Często przedstawiciele jednego gatunku (populacji) żyją z przedstawicielami innego gatunku.

Model Lotki-Volterri jest modelem wzajemnego podporządkowania dwóch populacji ksztaltowanej „chałpie-ofiarie”.

Wcześniej model „hizhak-ofiara” został opracowany przez A. Lotkoya w 1925 roku jako zwycięzca w celu opisania dynamiki oddziałujących populacji biologicznych. W 1926 r., niezależnie od Lotki, analogiczne (wcześniej składane) modele opracował włoski matematyk V. Volterra, który dogłębnie badając problemy ekologiczne położył podwaliny pod matematyczną teorię chorób biologicznych, czyli t.z. ekologia matematyczna.

W postaci matematycznej system równości może wyglądać tak:

gdzie x to liczba ofiar, y to liczba chat, t to godzina, α, β, γ, δ to współczynniki umożliwiające interakcję między populacjami.

Stwierdzenie problemu

Możemy przyjrzeć się zamkniętej przestrzeni, w której znajdują się dwie populacje – trawożercy („ofiary”) i chaty. Ważne jest, aby te stworzenia nie były importowane i nie importowane, i aby to wystarczyło stworzeniom trawożernym. Todi w równym stopniu zmieni liczbę ofiar (tylko ofiary) w przyszłości zobaczę:

de $α$ - współczynnik populacji ofiar,

$x$ – liczebność populacji ofiar,

$ \ frac (dx) (dt) $ - Wzrost populacji ofiar.

Jeśli chaty nie plują, smród może umrzeć, odtąd równą liczbie chat (tilki khyzhakiv) w przyszłości będę wyglądać:

De $γ$ to współczynnik utraty chat,

$y$ - wielkość populacji chyzhakiwa,

$ \ frac (dy) (Dt) $ - Shvidkіst wzrost populacji khizakіv.

Podczas hodowli hizhakiv, które ofiary (częstotliwość zustrіch jest wprost proporcjonalna do produkcji), klatki zmniejszają ofiary o współczynnik, huzaki siedzące mogą produkować potomstwo ze współczynnikiem. W tym rankingu system dorównuje modelowi, w przyszłości zobaczę:

Rozwiązywanie problemów

Będziemy stymulować matematyczny model współżycia dwóch populacji biologicznych na kształcie „chata-ofiara”.

Niech dwie populacje biologiczne żyją jednocześnie w odizolowanym środowisku. Środkowa jest nieruchoma i bezpieczna dla niezobowiązujących kilkostów ze wszystkim, co niezbędne do życia, jednym z rodzajów jest poświęcenie. Drugi rodzaj - chata - również tkwi w nieruchomych umysłach, ale zjada tylko ofiary. Ofiarami mogą być koty, wilki, szczupaki, lisy, a ofiarami kurczęta, zające, karasie, niedźwiedzie.

Do śpiewania przyglądamy się roli hizhakiv - koty i roli ofiar - kurczaków.

Otzhe, pal te koty, aby mieszkały w pobliżu pustej odosobnionej przestrzeni - podwórka gospodarskiego. Środkowe miejsce zajmują kurczaki do jedzenia w nierodzinnych kilkostach, a koty jedzą mniej niż kurczaki. Znacząco przez

$x$ - liczba kurczaków,

$y$ - liczba kotów.

Z roku na rok zmienia się liczba kur i kotów, ale można również używać $x$ i $y$ z nieprzerwanymi funkcjami w godzinie t. Nazywamy parę liczb $x, y) obozem modelu.

Wiemy, jak zmienia się model $(x, y).

Spójrzmy na $\frac(dx)(dt)$ - zmień liczbę kurczaków.

Jeśli nie ma kotów, to liczba kurczaków rośnie i jest więcej kurczaków. Proszę zwrócić uwagę na rodowód:

$\frac(dx)(dt) a_1 x$,

$a_1$ to współczynnik, który z mniejszym prawdopodobieństwem będzie zależeć od życia kurcząt, ich naturalnej śmiertelności i narodowości.

$\frac(dy)(dt)$ – zmień liczbę kotów (np. nie ma kurczaków) do wpłaty na liczbę kotów y.

Kurcząt już nie ma, zmienia się liczba kotów (nie mają) i smród zamiera. Proszę zwrócić uwagę na rodowód:

$\frac(dy)(dt) - a_2 y $.

W ekosystemie liczba zmian liczby gatunków skóry jest również proporcjonalna do liczby osobników, ale ze współczynnikiem, który powinien być zdeponowany w liczbie osobników innego gatunku. Tak więc dla kurczaków współczynnik zmienia się wraz ze wzrostem liczby kotów, a dla kotów rośnie wraz ze wzrostem liczby kurczaków. Nieświeżość Vvazhatimemo jest również liniowa. Następnie odejmujemy układ różniczkowy równy:

Ten system nazywa się modelem Volterra-Lotka.

a1, a2, b1, b2 - współczynniki numeryczne, które nazywamy parametrami modelu.

Podobnie jak Bachimo, charakter zmiany stanie się modelem (x, y) zależnym od wartości parametrów. Zmieniając zadane parametry i zmieniając układ tego samego modelu, możliwe jest zachowanie prawidłowości zmiany układu ekologicznego.

Za pomocą programu MATLAB system Lotka-Volterra jest odwrócony w następujący sposób:

Na ryc. 1 przedstawia rozwiązanie systemu. Odłogiem w głowach kolb decyzja jest inna, dlatego podane są różne kolory trajektorii.

Na ryc. 2 reprezentacje samego rozwiązania, ale z korektą osi godziny t (tak, aby czas odłogowania był strzeżony).

13.4.2. Produkcja modeli Tace - Volterri do systemów, które sumują się do różnych widoków

Ekolodzy powinni być świadomi wzajemnych zależności między poziomami podatności systemu na fałdowanie a jego dynamicznym zachowaniem. Sokrema, bardzo interesująca jest liczba gatunków, czy system jest stabilny czy mniej stabilny, a liczba gatunków rośnie i będzie dla niego charakterystyczna intensywność oddziaływań międzygatunkowych. Podobne problemy omówiono bardziej szczegółowo w rozd. 13,5; natychmiast połączył się z analizą zaproponowanego przez Meema i zmodyfikowanej modyfikacji modelu Lotki-Volterri.

