Główna potęga szeregu liczbowego. Zatrzymywanie serii liczb

1. Wiersze numeryczne: podstawowe zrozumienie, niezbędna inteligencja i rentowność są niskie. Dodatkowy rząd.

2. Liczba pozytywnych członków i znaków їx zbіzhnostі: oznaki porivnyannia, d'Alembert, Cauchy.

3. Znaki wierszy, znaki Leibniza.

1. Oznaczenie serii liczb. Życie

Na dodatkach matematycznych i navіt pіd pіd pіd hіvіshennya deyіh zavdan ekonomіki, statisticіtsі i іnshih galuzah pozglyadyut sumi z іnkіchennym liczba dodankіv. Oto imię mojej pani dla tego, kto rozumie pod takimi sumami.

Niech zostanie podany niezaszyfrowany ciąg liczbowy

Spotkanie 1.1. Instrukcja numeryczna Lub tylko zamówienie o nazwie viraz (sum) umysł

. (1.1)

Liczby nazywa członkowie pewnej liczby, –dziki lub n-ty niski członek.

Aby zdefiniować szereg (1.1) wystarczy zdefiniować funkcję argumentu naturalnego liczby członu szeregu po liczbie th

Tyłek 1,1. Dalej. Wiersz

(1.2)

nazywa harmonijny porządek.

Tyłek 1.2. Chodź, Row

(1.3)

nazywa zagalnenim harmoniczne w pobliżu. Harmonijny rząd wchodzi do okremu vipadka.

Tyłek 1,3. Chodź =. Wiersz

nazywa kolejność postępu geometrycznego.

3 elementy szeregu (1.1) można rozwiązać numerycznie sukcesja prywatna suma de - suma pierwszych członków serii, jak to się nazywa n-i prywatna suma, następnie.

…………………………….

…………………………….

Sekwencja liczbowa przy pośrednim wzroście pomieszczenia możesz:

1) matki granicy;

2) nie matkuj końca granicy (granica nie jest іsnuє ani dorіvnyuє neskіchennostі).

Spotkanie 1.2. Seria (1.1) nazywa się podobny jako ciąg sum prywatnych Yogo (1.5) może być końcem linii, tobto.

W jaki sposób wywoływany jest numer torba zapisywana jest seria (1.1) ta

Powołanie 1.3. Seria (1.1) nazywa się rozbіzhnym, w konsekwencji prywatnych sum Yogo nie ma ostatecznych granic.

Razbіzhny rząd nie jest przypisany do tego samego sumi.

W tym rankingu zadanie poznania sumy liczby rzeczy do zrobienia (1.1) jest równe obliczeniu między ciągami sum Jogo Chastkovy'ego.

Rzućmy okiem na szereg aplikacji.

tyłek 1.4. Przynieś, co dalej

zbieżne, znam sumę jogi.

Znamy sumę n-tej części tego wiersza.

gorący członek z rzędu możemy sobie wyobrazić .

Brzmi maєmo: . Otzhe, duńskie serie zbiegają się i Yogo sum dorivnyu 1:

Zapas 1,5. Przejdź do zbіzhnist wiersz

Dla którego rzędu

. Otzhe, cały rząd do rozproszenia.

Szacunek. Dla serii (1.6) є suma nieskończonej liczby zer і є jest oczywiście podobna.

2. Główna potęga szeregu liczbowego

Potęga sumy końcowej liczby dodanków jest podzielona na potęgę rzędu, czyli sumę nieskończonej liczby dodanków. Tak więc w momencie ostatecznej liczby dodanków їx można je pogrupować w dowolnej kolejności, bez względu na to, jak bardzo suma się nie zmieni. Іsnuyut wiersze, które zbiegają się (mentalnie podobne, jak zostaną omówione w sekcjach 5), dla tych, jakby pokazując Roman * , Zmieniając właściwą kolejność kolejności kierowania їх członków, można zwiększyć sumę liczby równych liczb i utworzyć inny szereg.

Przykład 2.1. Spójrzmy na inny rząd myśli (1.7)

Grupując terminy jogi w pary, bierzemy podobną serię liczbową z sumy, która jest równa zero:

Z drugiej strony, grupując pierwszego członka w pary, zaczynając od drugiego członka, również bierzemy podobny rząd, ale też z worka, które są bardziej pojedyncze:

Liczby rzędów mogą być diakonami władzy, tak jakby pozwalały dzieciom pracować z nimi, jak z sumami końcowymi. Możesz więc pomnożyć je przez liczby, dodać je termin po terminie i zobaczyć. Mogą zjednoczyć się w grupie, niezależnie od tego, czy są magazynami, aby stać na straży.

Twierdzenie 2.1.(Niezbędne oznaki opłacalności są niskie).

Jeżeli szereg (1.1) jest zbieżny, to składnik zupełny jest równy zero dla nieograniczonego wzrostu n, to.

Dowód twierdzenia wynika z faktu, że , i

S jest sumą szeregu (1.1), wtedy

Umova (2.1) - konieczna, ale niewystarczająco mentalna dla sukcesu serii. Oznacza to, że nawet jeśli ostatni składnik ma wartość od niskiego do zera w , nie oznacza to, że szereg jest zbieżny. Na przykład dla szeregu harmonicznego (1.2) jednak, jak pokazano poniżej, różnice między nimi.

Konsekwencja(Wystarczający znak rozbіzhnostі niski).

Yakshcho zagalny członek jest niski, a nie pragne zero, w serii tsey do rozproszenia.

Przykład 2.2. Przejdź do zbіzhnist wiersz

.

Dla którego rzędu

Otzhe, cały rząd do rozproszenia.

Patrząc dalej, rzędy (1.6), (1.7) są również takie, że nie mają niezbędnego znaku zbіzhnosti. Dla serii (1.6) pomiędzy dla rzędu (1.7) nie wiem.

Moc 2.1. Podobieństwo lub rozbіzhnіst serii nie zmienia się, jakby w wystarczającej kolejności, aby usunąć z nowego, dodać do nowego, zmienić liczbę członków w nowym ostatnim (jeśli liczba członków zostanie zmieniona dla wiersz, możesz zmienić kwotę).

Dowód, że szereg (1.1) jest taką nadwyżką zbiegają się lub rozpraszają w tym samym czasie.

Moc 2.2. Podobny szereg można pomnożyć przez liczbę, aby szereg (1.1) był zbieżny, jeśli suma S i c jest liczbą, to

Dowód wymownych przemówień, że uczciwość jest sprawiedliwa

Moc 2.3. Wiersze Zbіgayutsya można składać termin po terminie i vіdnіmati, tobto jak rząd,

skupiać,

zbiegają się, że її sum dorivnyuє tobto.

.

Dowód wynika z potęgi sum granicznych, tobto.

INSTALACJA

Przewodnik metodyczny dotyczący terminów dla matematyków w technikach, a także dla studentów innych kierunków wszystkich specjalności.

Czyje roboty mają podstawową wiedzę na temat teorii rzędów. Materiał teoretyczny wspiera suwerenny standard oświetlenia średniego wykształcenia zawodowego (Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej. M., 2002).

Wkładowi materiału teoretycznego na wszystkie tematy towarzyszy przegląd dużej liczby zgłoszeń i zadań, przeprowadzony w przystępny, zwinny sposób. Udzielono na przykład pomocy w zastosowaniu tego zadania, tak aby uczniowie mogli przezwyciężyć reżim samokontroli.

Pomocnik w mianowaniu studentów korespondencji i stacjonarnych form kształcenia.

Szkolenie Vrakhovuychi ryven uchnіv techhnіkumu, a także w ostatnich latach (12 lat + 4 lata), które wprowadza program przejścia wyższej matematyki w szkołach technicznych, suvori vysnovki, które stanowią duże trudności w nauce, pomijaniu, mieszaniu się z patrząc na aplikację.

PODSTAWOWE KONCEPCJE

Rozwiązanie problemu, przedstawione w kategoriach matematycznych, na przykład w przypadku kombinacji różnych funkcji, ich podobieństw i całek, konieczne jest „doprowadzenie do liczby”, a także różnicy rezydualnej. Dlatego różne działy matematyki opracowały różne metody.

Razdіl matematycy, scho pozwala virіshity be-yaké poprawnie ustawić zavdannya s wystarczające do praktycznej dokładności vikoristannya, zwanej teorią rzędów.

Navit jako rodzaj subtelnego rozumienia analizy matematycznej pojawił się jako spójna poza z teorii rzędów, smród był niedbale przyklejony do rzędów, jakby służyły jako bi-narzędzie do wypróbowania ich znaczenia do zrozumienia. Taki obóz jest uratowany i zaraźliwy.

umysł viraz

de;;;…;;… - członkowie rzędu; - n-ty w przeciwnym razie ostatni członek serii nazywa się serią niewyczerpaną.

Jako członek rzędu:

I. Szeregi liczb

1.1. Podstawowe rozumienie szeregu liczb.

Liczba obok to suma umysłu

, (1.1)

de ,,,…,,…, szeregi członków są niskie, tworzą nieubłaganą sukcesję; termin ten nazywa się głównym członkiem serii.

fałdy z pierwszych członków są niskie (1.1), nazywane są sumami prywatnymi tego rzędu.

Sekwencja sum prywatnych może być równa rzędowi skóry .

Jak z nieograniczonym wzrostem liczby n suma chastkova jest niska pomiędzy, wtedy rząd nazywa się podobny, a liczba nazywa się sumą podobnego rzędu, tobto.

Rekord jest równy rekordowi

.

Jak często suma szeregu (1.1) występuje przy nieograniczonym wzroście n jeśli nie masz granicy końcowej (pragne abo), to taka seria nazywa się rozbіzhnym .

Yakshcho wiersz podobny , to znaczenie dla ukończenia wielkiego n є przybliżanie viraz sumi z rzędu S.

Cena detaliczna nazywana jest zbyt niską. Jeśli rząd biegnie, to nadmiar obciążenia do zera, a następnie i znowu, jeśli nadmiar obciążenia do zera, to rząd biegnie.

1.2. Zastosuj linie liczbowe.

Tyłek 1. Liczba umysłów

(1.2)

nazywa geometryczny .

Szereg rozwiązań geometrycznych od członków postępu geometrycznego.

Vіdomo, scho sum її pierwszy n członkowie Oczywiście: n- suma szeregu (1.2).

Możliwe spadki:

Wiersz (1.2) wygląda następująco:

, rząd do rozproszenia;

Wiersz (1.2) wygląda następująco:

Nie ma dystansu, liczba rozproszenia.

- Liczba Kіntseve, zbieżność serii.

- Szereg rozproszenia.

Również całe serie są zbieżne dla i rozchodzą się dla .

Tyłek 2. Wiersz umysł

(1.3)

nazywa harmonijny .

Zapisujemy częściową sumę wiersza:

Suma jest większa o sumę, podam ją w kolejnym rankingu:

lub .

Yakscho coś , lub .

Ojcze, yakscho, tobto. serie harmonii odbiegają od siebie.

Tyłek 3. Wiosłuj umysł

(1.4)

nazywa zagalnenim harmonijni .

Yakshcho, wtedy ten rząd zamienia się w rząd harmoniczny, który jest rozbіzhnym.

Ponieważ elementy tej serii są większe niż odpowiadające im elementy serii harmonicznej i, oznacza to, że wina się różnią. Kiedy maєmo geometryczne serie, w yakomu; wino jest podobne.

Otzhe, zagalneniya szeregi harmoniczne zbiegają się dla і rozchodzą się dla .

1.3. Niezbędne i wystarczające oznaki dobrobytu.

Niezbędny znak rentowności jest niski.

Szeregi mogą być zbieżne bardziej niż myślisz, jaki jest ostatni wyraz z nieograniczonym wzrostem liczby i prawem do zera: .

Yakshcho, a następnie rząd się rozchodzi - wystarczający znak rozbіzhnosti jest niski.

