Приведення плоскої системи сил до центру. Приведення системи сил до найпростішого вигляду Приведення системи сил до цієї точки

Лекція 5

Короткий зміст:Приведення сили до заданого центру. Приведення системи сил до заданого центру. Умови рівноваги просторової системи паралельних сил. Умови рівноваги пласкої системи сил. Теорема про три моменти. Статично визначні та статично невизначені завдання. Рівновість системи тел.

ПРИВЕДЕННЯ СИСТЕМИ СИЛ ДО ЗАДАНОГО ЦЕНТРУ. УМОВИ РІВНОВАГИ

Приведення сили до заданого центру.

Рівнодіюча система схожих сил безпосередньо знаходиться за допомогою складання сил за правилом паралелограма. Очевидно, що аналогічне завдання можна буде вирішити і для довільної системи сил, якщо знайти для них метод, що дозволяє перенести всі сили в одну точку.

Теорема про паралельне перенесення сили . Силу, прикладену до абсолютно твердого тіла, можна, не змінюючи дії, що надається нею, переносити з даної точки в будь-яку іншу точку тіла, додаючи при цьому пару з моментом, рівним моменту переноситься сили щодо точки, куди сила переноситься.

Нехай сила прикладена у точці A. Дія цієї сили не змінюється, якщо в точці B докласти дві врівноважені сили. Отримана система трьох сил є рівну силу, але прикладену в точці В і пару з моментом. Процес заміни сили силою та парою сил називається приведенням сили до заданого центру.

Приведення системи сил до заданого центру.

Основна теоремастатики (Пуанс).

Будь-яку довільну систему сил, що діє на тверде тіло, можна в загальному випадку призвести до сили та пари сил. Цей процес заміни системи сил однією силою та однією парою сил називається приведенням системи сил до заданого центру.

Головним вектором системи силназивається вектор, що дорівнює векторній сумі цих сил.

Головним моментом системи силщодо точки О тіла, називається вектор, що дорівнює векторній сумі моментів усіх сил системи щодо цієї точки.

Формули для обчислення головного вектора та головного моменту

Формули для обчислення модуля та напрямних косінусів

головного вектора та головного моменту

Умови рівноваги системи зусиль.

Векторні форми.

Для рівноваги довільної системи сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб головний вектор системи сил дорівнював нулю і головний момент системи сил щодо будь-якого центру приведення також дорівнював нулю.

Алгебраїчна форма.

Для рівноваги довільної системи сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб три суми проекцій всіх сил на осі декартових координат дорівнювали нулю і три суми моментів всіх сил відносно трьох осей координат також дорівнювали нулю.

Умови рівноваги просторової системи

паралельних сил.

На тіло діє система паралельних сил. Розташуємо вісь Oz паралельно до сил.

Рівняння

Для рівноваги просторової системи паралельних сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб сума проекцій цих сил дорівнювала нулю і суми моментів цих сил щодо двох координатних осей, перпендикулярним силам, також дорівнювали нулю.

- проекція сили на вісь Oz.

ПЛОСКА СИСТЕМА СИЛ.

Умови рівноваги пласкої системи сил.

На тіло діє пласка система сил. Розташуємо осі Ox та Oy у площині дії сил.

Рівняння

Для рівноваги плоскої системи сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб суми проекцій цих сил на кожну з двох прямокутних осей координат, розташованих у площині дії сил, дорівнювали нулю і сума моментів цих сил відносно будь-якої точки, що знаходиться в площині дії сил також дорівнювала нулю.

Теорема про три моменти.

Для рівноваги плоскої системи сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб суми моментів цих сил системи щодо трьох будь-яких точок, розташованих у площині дії сил і не лежать на одній прямій, дорівнювали нулю.

Статично визначні та статично невизначені завдання.

Для будь-якої плоскої системи сил, що діють на тверде тіло, є три незалежні умови рівноваги. Отже, для будь-якої плоскої системи з умов рівноваги можна знайти трохи більше трьох невідомих.

У разі просторової системи сил, що діють на тверде тіло, є шість незалежних умов рівноваги. Отже, для будь-якої просторової системи з умов рівноваги можна знайти трохи більше шести невідомих.

Завдання, у яких число невідомих не більше за кількість незалежних умов рівноваги для даної системи сил, прикладених до твердого тіла, називаються статично визначними.

Інакше завдання статично невизначені.

Рівновість системи тел.

Розглянемо рівновагу сил, прикладених до системи тіл, що взаємодіють між собою. Тіла можуть бути з'єднані між собою за допомогою шарнірів чи іншим способом.

