Wizyta, umówione spotkanie. Liniowa kombinacja wektorów a 1 , ..., a n

x 1 za 1 + ... + x n za n.

trywialny więc wszystkie współczynniki x 1 , ..., x n są równe zeru.

Wizyta, umówione spotkanie. Kombinacja liniowa x 1 a 1 + ... + x n a n jest nazywana nietrywialne, Jeśli tylko jeden ze współczynników x 1, ..., x n nie jest równy zero.

liniowo niezależny, więc nie ma nietrywialnej kombinacji tych wektorów równej wektorowi zerowemu .

Zatem wektory a 1 , ..., a n są liniowo niezależne, takie jak x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 lub więcej, jeśli x 1 = 0, ..., x n = 0.

Wizyta, umówione spotkanie. Wektory a 1 , ..., a n są nazywane ugór liniowy yakscho іsnuє nietrywialne połączenie wektora zerowego tsikh vector_v do_vnyuє.

Dominacja liniowych odłogów:

Dla 2 i 3 wektorów świata.

Dwa odłogi liniowe - współliniowe. (Wektory Kolіnearnі - depozyty liniowe.) .

Dla trzech pokojowych wektorów.

Trzy odłogi liniowe — współpłaszczyznowe. (Trzy współpłaszczyznowe wektory - osady liniowe.)

• Dla n-tych wektorów.

  n + 1 wektor depozytów liniowych.

Zastosuj zadanie do liniowej niezależności i liniowej niezależności wektorów:

Przykład 1. Odwróć wektory a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie:

Wektory będą liniowo odłogiem, wektory skalujące będą mniejsze dla liczby wektorów.

Przykład 2. Wektory odwrotne a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie:

z pierwszego rzędu widać drugi; do trzeciego rzędu dodamo inny:

To rozwiązanie pokazuje, że system może wykonać rozwiązanie bezosobowe, tak aby miał niezerową kombinację wartości liczb x 1 , x 2 x 3 taką, że liniowa kombinacja wektorów a , b , c jest równa wektor zerowy, na przykład:

A + b + c = 0

a tse oznacza, że ​​wektory a, b, c są depozytami liniowymi.

Sugestia: wektory a, b, c są liniowo odłogiem.

Przykład 3. Wektory odwrotne a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie: Znamy wartość współczynników dla dowolnej kombinacji liniowej tych wektorów w wektorze zerowym.

Wyrównanie wektora Tse można zarejestrować w wizualnym systemie wyrównań liniowych

Sprawdzamy system vicorist metodą Gaussa

z innego rzędu widać pierwszy; z trzeciego rzędu widzimy pierwszy:

z pierwszego rzędu widać drugi; do trzeciego rzędu dodamo inny.

System wektorowy nazywa się ugór liniowy, aby używać takich liczb, których środek, jeśli chce się widzieć zero, to wyrównuje https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" >.

Jak zrównoważenie może wygrać tylko w takim przypadku, jeśli wszystko, to układ wektorów nazywa się liniowo niezależny.

Twierdzenie. System wektorowy będzie ugór liniowy tak czy inaczej, jeśli chcesz, aby jeden z wektorów її był liniową kombinacją innych.

Przykład 1. Bogaty członek є liniowa kombinacja bogatych segmentów. Bogate terminy tworzą liniowo niezależny system, podobnie jak bogate hasło https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

tyłek 2. System macierzy , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> w ten sposób, jeśli https://pandia.ru/text /78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21"> /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> ugór liniowy.

Rozwiązanie.

Przechowujemy liniową kombinację tych wektorów https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" 22">.

Biorąc pod uwagę te same współrzędne równych wektorów, przyjmujemy szerokość="289" wysokość="69">

Pozostały

і

System może być pojedynczym, trywialnym rozwiązaniem, więc liniowa kombinacja tych wektorów ma większe prawdopodobieństwo zerowania, jeśli wszystkie współczynniki są równe zeru. Dlatego system wektorowy jest liniowo niezależny.

Przykład 4. Wektory są liniowo niezależne. Jakie będą systemy wektorów?

a).;

b).?

Rozwiązanie.

a). Dodajemy kombinację liniową i przyrównujemy ją do zera

Vykoristovuyuchi moc operacji z wektorami w przestrzeni liniowej, przepiszemy pozostałą równoważność wizualnej

Ponieważ wektory są liniowo niezależne, współczynniki winy są równe zeru, więc .

System Otrimana jest równy, jest tylko jedno trywialne rozwiązanie .

Oskіlki rivnіst (*) vikonuetsya tylko w liniowym niezależnym;

b). Przechowywanie równości https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" (**)

Zastosovuyuchi analogiczne mirkuvannya, otrimaєmo

Virishyuchi system wyrównywania metodą Gaus, jest konieczny

lub

Reszta systemu to bezosobowe rozwiązanie https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Zazdrość wygrywa (**) . Ojciec, system wektorów - Odłogi liniowe.

tyłek 5 System wektorowy jest liniowo niezależny, a system wektorowy jest liniowo niezależny. gif (***)

na zazdrość (***) . Rzeczywiście, system był odłogiem liniowym.

