Дачний календар

Найпростіші графіки. Елементарні функції та їх графіки. Ступінна функція з непарним позитивним показником

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здавання Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин та без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 задач) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості та легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Основні елементарні функції, притаманні їм якості та відповідні графіки – одні з азів математичних знань, схожих за рівнем важливості з таблицею множення. Елементарні функції є основою, опорою вивчення всіх теоретичних питань.

Стаття нижче дає ключовий матеріал на тему основних елементарних функцій. Ми введемо терміни, дамо їм визначення; докладно вивчимо кожен вид елементарних функцій, розберемо їх властивості.

Виділяють такі види основних елементарних функцій:

Визначення 1

постійна функція (константа);
корінь n-ого ступеня;
статечна функція;
показова функція;
логарифмічна функція;
тригонометричні функції;
братні тригонометричні функції.

Постійна функція визначається формулою: y = C (C - якесь дійсне число) і має також назву: константа. Ця функція визначає відповідність будь-якому дійсному значенню незалежної змінної x одного і того ж значення змінної y значення C .

Графік константи - це пряма, яка паралельна осі абсцис і проходить через точку, що має координати (0, С). Для наочності наведемо графіки постійних функцій y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (на кресленні позначено чорним, червоним та синім кольорами відповідно).

Визначення 2

Ця елементарна функція визначається формулою y = x n (n - натуральне число більше одиниці).

Розглянемо дві варіації функції.

Корінь n-го ступеня, n – парне число

Для наочності вкажемо креслення, у якому зображені графіки таких функций: y = x , y = x 4 y = x8. Ці функції позначені кольором: чорний, червоний та синій відповідно.

Подібний вигляд у графіків функції парного ступеня за інших значень показника.

Визначення 3

Властивості функції корінь n-ого ступеня, n – парне число

область визначення - безліч всіх невід'ємних дійсних чисел [0, + ∞);
коли x = 0 , функція y = x n має значення, що дорівнює нулю;
дана функція-функція загального виду (не є ні парною, ні непарною);
область значень: [0, + ∞);
дана функція y = x n при парних показниках кореня зростає по всій області визначення;
функція має опуклість з напрямком вгору по всій області визначення;
відсутні точки перегину;
асимптоти відсутні;
графік функції при парних n проходить через точки (0; 0) і (1; 1).

Корінь n-го ступеня, n – непарне число

Така функція визначена на всій множині дійсних чисел. Для наочності розглянемо графіки функцій y = x 3 , y = x 5 х 9 . На кресленні вони позначені кольорами: чорний, червоний та синій кольори кривих відповідно.

Інші непарні значення показника кореня функції y = xn дадуть графік аналогічного виду.

Визначення 4

Властивості функції корінь n-ого ступеня, n - непарне число

область визначення - безліч всіх дійсних чисел;
дана функція – непарна;
область значень – безліч усіх дійсних чисел;
функція y = x n при непарних показниках кореня зростає по всій області визначення;
функція має увігнутість на проміжку (- ∞ ; 0 ) і опуклість на проміжку [ 0 + ∞) ;
точка перегину має координати (0; 0);
асимптоти відсутні;
графік функції при непарних n проходить через точки (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) та (1 ; 1) .

Ступенева функція

Визначення 5

Ступенева функція визначається формулою y = x a.

Вигляд графіків та властивості функції залежать від значення показника ступеня.

коли статечна функція має цілий показник a , то вид графіка статечної функції та її властивості залежать від того, парний чи непарний показник ступеня, а також того, який знак має показник ступеня. Розглянемо всі ці окремі випадки докладніше нижче;
показник ступеня може бути дробовим чи ірраціональним – залежно від цього також варіюється вид графіків та властивості функції. Ми розберемо окремі випадки, задавши кілька умов: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
статечна функція може мати нульовий показник, цей випадок також нижче розберемо докладніше.

