У попередній главі докладно розглянуто один із найпоширеніших способів наближення функцій – інтерполювання. Але цей спосіб не єдиний. При вирішенні різноманітних прикладних завдань та побудові обчислювальних схем нерідко використовують інші способи. У цьому розділі ми розглянемо методи отримання среднеквадратических наближень. Назва наближень пов'язані з метричними просторами, у яких розглядається завдання наближення функції. У розділі 1 ми запровадили поняття «метричний лінійний нормований простір» і «метричний евклідовий простір» і побачили, що похибка наближення визначається метрикою простору, в якому розглядається завдання наближення. У різних просторах поняття похибки має різне значення. Розглядаючи похибку інтерполяції, ми не акцентували на цьому увагу. А в цьому розділі нам доведеться цим питанням зайнятися докладніше.

5.1. Наближення тригонометричними багаточленами та багаточленами Лежандра Простір l2

Розглянемо безліч функцій, що інтегруються з квадратом по Лебегу на відрізку
, тобто таких, що має існувати інтеграл
.

Оскільки виконується очевидна нерівність, з інтегрованості з квадратом функцій
і
повинна слідувати і інтегрованість з квадратом будь-якої їхньої лінійної комбінації
, (де
і
 будь-які речові числа), а також інтегрованість твору
.

Введемо на безлічі функцій, що інтегруються з квадратом по Лебегу на відрізку
, операцію скалярного твору

. (5.1.1)

З властивостей інтеграла випливає, що введена операція скалярного твору має майже всі властивості скалярного твору в евклідовому просторі (див. параграф 1.10, с. 57):

Тільки перша властивість виконується не до кінця, тобто не буде виконана умова.

Справді, якщо
, то звідси не випливає, що
на відрізку
. Для того щоб введена операція мала цю властивість, надалі домовимося не розрізняти (вважати еквівалентними) функції
і
, для яких

.

З урахуванням останнього зауваження, ми переконалися, що безліч функцій, що інтегруються з квадратом по Лебегу (точніше безліч класів еквівалентних функцій), утворює евклідовий простір, в якому визначено операцію скалярного твору за формулою (5.1.1). Цей простір називають простором Лебега та позначають
або коротше .

Оскільки будь-який евклідовий простір автоматично є і нормованим і метричним, простір
також є нормованим та метричним простором. Норма (величина елемента) та метрика (відстань між елементами) у ньому зазвичай вводяться стандартним способом:

(5.1.2)

(5.1.3)

Властивості (аксіоми) норми та метрики наведені у параграфі 1.10. Елементами простору
не функції, а класи еквівалентних функцій. Функції, що належать одному класу, можуть мати різні значення на будь-якому кінцевому або навіть лічильному підмножині
. Тому наближення у просторі
визначаються неоднозначно. Ця неприємна особливість простору
окупається зручностями використання скалярного твору.

Щоб згладити дискретні функції Альтмана, і цим внести у теорію ідею безперервності, застосовувалося среднеквадратичное інтегральне наближення многочленом різних ступенів.

Відомо, що послідовність інтерполяційних багаточленів по рівновіддалених вузлах не обов'язково сходить до функції, навіть функція нескінченно диференційована. Для наближення функцій за допомогою відповідного розташування вузлів вдається знизити ступінь полінома. . Структура функцій Альтмана така, що зручніше використовувати наближення функції за допомогою інтерполяції, і з побудовою найкращого среднеквадратичного наближення у нормованому лінійному просторі. Розглянемо основні поняття та відомості при побудові найкращого наближення. Завдання наближення та оптимізації ставляться у лінійних нормованих просторах.

Метричні та лінійні нормовані простори

До найширших понять математики відносяться "множина" та "відображення". Поняття "множина", "набір", "сукупність", "сімейство", "система", "клас" у несуворій теорії множин вважаються синонімами.

Термін "оператор" тотожний терміну "відображення". Терміни "операція", "функція", "функціонал", "захід" - окремі випадки поняття "відображення".

Терміни "структура", "простір" при аксіоматичній побудові математичних теорій також придбав в даний час основне значення. До математичних структур належать теоретико-множинні структури (упорядковані та частково впорядковані множини); абстрактно-алгебраїчні структури (напівгрупи, групи, кільця, тіла, поля, алгебри, грати); диференціальні структури (зовнішні диференціальні форми, розшаровані простори) , , , , , , .