Сили, що діють на систему тіл, що розглядається, можна розділити на зовнішні і внутрішні.

Зовнішніминазиваються сили, із якими на тіла аналізованої системи діють тіла, які входять у цю систему сил.

внутрішніминазиваються сили взаємодії між тілами системи, що розглядається.

При розгляді рівноваги сил, прикладених до системи тіл, можна подумки розчленувати систему тіл на окремі тверді тіла і до сил, які діють ці тіла, застосувати умови рівноваги, отримані одного тіла. До цих умов рівноваги увійдуть як зовнішні, і внутрішні сили системи тел. Внутрішні сили на підставі аксіоми про рівність сил дії та протидії у кожній точці зчленування двох тіл утворюють рівноважну систему сил.

Покажемо це на прикладі системи двох тіл та плоскої системи сил.

Якщо скласти умови рівноваги кожного твердого тіла системи тіл, то тіла I

.

для тіла II

Крім того, з аксіоми про рівність сил дії та протидії для двох взаємодіючих тіл маємо .

Представлені рівності є умови рівноваги зовнішніх сил, що діють на систему.

Реакція закладення.

Розглянемо балку один кінець якої АВ замурований у стіну. Таке кріплення кінця балки АВ називається закладенням у точціВ. Нехай на балку діє пласка система сил. Визначимо сили, які треба прикласти до точки балки, якщо частину балки АВ відкинути. До перерізу балки (В) додано розподілені сили реакції. Якщо ці сили замінити елементарними зосередженими силами і потім привести їх до точки В, то в точці Отримаємо силу (головний вектор сил реакції) і пару сил з моментом М (головний вектор сил реакції відносно точки В). Момент М називають моментом закладенняабо рективним моментом.Силу реакції можна замінити двома складовими та .

Закладення на відміну від шарніра створює не тільки невідому за величиною та напрямком реакцію, але ще й пару сил з невідомим моментом М у закладенні.

Метод приведення однієї сили до цієї точки можна застосувати до будь-якого числа сил. Припустимо, що у деяких точках тіла (рис. 1.24) прикладено сили F 1 F 2 , F 3і F4.Потрібно привести ці сили до точки Проплощині. Наведемо спочатку силу, прикладену в точці А.Докладемо (див. § 16) у точці Продві сили рівні нарізно за значенням заданій силі паралельні їй і направлені в протилежні сторони. В результаті наведення сили отримаємо силу , прикладену в точці О, і пару сил із плечем . Вчинивши так само з силою , прикладеної в точці В,отримаємо силу , прикладену в точці О,і пару сил із плечем і т. д. Плоскую систему сил, прикладених у точках А, В, Сі D,ми замінили схожими силами , прикладеними у точці О,і парами сил з моментами, рівними моментам заданих сил щодо точки В:

рис.1.24

Сходящие в точці сили можна замінити однією силою, що дорівнює геометричній сумі складових,

Цю силу, рівну геометричній сумі заданих сил, називають головним вектором системи силта позначають .

За величиною проекцій головного вектора на осі координат знаходимо модуль головного вектора:

На підставі правила складання пар сил їх можна замінити результуючою парою, момент якої дорівнює алгебраїчній сумі моментів заданих сил щодо точки Проі називається головним моментомщодо точки приведення

Таким чином, довільна плоска система сил наводиться до однієї сили(Головному вектору системи сил) і одному моменту(Головному моменту системи сил).

Необхідно засвоїти, що головний вектор не є рівнодією даної системи сил, так як ця система не еквівалентна одній силі . Оскільки головний вектор дорівнює геометричній сумі сил заданій системі, то ні модуль, ні напрямок його не залежить від вибору центру приведення. Значення та знак головного моменту залежить від положення центру приведення, оскільки плечі складових пар залежать від взаємного становища сил та точки (центру) щодо якої беруться моменти.

Окремі випадки приведення системи сил:

1); система перебувати у рівновазі, тобто. Для рівноваги плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб її головний вектор і головний момент одночасно дорівнювали нулю.

Теорема . СилуF , Не змінюючи її дію на тіло, можна перенести з точки її застосування А в будь-який центр приведення О, приєднавши при цьому до тіла пару сил з моментомМ , геометрично рівним моментуM Про (F ) цієї сили щодо центру приведення.

Нехай задана сила F, що лежить у горизонтальній площині OXY паралельно до осі ОХ (рис. 1.41).

Відповідно до методу Пуансо замість сили F, прикладеної у точці А, отримана сила F 1 , рівна за величиною силі F, але додана у точці Про і приєднана пара сил , векторний момент якої M= MПро ( F).

