Скаларно подравняване на вектори. Скаларно създаване на вектори. Довжина вектор. Проверете задачата независимо и след това прегледайте решението
Кут миж вектори
Нека разгледаме два дадени вектора $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$. Ако добавим достатъчно точки $O$ към вектори $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ и $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, тогава $AOB$ се нарича разрез между вектори $\ overrightarrow( a)$ i $\overrightarrow(b)$ (фиг. 1).
Малката 1.
Тук е важно, че или векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ са прави, или един от тях е нулев вектор, който е същият като между векторите $0^0$.
Подпис: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$
Разбиране на скаларното създаване на вектори
Математически стойността може да се запише по следния начин:
Скаларният twir може да достигне нула в две посоки:
Как един от векторите ще бъде нулев вектор
Тези вектори са взаимно перпендикулярни (така че $cos(90)^0=0$).
Също така е важно, че скаларното разширение е по-голямо от нула, тъй като може да се намери между тези хост вектори (тъй като $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\) >0$), i е по-малко от нула, така че може да се зададе между два вектора на глупостта (защото $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\)
От разбирането за скаларното творение, разбирането за скаларния квадрат не е свързано.
Назначаване 2
Скаларният квадрат на вектора $\overrightarrow(a)$ е скаларното увеличение на този вектор върху себе си.
Важно е скаларният квадрат да е правилен
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]
Изчисляване на скаларното създаване за координатите на векторите
Има само един друг начин за дефиниране на значението на скаларното творение, което издишва от значението на стандартния начин.
Нека да разгледаме йога.
Нека векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ преместват координатите $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$, очевидно.
Теорема 1
Скаларно увеличаване на векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ за завършване на сбора от създания на съответните координати.
Математически може да се запише като
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]
Доказателство.
Теоремата е завършена.
Tsya теорема maє kіlka sledkіv:
Урок 1: Векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ са перпендикулярни на едно и също и само ако $a_1a_2+b_1b_2=0$
Урок 2: Косинусът на кута между векторите е $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$
Доминирането на скаларното създаване на вектори
За всеки три вектора и десетично число $k$ е вярно следното:
$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$
Tsya power inplivaє z обозначението на скаларния квадрат (обозначение 2).
Peresuvny закон:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.
Tsya мощност vyplyvaє z znachennya скаларно създаване (назначаване 1).
Основен закон:
$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end (изброяване)
По теорема 1 може би:
\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\стрелка наддясно(a)\стрелка надясно(c)+\стрелка надясно(b)\стрелка наддясно(c)\]
Щастлив закон:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end (изброяване)
По теорема 1 може би:
\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]
Пример за задачата за изчисляване на скаларното създаване на вектори
дупе 1
Намерете скаларното разширение на вектора в $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, т.е. $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b) \right|= 2 $, а между тях са по-скъпи $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.
Решение.
Vikoristovuyuchi назначаване 1, по избор
За $(30)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]
За $(45)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]
За $(90)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]
За $(135)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ вдясно)=-3\sqrt(2)\]
Назначаване 1
Скаларното събиране на вектори е числото, което се събира към събирането на дини на вектори по косинуса на кута между тях.
Стойността на допълнителния vector_in a → и b → може да изглежда a → , b → . Нека преобразуваме във формулата:
a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → и b → обозначават два вектора, a → , b → ^ - обозначават число между дадени вектори. Ако искате един нулев вектор, тогава ако стойността е 0, тогава резултатът ще бъде равен на нула, a → , b → = 0
Когато умножаваме самия вектор сам по себе си, вземаме квадрата на един ден:
a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2
Назначаване 2
Самото скаларно умножение на вектор се нарича скаларен квадрат.
Изчислено по тази формула:
a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .
Означението a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → показва, че npb → a → числовата проекция на a → върху b → , npa → a → - проекция на b → върху a → vіdpovіdno.
Формулираме обозначението на творението за два вектора:
Скаларното разширение на два вектора a → на b → наименувайте разширението на вектора a → върху проекцията b → директно a → или разширението на разширението b → върху проекцията a → инвертирано.
Скаларен twir в координати
Изчисляването на скаларното създаване може да се извърши чрез координатите на векторите в дадена област или пространство.
Скаларното събиране на два вектора в равнината, в тривиалното пространство, се нарича сума от координатите на дадените вектори a → и b → .
