kalendarz kraju

Najprostsza grafika. Funkcje elementarne i ich grafika. Funkcja kroku z niesparowanym wskaźnikiem dodatnim

Kurs wideo „Take off five” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do udanego złożenia matematyki EDI na 60-65 punktów. Odpowiem na wszystkie zadania 1-13 Profilu EDI w matematyce. Nadaje się do budowania podstawowego EDI w matematyce. Jeśli chcesz zapłacić 90-100 punktów za EDI, musisz zapłacić część 1 za 30 kredytów bez ułaskawienia!

Kurs szkoleniowy do ЄДІ dla klas 10-11, a także dla vikladachiv. Wszystko jest konieczne, aby rozwiązać część 1 z ЄДІ z matematyki (12 pierwszych zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A za ЄDI kosztowało to ponad 70 punktów, a bez nich ani stobalista, ani humanista nie może się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Shvidkі sposoby wiśni, makaronów i tajemnic EDI. Wszystkie istotne zadania części 1 zadania FIPD Banku zostały uporządkowane. Kurs zostanie zaktualizowany zgodnie z EDI-2018.

Kurs obejmujący 5 świetnych tematów, każdy po 2,5 roku. Motyw skórki podany jest od podstaw, jest prosty i zrozumiały.

Setki szefów EDI. Teksty i teoria imovirnosti. Wybacz, łatwo zapomnieć o algorytmach rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał źródłowy, analiza wszelkiego rodzaju zadań EDI. Stereometria. Sprytnie weź różę, kolorowe szopki, projekt przestrzennej wizualizacji. Trygonometria od zera - do zadania 13. Razuminnya zamіst zubrіnnya. Naochne wyjaśnienie składania do zrozumienia. Algebra. Pierwiastek, krok tego logarytmu, jego funkcja jest słaba. Podstawa pod głowice składane 2 części ЄDI.

Główne funkcje elementarne, prymat i podstawowe grafy to tylko niektóre z podstaw wiedzy matematycznej, podobne pod względem ważności do tabliczki mnożenia. Funkcje elementarne są podstawą, podstawą rozwoju wszelkiego teoretycznego żywienia.

Poniższy artykuł zawiera kluczowy materiał na temat podstawowych funkcji elementarnych. Wprowadzamy terminy, wprowadzamy je; Podobno wygląd elementarnych funkcji jest oskórowany, analizujemy ich moc.

Zobacz następujące główne funkcje podstawowe:

Spotkanie 1

funkcja stała (stała);
korzeń n-tego etapu;
funkcja państwa;
funkcja wyświetlania;
funkcja logarytmiczna;
funkcje trygonometryczne;
bratnie funkcje trygonometryczne.

Funkcja stała jest zdefiniowana wzorem: y = C (C jest liczbą rzeczywistą) i może być również nazwana: stała. Ta funkcja określa ważność dowolnej niezależnej wartości niezależnej zmiany x tej samej wartości zmiany wartości y C .

Wykres stałej jest prosty, ponieważ jest równoległy do osi odciętej i przechodzi przez punkt o współrzędnych (0, C). Dla dokładności rysujemy wykresy postfunkcji y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (zaznaczone na fotelu na czarno, kolory czerwony i niebieski są wyraźne).

Spotkanie 2

Ta elementarna funkcja jest określona wzorem y = x n (n jest liczbą naturalną większą od jeden).

Przyjrzyjmy się dwóm odmianom tej funkcji.

Pierwiastek n-tego stopnia, n jest liczbą

Dla ścisłości powiedzmy krzesło, które ma wykres takich funkcji: y=x, y=x4 y=x8. Funkcje oznaczone są kolorami: czarnym, czerwonym i niebieskim.

Podobne spojrzenie na wykresy funkcji sparowanego etapu dla pozostałych wartości wskaźnika.

Spotkanie 3

Dominacja funkcji jest pierwiastkiem n-tego etapu, n jest liczbą

zakres oznaczenia - brak wszystkich nieznanych liczb rzeczywistych [0, + ∞);
jeśli x = 0 , funkcja y = x n
daną funkcję-funkcję wspólnego typu (ani sparowaną, ani niesparowaną);
wartość zakresu: [0, + ∞);
funkcja y = x n jest podana ze sparowanymi wskaźnikami korzenia wzrostu w całym obszarze aplikacji;
funkcja może być opuchnięta z prostym podjazdem we wszystkich obszarach wizyty;
dzienne punkty załamania;
asymptoty są codziennie;
wykres funkcji dla pary n przechodzi przez punkty (0; 0) i (1; 1).

Pierwiastek n-tego kroku, n jest liczbą niesparowaną

Taka funkcja jest przypisana do całego zbioru liczb rzeczywistych. Dla jasności spójrzmy na wykresy funkcji y=x3, y=x5 x 9 . Na fotelu smród zaznaczony jest kolorami: czarnym, czerwonym i niebieskim, kolory są krzywe.

Inne niesparowane wartości wskaźnika pierwiastka funkcji y = xn dadzą wykres o podobnej formie.

Spotkanie 4

Potęgą funkcji jest pierwiastek n-tego etapu, n jest liczbą niesparowaną

obszar powołania - brak wszystkich liczb rzeczywistych;
dana funkcja jest niesparowana;
obszar wartości – bezsensowne liczby rzeczywiste;
funkcja y = x n z niesparowanymi wskazaniami pierwiastka rośnie w całym zakresie przypisania;
funkcja może wybrzuszać się w kroku (- ∞ ; 0 ) i wybrzuszać w kroczu [ 0 + ∞) ;
punkt załamania współrzędne maє (0; 0);
asymptoty są codziennie;
wykres funkcji dla niesparowanych n przechodzi przez punkty (-1 ; - 1) , (0 ; 0) i (1 ; 1) .