Розберемо статечну функцію y = x a , коли a – непарне позитивне число, наприклад, a = 1 , 3 , 5 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x (чорний колір графіка), y = x 3 (синій колір графіка), y = x 5 (червоний колір графіка), y = x7 (зелений колір графіка). Коли a = 1, отримуємо лінійну функцію y = x.

Визначення 6

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний позитивний

функція є зростаючою за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і увігнутість при x ∈ [ 0 ; + ∞) (виключаючи лінійну функцію);
точка перегину має координати (0; 0) (виключаючи лінійну функцію);
асимптоти відсутні;
точки проходження функції: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Розберемо статечну функцію y = x a коли а – парне позитивне число, наприклад, a = 2 , 4 , 6 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x 2 (чорний колір графіка), y = x 4 (синій колір графіка), y = x 8 (червоний колір графіка). Коли a = 2 отримуємо квадратичну функцію, графік якої – квадратична парабола.

Визначення 7

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний позитивний:

область визначення: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
спадної при x ∈ (- ∞ ; 0] ;
функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; + ∞);
окуляри перегину відсутні;
асимптоти відсутні;
точки проходження функції: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – непарне від'ємне число: y = x – 9 (чорний колір графіка); y = x – 5 (синій колір графіка); y = x – 3 (червоний колір графіка); y = x – 1 (зелений колір графіка). Коли a = - 1 отримуємо зворотну пропорційність, графік якої - гіпербола.

Визначення 8

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний негативний:

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1, - 3, - 5, …. Отже, пряма х = 0 – вертикальна асимптота;

область значень: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
функція є непарною, оскільки y(-x) = -y(x);
функція є спадною при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0) і увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) ;
точки перегину відсутні;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли а = - 1, - 3, - 5,. . . .

точки проходження функції: (- 1; - 1), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – парне від'ємне число: y = x – 8 (чорний колір графіка); y = x – 4 (синій колір графіка); y = x – 2 (червоний колір графіка).

Визначення 9

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний негативний:

область визначення: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2, - 4, - 6, …. Отже, пряма х = 0 – вертикальна асимптота;

функція є парною, оскільки y(-x) = y(x);
функція є зростаючою при x ∈ (- ∞ ; 0) і спадною при x ∈ 0 ; + ∞;
функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
точки перегину відсутні;
горизонтальна асимптота - пряма y = 0, оскільки:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , коли a = -2, -4, -6,. . . .

точки проходження функції: (- 1; 1), (1; 1).

З самого початку зверніть увагу на наступний аспект: у випадку, коли a – позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори приймають за область визначення цієї статечної функції інтервал - ∞; + ∞ , говорячи у своїй, що показник a – нескоротний дріб. На даний момент автори багатьох навчальних видань з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції, де показник – дріб з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримаємося саме такої позиції: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними позитивними показниками ступеня безліч [0; + ∞). Рекомендація для учнів: з'ясувати погляд викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Отже, розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – раціональне чи ірраціональне число за умови, що 0< a < 1 .

Проілюструємо графіками статечні функції y = x a коли а = 11 12 (чорний колір графіка); a = 5 7 (червоний колір графіка); a = 13 (синій колір графіка); a = 2 5 (зелений колір графіка).

Інші значення показника ступеня a (за умови 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Визначення 10

Властивості статечної функції при 0< a < 1:

область значень: y ∈ [0; + ∞);
функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
функція має опуклість при x ∈ (0; + ∞);
точки перегину відсутні;
асимптоти відсутні;

Розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – неціле раціональне чи ірраціональне число за умови, що a > 1 .

Проілюструємо графіками статечну функцію y = x a у заданих умовах на прикладі таких функцій: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (чорний, червоний, синій, зелений колір графіків відповідно).

Інші значення показника ступеня, а за умови a > 1, дадуть схожий вид графіка.