За теоремою про еквівалентність пар сил приєднану пару сил можна замінити будь-якою іншою парою сил з таким самим векторним моментом.

1.15. Приведення довільної системи сил до заданого центру

Теорема . Будь-яку довільну систему сил, що діє на тіло, можна привести в загальному випадку до сили та пари сил.

Такий процес заміни системи сил однією силою та парою сил називають приведенням системи сил до заданого центру .

П

Послідовно застосовуючи метод Пуансо до кожної із заданої системи сил, наведемо її до довільного центру О. В результаті цього отримаємо систему сил ( F 1 , …, F n), прикладених у центрі О, та приєднану пару сил з моментом M= Σ MПро ( F i). Складаючи сили F 1 , …, F n за правилом паралелограма, отримаємо їх рівнодіючу R* , рівну геометричній сумі заданих сил та прикладену в центрі приведення.

Геометричну суму всіх сил системи називають головним вектором системи сил і, на відміну від рівнодіючої R, позначають R * .

Вектор M= Σ MПро ( F i) називають головним моментом системи сил щодо центру приведення.

Цей результат можна сформулювати так: сили, довільно розташовані в просторі, можна привести до однієї сили, що дорівнює їх головному вектору і прикладеної в центрі приведення і до пари сил з моментом, що дорівнює головному моменту всіх сил щодо центру приведення.

Вибір центру приведення не відображається на модулі та напрямку головного вектора R* , але впливає на модуль та напрямок головного моменту М. Головний вектор R* є вільним вектором і може бути доданий у будь-якій точці тіла.

1.16. Аналітичні умови рівноваги плоскої довільної системи сил

Плоска довільна система сил – система сил, лінії дії яких довільно розташовані на одній площині.

Лінії дії плоскої довільної системи сил перетинаються у різних точках.

Н

Послідовно застосовуючи метод Пуансо для кожної з сил F i , здійснимо паралельне перенесення сил з точок A i на початок Про систему відліку OXYZ. Згідно з цим методом, сила F i буде еквівалентна силі F i ,прикладеної в точці, і приєднаної парі сил з моментом M i = MПро ( F i ) . При цьому M i = ± F i h i , де h i – плече сили F i щодо центру приведення О. Після закінчення цієї роботи отримаємо схожу систему сил ( F i ,…, F n) та схожу систему векторних моментів M i = MПро ( F i) приєднаних пар сил, прикладених у центрі приведення. Склавши вектори сил, отримаємо голів

ний вектор R* = Σ F i та головний момент еквівалентної пари сил M = Σ MПро ( F i).

Таким чином, плоска довільна система сил (F i ,…, F n ) еквівалентна одній силі R* = Σ F i і парі сил із моментом M = Σ M Про (F i ).

При розв'язанні задач статики використовують проекції сили на координатні осі та алгебраїчні моменти сил щодо точки.

На рис. 1.44 зображено плоску довільну систему сил, приведену до головного вектора сил, модуль якої R*=
та еквівалентній парі сил з алгебраїчним моментом M = Σ M О ( F i).

В

Геометрична умова рівноваги будь-якої системи сил виражається векторними рівностями: R* = Σ F i = 0; M= Σ MПро ( F i) = 0.

Під час вирішення завдань потрібно визначити реакції R i E зовнішніх зв'язків, накладених на механічну систему. При цьому активні сили F i E , що додаються до цієї системи, відомі. Оскільки активні сили F i E та реакції зв'язків R i E відносяться до розряду зовнішніх сил, то геометрична умова рівноваги системи зовнішніх сил доцільно виразити векторними рівностями:

Σ F i E + Σ R i E = 0;

Σ M A ( F i E) + Σ M A ( R i E) = 0.

Для рівноваги системи зовнішніх сил необхідно та достатньо, щоб геометрична сума активних сил F i E та реакцій R i E зовнішніх зв'язків та геометрична сума моментів активних сил M A ( F i E ) та реакцій зовнішніх зв'язків M A ( R i E ) щодо довільної точки А дорівнювали нулю.

Проеціюючи ці векторні рівності на координатні осі системи відліку, отримаємо аналітичні умови рівноваги системи зовнішніх сил . Для плоскої довільної системи сил ці рівняння набувають наступного вигляду:

Σ
+ Σ
= 0;

Σ
+ Σ
= 0;

Σ M A ( F i E) + Σ M A ( R i E) = 0,

де Σ
, Σ
– відповідно до суми проекцій активних сил на координатні осі OX, OY; Σ
, Σ
- Суми проекцій реакцій зовнішніх зв'язків на координатні осі OX, OY; Σ M A ( F i E) – сума алгебраїчних моментів активних сил F i E щодо точки А; Σ M A ( R i E) – сума моментів алгебри реакцій R i E зовнішніх зв'язків щодо точки А.