При изчисляване на равнината на скаларната допълнителна задача победят векторите a → = (a x , a y), b → = (b x , b y) в декартовата система:
a → , b → = a x b x + a y b y,
за тривиално пространство, viraz zastosovuetsya:
a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z.
Всъщност третата цел на скаларното създаване.
Нека го донесем.
Доказателство 1
За да се докаже wickorism, a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by за вектори a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) на декартовата система.
Вектори за слайдшоу
O A → = a → = a x , a y O B → = b → = b x , b y .
Тогава дължината на вектора A B → повече A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) .
Нека да разгледаме трико OAB.
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B)
Зад ума може да се види, че O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^
b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^).
Същото важи и за първото назначение, че b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , също (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .
Zastosuvav формула за изчисляване на броя на векторите, ние вземаме:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + по 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay от
Нека да го оправим:
(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z
– Vіdpovіdno до vectorіv trivіrіnnogo простор.
Скаларно събиране на вектори с координати да говорим за тези, че скаларният квадрат на вектора е равен на сумата от квадратите на неговите координати y в пространството е ясно. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) и (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .
Скаларно твір та йога господство
Установете силата на скаларното създаване, как да установите за a → , b → і c → :
- комутативност (a → , b →) = (b → , a →);
- дистрибутивност (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
- мощността е добра (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →) , (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →) , λ е число;
- скаларният квадрат винаги е по-голям от нула (a → , a →) ≥ 0, тогава (a → , a →) = 0 в случай a → нула.
Доминирането може да обясни признаците за обозначаване на скаларно творение на равнината и доминиране при събиране и умножение на реални числа.
Доведете степента до комутативността (a → , b →) = (b → , a →). Възможно е (a → , b →) = a y · b y + a y · b y (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .
За степента на комутативност на равенството a x · b x = b x · a x і a y · b y = b y · a y е вярно, така че a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .
Звучи като (a → , b →) = (b → , a →) . Какво беше необходимо да донеса.
Дистрибутивността е валидна за всякакви числа:
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)
i (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,
zvіdsi maєmo
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)
Скаларен телевизор с приклади на пушки
Независимо дали задачата на такъв план е опорочена или не от стагнацията на авторитетите и формулите, които се поддават на скаларното създаване:
- (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^);
- (a → , b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a → ;
- (a → , b →) = a x b x + a y b y или (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
- (a → , a →) = a → 2 .
Нека разгледаме решението за прилагане на deyaki.
дупе 2
Dovzhina a → dorіvnyuє 3, dovzhina b → dorіvnyuє 7. Познайте скаларния ъгъл, който може да бъде 60 градуса.
Решение
За ума са дадени всички данни, изчисляваме ги за тази формула:
(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2
Съвпадение: (a → , b →) = 21 2 .
дупе 3
Задайте вектори a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Защо един скаларен твир.
Решение
В този случай се разглежда формулата за изчисление на координатите, миризмата на задачата за ума на задачата:
(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz == 1 0 + (-1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) == 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9
Предложение: (a → , b →) = - 9
дупе 4
Познайте скаларния tvіr A B → ta A C → . На координатната равнина задайте точки A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).
Решение
За кочана се изчисляват координатите на векторите, на които се дава координатната точка за мозъка:
A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)
Замествайки формулата за различни координати, вземаме:
(AB → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .
Отговор: (AB → , AC →) = 28 .
дупе 5
Задайте вектори a → = 7 · m → + 3 · n → и b → = 5 · m → + 8 · n → m → добри 3 і n → добри 2 единични, смърди перпендикулярно.
Решение
(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . След като заемаме силата на дистрибутивност, ние вземаме предвид:
(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)
Ние обвиняваме коефициента за знака на сътворението и го отнемаме:
(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)
В името на комутативността, нека преработим:
35 (m → m →) + 56 (m → n →) + 15 (n → m →) + 24 (n → n →) = = 35 (m → m →) + 56 (m → n →) + 15 (m → n →) + 24 (n → n →) = = 35 (m → m →) + 71 (m → n →) ) + 24 (n → , n →)
Резултатът отнема:
(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → n →) + 24 (n → n →) .
Сега можем да формулираме формулата за скаларното създаване от заданието за умственото изрязване:
(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .
Съвпадение: (a → , b →) = 411
Това е числена проекция.
