16 duālo predikātu apraksti, kas raksturo sistēmas uzbūvi. Predikāti. Pamata izpratne. Izpratne par predikātu loģikas formulām
Semināra mērķis:
Praktiski apskatiet predikātu loģiku.
Aktivitāšu plāns:
Tiek izskatīta predikātu loģikas tēma, par kuru paredzēts vadīt 2 gadus ilgu semināru.
1. uzdevums. Dažām zīmēm un funkcijām ir doti aizvainojoši predikāti, kas piešķirti bezpersoniskiem dabiskajiem skaitļiem:
1. Vienādības predikāts Е:N 2 →B:
E(a 1 ,a 2)=1 un tad, ja a 1 =a 2 .
2. Predikātu secība Q:N 2 →B:
Q(a 1 ,a 2)=1 tad un tikai tad, ja a 1 ≤ a 2.
3. Dalāmības predikāts D:N 2 →B:
D(a 1 ,a 2)=1 un tad, ja a 1 dala ar 2 .
4. Sumi predikāts S:N 3 →B:
S(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 un tad, ja a 1 +a 2 =a 3.
5. Predikāts, lai izveidotu P:N 3 →B:
П(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 un tad, ja a 1 *a 2 =a 3 .
Risinājums.
1. Identitātes E-“x 1 ”=”x 2 ” divdimensiju predikāts ir abpusēji nepārprotams:
a) dvomіsne vіdnoshennia R 1 - “Esi vienāds”, R 1 N 2: (a 1, a 2) R 1 abi un tikai tad, ja E (a 1, a 2) = 1;
b) viena vienlīdzības funkcija (operācija) f 1 (x 1) = x 2 un pati: f 1 (x) = x, f: N→N.
2. Kārtas Q-“x 1 ≤ x 2” binominālajam predikātam ir abpusēji nepārprotams binominālajā attiecībā R 2 - “vairs nav”, R 2 N 2: (a 1 ,a 2) R 2 ja un tikai tad, ja Q(a 1,a 2) = 1.
Tomēr funkcijas f (x 1) \u003d x 2 kārtas Q (x 1, x 2) predikātam nepastāv, jo Umov P "(a 1, a 2, ... an, an + 1) \u003d 0 ar vienādām izmaiņu vērtībām x 1 ir patiesa ne tikai izmaiņu x 2 vērtība ar jebkuru predikātu Q.
3. Divdimensiju dalāmības predikāts D-“x 1 dalīt ar x 2” ir abpusēji nepārprotams par labu neskaidrībai R 3 - “dalīt”, R 3 N 2: (a 1, a 2) R 3 pat un mazāks nekā tad, ja D (a 1, a 2) = 1.
Tomēr funkcijas f(x 1)=x 2 dalāmības predikātam D(x 1 ,x 2) nav pieejamas, tāpēc nav iespējams domāt P "(a 1 ,a 2 ,...an ,an + 1)= 0, piemēram, D(6,2)=1 un D(6,3)=1, prot 2≠3.
4. Trimis predikātam sumi S- "x 1 + x 2 = x 3" ir savstarpēji nepārprotami apstiprināts:
a) R 4 N 3 apgriešana: (a 1, a 2, a 3) R 4 vienmērīga un tikai tad, ja S (a 1, a 2, a 3) = 1;
b) dubultā funkcija (aritmētiskā darbība) - salocīšana f 2 (x 1, x 2) un pati x 1 + x 2 \u003d x 3.
5. Trimis predikāta izveide P- “x 1 * x 2 = x 3 ” ir savstarpēji viennozīmīgi apstiprināta:
a) R 3 N 3 apgriešana: (a 1, a 2, a 3) R 5 vai tā, ja P (x 1, x 2, x 3) = 1;
b) dubultfunkcija (aritmētiskā darbība) - reizinātājs f 3 (x 1, x 2) = x 3, un x 1 * x 2 = x 3 pati.
Mi S і f 2 (П і f 3) elementu sistēmas konsekvences savstarpējā unikalitāte a 1 ,a 2 N ir viens elements a 3 N tā, ka S(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 (līdzīgi uz P(a1,a2,a3)=1).
2. uzdevums. Ilustrējiet ar dalāmības predikāta dibenu, uzdots 1. uzdevums, izpratne par runas maiņu, par patieso runu, par runas hb.
Risinājums.
Dalāmības predikāts D(x 1,x 2) ir izmaiņu (dubultā) izteiksme, kuras priekšmets var būt vai nu bezpersoniski decimālskaitļi, piemēram, bezpersonisks N.
D (6,2) - vislovlyuvannya, kuras nozīme ir patiesība, tobto. palīdzēt vislovlyuvannya.
D(5,2) - hibne vislovlyuvannya.
D(3,x), D(x,2) - izmaiņu (vienvārda) atvasinājums, tādu noguldījumu patiesums, kuru skaits tiks aizstāts ar simbolu x, bet D(a,1) - patiesa maldināšana, jebkura elementa šķembas a N var novietot: D (a, 1) = 1 (vai tas būtu naturāls skaitlis, kas dalās ar vienu).
3. uzdevums. Pierakstiet priekšlikuma predikātu loģikas formulu, kas parāda skaitļu dalāmības pārejošo spēku.
Risinājums.
Skladovy vyslovlyuvannya (priekšlikumi), kas ir veselu skaitļu autentiskuma implikācijas tranzitivitātes formula.
“Ja to dala ar b un b dala ar c, tad a dala ar c”, sastāv no trim vienkāršiem vārdiem D(a,b), D(b,c) un D(a,c). Arī autentiskuma pārejošo spēku var uzrakstīt vizuāli salocītā valodā (loģiskā formula):
“Ja D(a,b) і D(b,c), tad D(a,c) vai (D(a,b) & D(b,c)) → D(a,c).