Pozytywni członkowie instruują wystarczające oznaki pomyślności.

Znak wyrównania między rzędami pozytywnych członków.

Seria Dosl_dzhuvany zbiega się, terminy yakscho yogo nie przeważają nad tymi samymi warunkami następnej, podobnej serii svіdomo; doslіdzhuvany rząd do rozbieżności, jakby członkowie Yogo przewracali tych samych członków innego, svіdomo rozbіzhny rząd.

Znak d'Alembert.

Jak dla zamówienia z pozytywnymi warunkami

vykonuєtsya umova, a następnie rząd wybucha o i rozpraszam się o godz.

Znak d'Alembert nie daje dowodów, Yakscho. A tutaj doslіdzhennya low zastosovuetsya іnshi priyomi.

Dobrze.

Napisz wiersz do jogi, ustalmy wspólnego członka:

Biorąc pod uwagę ,,,…, może wystąpić niespójny ciąg liczb:

Członkowie gliny jogi, zróbcie awanturę

.

Vchinyayuchi tak po prostu, zrób awanturę

.

Podając wartości 1,2,3,... i patrząc co ,,,..., zrób awanturę

.

Wiedzieć n- członek rzędu po jogi danimi do pierwszych członków:

Mianowniki członków są niskie, począwszy od pierwszego, parami; otzhe, n- może wyglądać th członek rzędu.

Liczebniki członków serii potwierdzają naturalny ciąg liczb, a liczebniki dla nich są naturalnymi ciągami liczb, a liczebniki są naturalnymi ciągami liczb, zaczynając od 3. Znaki są rysowane zgodnie z prawo lub prawo. Znaczyć, n- może wyglądać th członek rzędu. lub .

Postępuj zgodnie z rzędem zbіzhnіst, zastosovuyuchi niezbędnym znakiem zbіzhnosti i znakiem równości:

;

.

Znany .

Niezbędne oznaki dobrobytu są niskie, ale różnica w jedzeniu dotycząca dobrobytu jest konieczna, aby zatrzymać jeden z wystarczających oznak dobrobytu. Por_vnyaєmo tsey seria z szeregiem geometrycznym

,

które zbiegają się, odłamki.

Zamieniając terminy tego szeregu, zaczynając od innego, z różnymi członkami szeregu geometrycznego, usuwamy nierówności

Tobto. członkowie tego szeregu, zaczynając od innego, najwyraźniej mniej członków szeregu geometrycznego, gwiazdy są jasne, że ten szereg jest zbieżny.

.

Tutaj wystarczająco dużo oznak rozbіzhnosti jest niskie; Otzhe, liczba rozproszonych.

Znany .

Niezbędny znak dobrobytu z rzędu vikonuєtsya. Por_vnyaєmo tsey row іz zagalnenim harmonijny rząd

,

które zbiegają się, odłamki, później zbiegają się i cała seria.

Postępuj zgodnie z linią zastępczych znaków d'Alembert:

;

.

Zastąpienie zastępcy z rzędu n numer n+ 1, akceptujemy. Znamy różnicę między pierwszym członkiem a n- mu członek w:

Otzhe, serie Tsey zbiegają się.

Otzhe, cały rząd do rozproszenia.

Tobto. wiersz do rozbieżności.

II. Znazminny wiersz

2.1 Zrozumienie znanego wiersza.

seria liczb

nazywa znajomy, rodzinny , ponieważ środek członków jogi to zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne.

Seria liczb nazywa się znak alternatywny , jak gdyby było dwóch członków, aby stać jako uchwyt, aby czynić znaki.

de for all (to jest seria, której pozytywne i negatywne elementy idą jeden po drugim). Na przykład,

;

;

.

W przypadku kultowych majowych rzędów wystarczy znak komfortu (wstawiony w 1714 r. przez Leibnitza przy liściu przed I. Bernoullim).

2.2 Znaki Leibniza. Absolutny jest ten mentalny rząd zbіzhnist.

Twierdzenie (znak Leibnitza).

Znak serii naprzemiennej zbiega się w następujący sposób:

Sekwencja wartości bezwzględnych członków jest niska, monotonnie się zmienia, tzw. ;

Zagalny członek niski pragne zero:.

Z dowolną sumą S z rzędu, zaspokaja nierówności

Szacunek.

Podążaj za kolejnym rzędem umysłu

(z ujemnym pierwszym członkiem), który ma zostać utworzony poprzez pomnożenie wszystkich członków jogi do następnego rzędu .

Wiersze, dla których zapisano umysł twierdzeń Leibniza, nazywają się Leibniz (nad lawami Leibniza).

Spivvіdnoshennya pozwala na prostą i natychmiastową ocenę ułaskawienia, jak przyznajemy, zastępując sumę S przyznany pewnej liczbie joginów w formie prywatnej sumy.

Wiersz Vіdkinuty (nadwyżka) є również blisko, że znak jest narysowany. , którego suma przez moduł jest mniejsza niż pierwszy element rzędu tobto. Dlatego ułaskawienie jest mniejsze niż moduł pierwszego z trzech członków.

krupon. Oblicz w przybliżeniu sumę rzędu.

Rozwiązanie: ta seria jest typu Leibnitza. Wygraj zbieżność. Możesz zapisać:

.

Biorąc pięciu członków, tobto. zastąpienie

Wybaczmy, menshu,

Chim . Otzhe.

W przypadku kultowych majowych rzędów pojawia się wystarczająco duży znak dobrobytu.

Twierdzenie. Chodź, biorąc pod uwagę znajomą awanturę

Jak zbiegać się w rzędzie

fałdy z modułów członków tej serii, a następnie sama znajoma seria zbiega się.

Znaki Leibniza z zbіzhnosti dla rzędów znaków służą jako wystarczający znak znaków zbіzhnosti rysowanych rzędów.

Znajomy rząd nazywa się absolutnie podobne , aby zbiec szereg fałdowań od wartości bezwzględnych pierwszych członków, tobto. każda absolutnie podobna seria jest podobna.

Jeżeli znak szeregu naprzemiennego jest zbieżny, a sumy wartości bezwzględnych wyrazów jogi w szeregu są rozbieżne, wówczas nazywa się cały szereg umysłowo (Nie bezwzględne) podobny.

2.3. Dobrze.

Doslidit na zbіzhnіst (absolutnie lub mentalnie) seria, która jest rysowana:

і

Otzhe, dla znaku Leibnitza, serie zbiegają się. Z'yasuєmo, chi zbieżne serie tsey absolutnie chi mentalnie.

Wiersz , Fałdy z wartości bezwzględnych tej serii, є harmonijny następny, yaky, rozproszony. Dlatego cała seria zbiega się mentalnie.

Członkowie tej serii po wartości bezwzględnej zmieniają się monotonnie:

, ale

.

Szereg rozproszenia, odłamki znaku Leibniza nie wygrywają.

Vikoristovuyuchi znak Leibnitz, otrimaemo

;,

Tobto. szeregi są zbieżne.

.

Tse geometryczna seria umysłu, de converge. Dlatego cała seria jest zbieżna absolutnie.

Być może zwycięstwo według znaku Leibnitza

;

, następnie. szeregi są zbieżne.

Przyjrzyjmy się serii fałdowań z wartości bezwzględnych członków serii:

, lub

.

Tse zagalneniya harmonijny rząd, który rozprasza się, odłamki. Otzhe, cała seria zbiega się mentalnie.

III. Seria funkcjonalna

3.1. Pojęcie szeregu funkcjonalnego.

Liczba, której członkowie pełnią funkcję є vіd, nazywają się funkcjonalny :

Nadayuchi śpiewa wartość, zabierz serię liczb

które mogą być podobne, tak a tak, aby się rozproszyć.

Jeśli odejmowanie szeregu liczb jest zbieżne, wówczas punkt nazywa się hotspot zakres funkcjonalny; jak rozejść się z rzędu - punkt separacji funkcjonalny rząd.

Zbiór wartości liczbowych argumentu, dla którego zbiegają się szeregi funkcyjne, nazywa się jogą obszar zamieszkania .

W dziedzinie zbіzhnostі liczba funkcjonalna sumy Yogo є funkcja deykoyu vіd:.

Vychayatsya poza sferą życia zazdrości

, de

Suma Chastkova jest niska.

krupon. Poznaj obszar życia z rzędu.

Rozwiązanie. Ten rząd jest instrukcją postępu geometrycznego banera. Otzhe, cała seria zbiega się, tobto. w ogóle; suma do liczby dorivnyuє;

, za .

3.2. Kroki z rzędu.

Następny krok to rząd umysłu

,

numery nazywa współczynniki z rzędu a członek jest wiodącym członkiem serii.

Dziedzina szeregu statystycznego nazywana jest bezosobową wszystkich wartości, dla której szeregi są zbieżne.

Numer nazywa się promień życia szeregi potęgowe, czyli kiedy szeregi są zbieżne, a wcześniej bezwzględnie i kiedy szeregi się rozchodzą.

Znany jest promień życia, ze znakiem d'Alembert:

(nie leżeć w wodzie),

Tobto. jak seria zbieżności dla wszystkiego, co podoba się twojemu umysłowi i rozbiega się w .

Zvіdsi vyplivaє, scho yakscho іsnuє granica

,

następnie promień rzędu zbіzhnosti tsіy mezhі w serii stanów zbiegają się w , a następnie. u pośrednika, który nazywa się promizhkom (interwał) zbіzhnostі.

Yakscho, a następnie serie zbiegają się w jednym punkcie.

Na końcu luki rząd może zbіgatisya (bezwzględnie lub mentalnie) lub może się różnić.

Rentowność okazałego rzędu z i doslіdzhuєtsya o pomoc, czy to znak rentowności.

3.3. Dobrze.

Znajdź obszar zamieszkania obok:

Rozwiązanie. Znamy promień biegu tego rzędu:

.

Również ta seria zbiega się absolutnie na całej osi liczbowej.

Rozwiązanie. Pospiesz się ze znakiem d'Alembert. Dla którego rzędu można:

.

Seria jest zbieżna absolutnie, tak samo dobrze. Zachowanie Doslіdzhuєmo jest niskie kіtsyah іnternvalu zbіzhnostі.

Kiedy maєmo wiosłować

Kiedy maєmo wiosłować - Seria Tse Leybnitevsky, która może się zbiegać. Otzhe, obszar zbіzhnostі vihіdny row є vіdrіzok.

Rozwiązanie. Wiemy, że promień spaceru jest mały:

Otzhe, seria zbiega się, tobto. w.

Przyjmujemy numer , które zbiegają się do znaku Leibnitza

Akceptujemy losowy rząd

.

Otzhe, obszar życia z rzędu to luka.

IV. Rozkład funkcji elementarnych do szeregu Maclaurina.

W przypadku suplementów ważne jest, aby uwzględnić tę funkcję w rzędzie ułożonym w stos, tobto. do reprezentowania funkcji jako sumy skumulowanej serii.

Rząd Taylora dla funkcji nazywamy szeregiem stanów postaci

Yakshcho, więc robimy ostatni krok do serii Taylora

który jest nazywany chorąży Maclaurina .

Wiersz krok po kroku środkowego przedziału opłacalności może być okresem po okresie dobrze różnicując i integrując skalowania, a eliminacja wiersza może być samym przedziałem opłacalności, który jest ostatnim wiersz.

Można dodać dwa ułożone w stos wiersze i pomnożyć wyraz po wyrazie zgodnie z zasadami składania i mnożenia wyrazów bogatych. W przypadku jakiejkolwiek rozwiązłości wygranej nowej awantury, zabraknie jej głównej części rozwiązłości awantur weekendowych.

Do rozszerzenia funkcji do serii Maclaurin konieczne jest:

Wymień wartości funkcji i її ostatnich w punkcie, tobto,,,,…,;

Złóż szereg Maclaurina, zastępując wartości funkcji i її ostatnich podobnych formuł do szeregu Maclaurina;

Poznaj różnicę między liczbami w wybranym wierszu po formule

, .