Dla systemu N rodzaje ofiar N typy chat przez analogię z równaniami (13,9) i (13,10) można zapisać

(13.25)

de n 1 ,…, n N - liczba populacji N widząc ofiary i m 1 ,…, m N - liczba populacji N Widziałem chaty. Niech α będzie macierzą z elementami α ij, β - macierz z elementami β ij a - wektor z elementami a i, a b jest wektorem elementów b і . To samo w układzie, który jest opisany równaniem (13.25), liczba populacji na stacji stacjonarnej n 1 s ,…, n Ns , m 1 s ,…, m Ns może zadowolić umysł

(13.26)

de n s i m s - wektory z elementami n jestі m jest oczywiście.

Jak spróbować ocenić macierz snu 2N X2 N dla danego systemu wynik można przedstawić w następujący sposób:

(13.27)

a elementy 0 (13.27) oznaczają macierze zerowe N X N. Tsіkavі vіdomosti o stabilności systemu można przyjąć na podstawie ofensywnych formuł algebry macierzowej. Dla wystarczającej macierzy C (q X q)

de i- poprawna wartość C. Skalowania macierzy A w przypadku (11.40) są równe zeru, to równa (13.29) jest wyraźna

Shodo najlepszych znaczeń λ i , potem zgrzytają dźwięki dwóch możliwości. W pierwszej kolejności mogą sumować się do zera lub do par otrzymanych liczb oczywistych. Jeśli chcesz jakieś targi visnovok dla modelu kolby Lotka - Volterri typ jedna chata - jedna ofiara N. Inna możliwość polega na tym, że najmniejsza część wartości mocy A jest w postaci c+id, -c-ID przy c≠0. W tym nastroju jest jedna rzecz mniej ważna, może mieć pozytywną część aktywną, a obóz stacjonarny nie jest stabilny. Później, w szalony sposób, zgodnie z wynikami tej analizy, zaostrzenie systemu chata-ofiara może prowadzić do destabilizacji.

13.4.3. Inne modele systemu jeden rodzaj chaty - jeden rodzaj zdobyczy

Praca Lotki i Volterri stała się impulsem do szeregu badań, w wyniku których zaproponowano w pełni rozwiniętą wersję modelu. Jeden z krótko żyjących modeli Lotki - Volterri nie jest ważny, aby pamiętać, jak równy (13,9); zgіdno s stannіm, bez ofiar ludności hijakіv n 1 czas wzrostu jest nieograniczony przez prawo wykładnicze.

RYŻ.13.12. Odłogi wirującej szwecji wzrostu populacji hizaka (w najprostszymColpoda steinii) w śmiertelnym gąszczu populacji ofiar (bakteriaЄ. coli ). Ugór w przybliżeniu liniowy, reprezentowany jest przez maleńki, co daje możliwość przyznania, że ​​szybkość wzrostu populacji opisuje typ Mono. [ Wstatti: Rgareg G. Garver J. W ., Kultura masowa pierwotniakówColpoda steinii, Biotechnologia.Bioeng, 8, 287 (1966).

Widać ruchliwość takiej, świadomie, nierealistycznej sytuacji, vrakhovuychi, że ofiara wykorzystuje podłoże, które otacza wzrost populacji.

Ponadto w niektórych robotach eksperymentalnych wykazano, że wielkość populacji zwierząt domowych w budce nie zmienia się proporcjonalnie do liczby populacji ofiar, jak przyjęto w kolbowej wersji modelu Lotki-Volterriego. Jak pokazano na ryc. 13.12, we współrzędnych Lineover - Burke przedstawiono wyprowadzenie danych o wzroście populacji w systemie najprostszych bakterii, często obserwowanych we wzroście populacji klatki, aby lepiej opisać wzrost populacji typu Mono:

(13.31)

Jak sprawdzić wyznaczone wyjaśnienia i koszt współczynników ekonomicznych Y sі Y p Jeżeli efektywność wzrostu populacji ofiary na podłożu i populacji chaty na ofierze jest uzasadniona, to dla układu w chemostacie należy przyjąć poziom zaawansowania, który opisuje liczebność populacji chaty i ofiary:

(13.34)

Tsuchi i inni wykazali, że model ten jest dobrym opisem większości danych eksperymentalnych dotyczących głównych cech populacji intruzów typu hizhak (ameba) Dictyostelium discoideum)- zdobycz (bakteria Є.coli). Krzywe pokazane na ryc. 13.13.

Tabela 13.5. Wartości parametrów w modelu chata-ofiara wynoszą [Riven (13.32) - (13.34)] a

Model nie tylko przekazuje liczbę populacji w systemie do zadań umysłów ( D\u003d 0,0625 rok -1, s 0 = 0,5 mg/ml), ale dobrze jest też poznać doświadczalnie okres i amplitudę wszystkich trzech zmian.

Przyjrzyjmy się teraz kolejnemu małemu modelowi Lotki – Volterri. Wiemy już, że model Lotki-Volterri został przeniesiony do kolb. Jeśli spojrzeć na ten fakt z innej perspektywy (ryc. 13.14, a), gwiazdy wibrują, co wydaje się być prawdą przed teorią zmętnienia, a okres i amplituda pękania mogą się zmieniać. Z fizycznego spojrzenia, takie zjawisko, nazywane przez innych matematyków miękkie colivany, najmniej. Oznacza to, że mały system może zmienić swoją dynamiczną charakterystykę na godzinę odległego systemu.

Regularne wahania liczby populacji w naturalnych umysłach, gdzie często występują niewielkie zmiany w tym chi inshiy bіk, wskazują, że naturalne wahania populacji ofiar i chat są niższe niż model Lotki-Volterri.

RYŻ. 13.13. Rozrakhunkov (-) i eksperymentalnie znane (O) dane dla systemu hizhak-ofiara (D. discoideum - E. coli ) w hodowli ciągłej (25°С, D=0,0625 rok -1 )- [3 statystyki: T suchiya N.M. i in., J. Bacteriol., 110, 1147 (1972).