Zі spіvіdnoshennia (***) do przyjęcia lub Znacznie .

Na wynos

Zadanie niezależnej wizji (w audytorium)

1. System, który mści wektor zerowy, jest odłogiem liniowym.

2. System składający się z jednego wektora ale, liniowo odłogiem nawet i mniej, jeśli, a=0.

3. System, który składa się z dwóch wektorów, jest odłożony liniowo tylko wtedy, gdy wektory są proporcjonalne (czyli jeden z nich pochodzi z najmniejszego mnożenia przez liczbę).

4. Jeśli dodasz wektor do systemu linear-fallow, zobaczysz system linear-fallow.

5. Ponieważ z układu liniowo niezależnego można zobaczyć wektor, układ wektorów jest liniowo niezależny.

6. System Yakscho S liniowo niezależny, ale staje się liniowo odłogiem po dodaniu wektora b, to wektor b liniowo wygina się przez wektory układu S.

C). System macierzy ma inny porządek dla macierzy.

10. Niech układ wektorów a,b,C Przestrzeń wektorowa jest liniowo niezależna. Aby zapewnić liniową niezależność ofensywnych systemów wektorowych:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– wystarczająca liczba

C).a+b, a+c, b+c.

11. Daj spokój a,b,C- trzy wektory na płaskiej powierzchni, wśród nich można złożyć tricutnik. Czy wektory qi będą liniowo odłogiem?

12. Biorąc pod uwagę dwa wektory a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Wybierz jeszcze dwa wektory chotirivimir a3 ia4 więc system szorowania a1,a2,a3,a4 bula liniowo niezależna .

Niezależność liniowa i niezależność liniowa wektorów.
Bazy wektorowe. Ateński układ współrzędnych

W audytorium jest dużo czekoladek, a kilka lukrecji będzie mogło dziś umknąć spod skóry - geometria analityczna z algebrą liniową. W tym artykule zostaną zniszczone dwa działy wyższej matematyki i zastanawiamy się, jak smród przyzwyczaja się do jednego spalonego miejsca. Zrób sobie przerwę, s'zh „Tviks”! ... kochanie, cóż, super mała dziewczynka. Jak chcę, to nie strzelę, przepraszam, mogę mieć dobry nastrój do treningu.

Odłogi liniowe wektorów, liniowa niezależność wektorów, podstawa wektorowa termin ten może być nie tylko interpretacją geometryczną, ale przede wszystkim znaczeniem algebraicznym. Samo rozumienie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej jest dalekie od tego, co wektor „nadrzędny”, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Nie musisz daleko szukać dowodu, spróbuj namalować wektor przestrzeni pięciu światów. . Abo poczekaj, dla niektórych poszedłem do Gіsmeteo: - temperatura i ciśnienie atmosferyczne są dobre. Dołek oczywiście nie jest poprawny z punktu widzenia autorytetu przestrzeni wektorowej, ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby sformalizować dane przez parametry i wektor. Oddech jesieni.

Cześć, nie mam zamiaru kusić Cię teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, problem w tym Rozumiesz definicja tego twierdzenia. Nowe terminy (depozyt liniowy, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) są przymiotnikami do wszystkich wektorów z punktu widzenia algebry, ale zastosowanie zostanie podane geometrycznie. W tym rankingu wszystko jest proste, dostępne od pierwszego wejrzenia. Geometria analityczna Krіm zavdan jest uważana za typowe zadanie algebry. Aby opanować materiał, konieczne jest wyciąganie wniosków z lekcji Wektory do czajnikówі Jak liczyć?

Ugór liniowy i niezależność wektora w płaszczyźnie.
Podstawa obszaru i układ współrzędnych powinowactwa

Rzućmy okiem na obszar stołu komputerowego (tylko stół, szafki nocne, podkładki, stele, cokolwiek Ci odpowiada). Zadania bardziej szanują takie działania:

1) Wybierz podstawę obszaru. Z grubsza kazhuchi, stіlnitsa maє dovzhina w szerokości, intuicyjnie zdano sobie sprawę, że do stymulacji podstawy potrzebne są dwa wektory. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to zayva.

2) Na podstawie wybranej podstawy ustaw układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne do wszystkich obiektów znajdujących się na stole.

Nie zdziw się, że pierwsze wyjaśnienie będzie na palcach. Do tego czasu na twoim. Bądź miły, wybacz wyrazisty palec lewej ręki do krawędzi stylu, tak że podziwiałem monitor. Tse będzie wektorem. Teraz miejsce mały palec prawej ręki na krawędzi stołu tak po prostu - schob buv prostujący się na ekranie monitora. Tse będzie wektorem. Uśmiechnij się, wyglądasz cudownie! Co możesz powiedzieć o wektorach? Wektory danych kolinarni, co znaczy liniowo odwróć jeden do jednego:
, cóż, abo navpaki: , de - numer deake, vіdmіnne vіd zero.