Funkcja kroku

Spotkanie 5

Funkcja kroku jest określona wzorem y = x a.

Widok wykresów i moc funkcji leżą w wartości wskaźnika kroku.

jeśli funkcją stanu jest wskaźnik maє tsіliy a, to rodzaj wykresu funkcji statycznej i mocy її polega na tym, że para jest niesparowanym wskaźnikiem sceny, a także, który znak może być wskaźnikiem sceny. Przyjrzyjmy się wszystkim punktom poniższego raportu;
Krok pokaznika może być strzałowy i irracjonalny - odłogiem, w zależności od tego zmienia się też rodzaj wykresu i moc funkcji. Mi rozbero okremі vpadki, zadavshi kіlka umysły: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
funkcja stanu może być wskaźnikiem punktu zerowego, a ten rodzaj zachowania jest również analizowany poniżej.

Przeanalizujmy funkcję stanu y \u003d x a, jeśli a jest niesparowaną liczbą dodatnią, na przykład a \u003d 1, 3, 5 ...

Aby być precyzyjnym, pokażmy wykresy takich funkcji stosu: y = x (grafika w kolorze czarnym), y = x 3 (karta koloru niebieskiego), y \u003d x 5 (grafika w kolorze czarnym), y = x7 (grafika w kolorze zielonym). Jeśli a = 1, przyjmujemy funkcję liniową y = x.

Spotkanie 6

Dominacja funkcji stanu, jeśli wskaźnik kroku jest niesparowany dodatni

funkcja є rosnąca nad x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcja może być wypukła dla x ∈ (- ∞ ; 0 ) i wypukła dla x ∈ [ 0 ; + ∞) (w tym funkcja liniowa);
punkt przegięcia może koordynować (0; 0) (w tym funkcja liniowa);
asymptoty są codziennie;
funkcja przekazująca punkty: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Przeanalizujmy funkcję stanu y \u003d x a, jeśli a jest liczbą dodatnią, na przykład a \u003d 2, 4, 6 ...

Dla jasności pokażmy wykresy takich funkcji stosu: y = x 2 (grafika w kolorze czarnym), y = x 4 (karta koloru niebieskiego), y = x 8 (grafika w kolorze czarnym). Jeśli a = 2 jest podstawową funkcją kwadratową, to wykres jest parabolą kwadratową.

Spotkanie 7

Dominacja funkcji stanu, jeśli wskaźnikiem kroku jest pozytywny facet:

obszar docelowy: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
recesywny dla x ∈ (- ∞ ; 0] ;
funkcja może zagiąć się dla x ∈ (- ∞ ; + ∞);
okulary peregina vіdsutnі;
asymptoty są codziennie;
punkty dostępu do funkcji: (-1; 1), (0; 0), (1; 1).

Na maleńkim poniżej umieść wykres funkcji statycznej y \u003d x a, jeśli a jest liczbą niesparowaną: y \u003d x - 9 (czarny kolor wykresu); y \u003d x - 5 (niebieski kolor wykresu); y \u003d x - 3 (czarny kolor grafiki); y \u003d x - 1 (grafika w kolorze zielonym). Jeśli \u003d - 1, potrzebujemy proporcji odwrotnej, wykres jest hiperbolą.

Spotkanie 8

Dominacja funkcji stanu, jeśli wskaźnik kroku jest niesparowanym ujemnym:

Jeśli x \u003d 0 konieczne jest rozszerzenie na inny rodzaj, skalowania to lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ z \u003d - 1, - 3 , - 5, .... Później prosta x = 0 jest pionową asymptotą;

zakres wartości: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcja jest niesparowana, odłamki y(-x) = -y(x);
funkcja є zanik dla x ∈ - ∞ ; 0 (0; + ∞);
funkcja może być wypukła dla x ∈ (- ∞ ; 0) i wypukła dla x ∈ (0 ; + ∞) ;
punkty przerwania na dzień;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 jeśli a = - 1, - 3, - 5,. . . .

punkty przekazywania funkcji: (- 1; - 1), (1; 1).

Na maleńkim poniżej zastosuj wykresy funkcji statycznej y = x a, jeśli a - facet widzi liczbę: y \u003d x - 8 (czarny kolor wykresu); y \u003d x - 4 (niebieski kolor wykresu); y \u003d x - 2 (czarny kolor wykresu).

Spotkanie 9

Dominacja funkcji stanu, jeśli wskaźnikiem kroku jest męski negatyw:

obszar docelowy: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Jeśli x \u003d 0 możliwe jest rozszerzenie na inny rodzaj, skalowanie lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ z \u003d - 2, - 4, - 6, .... Później prosta x = 0 jest pionową asymptotą;

funkcja jest sparowana, odłamki y(-x) = y(x);
funkcja є rosnąca dla x ∈ (- ∞ ; 0) spadająca dla x ∈ 0 ; +∞;
funkcja może być wygięta dla x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
punkty przerwania na dzień;
asymptota pozioma - linia prosta y = 0, skale:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 jeśli a = -2, -4, -6,. . . .

punkty dostępu do funkcji: (-1; 1), (1; 1).