Визначення 11

Властивості статечної функції при a > 1:

область визначення: x ∈ [0; + ∞);
область значень: y ∈ [0; + ∞);
дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
функція має увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) (коли 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
точки перегину відсутні;
асимптоти відсутні;
точки проходження функції: (0; 0), (1; 1).

Звертаємо вашу увагу! Коли a – негативний дріб з непарним знаменником, у роботах деяких авторів зустрічається погляд, що область визначення в даному випадку – інтервал - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) із застереженням, що показник ступеня a – нескоротний дріб. На даний момент автори навчальних матеріалів з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримуємося саме такого погляду: візьмемо за область визначення статечних функцій з дробовими негативними показниками безліч (0; + ∞). Рекомендація для учнів: уточніть бачення вашого викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Продовжуємо тему та розбираємо статечну функцію y = x a за умови: - 1< a < 0 .

Наведемо креслення графіків наступних функцій: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (чорний, червоний, синій, зелений колір ліній відповідно).

Визначення 12

Властивості статечної функції при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

область значень: y ∈ 0; + ∞;
дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
точки перегину відсутні;

На кресленні нижче наведені графіки статечних функцій y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 (чорний, червоний, синій, зелений кольори кривих відповідно).

Визначення 13

Властивості статечної функції при a< - 1:

область визначення: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

область значень: y ∈ (0; + ∞);
дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
функція є спадною при x ∈ 0; + ∞;
функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
точки перегину відсутні;
горизонтальна асимптота - пряма y = 0;
точка проходження функції: (1; 1) .

Коли a = 0 і х ≠ 0 отримаємо функцію y = x 0 = 1 , що визначає пряму, з якої виключена точка (0 ; 1) (умовилися, що виразу 0 0 не надаватиметься жодного значення).

Показова функція має вигляд y = a x , де а > 0 і а ≠ 1 і графік цієї функції виглядає по-різному, виходячи зі значення підстави a . Розглянемо окремі випадки.

Спочатку розберемо ситуацію, коли основа показової функції має значення від нуля до одиниці (0< a < 1) . Наочним прикладом послужать графіки функцій при a = 1 2 (синій колір кривої) та a = 5 6 (червоний колір кривої).

Подібний вигляд матимуть графіки показової функції при інших значеннях підстави за умови 0< a < 1 .

Визначення 14

Властивості показової функції, коли основа менше одиниці:

область значень: y ∈ (0; + ∞);
дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
показова функція, у якої підстава менше одиниці, є спадною по всій області визначення;
точки перегину відсутні;
горизонтальна асимптота – пряма y = 0 при змінній x , що прагне + ∞ ;

Тепер розглянемо випадок, коли основа показової функції більша за одиницю (а > 1) .

Проілюструємо цей окремий випадок графіком показових функцій y = 3 2 x (синій колір кривої) та y = e x (червоний колір графіка).

Інші значення основи, великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка показової функції.

Визначення 15

Властивості показової функції, коли основа більше одиниці:

область визначення - все безліч дійсних чисел;
область значень: y ∈ (0; + ∞);
дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
показова функція, у якої основа більша за одиницю, є зростаючою при x ∈ - ∞ ; + ∞;
функція має увігнутість при x ∈ - ∞; + ∞;
точки перегину відсутні;
горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне до - ∞;
точка проходження функції: (0; 1).

Логарифмічна функція має вигляд y = log a (x) , де a > 0 , a ≠ 1 .

Така функція визначена лише за позитивних значень аргументу: при x ∈ 0 ; + ∞.

Графік логарифмічної функції має різний вигляд, виходячи із значення основи а.

Розглянемо спочатку ситуацію, коли 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Інші значення основи, невеликі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 16

Властивості логарифмічної функції, коли основа менша за одиницю:

область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля праворуч, значення функції прагнуть + ∞ ;
область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
логарифмічна
функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
точки перегину відсутні;
асимптоти відсутні;

Тепер розберемо окремий випадок, коли основа логарифмічної функції більше одиниці: а > 1 . На кресленні нижче – графіки логарифмічних функцій y = log 3 2 x і y = ln x (синій та червоний кольори графіків відповідно).

