Vektoru skalārā izlīdzināšana. Skalāri izveidot vektorus. Dovzhina vektors. Neatkarīgi pārbaudiet uzdevumu un pēc tam pārskatiet risinājumu

Kut mizh vektori

Apskatīsim divus dotos vektorus $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$. Ja vektoru $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ і $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, tad $AOB$ sauc par griezumu starp vektoriem $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ (1. att.).

Mazais 1.

Šeit ir svarīgi, ka vai nu vektori $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$ ir taisni uz priekšu, vai arī viens no tiem ir nulles vektors, kas ir tāds pats kā starp vektoriem $0^0$.

Paraksts: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Izpratne par vektoru skalāro veidošanu

Matemātiski vērtību var uzrakstīt šādi:

Skalārā vērpe var sasniegt nulli divos virzienos:

Kā viens no vektoriem būs nulles vektors

Šie vektori ir savstarpēji perpendikulāri (tātad $cos(90)^0=0$).

Būtiski ir arī tas, ka skalārais paplašinājums ir lielāks par nulli, jo to var atrast starp šiem resursdatora vektoriem (kopš $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), i ir mazāks par nulli, tāpēc to var iestatīt starp diviem stulbuma vektoriem (jo $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

No skalārās radīšanas izpratnes skalārā kvadrāta izpratne nav saistīta.

Tikšanās 2

Vektora $\overrightarrow(a)$ skalārais kvadrāts ir šī vektora skalārais palielinājums.

Ir svarīgi, lai skalārais kvadrāts būtu pareizs

' )\right|\left|\overright arrow(a)\right|=(\left|\overright arrow(a)\right|)^2\]

Skalārās izveidošanas aprēķins vektoru koordinātām

Ir tikai viens cits veids, kā definēt skalārās radīšanas nozīmi, kas izplūst no standarta veida nozīmes.

Apskatīsim jogu.

Ļaujiet vektoriem $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$, protams, pārvietot koordinātas $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$.

1. teorēma

Vektoru $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$ skalāra palielināšana, lai pabeigtu atbilstošo koordinātu izveidošanas summu.

Matemātiski to var uzrakstīt kā

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Pierādījums.

Teorēma ir pabeigta.

Tsya teorēma maє kіlka sledkіv:

1. nodarbība: Vektori $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$ ir perpendikulāri vienam un tam pašam un tikai tad, ja $a_1a_2+b_1b_2=0$

2. nodarbība: Kuta kosinuss starp vektoriem ir $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Vektoru skalārās radīšanas dominēšana

Uz jebkuriem trim vektoriem un decimālskaitli $k$ ir taisnība:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Tsya jauda inplivaє z skalārā kvadrāta apzīmējumu (apzīmējums 2).

Peresuvny likums:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Tsya jauda vyplyvaє z znachennya skalāra izveide (1. iecelšana).

Pamatlikums:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(uzskaitīt)

Pēc 1. teorēmas, iespējams:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overright arrow(a)\overright arrow(c)+\overright arrow(b)\overright arrow(c)\]

Laimīgs likums:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(uzskaitīt)

Pēc 1. teorēmas, iespējams:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Vektoru skalārās izveides aprēķina uzdevuma piemērs

dibens 1

Atrodiet vektora skalāro paplašinājumu $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, t.i., $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b) \right|= 2 $, un starp tiem ir dārgāki $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.

Risinājums.

Vikoristovuyuchi tikšanās 1, pēc izvēles

Par $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Par $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Par $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Par $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ pa labi)=-3\sqrt(2)\]

Tikšanās 1

Vektoru skalārais saskaitījums ir skaitlis, kas saskaita vektoru dinas ar kuta kosinusu starp tiem.

Papildu vektora_vērtība a → un b → var izskatīties a → , b → . Pārveidosim uz formulu:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → un b → apzīmē divus vektorus, a → , b → ^ - apzīmē skaitli starp dotajiem vektoriem. Ja vēlaties vienu nulles vektoru, tad, ja vērtība ir 0, tad rezultāts būs vienāds ar nulli, a → , b → = 0

Reizinot pašu vektoru ar sevi, mēs ņemam vienas dienas kvadrātu:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Tikšanās 2

Vektora skalāro reizinājumu sauc par skalāro kvadrātu.

