16 opisów predykatów dualnych charakteryzujących strukturę systemu. Predykaty. Podstawowa znajomość. Zrozumienie formuł logiki predykatów
Cel seminarium:
Przyjrzyj się w praktyce logice predykatów.
Plan zajęć:
Rozważany jest wątek logiki predykatów, na której mają się odbyć 2 lata seminarium.
Zadanie 1. Niektórym znakom i funkcjom nadawane są obraźliwe predykaty, przypisane do bezosobowych liczb naturalnych:
1. Predykat identyczności Е:N 2 →B:
E(a 1 ,a 2)=1 i wtedy jeśli a 1 =a 2 .
2. Kolejność predykatów Q:N 2 →B:
Q(a 1 ,a 2)=1 wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 ≤ a 2.
3. Predykat podzielności D:N 2 →B:
D(a 1 ,a 2)=1 i wtedy gdy 1 dzieli się przez 2 .
4. Predykat sumy S:N 3 →B:
S(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 i wtedy jeśli a 1 +a 2 =a 3.
5. Orzeczenie, aby utworzyć P:N 3 →B:
П(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 i wtedy jeśli a 1 * a 2 =a 3 .
Rozwiązanie.
1. Dwuwymiarowy predykat tożsamości E-„x 1 ”=”x 2 ” jest wzajemnie jednoznaczny:
a) dvomіsne vіdnoshennia R 1 - „Bądź równy”, R 1 N 2: (a 1, a 2) R 1 zarówno i tylko wtedy, gdy E (a 1, a 2) = 1;
b) pojedyncza funkcja (działanie) identyczności f 1 (x 1) = x 2 i sama: f 1 (x) = x, f: N→N.
2. Do predykatu dwumianowego rzędu Q-„x 1 ≤ x 2” jest wzajemnie jednoznaczny w relacji dwumianowej R 2 - „nie bądź więcej”, R 2 N 2: (a 1 ,a 2) R 2 jeśli i tylko jeśli Q( a 1 , a 2) = 1.
Jednak funkcje f (x 1) \u003d x 2 dla predykatu rzędu Q (x 1, x 2) nie istnieją, ponieważ nie jest to możliwe dla Umov P ”(a 1, a 2, ... a n, a n + 1) \u003d 0 przy tych samych wartościach zmiany x 1 to nie tylko wartość zmiany x 2 z dowolnym predykatem Q jest prawdą.
3. Dwuwymiarowy predykat podzielności D-„x 1 dziel przez x 2” jest wzajemnie jednoznaczny na korzyść niejednoznaczności R 3 - „dziel”, R 3 N 2: (a 1, a 2) R 3 parzyste i mniej niż gdyby D (a 1, a 2) = 1.
Jednak funkcje f(x 1)=x 2 dla predykatu podzielności D(x 1 ,x 2) nie są dostępne, więc nie można myśleć P "(a 1 ,a 2 ,...a n ,a n + 1)= 0, na przykład D(6,2)=1 i D(6,3)=1, prot 2≠3.
4. Do predykatu trimis sumi S- "x 1 + x 2 = x 3" jest wzajemnie jednoznacznie potwierdzone:
a) przycinanie R 4 N 3: (a 1, a 2, a 3) R 4 parzyste i tylko wtedy, gdy S (a 1, a 2, a 3) = 1;
b) podwójna funkcja (operacja arytmetyczna) - składanie f 2 (x 1, x 2) i samo x 1 + x 2 \u003d x 3.
5. Kreacja predykatu Trimis P- „x 1 * x 2 = x 3 ” jest wzajemnie jednoznacznie potwierdzona:
a) przycięcie R3N 3: (a 1, a 2, a 3) R 5 lub tak, jeśli P (x 1, x 2, x 3) = 1;
b) funkcja podwójna (operacja arytmetyczna) - mnożnik f 3 (x 1, x 2) = x 3, a x 1 * x 2 = x 3.
Wzajemna niepowtarzalność spójności mi S і f 2 (П і f 3) układ elementów a 1 ,a 2 N to pojedynczy element a 3 N taki, że S(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 (podobnie do P(a1,a2,a3)=1).
Zadanie 2. Zilustruj kolbą orzeczenia podzielności, przydzielone zadanie 1, rozumienie zmiany mowy, mowy prawdziwej, hb mowy.
Rozwiązanie.
Predykat podzielności D(x 1,x 2) jest wyrażeniem zmiany (podwójnym), którego obszar tematyczny może być albo bezosobowymi liczbami dziesiętnymi, na przykład bezosobowym N.
D (6,2) - vislovlyuvannya, którego znaczeniem jest prawda, tobto. pomóż vislovlyuvannya.
D(5,2) - hibne vislovlyuvannya.
D(3,x), D(x,2) - zmiana (jednowyrazowe) wyprowadzenie, prawdziwość takich depozytów, których liczba zostanie zastąpiona symbolem x, ale D(a,1) - prawdziwe oszustwo, odłamki dowolnego elementu a N maє miejsce: D (a, 1) = 1 (czy to liczba naturalna podzielna przez jeden).
Zadanie 3. Napisz wzór logiki predykatów zdania, który pokazuje przechodnią moc podzielności liczb.
Rozwiązanie.
Skladovy vyslovlyuvannya (zdania), który jest wzorem na przechodniość implikacji autentyczności liczb całkowitych.
„Jeśli dzieli się przez b, a b dzieli się przez c, to a dzieli się przez c”, składa się z trzech prostych słów D(a,b), D(b,c) i D(a,c). Również przechodnią moc autentyczności można zapisać w wizualnie złożonym języku (formuła logiczna):
„Jeśli D(a,b) і D(b,c), to D(a,c) lub (D(a,b) & D(b,c)) → D(a,c).