Інші значення основи більше одиниці дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 17

Властивості логарифмічної функції, коли основа більша за одиницю:

область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне нуля справа, значення функції прагнуть до - ∞ ;
область значень: y ∈ - ∞; + ∞ (все безліч дійсних чисел);
дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
логарифмічна функція є зростаючою за x ∈ 0 ; + ∞;
функція має опуклість при x ∈ 0; + ∞;
точки перегину відсутні;
асимптоти відсутні;
точка проходження функції: (1; 0) .

Тригонометричні функції – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Розберемо властивості кожної їх і відповідні графіки.

Загалом всім тригонометричних функцій характерно властивість періодичності, тобто. коли значення функцій повторюються при різних значеннях аргументу, що відрізняються один від одного на величину періоду f(x + T) = f(x) (T – період). Таким чином, у списку властивостей тригонометричних функцій додається пункт найменший позитивний період. Крім цього, будемо вказувати такі значення аргументу, у яких відповідна функція перетворюється на нуль.

Функція синус: y = sin(х)

Графік цієї функції називається синусоїда.

Визначення 18

Властивості функції синус:

область визначення: всі множини дійсних чисел x ∈ - ∞ ; + ∞;
функція перетворюється на нуль, коли x = π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
функція є зростаючою при x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z та спадної при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
функція синус має локальні максимуми в точках π 2 + 2 π · k; 1 і локальні мінімуми в точках - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
функція синус увігнута, коли x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
асимптоти відсутні.

Функція косинус: y = cos(х)

Графік цієї функції називається косінусоїда.

Визначення 19

Властивості функції косинус:

область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
найменший позитивний період: Т = 2 π;
область значень: y ∈ - 1; 1;
дана функція – парна, оскільки y(-x) = y(x);
функція є зростаючою при x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
функція косинус має локальні максимуми в точках 2 π · k; 1 , k ∈ Z та локальні мінімуми в точках π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
функція косинус увігнута, коли x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
асимптоти відсутні.

Функція тангенс: y = tg(х)

Графік цієї функції називається тангенсоіда.

Визначення 20

Властивості функції тангенс:

область визначення: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
Поведінка функції тангенс на межі області визначення lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким чином, прямі x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;
функція перетворюється на нуль, коли x = π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
функція є зростаючою при - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z;
функція тангенс є увігнутою при x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z і опуклої при x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z ;
точки перегину мають координати π · k; 0, k ∈ Z;

Функція котангенс: y = c t g (х)

Графік цієї функції називається котангенсоіда .

Визначення 21

Властивості функції котангенс:

область визначення: x ∈ (π · k; π + π · k) , де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);

Поведінка функції котангенс на межі області визначення lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким чином, прямі x = π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;

найменший позитивний період: Т = π;
функція перетворюється на нуль, коли x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
функція є спадною при x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ Z;
функція котангенс є увігнутою при x ∈ (π · k ;
точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
похилі та горизонтальні асимптоти відсутні.

Зворотні тригонометричні функції – це арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Найчастіше, у зв'язку з наявністю приставки «арк» у назві, зворотні тригонометричні функції називають аркфункціями .

Функція арксинус: y = a r c sin (х)

Визначення 22

Властивості функції арксинус:

дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
функція арксинус має увігнутість при x ∈ 0; 1 і опуклість при x ∈ - 1; 0;
точки перегину мають координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
асимптоти відсутні.

Функція арккосинус: y = a r c cos (х)

Визначення 23

Властивості функції арккосинус:

область визначення: x ∈ - 1; 1;
область значень: y ∈ 0; π;
дана функція - загального виду (ні парна, ні непарна);
функція є спадною по всій області визначення;
функція арккосинус має увігнутість при x ∈ - 1; 0 і опуклість при x ∈ 0; 1;
точки перегину мають координати 0; π 2;
асимптоти відсутні.