Przykład 1. Rozłóż funkcję na szereg Maclaurina.

Rozwiązanie. więc jaka , następnie podmieniając układ, zabieramy:

Przykład 2. Zapisz kilka funkcji Maclaurina .

Rozwiązanie. Oskіlki, a następnie pomarszczone przez formułę, w yakіy zastępujemy to, bierzemy to:

,

Przykład 3. Rozłóż funkcję na szereg Maclaurina.

Rozwiązanie. Przyspieszamy formułę. więc jaka

, wtedy wymienimy:

, lub

de, tobto. .

V. Praktyczne zadania samokontroli uczniów.

Aby uzyskać pomoc, znaki wyrównania rzędów zapewnią bezpieczeństwo

;

;

VII. Dowód historyczny.

Weryfikacja bogactwa zadania polega na obliczeniu wartości funkcji i całek, czyli wariancji równań różniczkowych, aby pomścić straty, czyli różniczki nieznanych funkcji.

Jednak dokładniejsze jest to, że przypisanie operacji matematycznych na różne sposoby wydaje się bardziej pokręcone lub niemożliwe. W tych vipadach możesz przyjrzeć się bliżej rozvyazannya bagatioh zavdan іz be - rodzajem bazhanowej dokładności za pomocą rzędów.

Uprościmy i uzupełnimy szereg za pomocą narzędzia do analizy matematycznej do przybliżonego obliczania funkcji, całkowania i rozwiązywania równań różniczkowych.

porządek funkcjonalny, który jest praworęczny.

Aby zastąpić znak „” można umieścić znak równości, konieczne jest wykonanie czynów dodatków mirkuvannya, wiążąc się z niezliczoną liczbą dodatków w prawej części równoważności i obszarze dochód z rzędu.

Kiedy wzór Taylora wygląda jak wzór Maclaurina:

Colin Maclaurin (1698 - 1746), uczeń Newtona, w pracy „Traktat o fluktuacjach” (1742) po zainstalowaniu, że szereg stosów, który zamienia funkcję analityczną, jest jednym, jeśli będzie szereg Taylora, generacjami takich funkcja. Dwumianowy wzór Newtona ma współczynniki w krokach є wartość , de .

Otzhe, lavi vinikli w XVIII wieku. jako sposób manifestowania funkcji pozwalających na nieznaczne zróżnicowanie. Jednak funkcja, która wydaje się być gwarancją, nie została nazwana sumą i nie było jeszcze wtedy ustalone, jaka jest suma liczby liczbowej szeregu funkcjonalnego, gdyby tylko można było spróbować ją wyczyścić.

Na przykład L. Euler (1707-1783), który spisał serię kolumn dla funkcji, podając konkretną wartość. Wprowadzanie serii liczb. Z sumy tego szeregu Euler uwzględnił wartości funkcji zewnętrznych w punktach. Ale tse nie mają racji.

O tych, którzy są w rzędzie, jak się rozproszyć, nie mogę tego podsumować, vcheni zaczęli się domyślać dopiero w XIX wieku, choć w XVIII wieku. bogato i L. Euler, bogato praktykowany nad pojęciami wygody i różnorodności. Euler nazywając serię podobnie, jakby był to najważniejszy wyraz zerowy w momencie wzrostu.

Teoretycznie wiersze Eulera, biorąc pod uwagę kilka oryginalnych wyników, prot i wyniki przez długi czas nie znały wyników. Więcej 1826 N.G. Abel (1802 - 1829) nazwał rzędy rzędów „diabelskim vigaduvannyam”. Wyniki Eulera znane były jedynie jako elementarz XIX wieku.

W formowaniu, zrozumieniu sumy rzędu, co dalej, wielką rolę odegrały francuskie nauki O.L. Koszi (1789 - 1857); Dzięki temu, że wzbogaciłem się znakomicie w teorię rzędów i w teorię pomiędzy, w tworzenie najbardziej zrozumiałych pomiędzy. W 1826r. Koshі deklarując, scho awanturę, scho się rozproszyć, a nie maє sumi.

W 1768r. Francuski matematyk i filozof J.L. D'Alembert wysunął na pierwszy plan pozycję ofensywnego terminu w szeregu dwumianowym i pokazał, że jeśli termin dla modułu jest mniejszy niż jeden, to szereg jest zbieżny. Koshі w 1821r. po ukończeniu twierdzenia, które czyni znak zbіzhnosti wierszy znakowo-dodatnich, jako znak d'Alemberta, teraz nazywany znakiem d'Alemberta.

Aby kontynuować sukces rzędów znaków, zwycięża znak Leibnitza.

G.V. Leibniz (1646-1716), wielki niemiecki matematyk i filozof, zakon z І. Newton jest twórcą obliczeń różniczkowych i całkowych.

Lista literatury:

Główny:

1. Bogomolov N.V., Praktyczne lekcje matematyki. M., "Szkoła Wiszcza", 1990 - 495 s.;
2. Tarasov N.P., kurs zaawansowanej matematyki dla szkół technicznych. M., "Nauka", 1971 - 448 s.;
3. Zaitsev I.L., kurs zaawansowanej matematyki dla szkół technicznych. M., suwerenność szkół technicznych - literatura teoretyczna, 1957 - 339 s.;
4. Pismovy DT, Kurs wykładów z matematyki wyższej. M., „Iris Press”, 2005, cz. 2 - 256 s.;
5. Vigodsky M.Ya., Dovidnik z wyższej matematyki. M., "Nauka", 1975 - 872 s.;

Dodatkowa:

1. Gusak A.A., Matematyka Vishcha. W 2 tomach, t. 2: Poradnik dla uczniów liceum. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 s.;
2. Griguletsky V.G., Lukyanova IV, Petunina I.A., Matematyka dla studentów specjalności ekonomicznych. Część 2. Krasnodar, 2002 - 348 s.;
3. Griguletsky V.G. to w. Zeszyt zadań do matematyki. Krasnodar. KDAU, 2003 - 170 s.;
4. Griguletskiy V.G., Stepantsova K.G., Hetman V.M. Krasnodar. 2001 - 173 strony;
5. Griguletsky VG, Yaschenko ZV, Vishcha Mathematics. Krasnodar, 1998 - 186 s.;
6. Malikhin VI, Matematyka ekonomii. M., "Infra-M", 1999 - 356s.

Spójrzmy na niewybaczalny ciąg liczb, tobto. liczby bezosobowe, dla niektórych skórek liczba naturalna n zgodnie z zasadą śpiewania jakiś. Umysł Viraz nazywa się serią liczb, same liczby są członkami serii, - śpiący członek rzędu. Krótko zapisz serię w następujący sposób:.

Sumi, tylko w każdej obecności n pierwsi członkowie serii nazywają się w prywatnych sumach z rzędu.

Szereg liczb nazywa się podobnie, ponieważ ciąg prywatnych sum Yogo może być końcem wiersza. Numer S nazywana sumą rzędu.

Jeśli nie ma granicy, wywoływana jest seria.

Przykład 1. Biorąc pod uwagę nieskończony postęp geometryczny. Wiersz magazynowy

i doslіdzhuєmo yogo zbіzhnіst, z vznáchennya zbіzhnostі wiersz. І do tego przechowujemy prywatną sumę =. Jeśli chodzi o licealny kurs matematyki, to wiemy. Zgaduję, jak się wydostać. Aby to udowodnić, rozpodil

Teraz obliczmy granicę, vrakhovuchi, jakie są tutaj możliwe trzy fluktuacje:

2) yakscho q= 1, to = ja ,

3) jakscho q= -1, to =, ja, a =, ja. Otzhe, ciąg sum prywatnych nie jest jedną granicą.

Dlatego robimo visnovok: postęp geometryczny zbieżny, podobny i rozbieżny w .

tyłek 2. Przynieś rozbіzhnіstryad

Rozwiązanie. Oszacuj prywatną sumę serii:

> , to. > ,

oraz pomiędzy częściami sumy droższych niezgodności (zgodnie z wiodącym twierdzeniem o granicach: x n > y n, to): = . Otzhe, cały rząd do rozproszenia.

Moc podobnych rzędów

Spójrzmy na dwa rzędy. Kolejny rząd potrąceń z pierwszej ścieżki za pierwszą m członkowie jogi. Ten rząd nazywa się dodatkowym rzędem, jest oznaczony rn.

Twierdzenie 1. Jak dołączyć do rzędu, co jechać, pomnożyć liczbę przez dziesiętną W, wtedy żywotność szeregu nie spadnie, ale suma pomnoży się przez W.

Twierdzenie 2. Dwa rzędy, które się zbiegają, można złożyć (vіdnіmati) termin po terminie, a suma wziętego rzędu jest droższa, de - suma pierwszego rzędu i - suma drugiego.

Twierdzenie 3. Gdy tylko seria się zbiega, skórki z jednej z nadwyżek zbiegają się. Z nadwyżki rzędu, zbіzhnіst samego rzędu wibruje.

Można powiedzieć inaczej: niewielka liczba członków rzędu przyczynia się do gospodarki. Moc I tsya jest najpiękniejsza. To prawda, niech suma liczby dodatkowych niespójności (liczba rozproszenia). Sumujemy jeszcze więcej, ale ostatnia liczba członków jest niska. Suma Tsya może być świetna, ale znowu wiem, ostatnia liczba. To znaczy, że suma jest za duża dla rzędu, a tam członkowie rzędu są już skromnie małymi liczbami, mimo wszystko jest więcej niespójności dla konta niezliczonej liczby dodankivów.

Twierdzenie 4. Niezbędny znak bezpieczeństwa.

Jeśli serie się zbiegają, to śpiący członek Yogo jakiś pragne zero, tobto. .

dowód. Prawdziwe,

І jeśli seria jest zbieżna, to również w .

Znamienne, że znak przestał wystarczać, tobto. szereg może się różnić, ponieważ skumulowany składnik jest równy zero. Na tyłku rozchodzą się 2 rzędy, aby joga miała śpiącego członka.

Ale yakcho jakiś nie równa zero w , to seria є razbіzhny ( wystarczający znak różnorodności z rzędu).

Podobieństwo wierszy z wyrażeniami pozytywnymi

Seria nazywa się pozytywna, jak wszystko.

Chastkovi sumi w takim rzędzie S n ustalić rosnące następstwo, odłamki skóry z przodu są mniej obraźliwe, tobto. . Z teorii między sobą (twierdzenie Bolzano-Weierstrassa), tak jakby rosnąca sekwencja była otoczona przez bestię (do tego wszystkiego S n nie jest taki kіlkіst M, Co S n < M dla wszystkich n), może być pomiędzy. Twierdzenie o postępie Zvіdsi vyplyaє.

Twierdzenie. Pewna liczba pozytywnych terminów zbiega się, jakby często była sumowana przez bestię, i rozprasza się w inny sposób.

Wszystko opiera się na tym autorytecie wystarczające oznaki sukcesu rzędów pozytywnych członków. Przyjrzyjmy się głównym.

Znak wyrównania

Przyjrzyjmy się dwóm wierszom z nieujemnymi członkami: - (3) i - (4), ponadto zaczynając od n. Ten sam rząd zbіzhnostі (4) viplivaє zbіzhnіst rząd (3). A z różnorodności rzędu (3), różnorodność rzędu (4) jest jasna.

W przeciwnym razie: jeśli szereg z większymi elementami jest zbieżny, to szereg z mniejszymi elementami jest zbieżny; jeśli rząd mniejszych członków się rozchodzi, to rząd większych członków się rozchodzi.

krupon. Dosliditi w rzędzie zbіzhnist.

Rozwiązanie. Ostatni członek rzędu, a rząd jest niezatapialną sumą członków postępu geometrycznego ze sztandarem< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Znak Por_vnyannia na formularzu granicy

Przyjrzyjmy się dwóm rzędom i, nie hai - ostateczna liczba. Tak czy inaczej, rzędy zbiegają się lub rozpraszają w tym samym czasie.

krupon.