дупе 6
Познайте скаларния tvіr a → ta b → . Вектор a → максимална координата a → = (9 , 3, - 3), проекция b → координати (-3, - 1, 1).
Решение
Зад менталния вектор a → тази проекция b → протилежно директно, към тази a → = - 1 3 n p a → b → → , също така, проекцията b → се удвоява n p a → b → → , освен това знакът „-“:
n a → b → → = - n a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,
Замествайки формулата, вземаме вираз:
(a → , b →) = a → n a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .
Отговор: (a → , b →) = - 33 .
Задача с видимо скаларно събиране, необходимо е да се знае стойността на вектора и числовата проекция.
дупе 7
Каква стойност може да се вземе за дадено скаларно творение a → = (1, 0, λ + 1) і b → = (λ, 1, λ) ще бъде равно на -1.
Решение
От формулата става ясно, че е необходимо да се знае сумата от координатите:
(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.
Това може да има (a → , b →) = - 1 .
За да знаем λ, изчисляваме равенствата:
λ 2 + 2 λ = -1, звезди λ = -1.
Видповид: λ = -1.
Физическо усещане за скаларно създаване
Механиката разглежда програмата за скаларно създаване.
Когато робот A с постоянна сила F → тяло, движещо се от точки M към N, можете да намерите увеличението на броя на векторите F → і M N → с косинус на разреза между тях, това означава, че роботът увеличава вектора в сила и се движи:
A = (F → , M N →).
дупе 8
Преместване на материалната точка с 3 метра под посоката на сила, която е 5 нтона, насочваща под разреза 45 градуса по оста. Познай А.
Решение
Отломките на робота са източникът на вектора на силата за движение, тогава имайте предвид F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , приема се A = (F → , S →) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .
Предложение: A = 15 2 2 .
дупе 9
Материалната точка, движеща се от M (2, - 1, - 3) до N (5, 3 λ - 2, 4) под силата F → = (3, 1, 2), направи робота равен на 13 J. Изчислете дължината на преместването.
Решение
Като се имат предвид координатите на вектора M N → може M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .
За формулата на значимостта на работата с вектори F → = (3 , 1 , 2) і MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) вземаме A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.
Отвъд ума е дадено, че A = 13 J, също, 22 + 3 λ = 13. Звездите са жизнеспособни λ = - 3 , също i M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .
За да се знае дължината на преместването M N →
M N = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.
Справка: 158 .
Как запомнихте извинението в текста, бъдете любезни, вижте го и натиснете Ctrl + Enter
По този начин дължината на вектора се изкупва, като корен квадратен от сбора от квадратите на неговите координати. 
. По същия начин приносът на вектора на n-мир е застрахован 
. Как да отгатна, скинната координата на вектора е различна между координатите на края и кочана, вземаме формулата на втория път, т.е. evklіdova vіdstanі mіzh пъстра.
Скаларно dobootдва вектора на равнината - ce dozhin tsikh вектори по косинус кута между тях: 
. Можете ли да кажете, че скаларният witwir на два вектора 
\u003d (x 1, x 2) това 
= (y 1 , y 2) общата сума от създаването на дадените координати на тези вектори: 
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2.
В n-световното пространство скаларният tvir vector_vX= (х 1 , х 2 ,...,х n) іY= (y 1 , y 2 ,...,yn) се дефинира като сбор от творения в их съществуващи координати: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * yn.
Операцията по умножаване на вектори един по един е подобна на умножаването на матрица на ред по матрица на редове. Моля, имайте предвид, че резултатът ще бъде число, а не вектор.
Скаларен dobutok vector_in май so_power (аксиоми):
1) Комутативно качество: X*Y=Y*X.
2) Разпределителен начин за добавяне на мощност: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.
3) За всеки номер на ден 
.
4)
, така че X не е нулев вектор; 
където X е нулев вектор.
Линейното векторно пространство, в което е дадено скаларното векторно пространство, което удовлетворява съответните аксиоми, се нарича евклидов линеен векторотворено пространство.
Лесно е да се запомни, че умножавайки вектор, вземаме квадрата на його дожини. Към това по различен начин дожинавекторът може да се изчисли като корен квадратен от тия скаларен квадрат:.
