Skaitliskās sērijas galvenais spēks. Skaitļu sērijas apturēšana

1. Skaitliskās rindas: pamatzināšanas, nepieciešamā inteliģence un rentabilitāte ir zema. Papildu rinda.

2. Vairāki pozitīvi dalībnieki un їx zbіzhnostі pazīmes: porivnyannia, d'Alembert, Cauchy pazīmes.

3. Zīmju rindas, Leibnica zīmes.

1. Skaitļu sērijas apzīmējums. Dzīve

Matemātiskajos papildinājumos, un navіt nіt nіt nіt nіt іn stundā vyrіshennya yakіkh avdan ekonomіki, statistiсі i іnshih galuzy pozglyadyut sumi z neskіnkchennym dodankchennym skaits. Lūk, manas dāmas vārds tam, kurš saprot zem tādām summām.

Dota atšifrētā ciparu secība

Iecelšana amatā 1.1. Skaitliskā instrukcija vai vienkārši pasūtījums sauc par viraz (summu) prātu

. (1.1)

Skaitļi sauca numura dalībnieki, –mežonīgs vai nth zemais biedrs.

Lai definētu virkni (1.1), pietiek definēt sērijas vārda skaitļa naturālā argumenta funkciju aiz skaitļa

Muca 1.1. Aiziet. Rinda

(1.2)

sauca harmoniska kārtība.

Muca 1.2. Nāc, Rou

(1.3)

sauca zagalnenim harmonikas tuvu. Okremu vipadkā ieiet harmoniska rinda.

Muca 1.3. Nāc =. Rinda

sauca ģeometriskās progresijas secība.

Skaitliski var atrisināt 3 sērijas (1.1) dalībniekus privāto tiesību pēctecība summa de - sērijas pirmo dalībnieku summa, kā to sauc n-un privātā summa, tad.

…………………………….

…………………………….

Skaitliskā secība ar telpas pieaugumu bez starpposma jūs varat:

1) pierobežas mātes;

2) nav mātes beigas robežas (robeža nav іsnuє vai dorіvnyuє neskіchennostі).

Iecelšana amatā 1.2. Tiek izsaukta sērija (1.1). līdzīgi kā yogo privāto summu secība (1.5) var būt rindas beigas, tobto.

Kādā veidā tiek izsaukts numurs soma sērija (1.1) ta ir uzrakstīta

Iecelšana amatā 1.3. Sērija (1.1) tiek izsaukta rozbіzhnym, kā sekas jogo privātajām summām nav galīgas robežas.

Razbіzhny rinda netiek attiecināta uz to pašu sumi.

Šajā rangā uzdevums zināt vairāku darāmo lietu summu (1.1) ir vienāds ar yogo chastkovy summu savstarpējās secības aprēķinu.

Paskatīsimies uz aplikāciju šprotēm.

dibens 1.4. Atnesiet nākamo

saplūst, es zinu jogas summu.

Mēs zinām šīs rindas n-tās daļas summu.

karsts biedrs pēc kārtas mēs varam iedomāties .

Izklausās maєmo: . Otzhe, dāņu sērija saplūst un yogo summa dorivnyu 1:

Krājums 1.5. Turpiniet uz zbіzhnist rindu

Kurai rindai

. Otzhe, visa rinda, lai izkliedētu.

Cieņa. Sērijai (1.6) є bezgalīga skaita nulles і є summa ir acīmredzami līdzīga.

2. Skaitliskās rindas galvenais spēks

Pēdējā dodanku skaita summas pakāpes tiek sadalītas pakāpēs pēc kārtas, tā ir bezgalīgā dodanku skaita summa. Tātad dodankiv їx galīgā skaitļa brīdī ir iespējams tos grupēt jebkurā secībā, neatkarīgi no tā, cik daudz summa nemainās. Іsnuyut rindas, kas saplūst (garīgi līdzīgas, kā tās tiks apskatītas 5. sadaļā), tiem, it kā rāda romiešu * , Mainot pareizo їх dalībnieku virzīšanas secību, varat palielināt vienādu skaitļu summu un izveidot citu sēriju.

Piemērs 2.1. Apskatīsim dažādu domu rindu (1.7)

Grupējot jogas terminus pa pāriem, no summas ņemam līdzīgu skaitļu sēriju, kas ir vienāda ar nulli:

No otras puses, grupējot pirmo biedru pa pāriem, sākot no otra biedra, mēs arī ņemam līdzīgu rindu, bet arī no maisa, kas ir vairāk viena:

Rindu skaitļi var būt spēka diakoni, it kā tie ļauj bērniem ar tiem strādāt, tāpat kā ar beigu summām. Tātad jūs varat tos reizināt ar skaitļiem, pievienot tos pēc vārda un redzēt tos. Viņi var apvienoties grupā, vai tās ir noliktavas, lai stāvētu sardzē.

Teorēma 2.1.(Nepieciešamās rentabilitātes pazīmes ir zemas).

Ja rinda (1.1) saplūst, tad pilnais loceklis ir vienāds ar nulli neierobežotai n pieaugumam, tad.

Teorēmas pierādījums ir saistīts ar to, ka , i

S ir rindas (1.1) summa, tad

Umova (2.1) - seriāla panākumiem nepieciešams, bet nepietiekami garīgs. Tas ir, lai gan pēdējais termins ir zems līdz nullei pie , tas nenozīmē, ka sērijas saplūst. Piemēram, harmoniku sērijai (1.2) tomēr, kā parādīts zemāk, vіn atšķiras.

Sekas(Pietiekama zīme rozbіzhnostі zems).

Yakshcho zagalny dalībnieks ir zems nevis pragne nulles pie, tsey sērijas izkliedēt.

Piemērs 2.2. Turpiniet uz zbіzhnist rindu

.

Kurai rindai

Otzhe, visa rinda, lai izkliedētu.

Pārējās aplūkotās rindas (1.6), (1.7) arī ir tādas, ka tām nav vajadzīgas vajadzīgās zbіzhnosti zīmes. Sērijām (1.6) starp rindai (1.7) nezinu.

Jauda 2.1. Sērijas līdzība vai rozātājs nemainās, it kā ar pietiekamu rīkojumu izņemt no jaunā, pievienot jaunajam, pārkārtot dalībnieku skaitu jaunajā pēdējā (ja vēlaties pāriet uz nākamo viens, jūs varat mainīt summu).

