Скалярне рівняння векторів. Скалярні твори векторів. Довжина вектор. Вирішити завдання самостійно, а потім переглянути рішення

Кут між векторами

Розглянемо два дані вектора $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$. Відкладемо від довільно обраної точки $O$ вектори $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ і $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, тоді кут $AOB$ називається кутом між векторами $\overrightarrow( a)$ і $\overrightarrow(b)$ (рис. 1).

Малюнок 1.

Зазначимо тут, що якщо вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ співспрямовані або один із них є нульовим вектором, тоді кут між векторами дорівнює $0^0$.

Позначення: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Поняття скалярного твору векторів

Математично це визначення можна записати так:

Скалярний твір може дорівнювати нулю у двох випадках:

Якщо один із векторів буде нульовим вектором (Оскільки тоді його довжина дорівнює нулю).

Якщо вектори взаємно перпендикулярні (тобто $cos(90)^0=0$).

Зазначимо також, що скалярний добуток більший за нуль, якщо кут між цими векторами гострий (так як $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), і менше нуля, якщо кут між цими векторами тупий (бо $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Із поняттям скалярного твору пов'язане поняття скалярного квадрата.

Визначення 2

Скалярним квадратом вектора $\overrightarrow(a)$ називається скалярний добуток цього вектора самого на себе.

Отримуємо, що скалярний квадрат дорівнює

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Обчислення скалярного твору за координатами векторів

Крім стандартного способу знаходження значення скалярного твору, що випливає із визначення, існує ще один спосіб.

Розглянемо його.

Нехай вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ мають координати $\left(a_1,b_1\right)$ і $\left(a_2,b_2\right)$, відповідно.

Теорема 1

Скалярний добуток векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ дорівнює сумі творів відповідних координат.

Математично це можна записати так

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказ.

Теорему доведено.

Ця теорема має кілька наслідків:

Наслідок 1: Вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли $a_1a_2+b_1b_2=0$

Наслідок 2: Косинус кута між векторами дорівнює $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Властивості скалярного твору векторів

Для будь-яких трьох векторів та дійсного числа $k$ справедливо:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Ця властивість випливає з визначення скалярного квадрата (визначення 2).

Пересувний закон:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Ця властивість випливає з визначення скалярного твору (визначення 1).

Розподільний закон:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Сполучний закон:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Приклад завдання обчислення скалярного твору векторів

Приклад 1

Знайти скалярний добуток векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$, якщо $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ і $\left|\overrightarrow(b)\right|= 2 $, а кут між ними дорівнює $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.

Рішення.

Використовуючи визначення 1, отримуємо

Для $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Для $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Для $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Для $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ right)=-3\sqrt(2)\]

Визначення 1

Скалярний добуток векторів називають число, що дорівнює добутку дин цих векторів на косинус кута між ними.

Позначення добутку векторів a → та b → має вигляд a → , b → . Перетворимо на формулу:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → та b → позначають довжини векторів, a → , b → ^ - позначення кута між заданими векторами. Якщо хоч один вектор нульовий, тобто має значення 0, то результат буде дорівнювати нулю, a → , b → = 0

При множенні вектора самого на себе отримаємо квадрат його діни:

a → , b → = a → · b → · cos a → , a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2

Визначення 2

Скалярне множення вектора себе називають скалярним квадратом.

Обчислюється за такою формулою:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Запис a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → показує, що npb → a → це числова проекція a → на b → , npa → a → - проекція b → на a → відповідно.

Сформулюємо визначення твору для двох векторів:

Скалярний добуток двох векторів a → на b → називають добуток довжини вектора a → на проекцію b → на напрямок a → або добуток довжини b → на проекцію a → відповідно.

Скалярний твір у координатах

Обчислення скалярного твору можна проводити через координати векторів у заданій площині або просторі.

Скаларний добуток двох векторів на площині, у тривимірному просторі називають суму координат заданих векторів a → та b → .

При обчисленні на площині скалярного добутку заданих векторів a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) у декартовій системі використовують:

a → , b → = a x · b x + a y · b y ,

для тривимірного простору застосовується вираз:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z.

Фактично це третє визначення скалярного твору.

Доведемо це.

Доказ 1

Для доказу використовуємо a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax · bx + ay · by для векторів a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) на декартової системи.