Obraz przedstawiający działanie, które można obejrzeć na lekcji Wektory do czajników De wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Chi czy twoje palce postawią podstawę na powierzchni stołu komputerowego? Oczywiście nie. Kolіnearnі wektory i wzrost cen tu i tam sam na wprost, a obszar może być dłuższy i szerszy.

Takie wektory nazywają się ugór liniowy.

Wniosek: Słowa „liniowe”, „liniowe” oznaczają te rzeczy, które mają matematyczne równania, nie ma kwadratów, sześcianów, innych kroków, logarytmów, sinusów. Є tіlki linіynі (1. etap) przeciwko ugorowi.

Dwa wektory i mieszkania depozyty liniowe wtedy i tylko wtedy, jeśli smród jest kolinearny.

Krzyżuj palce na stole, aby między nimi był jak cięcie Krymu 0 lub 180 stopni. Dwa wektory i mieszkanialiniowo nie odłogiem w tym i tylko tym upadku, jakby smród nie był współliniowy. Otzhe, podstawa jest zabrana. Nie musisz się martwić, że podstawa widoków jest „skoszona” nieprostopadłymi wektorami o różnej długości. Nie jest dla mnie niczym niezwykłym, że w jodze wyrostek ma nie tylko 90 stopni i nie tylko pojedynczy, równy staremu wektorowi.

Be-yaky płaski wektor jeden stopień rozbudowana wg podstawy:
, De - dіysnі numery. Numery połączeń współrzędne wektora na jakiej podstawie.

Wygląda więc na to, że wektorwystępy na widok kombinacja liniowa wektory bazowe. Tobto viraz nazywa się układ wektorowypodstawa lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład można powiedzieć, że wektor rozwinięć jest oparty na ortonormalnej bazie płaszczyzny, albo można powiedzieć, że reprezentuje liniową kombinację wektorów.

Formułować przypisanie do podstawy formalnie: Podstawa obszaru nazywana jest para liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w którym bądź jak Wektor płaski jest kombinacją liniową wektorów podstawowych.

Już sam moment powołania to fakt, że wektory są brane w kolejności piosenek. Basisi - istnieją dwie zupełnie różne bazy! Jak się wydaje, małego palca lewej ręki nie można przenieść na mały palec prawej ręki.

Opracowaliśmy podstawy, ale nadal nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przyporządkować współrzędne do obiektu skóry stołu komputerowego. Dlaczego tęskniłeś? Wektory są wolne i rozmyte na całej płaszczyźnie. Więc jak przyciągnąć współrzędne do tych małych wędrujących punktów na stole, które przegrały po burzliwym weekendzie? Potrzebujemy wskazówek. І taki punkt orientacyjny jest wszystkim znanym punktem - kolbą współrzędnych. Jest wybierany z układu współrzędnych:

Zacznij korzystać z systemu „szkolnego”. Już na lekcji wstępnej Wektory do czajników Widziałem czyny rozpoznania między prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Standardowy obraz osi:

Mówiąc o prostokątny układ współrzędnych, najczęściej używa się kolby współrzędnych, osi współrzędnych i skali wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a powiesz, że dużo dowiesz się o znajomości 5-6 klasy osi współrzędnych i o tym, jak umieszczać punkty na płaszczyźnie.

Z drugiej strony istnieje efekt polegający na tym, że prostokątny układ współrzędnych można określić jako całość na podstawie ortonormalnej bazy. І tse mayzhe tak. Formuła brzmi tak:

kolba współrzędnych, і ortonormalizacja ustaw podstawę Kartezjański prostokątny układ współrzędnych płaszczyzny . To jest prostokątny układ współrzędnych Zdecydowanie są reprezentowane przez jeden punkt i dwa pojedyncze wektory ortogonalne. Z tego samego powodu potrzebujesz krzeseł, jak ci wpoiłem - w zadaniach geometrycznych często (ale nie zawsze) malują zarówno wektory, jak i osie współrzędnych.

Chyba każdy zrozumiał, że dla dodatkowego punktu (kola współrzędnych), który jest ortonormalny do bazy BĄDŹ PUNKTEM OBSZARU I BĄDŹ WEKTOREM OBSZARU możesz przypisać współrzędne. Najwyraźniej w przenośni „wszystko można ponumerować na powierzchni”.

Czy wektory współrzędnych mogą być pojedyncze? Nі, smród może matka dovіlnu niezerowa dovzhina. Przyjrzyjmy się punktowi i dwóm wektorom ortogonalnym oraz wartościom dość niezerowym:

Taka podstawa nazywa się prostokątny. Kolba współrzędnych z wektorami wyznacza siatkę współrzędnych i czy jest to punkt płaszczyzny, czy to wektor, który zapisuje na tej podstawie jego współrzędne. Na przykład lub. Oczywista nieudolność w tym, że wektory współrzędnych na szczycie wzgórza opłakiwać różne życia, vіdminnі vіd odinitsі. Jak tylko samotność się wyrówna, wtedy wyjdzie pierwotna baza ortonormalna.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także niżej w bazach ateńskich brane są pod uwagę płaszczyzny i przestrzeń jednej wzdłuż osi UMOVIMI. Na przykład w jednej jednostce wzdłuż osi odciętych jest 4 cm, w jednej jednostce wzdłuż osi rzędnych 2 cm.