Rozwiązanie. Wybieramy rząd dla povnyannya, z'yasuvshi, dla którego, jak ognisty członek rzędu z wielkim n:

Tobto. ~ , i jak wiersz wyrównania, weź wiersz, który się rozbiega, co pokazano wcześniej.

Obliczalne między

A później obrażanie rzędów, żeby zachowywały się tak samo, tobto. cały rząd może się również różnić.

Znak d'Alembert

Pozwól, że podam ci rząd i wyraźną granicę. Todi, yakscho ja < 1, то ряд сходится, если ja> 1, to serie się rozejdą, więc ja= 1, to nie jest podawany żaden znak walidacji (jest to konieczne dla dodatkowej obserwacji).

krupon. Dolіditi zbіzhnіst wiersz (zgadnij co, tobto. n-silnia є dodanie wszystkich liczb całkowitych od 1 do n).

Rozwiązanie. Dla którego wiersza (w tym celu jest to konieczne) n wyobrażać sobie n+ 1). Obliczalne między

i odłamków między mniej niż 1, cała seria jest zbieżna.

Radykalny znak Kosh

Pozwól, że podam ci rząd i wyraźną granicę. Yakscho ja< 1, то ряд сходится, если ja> 1, to serie się rozejdą, więc ja= 1;

krupon. Przejdź do zbіzhnist wiersz

Rozwiązanie. Gorący członek jest niski. Obliczmy granice. Tak więc zbieżność jest niewielka.

Integralny znak Koshi

Rzućmy okiem na rząd i jest do przyjęcia, co jest na podłodze XÎ jest zasadniczo nieprzerwaną, dodatnią i monotonicznie zanikającą funkcją taką, że , n= 1, 2, 3…. Następnie szereg i całka niespójna zbiegają się i rozchodzą w tym samym czasie.

Co istotne, jako seria danych, funkcja jest rozpatrywana w międzyczasie.

Zgadnij co całka niesklasyfikowana zwany podobny, yakscho іsnuє kіntseva border, і todi =. Nawet jeśli granica nie ma końca, to wydaje się, że całka niesklasyfikowana rozpraszać.

krupon. Rzućmy okiem na rząd - wiersz harmoniczny lub rząd Dirichle'a ze wskaźnikiem kroku s. Yakscho s= 1, to seria nazywa się harmonijny porządek.

Prześledźmy ten wiersz, wikorysta całkując znak Cauchy'ego: =, a funkcja = maє całą dominację przypisaną do znaku. Możemy obliczyć całkę niezrozumiałą.

Istnieją trzy możliwości:

1) s < 1, и тогда

integralna rozbieżność.

2) kiedy s = 1

integralna rozbieżność.

3) jakscho s> 1, to

zbieżność całkowa.

Visnovok. Szeregi harmoniczne zbiegają się, jak s> 1 i rozchodzą się, więc s ≤ 1.

Ten rząd jest często vikoristovuyut do wyrównania z innymi rzędami, co pomścić krok n.

krupon. Podążaj za rzędem do dołu.

Rozwiązanie. Dla tego szeregu ~ = oznacza to, że ten szereg jest podobny do szeregu, który jest zbieżny, jak szereg Dirichleta ze wskaźnikiem kroku s = 2 > 1.

Za znakiem wyrównania na formularzu brzegowym wiemy, jak wyrównanie podwójnych elementów danego wiersza i wiersza Dirichleta:

Otzhe, zbiegają się rzędy tsey.

Zalecenia dotyczące wyboruznak komfortu

Nasampered, kolejnym krokiem jest przyspieszenie niezbędnego znaku liczby liczb i obliczenie między pierwszym członem szeregu o godz. Yakshcho, a następnie wiele svіdomo rozchodzi się, a yakshcho przesunął się, aby przyspieszyć jeden z wystarczających znaków.

Znaki Porіvnyannia mrugać do cichych vipadów, jeśli ze ścieżką obrót viraz dla głównego członka rzędu może przejść z jednego rzędu do drugiego, zbіzhnіst (chi rozbіzhnіst) pewnego rodzaju. Zokrema, jak pomścić mniej niż krok n I nie mścij się na innych funkcjach, zawsze możesz pracować.

Znaki Porіvnyannia zastosovuyt todі, jeśli ostatni rząd można ustawić za pomocą zaostrzonego rzędu harmonicznego lub ładunku, dodajemy go od członków nieskończonego postępu geometrycznego.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

Temu, kto stoi w księdze liczbowej jakby od tych funkcji, a na sztandarze - funkcja levorucha w nim, wtedy lepiej dla wszystkiego, awanturę rozpraszają się i navpaki.

Tsya stattya uporządkowane i przekazane informacje, ponieważ jest to możliwe w odpowiednim czasie do analizy praw i zadania. Przyjrzyjmy się tematowi serii liczb.

Artykuł Tsya zaczyna się od głównych funkcji do zrozumienia. Daliśmy standardowe opcje i podstawowe formuły vivimo. W celu zamknięcia materiału, w artykule została umieszczona główna aplikacja.

tezy podstawowe

Możemy reprezentować system: a 1 , a 2 . . . , jakiś , . . . de a k R , k = 1 , 2 . . . .

Na przykład weź następujące liczby, takie jak: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

Spotkanie 1

Szereg liczb jest sumą wyrazów ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 +. . . + n +. . . .

Aby lepiej zrozumieć znaczenie, możemy spojrzeć na vipadok, dla którego q \u003d - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (-16) · - 1 2 k .

Spotkanie 2

a k є spać lub k-im niski członek.

Wygląda tak na tę pozycję - 16 · - 1 2 tys.

Spotkanie 3

Suma Chastkova z rzędu wygląda tak: Sn = a1+a2+. . . + n , jaka n-Niech to będzie liczba. S n n-ty suma jest niska.

Na przykład ∑ k = 1 ∞ (-16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S1, S2. . . , Sn , . . . utvoryuyuyut ciąg niespójności szeregu liczbowego.

Za rząd n-a suma znajduje się za formułą S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n. Dojdzie do skutku następstwo prywatnych sum: 8, 4, 6, 5,. . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .

Spotkanie 4

Szereg ∑ k = 1 ∞ a k є podobny wtedy, jeśli ciąg może być końcem wiersza S = lim S n n → + ∞ . Jeżeli nie ma granicy lub ciąg nie jest ograniczony, to szereg ∑ k = 1 ∞ a k nazywamy rozbіzhnym.

Spotkanie 5

Sumy wiersz, co jechać∑ k = 1 ∞ a k

Dla tego zastosowania lim S nn → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 rzędy ∑ k = 1 ∞ (-16 ) · - zbiegają się 1 2 tys. Suma jest droga 16 3: ∑ k = 1 ∞ (-16) · - 1 2 k = 16 3 .

tyłek 1

Jako tyłek rozbіzhny rzędu możesz umieścić sumę postępu geometrycznego za pomocą większego banera, dolnego: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.

n-suma części jest określona przez wirazę S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, a suma międzyczęściowa nie jest ograniczona: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Innym przykładem ciągu liczb losowych jest suma postaci ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . Dla tego rachunku n sumę prywatną można obliczyć jako S n = 5 n . Sumy międzyczęściowe nie są ograniczone lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

Spotkanie 6

Suma tej formy to jak ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1w +. . . – ce harmonijny numer wiersza.

Spotkanie 7

Suma ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1ns + . . . , de s- liczba decyzyjna, є zagalnen przez harmoniczny rząd liczbowy.

Mianowany, przeglądany więcej, pomoże Ci w udoskonaleniu większej liczby aplikacji tego zadania.

Aby dokończyć wizytę, konieczne jest wyrównanie linii.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k

Diemo na drodze inwersji. Jeśli wina zbiegają się, granica jest cienka. Możesz napisać równe jako lim n → + ∞ S n = S i lim n → + ∞ S 2 n = S . Po ostatnich potrzebujemy równości l i m n → ∞ (S 2 n - S n) = 0.

Navpaki,

S 2 n - S n \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n = 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n

Dość tak nieprawidłowości 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Bierzemy pod uwagę, że S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Viraz S 2 n - S n > 1 2 powiedzieć, że lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 jest poza zasięgiem. Szereg rozproszonych.

1. b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Konieczne jest potwierdzenie, że suma ciągu liczb idzie w q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Zgіdno z pomocą wyznaczonych osób, suma n elementy są zależne od wzoru S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Yakscho q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Doprowadziliśmy do zbieżności serii liczb.

Dla q = 1b1+b1+b1+. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Sumi może znać formuły S n = b 1 · n , między nieskończoną lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . W tym wariancie rząd się rozchodzi.

Yakscho q = - 1, wtedy rząd wygląda jak b1-b1+b1-. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Często sumy wyglądają tak: S n = b 1 dla niesparowanych n, i S n = 0 dla facetów n. Po przyjrzeniu się temu vipadoku ponownie rozważyliśmy, czy nie ma luk i jest wiele różnic.

Dla q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Mi przyniósł, serie numerów scho do rozbieżności.

1. Szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k s s > 1 i rozchodzą się tak, że s ≤ 1 .

Do s = 1 bierzemy ∑ k = 1 ∞ 1 k , szereg jest rozbieżny.

dla s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k , Liczba naturalna. Oskіlki wiersz є razbіzhnym ∑ k = 1 ∞ 1 k , to nie ma różnicy. Oprócz tego sekwencja ∑ k = 1 ∞ 1 k s jest nieopisana. Robimo visnovok s< 1 .

Należy wykazać, że szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k s jest zbieżny, gdy s > 1.

Wyobraź sobie S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1(2n - 1)s

Załóżmy, że 1 (n+1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Równość reprezentacyjna dla liczb naturalnych i równych n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Bierzemy:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 12 s + 13 s + 14 s +. . . + 17 s + 18 s +. . . + 1 15 s +. . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Viraz 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Suma postępu geometrycznego q = 1 2 s - 1 . Zgіdno z vihіdnimi dannym at s > 1, to 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zbіlshuєtsya i miesza się z bestią 11-12s-1. Jest oczywiste, że є między a wierszem є podobne ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Spotkanie 8

Szereg ∑ k = 1 ∞ a k pozytywne dla tego faceta więc terminy Yogo > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Szereg ∑ k = 1 ∞ b k naprzemienny znak jakby znaki liczb były vіdrіznyayutsya. Duńskie zastosowanie reprezentacji yak ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k ak lub ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 ak , de ak > 0 , k = 1, 2,. . . .

Szereg ∑ k = 1 ∞ b k znajomy, rodzinny, do tego w nowej liczbie liczb, ujemnych i dodatnich.

Innym wariantem rzędu jest ostatni wiersz trzeciego wariantu.

Załóżmy go, aby odciągnąć skórę:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Trzeciej opcji można również przypisać absolutny komfort psychiczny.

Spotkanie 9

Szereg naprzemienny ∑ k = 1 ∞ b k absolutnie zawodzi w tym kierunku, jeśli ∑ k = 1 ∞ b k jest również uważane za taką drogę.

Podobno analizujemy szprota charakterystycznych opcji

tyłek 2

Yakscho rząd 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . 6+3-3 2+3 4+3 8-3 16+. . . pojawiają się jako podobne, a następnie poprawnie wpisz, że 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .

Spotkanie 10

Szereg przemienny ∑ k = 1 ∞ b k jest uważany za mentalnie podobny do tego typu, ponieważ ∑ k = 1 ∞ b k jest inny, a szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest uważany za podobny.

tyłek 3

Podajemy opcję ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 – 1 2 + 1 3 – 1 4 + . . . . Jako wariant wybrano szereg ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , który składa się z wartości bezwzględnych. Ta opcja jest ważna, więc łatwo ją rozgryźć. Z tego punktu widzenia wiemy, że szereg ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . bude vvazhatisya mentalnie podobny.