Під структурою розуміється кінцевий набір, що складається з множин носія (основна множина), числового поля (допоміжна множина) та відображення, заданих на елементах носія та числах поля. Якщо в якості носія взято безліч комплексних чисел, воно відіграє роль і основної, і допоміжної множини. Термін "структура" тотожний поняттю "простір".

Щоб задати простір, необхідно насамперед задати безліч-носія зі своїми елементами (точками), що позначаються латинськими та грецькими літерами

Як носій можуть виступати безлічі елементів дійсних (або комплексних): чисел; векторів, ; Матриць, ; Послідовностей; функцій;

Як елементи носія можуть виступати також безлічі: дійсної осі, площини, тривимірного (і багатовимірного) простору, перестановки, руху; абстрактні множини.

Визначення. Метричне простір є структура, що утворює трійку, де відображення є невід'ємною дійсною функцією двох аргументів для будь-яких x і y з M і задовольняє трьом аксіомам.

• 1 - невід'ємність; , за.
• 2 - симетричність;
• 3 - аксіома рефлексивності.

де – це відстані між елементами.

У метричному просторі задається метрика і формується поняття про близькість двох елементів із множини носія.

Визначення. Справжнє лінійне (векторне) простір є структурою, де відображення - адитивна операція складання елементів, що належать, а відображення - операція множення числа на елемент.

Операція означає, що для будь-яких двох елементів однозначно визначено третій елемент, званий їх сумою і позначається через, причому виконуються такі аксіоми.

Комутативна властивість.

Асоціативна властивість.

Існує особливий елемент, що позначається через такий, що для будь-якого виконується.

для будь-якого існує такий, що.

Елемент називається протилежним і позначається через.

Операція означає, що для будь-якого елемента та будь-якого числа визначений елемент, що позначається через та виконується аксіоми:

Елемент (точки) лінійного простору називається також векторами. Аксіомами 1 - 4 задається група (адитивна), звана модулем і є структурою.

Якщо операція у структурі не підпорядковується ніякими аксіомам, таку структуру називають групоїдом. Ця структура дуже бідна; в ній немає жодної аксіоми асоціативності, то структура називається моноідом (напівгрупа).

У структурі за допомогою відображення та аксіомами 1-8 задається властивість лінійності.

Отже, лінійний простір є груповим модулем, у структуру якого додано ще одну операцію - множення елементів носія число з 4 аксіомами. Якщо замість операції задати поряд з ще одну групову операцію множення елементів з 4 аксіомами і постулювати аксіому дистрибутивності, виникає структура, звана полем.

Визначення. Лінійний нормований простір є структурою, в якій відображення задовольняє наступні аксіомами:

• 1. причому тоді і лише тоді, коли.
• 2. , .
• 3. , .

І так всього 11 аксіом.

Наприклад, якщо в структуру поля речових чисел, де - дійсні числа, додати модуль, що має всі три властивості норми, то поле речових чисел стає нормованим простором

Поширені два способи запровадження норми: або шляхом явного завдання інтервального виду однорідно-опуклого функціоналу , , або шляхом завдання скалярного твір, .

Нехай тоді вид функціоналу можна задати незліченною кількістю способів, змінюючи величину:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Другий поширений спосіб прийом завдання полягає в тому, що в структуру простору вводиться ще одного відображення (функція двох аргументів, зазвичай позначається через і називається скалярним твором).

Визначення. Евклідове місце є структура в якій скалярний твір містить норму і задовольняє аксіомам:

• 4. , причому тоді і лише тоді, коли

У евклідовому просторі норма породжується формулою

З властивостей 1 - 4 скалярного твору випливає, що виконуються всі аксіоми норми. Якщо скалярний твір у вигляді, то норма обчислюватиметься за формулою

Норму простору неможливо задати за допомогою скалярного твору.

У просторах з скалярним твором з'являються такі якості, які відсутні в лінійних нормованих просторах (ортогональність елементів, рівність паралелограма, теорема Піфагора, теж Аполлонія, нерівність Птолемея. Введення скалярного твору дає способи більш ефективного вирішення задач ап.

Визначення. Нескінченна послідовність елементів у лінійному нормованому просторі називається що сходить за нормою (просто сходить або має межу в), якщо існує такий елемент, що для будь-якого знайдеться номер, що залежить від такої, що при виконується

Визначення. Послідовність елементів називається фундаментальною, якщо для кожного існує номер, що залежить від того, що будь-якого і виконуються (Треногін Колмогоров, Канторович, з 48)

Визначення. Банаховим простором називається така структура, у якій будь-яка фундаментальна послідовність сходиться за нормою.

