valsts kalendārs

Vienkāršākā grafika. Elementāras funkcijas un to grafikas. Soli funkcija ar nesapārotu pozitīvo indikatoru

Video kursā "Take off five" iekļautas visas EDI matemātikas veiksmīgai locīšanai nepieciešamās tēmas par 60-65 punktiem. Es atbildēšu uz visiem profila EDI matemātikas uzdevumiem 1-13. Piemērots pamata EDI veidošanai matemātikā. Ja vēlaties maksāt 90-100 punktus par EDI, jums ir jāmaksā 1 daļa par 30 kredītiem bez piedošanas!

Apmācības kurss līdz ЄДІ 10-11 klasēm, kā arī vikladachiv. Viss nepieciešams, lai izpildītu matemātikas ЄДІ 1. daļu (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ЄDI maksāja pāri par 70 punktiem, un bez tiem nevar iztikt ne stobalists, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Shvidkі veidi ķiršu, makaroni un noslēpumi EDI. Visi būtiskie Bankas FIPD uzdevuma 1. daļas uzdevumi ir sakārtoti. Kurss tiks atjaunināts, lai atbalstītu EDI-2018.

Kurss, kas aptver 5 lieliskas tēmas, katra 2,5 gadus. Ādas tēma ir dota no nulles, tā ir vienkārša un saprotama.

Simtiem EDI vadītāju. Teksti un imovirnosti teorija. Piedodiet, uzdevumu risināšanas algoritmus ir viegli aizmirst. Ģeometrija. Teorija, pamatmateriāli, visu veidu EDI uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi paņem rozi, krāsainas gultiņas, ietilpīgas vizualizācijas noformējumu. Trigonometrija no nulles - līdz uzdevumam 13. Razuminnya zamіst zubrіnnya. Naochne skaidrojums locīšanas saprast. Algebra. Šī logaritma sakne, solis, tā funkcija ir slikta. Pamatne saliekamajām galviņām 2 daļas ЄDI.

Galvenās elementārās funkcijas, grafu prioritāte un spēks ir viens no matemātikas zināšanu pamatiem, kas pēc svarīguma ir līdzīgs reizināšanas tabulai. Elementārās funkcijas ir pamats, pamats visa teorētiskā uztura attīstībai.

Tālāk esošajā rakstā ir sniegti galvenie materiāli par pamatelementārajām funkcijām. Ieviešam terminus, ieviešam; Kā ziņots, elementāru funkciju izskats ir nodīrāts, mēs analizējam to spēku.

Skatiet šādas galvenās elementārās funkcijas:

Tikšanās 1

konstanta funkcija (konstante);
n-tās stadijas sakne;
valsts funkcija;
displeja funkcija;
logaritmiskā funkcija;
trigonometriskās funkcijas;
brāļa trigonometriskās funkcijas.

Konstantu funkciju definē pēc formulas: y = C (C ir reāls skaitlis), un to var saukt arī: konstante. Šī funkcija nosaka jebkuras neatkarīgas izmaiņas x neatkarīgās vērtības derīgumu ar tādu pašu izmaiņu y vērtības C vērtību.

Konstantes grafiks ir taisns, jo tas ir paralēls abscisu asij un iet caur punktu, kuram ir koordinātas (0, C). Precizitātei uzzīmējam pēcfunkciju grafikus y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (uz krēsla atzīmēts ar melnu krāsu, sarkanā un zilā krāsa ir skaidra).

Tikšanās 2

Šo elementāro funkciju definē ar formulu y = x n (n ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par vienu).

Apskatīsim divus funkcijas variantus.

N-tās pakāpes sakne n ir skaitlis

Precīzāk sakot, teiksim krēslu, kuram ir šādu funkciju grafiks: y=x, y=x4 y=x8. Funkcijas ir apzīmētas ar krāsu: melna, sarkana un zila.

Līdzīgs skats uz pāra posma funkcijas grafiku citām indikatora vērtībām.

Tikšanās 3

Funkcijas dominante ir n-tās pakāpes sakne, n ir skaitlis

apzīmējuma diapazons - visu nezināmo reālo skaitļu neesamība [0, + ∞);
ja x = 0 , funkcija y = x n
dota kopīga tipa funkcija-funkcija (ne pārī, ne nepāra);
diapazona vērtība: [0, + ∞);
funkcija y = x n ir dota ar sapārotiem augšanas saknes indikatoriem visā lietošanas jomā;
funkcija var būt pietūkušies ar taisnu augšupeju visās tikšanās vietās;
ikdienas kink punkti;
asimptoti ir katru dienu;
funkcijas grafiks pārim n iet caur punktiem (0; 0) un (1; 1).

N-tā soļa sakne, n ir nepāra skaitlis

Šāda funkcija tiek piešķirta visai reālo skaitļu kopai. Skaidrības labad apskatīsim funkciju grafikus y=x3, y=x5 x 9 . Uz krēsla smirdoņa iezīmēta ar krāsām: melna, sarkana un zila, krāsas ir greizas.

Citas funkcijas y = xn saknes indikatora nepāra vērtības sniegs līdzīgas formas grafiku.

Tikšanās 4

Funkcijas jauda ir n-tās pakāpes sakne, n ir nepāra skaitlis

iecelšanas apgabals - visu reālo skaitļu neesamība;
dotā funkcija ir nesapārota;
vērtību apgabals – bezjēdzīgi faktiskie skaitļi;
funkcija y = x n ar nesapārotām saknes norādēm aug visā piešķiršanas diapazonā;
funkcija var izspiesties uz kājstarpes (- ∞ ; 0 ) un izspiesties uz kājstarpes [ 0 + ∞) ;
saliekuma punkta maє koordinātas (0; 0);
asimptoti ir katru dienu;
funkcijas grafiks nepāra n iet caur punktiem (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) un (1 ; 1) .

