Pieraksts. Lineāra vektoru kombinācija a 1 , ..., a n

x 1 a 1 + ... + x n a n.

triviāls tātad visi koeficienti x 1 , ..., x n ir vienādi ar nulli.

Pieraksts. Tiek izsaukta lineāra kombinācija x 1 a 1 + ... + x n a n nav triviāls, Ja tikai viens no koeficientiem x 1, ..., x n nav vienāds ar nulli.

lineāri neatkarīgs, tāpēc nav nevienas netriviālas šo vektoru kombinācijas, kas būtu vienādas ar nulles vektoru .

Tātad vektori a 1 , ..., a n ir lineāri neatkarīgi, piemēram, x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 vai vairāk, ja x 1 = 0, ..., x n = 0.

Pieraksts. Tiek izsaukti vektori a 1 , ..., a n lineārā papuve yakscho іsnuє netriviāla tsikh vector_v do_vnyuє nulles vektora kombinācija.

Lineāro papuves vektoru dominēšana:

2 un 3 pasaules vektoriem.

Divi lineāri papuves vektori - kolineāri. (Kolіnearnі vektori - lineāri noguldījumi.) .

Trīs mierīgiem vektoriem.

Trīs lineāri papuves vektori – koplanāri. (Trīs koplanāri vektori — lineāras nogulsnes.)

• N-tajiem vektoriem.

  n + 1 lineāro nogulumu vektors.

Pielietojiet uzdevumu vektoru lineārajai neatkarībai un lineārajai neatkarībai:

1. piemērs. Apgriezti vektori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums:

Vektori būs lineāri atmatā, mērogošanas vektori būs mazāki vektoru skaitam.

2. piemērs. Apgrieztie vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums:

no pirmās rindas var redzēt citu; līdz trešajai rindai dodamo citu:

Šis risinājums parāda, ka sistēma var izveidot bezpersonisku risinājumu tā, ka tai ir skaitļu x 1 , x 2 x 3 vērtību kombinācija, kas nav nulle tā, ka vektoru a , b , c lineāra kombinācija ir vienāda ar nulles vektors, piemēram:

A + b + c = 0

a tse nozīmē vektori a, b, c ir lineāras nogulsnes.

Ieteikums: vektori a, b, c ir lineāri atmatā.

3. piemērs. Apgrieztie vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums: Mēs zinām koeficientu vērtību jebkurai šo vektoru lineārai kombinācijai nulles vektorā.

Tse vektora izlīdzināšanu var ierakstīt lineāro izlīdzinājumu vizuālajā sistēmā

Mēs pārbaudām vikoristu sistēmu, izmantojot Gausa metodi

no citas rindas var redzēt pirmo; no trešās rindas mēs varam redzēt pirmo:

no pirmās rindas var redzēt citu; līdz trešajai rindai dodamo citu.

Vektoru sistēmu sauc lineārā papuve, lai tiktu izmantoti tādi skaitļi, no kuriem vidus, ja grib redzēt nulli, kas izlīdzinās https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" >.

Kā vienlīdzība var uzvarēt tikai tādā gadījumā, ja viss, tad sauc vektoru sistēmu lineāri neatkarīgs.

Teorēma. Vektoru sistēma būs lineārā papuve jebkurā gadījumā, ja vēlaties vienu no її vektoriem citu lineārā kombinācijā.

piemērs 1. Bagāts biedrs є bagātīgu segmentu lineāra kombinācija. Bagātināti termini veido lineāri neatkarīgu sistēmu, tāpēc līdzīgi kā bagātināts termins https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

dibens 2. Matricas sistēma , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> tādā veidā, ja https://pandia.ru/text /78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21"> /images/image022_26.gif" width="40" height=" 21"> lineāra papuve.

Risinājums.

Mēs glabājam šo vektoru lineāru kombināciju https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" 22">.

Ja vienādiem vektoriem ir vienādas koordinātas, mēs ņemam platumu = "289" height="69">

Atlikums

і

Sistēma var būt viens triviāls risinājums, tāpēc šo vektoru lineārā kombinācija, visticamāk, būs nulle, ja visi koeficienti ir vienādi ar nulli. Tāpēc vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

4. piemērs. Vektori ir lineāri neatkarīgi. Kādas būs vektoru sistēmas

a).;

b).?

Risinājums.

a). Mēs pievienojam lineāru kombināciju un pielīdzinām to nullei

Vykoristovuyuchi operāciju jaudu ar vektoriem lineārajā telpā, mēs pārrakstīsim atlikušo vizuālā ekvivalenci

Tā kā vektori ir lineāri neatkarīgi, tad vainas koeficienti ir vienādi ar nulli, tātad .

Otrimana sistēma ir vienāda, ir tikai viens triviāls risinājums .

Oskіlki rivnіst (*) vikonuetsya tikai pie lineāra neatkarīga;

b). Vienādību glabāšana https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" (**)

Zastosovuyuchi analogs mirkuvannya, otrimaєmo

Virishyuchi izlīdzināšanas sistēma ar Gaus metodi, tas ir nepieciešams

vai

Pārējā sistēma ir bezpersonisks risinājums https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. greizsirdība uzvar (**) . Tēvs, vektoru sistēma - Lineārā papuve.

dibens 5 Vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, un vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. gif (***)

Pie greizsirdības (***) . Patiešām, sistēma bija lineāri atmatā.

Zі spіvidnoshennia (***) pieņemams vai Ievērojami .