Визначення. Гільбертовим простором називається така структура в якій будь-яка фундаментальна послідовність сходиться за нормою, породженою скалярним твором.

Середньоквадратичне наближення функції.

Розглянемо завдання найкращого середньоквадратичного наближення функції полінома
за системою
.

Визначення 1.

Узагальненим поліномом порядку m за системою ( k k ) називається лінійна комбінація

де C k - Довільні речові коефіцієнти.

Завдання.Знайти поліном
, Найменш ухиляється від функції f у метриці L 2 , тобто. що задовольняє умові:

Теорема 1.

Якщо система
лінійно незалежна, то завдання найкращого середньоквадратичного наближення за цією системою однозначно можна розв'язати.

Запишемо квадрат відстані між функцією та поліномом:

(1)

Очевидно, що величина
- невід'ємно визначена квадратична функція змінних
а така функція досягає мінімального значення. Таким чином, розв'язання задачі середньоквадратичного наближення існує.

Доведемо єдиність рішення.

Запишемо необхідні умови мінімуму:

, i=0,…,m.

Обчислюючи приватні похідні за c i виразами (1), отримаємо лінійну систему рівнянь:

(2)

Система (2) називається нормальною системою.

Випишемо визначник цієї системи

(3)

Визначник системи (3) – так званий визначник Грамусистеми
. Відомо, що якщо система
- лінійно незалежна, то визначник
0 (легко доводиться протилежного). Згідно з умовою теореми
0 та система (2) має єдине рішення.

1.6. Класичні ортогональні багаточлени та їх застосування у задачах наближення функцій.

Нехай H-гільбертовий простір зі скалярним твором і, відповідно, нормою
. Важливим прикладом такого простору є так званий простір
- простір функцій f(x), для яких кінцевий інтеграл:

(1)

Тут h(x) - так звана вагова функція, що задовольняє умовам:

Якщо ж = (0 + ), то має виконуватися умова:

тобто. повинні існувати будь-які моменти вагової функції.

Визначення 1.

Для
визначено скалярний твір:

(2)

і відповідно норма:

згідно з умовою (1).

Використовуючи нерівність Коші – Буняковського – Шварца, отримуємо

Тому скалярний твір існує для

Визначення 2.

Відстань між елементами f і g визначається рівністю:

.

Виникає питання, як розуміти нульовий елемент. Якщо норма
, Чи випливає звідси, що f = g? Вводиться термінологія: f=g майже всюди, тобто можуть відрізнятися у кінцевому числі точок.

Визначення 3.

f та g ортогональніна відрізку з вагою h(x), якщо =0 (коротко пишуть
).

Якщо у гільбертовому просторі взяти будь-яку лінійно незалежну систему
, i=0,1,2,…, її можна ортогоналізувати.

Розглянемо як приклад систему:
При
кінцевий набір статечних функцій лінійно незалежний, тому з урахуванням цієї системи можна побудувати ортогональні поліноми. Відома наступна рекурентна процедура ортогоналізації (процедура Грама – Шмідта):

(3)

Коефіцієнти b k+1,j визначаються за умов ортогональності:

Послідовно помножуючи (3) на
отримуємо

(4)

приклад 1.

Нехай h(x)1, =[-1,1].

Побудувати перші три ортогональні поліноми за процедурою (3) - (4).

Далі маємо:

отже,

Для системи ортогональних багаточленів на відрізку [-1,1] з вагою h(x)=1 справедлива формула Родріга:

(5)

З (5) послідовно отримуємо:

Одержувані в такий спосіб поліноми називаються поліномами Лежандра.

Зауваження.

Знайдені за процедурою (3) - (4) ортогональні багаточлени можуть лише множниками відрізнятися від тих, що будуються за явною формулою Родріга (5).

Квадрат норми у цих поліномів дорівнює:

Тобто ці багаточлени не нормовані, оскільки

Для всіх класичних багаточленів існує рекурентна формула. Для поліномів Лежандра вона має такий вигляд:

Нехай
Розглянемо середньоквадратичне наближення:

де
- середньоквадратична помилка апроксимації,

- відрізок ряду Фур'є для функції f(x) у системі ортогональних багаточленів (P k (x)).

