Atrodiet vektoru sistēmas bāzi un vektorus, kas neieiet bāzē, sakārtojiet pēc bāzes:

a 1 = {5, 2, -3, 1}, a 2 = {4, 1, -2, 3}, a 3 = {1, 1, -1, -2}, a 4 = {3, 4, -1, 2}, a 5 = {13, 8, -7, 4}.

Risinājums. Apskatīsim viendabīgo lineāro līniju sistēmu

a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 + a 4 X 4 + a 5 X 5 = 0

bet liesmojošā skatienā.

Virishuvatem sistēmu, izmantojot Gaus metodi, nemainot rindas un kolonnas, turklāt izvēloties galvas elementu nevis augšējā kreisajā stūrī, bet gan pa visu rindu. Zavdannya polagaє tajā, shchob skatīt transformētās vektoru sistēmas diagonālo daļu.

~ ~

~ ~ ~ .

Vektoru sistēma ir atļauta, tā ir tikpat spēcīga

a 1 1 X 1 + a 2 1 X 2 + a 3 1 X 3 + a 4 1 X 4 + a 5 1 X 5 = 0 ,

de a 1 1 = , a 2 1 = , a 3 1 = , a 4 1 = , a 5 1 = . (1)

Vektori a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 izveido diagonālo sistēmu. Tēvs, vektors a 1 , a 3 , a 4 izveidot vektoru sistēmas pamatu a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Tagad mēs izkārtojam vektorus a 2 і a 5 aiz pamata a 1 , a 3 , a 4 . Kuram uz vālītes varam izlikt dažādus vektorus a 2 1 і a 5 1 pēc diagonālās sistēmas a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 peld uz uvazi, shho vektora izkārtojuma koeficienti є th koordinātu diagonāļu sistēmā x i.

Z (1) varbūt:

a 2 1 = a 3 1 (-1) + a 4 1 0+ a 1 1 1 a 2 1 = a 1 1 – a 3 1 .

a 5 1 = a 310+ a 4 1 1+ a 1 1 2 a 5 1 = 2a 1 1 + a 4 1 .

Vektori a 2 і a 5 izklāstīts aiz pamata a 1 , a 3 , a 4 ar tādiem pašiem koeficientiem kā vektori a 2 1 і a 5 1 pēc diagonālās sistēmas a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 x i). Oce,

a 2 = a 1 – a 3 , a 5 = 2a 1 + a 4 .

Pārvaldnieks. viens.Zināt vektoru sistēmas bāzi un vektorus, kas neienāk pirms bāzes, sakārtot pēc bāzes:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Atrodiet visas vektoru sistēmas bāzes:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Ģeometrijā vektors tiek pieņemts kā virsotņu virziens, turklāt vektori, kas atņemti viens no otra ar citu paralēlu tulkojumu, tiek uzskatīti par vienādiem. Izmantojiet r_vn_ vektorus un izskatās kā viens un tas pats vektors. Vektora vālīti var novietot telpas punktā vai plaknē.

Tāpat kā vektora galu koordinātu iestatīšanas telpā: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), tad

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Līdzīgu formulu var novietot uz dzīvokļa. Tse nozīmē, ka vektoru var uzrakstīt kā koordinātu rindu. Darbības ar vektoriem, - pievienojot, ka reizināšana ar skaitli, virs rindas tiek savienotas pa komponentiem. Tse ļauj paplašināt vektora jēdzienu, rozum_yuchi zem vektora, neatkarīgi no tā, vai ir skaitļu rinda. Piemēram, rozvyazannya sistēma lineāra rivnyan, un navіt būt-jebkura nabіr znabіr zmіnnyh sistēma, tas ir iespējams kā vektors.

Virs vienas un tās pašas dozhina rindām kārtulai pievienošanas darbība tiek veikta saskaņā ar noteikumu

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Rindas reizināšana ar skaitli atbilst noteikumam

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1, la 2, …, la n). (3)

Anonīms vektors_rindās_noteiktā periodā n no piešķirtajām vektoru locīšanas operācijām šajā reizināšanā ar skaitli tiek izveidota algebriskā struktūra, kā to sauc n-pasaules lineārā telpa.

Lineāru vektoru kombināciju sauc par vektoru de λ 1 , ... , λ m- Godīgi koeficienti.

Vektoru sistēmu sauc par lineāri papuvi, jo tā ir lineāra kombinācija, pat, tādā gadījumā, ja vēlaties vienu, kas nav nulles koeficients.

Vektoru sistēmu sauc par lineāri neatkarīgu, it kā tā būtu lineāra kombinācija, kas ir dārgāka, visi koeficienti ir nulle.

Tādā veidā secinājums par vektoru sistēmas lineāro papuvi tiek novests līdz līnijas noslēgumam

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Ciktāl tas ir vienāds ar nulles atrisinājumiem, tad vektoru sistēma ir lineāri atmatā. Tā kā nulles risinājums ir vienāds, vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

Sistēmas (4) variācijai var rakstīt precizitātes vektorus virs vizuālajām rindām un vizuāli kolonnām.

Todi, veicot pārveidojumu kreisajā daļā, mēs nonāksim pie lineārās rivnijas sistēmas, kas ir labāka rivnija (4). Sistēmas galvenā matrica tiek iestatīta pēc izejošo vektoru koordinātām, kas saliktas ar šuvēm. Neatkarīgu dalībnieku kopums nav vajadzīgs, sistēma ir viendabīga.

Pamats Vektoru sistēmas (kіntsevoї аbo neskіchennoї, zokrema, vsogo lineārais plašums) sauc par її netukšu lineāri neatkarīgu apakšsistēmu, caur yaku ir iespējams vyslovit be-yaky sistēmas vektoru.

dibens 1.5.2. Atrodiet vektoru sistēmas pamatu = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) un virazity atrisināt vektorus, izmantojot bāzi.

