Skalarne wyrównanie wektorów. Skalar tworzy wektory. Wektor Dowżyny. Zweryfikuj zadanie niezależnie, a następnie przejrzyj rozwiązanie

Kut miż wektory

Przyjrzyjmy się dwóm danym wektorom $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$. Jeśli do wektorów $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ i $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ dodamy wystarczającą liczbę punktów $O$, to $AOB$ nazywamy przecięciem między wektorami $\ overrightarrow( a)$ i $\overrightarrow(b)$ (rys. 1).

Mały 1.

Istotne jest tutaj, że albo wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są proste, albo jeden z nich jest wektorem zerowym, który jest taki sam jak pomiędzy wektorami $0^0$.

Podpis: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Zrozumienie skalarnego tworzenia wektorów

Matematycznie wartość można zapisać w następujący sposób:

Zakrętka skalarna może osiągnąć zero w dwóch kierunkach:

Jak jeden z wektorów będzie wektorem zerowym

Te wektory są wzajemnie prostopadłe (więc $cos(90)^0=0$).

Istotne jest również to, że rozszerzenie skalarne jest większe od zera, ponieważ można je znaleźć między tymi wektorami gospodarza (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), i jest mniejsze od zera, więc można je ustawić między dwoma wektorami głupoty (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Ze zrozumienia stworzenia skalarnego, zrozumienie kwadratu skalarnego nie jest powiązane.

Spotkanie 2

Kwadrat skalarny wektora $\overrightarrow(a)$ jest skalarnym rozszerzeniem tego wektora na samym sobie.

Ważne jest, aby kwadrat skalarny był poprawny

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Obliczanie kreacji skalarnej dla współrzędnych wektorów

Jest tylko jeden inny sposób zdefiniowania znaczenia kreacji skalarnej, który wydycha się ze znaczenia sposobu standardowego.

Przyjrzyjmy się jodze.

Niech wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ przesuwają oczywiście współrzędne $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$.

Twierdzenie 1

Powiększanie skalarne wektorów $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ w celu uzupełnienia sumy kreacji odpowiednich współrzędnych.

Matematycznie można to zapisać jako

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dowód.

Twierdzenie zostało zakończone.

Twierdzenie Tsya maє kіlka sledkіv:

Lekcja 1: Wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są prostopadłe do tego samego i tylko wtedy, gdy $a_1a_2+b_1b_2=0$

Lekcja 2: Cosinus kuty między wektorami to $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Dominacja skalarnej kreacji wektorów

Dla dowolnych trzech wektorów i liczby dziesiętnej $k$ prawdziwe jest:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Tsya power inplivaє z oznaczenie kwadratu skalarnego (oznaczenie 2).

Prawo Peresuvny:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Tsya power vyplyvaє z znachennya tworzenie skalarne (nominacja 1).

Prawo podstawowe:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(wyliczyć)

Według Twierdzenia 1, może:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Szczęśliwe prawo:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(wyliczyć)

Według Twierdzenia 1, może:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Przykład zadania obliczania skalarnej kreacji wektorów

tyłek 1

Znajdź rozszerzenie skalarne wektora w $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, tj. $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b) \right|= 2 $, a pomiędzy nimi są droższe $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.

Rozwiązanie.

Spotkanie Vikoristovuyuchi 1, opcjonalnie

Za $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Za $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Za $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Za $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ po prawej)=-3\sqrt(2)\]

Spotkanie 1

Skalarne dodawanie wektorów to liczba, która sumuje się do dodawania dyn wektorów przez cosinus kuty między nimi.

Wartość dodatkowego wektora_w a → ib → może wyglądać a → , b → . Przejdźmy do wzoru:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → i b → wyznaczają dwa wektory, a → , b → ^ - wyznaczają liczbę pomiędzy podanymi wektorami. Jeśli chcesz mieć jeden wektor zerowy, to jeśli wartość wynosi 0, wynik będzie równy zero, a → , b → = 0

Mnożąc sam wektor przez siebie, bierzemy kwadrat jednego dnia:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Spotkanie 2

Skalarne mnożenie wektora samo w sobie nazywa się kwadratem skalarnym.