Atņemt

Uzdevums neatkarīgam redzējumam (auditorijā)

1. Sistēma, kas atriebj nulles vektoru, ir lineāri atmatā.

2. Sistēma, kas sastāv no viena vektora a, lineāri atmatā pat un mazāk, ja, a=0.

3. Sistēma, kas sastāv no diviem vektoriem, ir lineāri atmatā pat un tikai tad, ja vektori ir proporcionāli (tātad viens no tiem iznāk no mazākās reizināšanas ar skaitli).

4. Ja pievienosiet vektoru lineārās papuves sistēmai, jūs redzēsit lineāro atmatiņu sistēmu.

5. Kā no lineāri neatkarīgas sistēmas var redzēt vektoru, vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

6. Yakscho sistēma S lineāri neatkarīgs, bet, pievienojot vektoru, kļūst lineāri papuvē b, tad vektors b lineāri izliecas cauri sistēmas vektoriem S.

c). Matricu sistēmai ir atšķirīga matricu secība.

10. Ļaujiet vektoru sistēmai a,b,c Vektoru telpa ir lineāri neatkarīga. Lai panāktu uzbrūkošo vektoru sistēmu lineāro neatkarību:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– pietiekami daudz

c).a+b, a+c, b+c.

11. Aiziet a,b,c- trīs vektori uz dzīvokļa, starp tiem var salocīt trikotniku. Vai cji vektori būs lineāri atmatā?

12. Doti divi vektori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Izvēlieties vēl divus chotirivimir vektorus a3 una4 tātad, shob sistēma a1,a2,a3,a4 bula lineāri neatkarīga .

Vektoru lineārā neatkarība un lineārā neatkarība.
Vektoru bāzes. Atēnu koordinātu sistēma

Auditorijā ir daudz šokolādes, un šodien uz ādas acs tiks noņemts pāris lakricas - analītiskā ģeometrija ar lineāro algebru. Pie šī raksta tiks iznīcinātas divas augstākās matemātikas nodaļas, un mēs brīnāmies, kā smirdoņa pierod pie vienas apdegušas vietas. Paņem pauzi, s'zh "Tviks"! ... mazā, nu super mazā meitenīte. Ja gribu, vārtus negūšu, atvainojos, treniņam var būt pozitīvs noskaņojums.

Lineārā vektoru atmatā, vektoru lineārā neatkarība, vektora bāzešis termins var būt ne tikai ģeometriska interpretācija, bet, pirmkārt, algebriska nozīme. Pati izpratne par "vektoru" no lineārās algebras viedokļa nebūt nav tāda pati kā "pārākajam" vektoram, ko mēs varam attēlot plaknē vai telpā. Pierādījumam nav tālu jāiet, mēģiniet uzzīmēt piecu pasauļu telpas vektoru. . Abo tikai pagaidiet, dažiem es devos uz Gіsmeteo: - temperatūra un atmosfēras spiediens ir labs. Muca, protams, nav pareiza no vektortelpas autoritātes viedokļa, taču nekas neliedz formalizēt datus pēc parametriem un vektora. Rudens elpa.

Sveiki, es nemēģināšu jūs kārdināt ar teoriju, lineārām vektortelpām, problēma ir tāda, ka saprastšīs teorēmas definīcija. Jauni termini (lineārais depozīts, neatkarība, lineāra kombinācija, bāze u.c.) ir īpašības vārdi visiem vektoriem no algebras viedokļa, bet pielietojums tiks dots ģeometriski. Šajā rangā viss ir vienkāršs, tas ir pieejams no pirmā acu uzmetiena. Krіm zavdan analītiskā ģeometrija tiek uzskatīta par tipisku algebras uzdevumu. Lai apgūtu materiālu, ir jāmācās no nodarbībām Vektori tējkannāmі Kā skaitīt?

Lineāra papuve un vektora neatkarība plaknē.
Platības bāze un afinitātes koordinātu sistēma

Apskatīsim datorgalda laukumu (tikai galds, naktsgaldiņi, paliktņi, stelles, kas jums ir piemērots). Uzdevumi ir vairāk cieņā pret šādām darbībām:

1) Izvēlieties apgabala bāzi. Aptuveni kazhuchi, stіlnitsa maє dovzhina і platums, intuitīvi tika saprasts, ka pamata stimulēšanai ir nepieciešami divi vektori. Ar vienu vektoru acīmredzami nepietiek, trīs vektori ir zayva.

2) Pamatojoties uz izvēlēto pamatu iestatīt koordinātu sistēmu(koordinātu režģis), lai piešķirtu koordinātas visiem objektiem, kas atrodas tabulā.

Nebrīnieties, ka pirmais skaidrojums būs uz pirkstiem. Līdz tam jūsu ziņā. Esi laipns, piedod izteiksmīgs kreisās rokas pirksts līdz stila malai tā ka brīnījos par monitoru. Tse būs vektors. Tagad vieta labās rokas mazais pirksts uz galda malas tāpat vien - schob buv taisnošana uz monitora ekrāna. Tse būs vektors. Pasmaidi, tu izskaties lieliski! Ko jūs varat teikt par vektoriem? Datu vektori kolіnearni, kas nozīmē lineāri pagriezt vienu pret vienu:
, labi, abo navpaki: , de - deake numurs, vіdmіnne vіd nulle.

Kuras darbības attēlu var apskatīt nodarbībā Vektori tējkannām De Es izskaidroju vektora reizināšanas ar skaitli likumu.