Функція арктангенс: y = r c t g (х)

Визначення 24

Властивості функції арктангенс:

область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
область значень: y ∈ - π 2; π 2;
дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
функція є зростаючою по всій області визначення;
функція арктангенс має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і опуклість при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
точка перегину має координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
горизонтальні асимптоти – прямі y = - π 2 за x → - ∞ і y = π 2 за x → + ∞ (на малюнку асимптоти – це лінії зеленого кольору).

Функція арккотангенс: y = r c c t g (х)

Визначення 25

Властивості функції арккотангенс:

область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
область значень: y ∈ (0; π);
ця функція – загального виду;
функція є спадною по всій області визначення;
функція арккотангенс має увігнутість при x ∈ [0; + ∞) і опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0];
точка перегину має координати 0; π 2;
горизонтальні асимптоти – прямі y = π за x → - ∞ (на кресленні – лінія зеленого кольору) і y = 0 за x → + ∞ .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
Графік лінійної функції є пряма.

1. Щоб побудувати графік функції,нам потрібні координати двох точок, що належать до графіка функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх на рівняння функції, і з них обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0; 2) і В (3; 3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y= x+2:

2. У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому, що більше значення k, то більше вписувалося кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі OX.

У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)

Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k меньше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)

Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)

Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
Якщо k 0

Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцис x=a.

Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
Увага!Рівняння x=a не є функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значення функції, що не відповідає визначенню функції.

4. Умова паралельності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2

5. Умова перепендикулярності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2

6. Крапки перетину графіка функції y=kx+b з осями координат.

З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):

Елементарні функції та їх графіки

Пряма пропорційність. Лінійна функція.

Назад пропорційність. Гіпербол.

Квадратична функція. Квадратна парабола.

Ступінна функція. Показова функція.

Логарифмічна функція. Тригонометричні функції.

Зворотні тригонометричні функції.

1.	Пропорційні величини. Якщо змінні yі x прямо пропорційні, то функціональна залежність між ними виражається рівнянням: y = k x , де k- Постійна величина ( коефіцієнт пропорційності). Графік прямий пропорційності- Пряма лінія, що проходить через початок координат і утворює з віссю Xкут, тангенс якого дорівнює k: tan = k(Рис.8). Тому, коефіцієнт пропорційності називається також кутовим коефіцієнтом. На рис.8 показано три графіки для k = 1/3, k= 1 та k = 3 .
2.	Лінійна функція. Якщо змінні yі xпов'язані рівнянням 1-го ступеня: A x + B y = C , де принаймні одне з чисел Aабо Bне дорівнює нулю, то графіком цієї функціональної залежності є пряма лінія. Якщо C= 0, вона проходить через початок координат, інакше - немає. Графіки лінійних функцій для різних комбінацій A,B,Cпоказано на рис.9.
3.	Зворотній пропорційність. Якщо змінні yі x назад пропорційні, то функціональна залежність між ними виражається рівнянням: y = k / x , де k- Постійна величина. Графік зворотної пропорційності гіпербола (Рис.10). У цієї кривої дві гілки. Гіперболи виходять при перетині кругового конуса площиною (про конічні перерізи див. розділ "Конус" у розділі "Стереометрія"). Як показано на рис.10, добуток координат точок гіперболи є величина постійна, у нашому прикладі дорівнює 1. У загальному випадку ця величина дорівнює k, що випливає з рівняння гіперболи: xy = k. Основні характеристики та властивості гіперболи: Область визначення функції: x 0, область значень: y 0 ; Функція монотонна (зменшується) при x< 0 і при x > 0, але не монотонна загалом через точку розриву x= 0 (подумайте, чому?); Функція необмежена, розривна у точці x= 0, непарна, неперіодична; - нулів функція не має.
4.	Квадратична функція. Це функція: y = ax 2 + bx + c, де a, b, c- постійні, a 0. У найпростішому випадку маємо: b=c= 0 і y = ax 2 . Графік цієї функції квадратна парабола -крива, що проходить через початок координат (рис.11). Кожна парабола має вісь симетрії OY, яка називається віссю параболи. Точка, крапка Oперетину параболи з її віссю називається вершиною параболи. Графік функції y = ax 2 + bx + c- теж квадратна парабола того ж виду, що й y = ax 2 але її вершина лежить не на початку координат, а в точці з координатами: Форма та розташування квадратної параболи в системі координат повністю залежить від двох параметрів: коефіцієнта aпри x 2 та дискримінанта D:D = b 2 – 4ac. Ці властивості випливають із аналізу коренів квадратного рівняння (див. відповідний розділ у розділі «Алгебра»). Усі можливі різні випадки для квадратної параболи показано на рис.12.