Stabilność kolivane jest jednak przenoszona na model, jak opisano równaniem (13.32) - (13.34). Wskazał na ryc. 13.14.6 dane pokazują, że pękanie, które jest przenoszone na ten model, nie ma postaci kolb. Takie wezwanie, szeregi mocne uderzenia, lub pętla graniczna, bardziej wskazujące na rzeczywiste zachowanie systemu hizhak-ofiara, niższe m'yakі kolyvannya, vіdpovіdalnі іvnyanі rivnyan Lotka-Volterri.

Krupon 13.3. Dyskryminacja i doskonalenie modeli na drodze analizy stateczności. Przez długi czas roboty Tsuchnya, Fredrnson i spivrobitniks próbowały rozróżnić modele matematyczne opisujące układy chaty – ofiary, ze ścieżką do analizy stabilności.

RYŻ. 13.14. Podobieństwo cech modeli opisujących pękanienumergęstość zaludnienia w systemie hizhak - zdobycz;a - model tacki -Wolateri, które przenoszą miękką colivannya, charakter takich depozytów wnapoczątkowe umysły;b - model oparty na rivnyan(13.32) - (13.34), dodatekopóźnione zhorstki colivannya, których natura leży w postaci kolb umysłów.Wtsikh rozrachunkah w punktach A " liczba populacji hizhakn gertotrzymujesz nowe wartości. [3 statystyki:Tsuchiya N.M. i in., J. Bakteriol.,110, 1147 (1972).]

Badania te przyjęły Kenala* jako podstawę do pracy, która wykazała, że ​​system różnych stacji stacjonarnych:

* SapayR.Rjakiś Analiza modeli opisujących interakcję drapieżnik-ofiara, Biotech. Bioeng.12, 353 (1970).

Zewnętrzna wiwiacja:

Wiwitacja populacji hizaków:

Przeżycie populacji ofiary i chaty:

Parametry kinetyczne systemu określają, co można zrobić w tych umysłach (dla Dі s 0) korzystać z więcej niż jednej z tych stacji stacjonarnych.

Podobnie, zgodnie z parametrami systemu, stabilność depozytu її. Najpierw zanurz się w dyskusję na temat analizy wytrzymałości, szybko skróć jedną zmianę w równych (13,32) - (13,34), po skurczeniu się z niektórymi ich osobliwościami. Riwniania (13.34) w dniu Y p, mnożąc równe (13.32) Y s a potem klaskaliśmy razem dwa wersety i równe (13.33), bierzemy

Tutaj, aż do lewej części rzeki, dodaje się Viraz d(-Y s s 0)/dt, równy zero; w ten sposób osiąga się tożsamość virazu, który ma stanąć za kajdanami. Przyjmuje się całkowanie Dali równe (13P3.1)

(13P3.2)

Również, jeśli chodzi o początek funkcjonowania systemu, mija godzina, że ​​3-5 razy przestawiam godzinę poranną na chemostat, potem z garni

(13P3.3)

Aby uzyskać dodatkową pomoc (13ПЗ.3), możesz oszczędzić na przykład jedną z nieużytków s(t), w równych (13.33) i (13.34). Spróbujmy znaleźć rozvyazannya naszej zavdannya w przestrzeni dwóch światów i pożądliwych równości (13ПЗ.З).

Jednym ze sposobów poprawy istotnych cech dynamicznych układu w chemostacie jest: schemat roboczy, podobny do pokazanego na ryc. 13P3.1. Tutaj dla tych wartości stałych kinetycznych na płaszczyźnie s 0 1/D wyznaczone obszary o różnej charakterystyce. A więc, jako punkt, co dajemy pracującym umysłom ( s 0 ta D), na przykład roztashovuetsya w regionie a, następnie jest to tylko pierwszy stacjonarny obóz Kanału, który jest uważany za asymptotyczną stabilność i mimikrę populacji jak hizaków i ofiar.

Dla pomocy przyjrzeliśmy się już metodom analizy stateczności lokalnej, możemy pokazać ile za widoczność młyna stacjonarnego dla innych młynów stacjonarnych aі b na zawsze nie do powstrzymania. Trzy górne regiony na ryc. 13P3.1 wyróżniają się wartościami, które charakteryzują obóz stacjonarny w.

RYŻ. 13P3.1. Są to dynamiczne cechy modelu systemu hizhak – ofiara [równe (13.32) – (13.34)] w umyśle wchemostat. Trzy artykuły: Tsuc/itJ/a Ya.M. ta w., J. Bakteriol., 110, 1147 (1972).]

W regionie w 1 zniewaga dla wysokiej wartości opinii i negatywnej; tutaj jest obóz stacjonarny wє stabilny punkt węzła (zgadnij rys. 13.1). W myślach o tym, co mówią regiony w 2, młyn stacjonarny wє stabilny punkt centralny. Region w Z vіdpovidaє niestabilny obóz stacjonarny w.

W pozostałej części regionu oczywiście nie sam zі obozy stacjonarne nie są stіykostі. Ten dylemat można przezwyciężyć za pomocą twierdzenia Poincaré-Bendixsona, które dowodzi, że winę ponosi typ cyklu brzegowego. Przedstawione twierdzenie może jednak pozostawać w stagnacji tylko w cichych sytuacjach, jeśli można dokonać obraźliwych, niezależnych zmian na dolnej i górnej granicy (na każdym tyłku umysłu jest zwycięski) i jeśli model może mieć tylko dwie niezależne zmiany. Niektóre roboty, związane z pęknięciami w układach chemicznych i biologicznych, często nie szanowały środowiska (szczegóły żywienia są badane w robocie).

Jeśli chcesz wziąć pod uwagę wybrane wartości parametrów kinetycznych i położenie krzywych granicznych na ryc. ІЗП3.1 będzie łatwo zmieniany, rażąco wyglądające schematy robocze zostaną pozbawione takich samych dla jakichkolwiek adekwatnych parametrów systemu.

RYŻ. 13P3.2. Dynamika glukozy lancetowej gruba.A. winelandii - T. pyriformis na chemostacie:a - stіykі kolivannya, strażnik scho w D=0,169 roku -1 ; b - gaszenie koliwanii, przed którymi chroni się spadek tempa rozroduzanim0,025 roku -1 . [ Wrobota: Jost J.L. i in., J. Bacteriol., 113, 834 (1973).]