Risinājums. Esiet matrica pēc iespējas vienādās šo vektoru koordinātēs. Ce Matrix sistēma x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Mēs novirzām matricu uz pakāpenisku izskatu:

~ ~ ~

Šīs vektoru sistēmas pamatu veido vektori , , , kas tiek izmantoti, lai parādītu rindu elementus, kas redzami ar apļiem. Rožu vektora izteiksmei ir iespējams izlīdzināt x 1 + x 2 + x 4 = . Ir jāizveido lineāro izlīdzinājumu sistēma, kuras matrica rodas no kolonnas ārējās permutācijas, līdzīga brīvo elementu kolonnas masai. Tāpēc, reducējot uz pakāpenisku prātu, matrica tiks sadalīta un pašas transformācijas, turklāt. Varat arī pagriezt matricu pakāpeniskā skatā, veicot tajā nepieciešamās kolonnu permutācijas: kolonnas ar apļiem jānovieto vertikālā līnijā, bet līnija vektorā jānovieto labajā- līnijas rokas puse.

Pastāvīgi mēs zinām:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Cieņa. Ja ir nepieciešams runāt, pamatojoties uz vektoru apkaisīšanu, tad to āda būs dzīvotspējīga lineāru līniju sistēma. Cі sistēma vіdіznyatimuyusya stovptsy vіlnyh sluzhіvі. Kuriem ādas sistēma tiek ietekmēta neatkarīgi no citiem.

1.4. uzdevums. Atrodiet vektoru sistēmas pamatu un atrisiniet vektorus, izmantojot bāzi:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, -2, -2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, -1, 2, 2), = (4, -2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, -2, 1); = (2, -6, -2).

Dotai vektoru sistēmai bāzi var izsaukt dažādi, taču visām bāzēm būs vienāds vektoru skaits. Vektoru skaitu lineārās telpas pamatā sauc par telpas lielumu. Priekš n- mierīga lineāra telpa n- telpas kopums, telpas lauskas var būt standarta bāze = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0) , ... , 1). Izmantojot šo bāzi, ir vektors = (a 1, a 2, ..., a n) tiek izteikts šādi:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, …, 0) + a 2 (0, 1, …, 0) + … + a n(0, 0, ..., 1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Šādā secībā komponenti vektora rindā = (a 1 , a 2 , … , a n) - tse yogo koeficienti sadalījumam caur standarta bāzi.

Taisni uz dzīvokli

Analītiskās ģeometrijas uzdevums – koordinātu metodes ģeometriskā uzdevuma uzdevums. Timam pašam uzdots tulkot algebras formā un pārkāpt ar algebras palīdzību.

viraz prātā sauca vektoru lineāra kombinācija A 1 , A 2 ,...,A n ar koeficientiem λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Vektoru sistēmas lineārās atradnes apzīmējums

Vektoru sistēma A 1 , A 2 ,...,A n sauca lineārā papuve, Kā izmantot skaitļu kopu, kas nav nulle λ 1, λ 2 ,...,λ n, kam lineāra vektoru kombinācija λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 +...+ λ n * A n tuvāk nullei vektoram, tad sistēma ir vienāda: var būt risinājums, kas atšķiras no nulles.
Numuru sastādīšana λ 1, λ 2 ,...,λ n є nav nulle, ja tikai viens no skaitļiem λ 1, λ 2 ,...,λ n vіdminno vіd nulle.

Vektoru sistēmas lineārās neatkarības apzīmējums

Vektoru sistēma A 1 , A 2 ,...,A n sauca lineāri neatkarīgs, kā šo vektoru lineāra kombinācija λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 +...+ λ n * A n dodiet nulles vektoram mazāku par nulles skaitļu kopu λ 1, λ 2 ,...,λ n , tad sistēma ir vienāda: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ir tikai viens nulles risinājums.

Pārbaudiet, chi є lineāra atmatā vektoru sistēma

Risinājums:

1. Mēs veidojam izlīdzināšanas sistēmu:

2. Virishuemo її Gausa metode. Jordānas sistēmas transformācija parādīta 29.1. tabulā. Pārbūvējot pareizās sistēmas daļas, smakas šķembas ir vienādas ar nulli un netiek mainītas Džordana pārvērtībām.

3. Trīs atlikušās trīs rindas tabulā rakstīt atļauta sistēma, tikpat spēcīga sistēmas:

4. Otrimuemo zagalne sistēmas risinājums:

5. Nododot valdošajai tiesai brīvās maiņas vērtību x 3 =1, tikai privāts beznulles lēmums X = (-3,2,1).

Piezīme. Šādā veidā ar nulles skaitļu kopu (-3,2,1) vektora lineārā kombinācija nulles vektorā ir -3A1+2A2+1A3=Θ. Oce, vektoru sistēma ir lineāri atmatā.

Vektoru sistēmu spēks

Jauda (1)
Ja vektoru sistēma ir lineāri atmatā, tad, ja viens no vektoriem ir novietots aiz citiem, tad, ja tikai viens no vektoriem sistēmā atrodas aiz pārējiem, vektoru sistēma ir lineāri atmatā.

Jauda (2)
Tāpat kā vektoru apakšsistēma ir lineāri atmatā, arī visa sistēma ir lineāri atmatā.

Jauda (3)
Tāpat kā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, vai apakšsistēma ir lineāri neatkarīga.

Jauda (4)
Neatkarīgi no tā, vai tā ir vektoru sistēma, lai atriebtu nulles vektoru, tā ir lineāra papuve.