A inne jedzenie, na jaku, to naprawdę dowód - jaki obov'yazykovo kut między wektorami bazowymi może osiągnąć 90 stopni? Hej! Jak potwierdzić spotkanie, podstawowe wektory i składki mniej niż współliniowe. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 i 180 stopni.

Punkt płaszczyzny, jak to się nazywa kolba współrzędnych, і niewspółliniowe wektory , , ustawić afiniczny układ współrzędnych płaszczyzny :

Innymi słowy, taki układ współrzędnych nazywa się spleciony system. Jak zastosować punkty i wektory na obrazie fotela:

Jak wiecie, ateński układ współrzędnych jest mniej łatwy, nie używają formuł na wektory i vdrіzkiv, jak przyjrzeliśmy się drugiej części lekcji Wektory do czajników, bogato pikantne formuły, pov'yazanі z skalarne tworzenie wektorów. Do tego dochodzą uczciwe zasady składania wektora i mnożenia wektora przez liczbę, wzory na dzielenie na dane wyrażenie, a także łamania typów zadań, na które łatwo możemy się przyjrzeć.

A visnovok jest taki, że jest to najwygodniejszy sposób na wywołanie punktu ateńskiego układu współrzędnych - prostokątnego układu kartezjańskiego. Do tego її, wolałbym najczęściej i być sprowadzony do bachiti. ... Tymczasem wszystko w tym życiu jest jasne - mało jest sytuacji, w których sama rzeka jest przekrzywiona (inaczej np. polarny) system współrzędnych. Te humanoidy mogą cieszyć się takimi systemami =)

Przejdźmy do części praktycznej. Usі zavdannya ta lekcja jest tak samo jak układ współrzędnych pod kątem prostym, więc zagalnogo ateński vpadku. Nie ma nic składanego, cały materiał jest dostępny dla ucznia.

Jak zdefiniować współliniowość wektora na płaszczyźnie?

Typowa rzeka. Aby mieć dwa wektory i obszary być współliniowe, konieczne i wystarczające, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne. W rzeczywistości jest to szczegółowa koordynacja oczywistej spivvіdnoshenya.

tyłek 1

a) Rewers, wektory współliniowe chi .
b) Chi ustala podstawę wektora ?

Rozwiązanie:
a) Dlaczego, co jest ważne dla wektorów współczynnik proporcjonalności taki, że równości były zwycięskie:

Obov'yazkovo rozpovіm o „pіzhonskiy” wariancie zasad zastosuvannya tsgogo, który krąży w praktyce. Pomysł polega na tym, że od razu zsumujesz proporcje i zastanawiasz się, czy masz rację:

Dodajmy proporcje podanych współrzędnych wektorów:

wkrótce:
, w tej kolejności odpowiednie współrzędne są proporcjonalne,

Oprawę można złożyć i złożyć, co jest cenną opcją:

W celu samodzielnej weryfikacji można zmienić te, które są wektorami współliniowymi i liniowo zagiąć jeden do jednego. Z tego punktu widzenia istnieje miejsce równoważności . Twoja uczciwość jest łatwo perveryaetsya poprzez elementarne podziały z wektorami:

b) Podstawę tworzą dwa wektory i płaszczyzny, a więc nie są współliniowe (liniowo niezależne). Doslіdzhuєmo na kolіnearnіst vektori . Zbudujmy system:

Od pierwszego równego krzyczysz, scho, od drugiego równego krzyczysz, och, system jest szalony(Nie ma rozwiązania). W ten sposób odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Visnovok: wektory i liniowo niezależne i spełniają podstawę

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda tak:

Dodajemy proporcje podanych współrzędnych wektorów :
Również te wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę.

Wywołaj tę opcję, aby odrzucić recenzentów, ale zrzucaj winę na punkty, jeśli współrzędne są równe zeru. oś w ten sposób: . Abo tak: . Abo tak: . Jak mogę tutaj pracować proporcjonalnie? (Naprawdę nie można dzielić przez zero). Z tego samego powodu nazwałem prostsze rozwiązanie „pizhonsky”.

Sugestia: a), b) zatwierdza.

Mały kreatywny przykład niezależnej wizji:

tyłek 2

Dla dowolnej wartości parametru wektora będzie współliniowe?

W przypadku rozwiązania parametr znajduje się za pomocą proporcji.

Stosujemy metodę algebry ponownej weryfikacji wektorów pod kątem kolinearności.

Dla dwóch wektorów w obszarze twardości równoważnej:

2) wektory i ustalenie podstawy;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) oscylator, fałdy ze współrzędnych tych wektorów, vіdminny vіd zero.

Widpowidno, równoważna twardość wydłużenia stopy:
1) depozyty wektorowe i liniowe;
2) wektory nie spełniają podstawy;
3) wektory i współliniowe;
4) wektory można odwracać liniowo jeden do jednego;
+ 5) wektor, składający się ze współrzędnych tych wektorów, prowadzący do zera.