4. uzdevums. Sniedziet verbālās formulas gaidāmajām noliktavām vislovlyuvans (priekšlikumi):
1. S(a,b,c) & D(a,d) & D(b,d)→D(c,d)
2. D(a,b) & S(a,b,c);
3. S(a,b,c) ~ S(b,a,c);
4. P 1 ~ P 2 de P 1 - predikāts "skaitlis 3nє puiši"; R 2 - predikāts "skaitlis n puiši.
Risinājums.
1. “Ja skaitļu a, b summu dala ar skaitli d, tad skaitļu summu dala ar veselo skaitli”:
S(a,b,c) & D(a,d) & D(b,d)→D(c,d).
2. "Cipars a nedalās ar skaitli b, i nav taisnība, kāda ir izmaksu summa": D (a, b) & S (a, b, c).
3. “Pēc saskaitīšanas vietu a un b permutācijas summa nemainās” - locīšanas aritmētiskās darbības komutativitātes pakāpe: S (a, b, c) ~ S (b, a, c) .
4. “Cipars 3n ir zēniem vienāds un mazāks nekā, ja n ir zēniem”: P 1 ~ P 2.
Līdzvērtību var izteikt ar citiem verbāliem formulējumiem, piemēram:
· “No kāda R 1, tie, kas ir R 2 un atpakaļ”;
· "Іz ka, scho R 2 ragavas tie, scho P 1 i ago";
· “Saglabāt R 1 nepieciešamo un pietiekamu R 2”;
· “R 2 nepieciešams un pietiekams, R 1”;
· “R 1, jakšo un tikai jakšo R 2”;
· “R 2, jakšo un tikai jakšo R 1”;
· "Saglabāt R 1 un R 2 ekvivalentu";
· “P 2 i todі, ja P 1” un citi.
5. uzdevums.Ļaujiet x piešķirt daudziem cilvēkiem M, un P(x) ir predikāts "x ir mirstīgs". Sniedziet predikāta formulas verbālu formulējumu
Risinājums.
Viraz nozīmē "visi cilvēki ir mirstīgi". Tas ir paredzēts melot zminnoy x formā un visus cilvēkus raksturot ar apdegumiem, tas arī viss. vyslovlyuє sudzhennya schodo all x reizinātājs M.
6. uzdevums.Ļaujiet P (x) - predikāts "x-boy numurs", uzdevumi uz kopas M. Sniedziet verbālu formulējumu tā patiesības noteikšanas atvasinājumam.
Risinājums.
Vihіdniy predikāts Р(х) - “х-parane skaitlis” є mainīt uz izmaiņu: mainot konkrētu skaitli, izmaiņas x vin pārvēršas par vienkāršu maiņu, kas ir patiesa vai nav, piemēram, mainot skaitli 5 , tas pārvēršas par izmaiņām “5” , apžēlosimies. Vislovlyuvannya nozīmē "M ir puiša numurs." Oskilki bezpersonisks M, dažiem uzdevumiem predikāts P(x), prātam netiek piešķirts (brīžiem šķiet, ka uzdevums ir formulēts nepietiekami pareizi), tas ir nozīmīgs M.
Piešķirsim predikātu P(x) naturālo skaitļu kopai N, tas ir. todi vislovlyuvannya - taisnība. Vipadku vyslovlyuvannya patiešām esi kā bezpersonisks M, kurš vēlas atriebt viena puiša numuru, un esi kā bezpersoniski nesapāroti skaitļi.
7. uzdevums. Lai N(x) ir predikāts "x ir naturāls skaitlis". Apskatiet kvantoru piekāršanas iespējas. Iztulkot vārda nozīmi un noteikt tā patiesumu.
Risinājums.
Vārda “visi naturālie skaitļi” nozīme ir patiesa, vai tas ir naturālu skaitļu daudzveidība, un tas ir slikti, ja vēlaties atriebties vienam nedabiskam skaitlim, piemēram, negatīvam skaitlim;
Vyslovlyuvannya "isnuє dabiski x" ir patiess attiecībā uz to, vai tas ir M reizinājums, kas vēlas atriebties par vienu naturālu skaitli, un hibno - citādi.
Vadītājs 8. Pierakstiet predikāta formulu priekšlikumam "Esi kā vīrietis var būt tēvs."
Risinājums.
Predikātu formulas ierosināšanai ir divi predikāti “x-persona” un “tētis x”, un, lai tos pieņemtu, tas ir svarīgi: ĻUDINA (x) un BATKO (y). Tas pats priekšlikums “Vai vīrietis var būt tēvs” predikāta formā var izskatīties:
Ar cieņu, kā predikātu BATKO (y, x) uzdevumiem bezpersoniskiem cilvēkiem, tad virazu “vai tas būtu vīrietis tēvs” var uzrakstīt vienkāršāk:
Vadītājs 9. Predikāts P(x, y) apraksta izteicienu "x love y" daudziem cilvēkiem. Apskatiet visas iespējas, kā piekarināt kvantatorus aizskarošām izmaiņām. Sniedziet apsēstību mutisku interpretāciju.
Risinājums.
Zīmīgi, ka predikāts "x love y" caur LOVES (x, y). Priekšlikumi, kas atbalsta dažādas pakarināšanas iespējas
MĪL (x, y) - “par to, vai cilvēks x ir cilvēks, kā kādu mīlēt” vai “katram cilvēkam kāds ir jāmīl” (a att.);
MĪL (x, y) - “Es pazīstu tādu cilvēku, ka mīlu visus x” (b att.) g
MĪLESTĪBA (x, y) - “visi cilvēki mīl visus cilvēkus” (c att.);
MĪLESTĪBA (x, y) - “Es pazīstu cilvēku, kā kādu mīlēt” (d zīm.);
MĪLESTĪBA (x, y) - “ir cilvēks, kā mīlēt visus cilvēkus” (e att.);
MĪLESTĪBA (x, y) - "par to, vai cilvēks ir cilvēks, kā viņu mīlēt" (e att.).