Cechy podobnych rzędów

Przeanalizujmy moc śpiewania nastrojów

1. Jeżeli ∑ k = 1 ∞ a k będzie zbieżne, to seria ∑ k = m + 1 ∞ a k jest również rozpoznawana jako taka, która jest zbieżna. Możesz określić, który wiersz bez m członkowie są również uważani za podobnych. W vipadku, jeśli dodamy do ∑ k = m + 1 ∞ a k kіlka, wynik, który jest viishov, również będzie podobny.
2. Yakscho ∑ k = 1 ∞ a k idź і suma = S, to zbieżne szeregi i ∑ k = 1 ∞ A a k , ∑ k = 1 ∞ A a k = A S , de A- Zostać.
3. Jak ∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k є podobne, sumi Aі B tezh, to wiersz ∑ k = 1 ∞ a k + b k i ∑ k = 1 ∞ a k - b k również są zbieżne. Sumi dorivnyuvatimut A+Bі A-B oczywiście.

Określ, który szereg ma powstać ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Zmieńmy ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Rząd ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 jest uważany za podobny, ale rząd ∑ k = 1 ∞ 1 k s kończy się o s > 1. W zależności od drugiej potęgi ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

tyłek 5

Niech szereg ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 jest zbieżny.

Odwracalny wariant kolb ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

Odejmujemy sumę ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 i ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Seria skórzana jest rozpoznawana jako taka, która zbiega się do punktu mocy. Fragmenty wiersza zbiegają się, a opcja wyjścia jest taka sama.

tyłek 6

Oblicz, jak szeregi 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + są zbieżne. . . i obliczyć kwotę.

Opcja wyjścia:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Serie skórzane zbiegają się, odłamki są jednym z członków ciągu liczbowego. Vіdpovіdno do trzeciego panowania, możemy liczyć, wariant scho vihіdny jest również podobny. Suma jest obliczana: Pierwszy człon szeregu to ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, a norma = 0 . 5 , a następnie wynika, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Pierwszy wyraz ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , a znak malejącego ciągu liczbowego = 1 3 . Bierzemy: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Vikoristovuєmo virazi, otrimani więcej, aby obliczyć sumę 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Niezbędna inteligencja do powołania, chi є szereg podobnych

Jeżeli szereg ∑ k = 1 ∞ a k є jest podobny, to k-ty wyraz = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Jeśli mamy w to wierzyć, czy jest to wariant, nie należy zapominać o nieautentycznym umyśle. Jeśli nie wygrasz, awantura się rozproszy. Jeżeli lim k → + ∞ a k ≠ 0 to szereg jest zróżnicowany.

Następnie określ, co umysł jest ważny, ale niewystarczający. Ponieważ wygrywa równość lim k → + ∞ a k = 0, nie gwarantuje to, że ∑ k = 1 ∞ a k jest podobne.

Podajmy przykład. Dla szeregu harmonicznego ∑ k = 1 ∞ 1 k, Umoff vikonuetsya lim k → + ∞ 1 k = 0 , ale szereg nadal jest rozbieżny.

tyłek 7

Oblicz wydajność ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n.

Spójrzmy na lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → 0 = + ∞ ≠ 0

Mezha n-ty członek nie jest dobry 0 . Mi przyniósł, scho tsey wiersz do rozproszenia.

Jak wyznaczyć zbіzhnіst znak-pozytywną serię.

Jak stale uszeregować się z przypisanymi znakami, aby móc stale liczyć granice. Tsej razdіl dodany, aby pomóc schować złożoną godzinę vypіshennya priklіv, że zavdan. A żeby oznaczyć wartość znaku dodatniego, jest on niski, jest jasny.

Dla znaku dodatniego ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1, 2, 3, . . . Konieczne jest obliczenie kwot.

Yak porivnyuvati szeregi

Іsnuє kіlka jest znakiem wyrównania rzędów. Mi porіvnyuєmo wiersz, zbіzhnіst kakogo proponuetsya vznáchiti, obok niego, zbіzhnіst jaka vіdoma.

Znak Perszy

∑ k = 1 ∞ a k oraz ∑ k = 1 ∞ b k - szereg znaków dodatnich. Nierówność a k ≤ b k obowiązuje dla k = 1, 2, 3, ... Możemy wziąć ∑ k = 1 ∞ a k w szeregu ∑ k = 1 ∞ b k . Ponieważ ∑ k = 1 ∞ a k rozbieżne, to szereg ∑ k = 1 ∞ b k można przyjąć jako rozbieżny.

Ta zasada jest stale uzasadniona doskonałością równości i jest poważnym argumentem, który pomoże ci oznaczyć zbіzhnist. Skladnoshchi może kłamać w tym, że musisz wziąć tyłek za porivnyannya, który możesz znać daleko od depresji skóry. Na zakończenie często wybiera się liczbę zgodnie z zasadą k-ty członek dorіvnyuvatime na wynik vіdnіmannya pokaznіvіv stаіnіv stаіv nіdnik і znamennik k-ty członków są niskie. Dopuszczalne jest, że k \u003d k 2 + 3 4 k 2 + 5 będzie droższe 2 – 3 = - 1 . W takim przypadku możesz określić, który wiersz jest niezbędny do wyrównania k-im członek b k \u003d k - 1 \u003d 1 k, co jest harmonijne.

Aby zamknąć materiał, przyjrzyjmy się szczegółowo kilku typowym opcjom.

tyłek 8

Co istotne, yakim to szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k – 1 2 .

Odłamki pomiędzy = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 Nierówności będą sprawiedliwe 1 k< 1 k - 1 2 для k , jaka є naturalny. Z poprzednich akapitów zauważyliśmy, że szereg harmoniczny ∑ k = 1 ∞ 1 k jest inny. Za pomocą pierwszego znaku można wykazać, że ostateczna opcja jest rozbіzhnym.

tyłek 9

Istotnie, chi є rząd podobny lub inny ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Czyj tyłek potrzebuje inteligencji, bo lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Podawać na widok nierówności 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 jest podobny, ale szereg harmoniczny ∑ k = 1 ∞ 1 k s zbiega się, gdy s > 1. Zgidno z pierwszym znakiem możemy stworzyć visnovok, że seria liczb jest podobna.

tyłek 10

Vznachiti, yakim є seria ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

W tym momencie możesz określić potrzebę mądrości. Znaczący rząd dla povnyannya. Na przykład ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Aby ustalić, dlaczego stopa jest dobra, możemy spojrzeć na ciąg (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Elementy sekwencji ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . zbіshuєtsya do nieskończoności. Po przeanalizowaniu równości można stwierdzić, że przyjmując wartość N = 1619, elementy ciągu > 2. Dla tego ciągu będzie ważna nierówność 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Kolejna odznaka

Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k są dodatnimi szeregami liczbowymi.

Jeżeli lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , to szereg ∑ k = 1 ∞ b k rośnie, i ∑ k = 1 ∞ a k

Jeżeli lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , jeżeli szeregi ∑ k = 1 ∞ b k są rozbieżne, to ∑ k = 1 ∞ a k również są rozbieżne.

Jeżeli lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , to skalowalność skalowania szeregu oznacza skalowanie drugiego.

Przyjrzyjmy się ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k – 1 dla innych znaków. Dla wyrównania ∑ k = 1 ∞ b k weź szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Istotnie pomiędzy: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Można zauważyć, z innym znakiem, że ciąg ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, który biegnie, oznacza, że ​​wariant kolb również jest zbieżny.

tyłek 11

Znajdź szereg ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Przeanalizujmy potrzebny umysł lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, ponieważ w tym wariancie jest zwycięski. Przy innym znaku weźmy szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k . Shukaєmo pomiędzy: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Vіdpovіdno, dopóki wskazówki nie będą większe niż te, rząd, scho, aby się rozproszyć, rozrywa się w rzędzie vihіdny.

trzeci znak

Spójrzmy na trzeci znak przerwy.

Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k i _ ∑ k = 1 ∞ b k są dodatnimi szeregami liczbowymi. Ponieważ umysł jest odwrotnie dla pierwszej liczby a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , to efektywność tego szeregu ∑ k = 1 ∞ b k oznacza, że ​​szereg ∑ k = 1 ∞ a k jest również podobny. Rząd liniowy ∑ k = 1 ∞ a k ciągnący za tobą rozbіzhnist ∑ k = 1 ∞ b k .

Znak d'Alembert

Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k jest szeregiem liczb ze znakiem dodatnim. Jak lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, to podzielmy to.

Notatka 1

Znak d'Alembert jest czasem sprawiedliwy, jakby między niekonsekwencją.

Jeżeli lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , to szereg є jest podobny, jeżeli lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ to jest podzielny.

Jeżeli lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, to znak d'Alemberta nie jest pomocny i konieczne jest przeprowadzenie dalszych badań.

tyłek 12

Co istotne, chi є rząd podobny lub inny ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k za znakiem d'Alemberta.

Trzeba przemyśleć, co jest potrzebne, aby zdobyć umysł. Obliczmy odległość, korzystając z reguły Lopitala: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 „2 k” = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ log 2 = 0

Możemy porozmawiać o tym, co wygrywają umysły. Używając znaku d'Alemberta: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Rząd є podobny.

tyłek 13

Co istotne, chi є rząd arbitralnie k = 1 ∞ k k k ! .

Używamy znaku d'Alemberta, aby znaleźć różnicę w szeregu: k + ∞ k + 1 k = 1 k + 1 (k + 1)! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e > 1

Otzhe, liczba є razbіzhnim.

Radykalny znak Kosh

Jest możliwe, że ∑ k = 1 ∞ a k jest szeregiem niedodatnim. Jak lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, to podzielmy to.

Uwaga 2

Jeśli lim k → + ∞ a k k = 1, to ten znak nie daje niezbędnych informacji - potrzeba dodatkowej analizy.

Znak Tsya może być buti vikoristan w tyłkach, yakі łatwo vyznachiti. Vipadok będzie charakterystyczny tylko wtedy, gdy członek serii liczbowej - tse pokazujący dostojny viraz.

Aby zamknąć informacje o otrimanie, spójrzmy na próbkę charakterystycznych przykładów.

tyłek 14

Co istotne, chi jest szeregiem dodatnim ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k na podobnych.

Wikonan musi szanować umysł, shards lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Patrząc na znak, patrząc przez oko, możemy założyć lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

tyłek 15

Szereg liczb jest zbieżny ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Znak Vikorista opisany w poprzednim akapicie lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integralny znak Koshi

Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k jest szeregiem dodatnim. Niezbędne jest wyznaczenie funkcji niestałego argumentu y = f(x), Co to jest a n = f (n) . Yakscho y = f(x) większe od zera, nie łamać i zmieniać na [a; + ∞) , gdzie a ≥ 1

Teraz czas, który nie jest jasny, całka ∫ a + ∞ f (x) d x є jest podobna, wtedy szereg, na który patrzymy, również jest zbieżny. Jeśli wina są rozdzielone, to w tyłku kilka z nich jest również rozdzielonych.

Podczas cofania zmienionej funkcji możesz przejrzeć materiał przejrzany w poprzednich lekcjach.

tyłek 16

Spójrz na zapas ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k dla wykonalności.

Mentalność szeregu jest respektowana przez vikonana, ponieważ lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Spójrzmy na y = 1 x ln x. Won jest większe od zera, nie przerywa i zmienia się na [2; +∞). Pierwsze dwa paragrafy są z góry ustalone, a trzeci następny to sprawozdanie. Wiemy lepiej: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Wygrał mniej za zero na [ 2 ; + ∞) Nie trzeba stawiać tezy o tych, że funkcja zanika.