Či vai pirksti noliks pamatu uz datora galda virsmas? Skaidrs, ka nē. Kolіnearnі vektori un cenu pieaugums šur un tur vienatnē taisni uz priekšu, un apgabals var būt garāks un plašāks.

Tādus vektorus sauc lineārā papuve.

Secinājums: Vārdi "lineārs", "lineārs" nozīmē tās lietas, kurām matemātiski ir vienādas, nav kvadrātu, kubu, citu soļu, logaritmu, sinusu. Є tіlki linіynі (1. posms) pret papuvi.

Divi vektori un dzīvokļi lineārie noguldījumi tad un tikai tad, ja smaka ir kolineāra.

Sakrustiet pirkstus uz galda, lai starp tiem jūs būtu kā Krimas griezums par 0 vai 180 grādiem. Divi vektori un dzīvokļilineāri nē papuve tajā un tikai tajā rudenī, it kā smirdoņa nebūtu kolineāra. Oche, pamats ir atņemts. Nav jāuztraucas par to, ka skatu pamats tiek "pļauts" ar dažāda garuma neperpendikulāriem vektoriem. Man nav nekas neparasts, ka jogai piedēklis ir ne tikai 90 grādu leņķis, bet ne tikai viens, vienāds ar veco vektoru.

Be-jaky plakans vektors viens rangs paplašināts saskaņā ar pamatu:
, De - dіysnі skaitļi. Zvanīt uz numuriem vektora koordinātas uz kāda pamata.

Tātad šķiet, ka vektorspriekšnesumi skatē lineāra kombinācija bāzes vektori. Tobto viraz sauc vektoru izkārtojumspamata vai lineāra kombinācija bāzes vektori.

Piemēram, var teikt, ka izplešanās vektors uz plaknes ortonormālās bāzes, vai var teikt, ka vizuāli lineāras vektoru kombinācijas attēlojums.

Formulējiet piešķiršana bāzei formāli: Teritorijas pamats sauc lineāri neatkarīgu (nekolineāru) vektoru pāri, , pie kura būt kā Plaknes vektors ir lineāra pamata vektoru kombinācija.

Pats iecelšanas brīdis ir fakts, ka tiek ņemti vektori dziesmu secībā. Basisi - ir divas absolūti atšķirīgas bāzes! Kā izskatās, kreisās rokas mazo pirkstiņu nevar pārvietot uz labās rokas mazo pirkstiņu.

Mēs esam izstrādājuši bāzi, taču ar to joprojām nepietiek, lai iestatītu koordinātu režģi un piešķirtu koordinātas jūsu datora tabulas ādas objektam. Kāpēc tu palaidi garām? Vektori ir brīvi un izplūduši visā plaknē. Tad kā piesaistīt koordinātas šiem mazajiem klejošanas punktiem uz galda, kas pazuda pēc trakulīgās nedēļas nogales? Mums ir vajadzīgas vadlīnijas. І šāds orientieris ir visiem zināms punkts - koordinātu vālīte. To izvēlas no koordinātu sistēmas:

Sāciet darbu ar "skolas" sistēmu. Jau iepazīšanās nodarbībā Vektori tējkannām Es redzēju atpazīšanas aktus starp taisnstūra koordinātu sistēmu un ortonormālo bāzi. Ass standarta attēls:

Runājot par taisnstūra koordinātu sistēma, tad visbiežāk izmanto koordinātu vālīti, koordinātu asi un skalu gar asīm. Mēģiniet ievadīt meklēšanas sistēmā "taisnstūra koordinātu sistēma", un jūs pateiksiet, ka jums daudz pastāstīs par koordinātu ass 5.-6.klases zināšanām un par to, kā novietot punktus plaknē.

No otras puses, pastāv ietekme, ka taisnstūra koordinātu sistēmu var noteikt kopumā, izmantojot ortonormālo bāzi. І tse mayzhe tā. Formula izklausās šādi:

koordinātu vālīte, і ortonormalizācija noteikt pamatu Plaknes Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma . Tā ir taisnstūra koordinātu sistēma noteikti ir attēloti ar vienu punktu un diviem atsevišķiem ortogonāliem vektoriem. Tieši tā paša iemesla dēļ jums ir nepieciešami krēsli, kā es jums esmu ieaudzinājusi - ģeometriskajos uzdevumos bieži (bet ne vienmēr) viņi krāso gan vektorus, gan koordinātu asis.

Es domāju, ka visi to saprata par papildu punktu (koordinātu vālīti), kas ir ortonormāls pret pamatu ESI APRAKSTS PUNKTS UN ESI PLATĪBAS VEKTORS jūs varat piešķirt koordinātas. Tēlaini, acīmredzot, "visu var numurēt uz virsmas".

Vai koordinātu vektori var būt atsevišķi? Nі, smirdēt var māte dovіlnu non-nulle dovzhina. Apskatīsim punktu un divus ortogonālos vektorus un vērtības, kas ir diezgan atšķirīgas no nulles:

Tādu pamatu sauc ortogonāls. Koordinātu vāle ar vektoriem nosaka koordinātu režģi un vai tas būtu plaknes punkts, vai tas būtu vektors, lai šajā bāzē ierakstītu koordinātas. Piemēram, vai. Acīmredzama nepiemērotība faktā, ka koordinātu vektori kalna galā sērot dažādas dzīves, vіdminnі vіd odinitsі. Tiklīdz vientulība ir vienāda, tad iznāk primārais ortonormālais pamats.