Jauda (5)
m-pasaules vektoru sistēma vienmēr ir lineāri atmatā, jo vektoru skaits n ir lielāks par vektoru skaitu (n>m)

Vektoru sistēmas pamati

Vektoru sistēmas pamats A 1 , A 2 ,..., A šādā apakšsistēmā B 1 , B 2 ,...,B r(āda no vektoriem B 1 ,B 2 ,...,B r є viens no vektoriem A 1 , A 2 ,..., A n) , lai iepriecinātu nākošos prātus:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineāri neatkarīga vektoru sistēma;
2. kāds vektors A j sistēmas A 1 , A 2 ,..., A n tiek lineāri izteiktas caur vektoriem B 1 ,B 2 ,...,B r

r- bāzē iekļauto vektoru skaits.

29.1. teorēma Par vektoru sistēmas vienu bāzi.

Kā m-pasaules vektoru sistēma, lai aizstātu m dažādus atsevišķus vektorus E 1 E 2 ,..., E m , visas smakas veido sistēmas pamatu.

Algoritms vektoru sistēmas pamata atrašanai

Lai zinātu vektoru sistēmas A 1 ,A 2 ,...,A n bāzi, nepieciešams:

• Salokiet divdimensiju vektoru sistēmu viendabīgā vienādības sistēmā A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Virziet savu sistēmu

Vektoru lineārā neatkarība un lineārā neatkarība.
Vektoru bāzes. Atēnu koordinātu sistēma

Auditorijā ir daudz šokolādes, un pāris lakricas šodien varēs tikt prom no ādas - analītiskā ģeometrija ar lineāro algebru. Pie šī raksta tiks iznīcinātas divas augstākās matemātikas nodaļas, un mēs brīnāmies, kā smirdoņa pierod pie vienas apdegušas vietas. Paņem pauzi, s'zh "Tviks"! ... mazā, nu super mazā meitenīte. Ja gribu, vārtus negūšu, atvainojos, treniņam var būt pozitīvs noskaņojums.

Lineārā vektoru atmatā, vektoru lineārā neatkarība, vektora bāzešis termins var būt ne tikai ģeometriska interpretācija, bet, pirmkārt, algebriska nozīme. Pati izpratne par "vektoru" no lineārās algebras viedokļa nebūt nav tāda pati kā "pārākajam" vektoram, ko mēs varam attēlot plaknē vai telpā. Pierādījumam nav tālu jāiet, mēģiniet uzzīmēt piecu pasauļu telpas vektoru. . Abo tikai pagaidiet, dažiem es devos uz Gіsmeteo: - temperatūra un atmosfēras spiediens ir labs. Muca, protams, nav pareiza no vektortelpas autoritātes viedokļa, taču nekas neliedz formalizēt datus pēc parametriem un vektora. Rudens elpa.

Sveiki, es nemēģināšu jūs kārdināt ar teoriju, lineārām vektortelpām, problēma ir tāda, ka saprastšīs teorēmas definīcija. Jauni termini (lineārais depozīts, neatkarība, lineāra kombinācija, bāze u.c.) ir īpašības vārdi visiem vektoriem no algebras viedokļa, bet pielietojums tiks dots ģeometriski. Šajā rangā viss ir vienkāršs, tas ir pieejams no pirmā acu uzmetiena. Krіm zavdan analītiskā ģeometrija tiek uzskatīta par tipisku algebras uzdevumu. Lai apgūtu materiālu, ir jāmācās no nodarbībām Vektori tējkannāmі Kā skaitīt?

Lineāra papuve un vektora neatkarība plaknē.
Platības bāze un afinitātes koordinātu sistēma

Apskatīsim datorgalda laukumu (tikai galds, naktsgaldiņi, paliktņi, stelles, kas jums ir piemērots). Uzdevumi ir vairāk cieņā pret šādām darbībām:

1) Izvēlieties apgabala bāzi. Aptuveni kazhuchi, stіlnitsa maє dovzhina і platums, intuitīvi tika saprasts, ka pamata stimulēšanai ir nepieciešami divi vektori. Ar vienu vektoru acīmredzami nepietiek, trīs vektori ir zayva.

2) Pamatojoties uz izvēlēto pamatu iestatīt koordinātu sistēmu(koordinātu režģis), lai piešķirtu koordinātas visiem objektiem, kas atrodas tabulā.

Nebrīnieties, ka pirmais skaidrojums būs uz pirkstiem. Līdz tam jūsu ziņā. Esi laipns, piedod izteiksmīgs kreisās rokas pirksts līdz stila malai tā ka brīnījos par monitoru. Tse būs vektors. Tagad vieta labās rokas mazais pirksts uz galda malas tāpat vien - schob buv taisnošana uz monitora ekrāna. Tse būs vektors. Pasmaidi, tu izskaties lieliski! Ko jūs varat teikt par vektoriem? Datu vektori kolіnearni, kas nozīmē lineāri pagriezt vienu pret vienu:
, labi, abo navpaki: , de - deake numurs, vіdmіnne vіd nulle.

Kuras darbības attēlu var apskatīt nodarbībā Vektori tējkannām De Es izskaidroju vektora reizināšanas ar skaitli likumu.

Či vai pirksti noliks pamatu uz datora galda virsmas? Skaidrs, ka nē. Kolіnearnі vektori un cenu pieaugums šur un tur vienatnē taisni uz priekšu, un apgabals var būt garāks un plašāks.

Tādus vektorus sauc lineārā papuve.

Secinājums: Vārdi "lineārs", "lineārs" nozīmē tās lietas, kurām ir matemātiski vienādi, nav kvadrātu, kubu, citu soļu, logaritmu, sinusu. Є tіlki linіynі (1. posms) pret papuvi.

Divi vektori un dzīvokļi lineārie noguldījumi tad un tikai tad, ja smaka ir kolineāra.