Слід відкласти вектори

O A → = a → = a x , a y O B → = b → = b x , b y .

Тоді довжина вектора A B → дорівнює A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) .

Розглянемо трикутник OAB.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) чітко, виходячи з теореми косінусів.

За умовою видно, що O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ означає формулу знаходження кута між векторами запишемо інакше

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^).

Тоді з першого визначення випливає, що b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , отже (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Застосувавши формулу обчислення довжини векторів, отримаємо:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 · (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax · bx + ay · by

Доведемо рівності:

(a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z

– відповідно до векторів тривимірного простору.

Скалярний добуток векторів з координатами говорить про те, що скалярний квадрат вектора дорівнює сумі квадратів його координат у просторі та на площині відповідно. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) та (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Скалярний твір та його властивості

Існують властивості скалярного твору, які застосовуються для a → , b → і c → :

1. комутативність (a → , b →) = (b → , a →);
2. дистрибутивність (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. сполучна властивість (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →) , (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →) , λ - будь-яке число;
4. скалярний квадрат завжди більший за нуль (a → , a →) ≥ 0 , де (a → , a →) = 0 у тому випадку, коли a → нульовий.

Властивості можна пояснити завдяки визначенню скалярного твору на площині та властивостях при додаванні та множенні дійсних чисел.

Довести властивість комутативності (a → , b →) = (b → , a →). З визначення маємо, що (a → , b →) = a y · b y + a y · b y (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

За властивістю комутативності рівності a x · b x = b x · a x і a y · b y = b y · a y вірні, значить a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Звідси випливає, що (a → , b →) = (b → , a →) . Що і потрібно було довести.

Дистрибутивність справедлива для будь-яких чисел:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

і (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

звідси маємо

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Скалярний твір з прикладами та рішеннями

Будь-яке завдання такого плану вирішується із застосуванням властивостей та формул, що стосуються скалярного твору:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^);
2. (a → , b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y або (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Розглянемо деякі приклади рішення.

Приклад 2

Довжина a → дорівнює 3, довжина b → дорівнює 7. Знайти скалярне твір, якщо кут має 60 градусів.

Рішення

За умовою маємо всі дані, тому обчислюємо за такою формулою:

(a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2

Відповідь: (a → , b →) = 21 2 .

Приклад 3

Задані вектори a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Чому одно скалярний твір.

Рішення

У цьому прикладі розглядається формула обчислення за координатами, оскільки вони задані за умови завдання:

(a → , b →) = ax · bx + ay · by + az · bz = = 1 · 0 + (-1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Відповідь: (a → , b →) = - 9

Приклад 4

Знайти скалярний твір A B → та A C → . На координатній площині задані точки A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Рішення

Для початку обчислюються координати векторів, тому що за умовою дано координати точок:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Підставивши у формулу з використанням координат, отримаємо:

(AB → , A C →) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28 .

Відповідь: (AB → , AC →) = 28 .

Приклад 5

Задані вектори a → = 7 · m → + 3 · n → та b → = 5 · m → + 8 · n → , знайти їхній твір. m → дорівнює 3 і n → дорівнює 2 одиниці, вони перпендикулярні.

Рішення

(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . Застосувавши властивість дистрибутивності, отримаємо:

(7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) = = (7 · m → , 5 · m →) + (7 · m → , 8 · n →) + (3 · n → , 5 · m →) + (3 · n → , 8 · n →)

Виносимо коефіцієнт за знак твору та отримаємо:

(7 · m → , 5 · m →) + (7 · m → , 8 · n →) + (3 · n → , 5 · m →) + (3 · n → , 8 · n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

За якістю комутативності перетворимо:

35 · (m → m →) + 56 · (m → n →) + 15 · (n → m →) + 24 · (n → n →) = = 35 · (m → m →) + 56 · (m → n →) + 15 · (m → n →) + 24 · (n → n →) = = 35 · (m → m →) + 71 · (m → n →) ) + 24 · (n → , n →)

У результаті отримаємо:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → n →) + 24 · (n → n →) .

Тепер застосуємо формулу для скалярного твору із заданим за умовою кутом:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Відповідь: (a → , b →) = 411

Якщо є числова проекція.