Zadanie 4. Podaj formuły słowne dla nadchodzących vislovlyuvans magazynu (propozycje):
1. S(a,b,c) i D(a,d) i D(b,d)→D(c,d)
2. D(a,b) i S(a,b,c);
3. S(a,b,c) ~ S(b,a,c);
4. P 1 ~ P 2 de P 1 - predykat „liczba 3n chłopaki”; R 2 - predykat „liczba nє chłopaki.
Rozwiązanie.
1. „Jeżeli sumę sum liczb a, b dzieli się przez liczbę d, to suma liczb jest dzielona przez liczbę całkowitą”:
S(a,b,c) i D(a,d) i D(b,d)→D(c,d).
2. „Liczba a nie jest podzielna przez liczbę b, i nie jest prawdziwe, jaka jest suma kosztu”: D (a, b) & S (a, b, c).
3. „Po permutacji miejsc dodawania a i b suma się nie zmienia” - moc przemienności operacji arytmetycznej składania: S (a, b, c) ~ S (b, a, c) .
4. „Liczba 3n jest dla chłopców parzysta i mniejsza niż, jeśli n jest dla chłopców”: P 1 ~ P 2.
Równoważność można wyrazić za pomocą innych sformułowań werbalnych, takich jak:
· „Od tego, co R 1, ci, którzy są R 2 iz powrotem”;
· "Іz że scho R 2 sanie te, scho P 1 i temu";
· „Utrzymaj R 1 konieczne i wystarczające dla R 2”;
· „R2 konieczne i wystarczające, R1”;
· „R 1, yakscho i tylko yaksho R 2”;
· „R 2, yakscho i tylko yaksho R 1”;
· „Zachowaj równoważność R1 i R2”;
· „P 2 i todі, jeśli P 1” i inne.
Zadanie 5. Niech x będzie przypisane wielu ludziom M, a P(x) jest predykatem „x jest śmiertelne”. Podaj słowne sformułowanie formuły predykatu
Rozwiązanie.
Viraz oznacza „wszyscy ludzie są śmiertelni”. Ma kłamać w formie zminnoy x i charakteryzować wszystkich ludzi przypaleniem, to wszystko. vyslovlyuє sudzhennya schodo wszystkie x mnożnik M.
Zadanie 6. Niech P(x) - orzeczenie "x-boy liczba", przypisania na zbiorze M. Podaj ustne sformułowanie wyprowadzenia ustalenia jego prawdziwości.
Rozwiązanie.
Predykat Vihіdny Р(х) - „х-parane number” є zmiana na zmianę: podczas ustawiania określonej liczby zmiana zmiany x vin zamienia się w prostą zmianę, która jest prawdziwa lub nie, na przykład podczas ustawiania liczby 5 , zamienia się w zmianę „5” , zmiłujmy się. Vislovlyuvannya oznacza „M ma numer dla faceta”. Oskіlki bezosobowe M, w przypadku niektórych zadań orzeczenie P(x) nie jest przypisane do umysłu (czasami wydaje się, że zadanie zostało sformułowane niewystarczająco poprawnie), jest to znaczące M.
Niech predykat P(x) zostanie przypisany do zbioru liczb naturalnych N, czyli. todi vislovlyuvannya - prawda. W vipadku vyslovlyuvannya naprawdę bądź jak bezosobowy M, który chce pomścić liczbę jednego faceta i być jak bezosobowe niesparowane liczby.
Zadanie 7. Niech N(x) będzie predykatem "x jest liczbą naturalną". Spójrz na opcje zawieszania kwantyfikatorów. Interpretować znaczenie słowa i ustalać jego prawdziwość.
Rozwiązanie.
Vyslovlyuvannya „wszystkie liczby naturalne” są prawdziwe, jeśli chodzi o wielokrotność liczb naturalnych, i źle, jeśli chcesz zemścić się na jednej nienaturalnej liczbie, na przykład liczbie ujemnej;
Vyslovlyuvannya "isnuє naturalnie x" jest prawdą, czy jest to wielokrotność M, która chce zemścić się na jednej liczbie naturalnej, a hibno - inaczej.
Menedżer 8. Zapisz wzór predykatu dla zdania „Bądź jak mężczyzna może być ojcem”.
Rozwiązanie.
Dla wytworzenia formuły predykatu są dwa predykaty „x-osoba” i „tata x”, a dla powodzenia ich przyjęcia są to: LUDINA (x) i BATKO (y). Ta sama propozycja „Czy mężczyzna może być ojcem” w formie orzeczenia może wyglądać:
Z poważaniem, jako orzeczenie BATKO (y, x) przypisań do osób bezosobowych, to viraz „czy to człowiek może być ojcem” można napisać w prostszy sposób:
Menedżer 9. Niech predykat P(x, y) opisuje wyrażenie „x kocham y” na wielu ludziach. Spójrz na wszystkie opcje zawieszania kwantyfikatorów na obraźliwych zmianach. Podaj ustną interpretację obsesji.
Rozwiązanie.