Sakrustiet pirkstus uz galda, lai starp tiem jūs būtu kā Krimas griezums par 0 vai 180 grādiem. Divi vektori un dzīvokļilineāri nē papuve tajā un tikai tajā rudenī, it kā smirdoņa nebūtu kolineāra. Oche, pamats ir atņemts. Nav jāuztraucas par to, ka skatu pamats tiek "pļauts" ar dažāda garuma neperpendikulāriem vektoriem. Man nav nekas neparasts, ka jogai piedēklis ir ne tikai 90 grādu leņķis, bet ne tikai viens, vienāds ar veco vektoru.

Be-jaky plakans vektors viens rangs paplašināts saskaņā ar pamatu:
, De - dіysnі skaitļi. Zvanīt uz numuriem vektora koordinātas uz kāda pamata.

Tātad šķiet, ka vektorspriekšnesumi skatē lineāra kombinācija bāzes vektori. Tobto viraz sauc vektoru izkārtojumspamata vai lineāra kombinācija bāzes vektori.

Piemēram, var teikt, ka izplešanās vektors uz plaknes ortonormālās bāzes, vai var teikt, ka vektoru lineāras kombinācijas attēlojums.

Formulējiet piešķiršana bāzei formāli: Teritorijas pamats sauc lineāri neatkarīgu (nekolineāru) vektoru pāri, , pie kura būt kā Plaknes vektors ir lineāra pamata vektoru kombinācija.

Pats iecelšanas brīdis ir fakts, ka tiek ņemti vektori dziesmu secībā. Basisi - ir divas absolūti atšķirīgas bāzes! Kā izskatās, kreisās rokas mazo pirkstiņu nevar pārvietot uz labās rokas mazo pirkstiņu.

Mēs esam izstrādājuši bāzi, taču ar to joprojām nepietiek, lai iestatītu koordinātu režģi un piešķirtu koordinātas jūsu datora tabulas ādas objektam. Kāpēc tu palaidi garām? Vektori ir brīvi un izplūduši visā plaknē. Tad kā piesaistīt koordinātas šiem mazajiem klejošanas punktiem uz galda, kas pazuda pēc trakulīgās nedēļas nogales? Mums ir vajadzīgas vadlīnijas. І šāds orientieris ir visiem zināms punkts - koordinātu vālīte. To izvēlas no koordinātu sistēmas:

Sāciet darbu ar "skolas" sistēmu. Jau iepazīšanās nodarbībā Vektori tējkannām Es redzēju atpazīšanas aktus starp taisnstūra koordinātu sistēmu un ortonormālo bāzi. Ass standarta attēls:

Runājot par taisnstūra koordinātu sistēma, tad visbiežāk izmanto koordinātu vālīti, koordinātu asi un skalu gar asīm. Mēģiniet ievadīt meklēšanas sistēmā "taisnstūra koordinātu sistēma", un jūs pateiksiet, ka jums daudz pastāstīs par zināšanām par koordinātu ass 5.-6.klasi un par to, kā novietot punktus plaknē.

No otras puses, pastāv ietekme, ka taisnstūra koordinātu sistēmu var noteikt kopumā, izmantojot ortonormālo bāzi. І tse mayzhe tā. Formula izklausās šādi:

koordinātu vālīte, і ortonormalizācija noteikt pamatu Plaknes Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma . Tā ir taisnstūra koordinātu sistēma noteikti ir attēloti ar vienu punktu un diviem atsevišķiem ortogonāliem vektoriem. Tieši tā paša iemesla dēļ jums ir nepieciešami krēsli, kā es jums esmu ieaudzinājusi - ģeometriskajos uzdevumos bieži (bet ne vienmēr) tie krāso gan vektorus, gan koordinātu asis.

Es domāju, ka visi to saprata par papildu punktu (koordinātu vālīti), kas ir ortonormāls pret pamatu ESI APRAKSTS PUNKTS UN ESI PLATĪBAS VEKTORS jūs varat piešķirt koordinātas. Tēlaini, acīmredzot, "visu var numurēt uz virsmas".

Vai koordinātu vektori var būt atsevišķi? Nі, smirdēt var māte dovіlnu non-nulle dovzhina. Apskatīsim punktu un divus ortogonālos vektorus un vērtības, kas ir diezgan atšķirīgas no nulles:

Tādu pamatu sauc ortogonāls. Koordinātu vāle ar vektoriem nosaka koordinātu režģi un vai tas būtu plaknes punkts, vai tas būtu vektors, lai šajā bāzē ierakstītu koordinātas. Piemēram, vai. Acīmredzama nepiemērotība faktā, ka koordinātu vektori kalna galā sērot dažādas dzīves, vіdminnі vіd odinitsі. Tiklīdz vientulība ir vienāda, tad iznāk primārais ortonormālais pamats.

! Piezīme : ortogonālajā bāzē un arī zemāk Atēnu bāzēs tiek ņemtas vērā plaknes un viena atstarpe gar asīm UMOVIMI. Piemēram, vienā vienībā pa abscisu asi ir 4 cm, vienā vienībā pa ordinātu asi 2 cm.

Un cita barība, uz jaka, tas patiešām ir pierādījums - kāds obov'yazykovo kut starp bāzes vektoriem var sasniegt 90 grādus? Sveiki! Kā apstiprināt tikšanos, pamata vektori un nodevas mazāk nekā kolineārs. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 un 180 grādi.

Plaknes punkts, kā to sauc koordinātu vālīte, і nekolineārs vektori, , komplekts plaknes afīna koordinātu sistēma :

Citiem vārdiem sakot, šādu koordinātu sistēmu sauc pīts sistēma. Kā piemērot punktus un vektorus uz atzveltnes krēsla attēla:

Kā jūs zināt, Atēnu koordinātu sistēma nav tik vienkārša, viņi neizmanto vektoru un vdrіzkiv formulas, kā mēs apskatījām nodarbības otru daļu. Vektori tējkannām, bagātīgi pikantas formulas, pov'yazanі z vektoru skalārā izveide. Tad ir godīgi noteikumi vektora locīšanai un vektora reizināšanai ar skaitli, formulas sadalīšanai noteiktā izteiksmē un arī uzdevumu veidu deaking, kurus mēs varam viegli apskatīt.