Od samego początku szacunek dla aspektu ofensywnego: u góry, jeśli a jest spadkiem dodatnim ze znakiem niesparowanym, to autorzy przyjmują przedział - ∞ jako obszar przeznaczony na funkcję państwa; + ∞ , mówiąc do siebie, że wskaźnik a jest niekrótkim dribem. W chwili obecnej autorzy pierwszej wiedzy z algebry i analizy NIE PROJEKTUJĄ FUNKCJI STATYCZNYCH; Zajmijmy to samo stanowisko: weźmy obszar przypisania funkcji stanu z innymi pozytywnymi wskazaniami poziomu bezosobowości [0; +∞). Zalecenie dla uchnіv: z'yasuvati przegląd vikladach w chwili obecnej, schob niewątpliwy razbіzhnosti.

Ponownie przeanalizujmy funkcję stanu y = x a< a < 1 .

Ilustrowane wykresami funkcji statycznych y \u003d x a, jeśli a \u003d 11 12 (czarny kolor wykresu); a = 5 7 (czarny kolor grafiki); a = 13 (karta koloru niebieskiego); a = 2 5 (grafika w kolorze zielonym).

Inne wartości wskaźnika krok a (dla umysłu 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Spotkanie 10

Dominacja funkcji państwa przy 0< a < 1:

zakres: y ∈ [0; +∞);
funkcja rośnie dla x ∈ [0; +∞);
funkcja może być wypukła dla x ∈ (0; + ∞);
punkty przerwania na dzień;
asymptoty są codziennie;

Przeanalizujmy funkcję stanu y \u003d x a, jeśli wskaźnik kroku nie jest liczbą wymierną, liczbą niewymierną dla umysłu, że a\u003e 1.

Zilustruj wykresy funkcji statycznej y = x a

Inne wartości wskaźnika kroku i dla umysłu a > 1 dają podobny obraz wykresu.

Spotkanie 11

Dominacja funkcji państwa dla a > 1:

zakres: x ∈ [0; +∞);
zakres: y ∈ [0; +∞);
podana jest funkcja - funkcja o wulgarnej formie (nie sparowana, niesparowana);
funkcja rośnie dla x ∈ [0; +∞);
funkcja może zagiąć się dla x ∈ (0 ; + ∞) (jeśli 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
punkty przerwania na dzień;
asymptoty są codziennie;
punkty przejścia funkcji: (0; 0), (1; 1).

Niszczymy Twój szacunek! Jeśli a jest spadkiem ujemnym z niesparowanym banerem, roboty niektórych autorów mają ostrzejszy wygląd, że obszar jest przypisany do danego nachylenia - interwał - ∞; 0 (0 ; + ∞) W chwili obecnej autorzy wstępnych materiałów z algebry i analizy kolb NIE PROJEKTUJĄ funkcji statycznych z wykładnikiem ułamka o niesparowanym mianowniku dla ujemnych wartości argumentu. Spróbujmy spojrzeć na siebie w taki sposób: bierzemy za obszar wyznaczania funkcji statycznych ze strzałkami ujemnymi wskaźnikami bezosobowości (0; + ∞). Zalecenie dla uczących się: wyjaśnij szczegóły swojej aukcji w chwili obecnej, aby nie było różnic.

Kontynuujemy temat i analizujemy funkcję państwa y = x pamiętaj: - 1< a < 0 .

Narysujmy wykres krzesła nadchodzących funkcji: y \u003d x - 5 6, y \u003d x - 2 3, y \u003d x - 1 2 2, y \u003d x - 1 7 (kolory czarny, czerwony, niebieski, zielony są liniowe).

Spotkanie 12

Potęga funkcji państwa przy - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , jeśli - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

zakres wartości: y ∈ 0; +∞;
podana jest funkcja - funkcja o wulgarnej formie (nie sparowana, niesparowana);
punkty przerwania na dzień;

Na fotelu poniżej wykresy funkcji statycznych y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 (widoczne są czarne, czerwone, niebieskie, zielone kolory krzywych).

Spotkanie 13

Dominacja funkcji państwa na poziomie< - 1:

obszar docelowy: x ∈ 0; +∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ jeśli a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

zakres wartości: y ∈ (0; + ∞);
podana jest funkcja - funkcja o wulgarnej formie (nie sparowana, niesparowana);
funkcja zanika dla x ∈ 0; +∞;
funkcja może zginać się dla x ∈ 0; +∞;
punkty przerwania na dzień;
asymptota pozioma - linia prosta y = 0;
punkt przejścia funkcji: (1; 1) .

Jeśli a \u003d 0 і x ≠ 0, brana jest funkcja y \u003d x 0 \u003d 1, co jest bezpośrednio wskazane, wówczas punkt (0 ; 1) jest włączony (zorientowaliśmy się, że wartość 0 0 robi nie trzeba naciskać).

Można zobaczyć funkcję wyświetlania y \u003d a x, de a > 0 i a ≠ 1 i wykres funkcji wygląda inaczej w zależności od wartości a. Przyjrzyjmy się otoczeniu wzlotów i upadków.

Przeanalizujemy sytuację, jeśli podstawa funkcji wyświetlania może mieć wartość od zera do jedynki (0< a < 1) . Jako doskonały przykład posłużą jako wykresy funkcji dla a = 1 2 (niebieski kolor krzywej) i a = 5 6 (czarny kolor krzywej).

Podobny wygląd do wykresu funkcji wyświetlania przy innych wartościach podano jako domysł 0< a < 1 .