Jestem coraz bardziej przekonany, że w tym momencie zrozumiałeś już wszystkie terminy i twierdzenia, których się nauczyłeś.

Rzućmy okiem na nowy raport, akapit piąty: dwa wektory i obszary kolіnearnі thodі і tіlki tіlki tоdі, jeśli vyznachnik, składa się ze współrzędnych tych vector_v, do_vnyuє zero:. W przypadku znaków zastosuvannya tsієї oczywiście należy pamiętać poznaj wizjonerów.

Wiriszima Przykład 1 w inny sposób:

a) Obliczanie liczby cyfr, dodawania ze współrzędnych wektorów :
, także wektory q i współliniowe.

b) Podstawę tworzą dwa wektory i płaszczyzny, a więc nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczanie liczby fałd ze współrzędnych wektorów :
Ponadto wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę.

Sugestia: a), b) zatwierdza.

Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i atrakcyjnie, niższa rozdzielczość z proporcjami.

Za pomocą badanego materiału można ustalić współliniowość wektorów, a także doprowadzić do równoległości linii prostych. Przyjrzyjmy się kilku zadaniom z konkretnych kształtów geometrycznych.

tyłek 3

Biorąc pod uwagę szczyty chotirikutnik. Przynieś, że chotirikutnik to równoległobok.

dowód: Fotel w zadaniu nie będzie potrzebny, odłamki rozwiązania będą czysto analityczne
równoległobok nazywa się chotirikutnik, który ma przeciwległe boki parami równolegle.

W tej kolejności należy zabrać ze sobą:
1) równoległość przeciwległych stron;
2) równoległość przeciwległych stron.

Przynosimy:

1) Znamy wektory:

2) Znamy wektory:

Wijszow to ten sam wektor („według szkoły” - równe wektory). Kolіnearnіst jest już oczywiste, ale lepiej jest ułożyć rozwiązanie w jasny sposób, z aranżacją. Obliczmy liczbę dodatków ze współrzędnych wektorów:
, Otzhe, dane wektory i współliniowe, i .

Visnovok: Protilezhnі boki chotirikutnik w parach równolegle, otzhe, w є równoległoboku na spotkania Co zajęło, aby przynieść?.

Więcej liczb dobrych:

tyłek 4

Biorąc pod uwagę szczyty chotirikutnik. Aby przynieść, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Aby uzyskać suvoryczną formułę, udowodnij to piękniej, wspaniale, narysuj oznaczenie trapezu i po prostu uzupełnij i po prostu zgadnij, jakby wyglądał.

Niezależne rozwiązanie Tse zavdannya. Rozwiązanie zewnętrzne jak lekcja.

A teraz nadszedł czas, aby powoli przenieść się z mieszkania na otwartą przestrzeń:

Jak wyznaczyć współliniowość wektora w przestrzeni?

Zasada jest podobna. Aby dwa wektory do przestrzeni były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne.

tyłek 5

Z'yasuvati, chi kolіnearnі będzie postępowymi wektorami i przestrzenią:

ale);
b)
w)

Rozwiązanie:
a) Odwracalnie, chi jest współczynnikiem proporcjonalności dla różnych współrzędnych wektorów:

System nie może być rozwiązany, dlatego wektory nie są współliniowe.

„Sproschenkę” tworzy proporcja. W tym widoku:
– współrzędne względne nie są proporcjonalne, dlatego wektory nie są współliniowe.

Sugestia: wektory nie są współliniowe.

b-c) To są punkty samodzielnej decyzji. Spróbuj udekorować jogę na dwa sposoby.

Użyj metody ponownej weryfikacji wektorów przestrzennych pod kątem współliniowości poprzez zmienną trzeciego rzędu Wektor vitvir vector_v.

Podobnie jak w przypadku płaskiego vapade, rzut oprzyrządowania można naprawić, aby zachować równoległość otwartych przestrzeni i linii prostych.

Uprzejmie prosimy o inny oddział:

Liniowa niestałość i niezależność są wektorami w przestrzeni trivimera.
Przestrzenna baza i układ współrzędnych powinowactwa

Wiele praw, jak widzieliśmy na placu, będzie sprawiedliwych i obszernych. Starałem się zminimalizować streszczenie teorii, fragmenty lewej części informacji zostały już rozszyfrowane. Tim to nie mniej, polecam z szacunkiem przeczytać wstępną część, odłamki to nowe terminy i zrozumieć.

Teraz wymiana powierzchni stołu komputerowego została rozszerzona do przestrzeni trójwymiarowej. Stwórzmy podstawy jogi. Kto wie od razu w domu, kto jest na ulicy, ale jednocześnie nie możemy nigdzie iść w trzech światach: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do indukcji podstawy potrzebne są trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, ćwiartki to zayvi.