Сукупність цих формул є перша (основна) форма рівнянь рівноваги плоскої довільної системи зовнішніх сил .

Таким чином Для рівноваги плоскої довільної системи зовнішніх сил, прикладених до механічної системи, необхідно і достатньо, щоб суми проекцій активних сил і реакцій зовнішніх зв'язків на дві координатні осі та сума алгебраїчних моментів активних сил і реакцій зовнішніх зв'язків щодо довільної точки А дорівнювали нулю.

Існують інші форми рівнянь рівноваги плоскої довільної системи сил.

Друга форма виражається сукупністю формул:

Σ
+ Σ
= 0;

Σ M A ( F i E) + Σ M A ( R i E) = 0;

Σ M В ( F i E) + Σ M В ( R i E) = 0.

Для рівноваги плоскої довільної системи зовнішніх сил, прикладених до тіла, необхідно і достатньо, щоб сума проекцій сил на координатну вісь і суми моментів алгебри сил довільних точок А і В дорівнювали нулю.

Третя форма рівнянь рівноваги виражається сукупністю формул:

Σ M A ( F i E) + Σ M A ( R i E) = 0;

Σ M В ( F i E) + Σ M В ( R i E) = 0;

Σ M З ( F i E) + Σ M С ( R i E) = 0.

Для рівноваги плоскої довільної системи зовнішніх сил, прикладених до тіла, необхідно і достатньо, щоб суми моментів алгебри цих сил щодо довільних точок А, В і С дорівнювали нулю.

При використанні третьої форми рівнянь рівноваги точки А, В та С не повинні лежати на одній прямій.

Вирішимо тепер задачу про приведення довільної системи сил до даного центру, тобто про заміну даної системи сил іншою, їй еквівалентною, але значно простішою, що складається, як ми побачимо, тільки з однієї сили і пари.

Нехай на тверде тіло діє довільна система сил (рис. 40 а).

Виберемо якусь точку О за центр приведення і, користуючись теоремою, доведеною в § 11, перенесемо всі сили до центру О, приєднуючи при цьому відповідні пари (див. рис. 37, б). Тоді на тіло діятиме система сил

прикладених у центрі О, та система пар, моменти яких згідно з формулою (18) рівні:

Сенсовні сили, прикладені в точці О, замінюються однією силою R, прикладеної в точці О. При цьому або, відповідно до рівностей (19),

Щоб скласти усі отримані пари, треба скласти вектори моментів цих пар. В результаті система пар заміниться однією парою, момент якої або відповідно до рівностей (20),

Як відомо, величина R, рівна геометричній сумі всіх сил, називається головним вектором системи величина дорівнює геометричній сумі моментів всіх сил щодо центру, називається головним моментом системи сил щодо цього центру.

Таким чином, ми довели наступну теорему про приведення системи сил: будь-яка система сил, що діють на абсолютно тверде тіло, при приведенні до довільно обраного центру Про замінюється однією силою R, що дорівнює головному вектору системи сил і прикладеної в центрі приведення Про, і однією парою з моментом рівним головному моменту системи сил щодо центру (рис. 40, б).

Зауважимо, що сила R не є тут рівнодією даної системи сил, тому що замінює систему сил не одна, а разом із парою.

З доведеної теореми випливає, що дві системи сил, що мають однакові головні вектори та головні моменти щодо одного й того самого центру, еквівалентні (умови еквівалентності систем сил).

Зазначимо, що значення R від вибору центру О, очевидно, не залежить. Значення ж при зміні положення центру може в загальному випадку змінюватися внаслідок зміни значень моментів окремих сил. Тому завжди необхідно вказувати, щодо якого центру визначається головний момент.

Лекція 3

Короткий зміст:Приведення довільної та плоскої системи сил до центру. Теорема про паралельне перенесення сили, основна теорема статики Приведення системи сил до даного центру Головний вектор та головний момент системи сил. Залежність основного моменту від вибору центра. Аналітичне визначення головного вектора та головного моменту системи сил. Інваріанти системи сил. Приведення системи сил до найпростішого вигляду. Окремі випадки приведення довільної системи сил, динамічний гвинт. Теорема Варіньйона про момент рівнодіючої.