! Piezīme : ortogonālajā bāzē un arī zemāk Atēnu bāzēs tiek ņemtas vērā plaknes un viena atstarpe gar asīm UMOVIMI. Piemēram, vienā vienībā pa abscisu asi ir 4 cm, vienā vienībā pa ordinātu asi 2 cm.

Un cita barība, uz jaka, tas patiešām ir pierādījums - kāds obov'yazykovo kut starp bāzes vektoriem var sasniegt 90 grādus? Sveiki! Kā apstiprināt tikšanos, pamata vektori un nodevas mazāk nekā kolineārs. Vіdpovidno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 un 180 grādi.

Plaknes punkts, kā to sauc koordinātu vālīte, і nekolineārs vektori, , komplekts plaknes afīna koordinātu sistēma :

Citiem vārdiem sakot, šādu koordinātu sistēmu sauc pīts sistēma. Kā piemērot punktus un vektorus uz atzveltnes krēsla attēla:

Kā jūs zināt, Atēnu koordinātu sistēma nav tik vienkārša, viņi neizmanto formulas vektoriem un vdrіzkiv, kā mēs apskatījām otru stundas daļu. Vektori tējkannām, bagātīgi pikantas formulas, pov'yazanі z vektoru skalārā izveide. Tad ir godīgi noteikumi vektora locīšanai un vektora reizināšanai ar skaitli, formulas sadalīšanai noteiktā izteiksmē un arī uzdevumu veidu deaking, kurus mēs varam viegli apskatīt.

Un visnovok ir tāds, ka ar to visērtāk var nosaukt Atēnu koordinātu sistēmas punktu - Dekarta taisnstūra sistēmu. Uz to її, es labprātāk, visbiežāk un tiktu atvests uz bachīti. ... Tikmēr šajā dzīvē viss ir skaidrs - maz ir situācijas, kurās pati upe ir šķība (citādi piem. polārais) koordinātu sistēma. Tie humanoīdi var izbaudīt šādas sistēmas =)

Pārejam uz praktisko daļu. Usі zavdannya šī nodarbība ir tāpat kā taisnleņķa koordinātu sistēma, tāpēc zagalnogo Atēnu vpadku. Nav nekā saliekama, viss materiāls ir pieejams skolēnam.

Kā definēt vektora kolinearitāti plaknē?

Tipiska upe. Lai būtu divi vektori un laukumi jābūt kolineāriem, nepieciešamiem un pietiekamiem, lai to atbilstošās koordinātas būtu proporcionālas. Faktiski šī ir acīmredzamā spivvіdnoshenya koordinātu detalizēta informācija.

dibens 1

a) Reversie, chi kolineārie vektori .
b) Chi nosaka vektora pamatu ?

Risinājums:
a) Kāpēc, kas ir derīgs vektoriem proporcionalitātes koeficients, lai vienādības uzvarētu:

Obov'yazkovo rozpovіm par "pіzhonskiy" variantu zastosuvannya tsgogo noteikumiem, kas cirkulē praksē. Ideja slēpjas apstāklī, ka jūs uzreiz saskaitīsit proporciju un prātosiet, vai jums būs taisnība:

Saskaitīsim vektoru doto koordinātu proporciju:

drīzumā:
, šajā secībā atbilstošās koordinātas ir proporcionālas,

Iestatījumu var salocīt un nolocīt, vērtīga iespēja:

Lai veiktu pašpārbaudi, varat izvēlēties tos, kas ir kolineāri vektori, un lineāri izliekt vienu caur vienu. Šajā skatījumā pastāv līdzvērtības vieta . Jūsu godīgums ir viegli perveryaetsya, izmantojot elementārus dalījumus ar vektoriem:

b) Divi vektori un plaknes veido pamatu, tāpēc tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Doslіdzhuєmo uz kolіnearnіst vektori . Izveidosim sistēmu:

No pirmā vienlīdzīgā tu kliedz, scho, no otra līdzvērtīgā tu kliedz, ak, sistēma ir ārprātīga(Risinājuma nav). Tādā veidā atbilstošās vektoru koordinātas nav proporcionālas.

Višnovoka: vektori un lineāri neatkarīgi un apmierina bāzi

Risinājuma vienkāršotā versija izskatās šādi:

Saskaitām vektoru doto koordinātu proporciju :
Arī šie vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Izsauciet šo opciju, lai noraidītu recenzentus, bet vainotu problēmu punktos, ja koordinātas ir vienādas ar nulli. ass, piemēram, šī: . Abo kā šis: . Abo kā šis: . Kā es varu strādāt šeit, izmantojot proporcijas? (Tiešām, jūs nevarat dalīt ar nulli). Tā paša iemesla dēļ es nosaucu vienkāršāku risinājumu “pizhonsky”.

Ieteikums: a), b) apstiprina.

Neliels radošs piemērs neatkarīgam redzējumam:

dibens 2

Jebkurai vektora parametra vērtībai būs kolineārs?

Risinājumam parametrs tiek atrasts, izmantojot proporciju.

Mēs izmantojam vektoru kolinearitātes atkārtotas verifikācijas algebras metodi.

Diviem vektoriem līdzvērtīgas cietības apgabalā:

2) vektori un izveidot bāzi;
3) vektori nav kolineāri;

+ 5) oscilators, salokas no šo vektoru koordinātām, vіdminny vіd nulle.

Vidpovidno, ekvivalenta pēdas izstieptā cietība:
1) vektoru un lineārās nogulsnes;
2) vektori neapmierina bāzi;
3) vektori un kolineāri;
4) vektorus var lineāri apgriezt viens pret vienu;
+ 5) vektors, locīšana no šo vektoru koordinātām, kas noved pie nulles.