No iepriekš teiktā punkta ir iespējams izstrādāt netriviālu vysnovku kādam, kas pārkārto saskaņotības kvantitatīvus un saprāts maina izteiksmes sajūtu, tas ir. Spіlnostі un іsnuvannya kvantitatīvi nekavējas bēdīgi slavenajā komutativitātes spēka noskaņā.
Vadītājs 10. Lai Q(x,y) ir predikāts secībā "x≤y". Apskatiet dažādas jogas izmaiņu kvantitatīvas noteikšanas iespējas. Predikāta x, y M piešķiršanas apgabala M interpretācijā norādiet patiesumu par dažāda veida vīrusiem.
Risinājums.
Viena ziņojuma predikāts, piemēram, y: “jebkuram x var būt x≤y”. Yakshcho M - bezpersoniski nevid'emnyh tsilih skaitļi, šis predikāts ir nepatiess; par to, vai tas ir pēdējais naturālo skaitļu reizinājums, predikāts ir patiess vienā punktā, kas ir visvairāk M. Pamatojuma gadījumā, vai M ir kāds cits, predikāts tiek apgriezts piedodot;
Viena vārda predikāts vіd x: “lai kas arī būtu, x≤y”. Jakščo M-nezināmu veselu skaitļu reizinātājs, kura predikāts ir patiess vienā punktā x=0 i pozīcijas, pamatojot x ir skaitlis M;
Viena ziņojuma predikāts, piemēram, y: "ir skaitlis M, bet ne lielāks par y". Ja M - vai ir netukši bezpersoniski skaitļi, tad dotais predikāts tiek pārveidots par pareizo izteiksmi, pamatojot tādu un tādu M.
Viens predikāts x: “Izdod skaitli M, ne mazāku par x”. Par to, vai tas ir nevainojams bezpersonisks M skaitļu skaits, predikāts tiek pārveidots pareizi, pamatojot kaut ko līdzīgu x iz M.
Wislovlyuvannya “par to, vai x un y uzvar pār x≤y” hibno par to, vai pastāv daudzskaitlis, kas no viena elementa veido vairāk un mazāk, un patiesi daudzskaitlis ar vienu elementu;
Vyslovlyuvannya "izdod tādus x un y, ka x≤y" ir patiess attiecībā uz to, vai tas nav tukšs reizinātājs;
Vislovlyuvannya "jebkuram skaitlim x ir skaitlis y, ne mazāks par x" ir patiess attiecībā uz to, vai tas ir tukšs reizinātājs;
Weaslіv "іsnuє u tāds, scho neatkarīgi no x х≤y" stverzhuє, scho M є vienīgais maksimālais elements;
Vislіv "ir tāds, ka vīns ir ne vairāk kā be-such a u" ir stingrs, ka M tas ir vienīgais minimālais elements.
Wislovlyuvannya "vai ir skaitlis y, skaitlis x, ne vairāk, mazāks y" ir patiess attiecībā uz to, vai ir reizinātājs, kas nav tukšs
Vadītājs 11. Apskatiet visas iespējamās iespējas kvantoru piekarināšanai uz predikāta D (x, y) - “x dalīts ar y”, bezpersonisko naturālo skaitļu N nozīmes.
Risinājums.
Piekārtu kvantoru darbības tiek reducētas līdz progresīvām formulām:
Viens predikāts "vai naturālu skaitli s N var dalīt ar naturālu skaitli s N"; patiesa tikai viena mainīgā vērtība y=1;
Nozīmes “ir naturāls skaitlis, tāpat kā dalīšana ar y” maiņa ir patiesa jebkurai brīvi mainīga y vērtībai, kas ņemta no reizinātāja N;
Mainot jēgu “naturāls skaitlis x dalās ar katru naturālu skaitli y”, neatkarīgi no tā, kāda ir gadījuma izmaiņu x vērtība, kas ņemta no N;
Vārda "naturāls skaitlis" nozīmes maiņa, piemēram, naturāla skaitļa x dalīšana, attiecas uz jebkuru brīvas izmaiņas x vērtību;
Vislovlyuvannya "jo ir divi naturālie skaitļi, ir iespējams sadalīt vienu citā" hibn;
Vislovlyuvannya "balstās uz diviem naturāliem skaitļiem, kas vispirms tiek sadalīti uz otru", taisnība;
Vislovlyuvannya "isnuє naturāls skaitlis, kā sadalīt, vai tas ir dabisks", hibne;
Vislovlyuvannya “jebkuram naturālam skaitlim ir dabiski atrast tādu naturālu skaitli, kas jāsadala pirmajā”, taisnība;
Atliek ārējai predikāta formulai atņemt prefiksa normālo formu.
Vislovluvan loģika ir ļoti plāna loģiskā sistēma. Izveidojiet tādus loģisko interpretāciju veidus, kurus nevar izveidot interpretācijas loģikas ietvaros, piemēram:
- Ja indivīda A draugs ir indivīda B draugs. Z nav B draugs, tad C nav A draugs.
- Tikai numur divi – vecīt. Otzhe, ir vienkārši puišu skaitļi.
Šo prātu pareizība ir atrodama pašas runas iekšējā struktūrā un vārdu "visi" un "isnuє" nozīmē.