Znowu jestem rozminaєmos na palcach. Bądź miły, podnieś rękę do góry i otwórz boki wielki, imponujący i środkowy palec. Tse będą wektorami, smród będzie zdumiewał z różnych stron, opłakiwać w różnym czasie i opłakiwać w różnym czasie między sobą. Vіtayu, podstawa przestrzeni trivimir jest gotowa! Do rzeczy, nie trzeba demonstrować takich vikladach, jak nie skręcać palców, ale nie można nigdzie iść =)

Złóżmy ważny posiłek, być jak trzy wektory i spełniać podstawę trywialnej przestrzeni? Bądź uprzejmy, mocno przyciśnij trzy palce do biurka. Co się stało? Trzy wektory wędrowały na tej samej płaszczyźnie i najwyraźniej mamy jeden znak vimiriv - wzrost. Takie wektory współpłaszczyznowy No i oczywiście nie da się stworzyć bazy w rodzaju trivum.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe i nic złego nie leżą na tej samej płaszczyźnie, mogą znajdować się na płaszczyznach równoległych (tylko próbuj pracować palcami, aby Salvador Dali zwinął mniej =)).

Wizyta, umówione spotkanie: wektory są nazwane współpłaszczyznowy jak prawdziwe mieszkanie, jak równoległy smród. Tutaj logiczne jest dodanie, że jeśli nie ma takiego obszaru, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy współpłaszczyznowe wektory i osady liniowe tobto liniowo vrazhayutsya jeden do jednego. Dla uproszczenia ponownie zauważę, że smród tkwi w jednym mieszkaniu. Po pierwsze, wektory, i nie tylko, są współpłaszczyznowe, mogą być bardziej współliniowe, nawet jeśli wektor można zobaczyć przez wektor. W inny sposób, na przykład, wektory nie są współliniowe, to trzeci wektor przechodzi przez nie w jednej kolejności: (i dlaczego łatwo się domyślić w przypadku materiałów z poprzedniego działu).

Sprawiedliwy jest zwrot twierdzenia: trzy wektory niewspółpłaszczyznowe i wektory liniowo niezależne, tobto już n_yak nie vrazhayutsya jeden po drugim. Ja, oczywiście, jestem mniej niż takie wektory i mogę zaspokoić podstawę trywialnej przestrzeni.

Wizyta, umówione spotkanie: Podstawa przestrzeni trivimirnogo nazwany trio liniowo niezależnych (nie współpłaszczyznowych) wektorów, zaczerpnięte z zakonu śpiewu w dowolnym momencie, czy to wektor otwartej przestrzeni jeden stopień rozłożone na daną bazę , współrzędne de wektora w danej bazie

Zgadując, można również powiedzieć, że wektor reprezentacji kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się w ten sam sposób, jak dla płaskiego nachylenia, wystarczy jeden punkt i trzy liniowo niezależne wektory:

kolba współrzędnych, і niewspółpłaszczyznowy wektory , zaczerpnięty z zakonu śpiewu, ustawić afinnu układ współrzędnych przestrzeni trivi-świata :

Oczywiście siatka współrzędnych „plecionki” nie jest zbyt wydajna, ale wyświetlony układ współrzędnych pozwala nam: Zdecydowanie wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora, czyli współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w samolocie, w ateńskim układzie współrzędnych przestrzeń niczego należy oczyścić przez rozpracowanie wzorów, o których już się domyśliłem.

Najbardziej podstawowy i najwygodniejszy termin dla układu współrzędnych powinowactwa є prostokątny układ współrzędnych:

Wskaż przestrzeń, jak to się nazywa kolba współrzędnych, і ortonormalizacja ustaw podstawę Kartezjański układ współrzędnych prostokątnych . Poznaj obraz:

Wcześniej, jak przejść do zadań praktycznych, ponownie usystematyzuję informacje:

Dla trzech wektorów w przestrzeni równoważnej tej samej sztywności:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory i ustalenie podstawy;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być połączone liniowo jeden do jednego;
5) arbiter, składany ze współrzędnych tych wektorów, kierujący zerem.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, domyślam się, zrozumіlі.

Liniowy spadek/niezależność wektora w przestrzeni jest tradycyjnie sprawdzany z pomocą osoby wyznaczonej (paragraf 5). Pominięte zadania praktyczne mają wyraźnie algebraiczny charakter. Czas powiesić geometryczny klucz na kwiatach i wymachiwać kijem baseballowym algebry liniowej:

Trzy wektory otwartej przestrzeni complanarnі thodі w tіlki tіlki tіlі, jeśli vyznachnik, złożone współrzędne danih vektor_v, do_vnyuє zero : .

Szanuję mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisać nie tylko w kolumnie, ale w rzędzie (wartość wektora się nie zmienia - cud mocy wektorów). Ale bogatsze jest piękniejsze w stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe do wykonania niektórych praktycznych zadań.

Tim czytelnikom, którzy zapomnieli o metodach rozrahunki absolwentów, a może są w nich słabo zorientowani, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak liczyć?

tyłek 6

Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę trywialnej przestrzeni:

Rozwiązanie: W rzeczywistości wszystkie decyzje są podejmowane aż do obliczenia dłużnika

a) Oblicz zmienną, składając ze współrzędnych wektora_v (zmienna rozwinięcia za pierwszym wierszem):

Odtąd wektory są liniowo niezależne (a nie współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę rozpiętości podobnej do trivum.