Obliczone za pomocą tego wzoru:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Zapis a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → pokazuje, że npb → a → rzut liczbowy a → na b → , npa → a → - rzut b → na → vіdpovіdno.

Oznaczenie stworzenia formułujemy dla dwóch wektorów:

Skalarne rozszerzenie dwóch wektorów a → na b → nazwij przedłużenie wektora a → na rzut b → bezpośrednio a → lub przedłużenie rozszerzenia b → na rzut a → odwrócone.

Obrót skalarny we współrzędnych

Obliczenie kreacji skalarnej można przeprowadzić poprzez współrzędne wektorów na danym obszarze lub przestrzeni.

Dodanie skalarne dwóch wektorów na płaszczyźnie, w przestrzeni trywialnej, nazywamy sumą współrzędnych danych wektorów a → i b → .

Przy obliczaniu na płaszczyźnie zadania skalarnego zwyciężają wektory a → = (a x , a y) , b → = (b x , by y) w układzie kartezjańskim:

a → , b → = a x b x + a y by y ,

dla trywialnej przestrzeni viraz zastosovuetsya:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z.

W rzeczywistości trzeci cel stworzenia skalarnego.

Przynieśmy to.

Dowód 1

Aby udowodnić wikoryzm, a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by dla wektorów a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) on system kartezjański.

Wektory pokazu slajdów

O A → = a → = a x , a y O B → = b → = b x , b y .

Następnie długość wektora A B → więcej A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) .

Rzućmy okiem na tricot OAB.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B)

Widać za umysłem, że O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^).

To samo dotyczy pierwszego spotkania, że ​​b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , również (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Wzór Zastosuvava do obliczania liczby wektorów, bierzemy:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + o 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (przez - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (przez - ay) 2) = = ax bx + ay przez

Zróbmy to dobrze:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y by y + a z b z

– Vіdpovіdno do wektorowej przestrzeni trivіrіnnogo.

Dodawanie skalarne wektorów ze współrzędnymi, aby mówić o tych, że kwadrat skalarny wektora jest równy sumie kwadratów jego współrzędnych y w przestrzeni jest jasne. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) i (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Skalar tvіr ta yoga dominion

Ustal moc tworzenia skalarnego, jak ustalić dla a → , b → і c → :

1. przemienność (a → , b →) = (b → , a →);
2. rozdzielność (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. moc jest dobra (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →) , (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →) , λ jest liczbą;
4. kwadrat skalarny jest zawsze większy od zera (a → , a →) ≥ 0 , wtedy (a → , a →) = 0 w przypadku a → zero.

Dominacja może wyjaśniać znaki oznaczenia kreacji skalarnej na płaszczyźnie oraz dominację przy dodawaniu i mnożeniu liczb rzeczywistych.

Doprowadzić moc do przemienności (a → , b →) = (b → , a →). Możliwe, że (a → , b →) = a y · b y + a y · b y (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Dla mocy przemienności równości a x · b x = b x · a x і a y · b y = b y · a y jest prawdziwe, więc a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Brzmi jak (a → , b →) = (b → , a →) . Co trzeba było przynieść.

Rozdzielność obowiązuje dla dowolnych liczb:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

i (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

zvіdsi maєmo

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Skalar TV z kolbami karabinów

Niezależnie od tego, czy zadanie takiego planu jest obarczone stagnacją autorytetów i formuł, które ulegają kreacjom skalarnym:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^);
2. (a → , b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y lub (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Spójrzmy na rozwiązanie deyaki aplikujące.

tyłek 2

Dovzhina a → dorіvnyuє 3, dovzhina b → dorіvnyuє 7. Poznaj kąt skalarny, który może wynosić 60 stopni.

Rozwiązanie

Dla umysłu podane są wszystkie dane, obliczamy je dla tego wzoru:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Dopasuj: (a → , b →) = 21 2 .

tyłek 3

Ustaw wektory a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Dlaczego jeden skalarny tvir.