Pierādījums, ka sērija (1.1) ir tāds pārpalikums saplūst vai izkliedējas vienlaicīgi.

Jauda 2.2. Līdzīgu rindu var reizināt ar skaitli, lai rinda (1.1) saplūstu, ja summa S un c ir skaitlis, tad

Pierādījums daiļrunīgām runām, ka godīgums ir godīgs

Jauda 2.3. Zbіgayutsya rindas var salocīt pēc termiņa un vіdnіmati, tobto kā rinda,

saplūst,

saplūst, ka її summa dorivnyuє tobto.

.

Pierādījums ir skaidrs no robežas summas spēka, tobto.

INSTUP

Metodiskais ceļvedis pierakstiem matemātiķiem tehnikumos, kā arī visu specialitāšu citu kursu studentiem.

Kuru robotiem ir pamatzināšanas par rindu teoriju. Teorētiskais materiāls atbalsta Suverēna apgaismojuma standarta vidējās profesionālās izglītības (Krievijas Federācijas Izglītības ministrija. M., 2002).

Teorētiskā materiāla ieguldījumu par visām tēmām pavada daudzu pieteikumu un uzdevumu apskats, kas veikts pieejamā, veiklā veidā. Piemēram, tika sniegta palīdzība šī uzdevuma pielietošanā, lai skolēni varētu pārvarēt paškontroles režīmu.

Neklātienes un pilna laika izglītības formu studentu pieņemšanas palīgs.

Vrakhovuychi ryven apmācību uchnіv tekhnіkumu, kā arī kіlkіst gados (12 gadi + 4 f.), ko ievada programma augstākās matemātikas apgūšanai tehniskajās skolās, suvori vysnovka, kas rada lielas grūtības mācīties, izlaist, saskarties ar skatoties uz pieteikumu.

PAMATJĒDZIENI

Problēmas risinājums, kas izklāstīts matemātiskā izteiksmē, piemēram, dažādu funkciju, to līdzīgo un integrāļu kombinācijas gadījumā ir nepieciešams "novest uz skaitli", kā arī atlikušo starpību. Tāpēc dažādas matemātikas nodaļas ir izstrādājušas dažādas metodes.

Razdіl matemātiķis, scho ļauj virіshity be-yaké pareizi iestatīt zavdannya s pietiekami praktiskai vikoristannya precizitāti, ko sauc par rindu teoriju.

Navit kā sava veida smalka matemātiskās analīzes izpratne parādījās kā sakarīga poza no rindu teorijas, smirdoņa tika nolaidīgi pielipusi rindām, it kā tās kalpotu kā bi-rīks, lai mēģinātu to nozīmi saprast. Šāda nometne ir glābta un lipīga.

viraz prātā

de;;;…;;… - rindas locekļi; - nth citādi pēdējo sērijas dalībnieku sauc par neizsīkstošo sēriju.

Kā rindas dalībnieks:

I. Skaitļu sērijas

1.1. Pamata izpratne par skaitļu sērijām.

Skaitlis blakus tam tiek saukts par prāta summu

, (1.1)

de ,,,…,,…, biedru rindas ir zemas, tās veido nepielūdzamu pēctecību; terminu sauc par sērijas galveno dalībnieku.

krokas no pirmajiem dalībniekiem ir zemas (1.1), tās sauc par šīs rindas privātajām summām.

Privāto summu secība var būt vienāda ar ādas rindu .

Tāpat kā ar neierobežotu skaita pieaugumu n chastkova summa ir zema pragne starp, tad rindu sauc par līdzīgu, un skaitli sauc par līdzīgas rindas summu, tobto.

Rekords ir vienāds ar rekordu

.

Cik bieži ir rindas (1.1) summa ar neierobežotu pieaugumu n ja jums nav galīgas robežas (pragne abo), tad šādu sēriju sauc rozbіzhnym .

Jakščo rinda līdzīgi , tad nozīme, lai pabeigtu lielisko n є aptuvenu viraz sumi pēc kārtas S.

Mazumtirdzniecības cena tiek saukta par pārāk zemu. Ja rinda iet, tad slodzes pārsniegums līdz nullei, tad, un vēlreiz, ja slodzes pārsniegums līdz nullei, tad rinda iet.

1.2. Lietojiet skaitļu līnijas.

Muca 1. Vairāki prāti

(1.2)

sauca ģeometrisks .

Ģeometriskā risinājumu sērija no ģeometriskās progresijas dalībniekiem.

Vidomo, scho summa її pirmais n locekļi Acīmredzot: n- sērijas summa (1.2).

Iespējamie kritumi:

Rinda (1.2) izskatās šādi:

, rinda, lai izkliedētu;

Rinda (1.2) izskatās šādi:

Nav attāluma, vairāki izkliedēti.

- Kіntseve numurs, sērijas saplūst.

- Vairāki izkliedēti.

Turklāt visa sērija saplūst i diverge for .

Muca 2. Rindas prāts

(1.3)

sauca harmoniska .

Mēs pierakstām rindas daļējo summu:

Summa ir lielāka par summu, es to došu nākamajā rangā:

vai .

Jakšo kaut ko , vai .

Tēvs, jakščo, tad tobto. harmonijas sērijas atšķiras.

Muca 3. Rindas prāts

(1.4)

sauca zagalnenim harmoniska .

Yakshcho, tad šī rinda pagriežas līdz harmoniskajai rindai, kas ir rozbіzhnym.

Tā kā šīs sērijas dalībnieki ir lielāki par harmoniku sērijas i atbilstošajiem dalībniekiem, tas nozīmē, ka vīni atšķiras. Kad maєmo ģeometriskā sērija, yakomu; vīns ir līdzīgs.

Otzhe, zagalneniya harmonikas sērijas saplūst par і atšķirties par .

1.3. Nepieciešamās un pietiekamās labklājības pazīmes.

Nepieciešamā rentabilitātes pazīme ir zema.

Sērijas var saplūst vairāk, nekā jūs zināt, kāds ir pēdējais termiņš ar neierobežotu skaita pieaugumu un tiesības uz nulli: .

Yakshcho, tad rinda atšķiras - pietiekama rozbіzhnosti zīme ir zema.