Приклад 6

Знайти скалярний твір a → та b → . Вектор a → має координати a → = (9 , 3, - 3), проекція b → з координатами (-3, - 1, 1).

Рішення

За умовою вектори a → та проекція b → протилежно спрямовані, тому що a → = - 1 3 · n p a → b → → , отже, проекція b → відповідає довжині n p a → b → → , причому зі знаком «-»:

n a → b → → = - n a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Підставивши у формулу, отримаємо вираз:

(a → , b →) = a → n a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Відповідь: (a → , b →) = – 33 .

Завдання при відомому скалярному добутку, де необхідно знайти довжину вектора чи числову проекцію.

Приклад 7

Яке значення має прийняти при заданому скалярному творі a → = (1 , 0 , λ + 1) і b → = (λ , 1 , λ) буде рівним -1.

Рішення

З формули видно, що необхідно знайти суму творів координат:

(a → , b →) = 1 · λ + 0 · 1 + (λ + 1) · λ = λ 2 + 2 · λ.

У даному маємо (a → , b →) = - 1 .

Щоб знайти λ , обчислюємо рівняння:

λ 2 + 2 · λ = -1, звідси λ = -1.

Відповідь: λ = -1.

Фізичний сенс скалярного твору

Механіка розглядає програму скалярного твору.

При роботі А з постійною силою F → тіло, що переміщується з точки M в N, можна знайти добуток довжин векторів F → і M N → з косинусом кута між ними, значить робота дорівнює добутку векторів сили і переміщення:

A = (F → , M N →).

Приклад 8

Переміщення матеріальної точки на 3 метри під дією сили, що дорівнює 5 ньтонів, спрямоване під кутом 45 градусів щодо осі. Знайти A .

Рішення

Оскільки робота – це добуток вектора сили на переміщення, отже, виходячи з умови F → ​​= 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , отримаємо A = (F → , S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Відповідь: A = 15 2 2 .

Приклад 9

Матеріальна точка, переміщаючись з M (2 , - 1 , - 3) до N (5 , 3 λ - 2 , 4) під силою F → = (3 , 1 , 2) , зробила робота рівну 13 Дж. Обчислити довжину переміщення.

Рішення

При заданих координатах вектора M N → маємо M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

За формулою знаходження роботи з векторами F → ​​= (3 , 1 , 2) і MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) отримаємо A = (F ⇒ , MN →) = 3 · 3 + 1 · (3 λ - 1) + 2 · 7 = 22 + 3 λ.

За умовою дано, що A = 13 Д ж, отже, 22 + 3 λ = 13 . Звідси випливає λ = - 3 , отже і M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Щоб знайти довжину переміщення M N → , застосуємо формулу та підставимо значення:

M N = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Відповідь: 158 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Таким чином, довжина вектора розраховується, як корінь квадратний із суми квадратів його координат.
. Аналогічно розраховується довжинаn-мірного вектора
. Якщо згадати, кожна координата вектора – це різницю між координатами кінця і початку, ми отримаємо формулу довжини відрізка, тобто. евклідова відстані між крапками.

Скалярний добутокдвох векторів на площині - це добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними:
. Можна довести, що скалярний витвір двох векторів = (х 1, х 2) та = (y 1 , y 2) дорівнює сумі творів відповідних координат цих векторів:
= х 1 * y 1 + х 2 * y 2.

У n-мірному просторі скалярний твір векторівX= (х 1 , х 2 ,...,х n) іY= (y 1 , y 2 ,...,yn) визначається як сума творів їх відповідних координат:X*Y = х 1 * y 1 + х 2 * y 2 + ... + х n * yn.

Операція множення векторів один на одного аналогічна множенню матриці-рядка на матрицю-стовпець. Підкреслимо, що в результаті буде одержано число, а не вектор.

Скалярний добуток векторів має такі властивості (аксіоми):

1) Комутативне якість: X*Y=Y*X.

2) Дистрибутивна щодо додавання властивість: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Для будь-якого дійсного числа 
.

4)
, якщо X-не нульовий вектор;
якщо X - нульовий вектор.

Лінійний векторний простір, в якому задано скалярний твір векторів, що задовольняє чотирма відповідними аксіомами, називається евклідовим лінійним векторнимпростором.