Spotkanie 14

Moc funkcji wyświetlania, jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden:

zakres wartości: y ∈ (0; + ∞);
podana jest funkcja - funkcja o wulgarnej formie (nie sparowana, niesparowana);
funkcja wyświetlania, która ma mniej niż jeden, zanik we wszystkich obszarach;
punkty przerwania na dzień;
asymptota pozioma - linia prosta y = 0 przy zmianie x, czyli pragne + ∞;

Przyjrzyjmy się teraz różnicy, jeśli podstawa funkcji wyświetlania jest większa niż jeden (a > 1).

Możemy to zilustrować za pomocą wykresu funkcji wyświetlania y = 3 2 x (niebieski kolor krzywej) i y = e x (czarny kolor wykresu).

Inne wartości podstawy, świetne, dają podobny widok wykresu funkcji wyświetlania.

Spotkanie 15

Moc funkcji wyświetlania, jeśli podstawa jest większa niż jeden:

obszar spotkania - wszystkie bezsensowne liczby rzeczywiste;
zakres wartości: y ∈ (0; + ∞);
podana jest funkcja - funkcja o wulgarnej formie (nie sparowana, niesparowana);
pokazanie funkcji o podstawie większej niż jeden, є rosnąca dla x ∈ - ∞ ; +∞;
funkcja może zginać się dla x ∈ - ∞; +∞;
punkty przerwania na dzień;
asymptota pozioma - linia prosta y \u003d 0 przy zmianie x, która wynosi do - ∞;
punkt przejścia funkcji: (0; 1).

Funkcję logarytmiczną można zobaczyć y = log a (x) , gdzie a > 0 , a ≠ 1 .

Taka funkcja jest przypisywana tylko dla dodatnich wartości argumentu: for x ∈ 0 ; +∞.

Wykres funkcji logarytmicznej może wyglądać inaczej w zależności od wartości podstawy a.

Przyjrzyjmy się sytuacji, jeśli 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Inne wartości podstawy, małe, dają podobny obraz wykresu.

Spotkanie 16

Potęga funkcji logarytmicznej, jeśli podstawa jest mniejsza niż jednostka:

obszar docelowy: x ∈ 0; +∞. Jeśli x jest prawostronne do zera, wartość funkcji jest prawostronna + ∞;
zakres wartości: y ∈ - ∞; +∞;
podana jest funkcja - funkcja o wulgarnej formie (nie sparowana, niesparowana);
logarytmiczny
funkcja może zginać się dla x ∈ 0; +∞;
punkty przerwania na dzień;
asymptoty są codziennie;

Przyjrzyjmy się teraz marginesowi spadku, jeśli podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż jeden: a > 1 . Na fotelu poniżej - wykresy funkcji logarytmicznych y = log 3 2 x і y = ln x (niebieskie i czarne kolory wykresów są wyraźne).

Inne wartości podstawy więcej niż jeden dadzą podobny widok wykresu.

Spotkanie 17

Potęga funkcji logarytmicznej, jeśli podstawa jest większa niż jeden:

obszar docelowy: x ∈ 0; +∞. Jeśli x pragne zero po prawej stronie, wartość funkcji jest pragmatyczna aż do - ∞ ;
zakres wartości: y ∈ - ∞; + ∞ (wszystkie bezosobowe liczby rzeczywiste);
podana jest funkcja - funkcja o wulgarnej formie (nie sparowana, niesparowana);
funkcja logarytmiczna є rosnąca nad x ∈ 0 ; +∞;
funkcja może być wypukła dla x ∈ 0; +∞;
punkty przerwania na dzień;
asymptoty są codziennie;
punkt przejścia funkcji: (1; 0) .

Funkcje trygonometryczne - ce sinus, cosinus, tangens i cotangens. Ustalenie autorytetu skóry, a w szczególności grafiki.

Cechą charakterystyczną wszystkich funkcji trygonometrycznych jest siła okresowości, to znaczy. jeśli wartości funkcji powtarzają się przy różnych wartościach argumentu, to jeden typ jest rozpatrywany przez wartość okresu f(x + T) = f(x) (T jest okresem). W ten sposób do listy potęg funkcji trygonometrycznych dodawana jest pozycja o najmniej dodatnim okresie. Oczywiście taką wartość wskażemy argumentowi, dla którego dana funkcja jest konwertowana na zero.

Funkcja sinus: y = sin(x)

Wykres tej funkcji nazywa się sinusoidą.

Spotkanie 18

Siła funkcji sinus:

zakres: wszystkie mnożniki liczb rzeczywistych x ∈ - ∞ ; +∞;
funkcja jest konwertowana na zero, jeśli x = π · k , gdzie k ∈ Z (Z jest liczbami całkowitymi;
funkcja є rosnąca dla x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z jest takie samo dla x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
funkcja sinus ma lokalne maksima w punktach π 2 + 2 π · k; 1 i lokalne minima w punktach - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
funkcja sinus jest pomijana, jeśli x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і jest wybrzuszeniem, jeśli x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
asymptoty są codziennie.

Funkcja cosinus: y = cos(x)

Wykres tej funkcji nazywa się cosinusoidą.

Spotkanie 19

Siła funkcji cosinus:

obszar zasięgu: x ∈ - ∞; +∞;
najmniej dodatni okres: Т = 2 π;
zakres wartości: y ∈ - 1; jeden;
dana funkcja - para, fragmenty y(-x) = y(x);
funkcja є rosnąca dla x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і odstępy dla x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
funkcja cosinus ma lokalne maksima w punktach 2 π · k; 1 , k ∈ Z oraz minima lokalne w punktach π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
funkcja cosinus jest pomijana, jeśli x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і opula, jeśli x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
punkty załamania mogą być współrzędnymi π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
asymptoty są codziennie.

styczna do funkcji: y = tg(x)

Harmonogram tej funkcji nazywa się styczna.