Дожината на вектора все още може да бъде мощна:
1) | х | = 0Х = 0;
2) |X| = ||*|X|
3) | X * Y | | х | * | Y | ( Nerіvnіst Koshі-Bunyakovsky);
4) |X+Y||X|+|Y| ( неравномерно трико).
Кут миж вектори в n-световната шир vyznaetsya, гледайки извън разбирането на скаларното творение. Точно така е 
, тогава 
. Tsej дриб не е повече от една (очевидно за нервността на Коши-Буняковски), можете да знаете звездите.
Два вектора и име ортогоналнаили перпендикулярно, Например, тяхното скаларно събиране е равно на нула. От гледна точка на скаларното създаване е ясно, че нулевият вектор е ортогонален на всеки вектор. Ако има два ортогонални вектора и ненулеви, тогава общият език е cos= 0, тогава той е равен на /2 = 90 o.
Нека да разгледаме малките 7.4. От малката се вижда, че косинусът на кутата 
, а косинусът на кутата удари вектора до вертикалната ос як 
. Ци числата се приемат за извикване преки косинуси. Лесно е да се промени, че сумата от квадратите на преките косинуси е същата като най-често срещаните единици: cos 2 + cos 2 = 1. По същия начин можете да въведете концепцията за директни косинуси и за по-големи пространства.
Основа на векторното пространство
За векторите можете да разберете линейна комбинация,линеен угарі независимостпо подобен начин преди, как бяха въведени ci разбирания за редове от матрици. Също така е вярно, че въпреки че векторите са линейно депозирани, тогава вземането на един от тях може да бъде линейно обърнато през други (тоест това е една и съща линейна комбинация). По-правилно и обратимо е: като един от векторите като линейна комбинация от други, всички тези вектори са в съвкупността от линейни депозити.
Показателно е, че тъй като средният вектор a l , a 2 ,...a m е нулев вектор, тогава последователността от вектори е линейно неравномерна. Вярно е, че вземаме l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, така че, например, приравняваме коефициента j с нулев вектор към единица, а всички други коефициенти към нула. За което не всички коефициенти са равни на нула ( j ≠ 0).
Освен това, като част от вектори от съвкупността от вектори в линейни угари, тогава всички тези вектори са линейни угари. Вярно е, въпреки че векторите могат да дадат нулев вектор в линейната си комбинация с коефициенти, ако не са нулеви наведнъж, тогава можете да добавите други вектори към сумата от творения, умножете по нулеви коефициенти, null, по-рано и спечели
Как да определим кои вектори са линейно угари?
Например, нека вземем три вектора: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) и a 3 = (3, 1, 4, 3). Ние изграждаме матрица от тях, по някакъв начин вонята ще бъдат стълбовете:
След това захранвайте линейните угари до определения ранг на матрицата. Ако вените изглеждат равни на три, тогава и трите колони са линейно независими, а ако изглеждат по-малки, тогава ще говорим за линейна стагнация на векторите.
Oskіlki ранг dorivnyuє 2, вектори и линейни депозити.
Показателно е, че задачите scho rozv'yazannya могат да бъдат b rozpochati і z mirkuvan, scho се основават на определената линейна независимост. И за себе си добавете векторното подравняване lal + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, сякаш ще изглежда като l * (1, 0, 1, 5) + 2 * (2, 1, 3, -2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). След това вземаме системата за изравняване:
Решението на системата по метода на Гаус се свежда до елиминирането на стъпковата матрица, само че в бъдеще ще има още една стъпка - свободни членове. Вонята всички ще бъдат равни на нула, парчетата от линейната трансформация на нули не могат да доведат до различен резултат. Системата на равните е преработена в бъдеще, ще видя:
Решенията за системата ще бъдат (-s; -s; s), de s - достатъчно число; например (-1; -1; 1). Tse означава, как да вземем l = -1; 2 = -1 і 3 = 1, след това l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, тогава. вектор на истински линейни депозити.
От горния пример става ясно, че ако броят на векторите е по-голям, пространството е по-малко просторно, цялата смрад ще бъде линейно угар. Всъщност, ако вземем пет вектора в нашето приложение, тогава ще вземем матрица 4 x 5, чийто ранг не може да бъде по-висок за chotiri. Тобто. максималният брой линейно независими stovptsiv все пак не би бил по-голям от chotiri. Два, три вектора chi chotiri chotirivimіrnі могат да изглеждат линейно независими, но пет и повече - не. Също така, не повече от два вектора могат да бъдат линейно независими в равнината. Бъдете като три вектора в двусветовната шир - линеен угар. В триви-световното пространство, be-like chotiri (или повече) вектори - винаги линейни отлагания. І др.