Co ważne, orzeczenie „x kocham y” poprzez MIŁOŚĆ (x, y). Propozycje obsługujące różne opcje wieszania
KOCHA (x, y) - „dla tego, czy osoba x jest osobą, jak kogoś kochać” lub „każdy człowiek musi kogoś kochać” (ryc. a);
KOCHA (x, y) - „Znam taką osobę, że kocham wszystkie x” (ryc. b) g
MIŁOŚĆ (x, y) - „wszyscy ludzie kochają wszystkich ludzi” (ryc. c);
MIŁOŚĆ (x, y) - „Znam osobę, jak kogoś kochać” (ryc. d);
MIŁOŚĆ (x, y) - „jest osobą, jak kochać wszystkich ludzi” (ryc. e);
MIŁOŚĆ (x, y) - „za to, czy dana osoba jest osobą, jak ją kochać” (ryc. e).
Z powyższego punktu można stworzyć nietrywialną vysnovkę dla kogoś, kto przestawia kwantyfikatory koherencji, a podstawa zmienia sens wyrazu. Kwantyfikatory spіlnostі i іsnuvannya nie pozostają w niesławnym nastroju mocy przemienności.
Menedżer 10. Niech Q(x,y) będzie predykatem rzędu „x≤y”. Spójrz na różne opcje ilościowej oceny zmian jogi. Wskaż prawdziwość posiadanych wirusów różnych typów w interpretacji regionu przypisania M predykatu, x, y M.
Rozwiązanie.
Predykat jednokomunikatowy, taki jak y: „dla każdego x może być x≤y”. Yakshcho M - nieoskórowane bezosobowe liczby nevid'emnyh tsilih, ten orzecznik jest fałszywy; o tym, czy jest to ostatnia wielokrotność liczb naturalnych, orzeczenie jest prawdziwe w jednym punkcie, który reprezentuje najwięcej w M. W przypadku uzasadnienia, czy jest jakaś inna w M, orzeczenie jest odwracane w ułaskawieniu;
Predykat jednowyrazowy vіd x: „cokolwiek może być, x≤y”. Yakshcho M-mnożnik nieznanych liczb całkowitych, których orzeczenie jest prawdziwe w jednym punkcie x=0 i zajmuje pozycje, gdy uzasadnienie x będzie pewną liczbą z M;
Predykat jednokomunikatowy, taki jak y: „jest liczbą M, ale nie większą niż y”. Jeśli M-czy istnieją niepuste liczby bezosobowe, to orzeczenie to jest przekształcane w prawidłowe wyrażenie podczas uzasadniania takiego-a-takiego M.
Pojedynczy predykat dla x: „Wydaj liczbę M, nie mniejszą niż x”. O tym, czy jest to nieskazitelna bezosobowość M liczb danych, orzeczenie jest przekształcane na prawo do użycia przy uzasadnianiu czegoś takiego jak x iz M.
Wislovlyuvannya „dla tego, czy x i y wygrywają z x≤y” hibno o tym, czy istnieje mnogość, która sumuje się coraz mniej z jednego elementu, a naprawdę na mnogości z jednym elementem;
Vyslovlyuvannya „wydawanie takich x i y, które x≤y” jest prawdziwe w przypadku, gdy jest to niepusty mnożnik;
Vislovlyuvannya „dla dowolnej liczby x jest liczbą y, nie mniejszą niż x” jest prawdą, czy jest to niepusty mnożnik;
Weaslіv "іsnuє u takich, scho dla czegokolwiek x х≤y" stverzhuє, scho M є pojedynczy maksymalny element;
Vislіv "jest taki, że wino jest nie więcej niż być-takie u" jest mocne, że w M jest jedynym minimalnym elementem.
Wislovlyuvannya „dla tego, czy istnieje liczba y, liczba x, nie więcej, niższa y” jest prawdą, jeśli istnieje niepusty mnożnik
Menedżer 11. Spójrz na wszystkie możliwe opcje zawieszania kwantyfikatorów na predykacie D (x, y) - „x jest podzielone przez y”, znaczenia dla bezosobowych liczb naturalnych N.
Rozwiązanie.
Operacje wiszących kwantyfikatorów sprowadzają się do zaawansowanych formuł:
Pojedynczy predykat „czy liczbę naturalną s N można podzielić przez liczbę naturalną s N”; true tylko jedna wartość zmiennej y=1;
Zmiana znaczenia „jest liczbą naturalną, jak dzielenie przez y”, jest prawdziwa dla dowolnej wartości dowolnie zmiennej y, pobranej z mnożnika N;
Zmiana znaczenia „liczby naturalnej x jest podzielna przez każdą liczbę naturalną y”, bez względu na wartość losowej zmiany x, pobranej z N;
Zmiana znaczenia „isnuє liczba naturalna, jak dzielenie liczby naturalnej x”, jest prawdziwe dla każdej wartości zmiany swobodnej x;
Vislovlyuvannya „dla tego, czy istnieją dwie liczby naturalne, można podzielić jedną na drugą” hibn;
Vislovlyuvannya „opiera się na dwóch liczbach naturalnych, które najpierw dzielą się na drugą”, prawda;
Vislovlyuvannya „isnuє liczba naturalna, jak podzielić, czy jest naturalna”, hibne;
Vislovlyuvannya „dla dowolnej liczby naturalnej naturalne jest znalezienie takiej liczby naturalnej, aby podzielić się na pierwszą”, prawda;
Pozostaje usunąć prefiksową formę normalną dla formuły predykatu zewnętrznego.
Logika vislovluvan jest bardzo cienkim systemem logicznym. Ustal takie rodzaje interpretacji logicznych, których nie da się stworzyć w ramach logiki interpretacji, na przykład:
- Czy przyjaciel osoby A jest przyjacielem osoby B. Z nie jest przyjacielem B, to C nie jest przyjacielem A.
- Tylko numer dwa - koleś. Otzhe, є proste numery facetów.
Słuszność tych umysłów odnajdujemy w wewnętrznej strukturze samej mowy i sensie słów „wszyscy” i „isnuє”.