Aprēķināts, izmantojot šo formulu:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Apzīmējums a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → parāda, ka npb → a → a → skaitliskā projekcija uz b → , npa → a → - b → projekcija uz a → vіdpovіdno.

Mēs formulējam radīšanas apzīmējumu diviem vektoriem:

Divu vektoru skalārais paplašinājums a → uz b → nosauc vektora a → paplašinājumu projekcijā b → tieši uz a → vai paplašinājuma b → paplašinājumu projekcijā a → precīzi.

Skalāra vērpjot koordinātēs

Skalārās izveides aprēķinu var veikt, izmantojot vektoru koordinātas dotajā apgabalā vai telpā.

Divu vektoru skalāro saskaitīšanu plaknē, triviālajā telpā, sauc par doto vektoru a → un b → koordinātu summu.

Aprēķinot skalārā papilduzdevuma plaknē, Dekarta sistēmā uzvar vektori a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y):

a → , b → = a x b x + a y b y ,

triviālai telpai, viraz zastosovuetsya:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Faktiski trešais skalārās radīšanas mērķis.

Atvedīsim.

1. pierādījums

Lai pierādītu vikorismu, a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by vektoriem a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) Dekarta sistēma.

Slīdrādes vektori

O A → = a → = a x, a y O B → = b → = b x, b y.

Tad vektora garums A B → vairāk A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) .

Apskatīsim trikotāžas OAB.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B)

Aiz prāta var redzēt, ka O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^).

Tas pats attiecas uz pirmo tikšanos, ka b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , arī (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Zastosuvava formulu vektoru skaita aprēķināšanai mēs ņemam:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + ar 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (ar - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

Sakārtosim to pareizi:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– Vіdpovіdno uz vectorіv trivіrіnnogo plašumu.

Vektoru skalārā saskaitīšana ar koordinātām, lai runātu par tām, ka vektora skalārais kvadrāts ir vienāds ar tā koordinātu y kvadrātu summu plaknē, ir skaidrs. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) un (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Skalārā tvіr ta jogas valdīšana

Nosakiet skalārās izveides jaudu, kā noteikt a → , b → і c → :

1. komutativitāte (a → , b →) = (b → , a →);
2. sadalījums (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. jauda ir laba (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →) , (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →) , λ ir skaitlis;
4. skalārais kvadrāts vienmēr ir lielāks par nulli (a → , a →) ≥ 0, tad (a → , a →) = 0 gadījumā, ja a → nulle.

Dominēšana var izskaidrot skalārās radīšanas apzīmējuma pazīmes plaknē un dominējošo stāvokli, saskaitot un reizinot reālos skaitļus.

Piešķiriet jaudu komutativitātei (a → , b →) = (b → , a →). Iespējams, ka (a → , b →) = a y · b y + a y · b y (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Vienādības komutativitātes pakāpei a x · b x = b x · a x і a y · b y = b y · a y ir patiess, tātad a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Izklausās šādi (a → , b →) = (b → , a →) . Kas bija vajadzīgs, lai atnestu.

Izplatība ir derīga jebkuriem numuriem:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

i (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

zvіdsi maєmo

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Skalārais televizors ar šautenes bučiem

Neatkarīgi no tā, vai šāda plāna uzdevums ir vai nav no autoritātes stagnācijas un formulām, kas pakļaujas skalārajai radīšanai:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^);
2. (a → , b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y vai (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Apskatīsim deyaki pielietojuma risinājumu.

dibens 2

Dovzhina a → dorіvnyuє 3, dovzhina b → dorіvnyuє 7. Zināt skalāro leņķi, kas var būt 60 grādi.

Risinājums

Prātam visi dati ir doti, mēs tos aprēķinām pēc šīs formulas:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Atbilstība: (a → , b →) = 21 2 .

dibens 3

Iestatiet vektorus a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Kāpēc viens skalārs tvir.

Risinājums

Šajā gadījumā tiek ņemta vērā koordinātu aprēķina formula, uzdevuma smakas uzdevuma prātam:

(a → , b →) = ax bx + ay ar + az bz == 1 0 + (-1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) == 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Ieteikums: (a → , b →) = - 9

dibens 4

Zināt skalāro tvіr A B → ta A C → . Uz koordinātu plaknes iestatiet punktus A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Risinājums

Vālītei tiek aprēķinātas vektoru koordinātas, kurām smadzenēm tiek dots koordinātu punkts:

A B → = (5 - 1 , 4 - ( - 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0, 4)

Aizvietojot formulu dažādām koordinātām, mēs ņemam:

(AB → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Atbilde: (AB → , AC →) = 28 .

dibens 5

Iestatiet vektorus a → = 7 · m → + 3 · n → un b → = 5 · m → + 8 · n → m → labi 3 і n → labi 2 vieninieki, smird perpendikulāri.