Pietiekamas labklājības pazīmes dod norādījumi pozitīvi biedri.

Saskaņošanas zīme starp pozitīvo dalībnieku rindām.

Dosl_dzhuvany sērijas saplūst, yakscho yogo termini neatsver citus nākamās, līdzīgas sērijas dalībniekus; doslіdzhuvany rindu atšķirties, it kā yogo biedri apgriezt tos pašus biedrus citu, svіdomo rozbіzhny rindu.

D'Alemberta zīme.

Tāpat kā pasūtījumam ar pozitīviem nosacījumiem

vykonuєtsya umova, tad rinda aiziet pie i izklīst plkst.

D'Alemberta zīme neliecina, jakšo. Un šeit doslіdzhennya zems zastosovuetsya іnshi priyomi.

Pa labi.

Pierakstiet jogas rindu, iestatīsim kopīgu dalībnieku:

Ņemot vērā ,,,…, var būt nekonsekventa skaitļu secība:

Māla jogas dalībnieki, paņemiet rindu

.

Vchinyayuchi tāpat kā, paņemiet rindu

.

Sniedzot vērtības 1,2,3, ... un apskatot ko ,,, ..., ņemiet rindu

.

Zināt n- rindas dalībnieks pēc jogas danimi pirmajiem dalībniekiem:

Dalībnieku saucēji ir zemi, sākot no pirmā, pa pāriem; otzhe, n- rindas dalībnieks var izskatīties.

Sērijas dalībnieku cipari apstiprina naturālo skaitļu virkni, un cipari tiem ir naturālās skaitļu sērijas, un cipari tiem ir naturālās skaitļu sērijas, sākot no 3. Zīmes tiek zīmētas saskaņā ar likums vai likums. Nozīmēt, n- rindas dalībnieks var izskatīties. vai .

Sekojiet zbіzhnіst rindai, zastosovuyuchi nepieciešamo zbіzhnostі zīmi, kas zīme porivnyannia:

;

.

Zināms .

Nepieciešamās labklājības pazīmes ir zemas, bet pārtikas atšķirība par labklājību ir nepieciešama, lai apturētu vienu no pietiekamām labklājības pazīmēm. Por_vnyaєmo tsey sērija ar ģeometriskām sērijām

,

kas saplūst, lauskas.

Mainot noteiktas sērijas locekļus, sākot no citas, ar dažādiem ģeometriskās sērijas locekļiem, mēs noņemam nelīdzenumus

tobto. šīs sērijas dalībnieki, sākot no citām, šķietami mazāk ģeometriskās sērijas locekļiem, zvaigznēm ir skaidrs, ka šī sērija saplūst.

.

Šeit pietiekami rozbіzhnosti pazīmes ir zemas; Otzhe, vairāki izklīst.

Zināms .

Nepieciešama labklājības zīme pēc kārtas vikonuєtsya. Por_vnyaєmo tsey rinda іz zagalnenim harmoniska rinda

,

kas saplūst, šķembas, vēlāk, saplūst un visa sērija.

Sekojiet d'Alemberta aizstājējzīmju līnijai:

;

.

Deputāta aizvietošana pēc kārtas n numuru n+ 1, mēs pieņemam. Mēs zinām atšķirību starp pirmo dalībnieku un n- mu dalībnieks vietnē:

Otzhe, tsey sērijas saplūst.

Otzhe, visa rinda, lai izkliedētu.

Tobto. rindu, lai atšķirtos.

II. Znazminny rinda

2.1. Izpratne par pazīstamo rindu.

numuru sērija

sauca pazīstami , jo jogo dalībnieku vidū ir gan pozitīvi, gan negatīvi skaitļi.

Tiek izsaukta skaitļu sērija zīme aizstājējs , it kā būtu divi biedri, stāvēt kā rokturi, taisīt zīmes.

de for all (tā ir sērija, kuras pozitīvie un negatīvie dalībnieki pa vienam iet pa ceļu). Piemēram,

;

;

.

Maija ikoniskajām rindām pietiek ar komforta zīmi (1714. gadā ievietojis Leibnics pie lapas pirms I. Bernulli).

2.2. Leibnica pazīmes. Absolūts ir tas, ka garīgā zbіzhnist rinda.

Teorēma (Leibnica zīme).

Mainīgās sērijas zīme saplūst šādi:

Dalībnieku absolūto vērtību secība ir zema, monotoni mainās, tāpēc. ;

Zagalny dalībnieks zemā pragne zero:.

Ar jebkuru summu S pēc kārtas apmierina nelīdzenumus

Cieņa.

Sekojiet nākamās rindas prātam

(ar negatīvu pirmo locekli), kas jāizveido, reizinot visus jogas dalībniekus uz nākamo rindu .

Tiek izsauktas rindas, kurām rakstīts Leibnica teorēmu prāts Leibnica (virs Leibnica lavas).

Spivdnoshlennya ļauj veikt vienkāršu un tūlītēju apžēlošanas novērtējumu, kā mēs atzīstam, aizstājot summu S piešķirts vairākiem jogoņiem par privātu summu.

Vіdkinuty rinda (pārpalikums) є arī blakus, ka zīme novilkta. , kuru summa pēc moduļa ir mazāka par th rindas pirmo locekli, tobto. Tāpēc apžēlošana ir mazāka nekā pirmā no trim dalībniekiem modulim.

dibens. Aprēķiniet aptuveni rindas summu.

Risinājums: šī sērija ir Leibnica tipa. Win saplūst. Jūs varat pierakstīt:

.

Ņemot piecus dalībniekus, tobto. nomaiņa

Piedod, menshu,

chim . Otzhe.

Maija ikoniskajām rindām ir pietiekami liela labklājības zīme.

Teorēma. Nāc, ņemot vērā pazīstamo rindu

Kā saplūst rindu

krokas no šīs sērijas dalībnieku moduļiem, tad saplūst pati pazīstamā sērija.

Leibnica zbіzhnosti zīmes zīmju rindām kalpo kā pietiekama zīme zbіzhnosti zīmēm rindām, kuras ir novilktas.

Pazīstamo rindu sauc absolūti līdzīgi , lai saplūstu virkni locījumu no pirmo locekļu absolūtajām vērtībām, tobto. katra absolūti līdzīga sērija ir līdzīga.