Przyjrzyjmy się propozycjom na co wpłacić pod względem parametrów, na przykład: „ X- numer faceta", " X mniej tak», « x+tak=z», « tyі v- Weź to. Jak zamienić pierwsze trzy słowa x,takі z liczby dziesiętne, a pozostałym podaj imiona członków diako-sim'ї, wtedy pominięcie słów może być prawdziwe chi chibni. Na przykład dla X=5, tak=2, z=7, ty- Petro, v- Iwan został zabrany: „5 to numer faceta”, „5 to mniej niż 2”, „5 + 2 \u003d 7”, „Piotr i Iwan są braćmi”.
Zdania tego typu nazywamy predykatami. Dokładniej, predykat P(x 1 ,...,x n) funkcja jest wywoływana, zmieniając wartość rzeczywistego mnożnika M, a sama przyjmuje dwie wartości: true (I) i hibne (L), tobto. P (x 1, ..., x n): M (I, L).
Predykat z n argumentami nazywa się predykatem n-miejscowym i oznacza dokładnie P (n) (x 1, ..., x n) Należy poprzeć szereg argumentów. Vislovlyuvannya jest szanowany przez predykaty zerowe.
Możliwe jest wykonywanie dowolnych operacji logicznych na predykatach. W rezultacie pojawiają się nowe predykaty
Na przykład:
1. Chodź P(1)(x) oznacza orzeczenie X podzielna przez 2", oraz P(1)(x)- orzeczenie " X podzielna przez 3". Todi viraz P(1)(x) i P(1)(x) oznacza orzeczenie X podziel przez 2 ta X podzielna przez 3”, to znaczy. przypisuje predykat podzielności do 6.
2. Chodź S (2) (x, y) oznacza orzeczenie x=y”. W wartości nabuvaє І todi i tіlki tіlki tіlki, jeśli x=y. At tsomu vipadku viraz S (2) (x, x) ÞS (2) (x, y) oznacza predykat, który przyjmuje znaczenie I for any Xі tak.
Kryminalne działanie logiki zaslovlyuvan zastosovuvatimeme operacja sche zv'yazuvannya kwantyfikator.
Kwantyfikator ciepła. Dalej P(x)- predykat, który przyjmuje znaczenie I lub L dla skóry X OM. Todі pid viraz ” xp(x) będziemy na skraju mówienia prawdy, jeśli P(x) prawda dla elementu skóry X s M, ja hibne - inakshe. Symbol X nazywa się kwantyfikatorem zagalności i notacją " xp(x) przeczytaj tak: „za wszystko x P(x)”. Tse vyslovlyuvannya już nie leży X.
Kwantyfikator іsnuvannya. Dalej P(x)- Orzeczenie. Pod wirusem $ x P(x) zrozummy prawdę, ponieważ jest to element mnożnika M, dla którego P(x) prawda i hibne - inakshe. symbol $ X zwany kwantyfikatorem xp(x) przeczytaj tak: „isnuє X, weź, sho (inaczej dla niektórych) P(x)» .
Dla predykatów, omówionych nieco wcześniej, możemy napisać:
- $x(P(1)(x) i Q(1)(x))- Pomóż vislovlyuvannya;
- " x(P(1)(x) i Q(1)(x))- Hibne vislovlyuvannya;
- " x, y (┐S (2) (x, x) ÞS (2) (x, y))- Pomóż vislovlyuvannya.
Wprowadzamy teraz oznaczenie suvori do obliczania predykatów.
(Czyste) obliczanie predykatów (pierwszego rzędu) - ce formalna teoria Wcześniej jaka ma takie elementy.
1. Alfabet:
podstawowe linki ┐,
dodatkovі &,
symbole usług (,) Î (, ’ , ’ ,)
kwantori bezczelność
tło
Przedmiot stałe 
zmiana
Przedmiot predykaty P, Q, . . .
funktory f, q,. . .
Z predykatem skóry, że funktor jest powiązany z liczbą naturalną, jak to się nazywa arnistyu, Inaczej powodzenia.
2. Formuły mogą mieć obraźliwą składnię:
Formuła = (atom
| ┐ (wzór | (wzór
(Formuła) | (Zmień formułę
| zmiana formuły
Atom = predykat (lista terminów)
Lista terminów = termin | termin,
Lista terminów term = stała |
Zminna | funktor (lista terminów)
Kiedy myślisz o tym, buti vikonanі tak kontekstowy umysł: warunki f (t 1 ,. . .,tn) funktor f winny buti n- chybienie. W atomy(Inaczej atomowy formuła) P(t 1 ,. . .,tn) orzec R winny buti n- chybienie.
Dane wejściowe związane z przejściem na formuły atomowe nazywają się wolny. Vіlnі vіdzhennya zminnyh y formuły A i B przepełniony formułami ALEі św. Formuły x Aі x A formuła ALE, co do zasady może, wolny wstęp na zmianę X. Zaloguj się X w formule x Aі x A nazywa pov'yazanimi. Wejście innych zmian (powietrze wewnętrzne) x), które były ważne dla formuły ALE, wypełnione formułami x Aі x A. Jedną i tę samą zmianę mogą matki w tej samej i tej samej formule co w ten sam sposób, więc wpis jest tzw. Formuła, która nie mści się na darmowym wejściu zmiany, nazywa się Zamknięte.