Rozwiązanie

W tym przypadku rozważany jest wzór obliczeniowy dla współrzędnych, smród zadania dla umysłu zadania:

(a → , b →) = ax bx + ay przez + az bz == 1 0 + (-1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) == 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Sugestia: (a → , b →) = - 9

tyłek 4

Poznaj skalarną telewizję A B → ta A C → . Na płaszczyźnie współrzędnych ustaw punkty A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Rozwiązanie

Dla kolby oblicza się współrzędne wektorów, do których podaje się punkt współrzędnych dla mózgu:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Zastępując wzór na różne współrzędne, przyjmujemy:

(AB → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Odpowiedź: (AB → , AC →) = 28 .

tyłek 5

Ustaw wektory a → = 7 · m → + 3 · n → i b → = 5 · m → + 8 · n → m → dobre 3 w n → dobre 2 single, smród prostopadle.

Rozwiązanie

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Obejmując władzę dystrybucyjności, bierzemy pod uwagę:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Obwiniamy współczynnik za znak stworzenia i zabieramy go:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Ze względu na przemienność przeróbmy:

35 (m → m →) + 56 (m → n →) + 15 (n → m →) + 24 (n → n →) = = 35 (m → m →) + 56 (m → n →) + 15 (m → n →) + 24 (n → n →) = = 35 (m → m →) + 71 (m → n →)) + 24 (n → , n →)

Wynik zajmuje:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → n →) + 24 (n → n →) .

Teraz możemy sformułować wzór na kreację skalarną z przypisania do cięcia mentalnego:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Dopasowanie: (a → , b →) = 411

To jest projekcja liczbowa.

tyłek 6

Poznaj skalę skalarną a → tab b → . Wektor a → maksymalna współrzędna a → = (9 , 3, - 3), rzut b → współrzędne (-3, - 1, 1).

Rozwiązanie

Za wektorem mentalnym a → że rzut b → protilazhno bezpośrednio, do tego a → = - 1 3 n p a → b → → , również rzut b → podwaja n p a → b → → , ponadto znak „-”:

n a → b → → = - n a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Zastępując formułę, bierzemy viraz:

(a → , b →) = a → n a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Odpowiedź: (a → , b →) = - 33 .

Zadanie z widocznym dodatkiem skalarnym, konieczna jest znajomość wartości wektora i rzutu numerycznego.

tyłek 7

Jaką wartość można przyjąć dla danej kreacji skalarnej a → = (1, 0, λ + 1) і b → = (λ, 1, λ) będzie równe -1.

Rozwiązanie

Ze wzoru wynika, że ​​konieczne jest poznanie sumy współrzędnych:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Może to mieć (a → , b →) = - 1 .

Aby poznać λ, obliczamy równości:

λ 2 + 2 λ = -1, gwiazdki λ = -1.

Widpowid: λ = -1.

Fizyczny sens tworzenia skalarnego

Mechanika przygląda się programowi kreacji skalarnej.

Kiedy robot A ze stałą siłą F → ciało porusza się z punktów M do N, możesz znaleźć wzrost liczby wektorów F → і M N → z cosinusem cięcia między nimi, oznacza to, że robot zwiększa wektor w mocy i w ruchu:

A = (F → , M N →).

tyłek 8

Przesunięcie punktu materiału o 3 metry pod kierunkiem siły, która wynosi 5 nton, skierowanie pod cięcie 45 stopni wzdłuż osi. Poznaj A .

Rozwiązanie

Odłamki robota są źródłem wektora siły dla ruchu, więc pamiętaj F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , przyjmuje się A = (F → , S →) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Sugestia: A = 15 2 2 .

tyłek 9

Punkt materialny, poruszający się z M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod wpływem siły F → = (3, 1, 2), sprawił, że robot był równy 13 J. Oblicz długość przemieszczenia.

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę współrzędne wektora M N → czy M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7 ).

Dla wzoru znaczenia pracy z wektorami F → = (3 , 1 , 2) w MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) przyjmujemy A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Daje się poza umysłem, że A \u003d 13 J, również 22 + 3 λ \u003d 13. Gwiazdy są żywotne λ = - 3 , również i M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7 ).

Aby poznać długość przemieszczenia M N →

M N \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Odniesienie: 158.

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

W ten sposób długość wektora jest wykupiona, podobnie jak pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.
. Podobnie ubezpieczony jest wkład wektora pokoju n
. Jak zgadnąć, współrzędna skóry wektora różni się między współrzędnymi końca i kolby, bierzemy wzór po raz drugi, czyli. evklіdova vіdstanі mіzh cętkowany.