Spotkanie 20

Tangens funkcji mocy:

obszar zasięgu: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π k , gdzie k ∈ Z (Z to liczby całkowite);
Zachowanie funkcji stycznej na obszarze międzyobszarowym lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Zatem proste x = π 2 + π · k k ∈ Z są pionowymi asymptotami;
funkcja przekształca się w zero, jeśli x = π k dla k ∈ Z (Z jest liczbami całkowitymi nieskończonymi);
zakres wartości: y ∈ - ∞; +∞;
dana funkcja - niesparowane, fragmenty y (- x) = - y (x);
funkcja є rosnąca przy - π 2 + π · k; π 2 + π k, k ∈ Z;
funkcja styczna є zakrzywiona dla x ∈ [π · k; π 2 + π k), k ∈ Z і pęcznieje dla x ∈ (- π 2 + π k; π k], k ∈ Z ;
punkty załamania mogą być współrzędnymi π · k; 0, k Z;

Funkcja cotangensa: y = c t g (x)

Wykres tej funkcji nazywa się cotangentoid .

Spotkanie 21

Siła funkcji cotangensa:

zakres przypisania: x ∈ (π k; π + π k) , gdzie k ∈ Z (Z jest liczbami całkowitymi);

Zachowanie funkcji cotangensa w obszarze międzyobszarowym przypisania lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Zatem linie proste x = π · k k ∈ Z są pionowymi asymptotami;

najmniej dodatni okres: Т = π;
funkcja zwraca się do zera, jeśli x = π 2 + π · k dla k ∈ Z (Z to liczby całkowite nieliczne);
zakres wartości: y ∈ - ∞; +∞;
dana funkcja - niesparowane, fragmenty y (- x) = - y (x);
funkcja є zanika dla x ∈ π · k; π + π k, k € Z;
funkcja cotangens є zakrzywiona dla x ∈ (π · k ;
punkty załamania mogą być współrzędnymi π 2 + π · k; 0, k Z;
pokhili i poziome asymptoty są codziennie.

Odwrotne funkcje trygonometryczne - arcus sinus, arccosinus, arcus tangens i arccotangens. Najczęściej, w związku z obecnością przedrostka „łuk” w nazwie, obracające się funkcje trygonometryczne nazywane są funkcjami łukowymi .

Funkcja arcsine: y \u003d a r c sin (x)

Spotkanie 22

Siła funkcji arcsine:

dana funkcja - niesparowane, fragmenty y (- x) = - y (x);
funkcja arcsine może zagiąć się dla x ∈ 0; 1 i wypukłość dla x ∈ - 1; 0;
punktami przegięcia mogą być współrzędne (0; 0), won - zero funkcji;
asymptoty są codziennie.

Funkcja arcus cosinus: y = a r c cos (x)

Spotkanie 23

Moc funkcji arccosinus:

obszar docelowy: x ∈ - 1; jeden;
zakres wartości: y ∈ 0; π;
podana jest funkcja - typu rozproszonego (ani sparowana, ani niesparowana);
funkcja maleje we wszystkich obszarach;
funkcja arccosinus może zagiąć się dla x ∈ - 1; 0 i wypukłość dla x ∈ 0; jeden;
punkty załamania mogą mieć współrzędną 0; π2;
asymptoty są codziennie.

Funkcja arcus tangens: y = r c t g (x)

Spotkanie 24

Potęga funkcji arcus tangens:

obszar zasięgu: x ∈ - ∞; +∞;
zakres wartości: y ∈ - π 2; π2;
dana funkcja - niesparowane, fragmenty y (- x) = - y (x);
funkcja rośnie we wszystkich obszarach;
funkcja arcus tangens może być wypukła dla x ∈ (- ∞ ; 0 ) i wypukła dla x ∈ [ 0 ; +∞) ;
punkt przegięcia współrzędne maє (0; 0), won w - zero funkcji;
asymptoty poziome - linie proste y \u003d - π 2 dla x → - ∞ і y \u003d π 2 dla x → + ∞ (dla małej asymptoty - cały zielony kolor).

Funkcja cotangensa łuku: y = r c c t g (x)

Spotkanie 25

Potęga funkcji arc tangensa:

obszar zasięgu: x ∈ - ∞; +∞;
zakres wartości: y ∈ (0; π);
tsya funktіya - zagalny wygląd;
funkcja maleje we wszystkich obszarach;
funkcja cotangensa łuku może zagiąć się dla x ∈ [0; + ∞) i wypukłość dla x ∈ (- ∞ ; 0];
punkt załamania może koordynować 0; π2;
asymptoty poziome - linie proste y = π dla x → - ∞ (na fotelu - linia koloru zielonego) і y = 0 dla x → + ∞ .

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

Funkcja liniowa jest funkcją postaci y=kx+b, gdzie x jest niezależne od zmiany, k i b są liczbami.
Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

1. Aby wywołać harmonogram funkcji, potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów, które leżą przed wykresem funkcji. Aby poznać x, musisz wziąć dwie wartości x, zastąpić je równymi funkcjami i obliczyć z nich odpowiednie wartości y.