Cóż, funkcja y = 1 x · ln x pokazuje znaki zasady, że widzieliśmy więcej. Przyspieszenie: ∫ 2 + ∞ dxx ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Vіdpovіdno, aż wyniki otrimanih, vyhіdny tyłek rozchodzą się, odłamki złej integracji є razbіzhnym.

tyłek 17

Rozszerz szereg ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Oskіlki lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, wtedy Umov jest szanowany przez vikonana.

Począwszy od k = 4 , virniy viraz 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Jeżeli szereg ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 będzie uważany za podobny, to zgodnie z jedną z zasad wyrównania szereg ∑ k = 4 ∞ 1 ( 10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 również będziesz zainteresowany wyjazdem. W tym rankingu możemy oznaczać, że obecny viraz jest również podobny.

Przejdź do udowodnienia ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Funkcja skali y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 większa od zera, nie łamać i zmieniać na [ 4 ; +∞). Znak Vikoristovuemo, opisany w pierwszym akapicie:

∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 ( ln 28) 2 = 1 10 ln 28 2

W krótszym szeregu, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , możemy znaleźć, że ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 ))) 3 również zbiegają się.

Oznaka Raabe

Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k jest serią liczb ze znakiem dodatnim.

Jak lim k → + ∞ k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, a następnie zbieżne.

Duńska metoda oznaczania może w tym przypadku być zwycięska, ponieważ opisana technika nie daje widocznych rezultatów.

Doslіdzhennya na absolutnym zbіzhnіst

Dla reszty bierzemy ∑ k = 1 ∞ b k. Dodatnia Vikorista ∑ k = 1 ∞ b k . Możemy vikoristovuvat be-yak z vіdpovіdnyh znak, yakі opisaliśmy więcej. Jeśli ciąg ∑ k = 1 ∞ b k przebiega, to szereg wyjściowy jest absolutnie podobny.

tyłek 18

Kontynuuj ciąg ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 w lewo ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2k-1.

Umovu vikonuetsya lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Vikoristovuєmo ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 i przyspiesza z innym znakiem: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Szereg ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 jest zbieżny. Zewnętrzny rząd jest również absolutnie podobny.

Razbіzhnіst znazmіnіh ryadі

Jeżeli szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest odmienny, to alternatywny znak szeregu przemiennego ∑ k = 1 ∞ b k jest albo odmienny, albo mentalnie podobny.

Zamiast znaku d'Alemberta i radykalnego znaku Cauchy'ego można uzupełnić kosmyki o ∑ k = 1 ∞ b k dla rozwinięcia modułów ∑ k = 1 ∞ b k . Szeregi ∑ k = 1 ∞ b k również są rozbieżne, tak że niezbędna mentalna wykonalność nie wygrywa, tak że lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

tyłek 19

Zmienność odwrotna 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

Moduł k-ty członek reprezentacji ak b k = k! 7 tys.

Kontynuuj serię ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k na linii za znakiem d'Alemberta: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k rozproszenie jak i, jak i opcja wyjścia.

tyłek 20

Chi є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) podobne.

Rzućmy okiem na niezbędną teorię Umova lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Umov nie jest Vikonanem, więc ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) jest szeregiem rozwinięć. Granica buła została naruszona zgodnie z regułą Lopitala.

Oznaki zdrowia psychicznego

Znak Leibnitza

Zatem wartości członków znaku następnej serii maleją b 1 > b 2 > b 3 > . . . >. . . і moduł wewnętrzny = 0 jako k → + ∞ , a następnie biegnie seria ∑ k = 1 ∞ b k.

tyłek 17

Spójrz na ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) dla możliwości.

Szereg reprezentacji jak ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1). Potrzeba umova lim k + ∞ = 2 k + 15 k (k + 1) = 0 . Spójrzmy na ∑ k = 1 ∞ 1 k za innym znakiem wyrównawczym lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Możliwe, że ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) są rozbieżne. Szeregi ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) zbiegają się po znaku Leibniza: ciąg 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 ( 2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1,. . . zmiany i lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Szereg umysłowo zbiega się.

Znak Abla-Dirichleta

∑ k = 1 + ∞ u k · v k znika w tym momencie, ponieważ ( u k ) nie rośnie, a ciąg ∑ k = 1 + ∞ v k jest ograniczony.

tyłek 17

Kontynuuj 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . dla wygody.

widoczny

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

de(u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Niestabilna, a sekwencja (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . z frędzlami (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Liczba zbieżności.

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

Wejście

numeryczny coche d'Alembert

Rozumienie niewyczerpanych sum było właściwie w umyśle starożytnej Grecji (Eudox, Euklides, Archimedes). Wiedza o niewyczerpanych sumach opierała się na magazynie tak zwanej metodzie szorowania, powszechnie zwycięskiej przez starożytnych Greków znających obszar postaci, obsyagіv tіl, dozhin lekko krzywy. Na przykład Archimedes do obliczania powierzchni odcinka parabolicznego (czyli figury otoczonej linią prostą i parabolą) zna sumę niewyczerpanego postępu geometrycznego ze standardową 1/4.

Szereg samodzielnych pojęć matematycznych zaczął wygrywać w XVII wieku. I. Wiersze Newtona i G. Leibniza zastosovuvali do rozwiązywania równań algebraicznych i różniczkowych. Teoria rzędów w XVIII-XIX wieku. opracowany w robotach Ya. ta I. Bernoulli, B. Taylor, K. Maclaurin, L. Euler, J. d'Alembert, J. Lagrange i inni. Teoria rzędów Suvory powstała w XIX wieku. na podstawie zrozumienia granic w praktykach K. Gaussa, B. Bolzano, O. Koshy, P. Dirichle, N. Abla, K. Weierstrassa, B. Rimany i in.

O aktualności badania tego problemu świadczy fakt, że podzielił matematyków, co pozwala na prawidłowe ustalenie wszechstronności z dokładnością wystarczającą do praktycznego zastosowania, nazywa się teorią szeregów. Navit jako rodzaj subtelnego rozumienia analizy matematycznej pojawił się jako spójna poza z teorii rzędów; Taki obóz jest uratowany i zaraźliwy. W takiej randze, є rzeczywista vichity rzędu liczb, їkh główne rozumienie i specyfika rzędu.

1. Historia winnicy

.1 Pierwsza zagadka i linia cyfr

Reguły arytmetyki dają nam możliwość wyznaczenia sumy dwóch, trzech, trzech lub więcej, niezależnie od ostatecznego zestawu liczb. A ile dodanków nie jest ograniczonych? Niech tse „neemensha” niewyraźność, tobto. daj mi znać liczbę dodankіv lіchilne.

Wiedza o niewyczerpanych sumach opierała się na magazynie tak zwanej metodzie szorowania, powszechnie zwycięskiej przez starożytnych Greków znając obszar postaci, obsyagіv tіl, dozhin cienko krzywy. Na przykład Archimedes do obliczania powierzchni odcinka parabolicznego (czyli figury otoczonej linią prostą i parabolą) zna sumę niewyczerpanego postępu geometrycznego ze standardową 1/4.

Mayzhe dwa i pół tysiąca lat temu grecki matematyk i astronom Evdoks Knidsky zastosovuvav metodą "vycherpuvannya" dotarł do obszaru obsyagiv. Idea tej metody polega na tym, że ciało, które jest wykonywane, rozkłada liczbę części, powierzchnię lub powierzchnię dowolnych, a następnie składa je razem . Ta metoda została opracowana przez Euclida i Archimedesa. Oczywiście w robotach starożytnych matematyków nie było tak dokładnego torowania metody. Do którego trzeba było przejść kolejne dwa tysiące lat ścieżki, na której były pęcherze krwi, przebaczenia i ciekawostki.

Oś, na przykład, jakby odzwierciedlała jednego teologa z klasy średniej w celu udowodnienia – ni mniej, ni więcej – fundamentu Boga Wszechmogącego.

Zapiszmy to w równych wartościach S jako niewyczerpaną sumę

S = 1010101010 ... (1)

„Zastąpienie prawej części bezstronności skórek zerem dla sumy 1+(-1)

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Pozostawiwszy sam pierwszy dodatek w prawej części (2), łączymy kolejny dodatek dla trzeciego, czwartego, piątego itd. za pomocą łuku. Todi

S = 1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) + ... = 1 +0 +0 + ... = 1. "

„Tak jak od podstaw można wziąć samotność na bazhanny, tak jest to dopuszczalne i przyzwolenie na tworzenie świata z niczego!”

Chi czeka na nas z takim mirkuvannyam? Oczywiście nie. Z punktu widzenia współczesnej matematyki ułaskawienie autora jest jasne w tym, że błędy są wypowiadane ze zrozumieniem, które nie jest mianowane (czyli to samo - „suma nieskończonej liczby dodatków” ) i próbować zmienić (otwarcie dziobu, przegrupowanie), zasadność ich nie była bula zagruntowana nim.

Najwięksi matematycy XVII i XVIII wieku - Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716), Brooke Taylor (1685-17) ), Colin Maclaurin (1698-1746), Joseph Louis Lagrange (1736- 1813). Leonard Euler (1707-1783) wyróżniał się wirtuozerskim mistrzostwem w radzeniu sobie z szeregami, często dostrzegając w swoich przyjęciach brak uziemienia zwycięzców. W setce robotów propozycje powtarzają się wielokrotnie dla ksztalt, takich jak: „Pokazaliśmy, że są to dwa niewyczerpane słowa równe, chcące i nie można było tego doprowadzić”. W zasterіgaє mathematicіv vіd vіd vykoristannya „wiersze scho rozchodzą się”, jeśli nie chcesz zaczynać dbіv vіd tsgogo, a tylko genialna intuicja chroni jogina przed nіrnih vysnovkіv; To prawda, „przebicie” jest uwięzione w nowym.

Na początku XIX wieku staje się jasna potrzeba starannego ugruntowania uprawnień „sum liczbowych”. W 1812 r. Karl Friedrich Gaus (1777-1865) dał pierwszy znak sukcesu serii, w 1821 r. nasz dobry przyjaciel Augustin Louis Cauchy (1789-1857) ustanowił podstawowe zasady współczesnej teorii szeregów.

.2 Dalsze skręcanie rzędów liczbowych. Czytanie wzoru na zrozumienie szeregu liczb

Sumowanie niewyczerpanych postępów geometrycznych ze znakiem mniejszym niż 1 zostało przeprowadzone już dawno temu (Archimedes). Wyróżnienie harmonicznego rzędu buli zostało ustanowione przez włoskiego naukowca Mengoli w 1650 roku. Wiersze schodkowe pojawiły się u Newtona (1665), biorąc pod uwagę, że rząd ułożony w stos może ujawniać funkcję. U urzędników XVIII wieku wśród hrabiów stale liczono szereg rang, ale nie zawsze przywiązywali szacunek do żywności o życiu. Dokładna teoria szeregów opiera się na pracach Gausa (1812), Bolzano (1817) i Nareshti, Koshy, na razie dano określić sumę szeregów, które powinny spaść, oraz główne twierdzenia zostały ustalone. 1821 Koshі publikuje „Kurs analizy w Królewskiej Szkole Politechnicznej”, który jest najbardziej znaczący dla rozwoju nowych pomysłów na rozwój analizy matematycznej w pierwszej połowie XIX wieku.

„Instrukcja nazwania niezmierzonej sekwencji kilkos

iść do jednego z pozostałych na prawo piosenki ... Chodź

є suma n-pierwszych wyrazów, gdzie n jest liczbą całkowitą. Zatem przy stałym wzroście wartości n suma nie zbliża się do granicy S, szereg nazywamy podobnym, a suma jest granicą rzędu. Navpaki, jakby przy nieokrojonym wzroście, suma nie zbliża się do tej samej pojedynczej granicy, rząd będzie rozbіzhny, a nie matka sumi ... ”[Z pierwszej części „Kursu analizy w politechnicznej szkole królewskiej” O Koszi (1821) ( nr 54 t. III, s. 114-116, przetłumaczone przez A.P. Juszkiewiczu}]

.3 Zadania mające na celu zrozumienie serii liczbowych i ti, w których zwyciężają wina

Dwunogi Akhiles nie mógł pomóc żółwiowi, jakby na kolbie żółw znajdował się z przodu nowego. To prawda, niech pochatkov vіdstan є i niech Achilles żyje czasami mądrzejszy dla żółwia. Jeśli Achilles przeszedł przez a, żółw przeszedł przez a/k, jeśli Achilles przeszedł przez odległość, żółw przeszedł przez a/ itd. shorazu mіzh zmagannyami vіdminna vіd zero vіdstan.