Na przykład spójrzmy na formułę x (P(x) y Q(x,y)) oraz її podformuły. Podformuła yQ(x,y) zmiana X swobodnie wejść, ale obrażając wejście węża w po'yazani (kwantyfikator іsnuvannya). W ten sposób podformuła nie jest zamknięta. Z drugiej strony samo wejście węża X podformuła Q(x, y)є dopasuj dane wejściowe formuły x (P(x) y Q(x,y)). Ta formuła zawiera wszystkie dane wejściowe wszystkich zmian, więc formuła jest zamknięta.
Język teorii L nie mści kwantyfikatorów, dlatego rozumienie swobodnego i połączonego wejścia zmiany nie jest stagnacją bez środka. Dla jasności weź pod uwagę, że wzory teorii L są zamknięte.
formuły umysł ALE ta ALE, de ALE - atom, zwany dosłowny formuły (lub literały). Formuły x Aі x A podformuła ALE nazywa obszar kwantyfikator przez X.
Sprawdź linki i kwantyfikatory w kolejności priorytetu w następujący sposób: ┐, ,$, &, , . Odłóż swoje łuki. Termin t nazywa wolny dla węża X w formule ALE, yakscho n_yake vіlne vіlne vіdzhennya zminnoї X formuła ALE nie leżeć w obszarze odpowiedniego kwantyfikatora jakiegokolwiek innego kwantyfikatora tak, co wpisać w terminie t. Zokrema, termin t Vіlny dla be-yakої zminnoї w formule ALE tak jakby zmieniający się termin nie był związany zmieniającą się formułą ALE.
Na przykład:
warunek w za darmo na zmianę X w formule P(x), ale ten sam termin w nie nadaje się na zmianę X w formule yP(x).
b) termin f(x, z) za darmo na zmianę X w formule y P(x,y) Q(x), ale tego samego terminu f(x, z) nie nadaje się na zmianę X w formule
z y P(x,y) Q(x).
Przejdź do orzeczenia P(x) zanim " x P(x) lub $ x P(x) nazywa zv'yazuvannyam serpentynowy X, lub nadpisanie kwantyfikatora na zmianę X, lub ujęcie ilościowe serpentynowy X.
Wiraz" x P(x)że $ x P(x) nie kładź się X a przy ustalaniu P i mnożniku przedmiotu M może być cała liczba wartości, reprezentująca jako całość określone znaczenie wszystkich X w obszarze tematycznym M.
Wracając do znaczenia predykatu, widać, że znaczenie jest po prostu zero mistycznych predykatów.
Kwantyfikatory Navishuyuchi na bogatych predykatach i vzagalі be-yakі logiczne vyslovlyuvannya, mi tsim i vyznaєmo obszar kwantyfikatora $ X lub " X i wszystkie wpisy X w qi vyslovlyuvannya є vyazkovimi.
Spójrzmy na niedopałki rozv'yazannya deyakih.
Przykład 4.4. Dalej N(x)- orzeczenie " X- Liczba naturalna".
Rozwiązanie."x N(x)- „Wszystkie liczby są naturalne”. Tse vyslovlyuvannya jest prawdziwe w przypadku bezosobowych liczb naturalnych i hibno, takich jak M, aby pomścić nawet jedną nienaturalną liczbę (na przykład liczba jest ujemna).
Przykład 4.5. Niech orzeczenie P(x, y) Opisz ustawienie X być zakochanym w»na bogatych ludziach. Przeanalizuj opcje zawieszania kwantyfikatorów i przedstaw interpretację.
Rozwiązanie. Vikoristovuyuchi wzajemnie jednoznaczne podobieństwo między predykatami można zilustrować schematami (ryc. 4.1).
Ryż. 4.1. Ilustrowanie infuzji kwantyfikatorów
Interpretacja:
" X$y P(x, y)- "dla kogo" X isnuє w, które wino kochać.
$ w " x P(x, y)- "Wydaj takie" w kogo kochasz X».
" X "yP(x, y) - "Posługiwać się X kochaj nas w».
$ X $ y P(x, y)- "dowiedzieć się X, którzy kochają kogoś z w” lub „jest osoba, którą można kochać”.
$ X" y P(x, y)- „Isnuye X które nas kochają w».
" w$ x P(x, y)- "za cokolwiek w być znalezionym X co kochać jogę.
Aksjomaty (logika): czy to system aksjomatów do obliczania liczby słów, plus
P 1: x A(x) A(t),
P 2: A(t) x A(x),
de term t za darmo na zmianę X w formule ALE.
Zasady oglądania:
de formuła ALE zemścić się na wejściu węża X, i formuła Wїх nie mszcz się.
Wyliczanie predykatów, aby nie pomścić stałych podmiotowych, funktorów, predykatów i potężnych aksjomatów, nazywa się czysty. Wyliczanie predykatów w celu pomszczenia stałych obiektów i/lub funktorów i/lub predykatów i powiązania ich z ich własnymi aksjomatami nazywa się stosowany.
Obliczanie predykatów, dla których kwantyfikatory mogą być używane tylko ze zmianami podmiotowymi, a funktory można również nazwać predykatami, zwanymi liczeniami pierwsze zlecenie. Dla niektórych kwantyfikatorów wyliczenia można nazwać zmianami obiektów, a funktory, predykaty innych obiektów bezosobowych, nazwać wyliczeniami. najlepsze zamówienia. Praktyka pokazuje, że zastosowana kalkulacja predykatów pierwszego rzędu jest wystarczająca do sformalizowania teorii zmiany we wszystkich uzasadnionych sytuacjach.