Приведення сили до заданого центру (Лемма Пуансо)

Рівнодіюча система схожих сил безпосередньо знаходиться за допомогою складання сил за правилом паралелограма. Очевидно, що аналогічне завдання можна буде вирішити і для довільної системи сил, якщо знайти для них метод, що дозволяє перенести всі сили в одну точку.

Лемма Пуансо про паралельне перенесення сили. .Не змінюючи дії сили на тверде тіло, її можна переносити паралельно до самої себе в будь-яку точку тіла, додаючи при цьому пару, момент якої дорівнює моменту даної сили щодо нової точки додатка.

Нехай сила прикладена у точці A. Дія цієї сили не змінюється, якщо в точці B докласти дві врівноважені сили. Отримана система трьох сил є рівну силу, але прикладену в точці В і пару з моментом. Процес заміни сили силою та парою сил називається приведенням сили до заданого центру В. ■

Приведення системи сил до заданого центру.

Головним вектором системи силназивається вектор, що дорівнює векторній сумі цих сил.

Головним моментом системи силщодо точки О тіла, називається вектор, що дорівнює векторній сумі моментів усіх сил системи щодо цієї точки.

Теорема Пуансо (Основна теорема статики)

Довільну систему сил, що діє на тверде тіло, можна замінити еквівалентною системою, що складається із сили та пари сил. Сила дорівнює головному вектору системи сил і прикладена в довільно обраній точці (центрі приведення), момент пари дорівнює головному

моменту системи сил щодо цієї точки.

ДОКАЗ.

Точка, крапка Про- Центр приведення. По лемі Пуансо перенесемо силу F1в ціль О.При цьому замість F1 маємо в точці таку ж силу F1' і додатково пару сил з моментом m1.

Аналогічно перенесемо всі інші сили. В результаті отримаємо систему сил, що сходяться, і систему пар сил. За теоремою про існування рівнодіючої системи схожих

сил їх можна замінити однією силою R,рівною головному вектору. Систему пар за теоремою про складання пар можна замінити однією парою, момент якої дорівнює головному моменту Mo. ■

Інваріанти статики

Інваріанти статики - характеристики системи сил, які від вибору центру приведення.

Перший інваріантстатики – головний вектор системи сил (за визначенням).

Другий інваріантстатики - скалярне твір головного вектора та головного моменту.

Справді, головний момент, мабуть, залежить від вибору центру приведення. Розглянемо довільну систему сил . Приведемо її спочатку до центру, а потім до центру О1.

З малюнка видно, що .Тому формула набуде вигляду

Або .

Домножимо обидві частини цієї рівності відповідно, враховуючи що головний вектор системи сил є першим інваріантомстатики: . за

властивості змішаного твору векторів , отже:

.

Якщо скористатися визначенням скалярного твору, то другого інваріанта можна отримати ще одну форму:

Оскільки , то попередній вираз набуде вигляду:

Таким чином, проекція головного моменту на напрямок головного вектора є постійна величина для даної системи сил і не залежить від вибору центру приведення.

Окремі випадки приведення довільної системи сил до найпростішого вигляду

1) Якщо при наведенні системи сил до центру то на підставі (6.4) можна записати

.

рівнодіючої, прикладеної в центрі приведення і збігається за величиною та напрямком з головним вектором.

2) Якщо при приведенні системи сил до центру

то представивши у вигляді пари сил із плечем,

отримаємо: .

У цьому випадку система сил наводиться до рівнодіючої, що збігається за величиною та напрямком з головним вектором, а лінія дії рівнодіючою віддалена від лінії дії головного вектора на відстані .

3) Якщо при приведенні системи сил до центру то можна записати

, тобто система сил наводиться до парі силз моментом, що дорівнює головному моменту системи сил.

4) Якщо при приведенні системи сил до центру то можна записати

Тобто. система сил знаходиться в рівновазі.

Визначення:Система, що складається з сили і пари сил, момент якої колінеарен силі (площина пари перпендикулярна лінії дії сили), називається динамоюабо динамічним гвинтом.

Якщо при приведенні системи сил до центру Про другий інваріант не дорівнює нулю, то ця система сил наводиться до динамі.

Розклавши на дві складові - вздовж головного вектора і - перпендикулярно головному вектору, і будемо мати випадок 2),а вектор , як вільний можна перенести паралельно самому собі в точку О 1:

Вектори є динамом, де , .

У даному випадку приведення системи сил головний момент має мінімальне значення. Це значення моменту зберігається при приведенні заданої системи сил до будь-якої точки, що лежить на лінії дії головного вектора та головного моменту. Рівняння цієї лінії (центральна гвинтова вісь системи сил) визначається за умов колінеарності векторів і : .