Un visnovok ir tāds, ka ar to visērtāk var nosaukt Atēnu koordinātu sistēmas punktu - Dekarta taisnstūra sistēmu. Uz to її, es labprātāk, visbiežāk un tiktu atvests uz bachīti. ... Tikmēr šajā dzīvē viss ir skaidrs - maz ir situācijas, kurās pati upe ir šķība (citādi piem. polārais) koordinātu sistēma. Tie humanoīdi var izbaudīt šādas sistēmas =)

Pārejam uz praktisko daļu. Usі zavdannya šī nodarbība ir tāpat kā taisnleņķa koordinātu sistēma, tāpēc zagalnogo Atēnu vpadku. Nav nekā saliekama, viss materiāls ir pieejams skolēnam.

Kā definēt vektora kolinearitāti plaknē?

Tipiska upe. Lai būtu divi vektori un laukumi jābūt kolineāriem, nepieciešamiem un pietiekamiem, lai to atbilstošās koordinātas būtu proporcionālas. Faktiski šī ir acīmredzamā spivvіdnoshenya koordinātu detalizēta informācija.

dibens 1

a) Reversie, chi kolineārie vektori .
b) Chi nosaka vektora pamatu ?

Risinājums:
a) Kāpēc, kas ir derīgs vektoriem proporcionalitātes koeficients, lai vienādības uzvarētu:

Obov'yazkovo rozpovіm par "pіzhonskiy" variantu zastosuvannya tsgogo noteikumiem, kas cirkulē praksē. Ideja slēpjas apstāklī, ka jūs uzreiz saskaitīsit proporciju un prātosiet, vai jums būs taisnība:

Saskaitīsim vektoru doto koordinātu proporciju:

drīzumā:
, šajā secībā atbilstošās koordinātas ir proporcionālas,

Iestatījumu var salocīt un nolocīt, vērtīga iespēja:

Lai veiktu pašpārbaudi, varat izvēlēties tos, kas ir kolineāri vektori, un lineāri izliekt vienu caur vienu. Šajā skatījumā pastāv līdzvērtības vieta . Jūsu godīgums ir viegli perveryaetsya, izmantojot elementārus dalījumus ar vektoriem:

b) Divi vektori un plaknes veido pamatu, tāpēc tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Doslіdzhuєmo uz kolіnearnіst vektori . Izveidosim sistēmu:

No pirmā vienlīdzīgā tu kliedz, scho, no otra līdzvērtīgā tu kliedz, ak, sistēma ir ārprātīga(Risinājuma nav). Tādā veidā atbilstošās vektoru koordinātas nav proporcionālas.

Višnovoka: vektori un lineāri neatkarīgi un apmierina bāzi

Risinājuma vienkāršotā versija izskatās šādi:

Saskaitām vektoru doto koordinātu proporciju :
Arī šie vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Izsauciet šo opciju, lai noraidītu recenzentus, bet vainotu problēmu punktos, ja koordinātas ir vienādas ar nulli. ass, piemēram, šī: . Abo kā šis: . Abo kā šis: . Kā es varu strādāt šeit, izmantojot proporcijas? (Tiešām, jūs nevarat dalīt ar nulli). Tā paša iemesla dēļ es nosaucu vienkāršāku risinājumu “pizhonsky”.

Ieteikums: a), b) apstiprina.

Neliels radošs piemērs neatkarīgam redzējumam:

dibens 2

Jebkurai vektora parametra vērtībai būs kolineārs?

Risinājumam parametrs tiek atrasts, izmantojot proporciju.

Mēs izmantojam vektoru kolinearitātes atkārtotas verifikācijas algebras metodi.

Diviem vektoriem līdzvērtīgas cietības apgabalā:

2) vektorus un izveidot bāzi;
3) vektori nav kolineāri;

+ 5) oscilators, salokas no šo vektoru koordinātām, vіdminny vіd nulle.

Vidpovidno, ekvivalenta pēdas izstieptā cietība:
1) vektoru un lineārās nogulsnes;
2) vektori neapmierina bāzi;
3) vektori un kolineāri;
4) vektorus var lineāri apgriezt viens pret vienu;
+ 5) vektors, locīšana no šo vektoru koordinātām, kas noved pie nulles.

Arvien vairāk pārliecinos, ka šajā brīdī tu jau esi sapratis visus apgūtos terminus un apgalvojumus.

Apskatīsim jaunā ziņojuma piekto rindkopu: divi vektori un laukumi kolіnearnі thodі і tіlki tіlki tоdі, ja vyznachnik, salokas no šo vector_v koordinātām, do_vnyuє nulle:. Par zastosuvannya tsієї zīmēm, acīmredzot, tas ir jāatceras pazīstu vizionārus.

Virishima 1. piemērs citā veidā:

a) Ciparu skaita, saskaitījumu aprēķināšana no vektoru koordinātām :
, arī q vektori un kolineāri.

b) Divi vektori un plaknes veido pamatu, tāpēc tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Aprēķinot locījumu skaitu no vektoru koordinātām :
Arī vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Ieteikums: a), b) apstiprina.

Izskatās ievērojami kompaktāks un pievilcīgāks, zemāka izšķirtspēja ar proporcijām.

Ar pārbaudītā materiāla palīdzību ir iespējams noteikt vektoru kolinearitāti, kā arī panākt vdrіzkіv, taisnu līniju paralēlismu. Apskatīsim pāris uzdevumus no konkrētām ģeometriskām formām.

dibens 3

Ņemot vērā chotirikutnik topi. Ņemiet vērā, ka chotirikutnik ir paralelograms.

pierādījums: Atzveltnes krēsls uzdevumā nebūs vajadzīgs, risinājuma šķembas būs tīri analītiskas
paralelograms sauc chotirikutnik, kuram ir pretējās malas pa pāriem paralēli.