Ja mainīgās sērijas zīme saplūst un jogo terminu absolūto vērtību saskaitījumi sērijā atšķiras, tad visu sēriju sauc garīgi (nav absolūts) līdzīgi.

2.3. Pa labi.

Doslidit uz zbіzhnіst (absolūti vai garīgi) sēriju, kas ir uzzīmēta:

і

Otzhe, Leibnica zīmei sērijas saplūst. Z'yasuєmo, chi saplūst tsey sērijas absolūti chi garīgi.

Rinda , Salocīti no šīs sērijas absolūtajām vērtībām, є harmonіchny next, yaky, disperse. Tāpēc visa sērija garīgi saplūst.

Šīs sērijas dalībnieki pēc absolūtās vērtības mainās monotoni:

, aliņš

.

Vairāki izklīst, Leibnica zīmes lauskas neuzvar.

Vikoristovuyuchi zīme Leibnica, otrimaemo

;,

tobto. sērijas saplūst.

.

Tse ģeometriskās sērijas prātā, de saplūst. Tāpēc visa sērija absolūti saplūst.

Uzvara pēc Leibnica zīmes, varbūt

;

, tad. sērijas saplūst.

Apskatīsim locījumu sēriju no sērijas dalībnieku absolūtajām vērtībām:

, vai

.

Tse zagalneniya harmoniy rinda, kas izkliedē, lauskas. Otzhe, visa sērija saplūst garīgi.

III. Funkcionālās sērijas

3.1. Funkcionālās sērijas jēdziens.

Tiek izsaukts skaitlis, kura dalībnieki funkcija є vіd funkcionāls :

Nadayuchi dzied vērtību, atņem numuru sēriju

kas var būt līdzīgi, tā un tā, lai izkliedētu.

Ja skaitļu sērijas atņemšana saplūst, tad punkts tiek izsaukts karstais punkts funkcionālais diapazons; kā atšķirties pēc kārtas - atdalīšanas punkts funkcionālā rinda.

Argumenta skaitlisko vērtību kopu, kurai saplūst funkcionālās sērijas, sauc par jogu dzīves zona .

Jomā zbіzhnostі funkcionālais numurs yogo summa є deykoyu funkcija vіd:.

Vychayatsya ārpus greizsirdības dzīves sfēras

, de

Častkovas summa ir maza.

dibens. Ziniet dzīvesvietu pēc kārtas.

Risinājums. Šajā rindā ir norādījumi par reklāmkaroga ģeometrisko progresiju. Otzhe, visa sērija saplūst, tobto. pavisam; summa uz vairākiem dorivnyuє;

, aiz .

3.2. Soļi pēc kārtas.

Nākamo soli sauc par prāta rindu

,

de numuriem sauca koeficienti pēc kārtas un dalībnieks ir seriāla vadošais dalībnieks.

Statistikas rindas apgabals tiek saukts par visu vērtību bezpersonisko vērtību, kurai rindas konverģē.

Numurs tiek izsaukts dzīves rādiuss pakāpju rindas, tātad, kad sērijas saplūst un pirms tam absolūti, un kad sērijas atšķiras.

Dzīves rādiuss ir zināms ar d'Alemberta zīmi:

(neguli ūdenī),

tobto. kā virkne konverģences jebko, scho iepriecina jūsu prātu un novirzās pie .

Zvіdsi vyplivaє, scho yakscho іsnuє robeža

,

tad zbіzhnosti rindas rādiuss tsіy mezhі і stāvokļa sērijas saplūst pie , tad. pie starpnieka, kuru sauc promizhkom (intervāls) zbіzhnostі.

Yakscho, tad sērijas saplūst vienā punktā.

Atstarpes beigās rinda var zbіgatisya (absolūti vai garīgi), vai arī tā var atšķirties.

Ienesīgums stalts rindu ar un doslіdzhuєtsya par palīdzību, lai tā būtu rentabilitātes pazīme.

3.3. Pa labi.

Atrodiet dzīvojamo platību blakus:

Risinājums. Mēs zinām šīs rindas rādiusu:

.

Arī šī sērija saplūst absolūti pa visu skaitlisko asi.

Risinājums. Steidzos ar d'Alemberta zīmi. Kurai rindai var:

.

Sērija saplūst absolūti, tikpat labi. Doslіdzhuєmo uzvedība ir zema kіtsyah іnternvalu zbіzhnostі.

Kad maєmo rindu

Kad maєmo rindu - Tse Leybnitevsky sērija, kas var saplūst. Otzhe, platība \u200b\u200bzbіzhnostі vihіdny rindu є vіdrіzok.

Risinājums. Mēs zinām, ka pastaigas rādiuss ir zems:

Otzhe, sērija saplūst, tobto. plkst.

Mēs pieņemam numuru , kas saplūst Leibnica zīmei

Mēs pieņemam nejaušu rindu

.

Otzhe, rindas dzīves platība ir plaisa.

IV. Elementāro funkciju sadalīšana līdz Maclaurin sērijai.

Papildinājumiem ir svarīgi iekļaut šo funkciju sakrautā rindā, tobto. lai attēlotu funkciju kā stacked sērijas summu.

Teilora secību funkcijai sauc par formas stāvokļu sēriju

Jakščo, tad speram pēdējo soli uz Teilora sēriju

ko sauc Maklorina praporščiks .

Rentabilitātes vidējā intervāla soli pa solim rinda var būt pa termiņam diferencējot un labā veidā integrējot mērogojumus, savukārt rindas likvidēšana var būt pats rentabilitātes intervāls, kas ir pēdējais. rinda.

Divas sakrautas rindas var pievienot un reizināt pa vārdam saskaņā ar bagātināto terminu locīšanas un reizināšanas noteikumiem. Jebkādas iegūtās jaunās rindas izlaidības gadījumā tiek iztērēta galvenā nedēļas nogales rindu izlaiduma daļa.

Lai funkciju paplašinātu uz Maclaurin sēriju, ir nepieciešams:

Uzskaitiet funkcijas vērtības un її pēdējās punktā, tobto,,,,…,;

Salokiet Maclaurin sēriju, aizstājot pēdējo līdzīgu formulu funkciju vērtības un її ar Maclaurin sēriju;

Zināt atstarpi starp skaitļiem atlasītajā rindā aiz formulas

, .

1. piemērs. Izkārtojiet funkciju Maklaurina sērijai.