Apskatīsim piedāvājumus par to, ko noguldīt pēc parametriem, piemēram: “ X- puiša numurs", " X mazāk y», « x+y=z», « uі v- ņem to. Kā aizstāt pirmos trīs vārdus x,yі z decimālskaitļi, bet pārējiem norādiet deaco sіm'ї locekļu vārdus, tad vārdu izlaišana var būt patiesa chi chibni. Piemēram, priekš X=5, y=2, z=7, u- Petro, v- Ivans tiek uzņemts: “5 ir puiša skaitlis”, “5 ir mazāks par 2”, “5 + 2 \u003d 7”, “Pēteris un Ivans ir brāļi”.
Šāda veida priekšlikumus sauc par predikātiem. Precīzāk, predikāts P(x 1 ,...,x n) funkcija tiek izsaukta, mainot faktiskā reizinātāja M vērtību, un tai pašai ir divas vērtības: true (I) un hibne (L), tobto. P (x 1, ..., x n): M (I, L).
Predikātu ar n argumentiem sauc par n vietas predikātu, un tas nozīmē precīzi P (n) (x 1, ..., x n) Ir nepieciešams atbalstīt vairākus argumentus. Vislovlyuvannya tiek ievērota ar nulles predikātiem.
Ir iespējams veikt patvaļīgas loģiskas darbības ar predikātiem. Tā rezultātā parādās jauni predikāti
Piemēram:
1. Nāc P(1)(x) nozīmē predikāts X dalās ar 2", un Q(1)(x)- predikāts " X dalās ar 3". Todi viraz P(1)(x) &Q(1)(x) nozīmē predikāts X dalīt ar 2 ta X dalās ar 3", tas ir. piešķir dalāmības predikātu 6.
2. Nāc S (2) (x, y) nozīmē predikāts x=y". Vіn nabuvaє vērtība І todi i tіlki tіlki tіlki, ja x=y. At tsomu vipadku viraz ┐ S (2) (x, x) ÞS (2) (x, y) apzīmē predikātu, kas iegūst I nozīmi jebkuram Xі y.
Krimināla darbība loģikas zaslovlyuvan zastosovuvatimeme sche darbība zv'yazuvannya kvantitatīvās.
Siltuma kvantificētājs. Aiziet P(x)- predikāts, kas iegūst I vai L nozīmi ādai X OM. Todі pid viraz " xp(x) mēs būsim uz robežas runāt patiesību, ja P(x) attiecas uz ādas elementu X s M, i hibne - іnakshe. Simbols X sauc par zagalitātes kvantoru un apzīmējumu " xp(x) lasiet šādi: "visiem x P(x)". Tse vyslovlyuvannya vairs neguļ X.
Kvantifikators іsnuvannya. Aiziet P(x)- Predikāts. Saskaņā ar Virase $ x P(x) sapratīsim patiesību, jo tas ir reizinātāja M elements, kuram P(x) taisnība, un hibne - іnakshe. $ simbols X sauc par kvantatoru xp(x) lasiet šādi: "isnuє X, ņem, sho (citādi dažiem) P(x)» .
Predikātiem, kas aplūkoti nedaudz agrāk, mēs varam rakstīt:
- $x(P(1)(x) & Q(1)(x))- Palīdzība vislovlyuvannya;
- " x(P(1)(x) & Q(1)(x))- Hibne vislovlyuvannya;
- " x, y (┐S (2) (x, x) ÞS (2) (x, y))- Palīdziet vislovlyuvannya.
Tagad mēs ieviešam suvori apzīmējumu predikātu aprēķināšanai.
(Tīrs) predikātu aprēķins (pirmā secība) - ce formālā teorija Iepriekš yakіy ir šādas sastāvdaļas.
1. Alfabēts:
pamata saites ┐,
dodatkovі &,
pakalpojumu simboli (,) Î (, ' , ' ,)
quantori atklātība
fons
priekšmets konstantes 
mainīt
priekšmets predikāti P, Q, . . .
Funktori f, q,. . .
Ar ādas predikātu šis funktors ir saistīts ar naturālu skaitli, kā to sauc arnistyu, citādi veiksmi.
2. Formulām var būt aizskaroša sintakse:
Formula = (atoms
| ┐ (formula | (formula
(Formula) | (Mainiet formulu
| mainot formulu
Atoms = predikāts (terminu saraksts)
Terminu saraksts = termins | jēdziens,
Terminu saraksts termins = konstante |
Zminna | funkcionors (terminu saraksts)
Kad jūs par to domājat, beti vikonanі tik kontekstuāls prāts: termini f (t 1 ,. . .,tn) funktors f vainīgs buti n- jaunkundz. IN atomi(pretējā gadījumā atomu formula) P(t 1 ,. . .,tn) predikāts R vainīgs buti n- jaunkundz.
Tiek izsauktas ievades pārejai uz atomu formulām bezmaksas. Vіlnі vіdzhennya zminnyh y formulas Ai B pārpildīts ar formulām BETі A Sv. Formulas x Aі x A formula BET, parasti maijs, brīva izmaiņu ieeja X. Ielogoties X pie formulas x Aі x A sauca pov'yazanimi. Citu izmaiņu ieeja (iekšējais gaiss x), kas bija derīgi formulai BET, aizpildīta ar formulām x Aі x A. Vienu un to pašu var māmiņas izmainīt vienā un tajā pašā formulā kā tādā pašā veidā, tāpēc ierakstu sauc. Tiek saukta formula, kas neatriebjas par maiņas brīvo ieeju slēgts.
Piemēram, apskatīsim formulu x (P(x) y Q(x,y)) un її apakšformulas. Apakšformula yQ(x,y) mainīt X brīvi iekļūt, bet apvainojot čūskas ieeju plkst po'yazani (kvantifikators іsnuvannya). Tādā veidā apakšformula netiek aizvērta. No otras puses pati čūskas ieeja X apakšformula Q(x, y)є atbilst formulas ievades datiem x (P(x) y Q(x,y)). Šai formulai ir visas visu izmaiņu ievades, tāpēc formula ir aizvērta.