Risinājums

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Ņemot vērā sadales spēku, mēs ņemam vērā:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Mēs vainojam koeficientu radīšanas zīmei un atņemam to:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Komutativitātes labad pārtaisīsim:

35 (m → m →) + 56 (m → n →) + 15 (n → m →) + 24 (n → n →) = = 35 (m → m →) + 56 (m → n →) + 15 (m → n →) + 24 (n → n →) = = 35 (m → m →) + 71 (m → n →) ) + 24 (n → , n →)

Rezultāts aizņem:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → n →) + 24 (n → n →) .

Tagad mēs varam formulēt skalārās izveides formulu no uzdevuma garīgajam griezumam:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Atbilstība: (a → , b →) = 411

Šī ir skaitliska projekcija.

dibens 6

Zināt skalāro cietvielu a → ta b → . Vektors a → maks. koordināte a → = (9 , 3, - 3), projekcija b → koordinātas (-3, - 1, 1).

Risinājums

Aiz mentālā vektora a → projekcija b → ir paralēla taisnei, tai a → = - 1 3 n p a → b → → , arī projekcija b → dubultojas n p a → b → →, turklāt zīme “-” :

n a → b → → = - n a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Aizstājot formulu, mēs ņemam viraz:

(a → , b →) = a → n a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Atbilde: (a → , b →) = - 33 .

Uzdevums ar redzamu skalāru saskaitījumu, jāzina vektora vērtība un skaitliskā projekcija.

dibens 7

Kāda vērtība var tikt pieņemta noteiktai skalārajai izveidošanai a → = (1, 0, λ + 1) і b → = (λ, 1, λ) būs vienāda ar -1.

Risinājums

No formulas ir skaidrs, ka ir jāzina koordinātu summa:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Tam var būt (a → , b →) = - 1 .

Lai zinātu λ, mēs aprēķinām vienādības:

λ 2 + 2 λ = -1, zvaigznes λ = -1.

Vidpovid: λ = -1.

Skalārās radīšanas fiziskā sajūta

Mehānika aplūko skalāra izveides programmu.

Kad robots A ar konstantu spēku F → ķermenis pārvietojas no punktiem M uz N, jūs varat atrast vektoru skaita pieaugumu F → і M N → ar griezuma kosinusu starp tiem, tas nozīmē, ka robots palielina vektoru spēkā un pārvietojas:

A = (F → , M N →).

dibens 8

Materiāla punkta pārvietošana par 3 metriem spēka virzienā, kas ir 5 ntonnas, virzot zem griezuma 45 grādus pa asi. Zināt A.

Risinājums

Robota lauskas ir kustības spēka vektora avots, tad, ņemiet vērā F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , tiek pieņemts A = (F → , S →) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Ieteikums: A = 15 2 2 .

dibens 9

Materiālais punkts, pārejot no M (2, - 1, - 3) uz N (5, 3 λ - 2, 4) zem spēka F → = (3, 1, 2), padarīja robotu vienādu ar 13 J. Aprēķiniet nobīdes garumu.

Risinājums

Dotas vektora M N → var M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) koordinātas.

Darba nozīmes formulai ar vektoriem F → = (3 , 1 , 2) і MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) ņemam A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Tiek uzskatīts, ka A \u003d 13 J, arī 22 + 3 λ \u003d 13. Zvaigznes ir dzīvotspējīgas λ = - 3 , arī i M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Lai zinātu nobīdes garumu M N →

M N \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Atsauce: 158 .

Kā atcerējāties piedošanu tekstā, esiet laipni, skatiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Tādā veidā vektora garums tiek izpirkts tāpat kā kvadrātsakne no tā koordinātu kvadrātu summas.
. Tāpat tiek apdrošināts n-miera vektora ieguldījums
. Kā uzminēt, vektora ādas koordināta atšķiras starp gala un vālītes koordinātām, mēs ņemam otrās reizes formulu, tas ir. evklіdova vіdstanі mіzh raibs.