Pakāpju funkcija

Tikšanās 5

Pakāpju funkciju definē pēc formulas y = x a.

Grafiku skats un funkcijas jauda atrodas soļa rādītāja vērtībā.

ja stāvokļa funkcija ir galvenais rādītājs a, tad statiskās funkcijas grafika veids un її jauda slēpjas apstāklī, ka pāris ir posma nepāra rādītājs, kā arī, kura zīme var būt posma rādītājs. Apskatīsim visus tālāk norādītā ziņojuma punktus;
pokaznik solis var būt šāviens līdzīgs un iracionāls - papuve, atkarībā no tā, atšķiras arī grafika veids un funkcijas jauda. Mi rozbero okremі vpadki, zadavshi kіlka minds: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
stāvokļa funkcija var būt nulles punkta rādītājs, un šāda veida uzvedība ir arī analizēta turpmāk.

Analizēsim stāvokļa funkciju y \u003d x a, ja a ir nesapārots pozitīvs skaitlis, piemēram, a \u003d 1, 3, 5 ...

Lai būtu precīzāk, parādīsim šādu steka funkciju grafikus: y = x (melnas krāsas grafika), y = x 3 (zilā krāsu diagramma), y \u003d x 5 (melnas krāsas grafika), y = x7 (zaļas krāsas grafika). Ja a = 1, mēs ņemam lineāro funkciju y = x.

Tikšanās 6

Stāvokļa funkcijas dominante, ja soļa rādītājs ir nepāra pozitīvs

funkcija є aug virs x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcija var būt izliekta pie x ∈ (- ∞ ; 0 ) un izliekta pie x ∈ [ 0 ; + ∞) (ieskaitot lineāro funkciju);
lēciena punkts var koordinēt (0; 0) (ieskaitot lineāro funkciju);
asimptoti ir katru dienu;
funkciju nokārtošanas punkti: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Analizēsim stāvokļa funkciju y \u003d x a, ja a ir pozitīvs skaitlis, piemēram, a \u003d 2, 4, 6 ...

Skaidrības labad parādīsim šādu steka funkciju grafikus: y = x 2 (melnas krāsas grafika), y = x 4 (zilā krāsu diagramma), y = x 8 (melnas krāsas grafika). Ja a = 2 ir būtiska kvadrātiskā funkcija, tad grafiks ir kvadrātiskā parabola.

Tikšanās 7

Stāvokļa funkcijas dominante, ja soļa rādītājs ir pozitīvs puisis:

mērķa apgabals: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
recesīvs x ∈ (- ∞ ; 0] ;
funkcija var saliekties par x ∈ (- ∞ ; + ∞);
okulāri peregina vіdsutnі;
asimptoti ir katru dienu;
funkciju caurlaides punkti: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

Zemāk uzlieciet statiskās funkcijas grafiku y \u003d x a, ja a ir nesapārots skaitlis: y \u003d x - 9 (diagrammas melnā krāsa); y \u003d x - 5 (diagrammas zilā krāsa); y \u003d x - 3 (grafikas melnā krāsa); y \u003d x - 1 (zaļas krāsas grafika). Ja a \u003d - 1, mums ir nepieciešama apgrieztā proporcija, grafiks ir hiperbola.

Tikšanās 8

Stāvokļa funkcijas dominēšana, ja soļa rādītājs ir nepāra negatīvs:

Ja x \u003d 0 ir nepieciešams izvērst citā veidā, mērogošana ir lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ ar \u003d - 1, - 3 , - 5, .... Vēlāk taisne x = 0 ir vertikālā asimptote;

vērtību diapazons: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija ir nesapārota, shards y(-x) = -y(x);
funkcija є samazināšanās x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
funkcija var būt izliekta pie x ∈ (- ∞ ; 0) un izliekta pie x ∈ (0 ; + ∞) ;
pārtraukuma punkti dienā;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ja a = - 1, - 3, - 5,. . . .

funkciju nokārtošanas punkti: (- 1; - 1), (1; 1).

Zemāk esošajam mazajam uzklāj statiskās funkcijas y = x a grafikus, ja a - puisis redz skaitli: y \u003d x - 8 (diagrammas melnā krāsa); y \u003d x - 4 (diagrammas zilā krāsa); y \u003d x - 2 (diagrammas melnā krāsa).

Tikšanās 9

Stāvokļa funkcijas dominante, ja soļa rādītājs ir vīriešu negatīvs:

mērķa apgabals: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Ja x \u003d 0, ir iespējams izvērst citā veidā, mērogojot lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ ar \u003d - 2, - 4, - 6, .... Vēlāk taisne x = 0 ir vertikālā asimptote;

funkcija ir savienota pārī, shards y(-x) = y(x);
funkcija є pieaug pie x ∈ (- ∞ ; 0) і samazinās uz x ∈ 0 ; +∞;
funkcija var saliekties par x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
pārtraukuma punkti dienā;
horizontālā asimptote - taisna līnija y = 0, skalas:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ja a = -2, -4, -6,. . . .

funkciju caurlaides punkti: (- 1; 1), (1; 1).