Teorijas L valoda neatriebj kvantorus, tāpēc izpratne par izmaiņu brīvo un sakarīgo ievadi nestāv bez vidus. Skaidrības labad jāņem vērā, ka teorijas L formulas ir slēgtas.
formulas prāts BET ta ┐ BET, de BET - atoms, sauc burtiski formulas (vai burtiski). Formulas x Aі x A apakšformula BET sauca platība dії kvantators pēc X.
Atskaņojiet saites un kvantorus prioritārā secībā šādi: ┐, ,$, &, , . Noliec savus lokus. Jēdziens t sauca bezmaksas par čūsku X pie formulas BET, yakscho n_yake vіlne vіlne vіdzhennya zminnoї X formula BET neatrodas neviena cita kvantatora atbilstošā kvantatora apgabalā dії y, ko ievadīt termiņā t. Zokrema, termins t Vіlny for be-yakої zminnoї formulā BET it kā mainīgais termins nebūtu saistīts ar mainīgo formulu BET.
Piemēram:
a) termiņš plkst bezmaksas maiņai X pie formulas P(x), bet tas pats termins plkst nav piemērots pārmaiņām X pie formulas yP(x).
b) termiņš f(x, z) bezmaksas maiņai X pie formulas y P(x,y) Q(x), tāda paša termina alu f(x, z) nav piemērots pārmaiņām X pie formulas
z y P(x,y) Q(x).
Pāriet uz predikātu P(x) pirms " x P(x) vai $ x P(x) sauca zv'yazuvannyam serpentīns X, vai kvantatora ignorēšana pārmaiņām X, vai kvantitatīvā noteikšana serpentīns X.
Viraz" x P(x) ka $ x P(x) neapgulies X un, fiksējot P un subjekta reizinātāju M var būt vesels vērtību skaits, kas kopumā atspoguļo visu konkrētu nozīmi X mācību priekšmetā M.
Pievēršoties predikāta nozīmei, jūs varat redzēt, ka nozīme ir vienkārša nulles mistisks predikāts.
Navishuyuchi kvantori uz bagātīgiem predikātiem un vzagalі be-yakі loģiski vyslovlyuvannya, mi tsim i vyznaєmo apgabals kvantora $ X vai " X un visi ieraksti X in qi vyslovlyuvannya є vyazkovimi.
Apskatīsim rozv'yazannya deyakih dibenus.
Piemērs 4.4. Aiziet N(x)- predikāts " X- dabiskais skaitlis".
Risinājums."x N(x)- “Visi skaitļi ir dabiski”. Tse vyslovlyuvannya attiecas uz be-yakіy bezpersoniskiem naturāliem skaitļiem un hibno, piemēram, M, lai atriebtu pat vienu nedabisku skaitli (piemēram, skaitlis ir negatīvs).
Piemērs 4.5.Ļaujiet predikāts P(x, y) aprakstiet iestatījumu X būt iemīlejušamies plkst»uz bagātiem cilvēkiem. Analizējiet kvantoru piekāršanas iespējas un sniedziet interpretāciju.
Risinājums. Vikoristovuyuchi savstarpēji nepārprotamu predikātu līdzību var ilustrēt ar shēmām (4.1. att.).
Rīsi. 4.1. Kvantitoru infūzijas ilustrācija
Interpretācija:
" X$y P(x, y)- "jebkuram Xіsnuє plkst, kuru vīnu mīlēt.
$ plkst " x P(x, y)- "Izdod tādu plkst kas jums patīk X».
" X "yP(x, y) - "Izmantojiet X mīli mūs plkst».
$ X $ y P(x, y)- "iepazīt X, kas mīl kādu no plkst” vai “ir cilvēks, kuru mīlēt”.
$ X" y P(x, y)- "Isnuye X, kas mūs mīl plkst».
" plkst$ x P(x, y)- "Par ko plkst jāatrod X ko mīlēt jogu.
Aksiomas (loģika): vai tā būtu aksiomu sistēma vārdu skaita aprēķināšanai plus
P 1: x A(x) A(t),
P 2: A(t) x A(x),
de therm t bezmaksas maiņai X pie formulas BET.
Noteikumu skatīšana:
de formula BET atriebties par čūskas ieeju X, un formula INїх neatriebies.
Predikātu uzskaitīšanu, lai neatriebtu subjekta konstantes, funkcijas, predikātus un spēcīgas aksiomas, sauc tīrs. Predikātu uzskaitīšanu, lai atriebtu objektu konstantes un/vai funktorus un/vai predikātus un saistītu tos ar savām aksiomām, sauc. piemērots.
Predikātu aprēķins, kuriem kvantatorus var izmantot tikai subjekta izmaiņas, un funktorus var saukt arī par predikātiem, ko sauc par skaitīšanu pirmais pasūtījums. Uzskaitījumus dažiem kvantoriem var saukt par objektu izmaiņām, bet funktorus, citu bezpersonisku objektu predikātus, sauc par uzskaitījumiem. labākie pasūtījumi. Prakse rāda, ka pielietotais pirmās kārtas predikātu aprēķins ir pietiekams izmaiņu teoriju formalizēšanai visās saprātīgās situācijās.
Predikātu, mainīgo un funkciju atbilstība
n – mistisks predikāts lietojams kā funkcija R(X 1 ,…X n) n izmaiņu veidā х i н М i, de M i- priekšmetu jomas un РВВ = (0,1) = (І, Л). Tādējādi predikāts R(X 1 ,…X n) funkcijas veids R: M 1 ´M 2 ´… ´M n ®В, bet, ja priekšmeta joma visām izmaiņām ir vienāda, tad varbūt P: M n ®B.