В силу ортогональності багаточленів Лежандра система нормальних рівнянь (2) з §1.5 стає діагональною, і її рішення призводить до наступних виразів для коефіцієнтів c k:

(7)

тобто забезпечується мінімум норми L 2 .

Докладно розпишемо помилку апроксимації

З іншого боку

з ортогональності.

Підставляючи в (8), отримаємо

. (9)

приклад 2.

Нехай f(x)=|x|.

Апроксимувати f(x) на [-1,1] у середньоквадратичному багаточленному другому ступені. Обчислити середньоквадратичну помилку.

Використовуємо ортогональну систему Лежандра:

Коефіцієнти c k знаходимо за формулою (7), враховуючи вид поліномів Лежандра:

1.7. Деякі загальні властивості ортогональних поліномів.

Багаточлен P n (x) ортогональний будь-якому алгебраїчному багаточлену m-ого ступеня M m (x) при m

M m (x) можна єдиним чином подати у вигляді лінійної комбінації багаточленів Лежандра:

Рівність (10) тотожна, тому коефіцієнти ak єдиним чином обчислюються шляхом прирівнювання коефіцієнтів при старших ступенях. Помножуючи обидві частини (10) на P n (x), маємо

через ортогональність системи

Поліном P n (x) має на відрізку [-1,1] рівно n дійсних та різних коренів.

Зауважимо, що з теореми Гауса многочлен P n (x) неспроможна мати більш ніж n коренів (власне кажучи, комплексних). Нехай P n (x) має менше, ніж n простих дійсних коренів. Позначимо їх
За цими точками побудуємо фундаментальний багаточлен

Розглянемо багаточлен:
- багаточлен ступеня (k+n), що має нулі
парної кратності. Значить, новий багаточлен
зберігає знак під час переходу через ці нулі, тобто. зберігає знак на [-1,1]. Звідси слідує що

Але це суперечить властивості 1, так як P n (x) обов'язково повинен бути ортогональний M k (x).

Між двома сусідніми нулями багаточлена P n (x) лежить рівно один нуль багаточлена P n-1 (x).

Доводиться індукцією за допомогою рекурентного співвідношення (6).

При n-парному багаточлені P n (x) – парна функція від x, при n- непарному, P n (x) – непарна функція від x.

Поруч із многочленами Лежандра класичними ортогональними багаточленами називають такі системи многочленов (далі (a,b) – проміжок ортогональності, r(x) – вагова функція).

1) Багаточлени Якобі {Р п (l m) ( х)) - при а = -1, b= 1 r( х) = (1-х) l (1 + x) m , l> -1, m > -1. Спеціальні окремі випадки багаточленів Якобі відповідають наступним значенням l і m: l= m- ультрасферичні багаточлени (їх іноді називають багаточленами Гегенбауера); l= m = - 1/2, тобто. -багаточлени Чебишева 1-го роду T n (x); l= m = 1/2, тобто. - багаточлени Чебишева 2-го роду U n (x);

2) Багаточлени Лагерра L n (x) - при а = 0, b= + ∞ та r( х) = е -х(їх зв. також багаточленами Чебишева - Лагерра) та узагальнені багаточлени Лагерра - при . 3) Многочлени Ерміта Н n (х) - при а = -∞, b= + ∞ і (їх називають також багаточленами Чебишева – Ерміта).

Нехай у таблиці задані значення функції, отримані, наприклад, експерименту, т. е. виміряні з похибкою. Тоді наближення із використанням апарату інтерполяції , в основі якого прирівнювання значень багаточлена у вузлах інтерполяції табличним значенням недоцільно.

При такій постановці завдання слід виконати наближення в середньому, тобто описати таблично задану функцію деякою досить простою аналітичною залежністю, що має невелику кількість параметрів. Оптимальний вибір цих параметрів дозволить виконати середньоквадратичне наближення функції, заданої таблицею.

Вибір типу аналітичної залежностіслід починати з нанесення табличних даних на координатну площину – так буде сформовано поле експериментальних точок. Крізь поле цих точок проводиться плавна крива так, щоб частина точок лягли на цю криву, частина точок були вищими, а частина точок виявилися нижчими за проведену криву. По виду цієї кривої і слід визначити тип аналітичної залежності - лінійна вона, статечна, гіперболічна або яка-небудь інша.