W kontekście szczególnego zainteresowania jest jedna szczególność działających diagramów. Dopuszcza się, że przy danej koncentracji żywych mów i godzinie utrimacji powstaje okresowe dławienie się, wtedy ta sama łodyga buczenia będzie strzeżona i przez każdą większą godzinę utrimacji, gdyż koncentracja żywych mów zostanie utracona bez zmiana.

Cel visnovoka nie jest zgodny z wynikami eksperymentalnymi przedstawionymi na ryc. 13P3.2, które odzwierciedlają zachowanie kultury mieszanej Azotobacter vlnelandii najprostszy T. pyriformis na chemostat. Colivannya, które są strzeżone w godzinie dojrzewania 5,9 roku, są szanowane, ponieważ godzina dojrzewania rośnie do 40 lat. Oczywiście model pomocniczy nie może adekwatnie opisać systemu.

RYŻ. .З. Roboczy schemat zmodyfikowanego modelu systemu chemostat-zdobycz, który uwzględnia poziom wzrostu populacji baraków (І5П3,4). [3 roboty: Jost J.L. i in., J. Bakteriol., 113, 834 (1973).]

1 - wychodzić; 2 - pałeczki colivingu; 3- dzieńjeślikąpiel; 4 - Wiwitacja ludności hizaków; 5 - Zewnętrznie vimivannya.

Możesz spróbować ulepszyć model, włączając elementy i strukturę do opisu fizjologii chaty. Można na przykład przyznać, że chatę charakteryzują dwa pośrednie stany fizjologiczne N 2 ’ і N 2 ’’ i postulują ofensywny mechanizm:

Zastosuvshi przed N 2 ’ і N 2 ’’ bliskość quasi-stacjonarnego obozu, usuwamy ofensywny wirus dla rosnącej populacji hizhaków p :

(1ЗП3.4)

Odpowiednia do linii modelu, ponieważ pasuje do typu wyrównania Mono (13.31) (z n 1, znacznie większy K p 1 ta K p 2) tempo wzrostu populacji hizaków zmienia się proporcjonalnie n 1 2 dla populacji o niskiej zdobyczy.

Dzięki temu możliwa jest analiza stabilności zmodyfikowanego modelu systemu w chemostacie, która obejmuje dopasowanie (13P3.4). Na podstawie parametrów kinetycznych określonych sposobem uprawy okresowej kultury mieszanej A. winelandiiі Є.coli, schemat działania bula otrimana, złożony na ryc. 13PZ.Z. Vidpovіdno do danych eksperymentalnych tsі rozrahunki pokazują, że wraz ze zmianą D stiykі kolyvannya prignіchuyutsya. W ten sposób wyniki przyszłych badań eksperymentalnych z teoretyczną analizą stabilności pomogą ujawnić wady jednego modelu matematycznego i ponownie rozważyć adekwatność drugiego, pełniejszego modelu.

Często przedstawiciele jednego gatunku (populacji) żyją z przedstawicielami innego gatunku.

Model Lotki-Volterri jest modelem wzajemnego podporządkowania dwóch populacji ksztaltowanej „chałpie-ofiarie”.

Wcześniej model „hizhak-ofiara” został opracowany przez A. Lotkoya w 1925 roku jako zwycięzca w celu opisania dynamiki oddziałujących populacji biologicznych. W 1926 r., niezależnie od Lotki, analogiczne (wcześniej składane) modele opracował włoski matematyk V. Volterra, który dogłębnie badając problemy ekologiczne położył podwaliny pod matematyczną teorię chorób biologicznych, czyli t.z. ekologia matematyczna.

W postaci matematycznej system równości może wyglądać tak:

gdzie x to liczba ofiar, y to liczba chat, t to godzina, α, β, γ, δ to współczynniki umożliwiające interakcję między populacjami.

Stwierdzenie problemu

Możemy przyjrzeć się zamkniętej przestrzeni, w której znajdują się dwie populacje – trawożercy („ofiary”) i chaty. Ważne jest, aby te stworzenia nie były importowane i nie importowane, i aby to wystarczyło stworzeniom trawożernym. Todi w równym stopniu zmieni liczbę ofiar (tylko ofiary) w przyszłości zobaczę:

de $α$ - współczynnik populacji ofiar,

$x$ – liczebność populacji ofiar,

$ \ frac (dx) (dt) $ - Wzrost populacji ofiar.

Jeśli chaty nie plują, smród może umrzeć, odtąd równą liczbie chat (tilki khyzhakiv) w przyszłości będę wyglądać:

De $γ$ to współczynnik utraty chat,

$y$ - wielkość populacji chyzhakiwa,

$ \ frac (dy) (Dt) $ - Shvidkіst wzrost populacji khizakіv.

Podczas hodowli hizhakiv, które ofiary (częstotliwość zustrіch jest wprost proporcjonalna do produkcji), klatki zmniejszają ofiary o współczynnik, huzaki siedzące mogą produkować potomstwo ze współczynnikiem. W tym rankingu system dorównuje modelowi, w przyszłości zobaczę:

Rozwiązywanie problemów

Będziemy stymulować matematyczny model współżycia dwóch populacji biologicznych na kształcie „chata-ofiara”.

Niech dwie populacje biologiczne żyją jednocześnie w odizolowanym środowisku. Środkowa jest nieruchoma i bezpieczna dla niezobowiązujących kilkostów ze wszystkim, co niezbędne do życia, jednym z rodzajów jest poświęcenie. Drugi rodzaj - chata - również tkwi w nieruchomych umysłach, ale zjada tylko ofiary. Ofiarami mogą być koty, wilki, szczupaki, lisy, a ofiarami kurczęta, zające, karasie, niedźwiedzie.

Do śpiewania przyglądamy się roli hizhakiv - koty i roli ofiar - kurczaków.