Skalarny doboot dwa wektory na płaszczyźnie - ce dobutok dozhin tsikh wektory przez cosinus kuta między nimi:
. Czy potrafisz powiedzieć, że skalarny witwir dwóch wektorów? \u003d (x 1, x 2) to = (y 1 , y 2) całkowita suma kreacji danych współrzędnych tych wektorów:
= x 1 * r 1 + x 2 * r 2.

W przestrzeni n-światów skalarny wektor tvir_vX= (х 1 , х 2 ,...,х n) іY= (y 1 , y 2 ,...,yn) jest zdefiniowany jako suma kreacji w їх istniejące współrzędne: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * yn.

Operacja mnożenia wektorów jeden po drugim jest podobna do mnożenia macierzy wierszy przez macierz wierszy. Pamiętaj, że wynikiem będzie liczba, a nie wektor.

Skalar dobutok vector_in May so_power (aksjomaty):

1) Jakość przemienności: X*Y=Y*X.

2) Dystrybucyjny sposób dodawania mocy: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Dla dowolnej liczby dni 
.

4)
, więc X nie jest wektorem zerowym;
gdzie X jest wektorem zerowym.

Liniowa przestrzeń wektorowa, w której podana jest skalarna przestrzeń wektorowa, która spełnia odpowiednie aksjomaty, nazywa się euklidesowy wektor liniowyotwarta przestrzeń.

Łatwo zapamiętać, że mnożąc wektor, bierzemy kwadrat Yogo dozhini. Do tego w inny sposób dożyna wektor można obliczyć jako pierwiastek kwadratowy z kwadratu skalarnego:.

Dovzhina wektora może nadal być potężna:

1) | x | = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|

3) | X * Y | | x | * | Y | ( Nerіvnіst Koshі-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( nierówny trykot).

Wektory Kut Mizh w n-światowej przestrzeni vyznaetsya, patrząc poza zrozumienie stworzenia skalarnego. Racja, to prawda
, następnie
. Tsej drib jest nie więcej niż jeden (podobno ku zdenerwowaniu Koshy-Bunyakovsky), można poznać gwiazdy.

Dwa wektory i nazwa prostokątny lub prostopadły, Na przykład ich dodawanie skalarne jest równe zero. Z punktu widzenia kreacji skalarnej jasne jest, że wektor zerowy jest ortogonalny do dowolnego wektora. Jeżeli istnieją dwa wektory ortogonalne i niezerowe, to językiem ogólnym jest cos= 0, to jest równe /2 = 90 o.

Rzućmy okiem na maluchy 7.4. Z małego widać, że cosinus kuta
, a cosinus kuty trafia do wektora aż do osi pionowej yak
. Liczby Qi są akceptowane do wywoływania bezpośrednie cosinusy. Łatwo zmienić, że suma kwadratów prostych cosinusów jest taka sama, jak najczęściej spotykanych jednostek: cos 2 + cos 2 = 1. Podobnie można wprowadzić pojęcie bezpośrednich cosinusów i dla większych przestrzeni.

Podstawa przestrzeni wektorowej

W przypadku wektorów możesz zrozumieć kombinacja liniowa,ugór liniowyі niezależność podobnie wcześniej, jak wprowadzono rozumienia ci dla rzędów macierzy. Prawdą jest również, że nawet jeśli wektory są osadzone liniowo, to biorąc jeden z nich można liniowo odwrócić przez inne (czyli jest to ta sama kombinacja liniowa). Jest to bardziej poprawne i odwracalne: jako jeden z wektorów jako liniowa kombinacja innych, wszystkie te wektory znajdują się w całości liniowych depozytów.

Co istotne, skoro środkowy wektor a l , a 2 ,...a m jest wektorem zerowym, to ciąg wektorów jest odłogiem liniowym. Prawdą jest, że przyjmujemy  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, więc na przykład przyrównujemy współczynnik j z wektorem zerowym do jednego, a wszystkie inne współczynniki do zera. Dla którego nie wszystkie współczynniki są równe zeru ( j ≠ 0).