W tej aporii, zbrodni tej samej zaostrzonej niekonsekwencji, jest jeszcze jedna rzecz. Załóżmy, że o pewnej godzinie żółw Achilles nazdzhena. Zapiszmy ścieżkę Achillesa

droga żółwia ta

Do ścieżki skóry a/, którą mijał Ahiles, do ścieżki żółwia a/. Tak więc, do momentu dźwięku Achillesa, można przejść przez „style w” w ilości, jak żółw. Z drugiej strony, grzbiet skóry a/, mijany przez żółwia, można porównać yoma z wielkością grzbietu do ścieżki Achillesa. Ale, sche, Achilles jest winny probigti sche jeszcze jeden vіdrіzok dovzhini a, tobto. może iść jeszcze jeden vіdrіzkіv, żółw Nizh. Jak dużo wiatrów, mija się reszta, є b, to zabierzemy

„Strela”. „Strela”. Jeśli godzina i przestrzeń składają się z nieodpowiednich cząstek, to strzała do lotu jest niesforna, więc skóra zajmuje nieodpowiedni moment na godzinę, przyjmuje swoją pozycję, tobto. odpoczynek, a godzina to suma takich niestosownych chwil.

Ta aporia jest wyprostowana do nieprzerwanej wielkości - jak suma niewyczerpanej liczby niespójnych cząstek.

"Stadion". Niech pędzą przez stadion równoległymi prostymi liniami mas z równą szwedzką, ale w przeciwnych liniach prostych. Niech rząd oznacza masy niesforne, rząd – masy zapadające się w prawo, a rząd – masy zapadające się w lewo (ryc. 1). Spójrzmy teraz na masi. jak nieodpowiednie. O określonej godzinie minąć określoną część przestrzeni. Co prawda, jak niewłaściwy moment godziny, minęła więcej niż jedna niespójna część przestrzeni, wtedy niewłaściwy moment godziny byłby dilimo, tym mniej, wtedy można by podzielić niespójną część przestrzeni. Możemy teraz przyjrzeć się pośpiechowi nieodpowiedniego jednego na raz: w dwóch nieodpowiednich momentach i godzinie minęły dwie niespójne części, a jednocześnie minęły dwie niespójne części, tobto. zły moment pojawi się później.

Tej aporii można nadać nieco inny kształt. W ciągu tej samej godziny t punkt przepłynie połowę wiatru i cały wiatr. Ale skóra nie jest odpowiednia w tej chwili, godzina nie jest odpowiednia dla tej części przestrzeni, która może minąć w ciągu godziny. Ta sama liczba punktów jest „taka sama” w przeciwnym kierunku, a ta sama liczba punktów jest „taka sama” w tym, ponieważ pomiędzy punktami obu punktów można ustalić wzajemnie jednoznaczną widoczność. Tsim został ustanowiony taki vіdpovіdnіst między punktami vіdіrіzkіv raznoї dovzhina. O ile wiesz, że światowe gratki wychodzą jak suma nieodpowiednich wizyt, to wąsy są paradoksalne.

2. Seria liczbowa Zastosuvannya

.1 Spotkanie

Niech zostanie podany niezaszyfrowany ciąg liczbowy

Spotkanie 1.1. Instrukcja numeryczna Lub tylko zamówienie o nazwie viraz (sum) umysł

Liczby są nazywane członkowie pewnej liczby, - dziki lub n-ty niski członek.

Aby ustawić szereg (1.1), wystarczy ustawić funkcję argumentu naturalnego obliczania i-tego elementu szeregu po i-tej liczbie

3 elementy szeregu (1.1) można rozwiązać numerycznie sukcesja prywatna suma de - suma pierwszych członków serii, która nazywa się n-i prywatna suma, następnie.

…………………………….

…………………………….

Sekwencja liczbowa dla nieopisanego wzrostu liczby może być następująca:

) matki pogranicza;

) nie matkuj końca granicy (granica nie jest іsnuє ani dorіvnyuє neskіchennostі).

Spotkanie 1.2. Seria (1.1) nazywa się podobny jako ciąg sum prywatnych Yogo (1.5) może być końcem linii, tobto.

W jaki sposób wywoływany jest numer torba seria (1.1), która jest przypisana

Powołanie 1.3. Seria (1.1) nazywa się rozbіzhnym, w konsekwencji prywatnych sum Yogo nie ma ostatecznych granic.

Razbіzhny rząd nie jest przypisany do tego samego sumi.

W tym rankingu zadanie poznania sumy liczby rzeczy do zrobienia (1.1) jest równe obliczeniu między ciągami sum Jogo Chastkovy'ego.

.2 Główne potęgi szeregu liczbowego

Władze o sumę ostatniej liczby dodankiwów są kwestionowane przez władze z rzędu, tobto. suma nieograniczonej liczby dodanków. Tak więc w momencie ostatecznej liczby dodanków їx można je pogrupować w dowolnej kolejności, bez względu na to, jak bardzo suma się nie zmieni. Іsnuyut rzędy, które zbiegają się (mentalnie podobne), dla tych, którzy np. pokazali Romana Georga Friedricha Bernharda, zmieniając kolejność sukcesji swoich członków, możesz zwiększyć sumę rzędu liczby parzystej i utworzyć inny rząd.

Przykład 2.1.Przyjrzyjmy się kilku różnym poglądom

Grupując terminy jogi w pary, bierzemy podobną serię liczbową z sumy, która jest równa zero:

Z drugiej strony, grupując pierwszego członka w pary, zaczynając od drugiego członka, również bierzemy podobny rząd, ale też z worka, które są bardziej pojedyncze:

Liczby rzędów mogą być diakonami władzy, tak jakby pozwalały dzieciom pracować z nimi, jak z sumami końcowymi. Możesz więc pomnożyć je przez liczby, dodać je termin po terminie i zobaczyć. Mogą zjednoczyć się w grupie, niezależnie od tego, czy są magazynami, aby stać na straży.

Twierdzenie 2.1.(Niezbędne oznaki opłacalności są niskie).

Jeżeli szereg (1.1) jest zbieżny, to składnik zupełny jest równy zero dla nieograniczonego wzrostu n, to.

Dowód twierdzenia wynika z faktu, że i że

S jest sumą szeregu (1.1), wtedy

Umova (2.1) - konieczna, ale niewystarczająco mentalna dla sukcesu serii. Oznacza to, że jeśli ostatni wyraz szeregu osiągnie zero o godzinie, nie oznacza to, że szereg jest zbieżny. Na przykład w przypadku szeregu harmonicznego (1.2) wina są rozbieżne.

Konsekwencja(Wystarczający znak rozbіzhnostі niski).

Yakshcho zagalny członek jest niski, a nie pragne zero, w serii tsey do rozproszenia.

Moc 2.1. Podobieństwo lub rozbіzhnіst serii nie zmienia się, jakby w wystarczającej kolejności, aby usunąć z nowego, dodać do nowego, zmienić liczbę członków w nowym ostatnim (jeśli liczba członków zostanie zmieniona dla wiersz, możesz zmienić kwotę).

Dowód na to, że szereg (1.1) i jego nadmiar są zbieżne lub rozbieżne w tym samym czasie, jest jasny.

Moc 2.2. Podobny szereg można pomnożyć przez liczbę, aby szereg (1.1) był zbieżny, jeśli suma S i c jest liczbą, to

Dowód wymownych przemówień, że uczciwość jest sprawiedliwa

Moc 2.3. Podobne wiersze można złożyć termin po terminie i zobaczyć, tobto. jak rząd,

skupiać,

zbiegają się, że її sum dorivnyuє tobto.

Potwierdzenie jest oczywiste z uprawnień między ostatnimi sumami, tobto.

Znak wyrównania

Daj mi dwa pozytywne wiersze

i zmagać się ze wszystkimi umysłami n=1,2,…

Todі: 1) zі zbіzhnіstі rząd (3.2) nіd zbіzhnіstі rząd (3.1);

) od rozbieżności szeregu (3.1) kolejna zmienność szeregu (3.2).

dowód. 1. Niech wiersz (3.2) zbiegnie się, a suma Yogo będzie droższa B. Ciąg sum częściowych wiersza (3.1) jest niezmienną liczbą zwierząt, to znaczy.

Właśnie z mocy takich sekwencji może więc istnieć granica między nimi. szereg (3.1) jest zbieżny.

Niech szeregi (3.1) są rozbieżne. Tak więc, jeśli szereg (3.2) jest zbieżny, to z punktu 1 przywołanego powyżej szereg jest zbieżny, tak że nasze umysły mogą zostać zastąpione. Znowu serie (3.2) również są rozbieżne.

Tsya jest znakiem ręcznego zastosovuvat aż do powołania zbіzhnostі ryadіv, pіvnyuyuchі їх іz rzędów, zbіzhіnі yah vzhe vіdoma.

Znak d'Alembert

Todi: 1) dla q< 1 ряд (1.1) сходится;

) dla q > 1 szereg (1.1) rozbieżne;

) dla q = 1 nie można nic powiedzieć o opłacalności (1.1), wymagane są niezbędne dodatkowe badania.

Szacunek: Szereg (1.1) będzie rozbieżny w tym kierunku, jeśli

Znak Kosh

Niech elementy szeregu dodatniego (1.1) będą takie, że istnieje granica

Todi: 1) dla q< 1 ряд (1.1) сходится;

) dla q > 1 szereg (1.1) rozbieżne;

3) przy q = 1 rentowność jest niska (1,1), nic nie można powiedzieć, wymagana jest dodatkowa kontrola.

Znak integralny Cauchy - Maclaurin

Niech funkcja f(x) zostanie przerwana bez przerwy

Następnie szereg i całka niespójna zbiegają się i rozchodzą w tym samym czasie.

.3 Zadanie

W matematyce iw innych naukach rzędy liczbowe pozostają w stagnacji. Chciałbym przynieść gałązkę przykładów takiej vikoristannya.

Na przykład na doslіdzhennya mocy struktur ras Ulamkovy. Rzeczywiście, pojęcie „struktury” zostało znacznie rozszerzone, aby scharakteryzować ziemskie moce zbóż. Jednocześnie pojęcie „struktury” w petrografii nie pasuje do pojęcia „struktury” w krystalografii, geologii strukturalnej i innych naukach o mowie Budowa. W pozostałej części struktura jest bardziej czytelna dla faktury w petrografii i pokazuje sposób wypełnienia przestrzeni. Aby zaakceptować, że „struktura” jest łatwa do zrozumienia, należy wziąć pod uwagę takie struktury bez zmian: drugorzędowe i pierwotne struktury tekstury; krystaliczne, chemiczne, substytucyjne (różowe, cienka rekrystalizacja), struktury odkształceniowe, orientacja, struktury zbędne i inne. Dlatego te „struktury” nazywane są „strukturami hibniy”.

Struktura - całość bezosobowych elementów strukturalnych, która charakteryzuje się wielkością ziaren i yogo kіlkіsnimi spіvvіdnennymi.

Podczas przeprowadzania określonych klasyfikacji wywoływane są parametry liniowe ziarna z ciągu.

chociaż szacunki szerokości są określane za pomocą parametrów majdanowych (szerokości). Tsya sledovnіst mozhe znachnu dovzhina nie będę. Zacznij mówić tylko o zamianach parametrów, nazywając maksymalne (max) i minimalne (min) wartości wielkości ziarna.