No paša sākuma cieņa pret aizskarošo aspektu: augšpusē, ja a ir pozitīvs kritums ar nepāra zīmi, tad autori ņem intervālu - ∞ kā valsts funkcijai paredzēto apgabalu; + ∞ , runājot ar savējiem, ka indikators a ir neīss dribs. Šobrīd algebras un analīzes pirmo zināšanu autori STATISKĀS FUNKCIJAS NEIZSTRĀDĀ; Ieņemsim tādu pašu pozīciju: ņemsim valsts funkciju piešķiršanas zonu ar citām pozitīvām bezpersoniskuma līmeņa pazīmēm [0; +∞). Ieteikums uchnіv: z'yasuvati skatiens vikladach pašreizējā brīdī, schob nepārprotami razbіzhnosti.

Atkal analizēsim stāvokļa funkciju y = x a< a < 1 .

Ilustrē statisko funkciju grafiki y \u003d x a ja a \u003d 11 12 (diagrammas melnā krāsa); a = 5 7 (grafikas melnā krāsa); a = 13 (zilā krāsu diagramma); a = 2 5 (zaļas krāsas grafika).

Citas indikatora soļa a vērtības (prātam 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Tikšanās 10

Stāvokļa funkcijas pārsvars pie 0< a < 1:

diapazons: y ∈ [0; +∞);
funkcija aug x ∈ [0; +∞);
funkcija var būt izliekta x ∈ (0; + ∞);
pārtraukuma punkti dienā;
asimptoti ir katru dienu;

Analizēsim stāvokļa funkciju y \u003d x a, ja soļa rādītājs nav racionāls skaitlis, iracionāls skaitlis prātam, ka a\u003e 1.

Ilustrējiet statiskās funkcijas grafikus y = x a

Citas soļu indikatora vērtības un prātam a > 1 sniedz līdzīgu diagrammas skatu.

Tikšanās 11

Stāvokļa funkcijas dominēšana > 1:

tvērums: x ∈ [0; +∞);
diapazons: y ∈ [0; +∞);
tiek dota funkcija - vulgāras formas funkcija (nav nepāra, nav sapārota);
funkcija aug x ∈ [0; +∞);
funkcija var saliekties par x ∈ (0 ; + ∞) (ja 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
pārtraukuma punkti dienā;
asimptoti ir katru dienu;
funkcijas pārejas punkti: (0; 0), (1; 1).

Mēs iznīcinām jūsu cieņu! Ja a ir negatīvs kritums ar nesapārotu baneri, dažu autoru robotiem ir asāks izskats, ka laukums ir piešķirts noteiktam slīpumam - intervāls - ∞; 0 ∪ (0; + ∞) Šobrīd sākotnējo materiālu par algebru un vālīšu analīzi autori NEIZSTRĀDĀ statiskas funkcijas ar eksponentu daļdaļā ar nepāra saucēju argumenta negatīvajām vērtībām. Mēģināsim paskatīties uz sevi: par statisko funkciju iecelšanas apgabalu ņemam negatīvus bezpersoniskuma rādītājus (0; + ∞). Ieteikums izglītojamajiem: precizējiet sava ieraksta informāciju pašreizējā brīdī, lai nebūtu atšķirību.

Turpinām tēmu un analizējam valsts funkciju y = x, ņemiet vērā: - 1< a < 0 .

Uzzīmēsim nākamo funkciju krēsla grafiku: y \u003d x - 5 6, y \u003d x - 2 3, y \u003d x - 1 2 2, y \u003d x - 1 7 (melna, sarkana, zila, zaļa krāsa ir lineāras).

Tikšanās 12

Valsts funkcijas jauda pie - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , ja - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

vērtību diapazons: y ∈ 0; +∞;
tiek dota funkcija - vulgāras formas funkcija (nav nepāra, nav sapārota);
pārtraukuma punkti dienā;

Zemāk esošajā atzveltnes krēslā statisko funkciju grafiki y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 (ir redzamas līkņu melnas, sarkanas, zilas, zaļas krāsas).

Tikšanās 13

Valsts funkcijas dominēšana pie a< - 1:

mērķa apgabals: x ∈ 0; +∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ ja a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

vērtību diapazons: y ∈ (0; + ∞);
tiek dota funkcija - vulgāras formas funkcija (nav nepāra, nav sapārota);
funkcija samazinās pie x ∈ 0; +∞;
funkcija var saliekties par x ∈ 0; +∞;
pārtraukuma punkti dienā;
horizontālā asimptote - taisna līnija y = 0;
funkcijas passpoint: (1; 1) .

Ja a \u003d 0 і x ≠ 0, tiek ņemta funkcija y \u003d x 0 \u003d 1, kas tiek tieši norādīta, tad punkts (0 ; 1) tiek ieslēgts (mēs noskaidrojām, ka vērtība 0 0 nav nepieciešams nospiest).

Var redzēt displeja funkciju y \u003d a x, de a > 0 i a ≠ 1 i funkcijas grafiks izskatās savādāk atkarībā no a vērtības. Apskatīsim kāpumu un kritumu apkārtni.

Mēs analizēsim situāciju, ja displeja funkcijas bāzei var būt vērtība no nulles līdz vienam (0< a < 1) . Kā galveno piemēru izmantojiet kā funkciju grafikus a = 1 2 (līknes zilā krāsa) un a = 5 6 (līknes melnā krāsa).

Līdzīgs izskats displeja funkcijas grafikam pie citām vērtībām tiek dots kā minējums 0< a < 1 .

Tikšanās 14

Displeja funkcijas jauda, ja bāze ir mazāka par vienu:

vērtību diapazons: y ∈ (0; + ∞);
tiek dota funkcija - vulgāras formas funkcija (nav nepāra, nav sapārota);
displeja funkcija, kurai ir mazāk par vienu, є samazināšanās visās jomās;
pārtraukuma punkti dienā;
horizontālā asimptote - taisne y = 0, mainot x, kas ir pragne + ∞;

Tagad apskatīsim atšķirību, ja displeja funkcijas bāze ir lielāka par vienu (a > 1).