Otzhe, pal te koty, aby mieszkały w pobliżu pustej odosobnionej przestrzeni - podwórka gospodarskiego. Środkowe miejsce zajmują kurczaki do jedzenia w nierodzinnych kilkostach, a koty jedzą mniej niż kurczaki. Znacząco przez

$x$ - liczba kurczaków,

$y$ - liczba kotów.

Z roku na rok zmienia się liczba kur i kotów, ale można również używać $x$ i $y$ z nieprzerwanymi funkcjami w godzinie t. Nazywamy parę liczb $x, y) obozem modelu.

Wiemy, jak zmienia się model $(x, y).

Spójrzmy na $\frac(dx)(dt)$ - zmień liczbę kurczaków.

Jeśli nie ma kotów, to liczba kurczaków rośnie i jest więcej kurczaków. Proszę zwrócić uwagę na rodowód:

$\frac(dx)(dt) a_1 x$,

$a_1$ to współczynnik, który z mniejszym prawdopodobieństwem będzie zależeć od życia kurcząt, ich naturalnej śmiertelności i narodowości.

$\frac(dy)(dt)$ – zmień liczbę kotów (np. nie ma kurczaków) do wpłaty na liczbę kotów y.

Kurcząt już nie ma, zmienia się liczba kotów (nie mają) i smród zamiera. Proszę zwrócić uwagę na rodowód:

$\frac(dy)(dt) - a_2 y $.

W ekosystemie liczba zmian liczby gatunków skóry jest również proporcjonalna do liczby osobników, ale ze współczynnikiem, który powinien być zdeponowany w liczbie osobników innego gatunku. Tak więc dla kurczaków współczynnik zmienia się wraz ze wzrostem liczby kotów, a dla kotów rośnie wraz ze wzrostem liczby kurczaków. Nieświeżość Vvazhatimemo jest również liniowa. Następnie odejmujemy układ różniczkowy równy:

Ten system nazywa się modelem Volterra-Lotka.

a1, a2, b1, b2 - współczynniki numeryczne, które nazywamy parametrami modelu.

Podobnie jak Bachimo, charakter zmiany stanie się modelem (x, y) zależnym od wartości parametrów. Zmieniając zadane parametry i zmieniając układ tego samego modelu, możliwe jest zachowanie prawidłowości zmiany układu ekologicznego.

Za pomocą programu MATLAB system Lotka-Volterra jest odwrócony w następujący sposób:

Na ryc. 1 przedstawia rozwiązanie systemu. Odłogiem w głowach kolb decyzja jest inna, dlatego podane są różne kolory trajektorii.

Na ryc. 2 reprezentacje samego rozwiązania, ale z korektą osi godziny t (tak, aby czas odłogowania był strzeżony).

Dynamika populacji jest jedną z gałęzi modelowania matematycznego. Tsіkaviy vіn tim, scho mam określone programy z biologii, ekologii, demografii, ekonomii. Podzieliliśmy є kіlka podstawowych modeli, jeden z nich - model "Khizhak - ofiara" - w tym artykule.

Pierwszym przykładem modelu matematycznej ekologii był model zaproponowany przez V. Volterrę. Spojrzenie na ten sam model wzajemnej relacji między hizakiem a ofiarą.

Przyjrzyjmy się opisowi problemu. Niech zobaczy dwa stworzenia, z których jedno pożera drugie (chaty i ofiary). W takim przypadku dopuszcza się takie dodatki: zasoby żywnościowe ofiary nie są ograniczone, a jednocześnie bez chaty, populacja ofiary rośnie zgodnie z prawem wykładniczym; Chaty i ofiary Soyno zaczynają żyć w nieprzerwanej odległości od siebie, zmieniając liczbę ich populacji, które stają się wzajemnie powiązane. I tutaj, ozzoumilo, widoczny jest wzrost liczby ofiar w populacji chyzhaków, az drugiej strony.

W tym modelu ważne jest, aby wszystkie chaty (i wszystkie ofiary) miały ten sam umysł. W przypadku żywności zasoby ofiar są niedostateczne, a chaty jedzą tylko ofiary. Ofensywne populacje żyją na granicznym terytorium i wchodzą w interakcje z innymi populacjami, a także z innymi codziennymi urzędnikami, zwiększając liczbę populacji.

Sam model matematyczny „hizhak – ofiara” tworzony jest z pary różniczkowych równości, które opisują dynamikę populacji huzaków i ofiar w najprostszym przypadku, gdy jest jedna populacja huzaków i jedna ofiary. Model charakteryzuje się fluktuacjami w rozmieszczeniu obu populacji, ponadto szczytowa liczba hizaków w troczu różni się od szczytowej liczby ofiar. Z tego modelu można zapoznać się z bogatymi praktykami z zakresu dynamiki populacji czy modelowania matematycznego. Jest szeroko dyskutowany i analizowany metodami matematycznymi. Jednak formuły nie zawsze dają oczywiste stwierdzenie dotyczące oczekiwanego procesu.

Należy rozpoznać, podobnie jak w tym modelu, dynamikę populacji pod względem parametrów kolb i skali efektu żywotności i zdrowego oka, ponadto należy to zrobić graficznie, bez wchodzenia w składanie róż . Dla którego na podstawie modelu Volterra powstał program w środku Mathcada14.

Dla modelu cob perevirim na vіdpovіdnіst do prawdziwych umysłów. I do tego możemy zaobserwować pojawienie się depresji, ponieważ w umysłach umysłu tylko jedna populacja jest zajęta. Teoretycznie wykazano, że ze względu na charakter chaty populacja ofiary systematycznie rośnie z godziny na godzinę, a populacja chaty bez ofiary wymiera, co zależy od modelu i rzeczywistej sytuacji ( gdy zadanie jest ustawione).

Odrzućmy wyniki teoretycznie: chaty giną krok po kroku (Mal.1), a liczba ofiar niezmiernie wzrasta (Mal.2).

Rys.1 Zmniejszenie liczby chat na godzinę dla pory dnia ofiary

Rys.2 Liczba ofiar na godzinę na dzień na dzień chat

Jak widać, system ma inny model matematyczny.