Легко помітити, що з множенні будь-якого вектора себе він отримаємо квадрат його довжини . Тому по-іншому довжинувектор можна визначити, як квадратний корінь з його скалярного квадрата:.

Довжина вектора має такі властивості:

1) | X | = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, де– дійсне число;

3) | X * Y |  | X | * | Y | ( нерівність Коші-Буняковського);

4) |X+Y||X|+|Y| ( нерівність трикутника).

Кут між векторами в n-мірному просторі визначається, виходячи з поняття скалярного твору. Справді, якщо
, то
. Цей дріб не більше одиниці (відповідно до нерівності Коші-Буняковського), тому звідси можна знайти.

Два вектори називають ортогональнимиабо перпендикулярними, Якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. З визначення скалярного твору випливає, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору. Якщо обидва ортогональні вектори ненульові, то обов'язковоcos= 0, тобто=/2 = 90 о.

Розглянемо вкотре малюнок 7.4. З малюнка видно, що косинус кута  нахилу вектора до горизонтальної осі можна розрахувати як
, а косинус кута нахилу вектора до вертикальної осі як
. Ці числа прийнято називати напрямними косинусами. Легко переконатися, що сума квадратів напрямних косінусів завжди дорівнює одиниці: cos 2 + cos 2 = 1. Аналогічно можна ввести поняття напрямних косінусів і для просторів більшої розмірності.

Базис векторного простору

Для векторів можна визначити поняття лінійної комбінації,лінійної залежностіі незалежностіаналогічно до того, як ці поняття були введені для рядків матриці. Також справедливо, що якщо вектори лінійно залежні, то принаймні один з них можна лінійно виразити через інші (тобто він є їхньою лінійною комбінацією). Правильне і зворотне твердження: якщо один із векторів є лінійною комбінацією інших, всі ці вектори в сукупності лінійно залежні.

Зазначимо, якщо серед векторів a l , a 2 ,...a m є нульовий вектор, то ця сукупність векторів обов'язково лінійно залежна. Справді, ми отримаємо  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, якщо, наприклад, прирівняємо коефіцієнт j при нульовому векторі до одиниці, а всі інші коефіцієнти – до нуля. При цьому не всі коефіцієнти дорівнюватимуть нулю ( j ≠ 0).

Крім того, якщо якась частина векторів із сукупності векторів лінійно залежні, то всі ці вектори - лінійно залежні. Справді, якщо якісь вектори дають нульовий вектор у своїй лінійній комбінації з коефіцієнтами, які не є одночасно нульовими, то до цієї суми творів можна додати інші вектори, помножені на нульові коефіцієнти, і вона, як і раніше, буде нульовим вектором.

Як визначити, чи вектори є лінійно залежними?

Наприклад, візьмемо три вектори: а 1 = (1, 0, 1, 5), а 2 = (2, 1, 3, -2) та а 3 = (3, 1, 4, 3). Складемо з них матрицю, в якій вони будуть стовпцями:

Тоді питання лінійної залежності зведеться до визначення рангу цієї матриці. Якщо він виявиться рівним трьом, то всі три стовпці – лінійно незалежні, а якщо виявиться меншим, то це буде говорити про лінійну залежність векторів.

Оскільки ранг дорівнює 2, вектори лінійно залежні.

Зазначимо, що розв'язання задачі можна було б розпочати і з міркувань, що ґрунтуються на визначенні лінійної незалежності. А саме, скласти векторне рівняння  lal + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, яке набуде вид l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, -2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Тоді ми отримаємо систему рівнянь:

Рішення цієї системи методом Гауса зведеться до отримання тієї ж ступінчастої матриці, тільки в ній буде ще один стовпець - вільних членів. Вони всі будуть рівними нулю, оскільки лінійні перетворення нулів не можуть призвести до іншого результату. Перетворена система рівнянь набуде вигляду:

Рішенням цієї системи буде (-с;-с; с), де с – довільне число; наприклад, (-1; -1; 1). Це означає, що якщо взяти  l = -1; 2 =-1 і 3 = 1, то l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, тобто. вектор насправді лінійно залежні.