Mēs to varam ilustrēt, izmantojot displeja funkciju grafiku y = 3 2 x (līknes zilā krāsa) un y = e x (diagrammas melnā krāsa).

Citas bāzes vērtības, lieliskas, sniedz līdzīgu skatījumu uz displeja funkcijas grafiku.

Tikšanās 15

Displeja funkcijas jauda, ja bāze ir lielāka par vienu:

iecelšanas apgabals - visi bezjēdzīgie reālie skaitļi;
vērtību diapazons: y ∈ (0; + ∞);
tiek dota funkcija - vulgāras formas funkcija (nav nepāra, nav sapārota);
parāda funkciju, kuras bāze ir lielāka par vienu, є pieaug par x ∈ - ∞ ; +∞;
funkcija var saliekties par x ∈ - ∞; +∞;
pārtraukuma punkti dienā;
horizontālā asimptote - taisna līnija y \u003d 0, mainot x, kas ir līdz - ∞;
funkcijas passpoint: (0; 1).

Logaritmisko funkciju var redzēt y = log a (x) , kur a > 0 , a ≠ 1 .

Šāda funkcija tiek piešķirta tikai argumenta pozitīvajām vērtībām: ja x ∈ 0 ; +∞.

Logaritmiskās funkcijas grafiks var izskatīties atšķirīgi atkarībā no bāzes a vērtības.

Apskatīsim situāciju, ja 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Citas bāzes vērtības, mazas, sniedz līdzīgu grafiku.

Tikšanās 16

Logaritmiskās funkcijas jauda, ja bāze ir mazāka par vienību:

mērķa apgabals: x ∈ 0; +∞. Ja x ir labās puses līdz nullei, funkcijas vērtība ir labās rokas + ∞;
vērtību diapazons: y ∈ - ∞; +∞;
tiek dota funkcija - vulgāras formas funkcija (nav nepāra, nav sapārota);
logaritmisks
funkcija var saliekties par x ∈ 0; +∞;
pārtraukuma punkti dienā;
asimptoti ir katru dienu;

Tagad apskatīsim krituma robežu, ja logaritmiskās funkcijas bāze ir lielāka par vienu: a > 1 . Uz atzveltnes krēsla zemāk - logaritmisko funkciju grafiki y = log 3 2 x і y = ln x (grafu zilā un melnā krāsa ir skaidra).

Citas bāzes vērtības, kas ir vairāk nekā viena, sniegs līdzīgu grafiku.

Tikšanās 17

Logaritmiskās funkcijas jauda, ja bāze ir lielāka par vienu:

mērķa apgabals: x ∈ 0; +∞. Ja x pragne nulle labajā pusē, funkcijas vērtība ir pragmatiska līdz - ∞ ;
vērtību diapazons: y ∈ - ∞; + ∞ (visi bezpersoniski reālie skaitļi);
tiek dota funkcija - vulgāras formas funkcija (nav nepāra, nav sapārota);
logaritmiskā funkcija є aug virs x ∈ 0 ; +∞;
funkcija var būt izliekta x ∈ 0; +∞;
pārtraukuma punkti dienā;
asimptoti ir katru dienu;
funkcijas caurlaides punkts: (1; 0) .

Trigonometriskās funkcijas - ce sine, kosinuss, tangenss un kotangenss. Ādas autoritātes un jo īpaši grafikas noteikšana.

Visu trigonometrisko funkciju pazīmi raksturo periodiskuma spēks, tas ir. ja funkciju vērtības tiek atkārtotas pie dažādām argumenta vērtībām, tad vienu veidu uzskata par perioda vērtību f(x + T) = f(x) (T ir periods). Tādā veidā trigonometrisko funkciju pakāpju saraksts tiek pievienots vismazāk pozitīvā perioda vienumam. Protams, argumentam norādīsim šādu vērtību, kurai noteikta funkcija tiek pārvērsta par nulli.

Sinusa funkcija: y = sin(x)

Šīs funkcijas grafiku sauc par sinusoīdu.

Tikšanās 18

Sinusa funkcijas jauda:

tvērums: visi reālo skaitļu reizinātāji x ∈ - ∞ ; +∞;
funkciju pārvērš par nulli, ja x = π · k , kur k ∈ Z (Z ir neskaitāmi veseli skaitļi);
funkcija є aug x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ir vienāds ar x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
sinusa funkcijai ir lokālie maksimumi punktos π 2 + 2 π · k; 1 i lokālie minimumi punktos - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
sinusa funkcija tiek izlaista, ja x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і ir pietūkums, ja x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
asimptoti ir katru dienu.

Kosinusa funkcija: y = cos(x)

Šīs funkcijas grafiku sauc par kosinusoīdu.

Tikšanās 19

Kosinusa funkcijas spēks:

tvēruma apgabals: x ∈ - ∞; +∞;
vismazāk pozitīvais periods: Т = 2 π;
vērtību diapazons: y ∈ - 1; viens;
dotā funkcija - pāris, shards y(-x) = y(x);
funkcija є aug x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і atstarpe x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
kosinusa funkcijai ir lokālie maksimumi punktos 2 π · k; 1 , k ∈ Z un lokālie minimumi punktos π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
kosinusa funkcija tiek izlaista, ja x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і opula, ja x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
Kink punkti var būt koordinātes π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
asimptoti ir katru dienu.

Funkcijas tangenss: y = tg(x)

Šīs funkcijas grafiks tiek izsaukts tangentoīds.