Przyjrzyjmy się, jak system działa z różnymi parametrami kolb. Załóżmy, że mamy dwie populacje - lwy i antylopy - chaty i ofiary, oczywiście, oraz gabloty z zadaniami kolb. Wtedy nieuniknione rezultaty (ryc. 3):

Tabela 1. Współczynniki trybu koliwalnego układu

Rys.3 Układ z wartościami parametrów w tabeli 1

Przeanalizujmy dane zaczerpnięte z wykresów. Wraz ze wzrostem populacji kolb antylop spodziewany jest wzrost liczby chat. Ważne jest, że szczyt wzrostu populacji hizaków spodziewany jest później, wraz ze spadkiem populacji ofiar, co potwierdza realne zjawiska i model matematyczny. Rzeczywiście, wzrost liczebności antylop oznacza dla lwów wzrost zasobów pokarmowych, co powoduje wzrost ich liczebności. Dali antylopom aktywnie jedzącym przez lwy nagłą zmianę liczby ofiar, co nie jest zaskakujące, apetyt vrakhovuyuchi chaty, ale raczej częstotliwość chaty zjadającej ofiary. Stopniowe zmniejszanie liczby chat może doprowadzić do sytuacji, w której populacja ofiary pojawi się w umysłach przyjaznych wzrostowi. Wtedy sytuacja się powtarza z okresu śpiewania. Robimo visnovok, który Twoim zdaniem nie nadaje się do harmonijnego rozwoju osobników, odłamki powodują gwałtowny spadek populacji ofiar i gwałtowny wzrost obu populacji.

Dla zachowania pozostałych parametrów załóżmy teraz liczbę szałasów równą 200 osobnikom (ryc. 4).

Tabela 2. Współczynniki trybu koliwalnego układu

Rys.4 Układ z wartościami parametrów w tabeli 2

Teraz colivannya systemu jest naturalna. Dla tsikh niech system іsnuіє tsіlkom harmonijnie, іdsutnі rіzkі rostannya i zmenshennya kolkostі liczba obu populacji. Robimo wisnovok, który, biorąc pod uwagę dane parametry obrażających populacji, rozwija się, aby równomiernie rosnąć, aby mieszkać na jednym terytorium.

Biorąc pod uwagę liczbę chat, liczba ofiar wynosi 100 osobników, liczba ofiar wynosi 200 dla zachowania innych parametrów (ryc. 5).

Tabela 3. Współczynniki trybu koliwalnego układu

Rys.5 Układ z wartościami parametrów w tabeli 3

Czasami sytuacja jest zbliżona do pierwszej badanej sytuacji. Z poważaniem, dzięki wzajemnemu wzrostowi populacji, ofiary stały się gładkie, a populacja chaty zostaje uratowana bez ofiar o najwyższej wartości liczbowej. Robimo visnovok, który przy bliskim narodzinach jednej populacji do następnej będzie rósł bardziej harmonijnie, ponieważ specyficzna wielkość kolb populacji jest duża.

Przyjrzyjmy się zmianie pozostałych parametrów systemu. Niech kolby liczb dają inną perspektywę. Większy współczynnik reprodukcji ofiar (ryc. 6).

Tabela 4. Współczynniki trybu koliwalnego układu

Rys.6 Układ z wartościami parametrów w tabeli 4

Wynik Porіvnyaєmo tsey jest wynikiem, otrimaniem z innego vpadku. A oto kolejny wzrost ofiary. Jeśli chodzi o hizhak, ofiara zachowuje się jak nowicjusz, co tłumaczy się niską liczbą populacji. Dla takiej współzależności zniewagi wobec populacji osiągają szczyt swoich wartości, bogato większe, w inny sposób niższe.

Teraz zwiększamy współczynnik wzrostu chizaków (Mal.7).

Tabela 5. Współczynniki trybu koliwalnego układu

Rys.7 Układ z wartościami parametrów w tabeli 5

W podobny sposób porównujemy wyniki. I tutaj krytyczna charakterystyka systemu pozostaje niezmieniona, zmieniając okres. W rezultacie okres ten uległ skróceniu, co można tłumaczyć niewielkimi zmianami w populacji hizaka bez ofiar.

І, nareshti, zmień współczynnik interakcji międzygatunkowej. Aby zwiększyć częstotliwość chat zjadających ofiary na kolbie:

Tabela 6. Współczynniki trybu koliwalnego układu

Rys.8 Układ z wartościami parametrów w tabeli 6

Odłamki hizaków częściej zjadają zdobycz, maksymalna liczba pierwszej populacji wzrosła w stosunku do kolejnej depresji i zmieniła różnicę między maksymalną i minimalną wartością liczby populacji. Okres kolizji systemu dobiegł końca.

І teraz zmienimy częstotliwość jedzenia chatek przez ofiary:

Tabela 7. Współczynniki trybu koliwalnego układu

Rys.9 Układ z wartościami parametrów w tabeli 7

Teraz chata zjada ofiarę wolniej, zmieniła się maksymalna liczebność pierwszej populacji względem drugiej, a maksymalna liczebność populacji ofiary wzrosła, co więcej, dziesięciokrotnie. Oczywiste jest, że dla tych umysłów populacja ofiary może mieć dużą swobodę w sensie reprodukcji, nawet jeśli klatki stają się coraz mniejsze, aby się nasycić. Zmieniła się również różnica między maksymalnymi i minimalnymi wartościami liczby populacji.

Przy próbie modelowania procesów składania w przyrodzie potrzebna jest podatność, więc cóż innego można winić za poprawność modelu. Oczywiście proces modelowania jest uproszczony przez sam proces, a nie przez inne szczegóły wierszy. Z drugiej strony nie bez powodu proszę zbytnio wybaczyć modelce, wymuszając jednocześnie z najważniejszych wizerunków wyglądu. Aby uniknąć takich sytuacji, przed modelowaniem należy zapoznać się z tematyką, mieć model, uzupełnić wszystkie cechy i parametry, ale co ważniejsze, zobaczyć te liczby, które są najbardziej znaczące. Za proces odpowiedzialny jest opis matki natury, intuicyjnie rozumiejący, który przebiega w głównych punktach z modelu teoretycznego.