З вирішеного прикладу стає ясно, що й узяти число векторів більше, ніж розмірність простору, всі вони обов'язково будуть лінійно залежні. Справді, якби в цьому прикладі ми взяли п'ять векторів, то отримали б матрицю 4 х 5, ранг якої не міг би виявитися більшим за чотири. Тобто. максимальна кількість лінійно незалежних стовпців все одно не була б більшою за чотири. Два, три чи чотири чотиривимірні вектори можуть виявитися лінійно незалежними, а п'ять і більше – не можуть. Отже, на площині можуть бути лінійно незалежними не більше двох векторів. Будь-які три вектори у двовимірному просторі – лінійно залежні. У тривимірному просторі будь-які чотири (або більше) вектори – завжди лінійно залежні. І т.п.

Тому розмірністьпростору можна визначити, як максимальна кількість лінійно незалежних векторів, які можуть бути в ньому.

Сукупність n лінійно незалежних векторів n-вимірного простору R називають базисомцього простору.

Теорема. Кожен вектор лінійного простору можна у вигляді лінійної комбінації векторів базису, і до того ж єдиним способом.

Доказ. Нехай вектори e l , e 2 , ... n утворюють базисn-мірного простору R. Доведемо, що будь-який вектор Х є лінійною комбінацією цих векторів. Оскільки з вектором Х число векторів стане (n +1), ці (n +1) векторів будуть лінійно залежні, тобто. існують числа l , 2 ,..., n ,, не рівні одночасно нулю, такі що

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

У цьому 0, т.к. в іншому випадку ми отримали б l l e l + 2 e 2 + ... + n n n = 0, де не всі коефіцієнти l, 2, ..., n рівні нулю. Це означає, що вектори базису виявилися б лінійно залежними. Отже, можна розділити обидві частини першого рівняння на:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n ,

де х j = -( j /),
.

Тепер доведемо, що таке уявлення у вигляді лінійної комбінації є єдиним. Припустимо неприємне, тобто. що існує інше уявлення:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Віднімемо з нього почленно отриманий вираз:

0 = (y l – х 1)e l + (y 2 – х 2)e 2 +...+ (y n – х n)e n

Оскільки вектори базису лінійно незалежні, отримаємо, що (y j - x j) = 0,
, тобто j = х j . Отже, вираз виявився тим самим. Теорему доведено.

Вираз Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n називають розкладаннямвектора Х за базисом e l , e 2 ,...e n , а числа х l , х 2 ,...х n - координатамивектора x щодо цього базису, або в цьому базисі.

Можна довести, що якщо n ненульових векторів n-мірного евклідового простору попарно ортогональні, то вони утворюють базис. Справді, помножимо обидві частини рівності  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 на будь-який вектор е i . Отримаємо  l (el *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (en *е i) = 0  i (ei *е i) = 0   i = 0 для  i.

Вектори e l , e 2 ,...e n n-мірного евклідового простору утворюють ортонормований базис, якщо ці вектори попарно ортогональні і норма кожного їх дорівнює одиниці, тобто. якщо е i * e j = 0 приi≠jі | е i | = 1 для i.

Теорема (без підтвердження). У кожному n-мірному евклідовому просторі існує ортонормований базис.

Прикладом ортонормованого базису є система n одиничних векторів е i , у яких i-я компонента дорівнює одиниці, а інші компоненти дорівнюють нулю. Кожен такий вектор називається орт. Наприклад, вектори-орти (1, 0, 0), (0, 1, 0) і (0, 0, 1) утворюють базис тривимірного простору.

Кут між векторами

Розглянемо два дані вектора $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$. Відкладемо від довільно обраної точки $O$ вектори $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ і $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, тоді кут $AOB$ називається кутом між векторами $\overrightarrow( a)$ і $\overrightarrow(b)$ (рис. 1).

Малюнок 1.

Зазначимо тут, що якщо вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ співспрямовані або один із них є нульовим вектором, тоді кут між векторами дорівнює $0^0$.

Позначення: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Поняття скалярного твору векторів

Математично це визначення можна записати так:

Скалярний твір може дорівнювати нулю у двох випадках:

Якщо один із векторів буде нульовим вектором (Оскільки тоді його довжина дорівнює нулю).

Якщо вектори взаємно перпендикулярні (тобто $cos(90)^0=0$).

Зазначимо також, що скалярний добуток більший за нуль, якщо кут між цими векторами гострий (так як $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), і менше нуля, якщо кут між цими векторами тупий (бо $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Із поняттям скалярного твору пов'язане поняття скалярного квадрата.