Tikšanās 20

Jaudas funkcijas tangente:

tvēruma apgabals: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π k , kur k ∈ Z (Z ir neskaitāmi veseli skaitļi);
Pieskares funkcijas uzvedība starpreģionā lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Tādējādi taisnes x = π 2 + π · k k ∈ Z ir vertikālas asimptotes;
funkcija transformējas uz nulli, ja x = π k k ∈ Z (Z ir neskaitāmi veseli skaitļi);
vērtību diapazons: y ∈ - ∞; +∞;
dotā funkcija - nesapārots, shards y (- x) = - y (x);
funkcija є aug pie - π 2 + π · k; π 2 + π k, k ∈ Z;
funkcijas tangensa є izliekta x ∈ [π · k; π 2 + π k), k ∈ Z і uzpūsts x ∈ (- π 2 + π k; π k], k ∈ Z ;
Kink punkti var būt koordinātes π · k; 0, k ∈ Z;

Kotangentes funkcija: y = c t g (x)

Šīs funkcijas grafiku sauc par kotangentoīdu .

Tikšanās 21

Kotangences funkcijas spēks:

piešķiršanas diapazons: x ∈ (π k; π + π k) , kur k ∈ Z (Z ir veselu skaitļu skaits);

Kotangences funkcijas uzvedība starpdomēnu robežās lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Tādējādi taisnes x = π · k k ∈ Z ir vertikālas asimptotes;

vismazāk pozitīvais periods: Т = π;
funkcija kļūst par nulli, ja x = π 2 + π · k k ∈ Z (Z ir neskaitāmi veseli skaitļi);
vērtību diapazons: y ∈ - ∞; +∞;
dotā funkcija - nesapārots, shards y (- x) = - y (x);
funkcija є samazinās pie x ∈ π · k; π + π k, k ∈ Z;
kotangentes funkcija є izliekta x ∈ (π · k ;
Kink punkti var būt koordinātes π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
pokhili un horizontālie asimptoti ir katru dienu.

Reversās trigonometriskās funkcijas - arkosīns, arkosīns, arktangenss un arkotangenss. Visbiežāk saistībā ar prefiksa "loka" klātbūtni nosaukumā pagrieziena trigonometriskās funkcijas sauc par loka funkcijām .

Arcsine funkcija: y \u003d a r c sin (x)

Tikšanās 22

Arksīna funkcijas jauda:

dotā funkcija - nesapārots, shards y (- x) = - y (x);
arcsinusa funkcija var saliekties par x ∈ 0; 1 i izliekums x ∈ - 1; 0;
locījuma punkti var būt koordinātes (0; 0), won - funkcijas nulle;
asimptoti ir katru dienu.

Arkosīna funkcija: y = a r c cos (x)

Tikšanās 23

Arkosīna funkcijas spēks:

mērķa apgabals: x ∈ - 1; viens;
vērtību diapazons: y ∈ 0; π;
ir dota funkcija - izkliedēta tipa (ne pārī, ne nepāra);
funkcija samazinās visās jomās;
arkosīna funkcija var saliekties par x ∈ - 1; 0 i izliekums x ∈ 0; viens;
Kink punkti var būt koordināte 0; π2;
asimptoti ir katru dienu.

Arktangenta funkcija: y = r c t g (x)

Tikšanās 24

Arktangenta funkcijas spēks:

tvēruma apgabals: x ∈ - ∞; +∞;
vērtību diapazons: y ∈ - π 2; π2;
dotā funkcija - nesapārots, shards y (- x) = - y (x);
funkcija aug visās jomās;
arktangensa funkcija var būt izliekta x ∈ (- ∞ ; 0 ) un izliekta x ∈ [ 0 ; +∞) ;
lēciena punkts maє koordinātas (0; 0), uzvarēja w - funkcijas nulle;
horizontālas asimptotes - taisnas līnijas y \u003d - π 2 x → - ∞ і y \u003d π 2 x → + ∞ (mazai asimptotam - visa zaļā krāsa).

Loka kotangences funkcija: y = r c c t g (x)

Tikšanās 25

Loka tangensas funkcijas jauda:

tvēruma apgabals: x ∈ - ∞; +∞;
vērtību diapazons: y ∈ (0; π);
tsya funktіya - zagalny izskats;
funkcija samazinās visās jomās;
loka kotangensa funkcija var saliekties par x ∈ [0; + ∞) i izliekums x ∈ (- ∞ ; 0];
saķeres punkts var koordinēt 0; π2;
horizontālās asimptotes - taisnas līnijas y = π pie x → - ∞ (uz krēsla - zaļas krāsas līnija) і y = 0 ja x → + ∞ .

Kā atcerējāties piedošanu tekstā, esiet laipni, skatiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Lineāra funkcija ir forma y=kx+b, kur x ir neatkarīgs no izmaiņām, k un b ir skaitļi.
Lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija.

1. Lai ierosinātu funkcijas grafiku, mums ir vajadzīgas divu punktu koordinātas, kas atrodas pirms funkcijas grafika. Lai zinātu x, jāņem divas x vērtības, jāaizstāj tās ar vienādām funkcijām un no tām jāaprēķina attiecīgās y vērtības.