Model tego robota został sprawdzony z niewielką liczbą niedociągnięć. Na przykład usprawiedliwienie braku środków dla ofiary, obecność czynników zewnętrznych, które zwiększają śmiertelność obu gatunków. Wąsy nie odzwierciedlają rzeczywistej sytuacji. Jednak niezależnie od wszystkich mankamentów model ma szeroki zakres w bogatych obszarach, inspirując odległe poglądy na ekologię. Czy możesz nam wyjaśnić, że system „chata-ofiara” daje bardziej ogólne stwierdzenie na temat interakcji gatunków. Interakcje z najważniejszym medium i innymi czynnikami można opisać innymi modelami i analizować w małżeństwie.

W zamian za rodzaj „hizhak-ofiary” – źródło ryżu różnych rodzajów życia, które mają dwie strony, które ze sobą współgrają. Model ten może dotyczyć ekologii, ekonomii, polityki i innych dziedzin działalności. Na przykład jeden z bezpośrednich sposobów, w jaki gospodarka jest zainteresowana, analiza rynku praktyki, z oczywistym doskonaleniem potencjalnych praktyków i wolnych miejsc pracy. Temat ten był bulą kontynuacji prac nad modelem „hiżaka-ofiara”.

Więcej w latach 20. A. Lotka, a trzy lata później, niezależnie od V. Voltaire'a, propagowali modele matematyczne opisujące charakter liczby chat i ofiar.

Model składa się z dwóch elementów:

C - liczba chat; N to liczba ofiar;

Załóżmy, że liczba hizaków w populacji ofiary rośnie wykładniczo: dN/dt = rN. Ale ofiary są zmniejszane przez chaty z szybkością, na co wskazuje częstotliwość chat z ofiarą, a częstotliwość chat wzrasta wraz ze wzrostem liczby chaty (Z) i ofiary (N) . Dokładniej, liczba schwytanych i skutecznie schwytanych ofiar jest przestarzała pod względem skuteczności, z jaką chatą można poznać i złapać ofiarę, tobto. vіd а' - "skuteczność wyszukiwania" lub "częstotliwość ataków". Wliczając częstość szczurów „udanych” klatkowych z ofiarą i, również częstość punktacji ofiar jest korzystniejsza niż a’CN i zagalom: dN/dt = rN – a’CN (1*).

Bez jeża ludzie z chaty spędzają przy wazonie, głodują i giną. Załóżmy, że w modelu, jak widać, liczba populacji baraków bez uli po wygłodzeniu zmieni się wykładniczo: dC/dt = - qC, gdzie q to śmiertelność. Śmierć jest rekompensowana przez ludzi z nowych ludów szwedzkich, jak na przykład vvazhayut w tym modelu, leżą w dwóch środowiskach:

1) szybkość odzyskiwania їzhі, a'CN;

2) wydajność (f), dla której przekształca się w potomstwo chaty.

W tym narodowość hizaków to stare fa'CN i zagal: dC/dt = fa'CN – qC (2*). Rivnyannia 1* i 2* tworząc model Lotka-Voltaire. Autorytetność tego modelu można rozszerzyć, wywołać linie izoklini, które pokazują stałą liczbę populacji, za pomocą takiej izokliny określa się zachowanie wzajemnie zmieniających się populacji chaty-ofiary.

Jaka jest wartość populacji ofiar: dN/dt = 0, rN = a'CN, chi C = r/a'. Ponieważ r i a’ = const, linia będzie izokliną ofiary, dla której wartość będzie stała:

Przy małej grubości szałasu (C) liczba ofiar (N) wzrasta, ale z drugiej strony maleje.

Tak jest w przypadku huzhakіv (Riven 2*) z dC/dt = 0, fa'CN = qC lub N = q/fa'. linia będzie ostrą linią dla chaty, będzie stała: dla wysokiej ofiary liczba populacji chaty rośnie, a dla niskiej maleje.

Їx liczba osób zna nieobrzezane pov'yazanih colivans. Jeśli liczba ofiar jest duża, to liczba hizaków rośnie, co oznacza wzrost presji hizaków na populację ofiary i zmianę liczebności. Tse obniża się na wyciągnięcie ręki do utrzymania khizhanków w їzhі, które spadają w ich liczbie, co wzywa do osłabienia prasy khyzhakiv i zwiększenia liczby ofiar, co ponownie zwiększy populację khyzhaków do ponownego wzrostu.

Populacje nie powinny być odgradzane przez długi czas tym samym cyklem kolonizacji aż do tej godziny, dopóki taka stara powódź nie zmieni swojej liczebności, po czym populacje utworzą nowe cykle niekoliwanów. W rzeczywistości, punkt pośredni ciągle się zmienia, a liczba populacji ciągle się zmienia. Aby cykle colivingu, jakby w celu rabowania populacji, były regularne, smród może być jednak stabilny: w rezultacie smród zmienia liczbę populacji, smród jest spowodowany pragnacją cyklu kolb. Takie cykle nazywamy stabilnymi cyklami brzegowymi.

Model Lotki-Voltaire'a pozwala pokazać główny trend w liczebności baraków-ofiar, który przejawia się zmiennością liczebności w populacji ofiar, której towarzyszą zmiany liczebności w populacji baraków. Głównym mechanizmem takich koliwan jest opóźnienie godziny, stanę się potężną sukcesją od dużej liczby ofiar do dużej liczby chat, następnie do małej liczby ofiar, tej małej liczby chat, do dużej liczby ofiary cienkie.

5) STRATEGIE LUDNOŚCIOWE DRAPIEŻNIKÓW I OFIAR

Vzaimovidnosini „hizhak - ofiara” reprezentuje Lankę w procesie przekazywania mowy i energii z fitofagów do zoofagów lub z hizhakiv niższego rzędu do hizhakiv najwyższego trybu. za charakter tsikh vіdnosin razraznyayut trzy opcje hijakov:

a) elektorów. Hizhak zbiera zmarłych, aby zabić liczbę rozklekotanych ofiar. Taki wariant hizhatstva jest typowy dla bogatych gatunków ptaków (ploter, zięba, kovzaniv i in), energia yakі vytrachayut mniej na żart ofiar;

b) właściwe chaty. Khyzhak podąża za ofiarą i wjeżdża w nią;

w) pasterz. Qi hizhaki vikoristovuyut ofiara bugatorazovo, na przykład, prowadzi chi gedzi.