Ponadto, jako część wektorów z ogółu wektorów w odłogach liniowych, to wszystkie te wektory są odłogami liniowymi. To prawda, nawet jeśli wektory mogą dawać wektor zerowy w swojej kombinacji liniowej ze współczynnikami, jeśli nie są one null od razu, możesz dodać inne wektory do sumy kreacji, pomnożyć przez współczynniki zerowe, null, wcześniej i wygrane

Jak wyznaczyć, które wektory są liniowo odłogiem?

Na przykład weźmy trzy wektory: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) i a 3 = (3, 1, 4, 3). Budujemy z nich matrycę, której filarami będzie niejako smród:

Następnie doprowadź odłogi liniowe do przypisanej rangi macierzy. Jeśli żyły wydają się równe trzem, to wszystkie trzy kolumny są liniowo niezależne, a jeśli wydają się mniejsze, porozmawiamy o liniowej stagnacji wektorów.

Oskіlki rank dorivnyuє 2, wektory i depozyty liniowe.

Co istotne, zadania scho rozv'yazannya mogą być b rozpochati і z mirkuvan, scho opierają się na wyznaczonej liniowej niezależności. I dla siebie dodaj wyrównanie wektora  lal +  2 a 2 +  3 a 3 = 0, tak jakby wyglądało to tak l * (1, 0, 1, 5) +  2 * (2, 1, 3, -2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Następnie bierzemy system wyrównawczy:

Rozwiązanie układu metodą Gaussa sprowadza się do eliminacji macierzy schodkowej, dopiero w przyszłości pojawi się jeszcze jeden krok - człony wolne. Cały smród będzie równy zero, odłamki liniowej transformacji zer nie mogą prowadzić do innego wyniku. System równości został przeprojektowany w przyszłości, zobaczę:

Rozwiązaniami dla systemu będą (-s; -s; s), de s - wystarczająca liczba; na przykład (-1; -1; 1). Tse oznacza, jak wziąć  l \u003d -1;  2 \u003d -1 і 3 \u003d 1, a następnie l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0. wektor prawdziwych osadów liniowych.

Z powyższego przykładu jasno wynika, że ​​im więcej wektorów, tym przestrzeń jest mniej przestronna, cały smród będzie liniowo odłogowany. W rzeczywistości, gdybyśmy wzięli pięć wektorów w naszej aplikacji, to wzięlibyśmy macierz 4 x 5, której rząd nie mógłby być wyższy dla chotiri. Tobto. jednak maksymalna liczba liniowo niezależnych stovptsiv nie byłaby większa niż chotiri. Dwa, trzy wektory chi chotiri chotirivimіrnі mogą wydawać się liniowo niezależne, ale pięć i więcej - nie. Ponadto nie więcej niż dwa wektory mogą być liniowo niezależne od płaszczyzny. Bądź jak trzy wektory w przestrzeni dwóch światów - odłogiem liniowym. W przestrzeni trywialnej świata, bądź jak wektory chotiri (lub więcej) - zawsze liniowe depozyty. itd.

Tomek pokój przestrzeń można przyjąć jako maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów, tak aby mogły znajdować się w nowym.

Liczba n liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni n-światów R nazywa się podstawa co za przestrzeń.

Twierdzenie. Wektor skóry przestrzeni liniowej można zobaczyć patrząc na liniową kombinację wektorów w bazie iw ten sam sposób.

Dowód. Niech wektory e l , e 2 , ... n spełniają bazę n-ziemskiej przestrzeni R. Można pokazać, że wektor X jest kombinacją liniową tych wektorów. Odłamki o wektorze X liczba wektorów w obozie (n+1), wektory qi (n+1) będą liniowo odłogiem, a więc. liczby podstawowe l , 2 ,..., n ,, nie są jednocześnie równe zeru, więc

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Tshomu ma 0, ponieważ w inny sposób odjęliśmy b l l e l + 2 e 2 + ... + n n n = 0, gdzie nie wszystkie współczynniki l, 2, ..., n są równe zeru. Tse oznacza, że ​​wektory do bazy wydawały się być liniowo odłogiem. Otzhe, możesz podzielić obelgi pierwszego równe:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

X \u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n,

de x j = -( j /),
.