Том спокойствиепространството може да се приеме като максимален брой линейно независими вектори, така че да могат да бъдат в новия.
Броят на n линейно независими вектори в n-световното пространство R се нарича основакакво пространство.
Теорема. Скин векторът на линейното пространство може да се види, като се разгледа линейната комбинация от вектори в основата и по същия начин.
Доказателство. Нека векторите e l , e 2 , ... n удовлетворяват основата на n-световното пространство R. Може да се покаже, че вектор X е линейна комбинация от тези вектори. Части с вектор X брой вектори в лагера (n +1), qi (n +1) вектори ще бъдат линейно угари, така че. основните числа l , 2 ,..., n ,, не са равни на нула едновременно, така че
l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0
Tshomu има 0, защото по различен начин отнехме b l l e l + 2 e 2 + ... + n n n = 0, където не всички коефициенти l, 2, ..., n са равни на нула. Tse означава, че векторите към основата изглеждат линейно угари. Otzhe, можете да разделите обидите на първия на:
( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0
X \u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n
X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n,
de x j = -( j /), 
.
Сега можем да видим, че подобно проявление на вида на линейна комбинация е същото. Хайде да не го приемаме, да. какво друго е посочено:
X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n
Можем да видим от новото лишаване от срок по срок на вираз:
0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n
Мащабите на векторите и основата са линейно независими, като се взема предвид, че (y j - x j) = 0, 
, тогава j = x j . Otzhe, viraz vyyavivsya себе си. Теоремата е завършена.
Viraz X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n име разпръскване на днитевектор X зад основата e l , e 2 ,...e n и числата x l , x 2 ,... x n - координативектор x към всяка основа или към която и да е основа.
Възможно е да се докаже, че дори n ненулеви вектори в n-световното евклидово пространство са ортогонални по двойки, тогава те образуват основа. Всъщност, ние умножаваме частта на нарушението на равенството l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 по всеки вектор e i . Приема се l (el * e i) + 2 (e 2 * e i) +...+ n (en * e i) = 0 i (ei * e i) = 0 i = 0 за i .
Векторите e l , e 2 ,...e n на n-световното евклидово пространство удовлетворяват ортонормална основа, които са вектори и са по двойки ортогонални и нормата на кожата їх dorіvnyuє odinі, tobto. където e i * e j = 0, когато i≠jі | д и | = 1 за i.
Теорема (без потвърждение). Евклидовото пространство на кожата n-свет има ортонормална основа.
Пример за ортонормирана основа е система от n единични вектора в e i , за която i-тият компонент има повече от един, а останалите компоненти имат повече от нула. Такъв вектор се нарича орт. Например, векторните орти (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) удовлетворяват основата на тривумното пространство.
Кут миж вектори
Нека разгледаме два дадени вектора $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$. Ако добавим достатъчно точки $O$ към вектори $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ и $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, тогава $AOB$ се нарича разрез между вектори $\ overrightarrow( a)$ i $\overrightarrow(b)$ (фиг. 1).
Малката 1.
Тук е важно, че или векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ са прави, или един от тях е нулев вектор, който е същият като между векторите $0^0$.
Подпис: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$
Разбиране на скаларното създаване на вектори
Математически стойността може да се запише по следния начин:
Скаларният twir може да достигне нула в две посоки:
Как един от векторите ще бъде нулев вектор
Тези вектори са взаимно перпендикулярни (така че $cos(90)^0=0$).
Също така е важно, че скаларното разширение е по-голямо от нула, тъй като може да се намери между тези хост вектори (тъй като $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\) >0$), i е по-малко от нула, така че може да се зададе между два вектора на глупостта (защото $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\)
От разбирането за скаларното творение, разбирането за скаларния квадрат не е свързано.
Назначаване 2
Скаларният квадрат на вектора $\overrightarrow(a)$ е скаларното увеличение на този вектор върху себе си.
Важно е скаларният квадрат да е правилен
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]
Изчисляване на скаларното създаване за координатите на векторите
Има само един друг начин за дефиниране на значението на скаларното творение, което издишва от значението на стандартния начин.
Нека да разгледаме йога.