Spójność między predykatami, zmiennymi i funkcjami
n – mistyczny predykat może być użyty jako funkcja R(X 1 ,…X n) w postaci n zmian ja í М ja, de M i- obszary tematyczne, oraz РВВ = (0,1) = (І, Л). Zatem orzeczenie R(X 1 ,…X n) typ funkcji R: M 1 ´M 2 ´… ´M n ®В, ale jeśli temat jest taki sam dla wszystkich zmian, to może P: Mn ®B.
Z punktu widzenia oczywiste jest, że zarówno dla M, jak i n jest jednoznaczne, że różnica między n i n jest jednoznaczna R IM n to orzeka R(X 1 ,…X n) , Mn®B:
Aplikacja n-masy na skórę R zweryfikuj predykat R(X 1 ,…X n) takie, że R(a 1 ,…a n)=1, nawet wtedy i tylko wtedy, gdy ( a 1 ,…a n)nR;
Niezależnie od predykatu R(x 1 ,...x n) podpisanie przedłużenia R Więc co ( a 1 ,…a n)О R yakscho i tylko yakscho R(a 1 ,…a n) = 1.
Z kim R ustaw domenę prawdy na orzeczenie P.
Przyjrzyjmy się teraz funkcji f(X 1 ,…, X n), f: M n ® M. Wtedy możesz bachiti, więc niech to będzie funkcja f: M n ® M zweryfikuj predykat R(X 1 ,…X n+1), P: M n +1 ®B, taki, że P(a 1, ... a n +1) = 1 yakscho i tylko yakscho f(a 1 ,…a n)= a n+1.
Rozumienie predykatu jest szersze niż rozumienie funkcji (div. Rys. 4.1.), do tego efekt odwrotny (w ( n+1)-mistyczny predykat do n-mistycznej funkcji) nie może być używany, ale tylko dla takich predykatów, dla których umysł jest inny, wynika to z jednoznaczności funkcji:
Р(а 1 ,…а n +1)=0 ® ("а¢ n +1 ОМ|а¢ n +1 ¹а n +1 Р(а 1,…а¢ n +1)=0.(4.3.)
Analogowe vіdpovіdnіst є mizh pіdmnozhinoyu vіdnosin (R¢)Ì(R) i bezosobowe funkcje (f). Dla jakiej klasy można wygrać umysł
(a 1 ,…a n +1)ОR¢ ® (" a n +1 OM| a n+1 ¹ a n+1 ( a 1 ,…a n+1)ОR¢). (4.4.)
Przykład 4.6. Jakim rodzajom nazw i funkcji należy nadać predykaty przypisane do zbioru liczb naturalnych?
1. Orzeczenie sumi S: N 3 ® B:
S (x 1, x 2, x 3) \u003d 1 wtedy i tylko wtedy, jeśli X 1 +X 2 =X 3 .
2. Predykat porządku P:N 2 ®B:
Q( X 1 ,X 2) \u003d 1 todі i tіlki todі, jeśli X 1 zł X 2 .
Spójrzmy na propozycję
Propozycja Tsya nie jest vislovlyuvannyam, do tego, czego nie można o tym powiedzieć, jest naprawdę chibno. Nazywa się to predykatem chi umovoy (na x i y). Przynieśmy inne przykłady propozycji ze zmianami:
Є liczba pierwsza;
Є numer faceta;
Mniej o,
Є śpiący dilnik, z.
Co ważne, dopuszczalne wartości zmiennych y i z są liczbami naturalnymi. Jeśli zastąpisz zmiany w przemówieniach akceptowalnymi wartościami, zobaczysz vislovlyuvannya, co może być prawdą i wybacz. Na przykład,
2 to liczba pierwsza;
3 є numer faceta;
5 jest mniejsze niż 7;
3. łóżko dilnik 6 i 12.
PRZEZNACZENIE. Propozycje ze zmianami, które dają możliwość zastąpienia ewentualnych zmian wartościami akceptowalnymi, nazywane są predykatami.
Zdania mogą być zbiorami orzeczników.
W przypadku wielu nadchodzących zmian predykaty jeden, dwa, trzy są dzielone. pączek. Predykaty (2) i (3) są pojedyncze, predykaty (1) i (4) są podwójne, predykat (5) są trimis. Predykaty nieważności Vislovlyuvannya vzhatimeme.
Podstawiając w pojedynczym predykacie (2) zastępuję liczbami naturalnymi, można zastosować:
0 to liczba pierwsza;
1 to liczba pierwsza;
2 to liczba pierwsza;
3 to liczba pierwsza itd.
Czyny są prawdziwe. W ten sposób ten jednorazowy predykat widzi środek liczb naturalnych, gdy uzasadniając taką zmianę, pojawia się właściwa vyslovlyuvannya i może być postrzegana jako znaczenie umysłu wolnej zmiany, która jest zawarta w predykacie. W momencie numeru proszę o mój umysł, - po prostu.
Pojedynczy orzecznik może być jak umysł na obiekcie umysłu; dvomisny - jak umysł na zakład na przedmioty tego samego umysłu.
Predykaty można umieszczać na różne sposoby. W algebrze często rozważa się predykaty, przypisania dla dodatkowych równości, nieprawidłowości, a także systemy równości nieprawidłowości. Na przykład nierówność oznacza pojedynczy orzeczenie, równość - orzeczenie podwójne, a system równości - trymizję y, z - racjonalną zmianę).
Predykaty będziemy oznaczać wielkimi literami alfabetu łacińskiego (ewentualnie z niższymi indeksami) od tych przypisanych do łuków musztard, ponieważ wchodzą one w skład całego orzeczenia. Na przykład - znaczenie predykatu podwójnego, - znaczenie predykatu karłowatego - znaczenie predykatu -masy.