Skalārais doboots divi vektori plaknē - ce dobutok dozhin tsikh vektori ar kosinusu kuta starp tiem:
. Vai jūs varat pateikt, ka divu vektoru skalārais witwir \u003d (x 1, x 2), ka = (y 1 , y 2) šo vektoru doto koordinātu veidojumu kopsumma:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

n-pasaules telpā skalārais tvir vector_vX= (х 1 , х 2 ,...,х n) іY= (y 1 , y 2 ,..., yn) ir definēts kā їх radījumu summa. esošās koordinātas: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * yn.

Darbība, reizinot vektorus pa vienam, ir līdzīga rindas matricas reizināšanai ar rindas matricu. Lūdzu, ņemiet vērā, ka rezultāts būs skaitlis, nevis vektors.

Skalārais dobutok vector_in May so_power (aksiomas):

1) Komutatīva kvalitāte: X*Y=Y*X.

2) Jaudas pievienošanas sadales veids: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Jebkuram dienas numuram 
.

4)
, tātad X nav nulles vektors;
kur X ir nulles vektors.

Lineāro vektora izplatību, kurā ir dota skalārā vektora telpa, kas apmierina atbilstošās aksiomas, sauc. eiklīda lineārais vektorsatklāta telpa.

Ir viegli atcerēties, ka, reizinot vektoru, mēs ņemam yogo dozhini kvadrātu. Uz to citādā veidā dozhina vektoru var aprēķināt kā kvadrātsakni no skalārā kvadrāta:.

Vektora dovzhina joprojām var būt spēcīga:

1) | x | = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|

3) | X * Y |  | x | * | Y | ( Nerіvnіst Koshі-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( nelīdzena trikotāža).

Kut mizh vektori n-pasaules plašumā vyznaetsya, skatoties no skalārās radīšanas izpratnes. Pareizi, tieši tā
, tad
. Tsej drib ir ne vairāk kā viens (acīmredzot Koši-Buņakovska nervozitātei), jūs varat zināt zvaigznes.

Divi vektori un nosaukums ortogonāls vai perpendikulāri, Piemēram, to skalārais saskaitījums ir vienāds ar nulli. No skalārās izveides viedokļa ir skaidrs, ka nulles vektors ir ortogonāls jebkuram vektoram. Ja ir divi ortogonāli vektori un vieninieki, kas nav nulle, tad vispārīgā valoda ir cos= 0, tad tā ir vienāda ar /2 = 90 o.

Paskatīsimies uz mazajiem 7.4. No mazā var redzēt, ka kutas kosinuss
, un kuta kosinuss trāpīja vektoram līdz vertikālās ass jakam
. Qi numuri tiek pieņemti zvanīšanai tiešie kosinusi. Ir viegli mainīt, ka tiešo kosinusu kvadrātu summa ir tāda pati kā visbiežāk sastopamajām vienībām: cos 2 + cos 2 = 1. Tāpat var ieviest tiešo kosinusu jēdzienu un lielākām atstarpēm.

Vektoru telpas pamats

Par vektoriem jūs varat saprast lineāra kombinācija,lineārā papuveі neatkarība līdzīgi kā iepriekš tika ieviestas ci izpratnes matricu rindām. Ir arī taisnība, ka, lai gan vektori ir lineāri nogulsnēti, tad, ņemot vienu no tiem, jūs varat lineāri mainīties caur citiem (tā ir lineārās kombinācijas vaina). Tas ir pareizāk un atgriezeniski: kā viens no vektoriem kā citu lineāra kombinācija, visi šie vektori ir lineāro nogulumu kopumā.

Zīmīgi, ka vidējais vektors a l , a 2 ,...a m ir nulles vektors, tad vektoru secība ir lineāri atmatā. Faktiski mēs ņemam  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, kas, piemēram, pielīdzina koeficientu j ar nulles vektoru ar vienu, un visus pārējos koeficientus pielīdzina nullei. Kuriem ne visi koeficienti ir vienādi ar nulli ( j ≠ 0).