Na przykład, aby wywołać wykres funkcji y=x+2, ręcznie weź x=0 i x=3, wtedy punkty rzędnych to y=2 i y=3. Punkty A (0; 2) i B (3; 3) są odejmowane. Dlatego musimy wziąć wykres funkcji y= x+2:

2. We wzorze y=kx+b liczbę k nazywamy współczynnikiem proporcjonalności:
jeśli k>0, to funkcja y=kx+b rośnie
yakscho k
Współczynnik b przedstawia zastosowany wykres funkcji powietrza osi OY:
Jeśli b>0, to wykres funkcji y=kx+b wyjdzie poza wykres funkcji y=kx, aby załamać się na b jeden w górę osi OY
yakscho b
Mały obrazek poniżej przedstawia wykresy funkcji y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Ważne jest, aby wszystkie te funkcje miały współczynnik k większe od zera ta funkcja to rozwój. Co więcej, im większa wartość k, tym bardziej dopasowuje cięcie na wprost do dodatniej linii prostej na osi OX.

Dla wszystkich funkcji b=3 - i możliwe, że wykresy zachodzą na wszystkie OY w punktach (0;3)

Spójrzmy teraz na wykresy funkcji y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Tym razem wszystkie funkcje mają współczynnik k mniej niż zero ta funkcja zapadać. Współczynnik b = 3, a wykresy, podobnie jak w nachyleniu czołowym, zmieniają wszystkie OY w punktach (0; 3)

Spójrzmy na wykresy funkcji y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Teraz wszystkie równe funkcje mają współczynnik k równy 2. Wzięliśmy trzy równoległe linie.

Współczynniki Ale b raznі, w wykresach pokrywają się wszystkie OY w różnych punktach:
Wykres funkcji y=2x+3 (b=3) przesuwa wszystkie OY w punktach (0;3)
Wykres funkcji y=2x (b=0) zmienia całą OY w punkcie (0;0) – kolbie współrzędnych.
Wykres funkcji y=2x-3 (b=-3) przesuwa wszystkie OY w punktach (0;-3)

Również, ponieważ znamy znaki współczynników k i b, możemy od razu ujawnić, jakby patrząc na wykres funkcji y=kx+b.
Yakscho k 0

Yakscho k>0 i b>0, to wykres funkcji y=kx+b może wyglądać tak:

Yakscho k>0 i b, to wykres funkcji y=kx+b może wyglądać tak:

Yakscho k, to wykres funkcji y=kx+b może wyglądać tak:

Yakscho k=0, wtedy funkcja y=kx+b przekształca się w funkcję y=b i wykres może wyglądać tak:

Rzędne wszystkich punktów wykresu funkcji y=b b=0, Następnie wykres funkcji y = kx (bezpośrednia proporcjonalność) przechodzi przez kolbę współrzędnych:

3. Okremo istotny jest harmonogram wyrównania x = a. Wykres tego ustawienia jest linią prostą, równoległą do osi OY, ze wszystkimi punktami, które mogą być odciętą x=a.

Na przykład harmonogram wyrównania x=3 wygląda tak:
Szacunek! Jeżeli x=a nie jest funkcją, to tej jednej wartości argumentu przypisywane są różne wartości funkcji, które nie pasują do przypisanej funkcji.

4. Równoległość Umova dwóch linii prostych:

Wykres funkcji y=k 1 x+b 1 równolegle do wykresu funkcji y=k 2 x+b 2 ale k 1 =k 2

5. Prostopadłość Umov dwóch linii prostych:

Wykres funkcji y=k 1 x+b 1 jest prostopadły do wykresu funkcji y=k 2 x+b 2 albo k 1 *k 2 =-1 albo k 1 =-1/k 2

6. Krapki peretina funkcja graficzna y=kx+b z osiami współrzędnych.

Życzę ci OY. Odcięta dowolnego punktu leżącego na osi OY jest równa zeru. Do tego, aby poznać punkt przecięcia z prostej OY, konieczne jest w równej funkcji zamiany x ustawić zero. Odejmij y=b. Oznacza to, że punkt prostej z linii OY ma współrzędne (0; b).

Z vіssyu OH: Rzędna dowolnego punktu leżącego na osi OX, do zera. W tym celu, aby poznać punkt przecięcia od prostej OX, należy w równej funkcji zamiany y podstawić zero. Zabierz 0=kx+b. Zvіdsi x=-b/k. Tobdo punktu linii od linii OX może koordynować (-b / k; 0):

Podstawowe funkcje i grafika

Prosty proporcjonalność. Funkcja liniowa.

Proporcja pleców. Hiperboliczny.

funkcja kwadratowa. Parabola kwadratowa.

Funkcja kroku. Funkcja wyświetlania.

funkcja logarytmiczna. Funkcje trygonometryczne.

Zwróć funkcje trygonometryczne.