Nadalі mówimy o prawdziwej wartości wystarczającego predykatu na drugim zestawie poprawnych zmiennych, które wchodzą przed nową, rozumіyuchi zgodnie z prawdziwą wartością interweniującego, aby pojawić się w wyniku zastąpienia ważnego wariantu istniejące wartości.
Vislovlyuvannya, aby wejść do predykatu zbioru wartości dopuszczalnych dla zmiany wartości, będziemy mieli na myśli, że to prawda (hibniy), wydaje się, że zbiór wartości jest spełniony
predykat p-mistential- funkcja P(x 1 x 2, xp) w postaci podstawień, które przyjmują wartości z określonych zadań obszarów tematycznych, dzięki czemu funkcja P uzyskuje dwie wartości logiczne – „prawda” lub „hibno”.
Zatem orzeczenie P(x 1, x 2, ..., x n) jest funkcją typu , de wielokrotności nazywane są obszarami podmiotowymi orzeczenia; х 1, х 2, ..., х n - orzeczenie zmieniające podmiot; Y = (1,0).
Ważność między predykatami, zmiennymi i funkcjami:
1. Dla dowolnych M i p jest to wzajemnie jednoznaczne n-zmienne mistyczne i n-mistyczne predykaty P(x 1, x 2, ..., x n), :
skóra n- relacja mas R ma dany predykat P(x 1, x 2, ..., x n), taki, że P(a 1, a 2, ..., a n) = 1 , a 2, ..., a p ) Î R;
Jakikolwiek predykat P(x 1, x 2, ..., x n) oznacza zdanie R więc sho (a 1, a 2, ..., a p) Î R, tym bardziej, że R(a 1, a 2, ..., a p) = 1.
W przypadku wybrania R domena prawdy jest przypisana do predykatu R.
2. Niezależnie od funkcji f(x 1, x 2, ..., x n) jest poprawny dla predykatu P (x 1, x 2, ..., x n, x n + 1) = 1 taki, że P (a 1, a 2, . .. ., a n, a n+1)=1, tym bardziej f(a 1, a 2, ..., a p) = a n +1.
Zvorotne vіdpovіdnіst (vіd ( n+1)-predykat masy (rys. 2.17) do n-mіscevoї ї ї ї ї ї ї ї ї ) nie może być używane, ale tylko dla takich predykatów P ', dla których można użyć umysłu (jest to związane z możliwą wyjątkowością funkcji): P (a 1, a 2 , ..., a p, a p + 1) = 1, to dla be-kto
a ' n +1 ≠a n +1 P(a 1, a 2, ...,a n, a ' n +1) = 0 (1)
Trafność analogiczna (wzajemnie jednoznaczna) є mіzh pіdnіzhnoyu vіdnosin (R") (R) i funkcje bezosobowe ( f}.
Dla której klasy vіdnosin jest podobny do Umova: yakscho (a 1, a 2, ..., a n, a n+1) Î R ' wtedy dla czegokolwiek a ' n+1 ≠a n+1 , (a 1 , za 2, ..., za n, za n+1) R '
Viraz P (a 1, a 2, ..., a p) jest logicznie rozumiany jako „P (a 1, a 2, ..., a p) = 1”, a viraz P (x 1, x 2, .. ., x n) - jako zmiana mowy, której prawdziwość określa podstawienie elementów mnożnika M zamiast zmiany (x 1, x 2, ..., x n).
Do rozpoznawania podwójnych predykatów crim rekordu prefiksowego P (x 1, x 2), rekord często infiksowy x 1 Px 2
Niektórym znakom i funkcjom nadawane są obraźliwe predykaty, przypisane do bezosobowych liczb naturalnych:
1. Predykat identyczności E: N 2 → B: E (a ], a 2) \u003d 1 i wtedy, jeśli a ] \u003d a 2
Dwuwymiarowy predykat identyczności E - „x] = x 2” jest wzajemnie jednoznacznie potwierdzany:
a) podwójne widzenie R1, - „Bądź równy”, , Todі і tіlki todі, jeśli E ( 1 , a2) = 1;
b) pojedyncza funkcja (działanie) identyczności f 1 (x 1)\u003d x 2 i sam:
2. Predykat podzielności D: N 2 → B: D (a], a 2) \u003d 1 i wtedy, jeśli a] dzieli się przez 2:
Predykat dvomіsny o podzielności D - „x 1 jest podzielny przez x 2” wzajemnie jednoznacznie potwierdza dwoistość R2- „dіlitisya”, nawet i mniej wtedy, jeśli D ( 1 , a 2) = 1. Funkcje protetyczne f 1 (x 1)=x2 dla orzeczenia autentyczności D ( x 1 , x 2) nie wiem, to nie jest wikonan Umova (1), na przykład D(6,2) = 1 i D(6,3) = 1, prote 2≠3.
3. Predykat sumi S: N 3 → B: S (a 1, a 2, a 3) = 1 i wtedy, jeśli a 1 + a 2 = a 3.
Trimis predykat sumi S - "x 1 + x 2 = x 3
a) dodatki: albo lub mniej niż gdy S(a 1, a 2, a 3) = 1;
b) podwójna funkcja (operacja arytmetyczna) - dodawanie f(x 1 x 2) = x 3 i sam: x 1 + x 2 = x 3.
W algebrze logiki vislovlyuvannya są postrzegane jako nierozłączne całości i tylko przez rzut oka na ich prawdziwość lub hipokryzję.
Każda struktura jest luźna, więcej niż їх zmіst nie trzymaj się. Jednocześnie, zarówno w nauce, jak i w praktyce, wąsy są w stagnacji, to prawda, że leżą jak struktura i jest od nich wolna.