Jedną z bezpośrednich reprezentacji P4 jest inna seria liczb, która zostanie przypisana jako wyższy ciąg i zamiast (?) zostanie wstawiony znak sumi (+). Kilka wszystkich sekwencji jest połączonych równymi elementami i złożeniem ich obszaru. Sekwencja Todi maєmo:

Viraz oznacza, że ​​obszar umiera, że ​​zajmuje wszystkie pererizi spokojnych ziaren i, ekspansję jakiegoś rodzaju drzew.

Ta specyfika ziaren umożliwia przeprowadzenie analizy numerycznej właściwości subtraktywnych. Po pierwsze, parametr może być użyty jako wartość osi współrzędnych i, takim rządem będzie rzeczywisty wykres S = f (l). W inny sposób ciąg (RSl) 1 można uszeregować, na przykład zmieniając współczynniki, w wyniku czego szereg

Sama seria nazywana jest strukturą danej resekcji rasy, a znaczenie tego pojęcia to „struktura”. Parametr є jest elementem konstrukcji, a parametr k= długością konstrukcji. Za słupkiem n = k. Taka manifestacja struktury pozwala na wyrównanie między sobą różnych struktur.

Tak więc Butusov Kirilo Pavlovich stworzył manifestację „rezonansu choroby bitwy”, na podstawie której sformułował „prawo okresów planetarnych”, po pewnym czasie planety tworzą serię liczbową Fibonacciego a Lucas i Doviv, że „prawo okresów planetarnych” Johanna Titziusa – po „rezonansie rytmu wiatru” (1977). Od razu, po wykazaniu „złotym szlifem”, że róże mają niskie inne parametry korpusów systemu Sonyach (1977). W związku z tą pracą stworzenie „złotej matematyki” – nowego systemu liczbowego, opartego na liczbie Fidiasza (1.6180339), jest bardziej adekwatne do zadań astronomii, biologii, architektury, estetyki, teorii muzyki itp.

Z historii astronomii jasno wynika, że ​​ja. Tycjusz, niemiecki astronom z XVIII wieku, za pomocą którego seria Fibonacciego zna prawidłowość tego porządku wśród planet systemu sony.

Jednak była jedna rzecz, która wydawała się bardzo jasna dla prawa: między Marsem a Jowiszem nie było żadnej planety. Czujność strażnika dla tsієyu dilyanka pіdnebіnnya doprowadziła do odkrycia pasa asteroid. Stało się to po śmierci Tycjusza na kolbie XIX wieku. Szereg zwycięzców Fibonacciego jest szeroko stosowanych: w tym celu, do reprezentowania architektury i żywych istot, zarodników stworzonych przez człowieka i życia galaktyk. Fakty - dowód na niezależność liczbowego ciągu umysłów, który pokażę, co jest jednym ze znaków tej uniwersalności.

Kryptografia to nauka o metodach matematycznych i zabezpieczeniu poufności (niemożność odczytania informacji przez osoby trzecie) oraz autentyczności (siła i poprawność autorstwa, a także niemożność autorstwa) informacji. Ważniejsze niż dzisiejsze systemy kryptograficzne są zwycięskie, albo strumieniowe, albo blokowe algorytmy oparte na różnych typach szyfrów zastępczych i permutacyjnych. Niestety praktycznie wszystkie algorytmy, które zwyciężają w streamingu kryptosystemów, zorientowanych na zwycięstwo w systemach militarnych i porządkowych, są ze sobą połączone, a w niektórych typach dla ochrony informacji o charakterze komercyjnym naturalna jest praca z tajemnicami i niedostępne do ich rozpoznania. Jedynymi standardowymi algorytmami szyfrowania strumienia są amerykański standard DES (tryby CFB i OFB) oraz rosyjski standard GOST 28147-89 (tryb gier). Kiedy algorytmy szyfrowania strumienia cimu, standardy yakі tsikh, sklasyfikowane.

Podstawą funkcjonowania kryptosystemów streamingowych są generatory sekwencji vipad lub pseudo-vipad. Rzućmy okiem na raport żywieniowy.

Sekwencje pseudo-fallenarne

Klucze tajne są podstawą przekształceń kryptograficznych, które zgodnie z zasadą Kerckhoffa bezpieczeństwo dobrego systemu szyfrowania uważa się za mniej niż tajność klucza. Jednak w praktyce tworzenie, rozpodіl, że klucze zberіgannya rzadko były składane technicznie, nawet drogie zavdannya. Główny problem klasycznej kryptografii od dawna dotyczy złożoności generowania niezbywalnych podwójnych sekwencji o dużej trwałości z wygenerowania krótkiego podwójnego klucza. W przypadku її vyshennya generatory dwóch pseudofioletowych sekwencji są szeroko uzasadnione. Obecny postęp w tworzeniu i analizie tych generatorów sięga ponad sześćdziesięciu lat w kolbach. Z tego powodu w ten sposób analizowane są zasady usuwania kluczy i generowania na ich podstawie starych sekwencji pseudogwałtownych, które zwyciężają systemy kryptograficzne w konwersji powiadomień na szyfrowanie.

Uzyskiwana programowo z klucza seria liczb vipadkovі chi pseudovipadkovі nazywana jest w żargonie państwowych kryptografów gamma, po imieniu y - litery alfabetu greckiego, które w zapisach matematycznych są oznaczone wartościami vipadkovі. Warto wspomnieć, że w książce „Obcy na moście”, napisanej przez prawnika odkrywcy Abla, mowa jest o określeniu gamma, które fahivtsy CIA określiły jako komentarz – „czy jest muzyczne prawo?”, Że pięćdziesiąt losów smród nie znał jogi sensu. Otrimannya, że ​​replikacja wykonania prawych pionowych rzędów jest niebezpieczna, składana i nad głową. Fizyczne modelowanie zachowań wibracyjnych za pomocą takich zjawisk fizycznych jak radioaktywne drgania wibracyjne, szum śrutowy w lampie elektronowej lub sondy tunelowe przewodnikowej diody Zenera nie dają prawidłowych procesów wibracyjnych. Chcąc zgubić się w oddali, zastosuvan przy generowaniu kluczy, na przykład w kryptograficznym rosyjskim aneksie KRYPTON. Dlatego zastąpienie procesów fizycznych do generowania programów dla EOM, mimo że nazywa się je generatorami liczb losowych, lub w rzeczywistości widzą liczby deterministyczne szeregu, są mniej prawdopodobne, że będą vipadkovy za ich dominację . W nich ważne jest, aby się uczyć, znając prawo formacji, ale nie znając klucza w patrzeniu na umysły kolb, nikt nie może zmienić serii liczb vipadkovy, nibi wygrywa odrzucenie rzutów idealnych kamiennych pędzli. Można sformułować trzy główne możliwości stabilnego kryptograficznie generatora sekwencji pseudoodwrotności:

Okres gami może być świetny do szyfrowania pamięci o różnych czasach.

Gamma może być znacznie przesadzony. Tse oznacza, że ​​jeśli masz typ generatora i kawałek gami, to nie można przenieść ataku po tym kawałku bitwy na lepsze x. Jeśli zostaniesz kryptoanalitykiem w domu, tak jakbyś był częścią gami, nadal nie możesz wymyślić, co zmienić lub pójść za nią.

Generuvannya gami nie jest winny, ale pov'yazane z wielkimi trudnościami technicznymi i organizacyjnymi.

Ciągi Fibonacciego

Generatory klasy Cicavi liczb vipadkovyh wielokrotnie przebijanych przez bogatą matematykę całej arytmetyki, stworzone przez George'a Marsalię i Arifa Zeimana. Generatory których bazują na najnowszych ciągach Fibonacciego. Klasyczny przykład takiego ciągu (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…). W przypadku wina z pierwszych dwóch її członków, skóra członka postępującego jest sumą dwóch z przodu. Jeśli weźmiesz pozostałą cyfrę numeru skóry w sekwencji, zobaczysz sekwencję liczb (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4 ...) , a następnie, vikoristovuyuchi tsey array, możesz utworzyć generator liczb Fibonacciego z zapiznnennyam, gdzie nie są dodawane susіdnі, ale dalekie liczby. Marsaliya i Zeiman zaproponowali wprowadzenie do schematu Fibonacciego „przeniesienia bitowego”, który może być matką pierwszego znaczenia 0 lub 1. zastosovuvanih nі spójnych generatorów. Za symbolicznym virazem Marsalii, generatorów tej klasy, widać, jak przytłumione są wibracje. „Bierzesz tysiąc bitów vipadkovennaya czterdzieści tysięcy bitów i generujesz długą sekwencję liczb vipadkovy”. Sam wielki okres nie jest jednak wystarczający intelektualnie. Słabości zgiełku są ważne, aby ujawnić, a analityka musi zastosovuvat majstrować przy analizie sekwencji, aby zobaczyć piosenki o regularności, jak przywiązanie do ogromnej liczby liczb.

Visnovki

Wiersze są szeroko stosowane w matematyce i dodawaniu її, badaniach teoretycznych, a także w przybliżaniu numerycznych rozwiązań problemów. Wiele liczb można zapisać jako specjalne wiersze, za pomocą których można ręcznie obliczyć ich przybliżone wartości z niezbędną dokładnością. Metoda leżenia w lawie jest skuteczną metodą skręcania funkcji. W zastosovyatsya do obliczania przybliżonych wartości funkcji, do obliczania i szacowania całek, do rozwiązywania różnych równości (algebraiczne, różniczkowe, całkowe).

Lista referencji

1. Shilov G.Y. Analiza matematyczna. Funkcje jednego węża. Rozdz. 1-2 - M: Nauka, 1969

Majkow E.V. Analiza matematyczna. Liczba rzędów / E.V. Majów. - 1999

.„Kurs analizy w Królewskiej Szkole Politechnicznej”

O. Koshi (1821) (nr 54 t. III, s. 114-116, przekład A.P. Juszkiewicz)

Historia matematyki z ostatnich godzin na kolbie XIX wieku (pod redakcją Juszkiewicza A.P., tom I)

Czytelnik z historii matematyki (część II) (pod redakcją Yushkevich A.P.)

Matematyka Vishcha: Kurs Zagalniy: Navch. - II gatunek, / A.I. Jabłońska, A.V. Kuzniecow, E.I. Shilkina ta w; Dla zag. wyd. SA Samala. - Mn: Wisz. szkoła, 2000r. - 351 s.

Markov L.M., Rozdumovich G.P. Matematyka Vishcha. Część 2. Podstawy analizy matematycznej i elementy równań różniczkowych. - Mińsk: Amalfeya, 2003. - 352 s.

8. Makarow wiceprezes Dostawa geologii teoretycznej. 7. Elementy teorii konstrukcji. / Aktualne problemy i trendy w nauce, transporcie, budownictwie i edukacji 2007. Odessa, Czarnomoria, 2007. V.19. s. 27 - 40.

9. Polovinkina Yu Ir. Struktury porów górskich. Skały magmowe; Część 2: Rasy oblężnicze; Część 3 Skały metamorficzne. - M: Derzgeolizdat, 1948.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

Nawchalno-metodyczna dyscyplina złożona „Matematyka”. Sekcja 10 „Wiersze”. Podstawy teoretyczne. Instrukcje metodyczne dla studentów. Materiały do ​​samodzielnej pracy studentów. - Ufa: Vydavnitstvo UDNTU, 2007. - 113 s.

13. http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14. Galuev G.A. Matematyczne podstawy kryptologii: Przewodnik podstawowy i metodologiczny. Taganrog: Widok TRTU 2003.-120 s.

Korepetycje

Potrzebujesz dodatkowej pomocy z pomocą tych, którzy są?

Nasi nauczyciele skonsultują się lub zapewnią korepetycje na tematy dla Ciebie.
Złożyć wniosek od osób wyznaczonych przez tych bezpośrednio od razu, aby dowiedzieć się o możliwości skorzystania z porady.