Arvien vairāk pārliecinos, ka šajā brīdī tu jau esi sapratis visus apgūtos terminus un apgalvojumus.

Apskatīsim jaunā ziņojuma piekto rindkopu: divi vektori un laukumi kolіnearnі thodі і tіlki tіlki tоdі, ja vyznachnik, salokas no šo vector_v koordinātām, do_vnyuє nulle:. Par zastosuvannya tsієї zīmēm, acīmredzot, tas ir jāatceras pazīstu vizionārus.

Virishima 1. piemērs citā veidā:

a) Ciparu skaita, saskaitījumu aprēķināšana no vektoru koordinātām :
, arī q vektori un kolineāri.

b) Divi vektori un plaknes veido pamatu, tāpēc tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Aprēķinot locījumu skaitu no vektoru koordinātām :
Arī vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Ieteikums: a), b) apstiprina.

Izskatās ievērojami kompaktāks un pievilcīgāks, zemāka izšķirtspēja ar proporcijām.

Ar pārbaudītā materiāla palīdzību ir iespējams noteikt vektoru kolinearitāti, kā arī panākt vdrіzkіv, taisnu līniju paralēlismu. Apskatīsim pāris uzdevumus no konkrētām ģeometriskām formām.

dibens 3

Ņemot vērā chotirikutnik topi. Ņemiet vērā, ka chotirikutnik ir paralelograms.

pierādījums: Atzveltnes krēsls uzdevumā nebūs vajadzīgs, risinājuma šķembas būs tīri analītiskas
paralelograms sauc chotirikutnik, kuram ir pretējās malas pa pāriem paralēli.

Šādā secībā līdzi jāņem:
1) pretējo malu paralēlisms;
2) pretējo malu paralēlisms.

Mēs atvedām:

1) Mēs zinām vektorus:

2) Mēs zinām vektorus:

Viišovs ir tas pats vektors (“saskaņā ar skolu” - vienādi vektori). Kolіnearnіst jau ir skaidrs, bet labāk sakārtot risinājumu pareizi, ar sakārtojumu. Aprēķināsim papildinājumu skaitu no vektoru koordinātām:
, Otzhe, doti vektori un kolineāri, t.i.

Višnovoka: Protilezhnі malas chotirikutnik pa pāriem paralēli, otzhe, vіn є paralelograms apzīmējumiem Kas bija vajadzīgs, lai atnestu.

Vairāk labu figūru:

dibens 4

Ņemot vērā chotirikutnik topi. Lai atnestu, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Lai iegūtu suvorish formulu, pierādiet to skaistāk, krāšņāk, uzzīmējiet trapeces apzīmējumu un vienkārši aizpildiet to un vienkārši uzminējiet, it kā skatītos.

Tse zavdannya neatkarīgs risinājums. Ārējais risinājums kā mācība.

Un tagad ir pienācis laiks lēnām pāriet no dzīvokļa uz brīvdabu:

Kā noteikt vektora kolinearitāti telpā?

Noteikums ir līdzīgs. Lai divi vektori uz telpu būtu kolineāri, ir nepieciešams un pietiekami, lai to attiecīgās koordinātas būtu proporcionālas.

dibens 5

Z'yasuvati, chi kolіnearnі virzīs vektorus un telpu:

a);
b)
iekšā)

Risinājums:
a) Atgriezeniski, chi ir proporcionalitātes koeficients dažādām vektoru koordinātām:

Sistēmu nevar atrisināt, tāpēc vektori nav kolineāri.

"Sproschenka" tiek izgatavota ar atkārtotu proporciju. Šajā skatā:
– relatīvās koordinātas nav proporcionālas, tāpēc vektori nav kolineāri.

Ieteikums: vektori nav kolineāri.

b-c) Tie ir neatkarīga lēmuma punkti. Mēģiniet izrotāt jogu divos veidos.

Izmantojiet kosmosa vektoru atkārtotas pārbaudes metodi kolinearitātei, izmantojot trešās kārtas mainīgo Vektors vitvir vector_v.

Līdzīgi kā plakanā vapāde, instrumenta skatienu var fiksēt, lai saglabātu atvērto telpu un taisnu līniju paralēlismu.

Lūdzam jūs uz citu nodaļu:

Lineāra novecošanās un neatkarība ir vektori trivimērā telpā.
Plaša bāze un afinitātes koordinātu sistēma

Daudzi likumi, kā mēs redzējām laukumā, būs godīgi un plaši. Es mēģināju samazināt teorijas konspektu, informācijas kreisās daļas gabali jau ir atšifrēti. Tims nav mazāks, iesaku ar cieņu izlasīt ievaddaļu, skaidiņas ir jauni termini un saprast.

Tagad datora galda laukuma nomaiņa tiek paplašināta līdz trīsdimensiju telpai. Veidosim jogas pamatu. Kas zina uzreiz mājā, kurš ir ielās, bet tajā pašā laikā mēs nevaram doties nekur trīs pasaulēs: platumā, garumā un augstumā. Tāpēc, lai ierosinātu bāzi, ir nepieciešami trīs telpas vektori. Ar vienu vai diviem vektoriem nepietiek, ceturtdaļas ir zayvi.