Na przykład przy lustrze „Skórzany romb – równoległobok; ABCD - romb; również ABCD - równoległobok, „posiadanie i visnovoks є elementarna logika vyslovlyuvannya vyslovlyuvannya i na pierwszy rzut oka tsієї logici są postrzegane jako całość, niespójne, bez poprawy ich wewnętrznej struktury. Dlatego algebra logiki, będąca ważną częścią logiki, wydaje się niewystarczająca w analizie bogatych światów.
W związku z tym kultem potrzeba rozbudowanej logiki logiki, aby stworzyć taki system logiczny, w taki sposób, aby można było zachować strukturę cichej logiki, jaka w ramach logiki logiki , są uważane za elementarne.
Takim systemem logicznym jest logika predykatów, która jako część mści wszelką logikę.
Logika predykatów jest podzielona na elementarne terminy na ten temat (dosłownie - pіdlyagaє, jeśli chcesz grać rolę dodatkowego) i predykat (dosłownie - nagroda, jeśli chcesz grać rolę znaczenia). Temat - ci, którzy są mocno zakorzenieni w mowie;
predykat - te, które twierdzą o przedmiocie. Na przykład w języku „7 to liczba pierwsza”, „7” to podmiot, „liczba pierwsza” to predykat. Tse vyslovlyuvannya stverzhuє, scho „7” może moc „być prostą liczbą”.
Jeżeli w badanym przykładzie z mnożnika liczb naturalnych zamienimy konkretną liczbę 7 z minusa x, to bierzemy forma vislovlyuvalnu „x jest liczbą pierwszą”. Przy niektórych wartościach (np. x = 13, x = 17) ta forma otrzymuje poprawne wyrażenie, a przy innych wartościach x (np. x = 10, x = 18) forma ta jest otrzymał ułaskawienie.
Jasne jest, że ta forma vislovlyuval przypisuje funkcję jednej zmiennej x, przypisanej do mnożnika N, i przyjmuje wartość mnożnika (1; 0) (lub (i; l)). Predykat staje się tutaj funkcją podmiotu i wyraża moc podmiotu.
Spotkanie 1.
Pojedynczy predykat P(x) jest raczej funkcją zmiennej x, która jest przypisana do mnożnika M i pobiera wartość z mnożnika (1; 0).
Bezosobowe M, do którego przypisany jest predykat P(x), nazywamy obszarem przypisanym do predykatu P(x).
Bezosobowość wszystkich elementów, dla których orzeczenie przyjmuje wartość „prawda” (1), nazywamy bezosobowością (obszarem) prawdziwości orzeczenia P(x), czyli. bezosobowość prawdziwości orzeczenia P(x) jest bezosobowością. Tak więc np. orzecznik P(x) – „x jest liczbą pierwszą” jest przypisany bezosobowości N, a bezosobowość prawdy I P dla nowa bezosobowość wszystkich liczb pierwszych.
Predykat Q(x) – „sinx=0” jest przypisany do bezosobowego R, jako prawda bezosobowa є
Predykat F(x) – „przekątne równoległoboku x są wzajemnie prostopadłe” oznacza się jako bezosobowość wszystkich równoległoboków, tak jak bezosobowość prawdy jest bezosobowością wszystkich rombów.
Ze wskazania przykładów bachimo, ten jeden orzecznik wyraża moc przedmiotów (podmiotów).
Spotkanie 2.
Orzeczenie Р(х), przypisania na zbiorze M, nazywamy też prawdziwym, ponieważ ta bezosobowość prawdy rozszerza się z obszaru przypisania, więc I p = M.
Spotkanie 3.
Predykat Р(х) przypisań na zbiorze M nazywamy tym samym hybrydem, ponieważ jest to pusty mnożnik, tj. I p =0.
Naturalne konwencje rozumienia pojedynczego orzeczenia i rozumienia orzeczenia wariantowego, z których: zobacz niebieski między obiektami
Końcówka wyrażenia binarnego, czyli między dwoma obiektami, to wyrażenie „mniej”. Nehay tse vіdnoshennia wprowadzono na wiele liczb całkowitych Z. Można go scharakteryzować za pomocą formy trzewnej „х Spotkanie 4. Predykat podwójny Р(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych x i y, przypisanych do mnożnika M = M 1 xM 2 i przyjmujących wartość mnożnika (1; 0). Wśród zastosowań predykatów dualnych można wymienić następujące predykaty: Q(x, y) – „x=y” - predykat równości, przypisania do wielokrotności RхR=R 2 ; F(x,y) - "x jest równoległa do y", "linia x jest równoległa do linii y", przypisania na liniach bezosobowych leżących na danej płaszczyźnie. Absolutnie podobne jest wprowadzenie pojęcia predykatu trimis. Podajmy przykład predykatu trimis (funkcje trzech zmian): S(x,y,z) – „x+y=z”. Podstawienie w nowym x=3 przekształca go w predykat dwuwymiarowy: S(y,z) – „3+y=z”, a podstawienie x=3, z=2 – w pojedynczy predykat S(y) – „ 3+y= 2". Podstawienie S(2,3,5) przekłada je na właściwe słowo, a S(1,7,4) na hibne. Podobnie wyznaczany jest predykat n-odległości (funkcja n zmian). Przykład predykatu n-tabelowego: R(x 1 , x 2 ,…,x n): a 1 x 1 +…+a n x n =0 Gdy n=0, predykat matematycznej nieważności jest logiczną (zdaniową) zmianą, która przyjmuje wartość mnożnika (1; 0).