Risinājums. tik jaks , tad, aizstājot izkārtojumu, mēs atņemam:

2. piemērs. Pierakstiet vairākas Maklarīna funkcijas .

Risinājums. Oskіlki, pēc tam saraucis pēc formulas, jakіy mēs to aizstājam ar, mēs to ņemam:

,

3. piemērs. Izkārtojiet funkciju Maklaurina sērijai.

Risinājums. Mēs paātrinām formulu. tik jaks

, tad mēs aizstāsim:

, vai

de, tobto. .

V. Praktiskie uzdevumi skolēnu paškontrolei.

Lai palīdzētu, rindu izlīdzināšanas zīmes nodrošinās drošību

;

;

VII. Vēsturisks pierādījums.

Uzdevuma bagātības pārbaude ir funkciju un integrāļu vērtības vai diferenciālvienādojumu dispersijas aprēķināšana, lai atriebtu nezināmo funkciju zaudējumus vai diferenciāļus.

Tomēr precīzāk ir tas, ka matemātisko darbību piešķiršana dažādos veidos šķiet sarežģītāka vai neiespējamāka. Šajos vipados varat rūpīgi apskatīt rozvyazannya bagatioh zavdan іz be-sava veida bazhan precizitāti rindu palīdzībai.

Vienkāršosim un papildināsim sēriju ar matemātiskās analīzes rīku funkciju aptuvenai aprēķināšanai, integrācijām un diferenciālvienādojumu risināšanai.

І funkcionālā secība, kas ir labā roka.

Lai aizstātu zīmi “”, ir iespējams likt vienlīdzības zīmi, ir jāveic mirkuvannya pievienošanas akti, sasaistot sevi ar neskaitāmu skaitu papildinājumu labajā ekvivalences daļā un apgabalā. ienākumi pēc kārtas.

Kad Teilora formula izskatās tā, kā to sauc par Maklorina formulu:

Kolins Maklarins (1698 - 1746), Ņūtona skolnieks, darbā "Traktāts par plūsmām" (1742) uzstādījis, ka steku sērija, kas pārvērš analītisko funkciju, ir viena, ja būs Teilora sērija, tādas paaudzes. funkcija. Ņūtona binomiālajai formulai ir koeficienti soļos є vērtība , de .

Otzhe, lavi vinikli XVIII gadsimtā. kā funkciju izpausmes veids, kas ļauj ievērojami atšķirties. Taču funkcija, kas, šķiet, ir garantija, netika saukta par summu, un toreiz vēl nebija noteikts, kāda ir funkcionālās rindas skaitliskā skaitļa summa, ja vien varētu mēģināt to notīrīt.

Piemēram, L. Eilers (1707-1783), kurš funkcijai pierakstīja virkni kolonnu, norādot konkrētu vērtību. Ciparu sērijas ievadīšana. Ar šīs sērijas summu Eilers ņēma vērā ārējo funkciju vērtības punktos. Ale tse nav taisnība.

Par tiem, kas ir rindā, kā izklīst, nevaru rezumēt, včeni sāka uzminēt tikai 19. gadsimtā, lai gan 18. gs. bagātīgi un L. Eilers, bagātīgi praktizējis ērtības un daudzveidības jēdzienus. Eilers sēriju nosauca par līdzīgu, it kā tas būtu vissvarīgākais nulles termins izaugsmes brīdī.

Teorētiski Eilera rindas, ņemot vērā dažus sākotnējos rezultātus, prot un rezultāti nezināja rezultātus ilgu laiku. Vairāk 1826 N.G. Ābels (1802 - 1829) rindu rindas sauca par "velnišķīgu vigaduvannyam". Eilera rezultāti bija zināmi tikai kā deviņpadsmitā gadsimta sākums.

Formēšanā, izprotot rindas summu, ko iet, lielo lomu spēlēja franču mācības O.L. Koši (1789 - 1857); Vіn kļuvuši izcili bagāti gan ar rindu teoriju, gan starp teoriju, saprotamāko starp veidošanā. 1826. gadā. Koshі ņemot paziņoja, scho rindu, scho lai izklīdinātu, nevis maє sumi.

1768. gadā. Franču matemātiķis un filozofs J.L. D'Alemberts izvirzīja aizskarošā termina pozīciju binominālajā sērijā un parādīja, ka, ja moduļa termins ir mazāks par vienu, sērija saplūst. Koshі pie 1821r. pabeidzot teorēmu, kas padara zīmi pozitīvo rindu zbіzhnosti zīmi par d'Alemberta zīmi, ko tagad sauc par d'Alemberta zīmi.

Lai turpinātu panākumus zīmju rindās, uzvar Leibnica zīme.

G.V. Leibnics (1646 - 1716), izcilais vācu matemātiķis un filozofs, ordenis z І. Ņūtons ir diferenciālo un integrālo aprēķinu pamatlicējs.

Literatūras saraksts:

Galvenais:

1. Bogomolovs N.V., Praktiskās nodarbības matemātikā. M., "Vishcha skola", 1990 - 495 lpp.;
2. Tarasovs N.P., progresīvās matemātikas kurss tehniskajām skolām. M., "Zinātne", 1971 - 448 lpp.;
3. Zaicevs I.L., padziļinātās matemātikas kurss tehnikumiem. M., tehnikumu suverenitāte - teorētiskā literatūra, 1957 - 339 lpp.;
4. Pismovy D.T., Lekciju kurss par augstāko matemātiku. M., "Iris Press", 2005, 2.daļa - 256 lpp.;
5. Vigodskis M.Ya., Dovidņiks no augstākās matemātikas. M., "Nauka", 1975 - 872 lpp.;

Dodatkova:

1. Gusak A.A., Višča matemātika. 2. sēj., 2. sēj.: Ceļvedis vidusskolēniem. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 lpp.;
2. Griguletskis V.G., Lukjanova I.V., Petuņina I.A., Matemātika ekonomikas specialitāšu studentiem. 2. daļa. Krasnodara, 2002 - 348 lpp.;
3. Griguletskis V.G. ka iekšā. Uzdevumu grāmata matemātikai. Krasnodara. KDAU, 2003 - 170 lpp.;
4. Griguletskis V.G., Stepantsova K.G., Hetmanis V.M. Krasnodara. 2001. gads - 173 lpp.;
5. Griguletskis V.G., Jaščenko Z.V., Viščas matemātika. Krasnodara, 1998 - 186 lpp.;
6. Malikhins V.I., Ekonomikas matemātika. M., "Infra-M", 1999 - 356s.