Piemēram, lai inducētu funkcijas y=x+2 grafiku, manuāli ņem x=0 un x=3, tad ordinātu punkti ir y=2 un y=3. Punkti A(0; 2) un B (3; 3) tiek atņemti. Tāpēc mums ir jāņem funkcijas y= x+2 grafiks:

2. Formulā y=kx+b skaitli k sauc par proporcionalitātes koeficientu:
ja k>0, tad funkcija y=kx+b aug
jakščo k
Koeficients b parāda izmantoto OY ass gaisa funkcijas grafiku:
Ja b>0, tad funkcijas y=kx+b grafiks izies no funkcijas y=kx grafika, kļūmes uz b celsies uz augšu pa asi OY
jakšo b
Zemāk esošajā mazajā attēlā redzami funkciju y=2x+3 grafiki; y = ½x+3; y=x+3

Ir svarīgi, lai visām šīm funkcijām būtu koeficients k lielāks par nullišī funkcija ir augošs. Turklāt, jo lielāka ir k vērtība, jo vairāk tā atbilst griezumam taisni uz priekšu pozitīvai taisnei uz OX ass.

Visām funkcijām b=3 - un iespējams, ka grafiki pārklājas ar visiem OY punktos (0;3)

Tagad apskatīsim funkciju y=-2x+3 grafikus; y=- ½ x+3; y=-x+3

Šoreiz visām funkcijām ir koeficients k mazāks par nullišī funkcija norimt. Koeficients b = 3, un grafiki, tāpat kā priekšējā slīpumā, maina visus OY punktos (0; 3)

Apskatīsim funkciju y=2x+3 grafikus; y=2x; y=2x-3

Tagad visām vienādām funkcijām koeficients k ir vienāds ar 2. Mēs paņēmām trīs paralēlas līnijas.

Ale koeficienti b raznі, і і і grafiki pārklājas ar visiem OY dažādos punktos:
Funkcijas y=2x+3 (b=3) grafiks pārvieto visus OY punktos (0;3)
Funkcijas y=2x (b=0) grafiks izmaina visu OY punktā (0;0) – koordinātu vālītē.
Funkcijas y=2x-3 (b=-3) grafiks pārvieto visus OY punktos (0;-3)

Tāpat, tā kā mēs zinām koeficientu k un b zīmes, varam uzreiz atklāt, it kā aplūkojot funkcijas y=kx+b grafiku.
Jakšo k 0

Jakšo k>0 un b>0, tad funkcijas y=kx+b grafiks var izskatīties šādi:

Jakšo k>0 un b, tad funkcijas y=kx+b grafiks var izskatīties šādi:

Jakšo k, tad funkcijas y=kx+b grafiks var izskatīties šādi:

Jakšo k=0, tad funkcija y=kx+b pārvēršas par funkciju y=b un grafiks var izskatīties šādi:

Funkcijas y=b grafika visu punktu ordinātas b=0, Tad funkcijas y = kx (tiešā proporcionalitāte) grafiks iet caur koordinātu vālīti:

3. Okremo ir nozīmīgs izlīdzināšanas grafiks x = a.Šī izlīdzinājuma grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla asij OY, visi punkti, kas var būt abscises x=a.

Piemēram, izlīdzināšanas x=3 grafiks izskatās šādi:
Respekt! Ja x=a nav funkcija, vienai argumenta vērtībai tiek piešķirtas dažādas funkcijas vērtības, kas neatbilst piešķirtajai funkcijai.

4. Umova divu taisnu līniju paralēlisms:

Funkciju grafiks y=k 1 x+b 1 paralēli funkcijas grafikam y=k 2 x+b 2, bet k 1 =k 2

5. Divu taisnu līniju Umov perpendikula:

Funkcijas y=k 1 x+b 1 grafiks ir perpendikulārs funkcijas y=k 2 x+b 2 grafikam vai nu k 1 *k 2 =-1 vai k 1 =-1/k 2

6. Krapki peretina grafiskā funkcija y=kx+b ar koordinātu asīm.

Novēlu jums OY. Jebkura punkta abscise, kas atrodas uz ass OY, ir vienāda ar nulli. Tam, lai zinātu līnijas OY krustošanās punktu, aizvietotāja x vienādā funkcijā jāiestata nulle. Atņemt y=b. Tas ir, līnijas punktam no līnijas OY ir koordinātes (0; b).

Z vіssyu OH: jebkura punkta ordināta, kas atrodas uz ass OX, līdz nullei. Lai uzzinātu krustošanās punktu no OX līnijas, aizvietotāja y vienādajā funkcijā ir jāaizstāj ar nulli. Atņemt 0=kx+b. Zvіdsi x=-b/k. Tob līdz līnijas punktam no līnijas OX var koordinēt (-b / k; 0):

Elementāras funkcijas un grafika

Taisni proporcionalitāte. Lineāra funkcija.

Muguras proporcija. Hiperbolisks.

kvadrātiskā funkcija. Kvadrātveida parabola.

Pakāpju funkcija. Displeja funkcija.

logaritmiskā funkcija. Trigonometriskās funkcijas.

Atgriezt trigonometriskās funkcijas.