Es atkal esmu rozminaєmos uz pirkstiem. Esiet laipns, paceliet roku kalnā un atveriet sānus lielisks, iespaidīgs un vidējais pirksts. Tse būs vektori, smaka brīnīsies uz dažādām pusēm, apraudās dažādas dožinas un apraudās dažādus kuti savā starpā. Vitayu, trivimira plašuma pamats ir gatavs! Pirms runas nevajag demonstrēt tādus vikladačus, piemēram, nesagriež pirkstus, bet nekur nevar aiziet =)

Ieliksim svarīgu maltīti, būt kā trīs vektori un apmierināt trivi-pasaulīgās telpas pamatu? Esiet laipns, cieši piespiediet trīs pirkstus pie datora galda. Kas notika? Trīs vektori klejoja vienā plaknē, un, acīmredzot, mums ir viena vimiriv zīme - augstums. Tādi vektori koplanārs Un, acīmredzot, nevar izveidot trivum līdzīgu telpu pamatam.

Jāņem vērā, ka koplanārie vektori un nekas nepareizs atrodas vienā plaknē, tie var atrasties paralēlās plaknēs (tikai mēģiniet strādāt ar pirkstiem, lai Salvadors Dalī tintos mazāk =)).

Pieraksts: vektori ir nosaukti koplanārs kā īsts dzīvoklis, kā paralēls smirdēt. Šeit ir loģiski piebilst, ka ja tāda laukuma nav, tad vektori nebūs koplanāri.

Trīs koplanāri vektori un lineāri nogulumi tobto lineāri vrazhayutsya viens līdz vienam. Vienkāršības labad atkal ievērošu, ka smirdoņa slēpjas vienā dzīvoklī. Pirmkārt, vektori, un ne tikai tas, ka tie ir koplanāri, tie var būt vairāk kolineāri, pat ja vektoru var redzēt caur vektoru. Citā veidā, piemēram, vektori nav kolineāri, tad trešais vektors griežas caur tiem vienā secībā: (un kāpēc to ir viegli uzminēt iepriekšējās nodaļas materiāliem).

Godīga ir apgalvojuma atgriešanās: trīs nekoplanāri vektori un lineāri neatkarīgi vektori, tobto jau n_yak nav vrazhayutsya viens caur vienu. Es, protams, esmu mazāks par šādiem vektoriem un varu apmierināt triviāla plašuma pamatu.

Pieraksts: Pamats trivimirnogo plašums ko sauc par lineāri neatkarīgu (ne-kopplanāru) vektoru trio, ņemts no dziedāšanas kārtas jebkurā laikā, vai tas būtu atklātas telpas vektors viens rangs izkliedēts pa noteiktu bāzi, vektora koordinātas noteiktā bāzē

Uzminot, var arī teikt, ka reprezentāciju vektors lineāra kombinācija bāzes vektori.

Koordinātu sistēmas jēdziens tiek ieviests tādā pašā veidā, tāpat kā plakanam slīpumam, pietiek ar vienu punktu un trim lineāri neatkarīgiem vektoriem:

koordinātu vālīte, і ne-kopplanārs vektori, ņemts no dziedāšanas kārtas, komplekts affinnu trivi-pasaules telpas koordinātu sistēma :

Acīmredzot “pinuma” koordinātu režģis nav īpaši efektīvs, taču uzvedne ļauj mums noteikti apzīmē jebkura vektora koordinātas, kuras ir jebkura telpas punkta koordinātas. Līdzīgi kā plaknē, Atēnu koordinātu sistēmā nekā plašums ir jānoskaidro, izstrādājot formulas, par kurām es jau nojautu.

Primārākais un ērtākais afinitātes koordinātu sistēmas termins є taisnstūra koordinātu sistēma:

Norādiet uz telpu, kā to sauc koordinātu vālīte, і ortonormalizācija noteikt pamatu Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma . Ziniet attēlu:

Pirms tam, kā pāriet pie praktiskiem uzdevumiem, informāciju vēlreiz sistematizēju:

Trīs vektoriem telpā, kas ir vienāda ar tādu pašu stingrību:
1) vektori ir lineāri neatkarīgi;
2) vektori un izveidot bāzi;
3) vektori nav koplanāri;
4) vektorus nevar savienot lineāri viens pret vienu;
5) šķīrējtiesnesis, locīšana no šo vektoru koordinātām, virzot nulli.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, guess, zrozumіlі.

Lineārais vektora kritums/neatkarība telpā tradicionāli tiek pārskatīta, lai palīdzētu ieceltajam (5. punkts). Praktiskiem uzdevumiem, kas ir izlaisti, nepārprotami ir algebrisks raksturs. Ir pienācis laiks piekārt ziediem ģeometrisko atslēgu un vadīt lineārās algebras beisbola nūju:

Trīs vektoru atvērtā telpa complanarnі thodі і tіlki tіlki tіlі, ja vyznachnik, salocītas koordinātes danih vektor_v, do_vnyuє nulle : .

Respektēju nelielu tehnisku niansi: vektoru koordinātes var pierakstīt ne tikai kolonnā, bet rindā (vektora vērtība nemainās - vektoru jaudas brīnums). Ale bagātāks ir skaistāks pie stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe dažu praktisku uzdevumu veikšanai.

Tims lasītājiem, kuri ir aizmirsuši absolventu rozrahunkas metodes vai varbūt vāji tajās orientējas, iesaku vienu no savām senākajām nodarbībām: Kā skaitīt?

dibens 6

Pārbaudiet, vai triviālā plašuma pamatu veido šādi vektori:

Risinājums: Faktiski visi lēmumi tiek pieņemti līdz parādnieka aprēķinam

a) Aprēķiniet mainīgo, salokot no vektora_v koordinātām (izvērsuma mainīgais aiz pirmās rindas):

Turpmāk vektori ir lineāri neatkarīgi (nevis līdzplanāri) un veido trivum līdzīga izplatījuma pamatu.