Визначення 2

Скалярним квадратом вектора $\overrightarrow(a)$ називається скалярний добуток цього вектора самого на себе.

Отримуємо, що скалярний квадрат дорівнює

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Обчислення скалярного твору за координатами векторів

Крім стандартного способу знаходження значення скалярного твору, що випливає із визначення, існує ще один спосіб.

Розглянемо його.

Нехай вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ мають координати $\left(a_1,b_1\right)$ і $\left(a_2,b_2\right)$, відповідно.

Теорема 1

Скалярний добуток векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ дорівнює сумі творів відповідних координат.

Математично це можна записати так

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказ.

Теорему доведено.

Ця теорема має кілька наслідків:

Наслідок 1: Вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли $a_1a_2+b_1b_2=0$

Наслідок 2: Косинус кута між векторами дорівнює $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Властивості скалярного твору векторів

Для будь-яких трьох векторів та дійсного числа $k$ справедливо:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Ця властивість випливає з визначення скалярного квадрата (визначення 2).

Пересувний закон:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Ця властивість випливає з визначення скалярного твору (визначення 1).

Розподільний закон:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Сполучний закон:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Приклад завдання обчислення скалярного твору векторів

Приклад 1

Знайти скалярний добуток векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$, якщо $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ і $\left|\overrightarrow(b)\right|= 2 $, а кут між ними дорівнює $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.

Рішення.

Використовуючи визначення 1, отримуємо

Для $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Для $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Для $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Для $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ right)=-3\sqrt(2)\]

Кут між векторами

Розглянемо два дані вектора $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$. Відкладемо від довільно обраної точки $O$ вектори $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ і $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$, тоді кут $AOB$ називається кутом між векторами $\overrightarrow( a)$ і $\overrightarrow(b)$ (рис. 1).

Малюнок 1.

Зазначимо тут, що якщо вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ співспрямовані або один із них є нульовим вектором, тоді кут між векторами дорівнює $0^0$.

Позначення: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Поняття скалярного твору векторів

Математично це визначення можна записати так:

Скалярний твір може дорівнювати нулю у двох випадках:

Якщо один із векторів буде нульовим вектором (Оскільки тоді його довжина дорівнює нулю).

Якщо вектори взаємно перпендикулярні (тобто $cos(90)^0=0$).

Зазначимо також, що скалярний добуток більший за нуль, якщо кут між цими векторами гострий (так як $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$), і менше нуля, якщо кут між цими векторами тупий (бо $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Із поняттям скалярного твору пов'язане поняття скалярного квадрата.

Визначення 2

Скалярним квадратом вектора $\overrightarrow(a)$ називається скалярний добуток цього вектора самого на себе.

Отримуємо, що скалярний квадрат дорівнює

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Обчислення скалярного твору за координатами векторів

Крім стандартного способу знаходження значення скалярного твору, що випливає із визначення, існує ще один спосіб.

Розглянемо його.

Нехай вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ мають координати $\left(a_1,b_1\right)$ і $\left(a_2,b_2\right)$, відповідно.

Теорема 1

Скалярний добуток векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ дорівнює сумі творів відповідних координат.

Математично це можна записати так

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказ.

Теорему доведено.

Ця теорема має кілька наслідків:

Наслідок 1: Вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли $a_1a_2+b_1b_2=0$

Наслідок 2: Косинус кута між векторами дорівнює $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Властивості скалярного твору векторів

Для будь-яких трьох векторів та дійсного числа $k$ справедливо:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Ця властивість випливає з визначення скалярного квадрата (визначення 2).

Пересувний закон:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Ця властивість випливає з визначення скалярного твору (визначення 1).

Розподільний закон:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Сполучний закон:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(enumerate)

По теоремі 1, маємо:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Приклад завдання обчислення скалярного твору векторів

Приклад 1

Знайти скалярний добуток векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$, якщо $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ і $\left|\overrightarrow(b)\right|= 2 $, а кут між ними дорівнює $ ((30) ^ 0, \ 45) ^ 0, \ (90) ^ 0, \ (135) ^ 0 $.

Рішення.

Використовуючи визначення 1, отримуємо

Для $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Для $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Для $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Для $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ right)=-3\sqrt(2)\]