Нека векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ преместват координатите $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$, очевидно.
Теорема 1
Скаларно увеличаване на векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ за завършване на сбора от създания на съответните координати.
Математически може да се запише като
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]
Доказателство.
Теоремата е завършена.
Tsya теорема maє kіlka sledkіv:
Урок 1: Векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ са перпендикулярни на едно и също и само ако $a_1a_2+b_1b_2=0$
Урок 2: Косинусът на кута между векторите е $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$
Доминирането на скаларното създаване на вектори
За всеки три вектора и десетично число $k$ е вярно следното:
$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$
Tsya power inplivaє z обозначението на скаларния квадрат (обозначение 2).
Peresuvny закон:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.
Tsya мощност vyplyvaє z znachennya скаларно създаване (назначаване 1).
Основен закон:
$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end (изброяване)
По теорема 1 може би:
\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\стрелка наддясно(a)\стрелка надясно(c)+\стрелка надясно(b)\стрелка наддясно(c)\]
Щастлив закон:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end (изброяване)
По теорема 1 може би:
\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]
Пример за задачата за изчисляване на скаларното създаване на вектори
дупе 1
Намерете скаларното разширение на вектора в $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, т.е. $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b) \right|= 2 $, а между тях са по-скъпи $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.
Решение.
Vikoristovuyuchi назначаване 1, по избор
За $(30)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]
За $(45)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]
За $(90)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]
За $(135)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ вдясно)=-3\sqrt(2)\]
Кут миж вектори
Нека разгледаме два дадени вектора $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$. Ако добавим достатъчно точки $O$ към вектори $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ и $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, тогава $AOB$ се нарича разрез между вектори $\ overrightarrow( a)$ i $\overrightarrow(b)$ (фиг. 1).
Малката 1.
Тук е важно, че или векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ са прави, или един от тях е нулев вектор, който е същият като между векторите $0^0$.
Подпис: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$
Разбиране на скаларното създаване на вектори
Математически стойността може да се запише по следния начин:
Скаларният twir може да достигне нула в две посоки:
Как един от векторите ще бъде нулев вектор
Тези вектори са взаимно перпендикулярни (така че $cos(90)^0=0$).
Също така е важно, че скаларното разширение е по-голямо от нула, тъй като може да се намери между тези хост вектори (тъй като $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\) >0$), i е по-малко от нула, така че може да се зададе между два вектора на глупостта (защото $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\)
От разбирането за скаларното творение, разбирането за скаларния квадрат не е свързано.
Назначаване 2
Скаларният квадрат на вектора $\overrightarrow(a)$ е скаларното увеличение на този вектор върху себе си.
Важно е скаларният квадрат да е правилен
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]
Изчисляване на скаларното създаване за координатите на векторите
Има само един друг начин за дефиниране на значението на скаларното творение, което издишва от значението на стандартния начин.
Нека да разгледаме йога.
Нека векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ преместват координатите $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$, очевидно.
Теорема 1
Скаларно увеличаване на векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ за завършване на сбора от създания на съответните координати.
Математически може да се запише като
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]
Доказателство.
Теоремата е завършена.
Tsya теорема maє kіlka sledkіv:
Урок 1: Векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ са перпендикулярни на едно и също и само ако $a_1a_2+b_1b_2=0$
Урок 2: Косинусът на кута между векторите е $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$
Доминирането на скаларното създаване на вектори
За всеки три вектора и десетично число $k$ е вярно следното:
$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$
Tsya power inplivaє z обозначението на скаларния квадрат (обозначение 2).
Peresuvny закон:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.
Tsya мощност vyplyvaє z znachennya скаларно създаване (назначаване 1).
Основен закон:
$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end (изброяване)
По теорема 1 може би:
\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\стрелка наддясно(a)\стрелка надясно(c)+\стрелка надясно(b)\стрелка наддясно(c)\]
Щастлив закон:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end (изброяване)
По теорема 1 може би:
\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]
Пример за задачата за изчисляване на скаларното създаване на вектори
дупе 1
Намерете скаларното разширение на вектора в $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$, т.е. $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b) \right|= 2 $, а между тях са по-скъпи $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.
Решение.
Vikoristovuyuchi назначаване 1, по избор
За $(30)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]
За $(45)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]
За $(90)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]
За $(135)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ вдясно)=-3\sqrt(2)\]