Apskatīsim nepiedodamo skaitļu secību, tobto. bezpersoniski skaitļi, kādam ādas dabiskajam skaitlim n saskaņā ar dziedāšanas likumu a n. Viraz prātu sauc par skaitļu sēriju, paši skaitļi ir sērijas dalībnieki, - guļošais rindas loceklis. Īsi pierakstiet sēriju šādi:.

Sumi, tikai jebkurā klātbūtnē n tiek saukti pirmie sērijas dalībnieki privātās summās pēc kārtas.

Skaitļu sērija tiek saukta par līdzīgu, jo yogo privāto summu secība var būt rindas beigas. Numurs S sauc par rindas summu.

Ja nav robežas, tad sēriju sauc.

piemērs 1. Dota bezgalīga ģeometriskā progresija. Noliktavas rinda

un doslіdzhuєmo yogo zbіzhnіst, z vznáchennya zbіzhnostі rindā. І tam mēs uzglabājam privātu summu =. Vidusskolas matemātikas kursam mēs to zinām. Domājot, kā tikt ārā. Lai to pierādītu, es rozpodil

Tagad mēs varam aprēķināt robežu, vrakhovuchi, kādi ir trīs iespējamie punkti šeit:

2) jakšo q= 1, tad = i ,

3) jakšo q= -1, tad =, i, a =, i. Otzhe, privāto summu secība nav viena robeža.

Tāpēc, robimo visnovok: ģeometriskā progresija saplūst, patīk un atšķiras pie .

dibens 2. Bring rozbіzhnіstryad

Risinājums. Novērtējiet sērijas privāto summu:

> , tad. > ,

un starp dārgāku neatbilstību summas daļām (saskaņā ar vadošo teorēmu par robežām: x n > g n, tad): = ¥. Otzhe, visa rinda, lai izkliedētu.

Līdzīgu rindu jauda

Apskatīsim divas rindas. Vēl viena atskaitījumu rinda no pirmā ceļa pirmajam m jogas dalībnieki. Šo rindu sauc par papildu rindu, tā ir apzīmēta rn.

1. teorēma. Kā pievienoties rindai, ko iet, reiziniet skaitli ar deku W, tad sērijas dzīvotspēja nesabruks, bet summa reizinosies ar W.

2. teorēma. Divas rindas, kas saplūst, var salocīt (vіdnіmati) pēc termiņa un ņemtās rindas summa ir dārgāka, de - pirmās rindas summa un - otras rindas summa.

3. teorēma. Tiklīdz sērija saplūst, saplūst ādas no viena no pārpalikumiem. No rindas pārpalikuma vibrē pašas rindas zbіzhnіst.

Var teikt arī citādi: zemais rindas dalībnieku skaits veicina ekonomiku. I tsya spēks ir visskaistākais. Tiesa, ļaujiet vairāku papildu neatbilstību summai (vairāki izkliedēt). Saskaitām vēl vairāk, bet pēdējais biedru skaits ir mazs. Tsya summa var būt liela, bet es atkal to zinu, pēdējais skaitlis. Tātad, tas nozīmē, ka rindai summa ir par daudz, un tur rindas dalībnieki jau ir niecīgi mazi skaitļi, tomēr neskaitāmā dodankivu skaita kontā ir vairāk neatbilstību.

4. teorēma. Nepieciešama drošības zīme.

Ja sērijas saplūst, tad jogo guļošais biedrs a n pragne zero, tobto. .

pierādījums. Tiesa,

І ja sērija saplūst, tad і, arī pie .

Zīmīgi, ka zīme vairs nav pietiekama, tobto. sērija var atšķirties, jo kumulatīvā vērtība ir vienāda ar nulli. Pie dibena 2 rindas atšķiras, gribas, lai jogai būtu guļošs loceklis.

Ale yakcho a n nav vienāds ar nulli pie , tad sērija є razbіzhny ( pietiekami daudzveidības zīme pēc kārtas).

Rindu līdzība ar pozitīviem terminiem

Seriālu sauc par pozitīvu, tāpat kā visu.

Častkovi sumi tādā rindā S n izveidot pieaugošas sekas, ādas lauskas priekšā ir mazāk aizskarošas, tobto. . No teorijas savā starpā (Bolcāno-Veijerštrāsa teorēma), it kā augošo secību ieskauj zvērs (līdz tam viss S nіsnuє tāds kіlkіst M, kas S n < M visiem n), var būt starp. Zvіdsi vyplyaє padziļinot teorēmu.

Teorēma. Vairāki pozitīvi termini saplūst, it kā tos bieži vien apkopo zvērs, un citādi izklīst.

Viss ir balstīts uz šo autoritāti pietiekamas pozitīvo dalībnieku rindu panākumu pazīmes. Apskatīsim galvenos.

Izlīdzināšanas zīme

Apskatīsim divas rindas ar nenegatīviem locekļiem: - (3) i - (4), turklāt, sākot no n. Tā pati zbіzhnostі rinda (4) viplivaє zbіzhnіst rinda (3). Un no rindas (3) daudzveidības ir skaidra rindas (4) dažādība.

Citādi: ja rinda ar lielākiem locekļiem saplūst, tad rinda ar mazākiem locekļiem saplūst; ja mazāku locekļu rinda šķiras, tad šķiras arī lielāku biedru rinda.

dibens. Dosliditi par zbіzhnist rindā.

Risinājums. Rindas pēdējais loceklis, un rinda ir ģeometriskās progresijas ar reklāmkarogu dalībnieku nenogremdējamā summa< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Por_vnyannia zīme pie robežas formas

Apskatīsim divas rindas i, i don't hai - galīgais skaitlis. Jebkurā gadījumā rindas saplūst vai izkliedējas vienlaikus.

dibens.

Risinājums. Mēs izvēlamies rindu povnyannya, z'yasuvshi, kuram kā ugunīgs rindas loceklis ar lielu n:

Tobto. ~ , un jaka izlīdzināšanas rindu, paņemiet rindu, kas atšķiras, kas tika parādīts iepriekš.