Однак за графіком на око дуже важко вибрати тип аналітичної залежності. Тому був запропонований спосіб орієнтовної оцінки та вибору типу аналітичної залежності. Цей спосіб дійсно приблизний і неточний, так як і криву можна провести по-різному через поле експериментальних точок, і в таблиці взяти різні опорні точки для розрахунку та й невідома точність запропонованої методики. Разом з тим як орієнтовний спосіб вибору типу залежності його можна розглянути.

Пропонується наступний алгоритм дій.

1. У вихідній таблиці вибрати дві далеко віддалені один від одного точки з координатами (x 1, y 1) і (x n , y n) - опорні точки, і для кожної пари координат обчислити середнє арифметичне, середнє геометричне та середнє гармонійне.

2. На кривій, проведеній через поле експериментальних точок, знайти три ординати, що відповідають знайденим абсциссам x ар, x геом, x гарм:

3. Виконати порівняння знайдених на кривій з обчисленими шляхом обчислення наступних модулів різниць:

4. Зі знайдених значень вибирається мінімальне:

5. Висновки:якщо мінімальним виявилося

Лінійна залежність

Залежність показова

Залежність дробно-лінійна

Залежність логарифмічна

Залежність статечна

Залежність гіперболічна

Залежність дробно-раціональна

Будь-яку з цих залежностей можна звести до лінійної, виконавши перетворення координат або так зване вирівнювання даних.
Отже, перший етап завершується вибором виду аналітичної залежності, параметри якої визначено.

Другий етапполягає у визначенні найкращих значень коефіцієнтів обраної аналітичної залежності. Для цього застосовують математичний метод найменших квадратів.

В основі методу – мінімізація суми квадратів відхилень заданих табличних значень () від обчислених за теоретичною залежністю (): .

Нехай обрана залежність – пряма лінія: . Підставимо у функціонал: . Тоді мінімізується функціонал:

Для знаходження найкращих значень коефіцієнтів і треба знайти приватні похідні від і прирівняти їх нулю:

Після перетворень система рівнянь набуває вигляду:

Вирішення цієї системи лінійних рівнянь дозволяє знайти найкращі значення коефіцієнтів та лінійної залежності.

Якщо обраною залежністю є квадратична парабола:

то мінімізується функціонал: .

Парабола має три коефіцієнти, що варіюються - , найкращі значення яких слід знайти, прирівнявши нулю приватні похідні від мінімізованого функціоналу за шуканими коефіцієнтами . Це дозволяє отримати наступну систему трьох лінійних рівнянь для знаходження коефіцієнтів:

приклад 1.Визначити вид залежності, заданої наступною таблицею.

Рішення.

На координатну площину слід нанести задані у таблиці точки – утворюється поле експериментальних даних. Крізь це поле проводиться гладка крива.

За таблицею вибираються дві опорні точки з координатами (3;0,55) і (10;1,11) і для кожної пари абсцис та ординат обчислюються середнє арифметичне, геометричне та гармонійне:

Для трьох обчислених абсцис по кривій, проведеній через поле експериментальних точок, визначаються три відповідні ординати:

Звернути увагуна орієнтовність обчислень, що проводяться. Далі визначаються сім модулів різниці:

Отримано три мінімальні, близькі один до одного значення

З другого краю етапі слід кожної з цих залежностей визначити найкращі значення коефіцієнтів, застосувавши метод найменших квадратів, та був обчислити середнє квадратичне відхилення від заданих табличних значень.

Остаточний вибір аналітичної залежності виконують за мінімальною величиною середнього відхилення квадратичного.

приклад 2.У таблиці наведено результати експериментальних досліджень, які можна апроксимувати прямою лінією. Знайти найкращі значення коефіцієнтів прямий, застосувавши спосіб найменших квадратів.

Рішення.

Загальне рівняння прямої: .

Система лінійних рівнянь, з якої слід визначати найкращі значення коефіцієнтів і керуючись методом найменших квадратів, має вигляд:

Підставимо до системи рівнянь обчислені суми з 2-го, 3-го, 4-го та 5-го стовпців останнього рядка таблиці:

Звідки визначено коефіцієнти лінійної залежності Значить рівняння теоретичної прямої має вигляд:

. (*)

У шостому стовпці таблиці наведено обчислені за теоретичним рівнянням значень функції для заданих значень аргументу. У сьомому стовпці таблиці наведено значення різниці між заданими значеннями функції (третій стовпець) і теоретичними значеннями (шість стовпець), обчисленими за рівнянням (*).