Vidpovid: doti vektori un apmierina bāzi

b) Tas ir neatkarīga lēmuma punkts. Ārēji risinājums ir tāds, ka tā ir līdzīga nodarbībai.

Rāpuļprogrammas un radošie darbinieki:

dibens 7

Kurai parametra vērtībai vektori būs koplanāri?

Risinājums: Vektori un koplanārie todі і tіlki tіlki dі, ja vyznachnik, šo vektoru koordināšu krokas līdz nullei:

Patiesībā ir jābūt vienādam ar vyznachnik. Tas tiek liets uz nullēm kā šuliks uz jerboas - navigatora apzīmētājs, ka uzzina citā rindā un pēc kārtas, es meklēšu mīnusus:

Veiksim tālāku pagarinājumu un pagriezīsim to no labās puses uz vienkāršāko lineāro izlīdzināšanu:

Vidpovid: plkst

Šeit ir viegli samierināties, par ko ir jāpamato bijušā klerka vērtība un jāpārdomā , atklājot jogu no jauna.

Beigās apskatīsim vienu tipisku problēmu, kā būt algebriskākam pēc būtības un skaņas iekļautības pirms lineārās algebras kursa. Grīdas segums ir paplašināts, kas ir pelnījis lielu augšdaļu:

Lai panāktu, ka 3 vektori izveido trivi-pasaules telpas pamatu
un zināt 4. vektora koordinātas dotajā bāzē

dibens 8

Datu vektori. Parādiet, ka vektori apmierina trivimēra telpas bāzi, un zināt vektora koordinātas, kurā bāzē.

Risinājums: Pakausī ņemam prātu Prātam ir doti chotiri vektori, un, tāpat kā Bahite, smirdoņa jau ir mayut koordinātes tajā pašā pamatā. Kas ir par pamatu - neķirciniet mūs. Un teikt šādu vārdu: trīs vektori var izveidot jaunu pamatu. Pirmais posms atkal ir balstīts uz 6. pielikuma risinājumiem, ir jāpārbauda, ​​vai vektori ir lineāri neatkarīgi:

Aprēķināsim papildinājumu skaitu no vektoru koordinātām:

Otzhe, vektori ir lineāri neatkarīgi un veido trivimēru telpas pamatu.

! svarīgs : vektora koordinātas obov'azkovo ierakstāms stacijā vyznachnika, nevis rindās. Pretējā gadījumā būs krāpšanās tālākajos rozvyazannya algoritmos.

Tikšanās 1. Vektoru sistēmu sauc par lineāri papuvi, jo vienu no vektoru sistēmām var izmantot kā citu sistēmas vektoru lineāru kombināciju, un citādi lineāri neatkarīgu.

Tikšanās 1 '. Vektoru sistēmu sauc par lineāro papuvi, jo ir skaitļi h 1 , h 2 , …, h k , ne visi vienādi ar nulli, lai lineārā vektoru kombinācija ar dotajiem koeficientiem būtu vienāda ar nulles vektoru: = , pretējā gadījumā sistēmu sauc par lineāri neatkarīgu.

Tiks parādīts, ka apzīmējumi ir līdzvērtīgi.

Laimēsim tikšanos 1, tobto. viens no sistēmas vektoriem ir progresīvāka citu vektoru lineāra kombinācija:

Vektoru sistēmas lineārā kombinācija ir vienāda ar nulles vektoru, un visi kombinācijas koeficienti ir vienādi ar nulli, tas ir. tikšanās 1 '.

Mainīsim iecelšanu 1. Vektoru sistēmas lineārā kombinācija ir dārgāka, turklāt kopumā kombinācijas koeficienti ir vienādi ar nulli, piemēram, vektora koeficienti.

Viens no vektoriem sistēmā tika prezentēts kā citu lineāra kombinācija, tobto. Tikšanās ir pabeigta 1.

Tikšanās 2. Tiek izsaukts viens vektors vai vektors n-pasaules vektors, PVO i-vecās koordinātas, інші - nulle.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

1. teorēma. Dažādi atsevišķi vektori n-mierīga telpa, lineāri neatkarīga.

Pierādījums. Lai šo vektoru lineāra kombinācija ar pietiekamiem koeficientiem noved pie nulles vektora.

Z ієї rіvnostі vyplivaє, scho visi koefіtsієnti dorivnyuyut nulle. Nabuli noslaucīt.

Kozhen vektors n- mierīga telpa ā (a 1 , a 2 , ..., a n) var būt attēlojumi atsevišķu vektoru lineārai kombinācijai ar koeficientiem, kas vienādi ar vektora koordinātām

2. teorēma. Tā kā vektoru sistēma nulles vektora aizvietošanai ir lineāri atmatā.

Pierādījums. Dota vektoru sistēma un viens no vektoriem ir nulle, piemēram = . Tātad ar šīs sistēmas vektoriem ir iespējams pievienot lineāru kombināciju, kas ir vienāda ar nulles vektoru, un ne visi koeficienti būs nulle:

Sistēma ir arī lineāri atmatā.

3. teorēma. Ja vektoru sistēmas apakšsistēma ir lineāri atmatā, tad visa sistēma ir lineāri atmatā.