No viedokļa ir skaidrs, ka gan M, gan n ir nepārprotami, ka atšķirība starp n un n ir nepārprotama R IM n ka predikāti R(X 1 ,…X n) , M n®B:
Ādas n-masas uzklāšana R apstipriniet predikātu R(X 1 ,…X n) tāda, ka R(bet 1 ,…bet n)=1, pat tad un tikai tad, ja ( bet 1 ,…bet n) NR;
Neatkarīgi no predikāta R(x 1,...x n) pagarinājuma parakstīšana R nu ko ( bet 1 ,…bet n)О R jakščo un tikai jakščo R(bet 1 ,…bet n) = 1.
Ar ko R iestatiet patiesības domēnu uz predikātu P.
Tagad apskatīsim funkciju f(X 1 ,…, X n), f: M n®M. Tad var bachiti, lai tā ir funkcija f: Mn®M apstipriniet predikātu R(X 1 ,…X n+1), P: M n +1 ®B, tāds, ka P(a 1, ... a n +1) = 1 jakščo un tikai jakščo f(bet 1 ,…bet n)= bet n+1.
Predikāta izpratne ir plašāka nekā funkcijas izpratne (dal. 4.1. att.), Tam ir pretējs efekts (in ( n+1)-mistisks predikāts n-mistiskajai funkcijai) nedrīkst lietot, bet tikai tādiem predikātiem, kuriem prāts ir atšķirīgs, ir saistīts ar funkcijas nepārprotamību:
Р(а 1 ,…а n +1)=0 ® ("а¢ n +1 ОМ|а¢ n +1 ¹а n +1 Р(а 1,…а¢ n +1) = 0.(4.3.)
Analogais vіdpovіdnіst є mizh pіdmnozhinoju vіdnosin (R¢)Ì(R) un bezpersoniskas funkcijas (f). Kurai klasei ir iespējams uzvarēt prātu
(bet 1 ,…bet n +1)ОR¢ ® (" a¢ n +1 OM| a¢ n+1 ¹ bet n+1 ( bet 1 ,…a¢ n +1)ОR¢). (4.4.)
Piemērs 4.6. Kādi nosaukumi un funkcijas jāpiešķir naturālo skaitļu kopai piešķirtajiem predikātiem?
1. Sumi predikāts S: N 3®B:
S (x 1, x 2, x 3) \u003d 1 tad un tikai tad, ja X 1 +X 2 =X 3 .
2. Kārtības predikāts Q:N 2®B:
Q( X 1 ,X 2) \u003d 1 todі i tіlki todі, ja X 1 £ X 2 .
Apskatīsim priekšlikumu
Tsya priekšlikums nav vislovlyuvannyam, tam, ko nevar teikt par to, tas patiesi ir čibno. To sauc par predikātu chi umovoy (uz x un y). Sniegsim citus priekšlikumu piemērus ar izmaiņām:
Є pirmskaitlis;
Є puiša numurs;
Mazāk plkst,
Є guļošais dilņiks, z.
Svarīgi, ka mainīgo y un z pieļaujamās vērtības ir naturāli skaitļi. Ja jūs aizstāsiet izmaiņas runās ar pieņemamām vērtībām, jūs redzēsit vislovlyuvannya, kas var būt patiesa, un piedodiet. Piemēram,
2 ir pirmskaitlis;
3 є puiša numurs;
5 ir mazāks par 7;
3. gulta dilnik 6 un 12.
APZĪMĒJUMS. Priekšlikumus ar izmaiņām, kas dod iespēju aizstāt iespējamās izmaiņas ar pieņemamām vērtībām, sauc par predikātiem.
Priekšlikumi var būt predikātu mucas.
Vairākām ienākošajām izmaiņām tiek sadalīti predikāti viens, divi, trīs. pumpurs. Predikāti (2) un (3) ir vieni, predikāti (1) un (4) ir dubulti, predikāts (5) ir trimis. Vislovlyuvannya vzhatimeme nulles predikāti.
Aizstājot vienā predikātā (2) es aizstāju ar naturāliem skaitļiem, ir iespējams izmantot:
0 ir pirmskaitlis;
1 ir pirmskaitlis;
2 ir pirmskaitlis;
3 ir pirmskaitlis utt.
Darbi ir patiesi. Tādā veidā šis vienreizējais predikāts redz naturālo skaitļu vidu tі, pamatojot šādas izmaiņas, parādās pareizā vyslovlyuvannya, un to var uzskatīt par prāta brīvo pārmaiņu nozīmi, kas ir iekļauta predikātā. Numura brīdī lūdzu manu prātu, - tikai.
Atsevišķs predikāts var būt kā prāts uz prāta objektu; dvomisny — kā prāts par derībām uz tā paša prāta objektiem.
Predikātus var likt dažādos veidos. Algebrā bieži tiek aplūkoti predikāti, uzdevumi papildu vienādībām, nelīdzenumiem, kā arī nelīdzenumu vienādību sistēmas. Piemēram, nevienmērība apzīmē vienu predikātu, vienlīdzība - dubultu predikātu, un vienlīdzības sistēma - trimision y, z - racionālas izmaiņas).
Mēs apzīmēsim predikātus ar lielajiem latīņu alfabēta burtiem (iespējams, ar zemākiem indeksiem) no tiem, kas piešķirti sinepju arkām, jo tie ir iekļauti visā predikātā. Piemēram, - dubultpredikāta apzīmējums, - pundurpredikāta apzīmējums - -masas predikāta apzīmējums.