1.	Proporcionālās vērtības. Kā mainīt yі x taisni proporcionāls, tad funkcionālo novecošanos starp tām izsaka ar vienādiem: y = k x , de k- nemainīga vērtība ( proporcionalitātes koeficients). Grafiks taisni proporcionalitāte- Taisna līnija, kas iet caur koordinātu vālīti X kut, kaut kāda veida tangenss k:tan= k(8. att.). Tāpēc sauc arī proporcionalitātes koeficientu griezuma koeficients. 8. attēlā parādīti trīs grafiki par k = 1/3, k= 1 ta k = 3 .
2.	Lineāra funkcija. Kā mainīt yі x po'yazanі rivnannyam 1. pakāpe: Axe + By = C , de ņem vienu no cipariem A vai B nav vienāds ar nulli, tad saskaņā ar grafiku taisne. Jakšo C= 0, netiks cauri koordinātu vālītei, pretējā gadījumā - nekādā gadījumā. Lineāro funkciju grafiki dažādām kombinācijām A,B,C parādīts 9. att.
3.	Zvorotnijs proporcionalitāte. Kā mainīt yі x atpakaļ proporcionāls, tad funkcionālo novecošanos starp tām izsaka ar vienādiem: y = k / x , de k- Pastāvīga vērtība. Veselības proporcionalitātes grafiks hiperbola (10. att.). Tam ir izliektas divas adatas. Hiperbola parādās apļveida konusa ar plakanu virsmu perifērijā (apmēram nodaļas "Konuss" iedalījuma perimetra galā pie dalījuma "Stereometrija"). Kā parādīts 10. attēlā, hiperbolas punkta papildu koordinātas є vērtība ir nemainīga, mūsu pielietojumā tas ir dārgāks 1. k, kas redzams no hiperbolas izlīdzināšanas: xy = k. Hiperbolas galvenās īpašības un jauda: Noteiktā funkciju joma: x 0, diapazona vērtība: y 0 ; Funkcija ir monotona (izmainās) plkst x< 0 es plkst x > 0, bet ne monotons ar atstarpi caur atvēršanās punktu x= 0 (padomā, kāpēc?); Funkcija ir neierobežota, konkrētajā vietā atšķiras x= 0, nesapārots, neperiodisks; - nulles funkcija nevar.
4.	Kvadrātiskā funkcija. Tse funkcija: y = cirvis 2 + bx + c, de a, b, c- ātri, a 0. Vienkāršākais veids var būt: b=c= 0 і y = cirvis 2. Funkciju grafiks kvadrātveida parabola - līkne, lai izietu cauri koordinātu vālītei (11. att.). Ādas parabola var būt visa simetrija OY, kā to sauc vіssyu parabola. Punktiņš, raibs O parabola spanning s її vissyu sauc parabolas augšdaļa. Funkciju grafiks y = cirvis 2 + bx + c- tezh ir tāda paša veida kvadrātveida parabola kā th y = cirvis 2 ale її virsotne atrodas nevis uz koordinātu vālītes, bet gan punktā ar koordinātām: Kvadrātveida parabolas izplešanās forma koordinātu sistēmā ir pilnībā nogulsnēta divos parametros: koeficients a plkst x 2 tas diskriminējošais D:D = b 2 – 4ac. Jaudas vērtības vyplyvayut no kvadrāta ekvivalences sakņu analīzes (dalījums "Algebra" nodaļā). Kvadrātveida parabolas iespējamo kritumu diapazons ir parādīts 12. att.

Attēlā, esi laipns, kvadrātveida parabola vapadai a > 0, D > 0 .

Kvadrātveida parabolas galvenie raksturlielumi un jauda:

Noteiktā funkciju joma:  < x+ (t.i. x R ), un apgabalu

vērtība: … (lūdzu, esi laipns, pabaro!);

Funkcija ar galvu nav monotona, bet labajā pusē, tā ir kreisā virsotnē

zini, kā vienmuļš;

Funkcija ir neierobežota, visur bez pārtraukumiem, kopā ar b = c = 0,

kas ir neperiodisks;