Strategia pozyskiwania pożywienia z chizakowa jest ukierunkowana na efektywność energetyczną jedzenia: wydawanie energii na zdobywanie pożywienia jest mniejsze w porównaniu z energią, która jest odbierana, gdy jest pozyskiwana.

Pomóż chatom zasubskrybuj

„zhentsiv”, jak jedzą lekki surowiec (n, żeberka planktonowe i wieloryb), i „myslivtsiv”, jak otrzymują mniej bogate pożywienie. Do twojego piekła

„myslivtsі” dzielą się na „zasadnikіv”, podobnie jak wyszukują one gatunki pośladków (np. szczupak, jastrząb, jelito, modliszka), „shukachiv” (ptaki przypominające śpiączkę) oraz „pereslіduvachiv”. Dla reszty grupy poszukiwanie nie wymaga wielkich zysków energetycznych, ale konieczne jest obfite, aby ofiara była osłonięta (lewy w całunach). Prote deyakі hizhaks mogą zmieniać elementy strategii różnych opcji podlewania.

Podobnie jak w przypadku „fitofaga-roslin”, sytuacji, w której wszystkie ofiary zostaną złapane przez chaty, co doprowadzi do przyszłej śmierci, natura nie boi się. Przyjazny dla środowiska między chatami a ofiarami wspieranymi przez specjalne mechanizmy które zmniejszają ryzyko ponownego obwiniania ofiar Tak, możesz się poświęcić.:

Wyjdź z chaty. I tutaj wyniki adaptacji pokazują ospałość i ofiary i hizhakiv, które są szczególnie bliskie stworzeniom stepowym, jakby ich nigdzie nie było;

Nabuvati zahisnogo zabarvlennya („udawaj” liście lub sęki) lub, navpaki, kolor yaskravy, N. Zagalnovіdomim є zabarvlennya zabarvlennya zając w różnych czasach skały, co pozwala maskować się w trawie w trawie i vymku na mszycach białego śniegu. Adaptacyjne zmiany porażenia można zaobserwować na różnych etapach rozwoju larwalnego: młode foczki są białe (ubarwione śniegiem), a dorosłe osobniki są czarne (ubarwienie szkieletowej linii brzegowej);

Rozłóżcie się w grupach, aby popracować nad swoimi żartami i złożyć obietnicę, że chata będzie miała więcej energii;

hovatisya w ukryciu;

Idź do wejść aktywnej obrony (trawa, rogi do sho, kolczaste żebra) i jednego ze śpiących (vivcebiki może podjąć „wszechstronną obronę” od vovkiv toshcho).

W swoich kwaterach chaty rozwijają nie tylko dobre samopoczucie aż do szybkiego zbadania ofiar, ale także węch, który pozwala rozpoznać nieszczęścia ofiary za zapachem. Wiele obserwacji chat otwiera nori ich ofiar (lisy, wows).

Kiedyś sam smród może zrobić wszystko, aby nie pokazywać swojej obecności. Wyjaśnia to brzydotę zaśmieconych kotów, ponieważ w przypadku zapachu bogatego kota spędzają godzinę w toalecie i zakopują ekskrementy. Hizakowie noszą „szaty kamuflażowe” (zadowolenie szczupaków i okoni, przez co wyglądają na mniejsze z makrofitami w czagach, zadowolenie tygrysów itp.).

Nie ma czegoś takiego jak zupełny zahist wszelkiego rodzaju chat w populacjach stworzeń-ofiar, co doprowadziłoby nie tylko do śmierci głodujących chat, ale nawet do katastrofy populacji ofiar. O tej samej godzinie, w związku ze spadkiem liczebności chyzzaków, powiększa się pula genowa populacji ofiar (ratowanie chorób i starych stworzeń) i poprzez gwałtowny wzrost ich liczebności uzupełniana jest baza paszowa.

Stąd efekt odłogowania liczebności ofiar i chat - pulsacji liczebności ofiary, za takie opóźnienie liczebności chaty ("efekt Lotki-Volterriego") - rzadko się podejrzewa.

Między biomasami hizhakiv a ofiarami przywracane są dosit stіyke spіvvіdnoshennia. Tak więc R. Riklefs skierował dane o tych, które spivvіdnennia biomasy chaty i ofiary kolivaetsya w zakresie 1:150 - 1:300. W różnych ekosystemach strefy pokoju Stanów Zjednoczonych na jednego wilka pada 300 jeleni (60 kg), 100 jeleni (300 kg) lub 30 łosi (350). Ten właśnie wzór ujawnia się w całunach.

Przy intensywnej eksploatacji populacji fitofagów ludzie są często wykluczani z ekosystemów hużaków (na przykład w Wielkiej Brytanii żyją sarny i jelenie, ale nie ma wilków; w odcinkach hodują tusze i inne paliki , bez szczupaków). I tutaj rolę chaty odgrywa sama osoba, na przykład część osobników populacji fitofagów.

Specjalny wariant hizhatstva znajduje się w roslin i grzybach. W królestwie roslin istnieje około 500 gatunków, które są łapane w śpiączkę i często przetrawione za pomocą enzymów proteolitycznych. Grzyby Hizhi sprawiają, że aparaty pułapkowe wyglądają jak małe owalne lub kuliste główki, wysiewane na krótkich szypułkach grzybni. Jednak najszerszym rodzajem makaronu są lepkie trivimirnі merezhі, które składają się z dużej liczby kilotów, które są osadzane w wyniku oddzielenia strzępek. Grzyby Hizhi mogą łapać i zabijać wielkie stworzenia, na przykład okrągły hrobakiv. Potem, jak robak gubi się w strzępkach, smród kiełkuje pośrodku ciała stworzenia i szybko її zapovnyuyut.

1. Stała i przyjazna temperatura i wilgotność.

2. Razmaїtіst їzhi.

3. Chroń się przed nieprzyjaznymi czynnikami.

4. Agresywny magazyn chemiczny dovkil (sok z trawy).

1. Obecność dwóch środków fundamentu: środek pierwszego rzędu to ciało władcy, środek innego rzędu to zewnętrzny środek.