Turklāt, kā vektoru daļa no vektoru kopuma lineārajās papuvēs, tad visi šie vektori ir lineārās papuves. Tiesa, lai arī vektori lineārajā kombinācijā ar koeficientiem var dot nulles vektoru, ja tie uzreiz nav nulle, tad izveidojumu summai var pievienot citus vektorus, reizināt ar nulles koeficientiem, null, agrāk un uzvarēts

Kā noteikt, kuri vektori ir lineāri atmatā?

Piemēram, ņemsim trīs vektorus: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) un a 3 = (3, 1, 4, 3). Mēs veidojam no tiem matricu, savā ziņā smaka būs balsti:

Pēc tam padodiet lineārās atmatām uz piešķirto matricas rangu. Ja vēnas parādās vienādas ar trīs, tad visas trīs kolonnas ir lineāri neatkarīgas, un, ja tās šķiet mazākas, tad mēs runāsim par vektoru lineāro stagnāciju.

Oskіlki rangs dorivnyuє 2, vektori un lineārie noguldījumi.

Zīmīgi, ka scho rozv'yazannya uzdevumi var būt b rozpochati і z mirkuvan, scho ir balstīti uz norādīto lineāro neatkarību. Un sev pievienojiet vektora izlīdzināšanu  lal +  2 a 2 +  3 a 3 = 0, it kā tas izskatītos šādi:  l * (1, 0, 1, 5) +  2 * (2, 1, 3, -2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Tad mēs ņemam izlīdzināšanas sistēmu:

Sistēmas risinājums ar Gausa metodi tiek reducēts līdz soļu matricas likvidēšanai, tikai turpmāk būs vēl viens solis - brīvie dalībnieki. Smaka viss būs vienāds ar nulli, nulles lineārās transformācijas šķembas nevar novest pie cita rezultāta. Vienlīdzības sistēma ir pārveidota nākotnē, es redzēsim:

Risinājumi sistēmai būs (-s; -s; s), de s - pietiekams skaits; piemēram, (-1; -1; 1). Tse nozīmē, kā ņemt  l \u003d -1;  2 \u003d -1 і 3 \u003d 1, tad l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0, tad. patieso lineāro nogulumu vektors.

No iepriekš minētā piemēra kļūst skaidrs, ka, ja vektoru skaits ir lielāks, telpa ir mazāk ietilpīga, visa smaka būs lineāri atmatā. Patiesībā, ja mēs savā pieteikumā ņemtu piecus vektorus, tad mēs atņemtu 4 x 5 matricu, kuras rangs chotiri nevarētu būt augstāks. Tobto. maksimālais lineāri neatkarīgo stovptsiv skaits vienādi nebūtu lielāks par chotiri. Divi, trīs chi chotiri chotirivimіrnі vektori var parādīties lineāri neatkarīgi, bet pieci un vairāk - nevar. Arī plaknē lineāri neatkarīgi var būt ne vairāk kā divi vektori. Esiet kā trīs vektori divu pasauļu plašumā - lineārā atmatā. Trivi-pasaulīgajā telpā esiet līdzīgi chotiri (vai vairākiem) vektoriem - vienmēr lineāras nogulsnes. І utt.

Toms miers telpu var uzskatīt par maksimālo lineāri neatkarīgo vektoru skaitu, lai tie varētu atrasties jaunajā.

Tiek saukts n lineāri neatkarīgu vektoru skaits n-pasaules telpā R pamata kāda telpa.

Teorēma. Lineārās telpas ādas vektoru var redzēt, aplūkojot vektoru lineāro kombināciju bāzē, un tādā pašā veidā.

Pierādījums. Lai vektori e l , e 2 , ... n apmierina n-pasaules telpas R bāzi. Var parādīt, ka vektors X ir šo vektoru lineāra kombinācija. Šķembas ar vektoru X vektoru skaitu nometnē (n +1), qi (n +1) vektori būs lineāri atmatā, tātad. bāzes skaitļi l , 2 ,..., n ,, vienlaikus nav vienādi ar nulli, tāpēc

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Tshomu ir 0, jo citādā veidā mēs atņēmām b l l e l + 2 e 2 + ... + n n n = 0, kur ne visi koeficienti l, 2, ..., n ir vienādi ar nulli. Tse nozīmē, ka bāzes vektori šķita lineāri atmatā. Otzhe, jūs varat sadalīt pirmo apvainojumus ar:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

X \u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n,

de x j = -( j /),
.