Teraz widzimy, że taka manifestacja wyglądu kombinacji liniowej jest taka sama. Nie akceptujmy tego, tobto. co jeszcze jest wskazane:

X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

Widzimy z nowego pozbawienia viraz każdego terminu:

0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

Skale wektorów i podstawa są liniowo niezależne, bierze się pod uwagę, że (y j - x j) = 0,
, to j = x j . Otzhe, sam viraz vyyavivsya. Twierdzenie zostało zakończone.

Viraz X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n nazwa szerzyć dni wektor X za bazą e l , e 2 ,...e n , oraz liczbami x l , x 2 ,... x n - współrzędne wektor x do dowolnej bazy lub do dowolnej bazy.

Można udowodnić, że nawet n niezerowych wektorów w n-światowej przestrzeni euklidesowej jest parami ortogonalnych, to tworzą bazę. W rzeczywistości mnożymy naruszającą część równości  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 przez dowolny wektor e i . Przyjmuje się  l (el * e i) +  2 (e 2 * e i) +...+  n (en * e i) = 0  i (ei * e i) = 0   i = 0 dla i .

Wektory e l , e 2 ,...en n-światowej przestrzeni euklidesowej spełniają baza ortonormalna, które są wektorami i są parami prostopadłe i norma skóry їх dorіvnyuє odinі, tobto. gdzie e i * e j = 0 gdy i≠jі | e ja | = 1 dla i.

Twierdzenie (bez potwierdzenia). Przestrzeń euklidesowa skóry n-świata ma podstawę ortonormalną.

Przykładem bazy ortonormalnej jest układ n pojedynczych wektorów w e i , dla których i-ta składowa ma więcej niż jeden, a pozostałe składowe więcej niż zero. Taki wektor nazywa się ort. Na przykład ortie wektorowe (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1) spełniają podstawę przestrzeni trivum.

Kut miż wektory

Przyjrzyjmy się dwóm danym wektorom $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$. Jeśli do wektorów $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ i $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ dodamy wystarczającą liczbę punktów $O$, to $AOB$ nazywamy przecięciem między wektorami $\ overrightarrow( a)$ i $\overrightarrow(b)$ (rys. 1).

Mały 1.

Istotne jest tutaj, że albo wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są proste, albo jeden z nich jest wektorem zerowym, który jest taki sam jak pomiędzy wektorami $0^0$.

Podpis: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Zrozumienie skalarnego tworzenia wektorów

Matematycznie wartość można zapisać w następujący sposób:

Zakrętka skalarna może osiągnąć zero w dwóch kierunkach:

Jak jeden z wektorów będzie wektorem zerowym

Te wektory są wzajemnie prostopadłe (więc $cos(90)^0=0$).

Istotne jest również to, że rozszerzenie skalarne jest większe od zera, ponieważ można je znaleźć między tymi wektorami gospodarza (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), i jest mniejsze od zera, więc można je ustawić między dwoma wektorami głupoty (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Ze zrozumienia stworzenia skalarnego, zrozumienie kwadratu skalarnego nie jest powiązane.

Spotkanie 2

Kwadrat skalarny wektora $\overrightarrow(a)$ jest skalarnym rozszerzeniem tego wektora na samym sobie.

Ważne jest, aby kwadrat skalarny był poprawny

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Obliczanie kreacji skalarnej dla współrzędnych wektorów

Jest tylko jeden inny sposób zdefiniowania znaczenia kreacji skalarnej, który wydycha się ze znaczenia sposobu standardowego.

Przyjrzyjmy się jodze.

Niech wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ przesuwają oczywiście współrzędne $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$.

Twierdzenie 1

Powiększanie skalarne wektorów $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ w celu uzupełnienia sumy kreacji odpowiednich współrzędnych.

Matematycznie można to zapisać jako

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dowód.

Twierdzenie zostało zakończone.