1.	Wartości proporcjonalne. Jak zmienić takі x prosty proporcjonalny, to nieaktualność funkcjonalna między nimi wyraża się równaniem: tak = k x , de k- Stała wartość ( współczynnik proporcjonalności). Harmonogram prosty proporcjonalność- Linia prosta przechodząca przez kolbę współrzędnych X kut, jakiś tangens k:tan= k(Rys.8). Dlatego współczynnik proporcjonalności jest również nazywany współczynnik cięcia. Rysunek 8 przedstawia trzy wykresy dla k = 1/3, k= 1 ta k = 3 .
2.	Funkcja liniowa. Jak zmienić takі x po'yazanі rivnannyam 1. krok: Topór + By = C , weź jeden z numerów A lub B nie równe zeru, to zgodnie z harmonogramem linia prosta. Yakscho C= 0, nie przejdzie przez kolbę współrzędnych, w przeciwnym razie - nie ma mowy. Wykresy funkcji liniowych dla różnych kombinacji A,B,C pokazano na rys.9.
3.	Zvorotny proporcjonalność. Jak zmienić takі x plecy proporcjonalny, to nieaktualność funkcjonalna między nimi wyraża się równaniem: tak = k / x , de k- Stała wartość. Wykres proporcjonalności zdrowia hiperbola (Rys.10). Ma krzywe dwie igły. Hiperbola pojawia się, gdy okrągły stożek jest przekształcany przez płaszczyznę (około końca obwodu boskiej sekcji „Stożek” w sekcji „Stereometriya”). Jak pokazano na rys. 10, dodatkowe współrzędne punktu hiperboli є wartość jest stała, w naszym przypadku jest to droższe 1. k, co wynika z wyrównania hiperboli: xy = k. Główne cechy i moc hiperboli: Wyznaczony obszar funkcji: x 0, wartość zakresu: tak 0 ; Funkcja jest monotoniczna (zmiany) o x< 0 ja w x > 0, ale nie monotonna z przerwą przez punkt otwarcia x= 0 (pomyśl dlaczego?); Funkcja jest nieograniczona, w tym momencie inna x= 0, niesparowane, nieokresowe; - funkcja null nie może.
4.	Funkcja kwadratowa. Funkcja Tse: tak = topór 2 + bx + c, de a, b, c- szybki, a 0. Najprostszym sposobem może być: b=c= 0 і tak = topór 2. Harmonogram funkcji parabola kwadratowa - krzywa przechodząca przez kolbę współrzędnych (ryc. 11). Parabola skóry może być symetrią OY, tak jak jest nazwane parabola vissyu. Kropka, cętkowane O parabola obejmująca s nazywa się vissyu szczyt paraboli. Harmonogram funkcji tak = topór 2 + bx + c- tezh to kwadratowa parabola tego samego rodzaju co th tak = topór 2 ale її wierzchołek nie leży na kolbie współrzędnych, ale w punkcie o współrzędnych: Kształt rozwinięcia się paraboli kwadratowej w układzie współrzędnych jest całkowicie osadzony w dwóch parametrach: współczynnik a w x 2 że wyróżnik D:D = b 2 – 4AC. Wartości mocy vyplyvayut z analizy pierwiastków równoważności kwadratowej (dział w dzieleniu „Algebra”). Zakres możliwych zagłębień dla paraboli kwadratowej pokazano na rys.12.

Wyobraź sobie, bądź miły, kwadratową parabolę dla vapada a > 0, D > 0 .

Główne cechy i moc paraboli kwadratowej:

Wyznaczony obszar funkcji:  < x+ (tj. x R ) i obszar

wartość: … (proszę, bądź miły, nakarm się!);

Funkcja z głową nie jest monotonna, ale po prawej stronie jest lewoskrętna na wierzchołku

wiesz, jak monotonny;

Funkcja jest nieograniczona, wszędzie bez przerwy, w połączeniu z b = c = 0,

to nie jest okresowe;