Зобразіть, будь ласка, квадратну параболу для випадку a > 0, D > 0 .

Основні характеристики та властивості квадратної параболи:

Область визначення функції:  < x+ (т.е. x R ), а область

значень: … (відповідайте, будь ласка, це питання самі!);

Функція загалом не монотонна, але справа чи ліворуч від вершини

веде себе, як монотонна;

Функція необмежена, всюди безперервна, парна при b = c = 0,

та неперіодична;

- при D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Ступінна функція. Це функція: y = ax n, де a, n- Постійні. При n= 1 отримуємо пряму пропорційність: y=ax; при n = 2 - квадратну параболу; при n = 1 - зворотну пропорційністьабо гіперболу. Таким чином, ці функції - окремі випадки статечної функції. Ми знаємо, що нульовий ступінь будь-якого числа, відмінного від нуля, дорівнює 1, отже, при n= 0 статечна функція перетворюється на постійну величину: y= a, тобто. її графік - пряма лінія, паралельна до осі Х, крім початку координат (поясніть, будь ласка, чому?). Всі ці випадки (при a= 1) показано на рис.13 ( n 0) та рис.14 ( n < 0). Отрицательные значения xтут не розглядаються, тому що тоді деякі функції: Якщо n- Цілі, статечні функції мають сенс і при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли nпарним числом чи непарним. На рис.15 показані дві такі статечні функції: для n= 2 та n = 3. При n= 2 функція парна та її графік симетричний щодо осі Y. При n= 3 функція непарна та її графік симетричний щодо початку координат. Функція y = x 3 називається кубічною параболою. На рис.16 представлена функція. Ця функція є зворотною до квадратної параболи y = x 2 , її графік виходить поворотом графіка квадратної параболи навколо бісектриси 1-го координатного кута Це спосіб отримання графіка будь-якої зворотної функції з графіка її вихідної функції. Ми бачимо за графіком, що це двозначна функція (про це свідчить і знак  перед квадратним коренем). Такі функції не вивчаються в елементарній математиці, тому як функцію ми розглядаємо зазвичай одну з її гілок: верхню чи нижню.
6.	Показова функція. Функція y = a x, де a- Позитивне постійне число, називається показовою функцією. Аргумент xприймає будь-які дійсні значення; як значення функції розглядаються тільки позитивні числа, тому що інакше ми маємо багатозначну функцію. Так, функція y = 81 xмає при x= 1/4 чотири різні значення: y = 3, y = 3, y = 3 iі y = 3 i(перевірте будь ласка!). Але ми розглядаємо як значення функції тільки y= 3. Графіки показової функції для a= 2 та a= 1/2 представлені на рис.17. Вони проходять через точку (0, 1). При a= 1 ми маємо графік прямої лінії, паралельної осі Х, тобто. функція перетворюється на постійну величину, рівну 1. При a> 1 показова функція зростає, a при 0< a < 1 – убывает. Основні характеристики та властивості показової функції:  < x+ (т.е. x R ); область значень: y> 0 ; Функція монотонна: зростає при a> 1 і меншає при 0< a < 1; - нулів функція не має.
7.	Логарифмічна функція. Функція y= log a x, де a- Постійне позитивне число, не рівне 1, називається логарифмічною. Ця функція є зворотною до показової функції; її графік (рис.18) можна отримати поворотом графіка показової функції навколо бісектриси 1-го координатного кута. Основні характеристики та властивості логарифмічної функції: Область визначення функції: x> 0, а область значень:  < y+ (Тобто. y R ); Це монотонна функція: вона зростає при a> 1 і меншає при 0< a < 1; Функція необмежена, всюди безперервна, неперіодична; У функції є один нуль: x = 1.
8.	Тригонометричні функції. При побудові тригонометричних функцій ми використовуємо радіаннуміру виміру кутів. Тоді функція y= sin xпредставляється графіком (рис.19). Ця крива називається синусоїдою. Графік функції y= cos xпредставлений на рис.20; це також синусоїда, отримана в результаті переміщення графіка y= sin xвздовж осі Хліворуч на 2 З цих графіків очевидні властивості та характеристики цих функций: Область визначення:  < x+  область значень: 1 y +1; Ці функції періодичні: їх період 2; Функції обмежені (\| y\| , всюди безперервні, не монотонні, але мають так звані інтервали монотонності, всередині яких вони поводяться як монотонні функції (див. графіки рис.19 і рис.20); Функції мають безліч нулів (докладніше див. розділ «Тригонометричні рівняння»). Графіки функцій y= tan xі y= cot xпоказані відповідно на рис.21 та рис.22 З графіків видно, що ці функції: періодичні (їх період , необмежені, загалом не монотонні, але мають інтервали монотонності (які?), розривні (які точки розриву мають ці функції?). Область визначення та область значень цих функцій:
9.	Зворотні тригонометричні функції. Визначення зворотних тригонометричних функцій та їх основні властивості наведені у однойменному розділі у розділі «Тригонометрія». Тому тут ми обмежимося лише короткими кометаріями, що стосуються їх графіків, отриманих поворотом графіків тригонометричних функцій навколо бісектриси 1-го координатного кута.