Nadalі mēs sakām par pietiekama predikāta patieso vērtību otrai derīgo mainīgo kopai, kas ieiet jaunajā, rozumіuchi atbilstoši zvaigznāja patiesajai vērtībai, kas parādās neobligāto mainīgo aizstāšanas rezultātā. ar esošajām vērtībām.
Vislovlyuvannya, lai ievadītu vērtību maiņas pieļaujamo vērtību kopas predikātu, mēs domāsim, ka tā ir taisnība (hibniy), šķiet, ka vērtību kopa ir izpildīta
p-mistiāls predikāts- funkcija P(x 1 x 2, xp) aizvietojumu veidā, kas pieņem vērtības no noteiktiem priekšmetu jomu uzdevumiem, lai funkcija P iegūtu divas loģiskas vērtības - “true” vai “hibno”.
Tādējādi predikāts P(x 1, x 2, ..., x n) ir tipa funkcija, de daudzkārtni sauc par predikāta priekšmetu apgabaliem; х 1, х 2, ..., х n - subjekta maiņas predikāts; Y = (1,0).
Derīgums starp predikātiem, mainīgajiem un funkcijām:
1. Jebkuram M un p tas ir savstarpēji nepārprotami n-mistiskie mainīgie un n-mistiskie predikāti P(x 1, x 2, ..., x n), :
āda n-masas attiecībai R tiek dots predikāts P(x 1, x 2, ..., x n), lai P(a 1, a 2, ..., a n) = 1 , a 2, ..., ap ) Î R;
Neatkarīgi no tā, kāds predikāts P(x 1, x 2, ..., x n) apzīmē priekšlikumu R Tātad, sho (a 1, a 2, ..., a p) Î R, vēl jo vairāk R(a 1, a 2, ..., a p) = 1.
Izvēloties R, patiesības apgabals tiek piešķirts predikātam R.
2. Neatkarīgi no funkcijas f(x 1, x 2, ..., x n) ir derīgs predikātam P (x 1, x 2, ..., x n, x n + 1) = 1, lai P (a 1, a 2, . . ., an, a n+1)=1, vēl jo vairāk f(a 1, a 2, ..., a p) = a n +1.
Zvorotne vіdpovіdnіst (vіd ( n+1)-masas predikāts (2.17. att.) uz n-mіscevoї ї ї ї ї ї ї ї ї ) nedrīkst lietot, bet tikai tādiem predikātiem P ', kuriem var izmantot prātu (tas ir saistīts ar iespējamo funkcijas unikalitāti): P (a 1, a 2 , ..., ap, ap + 1) = 1, tad par būt-kam
a 'n +1 ≠a n +1 P(a 1, a 2, ..., a n, a ' n +1) = 0 (1)
Analogs derīgums (savstarpēji nepārprotams) є mіzh pіdnіzhnoyu vіdnosin (R") (R) un bezpersoniskas funkcijas ( f}.
Kurai klasei vіdnosīns ir līdzīgs Umova: yakscho (a 1, a 2, ..., a n, a n+1) Î R ' tad jebkuram a ' n+1 ≠a n+1 , (a 1 , a 2, ..., an, a n+1) R '
Viraz P (a 1, a 2, ..., a p) ir loģiski saprotams kā "P (a 1, a 2, ..., a p) = 1" un viraz P (x 1, x 2, . . ., xn) - kā runas maiņa, kuras patiesumu nosaka reizinātāja M elementu aizstāšana izmaiņu vietā (x 1, x 2, ..., xn).
Prefiksa ieraksta P (x 1, x 2) krima dubulto predikātu atpazīšanai bieži vien infiksa ieraksts x 1 Px 2
Dažām zīmēm un funkcijām ir doti aizvainojoši predikāti, kas piešķirti bezpersoniskiem dabiskajiem skaitļiem:
1. Vienādības predikāts E: N 2 → B: E (a ], a 2) \u003d 1 i, tad, ja a ] \u003d a 2
Divdimensiju vienādības predikāts E - “x] = x 2” ir savstarpēji unikāli apstiprināts:
a) dubultā redze R1, - “Esi vienāds”, , Todі і tіlki todі, ja E ( a 1, a 2) = 1;
b) viena vienlīdzības funkcija (operācija). f 1 (x 1)\u003d x 2, un pati:
2. Dalāmības predikāts D: N 2 → B: D (a], a 2) \u003d 1 i todі, ja a] dala ar 2:
Dalāmības D dvomіsny predikāts - “x 1 dalās ar x 2” savstarpēji nepārprotami apstiprina dualitāti R2- “dіlitisya”, pat un mazāk, ja D ( a 1, a 2) = 1. Aizsardzības funkcijas f 1 (x 1)=x2 autentiskuma predikātam D ( x 1, x 2) nezinu, tas nav Umova vikonāns (1), piemēram, D(6, 2) = 1 un D(6, 3) = 1, prote 2≠3.
3. Sumi predikāts S: N 3 → B: S (a 1, a 2, a 3) = 1 i tad, ja a 1 + a 2 = a 3.
Trimis predikāts sumi S — "x 1 + x 2 = x 3
a) atgriezumi: vai nu vai mazāk nekā tad, ja S(a 1, a 2, a 3) = 1;
b) dubultfunkcija (aritmētiskā darbība) - saskaitīšana f(x 1 x 2) = x 3, un pati: x 1 + x 2 = x 3.
Loģikas algebrā vislovlyuvannya tiek uzskatīti par nedalāmiem veselumiem un tikai ar viņu patiesības vai liekulības skatienu.
Jebkura struktūra ir vaļīga, vairāk nekā їх zmіst neturas apkārt. Tajā pašā laikā gan zinātnē, gan praksē ūsas stagnē, ir taisnība, ka melo kā struktūra, un tas ir brīvs no tiem.