Aprēķināms starp

Un vēlāk, apvainojot rindas uzvesties tāpat, tobto. visa rinda var arī atšķirties.

D'Alemberta zīme

Ļaujiet man sniegt jums rindu un skaidru robežu. Todi, jakščo l < 1, то ряд сходится, если l> 1, tad sērija atšķirsies, tātad l= 1, tad netiek dota apstiprināšanas pazīme (tas ir nepieciešams papildu novērošanai).

dibens. Dolіditi zbіzhnіst rinda (uzmini ko, tobto. n-faktoriāls є visu veselo skaitļu pievienošana no 1 līdz n).

Risinājums. Kurai rindai, (mērķim tas ir nepieciešams n iedomājies n+ 1). Aprēķināms starp

un šķembas starp mazāk nekā 1, visa sērija saplūst.

Radikāla Koša zīme

Ļaujiet man sniegt jums rindu un skaidru robežu. Jakšo l< 1, то ряд сходится, если l> 1, tad sērija atšķirsies, tātad l= 1;

dibens. Turpiniet uz zbіzhnist rindu

Risinājums. Karstais elements ir zems. Aprēķināsim robežas. Tātad, tas ir zems, lai saplūst.

Neatņemama Koshi zīme

Paskatīsimies uz rindu un tas ir pieņemami, kas ir uz grīdas XÎ ir principiāli nepārtraukta, pozitīva un monotoni dilstoša funkcija, kas, n= 1, 2, 3… Tad sērijas un nekonsekventais integrālis saplūst un vienlaikus atšķiras.

Būtiski, ka funkcija tiek apskatīta starpposmā kā datu virkne.

Uzmini kas neklasificēts integrālis sauc līdzīgi, yakscho іsnuє kіntseva robeža, і todi =. Pat ja robežai nav gala, tad tā šķiet neklasificēts integrālis izklīst.

dibens. Apskatīsim rindu - harmoniskā rinda vai Dirihla rinda ar soļa indikatoru s. Jakšo s= 1, tad sērija tiek izsaukta harmoniska kārtība.

Sekosim šai rindai, vikorists integrējot Košī zīmi: =, un funkcija = maє viss dominējošais, kas piešķirts zīmei. Mēs varam aprēķināt nesaprotamo integrāli.

Ir trīs iespējas:

1) s < 1, и тогда

integrālis atšķiras.

2) kad s = 1

integrālis atšķiras.

3) jakšo s> 1, tad

integrālis saplūst.

Višnovoka. Harmoniskās sērijas saplūst, kā s> 1, un atšķiras, tātad s ≤ 1.

Šī rinda bieži ir vikoristovuyut izlīdzināšanai ar citām rindām, ko atriebt soli n.

dibens. Sekojiet rindai līdz apakšai.

Risinājums.Šai sērijai ~ = tas nozīmē, ka šī sērija ir līdzīga sērijai, kas saplūst, piemēram, Dirihleta sērija ar soļa indikatoru s = 2 > 1.

Aiz līdzinājuma zīmes robežformā mēs zinām starp dotās rindas un Dirihlē rindas dubulto elementu izlīdzināšanu:

Otzhe, tsey rinda saplūst.

Ieteikumi par izvēlikomforta zīme

Nasampered, nākamais solis ir paātrināt nepieciešamo skaitļu zīmi un aprēķināt starp pirmo sērijas dalībnieku plkst. Yakshcho, tad vairāki svіdomo atšķiras, un yakshcho, slīdēja, lai paātrinātu vienu no pietiekamām zīmēm.

Porіvnyannia zīmes pamirkšķināt uz klusajiem vipadiem, ja ar taciņu viraza pagrieziens rindas galvas biedram ir atļauts no vienas rindas uz nākamo, kāda tipa zbіzhnіst (chi rozbіzhnіst). Zokrema, kā atriebties mazāk par soli n Un neatriebieties par citām funkcijām, jūs vienmēr varat strādāt.

Porіvnyannia zīmes zastosovuyt tad, ja pēdējā rinda var būt z_stavity z zagalnenim harmonіny rinda vai kārtība, salocīta no bezgalīgas ģeometriskās progresijas dalībniekiem.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

Tam, kurš stāv skaitļu grāmatā it kā no šīm funkcijām, un banerī - levoruča funkcija tajā, tad, labāk par visu, rinda izklīst, un navpaki.

Tsya stattya ir strukturēta un ziņota informācija, kas ir iespējama tiesību un uzdevuma analīzei savlaicīgi. Apskatīsim tēmu par skaitļu sērijām.

Tsya raksts sākas ar galvenajām funkcijām, kas jāsaprot. Mēs sniedzām standarta opcijas un vivimo pamata formulas. Lai aizvērtu materiālu, rakstā ir ievietots galvenais pielietojums.

Pamattēzes

Mēs varam attēlot sistēmu: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . de a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

Piemēram, ņemiet šādus skaitļus, piemēram: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

Tikšanās 1

Skaitļu sērija ir terminu ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + summa. . . + a n +. . . .

Lai labāk izprastu nozīmi, mēs varam apskatīt vipadok, kuram q \u003d - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Tikšanās 2

a k є gulēt vai k-im zemais biedrs.

Vіn izskatās pēc šī ranga - 16 · - 1 2 k.

Tikšanās 3

Častkova summa pēc kārtas izskatās šādi: Sn = a1+a2+. . . + a n , yakіy n-Lai tas būtu cipars. S n n-tā summa ir maza.

Piemēram, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S1, S2,. . . , S n , . . . utvoryyuyut neatbilstības secība skaitliskās sērijas.

Uz rindu n-a summa atrodas aiz formulas S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n. Privāto summu secība nonāks līdz galam: 8, 4, 6, 5,. . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .

Tikšanās 4

Sērija ∑ k = 1 ∞ a k є līdzīgi tad, ja secība var būt līnijas beigas S = lim S n n → + ∞ . Ja nav robežas vai secība nav ierobežota, tad sēriju ∑ k = 1 ∞ a k sauc rozbіzhnym.