Šādā secībā līdzi jāņem:
1) pretējo malu paralēlisms;
2) pretējo malu paralēlisms.

Mēs atvedām:

1) Mēs zinām vektorus:

2) Mēs zinām vektorus:

Viišovs ir tas pats vektors (“saskaņā ar skolu” - vienādi vektori). Kolіnearnіst jau ir skaidrs, bet labāk sakārtot risinājumu pareizi, ar sakārtojumu. Aprēķināsim papildinājumu skaitu no vektoru koordinātām:
, Otzhe, doti vektori un kolineāri, t.i.

Višnovoka: Protilezhnі malas chotirikutnik pa pāriem paralēli, otzhe, vіn є paralelograms apzīmējumiem Kas bija vajadzīgs, lai atnestu.

Vairāk labu figūru:

dibens 4

Ņemot vērā chotirikutnik topi. Lai atnestu, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Lai iegūtu suvorish formulu, pierādiet to skaistāk, krāšņāk, uzzīmējiet trapeces apzīmējumu un vienkārši aizpildiet to un vienkārši uzminējiet, it kā skatītos.

Tse zavdannya neatkarīgs risinājums. Ārējais risinājums kā mācība.

Un tagad ir pienācis laiks lēnām pāriet no dzīvokļa uz brīvdabu:

Kā noteikt vektora kolinearitāti telpā?

Noteikums ir līdzīgs. Lai divi vektori uz telpu būtu kolineāri, ir nepieciešams un pietiekami, lai to attiecīgās koordinātas būtu proporcionālas.

dibens 5

Z'yasuvati, chi kolіnearnі virzīs vektorus un telpu:

a);
b)
iekšā)

Risinājums:
a) Atgriezeniski, chi ir proporcionalitātes koeficients dažādām vektoru koordinātām:

Sistēmu nevar atrisināt, tāpēc vektori nav kolineāri.

"Sproschenka" tiek izgatavota ar atkārtotu proporciju. Šajā skatā:
– relatīvās koordinātas nav proporcionālas, tāpēc vektori nav kolineāri.

Ieteikums: vektori nav kolineāri.

b-c) Tie ir neatkarīga lēmuma punkti. Mēģiniet izrotāt jogu divos veidos.

Izmantojiet kosmosa vektoru atkārtotas pārbaudes metodi kolinearitātei, izmantojot trešās kārtas mainīgo Vektors vitvir vector_v.

Līdzīgi kā plakanā vapāde, instrumenta skatienu var fiksēt, lai saglabātu atvērto telpu un taisnu līniju paralēlismu.

Lūdzam jūs uz citu nodaļu:

Lineāra novecošanās un neatkarība ir vektori trivimērā telpā.
Plaša bāze un afinitātes koordinātu sistēma

Daudzi likumi, kā mēs redzējām laukumā, būs godīgi un plaši. Es mēģināju samazināt teorijas konspektu, informācijas kreisās daļas gabali jau ir atšifrēti. Tims nav mazāks, iesaku ar cieņu izlasīt ievaddaļu, skaidiņas ir jauni termini un saprast.

Tagad datora galda laukuma nomaiņa tiek paplašināta līdz trīsdimensiju telpai. Veidosim jogas pamatu. Kas zina uzreiz mājā, kurš ir ielās, bet tajā pašā laikā mēs nevaram doties nekur trīs pasaulēs: platumā, garumā un augstumā. Tāpēc, lai ierosinātu bāzi, ir nepieciešami trīs telpas vektori. Ar vienu vai diviem vektoriem nepietiek, ceturtdaļas ir zayvi.

Es atkal esmu rozminaєmos uz pirkstiem. Esiet laipns, paceliet roku kalnā un atveriet sānus lielisks, iespaidīgs un vidējais pirksts. Tse būs vektori, smaka brīnīsies uz dažādām pusēm, apraudās dažādas dožinas un apraudās dažādus kuti savā starpā. Vitayu, trivimira plašuma pamats ir gatavs! Pirms runas nevajag demonstrēt tādus vikladačus, piemēram, nesagriež pirkstus, bet nekur nevar aiziet =)

Ieliksim svarīgu maltīti, būt kā trīs vektori un apmierināt trivi-pasaulīgās telpas pamatu? Esiet laipns, cieši piespiediet trīs pirkstus pie datora galda. Kas notika? Trīs vektori klejoja vienā plaknē, un, acīmredzot, mums ir viena vimiriv zīme - augstums. Tādi vektori koplanārs Un, acīmredzot, nevar izveidot trivum līdzīgu telpu pamatam.

Jāņem vērā, ka koplanārie vektori un nekas nepareizs atrodas vienā plaknē, tie var atrasties paralēlās plaknēs (tikai mēģiniet strādāt ar pirkstiem, lai Salvadors Dalī tintos mazāk =)).

Pieraksts: vektori ir nosaukti koplanārs kā īsts dzīvoklis, kā paralēls smirdēt. Šeit ir loģiski piebilst, ka ja tāda laukuma nav, tad vektori nebūs koplanāri.

Trīs koplanāri vektori un lineāri nogulumi tobto lineāri vrazhayutsya viens līdz vienam. Vienkāršības labad atkal ievērošu, ka smirdoņa slēpjas vienā dzīvoklī. Pirmkārt, vektori, un ne tikai tas, ka tie ir koplanāri, tie var būt vairāk kolineāri, pat ja vektoru var redzēt caur vektoru. Citā veidā, piemēram, vektori nav kolineāri, tad trešais vektors griežas caur tiem vienā secībā: (un kāpēc to ir viegli uzminēt iepriekšējās nodaļas materiāliem).