Twierdzenie Tsya maє kіlka sledkіv:

Lekcja 1: Wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są prostopadłe do tego samego i tylko wtedy, gdy $a_1a_2+b_1b_2=0$

Lekcja 2: Cosinus kuty między wektorami to $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Dominacja skalarnej kreacji wektorów

Dla dowolnych trzech wektorów i liczby dziesiętnej $k$ prawdziwe jest:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Tsya power inplivaє z oznaczenie kwadratu skalarnego (oznaczenie 2).

Prawo Peresuvny:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Tsya power vyplyvaє z znachennya tworzenie skalarne (nominacja 1).

Prawo podstawowe:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(wyliczyć)

Według Twierdzenia 1, może:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Szczęśliwe prawo:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(wyliczyć)

Według Twierdzenia 1, może:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Przykład zadania obliczania skalarnej kreacji wektorów

tyłek 1

Znajdź rozszerzenie skalarne wektora w $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, tj. $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b) \right|= 2 $, a pomiędzy nimi są droższe $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.

Rozwiązanie.

Spotkanie Vikoristovuyuchi 1, opcjonalnie

Za $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Za $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Za $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Za $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ po prawej)=-3\sqrt(2)\]

Kut miż wektory

Przyjrzyjmy się dwóm danym wektorom $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$. Jeśli do wektorów $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ i $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ dodamy wystarczającą liczbę punktów $O$, to $AOB$ nazywamy przecięciem między wektorami $\ overrightarrow( a)$ i $\overrightarrow(b)$ (rys. 1).

Mały 1.

Istotne jest tutaj, że albo wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są proste, albo jeden z nich jest wektorem zerowym, który jest taki sam jak pomiędzy wektorami $0^0$.

Podpis: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Zrozumienie skalarnego tworzenia wektorów

Matematycznie wartość można zapisać w następujący sposób:

Zakrętka skalarna może osiągnąć zero w dwóch kierunkach:

Jak jeden z wektorów będzie wektorem zerowym

Te wektory są wzajemnie prostopadłe (więc $cos(90)^0=0$).

Istotne jest również to, że rozszerzenie skalarne jest większe od zera, ponieważ można je znaleźć między tymi wektorami gospodarza (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), i jest mniejsze od zera, więc można je ustawić między dwoma wektorami głupoty (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Ze zrozumienia stworzenia skalarnego, zrozumienie kwadratu skalarnego nie jest powiązane.

Spotkanie 2

Kwadrat skalarny wektora $\overrightarrow(a)$ jest skalarnym rozszerzeniem tego wektora na samym sobie.

Ważne jest, aby kwadrat skalarny był poprawny

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Obliczanie kreacji skalarnej dla współrzędnych wektorów

Jest tylko jeden inny sposób zdefiniowania znaczenia kreacji skalarnej, który wydycha się ze znaczenia sposobu standardowego.

Przyjrzyjmy się jodze.

Niech wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ przesuwają oczywiście współrzędne $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$.

Twierdzenie 1

Powiększanie skalarne wektorów $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ w celu uzupełnienia sumy kreacji odpowiednich współrzędnych.

Matematycznie można to zapisać jako

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dowód.

Twierdzenie zostało zakończone.

Twierdzenie Tsya maє kіlka sledkіv:

Lekcja 1: Wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są prostopadłe do tego samego i tylko wtedy, gdy $a_1a_2+b_1b_2=0$

Lekcja 2: Cosinus kuty między wektorami to $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Dominacja skalarnej kreacji wektorów

Dla dowolnych trzech wektorów i liczby dziesiętnej $k$ prawdziwe jest:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Tsya power inplivaє z oznaczenie kwadratu skalarnego (oznaczenie 2).

Prawo Peresuvny:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Tsya power vyplyvaє z znachennya tworzenie skalarne (nominacja 1).

Prawo podstawowe:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(wyliczyć)

Według Twierdzenia 1, może:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Szczęśliwe prawo:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(wyliczyć)

Według Twierdzenia 1, może:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Przykład zadania obliczania skalarnej kreacji wektorów

tyłek 1

Znajdź rozszerzenie skalarne wektora w $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, tj. $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b) \right|= 2 $, a pomiędzy nimi są droższe $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.

Rozwiązanie.

Spotkanie Vikoristovuyuchi 1, opcjonalnie

Za $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Za $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Za $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Za $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ po prawej)=-3\sqrt(2)\]