Piemēram, pie spoguļa “Ādas rombs – paralelograms; ABCD - rombs; arī ABCD - paralelograms, "īpašumi un visnovoks є elementāras vyslovlyuvannya vyslovlyuvannya loģikas un no pirmā acu uzmetiena tsієї loģikas ir redzamas kopumā, nekonsekventas, neuzlabojot to iekšējo struktūru. Tāpēc loģikas algebra, kas ir svarīga loģikas sastāvdaļa, šķiet nepietiekama bagāto pasauļu analīzei.
Saistībā ar to rodas nepieciešamība pēc paplašinātas loģikas loģikas, lai izveidotu tādu loģisko sistēmu, lai būtu iespējams saglabāt klusās loģikas struktūru, jak loģikas loģikas ietvaros, to uzskata par elementāru.
Šāda loģiskā sistēma ir predikātu loģika, kas atriebj visu loģiku kā savu daļu.
Predikātu loģika ir sadalīta elementārajos terminos par tēmu (burtiski - pіdlyagaє, ja vēlaties spēlēt papildu lomu) un predikātu (burtiski - balva, ja vēlaties spēlēt lomu). Priekšmets - tie, kuri ir stingri iesakņojušies runā;
predikāts - tie, kas apgalvo par tēmu. Piemēram, valodā “7 ir pirmskaitlis”, “7” ir subjekts, “pirmskaitlis” ir predikāts. Tse vyslovlyuvannya stverzhuє, scho "7" var jauda "būt vienkāršs skaitlis."
Ja aplūkotajā piemērā no naturālo skaitļu reizinātāja aizstājam mīnus x konkrēto skaitli 7, tad ņemam vislovlyuvalnu forma "x ir pirmskaitlis". Ar dažām vērtībām (piemēram, x = 13, x = 17) šai formai tiek dota pareiza izteiksme, un ar citām x vērtībām (piemēram, x = 10, x = 18) šī forma ir dots piedošana.
Ir skaidrs, ka šī vislovlyuval forma piešķir viena mainīgā x funkciju, kas piešķirta reizinātājam N, un iegūst reizinātāja vērtību (1; 0) (vai (i; l)). Šeit predikāts kļūst par subjekta funkciju, un tas izsaka subjekta spēku.
Tikšanās 1.
Viens predikāts Р(x) ir drīzāk mainīgā x funkcija, kas tiek piešķirta reizinātājam M un kas iegūst vērtību no reizinātāja (1; 0).
Bezpersonisku M, kuram piešķirts predikāts P(x), sauc par apgabalu, kas piešķirts predikātam P(x).
Visu elementu bezpersoniskums, kam predikāts iegūst vērtību “patiesība” (1), tiek saukts par predikāta P(x) patiesības bezpersoniskumu (apgabalu), tas ir. predikāta P(x) patiesības bezpersoniskums ir bezpersoniskums. Tātad, piemēram, predikāts P(x) - "x ir pirmskaitlis" tiek piešķirts bezpersonalitātei N, un patiesības bezpersonalitāte IP visu pirmskaitļu jaunā bezpersoniskums.
Predikāts Q(x) – “sinx=0” tiek piešķirts bezpersoniskajam R, kā bezpersoniskā patiesība є
Predikāts F(x) – “paralelograma x diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras” ir apzīmēts kā visu paralelogramu bezpersoniskums, jo patiesības bezpersoniskums ir visu rombu bezpersoniskums.
No bachimo piemēriem norādot, ka viens predikāts izsaka objektu (subjektu) spēku.
Tikšanās 2.
Predikāts Р(х), piešķīrumi kopā M, tiek saukts arī par patiesu, jo šī patiesības bezpersoniskums izplešas no piešķiršanas apgabala, tāpēc I p = M.
Tikšanās 3.
Kopas M uzdevumu predikātu Р(х) sauc par to pašu hybnimu, jo tas ir tukšs reizinātājs, t.i., I p =0.
Viena predikāta izpratnes un varianta predikāta izpratnes dabas konvencijas, no kurām redzēt zilu starp objektiem
Binārās izteiksmes apakšdaļa, kas atrodas starp diviem objektiem, ir izteiksme “mazāk”. Nehay tse vіdnoshennia ievadīja veselo Z skaitļu daudzumā. To var raksturot ar viscerālo formu “х Tikšanās 4. Dubultais predikāts Р(x, y) ir divu mainīgo x un y funkcija, kas piešķirta reizinātājam M = M 1 xM 2 un ņemot reizinātāja vērtību (1; 0). No duālo predikātu pielietojumiem var nosaukt šādus predikātus: Q(x, y) – “x=y” - vienlīdzības predikāts, piešķīrumi reizinātājiem RхR=R 2 ; F(x,y) - "x ir paralēla y", "līnija x ir paralēla taisnei y", uzdevumi bezpersoniskām līnijām, kas atrodas noteiktā plaknē. Absolūti līdzīgi ir ieviest trimis predikāta jēdzienu. Ieviesīsim trimis predikāta piemēru (trīs izmaiņu funkcijas): S(x,y,z) – “x+y=z”. Aizstāšana jaunajā x=3 pārveido to par divdimensiju predikātu: S(y,z) – “3+y=z”, un aizstāšana x=3, z=2 – vienā predikātā S(y) – “ 3+y= 2". Aizstāšana S(2,3,5) pārvērš to pareizajā vārdā, bet S(1,7,4) — hibne. Līdzīgi tiek noteikts n-attāluma predikāts (n izmaiņu funkcija). N-tabulas predikāta piemērs: R(x 1 , x 2 ,…, x n): a 1 x 1 +…+a n x n =0 Ja n=0, matemātiskās nulles predikāts ir loģiski (propozicionāli) mainīgs, kas ņem reizinātāja vērtību (1; 0).