- plkst D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Pakāpju funkcija. Tse funkcija: y=cirvis n, de a, n- Paliec. Plkst n= 1 pieņemts tieša proporcija: y=cirvis; plkst n = 2 - kvadrātveida parabola; plkst n = 1 - zvorotnu proporcionalitāte vai hiperbola. Šādā secībā tsі funkcijas - okrі vpadki statіchnoї funkcijas. Mēs zinām, ka nulles solis ir skaitlis, izplatīts nulles veids, vairāk kā 1, tad, kad n= 0 statiskā funkcija tiek pārveidota par nemainīgu vērtību: y= a, tad. її grafiks - taisna līnija, paralēla asij X, savelciet koordinātu vālīti (paskaidrojiet, esiet laipni, kāpēc?). Visas svārstības (ar a= 1) ir parādīts 13. attēlā ( n 0) un 14. att. ( n < 0). Отрицательные значения xšeit tas netiek apskatīts, jo tās pašas funkcijas: Jakšo n- Tsіlі, statіchnі funkії mаyut і kad x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n pārī numurs chi unpaired. 15. attēlā parādītas divas šādas statiskas funkcijas: for n= 2 ta n = 3. Plkst n= 2 Y. Plkst n= 3 funkcija nav savienota pārī, un її grafiks ir simetrisks koordinātu vālītei. Funkcija y = x 3 sauc kubiskā parabola. 16. attēlā parādīta funkcija. Šī funkcija griežas kvadrātveida parabolā y = x 2 , її grafs jāpagriež, pagriežot kvadrātparabolas grafiku ap 1. koordinātu griezuma bisektriksi. Apskatīsim grafiku, ka šī ir divu vērtību funkcija (piemēram, kvadrātsaknes priekšā pievienojiet zīmi ). Šādas funkcijas elementārajā matemātikā nav atrodamas, tāpēc kā funkciju var viegli nosaukt vienu no trim: augšējo un apakšējo.
6.	Pokazova funkcija. Funkcija y = a x, de a- Tiek izsaukts pozitīvs konstants skaitlis displeja funkcija. Arguments x pieņemt be-yakі dіysnі nozīme; kā tiek aplūkotas funkciju vērtības tikai pozitīvi skaitļi, jo pretējā gadījumā mums var būt bagātīgi nozīmīga funkcija. Jā, funkcija y = 81 x maijā plkst x= 1/4 no dažādām vērtībām: y = 3, y = 3, y = 3 iі y = 3 i(Izvirtulis esi laipns!). Ale mi tiek uzskatīta tikai par funkcijas nozīmi y= 3. Displeja funkcijas grafiki a= 2 ta a= 1/2 parādīts 17. att. Smakas iet caur punktu (0, 1). Plkst a\u003d 1 mi grafiks taisnai līnijai, kas ir paralēla asij X, tad. funkcija tiek konvertēta uz konstantu vērtību, kas vienāda ar 1. Kad a> 1 displeja funkcija pieaug, un pie 0< a < 1 – убывает. Displeja funkcijas galvenie raksturlielumi un jauda:  < x+ (t.i. x R ); vērtību apgabals: y> 0 ; Funkcija ir monotona: tā aug plkst a> 1 un mazāk pie 0< a < 1; - nulles funkcija nevar.
7.	Logaritmiskā funkcija. Funkcija y= baļķis a x, de a- pozitīvāks skaitlis, nav vienāds ar 1, sauc logaritmisks. Tsya funktsiya є zvorotnoy uz pozavoї funktsії; Grafu її (18. att.) var apskatīt, pagriežot attēlojuma funkcijas grafiku pret 1. koordinātu griezuma bisektrisi. Logaritmiskās funkcijas galvenie raksturlielumi un jauda: Noteiktā funkciju joma: x> 0, un diapazons ir:  < y+ (Tobto. y R ); Šī ir monotona funkcija: tā aug, kad a> 1 un mazāk pie 0< a < 1; Funkcija ir neierobežota, visur ir nepārtraukta, neperiodiska; Funkcijai ir viena nulle: x = 1.
8.	Trigonometriskās funkcijas. Kad to pamudina trigonometriskās funkcijas, mēs uzvaram radianna pasaule uzvar kutiv. Tā pati funkcija y= grēks x attēlots ar grafiku (19. att.). Tsya līkne tiek saukta sinusoidāls. Funkciju grafiks y= cos x attēlojumi 20.att.; tas ir arī sinusoīds, kas tiek atcelts grafika pārvietošanas rezultātā y= grēks x vzdovzh osi X kreisā roka uz 2 No šiem grafikiem šo funkciju acīmredzamā jauda un īpašības: Galamērķa apgabals:  < x+  vērtību diapazons: -1 y +1; Qi funkcijas ir periodiskas: x periods 2; Apmaiņas funkcijas (\| y\| , visur bez pārtraukuma, nav vienmuļa, aliņš tā saucamais intervāli vienmuļība, pa vidu šīm smirdēm uzvesties kā monotona funkcija (dievišķie grafiki 19. un 20. att.); Funkcijas, lai izveidotu anonīmas nulles (pārskats par dalījumu "Trigonometriskā izlīdzināšana"). Funkciju diagrammas y= iedegums xі y= gultiņa x parādīts 21. un 22. attēlā No grafikiem var redzēt, ka šīs funkcijas ir: periodiskas (їх periods , nav ieskauts, nav vienmuļš, bet var būt vienmuļības intervāli (kā?), rozrivnі (kā darbojas rozryu mayut ts_ punkti?). Novads šo funkciju vērtību diapazons:
9.	Atgriezt trigonometriskās funkcijas. Atgriešanās iecelšana trigonometriskās funkcijas tā pati pamatautoritāte ieaudzināta vienvārda nodaļa pie nodaļas "Trigonometrija". Tāpēc mēs šeit glāstāmies tikai ar īsajām komētām, kuras ir piekārtas savos grafikos, otrimanih pagriežot trigonometrisko funkciju grafikus 1. bisektrise virzienā koordinātu griezums.

Funkcijas y= Arcsin x(23. att.), ka y= Arccos x(24. att.) bagāts, neapgraizīts; їх apzīmējuma apgabals, kura vērtība ir skaidra: 1 x+1 t  < y+ . Oskіlki і funkcijasії є bagātīgi nozīmīgas, ne

tiek aplūkotas elementārajā matemātikā, piemēram, pagriežot trigonometriskās funkcijas, tiek apskatītas to galvas vērtības: y= arcsin xі y= arccos x; To diagrammas ir redzamas 23. un 24. attēlā kā treknās līnijas.

Funkcijas y= arcsin xі y= arccos x vadīties pēc uzbrūkošām īpašībām un spēka:

Abām funkcijām ir vienāds apjoms: -1 x +1 ;

їх nozīmes jomas: /2 y/2 par y= arcsin x ka 0 y priekš y= arccos x;

(y= arcsin x- Augšanas funkcija; y= arccos x- spadna);

Katra ādas funkcija var būt viena nulle ( x= 0 funkcijai y= arcsin xі

x= 1 funkcijai y= arccos x).

Funkcijas y= Arktāns x(25. att.), ka y= Arccot x (26. att.) - bagātīgas, neiedomājamas funkcijas; їх apzīmējuma apgabals:  x+. Їхні galvas vērtības y= arktāns xі y= arccot x tiek uzskatītas par rekursīvām trigonometriskām funkcijām; To diagrammas ir redzamas 25. un 26. attēlā ar treknām adatām.

Funkcijas y= arktāns xі y= arccot x var būt šādas īpašības un jauda:

Abām funkcijām ir vienāds apjoms:  x + ;

їх nozīmes jomas: /2 <y < /2 для y= arktāns x ka 0< y < для y= arccos x;

Aizvietošanas funkcijas, neperiodiskas, bez pārtraukumiem un monotonas

(y= arktāns x- Augšanas funkcija; y= arccot x- spadna);

Tikai funkcija y= arktāns x var būt viena nulle ( x = 0);

funkcija y = arccot x nulles nav.