У восьмому стовпці наведено квадрати відхилень теоретичних значень від експериментальних та визначено суму квадратів відхилень. Тепер можна знайти

Приклад 3.Нехай дані експерименту, наведені в таблиці, апроксимуються квадратичною параболою: Знайти найкращі значення коефіцієнтів параболи, застосувавши спосіб найменших квадратів.

Рішення.

Система лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів параболи має вигляд:

З останнього рядка таблиці до системи рівнянь підставляють відповідні суми:

Розв'язання системи рівнянь дозволяє визначити значення коефіцієнтів:

Отже, задана таблицею залежність на відрізку апроксимується квадратичною параболою:

Розрахунок за наведеною формулою для заданих значень аргументу дозволяє сформувати дев'ятий стовпець таблиці, що містить теоретичні значення функції.

Сума квадратів відхилень теоретичних значень від експериментальних наведена в останньому рядку 11 стовпця таблиці. Це дозволяє визначити середнє квадратичне відхилення:

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №3

Тема: Методи вирішення систем рівнянь

Метод Гауса - метод послідовного виключення невідомих – належить до групи точних методів, і якби була відсутня похибка обчислень, можна було б отримати точне рішення.

При ручних розрахунках обчислення доцільно вести таблиці, що містить стовпець контролю. Нижче представлений загальний варіант такої таблиці на вирішення системи лінійних рівнянь 4-го порядку.

				Вільні члени	Стовпець контролю

				Вільні члени	Стовпець контролю

приклад 1.Методом Гауса вирішити систему рівнянь 4-го порядку:

Ці наближені значення коренів можна підставити у вихідну систему рівнянь та обчислити нев'язки - , що є різницею між правою та лівою частинами кожного рівняння системи при підстановці в ліву частину знайденого коріння. Потім підставляються як вільні члени системи нев'язки і отримують поправки

коріння - :

Натиснувши на кнопку "Скачати архів", ви завантажуєте потрібний вам файл абсолютно безкоштовно.
Перед завантаженням даного файлу згадайте про ті хороші реферати, контрольні, курсові, дипломні роботи, статті та інші документи, які лежать незатребуваними у вашому комп'ютері. Це ваша праця, вона повинна брати участь у розвитку суспільства та приносити користь людям. Знайдіть ці роботи та відправте в базу знань.
Ми та всі студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будемо вам дуже вдячні.

Щоб завантажити архів з документом, в полі, розташоване нижче, впишіть п'ятизначне число та натисніть кнопку "Завантажити архів"

Подібні документи

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри методом простої ітерації. Поліноміальна інтерполяція функції методом Ньютона із розділеними різницями. Середньоквадратичне наближення функції. Чисельне інтегрування функцій шляхом Гауса.

курсова робота , доданий 14.04.2009


Численні методи є набір алгоритмів, дозволяють отримувати наближене (чисельне) рішення математичних завдань. Два види похибок, що виникають під час вирішення завдань. Знаходження нулів функції. Метод половинного поділу. Метод хорд.

курс лекцій, доданий 06.03.2009


Поняття певного інтеграла, його геометричне значення. Численні методи обчислення певних інтегралів. Формули прямокутників та трапецій. Застосування пакета Mathcad для обчислення інтегралів, перевірка результатів обчислень за допомогою Mathcad.

курсова робота , доданий 11.03.2013


Численні методи розв'язання систем лінійних рівнянь: Гауса, простий ітерації, Зейделя. Методи апроксимації та інтерполяції функцій: невизначених коефіцієнтів, найменших квадратів. Розв'язання нелінійних рівнянь та обчислення певних інтегралів.

курсова робота , доданий 27.04.2011


Методи оцінки похибки інтерполювання. Інтерполяція алгебраїчними багаточленами. Побудова алгебраїчних багаточленів найкращого середньоквадратичного наближення. Численні способи вирішення завдання Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

лабораторна робота, доданий 14.08.2010


Розв'язання нелінійних рівнянь методом дотичних (Ньютона), особливості та етапи цього процесу. Механізм інтерполування функції та чисельне інтегрування. Наближене вирішення звичайних диференціальних рівнянь першого порядку шляхом Ейлера.

курсова робота , доданий 16.12.2015


Численні методи пошуку безумовного екстремуму. Завдання безумовної мінімізації. Розрахунок мінімуму функції шляхом покоординатного спуску. Вирішення задач лінійного програмування графічним та симплексним методом. Робота із програмою MathCAD.

курсова робота , доданий 30.04.2011