Vidpovid: podane wektory i spełniają podstawę

b) To jest punkt samodzielnej decyzji. Zewnętrznie rozwiązanie jest podobne do lekcji.

Crawl i pracownicy kreatywni:

tyłek 7

Dla jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory i współpłaszczyznowe todі w tіlki tіlki dі, jeśli vyznachnik, fałdy współrzędnych tych wektorów do zera:

W rzeczywistości trzeba być równym vyznachnikowi. Jest wylewany na zera jak shulik na jerboa - wyznacznik nawigatora znalezienia w innym rzędzie i po kolei będzie szukał minusów:

Przeprowadźmy dalszą rozbudowę i obróćmy ją od prawej do najprostszego wyrównania liniowego:

Vidpovid: w

Tu łatwo się pogodzić, dla czego konieczne jest uzasadnienie wartości byłego urzędnika i ponowne rozważenie , otwierając jogę na nowo.

Na koniec spójrzmy na jeden typowy problem, jak być bardziej algebraicznym w naturze i zacząć łączyć się z kursem algebry liniowej. Podłoga jest poszerzona, co jest zasługą dużego blatu:

Aby sprowadzić te 3 wektory, ustal podstawę przestrzeni trywialnego świata
i znać współrzędne 4 wektora w danej bazie

tyłek 8

Wektory danych. Pokaż, że wektory spełniają podstawę przestrzeni trywimerów i poznaj współrzędne wektora w której bazie.

Rozwiązanie: Z tyłu głowy odbieramy umysł. Umysłowi dane są wektory chotiri i, podobnie jak Bachite, smród ma już współrzędne mayut na tej samej podstawie. Jaka jest podstawa - nie drażnij nas. I mówiąc takie słowo: trzy wektory mogą ustanowić nową podstawę. Pierwszy etap ponownie opiera się na rozwiązaniach z dodatku 6, konieczne jest sprawdzenie, czy wektory są liniowo niezależne:

Obliczmy liczbę dodatków ze współrzędnych wektorów:

Otzhe, wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę przestrzeni trywimerów.

! ważny : współrzędne wektora obov'azkovo do nagrywania na stacji vyznachnika, nie w rzędach. W przeciwnym razie nastąpi oszustwo w dalszych algorytmach rozvyazannya.

Spotkanie 1. System wektorowy nazywany jest odłogiem liniowym, ponieważ jeden z systemów wektorowych może być użyty jako liniowa kombinacja innych wektorów w systemie, a liniowo niezależny - w przeciwnym razie.

Spotkanie 1 '. Układ wektorów nazywamy odłogiem liniowym, ponieważ istnieją liczby h 1 , h 2 , …, h k , nie wszystkie równe zeru, tak że liniowa kombinacja wektorów o danych współczynnikach jest równa wektorowi zerowemu: = , w przeciwnym razie układ nazywamy liniowo niezależnym.

Zostanie wykazane, że oznaczenia są równoważne.

Wygrajmy spotkanie 1, tobto. jeden z wektorów w systemie jest bardziej zaawansowaną kombinacją liniową pozostałych:

Liniowa kombinacja systemu wektorów jest równa wektorowi zerowemu, a wszystkie współczynniki kombinacji są równe zeru. spotkanie 1 '.

Zmieńmy spotkanie 1. Liniowa kombinacja systemu wektorów jest droższa, ponadto na ogół współczynniki kombinacji są równe zeru, na przykład współczynniki wektora.

Jeden z wektorów w systemie został przedstawiony jako liniowa kombinacja innych, tobto. Spotkanie zakończone 1.

Spotkanie 2. Pojedynczy wektor lub wektor nazywa się n-świat wektor, WHO i-ta współrzędna starego, інші - zero.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Twierdzenie 1. Różne pojedyncze wektory n-spokojna przestrzeń liniowo niezależna.

Dowód. Niech liniowa kombinacja tych wektorów o wystarczających współczynnikach prowadzi do wektora zerowego.

Z ієї rіvnostі vyplivaє, scho wszystkie koefіtsієnti dorivnyuyut zero. Wytrzeć Nabuli.

Wektor kozeński n- spokojna przestrzeń ā (ale 1 , ale 2 , ..., ale n) mogą istnieć reprezentacje liniowej kombinacji pojedynczych wektorów o współczynnikach równych współrzędnym wektora

Twierdzenie 2. Jako system wektorów zastępujących wektor zerowy jest on liniowo odłogiem.

Dowód. Niech zostanie dany układ wektorów, a jeden z wektorów ma wartość null, na przykład = . Tak więc z wektorami tego układu można dodać kombinację liniową, która jest równa wektorowi zerowemu i nie wszystkie współczynniki będą równe zero:

System jest również odłogowany liniowo.

Twierdzenie 3. Jeżeli podsystem systemu wektorów jest odłogowany liniowo, to cały system jest odłogowany liniowo.