- w D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Funkcja kroku. Funkcja Tse: y=ax n, de jakiś- Zostać. Na n= 1 zaakceptowany bezpośredni podział: tak=topór; w n = 2 - parabola kwadratowa; w n = 1 - proporcjonalność zvorotnu lub hiperbola. W tej kolejności funkcje tsі - funkcje okrі vpadki statіchnoї. Wiemy, że krok zerowy jest liczbą, powszechnym typem zera, bardziej jak 1, więc kiedy n= 0 funkcja statyczna jest konwertowana na wartość stałą: tak= a, następnie. її harmonogram - linia prosta, równoległa do osi X, przykryj kolbę współrzędnych (wyjaśnij, bądź miły, dlaczego?). Wszystkie wahania (z a= 1) pokazano na rys. 13 ( n 0) i Rys.14 ( n < 0). Отрицательные значения x nie jest to tutaj przeglądane, ponieważ te same funkcje: Yakscho n- Tsіlі, statіchnі funkії może być kiedy x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n sparowana liczba chi niesparowana. Rysunek 15 pokazuje dwie takie statyczne funkcje: for n= 2 ta n = 3. Na n= 2 Y. Na n= 3 funkcja jest niesparowana, a wykres її jest symetryczny do kolby współrzędnych. Funkcjonować tak = x 3 nazywa się parabola sześcienna. Rysunek 16 przedstawia funkcję. Ta funkcja obraca się do kwadratowej paraboli tak = x 2 , її wykres należy obrócić obracając wykres kwadratowej paraboli wokół dwusiecznej pierwszego cięcia współrzędnych. Spójrzmy na wykres, że jest to funkcja dwuwartościowa (na przykład dodaj znak  przed pierwiastkiem kwadratowym). Takie funkcje nie występują w matematyce elementarnej, dlatego jako funkcję można łatwo nazwać jedną z trzech: górną i dolną.
6.	Insystowa funkcjonować. Funkcjonować tak = a x, de a- Nazywamy się dodatnią liczbą stałą funkcja wyświetlania. Argument x zaakceptować be-yakі dіysnі znaczenie; jak oglądane są wartości funkcji tylko liczby dodatnie, ponieważ w przeciwnym razie możemy mieć bardzo istotną funkcję. Tak, funkcja tak = 81 x może w x= 1/4 różnych wartości: tak = 3, tak = 3, tak = 3 iі tak = 3 i(Zboczeniec bądź miły!). Ale mi jest uważane tylko za znaczenie funkcji tak= 3. Wykresy funkcji wyświetlania dla a= 2 ta a= 1/2 przedstawiono na ryc.17. Śmierdzi przechodzą przez punkt (0, 1). Na a\u003d 1 mil wykres linii prostej, równoległej do osi X, następnie. funkcja jest konwertowana na wartość stałą, równą 1. Gdy a> 1 funkcja wyświetlania rośnie, a przy 0< a < 1 – убывает. Główne cechy i moc funkcji wyświetlania:  < x+ (tj. x R ); obszar wartości: tak> 0 ; Funkcja jest monotoniczna: rośnie co a> 1 i mniej przy 0< a < 1; - funkcja null nie może.
7.	Funkcja logarytmiczna. Funkcjonować tak= log a x, de a- bardziej dodatnia liczba, nie równy 1, zwany logarytmiczny. Tsya funktsiya є zvorotnoy do pozavoї funktsії; її wykres (rys. 18) można obejrzeć obracając wykres funkcji wyświetlania w kierunku dwusiecznej pierwszego cięcia współrzędnych. Główne cechy i moc funkcji logarytmicznej: Wyznaczony obszar funkcji: x> 0, a zakres to:  < tak+ (Tobto. tak R ); Jest to funkcja monotoniczna: rośnie, gdy a> 1 i mniej przy 0< a < 1; Funkcja jest nieograniczona, wszędzie nieprzerwana, nieokresowa; Funkcja ma jedno zero: x = 1.
8.	Funkcje trygonometryczne. Po wyświetleniu monitu funkcji trygonometrycznych wygrywamy radianaświat wygrywa kutiv. Ta sama funkcja tak= grzech x reprezentowany przez wykres (ryc. 19). Nazywa się krzywa Tsya sinusoida. Harmonogram funkcji tak= cos x reprezentacje na ryc.20; jest to również sinusoida, zniesiona w wyniku przesunięcia wykresu tak= grzech x vzdovzh osi X lewa ręka na 2 Z tych wykresów wynika oczywista moc i cechy tych funkcji: Obszar docelowy:  < x+  zakres wartości: -1 tak +1; Funkcje Qi są okresowe: x okres 2; Funkcje wymiany (\| tak\| , wszędzie bez przerwy, nie monotonnie, ale tak zwane interwały monotonia, w środku tych smrodu zachowywać się jak funkcja monotonna (boskie wykresy ryc.19 i ryc.20); Funkcje tworzące anonimowe zera (raport o dzieleniu dziel) „Ustawienie trygonometryczne”). Wykresy funkcji tak= tan xі tak= łóżeczko x pokazano na Rysunku 21 i Rysunku 22 Z wykresów widać, że funkcje te są: okresowe (їх okres , nie otoczony, nie monotonny, ale mogą występować przerwy monotonii (jak?), rozrivnі (jak działają punkty funkcji rozryu mayut ts_?). Region zakres wartości tych funkcji:
9.	Zwróć funkcje trygonometryczne. Mianowanie zwrotu funkcje trygonometryczne ten sam podstawowy autorytet zaszczepiony w podział jednonazwowy w dywizji „Trygonometria”. Dlatego tu się przytulamy tylko z krótkimi kometami, które są zawieszone na ich wykresach, otrimanih obracając wykresy funkcji trygonometrycznych w kierunku dwusiecznej 1. cięcie koordynacyjne.

Funkcje tak= Arcsin x(rys. 23) że tak= Arccos x(Rys.24) bogaty, nieobrzezany; їх obszar oznaczenia, w którym wartość obszaru jest jasna: 1 x+1 ta  < tak+. Oskіlki і funkcje bogato znaczące, nie

są uwzględniane w elementarnej matematyce, jak obracanie funkcji trygonometrycznych, brane są pod uwagę ich główne wartości: tak= arcsin xі tak= arccos x; Ich wykresy są widoczne na rys. 23 i rys. 24 jako pogrubione linie.

Funkcje tak= arcsin xі tak= arccos x kierować się ofensywnymi cechami i siłą:

Obie funkcje mają ten sam zakres: -1 x +1 ;

їх obszary znaczeniowe: /2 tak/2 dla tak= arcsin xże 0 tak dla tak= arccos x;

(tak= arcsin x- Funkcja wzrostu; tak= arccos x- spadna);

Funkcja skóry może wynosić jedno zero ( x= 0 dla funkcji tak= arcsin xі

x= 1 dla funkcji tak= arccos x).

Funkcje tak= Arktan x(rys. 25) że tak= Arccot x (rys.26) - bogate, niewyobrażalne funkcje; їх obszar oznaczenia:  x+. ні wartości głowy tak= arctan xі tak= arccot x są postrzegane jako rekurencyjne funkcje trygonometryczne; Ich wykresy są widoczne na ryc. 25 i ryc. 26 z pogrubionymi igłami.

Funkcje tak= arctan xі tak= arccot x może mieć takie cechy i moc:

Obie funkcje mają ten sam zakres:  x + ;

їх obszary znaczeniowe: /2 <tak < /2 для tak= arctan xże 0< tak < для tak= arccos x;

Funkcje substytucyjne, nieokresowe, bezprzerwowe i monotonne

(tak= arctan x- Funkcja wzrostu; tak= arccot x- spadna);

Tylko funkcja tak= arctan x ma pojedyncze zero ( x = 0);

funkcjonować tak = arccot x nie ma zer.