Pierādījums. Dota vektoru sistēma. Pieņemsim, ka sistēma ir lineāri atmatā, tobto. zināt skaitļus h 1 , h 2 , …, h r , Ne visi ir vienādi ar nulli, tāpēc sho = . Todi

Izrādījās, ka vektoru lineārā kombinācija visās sistēmās ir veselīga, un ne visi kombinācijas koeficienti ir veselīgi līdz nullei. Otzhe, vektoru sistēma ir lineāri nogulsnēta.

Pēdējais. Tāpat kā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tad arī apakšsistēma ir lineāri neatkarīga.

Pierādījums.

Nepieņemsim to, tobto. deak apakšsistēma ir lineāri atmatā. No teorēmas ir skaidrs, ka sistēma ir lineāri atmatā. Mēs didšli super-asumu.

4. teorēma (Šteinica teorēma). Kā ādu no vektoriem un vektoru lineāro kombināciju un m>n, vektoru sistēma ir lineāri atmatā.

Pēdējais. Jebkurai n-pasaules vektoru sistēmai nevar būt vairāk par n lineāri neatkarīgu vektoru.

Pierādījums. Kožena n-pasaules vektors izpaužas šķietami lineārā n atsevišķu vektoru kombinācijā. Jo sistēma ir atriebties m vector_v ta m>n, tad saskaņā ar teorēmu šī sistēma ir lineāri atmatā.

viraz prātā sauca vektoru lineāra kombinācija A 1 , A 2 ,...,A n ar koeficientiem λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Vektoru sistēmas lineārās atradnes apzīmējums

Vektoru sistēma A 1 , A 2 ,...,A n sauca lineārā papuve, Kā izmantot skaitļu kopu, kas nav nulle λ 1, λ 2 ,...,λ n, kam lineāra vektoru kombinācija λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 +...+ λ n * A n tuvāk nullei vektoram, tad sistēma ir vienāda: var būt risinājums, kas atšķiras no nulles.
Numuru sastādīšana λ 1, λ 2 ,...,λ n є nav nulle, ja tikai viens no skaitļiem λ 1, λ 2 ,...,λ n vіdminno vіd nulle.

Vektoru sistēmas lineārās neatkarības apzīmējums

Vektoru sistēma A 1 , A 2 ,...,A n sauca lineāri neatkarīgs, kā šo vektoru lineāra kombinācija λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 +...+ λ n * A n dodiet nulles vektoram mazāku par nulles skaitļu kopu λ 1, λ 2 ,...,λ n , tad sistēma ir vienāda: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ir tikai viens nulles risinājums.

Pārbaudiet, chi є lineāra atmatā vektoru sistēma

Risinājums:

1. Mēs veidojam izlīdzināšanas sistēmu:

2. Virishuemo її Gausa metode. Jordānas sistēmas transformācija parādīta 29.1. tabulā. Pārbūvējot pareizās sistēmas daļas, smakas šķembas ir vienādas ar nulli un netiek mainītas Džordana pārvērtībām.

3. Trīs atlikušās trīs rindas tabulā rakstīt atļauta sistēma, tikpat spēcīga sistēmas:

4. Otrimuemo zagalne sistēmas risinājums:

5. Nododot valdošajai tiesai brīvās maiņas vērtību x 3 =1, tikai privāts beznulles lēmums X = (-3,2,1).

Piezīme. Šādā veidā ar nulles skaitļu kopu (-3,2,1) vektora lineārā kombinācija nulles vektorā ir -3A1+2A2+1A3=Θ. Oce, vektoru sistēma ir lineāri atmatā.

Vektoru sistēmu spēks

Jauda (1)
Ja vektoru sistēma ir lineāri atmatā, tad, ja viens no vektoriem ir novietots aiz citiem, tad, ja tikai viens no vektoriem sistēmā atrodas aiz pārējiem, vektoru sistēma ir lineāri atmatā.

Jauda (2)
Tāpat kā vektoru apakšsistēma ir lineāri atmatā, arī visa sistēma ir lineāri atmatā.

Jauda (3)
Tāpat kā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, vai apakšsistēma ir lineāri neatkarīga.

Jauda (4)
Neatkarīgi no tā, vai tā ir vektoru sistēma, lai atriebtu nulles vektoru, tā ir lineāra papuve.

Jauda (5)
m-pasaules vektoru sistēma vienmēr ir lineāri atmatā, jo vektoru skaits n ir lielāks par vektoru skaitu (n>m)

Vektoru sistēmas pamati

Vektoru sistēmas pamats A 1 , A 2 ,..., A šādā apakšsistēmā B 1 , B 2 ,...,B r(āda no vektoriem B 1 ,B 2 ,...,B r є viens no vektoriem A 1 , A 2 ,..., A n) , lai iepriecinātu nākošos prātus:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineāri neatkarīga vektoru sistēma;
2. kāds vektors A j sistēmas A 1 , A 2 ,..., A n tiek lineāri izteiktas caur vektoriem B 1 ,B 2 ,...,B r

r- bāzē iekļauto vektoru skaits.

29.1. teorēma Par vektoru sistēmas vienu bāzi.

Kā m-pasaules vektoru sistēma, lai aizstātu m dažādus atsevišķus vektorus E 1 E 2 ,..., E m , visas smakas veido sistēmas pamatu.

Algoritms vektoru sistēmas pamata atrašanai

Lai zinātu vektoru sistēmas A 1 ,A 2 ,...,A n bāzi, nepieciešams:

• Salokiet divdimensiju vektoru sistēmu viendabīgā vienādības sistēmā A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Virziet savu sistēmu