Функції y= Arcsin x(рис.23) та y= Arccos x(Рис.24) багатозначні, необмежені; їх область визначення та область значень відповідно: 1 x+1 та  < y+ . Оскільки ці функції є багатозначними, не

розглядаються в елементарній математиці, як зворотні тригонометричні функції розглядаються їх головні значення: y= arcsin xі y= arccos x; їх графіки виділені на рис.23 та рис.24 жирними лініями.

Функції y= arcsin xі y= arccos xволодіють наступними характеристиками та властивостями:

У обох функцій та сама область визначення: 1 x +1 ;

їх області значень: /2 y/2 для y= arcsin xта 0 yдля y= arccos x;

(y= arcsin x- Зростаюча функція; y= arccos x –спадна);

Кожна функція має по одному нулю ( x= 0 у функції y= arcsin xі

x= 1 у функції y= arccos x).

Функції y= Arctan x(рис.25) та y= Arccot x (Рис.26) - багатозначні, необмежені функції; їх область визначення:  x+. Їхні головні значення y= arctan xі y= arccot xрозглядаються як зворотні тригонометричні функції; їх графіки виділені на рис.25 та рис.26 жирними гілками.

Функції y= arctan xі y= arccot xмають такі характеристики та властивості:

У обох функцій та сама область визначення:  x + ;

їх області значень: /2 <y < /2 для y= arctan xта 0< y < для y= arccos x;

Функції обмежені, неперіодичні, безперервні та монотонні

(y= arctan x- Зростаюча функція; y= arccot x –спадна);

Тільки функція y= arctan xмає єдиний нуль ( x = 0);

функція y = arccot xнулів немає.