Godīga ir apgalvojuma atgriešanās: trīs nekoplanāri vektori un lineāri neatkarīgi vektori, tobto jau n_yak nav vrazhayutsya viens caur vienu. Es, protams, esmu mazāks par šādiem vektoriem un varu apmierināt triviāla plašuma pamatu.

Pieraksts: Pamats trivimirnogo plašums ko sauc par lineāri neatkarīgu (ne-kopplanāru) vektoru trio, ņemts no dziedāšanas kārtas jebkurā laikā, vai tas būtu atklātas telpas vektors viens rangs izkliedēts pa noteiktu bāzi, vektora koordinātas noteiktā bāzē

Uzminot, var arī teikt, ka reprezentāciju vektors lineāra kombinācija bāzes vektori.

Koordinātu sistēmas jēdziens tiek ieviests tādā pašā veidā, tāpat kā plakanam slīpumam, pietiek ar vienu punktu un trim lineāri neatkarīgiem vektoriem:

koordinātu vālīte, і ne-kopplanārs vektori, ņemts no dziedāšanas kārtas, komplekts affinnu trivi-pasaules telpas koordinātu sistēma :

Acīmredzot “pinuma” koordinātu režģis nav īpaši efektīvs, taču uzvedne ļauj mums noteikti apzīmē jebkura vektora koordinātas, kuras ir jebkura telpas punkta koordinātas. Līdzīgi kā plaknē, Atēnu koordinātu sistēmā nekā plašums ir jānoskaidro, izstrādājot formulas, par kurām es jau nojautu.

Primārākais un ērtākais afinitātes koordinātu sistēmas termins є taisnstūra koordinātu sistēma:

Norādiet uz telpu, kā to sauc koordinātu vālīte, і ortonormalizācija noteikt pamatu Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma . Ziniet attēlu:

Pirms tam, kā pāriet pie praktiskiem uzdevumiem, informāciju vēlreiz sistematizēju:

Trīs vektoriem telpā, kas ir vienāda ar tādu pašu stingrību:
1) vektori ir lineāri neatkarīgi;
2) vektorus un izveidot bāzi;
3) vektori nav koplanāri;
4) vektorus nevar savienot lineāri viens pret vienu;
5) šķīrējtiesnesis, locīšana no šo vektoru koordinātām, virzot nulli.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, guess, zrozumіlі.

Lineārais vektora kritums/neatkarība telpā tradicionāli tiek pārskatīta, lai palīdzētu ieceltajam (5. punkts). Praktiskiem uzdevumiem, kas ir izlaisti, nepārprotami ir algebrisks raksturs. Ir pienācis laiks piekārt ziediem ģeometrisko atslēgu un vadīt lineārās algebras beisbola nūju:

Trīs vektoru atvērtā telpa complanarnі thodі і tіlki tіlki tіlі, ja vyznachnik, salocītas koordinātes danih vektor_v, do_vnyuє nulle : .

Respektēju nelielu tehnisku niansi: vektoru koordinātes var pierakstīt ne tikai kolonnā, bet rindā (vektora vērtība nemainās - vektoru jaudas brīnums). Ale bagātāks ir skaistāks pie stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe dažu praktisku uzdevumu veikšanai.

Tims lasītājiem, kuri ir aizmirsuši absolventu rozrahunkas metodes vai varbūt vāji tajās orientējas, iesaku vienu no savām senākajām nodarbībām: Kā skaitīt?

dibens 6

Pārbaudiet, vai triviālā plašuma pamatu veido šādi vektori:

Risinājums: Faktiski visi lēmumi tiek pieņemti līdz parādnieka aprēķinam

a) Aprēķiniet mainīgo, salokot no vektora_v koordinātām (izvērsuma mainīgais aiz pirmās rindas):

Turpmāk vektori ir lineāri neatkarīgi (nevis līdzplanāri) un veido trivum līdzīga izplatījuma pamatu.

Vidpovid: doti vektori un apmierina bāzi

b) Tas ir neatkarīga lēmuma punkts. Ārēji risinājums ir tāds, ka tā ir līdzīga nodarbībai.

Rāpuļprogrammas un radošie darbinieki:

dibens 7

Kurai parametra vērtībai vektori būs koplanāri?

Risinājums: vektori ir vienā plaknē un tad, ja tie ir nozīmīgi, salokās no šo vektoru koordinātām līdz nullei:

Patiesībā ir jābūt vienādam ar vyznachnik. Tas tiek liets uz nullēm kā šuliks uz jerboas - navigatora apzīmētājs, ka uzzina citā rindā un pēc kārtas, es meklēšu mīnusus:

Veiksim tālāku pagarinājumu un pagriezīsim to no labās puses uz vienkāršāko lineāro izlīdzināšanu:

Vidpovid: plkst

Šeit ir viegli samierināties, par ko ir jāpamato bijušā klerka vērtība un jāpārdomā , atklājot jogu no jauna.

Beigās apskatīsim vienu tipisku problēmu, kā būt algebriskākam pēc būtības un skaņas iekļautības pirms lineārās algebras kursa. Grīdas segums ir paplašināts, kas ir pelnījis lielu augšdaļu:

Lai panāktu, ka 3 vektori izveido trivi-pasaules telpas pamatu
un zināt 4. vektora koordinātas dotajā bāzē

dibens 8

Datu vektori. Parādiet, ka vektori apmierina trivimēra telpas bāzi, un zināt vektora koordinātas, kurā bāzē.

Risinājums: Pakausī ņemam prātu Prātam ir doti chotiri vektori, un, tāpat kā Bahite, smirdoņa jau ir mayut koordinātes tajā pašā pamatā. Kas ir par pamatu - neķirciniet mūs. Un teikt šādu vārdu: trīs vektori var izveidot jaunu pamatu. Pirmais posms atkal ir balstīts uz 6. pielikuma risinājumiem, ir jāpārbauda, ​​vai vektori ir lineāri neatkarīgi:

Aprēķināsim papildinājumu skaitu no vektoru koordinātām:

Otzhe, vektori ir lineāri neatkarīgi un veido trivimēru telpas pamatu.