Tagad mēs varam redzēt, ka šāda lineāras kombinācijas izskata izpausme ir vienāda. Nepieņemsim to, tobto. kas vēl ir norādīts:

X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

No jaunā viraz atņemšanas periodam var redzēt:

0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

Vektoru un bāzes skalas ir lineāri neatkarīgas, tiek ņemts vērā, ka (y j - x j) = 0,
, tad j = x j . Otzhe, viraz vyyavivsya pats. Teorēma ir pabeigta.

Viraz X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n nosaukums izplatot dienas vektors X aiz bāzes e l , e 2 ,...e n , un skaitļiem x l , x 2 ,... x n - koordinātas vektors x uz jebkuru bāzi vai uz jebkuru pamatu.

Ir iespējams pierādīt, ka pat n-nulles vektori n-pasaules Eiklīda telpā ir pa pāriem ortogonāli, tad tie veido bāzi. Faktiski mēs reizinām vienādības  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 aizskarošo daļu ar jebkuru vektoru e i . To ņem  l (el * e i) +  2 (e 2 * e i) +...+  n (en * e i) = 0  i (ei * e i) = 0   i = 0 ja  i .

n-pasaules Eiklīda telpas vektori e l , e 2 ,...e n apmierina ortonormāls pamats, kas ir vektori un ir pa pāriem ortogonāli un ādas norma їх dorіvnyuє odinі, tobto. kur e i * e j = 0, ja i≠jі | e i | = 1 i.

Teorēma (bez apstiprinājuma). Ādas n-pasaules Eiklīda telpai ir ortonormāls pamats.

Ortonormālās bāzes piemērs ir n atsevišķu vektoru sistēma e i , kurai i-tajam komponentam ir vairāk nekā viens, bet pārējiem komponentiem ir vairāk par nulli. Šādu vektoru sauc ort. Piemēram, vektoru ortijas (1, 0, 0), (0, 1, 0) un (0, 0, 1) apmierina trivum telpas pamatu.

Kut mizh vektori

Apskatīsim divus dotos vektorus $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$. Ja vektoru $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ і $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, tad $AOB$ sauc par griezumu starp vektoriem $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ (1. att.).

Mazais 1.

Šeit ir svarīgi, ka vai nu vektori $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$ ir taisni uz priekšu, vai arī viens no tiem ir nulles vektors, kas ir tāds pats kā starp vektoriem $0^0$.

Paraksts: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Izpratne par vektoru skalāro veidošanu

Matemātiski vērtību var uzrakstīt šādi:

Skalārā vērpe var sasniegt nulli divos virzienos:

Kā viens no vektoriem būs nulles vektors

Šie vektori ir savstarpēji perpendikulāri (tātad $cos(90)^0=0$).

Būtiski ir arī tas, ka skalārais paplašinājums ir lielāks par nulli, jo to var atrast starp šiem resursdatora vektoriem (kopš $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), i ir mazāks par nulli, tāpēc to var iestatīt starp diviem stulbuma vektoriem (jo $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

No skalārās radīšanas izpratnes skalārā kvadrāta izpratne nav saistīta.

Tikšanās 2

Vektora $\overrightarrow(a)$ skalārais kvadrāts ir šī vektora skalārais palielinājums.

Ir svarīgi, lai skalārais kvadrāts būtu pareizs

' )\right|\left|\overright arrow(a)\right|=(\left|\overright arrow(a)\right|)^2\]

Skalārās izveidošanas aprēķins vektoru koordinātām

Ir tikai viens cits veids, kā definēt skalārās radīšanas nozīmi, kas izplūst no standarta veida nozīmes.

Apskatīsim jogu.

Ļaujiet vektoriem $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$, protams, pārvietot koordinātas $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$.

1. teorēma

Vektoru $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$ skalāra palielināšana, lai pabeigtu atbilstošo koordinātu izveidošanas summu.

Matemātiski to var uzrakstīt kā

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Pierādījums.

Teorēma ir pabeigta.

Tsya teorēma maє kіlka sledkіv:

1. nodarbība: Vektori $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$ ir perpendikulāri vienam un tam pašam un tikai tad, ja $a_1a_2+b_1b_2=0$

2. nodarbība: Kuta kosinuss starp vektoriem ir $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Vektoru skalārās radīšanas dominēšana

Uz jebkuriem trim vektoriem un decimālskaitli $k$ ir taisnība:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Tsya jauda inplivaє z skalārā kvadrāta apzīmējumu (apzīmējums 2).