Dowód. Dany system wektorów. Załóżmy, że system jest odłogiem liniowym, tobto. znać liczby h 1 , h 2 , …, h r , Nie wszystkie są równe zeru, więc sho = . Todi

Okazało się, że liniowa kombinacja wektorów we wszystkich systemach jest zdrowa i nie wszystkie współczynniki kombinacji są zdrowe do zera. Otzhe, system wektorowy jest osadzony liniowo.

Trwać. Tak jak system wektorowy jest liniowo niezależny, tak samo czy podsystem jest również liniowo niezależny.

Dowód.

Nie akceptujmy tego, tobto. podsystem deak jest liniowo odłogiem. Z twierdzenia jasno wynika, że ​​układ jest odłogiem liniowym. Robiliśmy super-ostrość.

Twierdzenie 4 (Twierdzenie Steinitza). Jak skórować z wektorów i liniowej kombinacji wektorów i m>n, system wektorowy jest odłogiem liniowym.

Trwać. Dla dowolnego układu wektorów n-światów nie może być więcej niż n liniowo niezależnych wektorów.

Dowód. Kozhen n- wektor świata przejawia się w pozornie liniowej kombinacji n pojedynczych wektorów. Bo system ma się zemścić m wektor_v ta m>n, to zgodnie z twierdzeniem układ ten jest odłogiem liniowym.

umysł viraz nazywa się liniowa kombinacja wektorów A 1 , A 2 ,..., A n ze współczynnikami λ 1, λ 2 ,..., λ n.

Wyznaczenie liniowego depozytu układu wektorów

System wektorowy A 1 , A 2 ,..., A n nazywa się ugór liniowy, Jak używać niezerowego zestawu liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n, dla której liniowej kombinacji wektorów λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n wektor bliżej zera, wtedy system wynosi: może być rozwiązaniem niezerowym.
Wybieranie numerów λ 1, λ 2 ,..., λ n є niezerowe, jeśli tylko jedna z liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n vіdminno od zera.

Wyznaczenie liniowej niezależności układu wektorowego

System wektorowy A 1 , A 2 ,..., A n nazywa się liniowo niezależny, jako liniowa kombinacja tych wektorów λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n dać wektorowi zerowemu mniej niż zerowy zbiór liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n , wtedy system wynosi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ jest tylko jedno zerowe rozwiązanie.

Zweryfikuj, chi є liniowy odłogowany układ wektorów

Rozwiązanie:

1. Budujemy system wyrównywania:

2. Virishuemo її metoda Gaus. Transformację systemu Jordana przedstawia tabela 29.1. Przy odbudowie właściwych części systemu odłamki smrodu są równe zeru i nie są zmieniane na przemiany Jordana.

3. Trzy pozostałe trzy rzędy w tabeli system z uprawnieniami do zapisu, równie silny systemy:

4. Otrimuemo zagalne rozwiązanie systemu:

5. Po przekazaniu sądowi orzekającemu wartości wolnej zmiany x 3 =1, tylko prywatna niezerowa decyzja X = (-3,2,1).

Wniosek: W ten sposób, przy niezerowym zbiorze liczb (-3,2,1), kombinacja liniowa wektora w wektorze zerowym to -3A1+2A2+1A3=Θ. Otzhe, system wektorowy jest liniowo odłogiem.

Moc systemów wektorowych

Moc (1)
Jeśli układ wektorów jest ułożony liniowo odłogiem, to jeśli jeden z wektorów jest ułożony za innymi, to jeśli tylko jeden z wektorów w układzie jest ułożony za innymi, układ wektorów jest ułożony liniowo odłogiem.

Moc (2)
Tak jak podsystem wektorowy jest odłogiem liniowym, tak cały system jest odłogiem liniowym.

Moc (3)
Tak jak system wektorowy jest liniowo niezależny, tak samo czy podsystem jest liniowo niezależny.

Moc (4)
Niezależnie od tego, czy jest to system wektorów, aby pomścić wektor zerowy, jest to ugór liniowy.

Moc (5)
Układ wektorów m-światów jest zawsze odłożony liniowo, ponieważ liczba wektorów n jest większa niż liczba wektorów (n>m)

Podstawa systemu wektorowego

Podstawa systemu wektorów A 1 , A 2 ,..., A n taki podsystem B 1 , B 2 ,...,B r(skórka z wektorów B 1 ,B 2 ,...,B r є jeden z wektorów A 1 , A 2 ,..., A n) , aby zadowolić nadchodzące umysły:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r liniowo niezależny układ wektorów;
2. jakikolwiek wektor Aj układy A 1 , A 2 ,..., A n są wyrażane liniowo przez wektory B 1 ,B 2 ,...,B r

r- Liczba wektorów zawartych w podstawie.

Twierdzenie 29.1 O pojedynczej podstawie układu wektorów.

Jako system wektorów m-światów zastępujących m różnych pojedynczych wektorów E 1 E 2 ,..., E m , wszystkie z nich stanowią podstawę systemu.

Algorytm znajdowania podstawy układu wektorów

Aby poznać podstawy układu wektorów A 1 ,A 2 ,...,A n konieczne jest:

• Złóż dwuwymiarowy układ wektorowy w jednorodny układ równych A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Kieruj swoim systemem