! svarīgs : vektora koordinātas obov'azkovo ierakstāms stacijā vyznachnika, nevis rindās. Pretējā gadījumā būs krāpšanās tālākajos rozvyazannya algoritmos.

Iecelšana uz bāzi. Vektoru sistēma izveido pamatu, tāpēc:

1) tas ir lineāri neatkarīgs,

2) vai ir vektors uz telpu caur to lineāri pagriezieni.

piemērs 1. Telpas pamats: .

2. Vektoru sistēmā pamats є vektori: , jo lineāri apgriezts caur vektoriem.

Cieņa. Lai zinātu šīs vektoru sistēmas pamatu, ir nepieciešams:

1) ierakstiet vektoru koordinātas matricā,

2) elementāru pārvērtību palīdzībai piešķiriet matricai trikotāžas izskatu,

3) matricas rindas, kas nav nulles, būs sistēmas pamatā,

4) vektoru skaits bāzē ir vienāds ar matricas rangu.

Kronekera-Kapella teorēma

Kronecker-Capelli teorēma sniedz secinājumu par uztura līdzsvaru pietiekamā lineāro izlīdzinājumu sistēmā ar nenoteiktību

Kronekera-Kapella teorēma. Algebras lineāro izlīdzinājumu sistēma ir koherenta tikai tad, ja sistēmas paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar galvenās matricas rangu, .

Algoritms visu risinājumu atrašanai apvienotai lineāro līniju sistēmai ir balstīts uz Kronekera-Kapella teorēmu un pretimnākošajām teorēmām.

Teorēma. Tā kā kopīgās sistēmas rangs ir augstāks par nedomu skaitu, sistēmu var atrisināt tikai.

Teorēma. Ja kopīgās sistēmas rangs ir mazāks nedomu skaitam, tad sistēma var būt bezpersonisks risinājums.

Algoritms lineāro izlīdzinājumu sublineāras sistēmas atsaistīšanai:

1. Mēs zinām sistēmas galveno un paplašināto matricu rindas. It kā smaka nav vienāda (), sistēma ir ārprātīga (nav risinājuma). Ja rangi ir vienādi ( , tad sistēma ir dubultā.

2. Dubultsistēmai mēs zinām minoru, kura secība nosaka matricas rangu (šādu minoru sauc par pamata). Mēs veidojam jaunu vienādojumu sistēmu, dažiem koeficientiem ne-domu gadījumā, lai ievadītu pamata minorā (tsі ne-domus sauc par galvas non-domiem), citos vienādos tie ir ārpus kinemo. Golovnі nevіdomi z koefіtsіentsami zalishimo levoruch, іnshі nіvіdomih (їkh vіlniy neіdomimi) pārnesama uz vienlīdzīgo labo daļu.

3. Mēs zinām, kā galvas nevіdomikh caur vіlnі. Pieņemsim radikālu sistēmas risinājumu.

4. Nadayuchi vіlnim nevіdomim dovіlnі znachennya, otrimaєmo vіdpovіdnі vіdnі vіdnі vіdnі navіdny neіdomih. Mēs zinām arī ārējās vienlīdzības sistēmas privāto risinājumu.

Lineārā programmēšana. Pamata izpratne

Līnijas programmēšana- Tse tieši matemātiskā programmēšana, kas izstrādā metodes ekstrēmu uzdevumu sasniegšanai, kam raksturīga lineāra atkāpe starp mainīgiem un lineāriem kritērijiem.

Nepieciešams lineārās programmēšanas uzdevuma garīgais uzstādījums - resursu apmaiņa pret resursu pieejamību, dzēriena daudzumu, uzņēmuma ražošanas spiedienu un citiem ražošanas faktoriem.

Lineārās programmēšanas būtību nosaka pašreizējās funkcijas lielākās vai mazākās vērtības nozīmīgie punkti ar vienkāršu robežu kopu, kas tiek uzlikti uz argumentiem, kas nosaka sistēma kas, kā likums, var būt bezpersonisks lēmums. Ādas stāvokļa izmaiņu vērtības (funkciju argumenti) F ), kā tas apmierina robežas sistēmas, sauc pieņemams plāns Lineārās programmēšanas vadītājs. Funkcija F , maksimums vai minimums, kas norādīts, saukts mērķa funkcija zavdannya. Derīgs plāns, kas sasniedz funkcijas maksimumu vai minimumu F , zvanīja optimālais plāns zavdannya.

Obmezhen sistēmu, kas sākotnēji bija bezpersoniski plāni, diktē inženieru prāti. Līnijas programmēšanas vadītājs ( ZLP ) є izvēlēties no bezpersoniski pieļaujamajiem plāniem dzīvotspējīgāko (optimālāko).

Līnijas programmēšanas virsraksta izveide var izskatīties šādi:

Є yakіs zminnі x \u003d (x 1, x 2, ... x n) šo izmaiņu funkcija f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , jaku sedz vārdu veselīgs funkcijas. Uzstādiet uzdevumu: zināt mērķa funkcijas ekstrēmu (maksimumu vai minimumu). f(x) jūsu prātam, ko jūs maināt x apgulties uz dziedāšanas zonu G :

Padarīt papuvi, ņemot vērā funkciju f(x) šajā jomā G Un ir dažādi matemātiskās programmēšanas iedalījumi: kvadrātiskā programmēšana, plašā programmēšana, visa programmēšana. Lineāro programmēšanu raksturo fakts, ka
a) funkcija f(x) є lineārā pārmaiņu funkcija x 1, x 2, ... x n
b) platība G sistēma atpazīst lineārs vienmērīgums un nelīdzenums.