Peresuvny likums:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Tsya jauda vyplyvaє z znachennya skalāra izveide (1. iecelšana).

Pamatlikums:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(uzskaitīt)

Pēc 1. teorēmas, iespējams:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overright arrow(a)\overright arrow(c)+\overright arrow(b)\overright arrow(c)\]

Laimīgs likums:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(uzskaitīt)

Pēc 1. teorēmas, iespējams:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Vektoru skalārās izveides aprēķina uzdevuma piemērs

dibens 1

Atrodiet vektora skalāro paplašinājumu $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, t.i., $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b) \right|= 2 $, un starp tiem ir dārgāki $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.

Risinājums.

Vikoristovuyuchi tikšanās 1, pēc izvēles

Par $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Par $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Par $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Par $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ pa labi)=-3\sqrt(2)\]

Kut mizh vektori

Apskatīsim divus dotos vektorus $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$. Ja vektoru $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ і $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, tad $AOB$ sauc par griezumu starp vektoriem $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ (1. att.).

Mazais 1.

Šeit ir svarīgi, ka vai nu vektori $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$ ir taisni uz priekšu, vai arī viens no tiem ir nulles vektors, kas ir tāds pats kā starp vektoriem $0^0$.

Paraksts: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Izpratne par vektoru skalāro veidošanu

Matemātiski vērtību var uzrakstīt šādi:

Skalārā vērpe var sasniegt nulli divos virzienos:

Kā viens no vektoriem būs nulles vektors

Šie vektori ir savstarpēji perpendikulāri (tātad $cos(90)^0=0$).

Būtiski ir arī tas, ka skalārais paplašinājums ir lielāks par nulli, jo to var atrast starp šiem resursdatora vektoriem (kopš $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), i ir mazāks par nulli, tāpēc to var iestatīt starp diviem stulbuma vektoriem (jo $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

No skalārās radīšanas izpratnes skalārā kvadrāta izpratne nav saistīta.

Tikšanās 2

Vektora $\overrightarrow(a)$ skalārais kvadrāts ir šī vektora skalārais palielinājums.

Ir svarīgi, lai skalārais kvadrāts būtu pareizs

' )\right|\left|\overright arrow(a)\right|=(\left|\overright arrow(a)\right|)^2\]

Skalārās izveidošanas aprēķins vektoru koordinātām

Ir tikai viens cits veids, kā definēt skalārās radīšanas nozīmi, kas izplūst no standarta veida nozīmes.

Apskatīsim jogu.

Ļaujiet vektoriem $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$, protams, pārvietot koordinātas $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$.

1. teorēma

Vektoru $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$ skalāra palielināšana, lai pabeigtu atbilstošo koordinātu izveidošanas summu.

Matemātiski to var uzrakstīt kā

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Pierādījums.

Teorēma ir pabeigta.

Tsya teorēma maє kіlka sledkіv:

1. nodarbība: Vektori $\overrightarrow(a)$ un $\overrightarrow(b)$ ir perpendikulāri vienam un tam pašam un tikai tad, ja $a_1a_2+b_1b_2=0$

2. nodarbība: Kuta kosinuss starp vektoriem ir $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Vektoru skalārās radīšanas dominēšana

Uz jebkuriem trim vektoriem un decimālskaitli $k$ ir taisnība:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Tsya jauda inplivaє z skalārā kvadrāta apzīmējumu (apzīmējums 2).

Peresuvny likums:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Tsya jauda vyplyvaє z znachennya skalāra izveide (1. iecelšana).

Pamatlikums:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(uzskaitīt)

Pēc 1. teorēmas, iespējams:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overright arrow(a)\overright arrow(c)+\overright arrow(b)\overright arrow(c)\]

Laimīgs likums:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(uzskaitīt)

Pēc 1. teorēmas, iespējams:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Vektoru skalārās izveides aprēķina uzdevuma piemērs

dibens 1

Atrodiet vektora skalāro paplašinājumu $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, t.i., $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b) \right|= 2 $, un starp tiem ir dārgāki $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.

Risinājums.

Vikoristovuyuchi tikšanās 1, pēc izvēles

Par $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Par $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Par $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Par $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ pa labi)=-3\sqrt(2)\]