. Він передбачає застосування криволінійного інтеграла від фіксованої точки (x 0 , y 0) до точки зі змінними координатами (x , y) :

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

У разі значення інтеграла ніяк залежить від шляху інтегрування. Ми можемо взяти як шлях інтегрування ламану, ланки якої розташовуються паралельно осям координат.

Приклад 3

Знайдіть загальне розв'язання диференціального рівняння (y – y 2) d x + (x – 2 x y) d y = 0 .

Рішення

Проведемо перевірку, чи виконується умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Виходить, що ліва частина диференціального рівняння представлена повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0 . Щоб знайти цю функцію, необхідно обчислити криволінійний інтеграл від точки (1 ; 1) до (x, y). Візьмемо як шлях інтегрування ламану, ділянки якої пройдуть по прямій y = 1від точки (1, 1) до (x, 1), а потім від точки (x, 1) до (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy ) dy + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x · 1 - x · 1 2) = xy - xy 2

Ми отримали загальне рішення диференціального рівняння виду x y - x y 2 + C = 0.

Приклад 4

Визначте загальне рішення диференціального рівняння y · cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Рішення

Перевіримо, чи виконується умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Оскільки ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x , то умова не виконуватиметься. Це означає, що ліва частина диференціального рівняння не є повним диференціалом функції. Це диференціальне рівняння з змінними, що розділяються, і для його вирішення підходять інші способи розв'язання.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Визначення 8.4.Диференційне рівняння виду

де
називається рівнянням у повних диференціалах.

Зауважимо, що ліва частина такого рівняння є повним диференціалом деякої функції.
.

У загальному випадку, рівняння (8.4) можна подати у вигляді

Замість рівняння (8.5) можна розглядати рівняння

розв'язання якого є загальним інтегралом рівняння (8.4). Таким чином, для вирішення рівняння (8.4) необхідно знайти функцію
. Відповідно до визначення рівняння (8.4), маємо

(8.6)

Функцію
будемо шукати, як функцію, яка задовольняє одну з цих умов (8.6):

де - довільна функція, яка залежить від .

Функція
визначається так, щоб виконувалася друга умова вираження (8.6)

(8.7)

З виразу (8.7) і визначається функція
. Підставляючи її у вираз для
і одержують загальний інтеграл вихідного рівняння.

Завдання 8.3.Проінтегрувати рівняння

Тут
.

Отже, це рівняння відноситься до типу диференціальних рівнянь у повних диференціалах. Функцію
будемо шукати у вигляді

З іншого боку,

У ряді випадків умова
може не виконуватись.

Тоді такі рівняння до типу, що розглядається, наводяться множенням на так званий інтегруючий множник, який, в загальному випадку, є функцією тільки або .

Якщо у деякого рівняння існує інтегруючий множник, що залежить тільки від , то він визначається за формулою

де відношення має бути лише функцією .

Аналогічно, що інтегрує множник, що залежить тільки від , визначається за формулою

де відношення
має бути лише функцією .

Відсутність у наведених співвідношеннях, у першому випадку змінної , а в другому - змінною є ознакою існування інтегруючого множника для даного рівняння.

Завдання 8.4.Привести це рівняння до рівняння в повних диференціалах.

Розглянемо ставлення:

Тема 8.2. Лінійні диференціальні рівняння

Визначення 8.5. Диференційне рівняння
називається лінійним, якщо воно лінійне щодо шуканої функції , її похідною і не містить твору шуканої функції та її похідної.

Загальний вид лінійного диференціального рівняння є таким співвідношенням:

(8.8)

Якщо у співвідношенні (8.8) права частина
, Таке рівняння називається лінійним однорідним. У випадку, коли права частина
, Таке рівняння називається лінійним неоднорідним.

Покажемо, що рівняння (8.8) інтегрується у квадратурах.

На першому етапі розглянемо лінійне однорідне рівняння.

Таке рівняння є рівнянням з змінними, що розділяються. Справді,

;

Останнє співвідношення визначає загальне рішення лінійного однорідного рівняння.

Для пошуку загального рішення лінійного неоднорідного рівняння застосовується спосіб варіації похідної постійної. Ідея методу у тому, що загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння у тому вигляді, як і рішення відповідного однорідного рівняння, проте довільна постійна замінюється деякою функцією
, що підлягає визначенню. Отже, маємо:

(8.9)

Підставляючи у співвідношення (8.8) вирази, відповідні
і
, отримаємо

Підставляючи останній вираз у співвідношення (8.9), одержують загальний інтеграл лінійного неоднорідного рівняння.

Таким чином, загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння визначається двома квадратурами: загального рішення лінійного однорідного рівняння та окремого рішення лінійного неоднорідного рівняння.

Завдання 8.5.Проінтегрувати рівняння