Tikšanās 5

Sumy rinda, ko iet∑ k = 1 ∞ a k

Šim lietojumam lim S nn → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 rinda ∑ k = 1 ∞ (- 16 ) · - 1 2 k saplūst. Summa ir dārga 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

dibens 1

Kā rozbіzhny rindas apakšdaļu varat ievietot ģeometriskās progresijas summu ar lielāku reklāmkarogu, zemāku: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.

n-a daļu summu nosaka virāze S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, un starpdaļu summa nav ierobežota: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Vēl viens nejaušu skaitļu sērijas piemērs ir summa formā ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . Šim kontam n privāto summu var aprēķināt kā S n = 5 n . Starpdaļējās summas nav ierobežotas lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

Tikšanās 6

Šīs formas summa ir jaks ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1n +. . . – ce harmoniska numura rinda.

Tikšanās 7

Summa ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1ns + . . . , de s- decisne skaitlis, є zagalnen pēc harmonikas skaitliskās rindas.

Iecelts, aplūkots vairāk, palīdzēs jums pilnveidot vairāk lietojumprogrammu šo uzdevumu.

Lai pabeigtu tikšanos, rinda ir jāsaskaņo.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k

Diemo inversijas ceļā. Ja vīni saplūst, tad robeža ir izdilis. Varat uzrakstīt vienādu kā lim n → + ∞ S n = S un lim n → + ∞ S 2 n = S . Pēc pēdējām mums ir vajadzīga vienādība l i m n → ∞ (S 2 n - S n) = 0.

Navpaki,

S 2 n - S n \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n = 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n

Diezgan tik pārkāpumi 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Mēs ņemam vērā, ka S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Viraz S 2 n - S n > 1 2, lai teiktu, ka lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 nav sasniedzams. Vairāki izkliedēti.

1. b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Ir jāapstiprina, ka skaitļu virknes summa izkrīt pie q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Zgіdno ar iecelto personu palīdzību, summa n locekļi ir atkarīgi no formulas S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Jakšo q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = robež n → + ∞ b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Mēs panākām, ka skaitļu sērijas saplūda.

Ja q = 1b1+b1+b1+. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Sumi var zināt formulas S n = b 1 · n , starpbezgalīgs lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . Šajā variantā rinda atšķiras.

Jakšo q = - 1, tad rinda izskatās šādi: b1-b1+b1-. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Bieži vien summas izskatās kā S n = b 1 par nesapārotu n, i S n = 0 puišiem n. Apskatot šo vipadok, mēs pārdomājam, ka tajā nav nekādu nepilnību un vairākas atšķirības.

Ja q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Mi atnesa, scho numuru sērijas atšķirties.

1. Sērija ∑ k = 1 ∞ 1 k s s > 1 un novirzīties tā, lai s ≤ 1 .

Priekš s = 1ņemam ∑ k = 1 ∞ 1 k , sērijas atšķiras.

Par s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k , dabiskais skaitlis. Oskіlki rinda є razbіzhnym ∑ k = 1 ∞ 1 k , tad nav nekādas atšķirības. Papildus tam secība ∑ k = 1 ∞ 1 k s ir neierobežota. Robimo Višnovok s< 1 .

Ir jāpierāda, ka rinda ∑ k = 1 ∞ 1 k s saplūst, kad s > 1.

Iedomājieties S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1(2n - 1)s

Pieņemsim, ka 1 (n+1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Reprezentējamā vienādība skaitļiem, kas ir naturāli un vienādi ar n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Mēs ņemam:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s +. . . + 1 15 s +. . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Viraz 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Ģeometriskā progresa summa q = 1 2 s - 1 . Zgіdno ar vihіdnimi dannym plkst s > 1, tad 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zbіlshuєtsya un sajaucas ar zvēru 11-12s-1. Ir skaidrs, ka є starp un rindu є līdzīga ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Tikšanās 8

Sērija ∑ k = 1 ∞ a k pozitīvi tam puisim tātad joga termini > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sērija ∑ k = 1 ∞ b k mainīga zīme it kā skaitļu zīmes ir vіdrіznyayutsya. Dānijas atveidojumu pielietojums jak ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k ak vai ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 ak , de ak > 0 , k = 1, 2,. . . .

Sērija ∑ k = 1 ∞ b k pazīstami, uz to ar jaunu skaitļu skaitu, negatīvu un pozitīvu.

Vēl viens rindas variants ir trešā varianta pēdējā rinda.

Uzliksim to ādas ievilkšanai:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Trešajam variantam ir iespējams arī piešķirt absolūtu garīgo komfortu.

Tikšanās 9

Mainīgā virkne ∑ k = 1 ∞ b k absolūti neizdodas šajā virzienā, ja arī ∑ k = 1 ∞ b k tiek uzskatīts par šādu ceļu.

Kā ziņots, mēs analizējam raksturīgo variantu brētliņu

dibens 2

Jakšo rinda 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . i 6+3-3 2+3 4+3 8-3 16+. . . parādās kā līdzīgi, tad pareizi ievadiet 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .

Tikšanās 10

Tiek uzskatīts, ka mainīgā virkne ∑ k = 1 ∞ b k ir garīgi līdzīga šim tipam, jo ​​∑ k = 1 ∞ b k ir atšķirīga, un sērija ∑ k = 1 ∞ b k tiek uzskatīta par līdzīgu.

dibens 3

Mēs ziņojam par iespēju ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 – 1 2 + 1 3 – 1 4 + . . . . Kā variants tiek izvēlēta rinda ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , kas sastāv no absolūtajām vērtībām. Šī opcija ir svarīga, tāpēc to ir viegli izdomāt. No šī viedokļa mēs zinām, ka rinda ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . bude vvazhatisya garīgi līdzīgi.

Līdzīgu rindu iezīmes

Analizēsim dziedāšanas noskaņu spēku

1. Ja ∑ k = 1 ∞ a k konverģēs, tad arī rindu ∑ k = m + 1 ∞ a k atzīst par tādu, kas saplūst. Varat norādīt, bez kuras rindas m dalībnieki arī tiek uzskatīti par līdzīgiem. Vipadku gadījumā, ja pie ∑ k = m + 1 ∞ a k kіlka pievienosim skaitļus, tad arī rezultāts, kas ir viishov, būs līdzīgs.
2. Jakšo ∑ k = 1 ∞ a k go і summa = S, tad konverģē i rindas ∑ k = 1 ∞ A a k , ∑ k = 1 ∞ A a k = A S , de A- Paliec.
3. Kā ∑ k = 1 ∞ a k un ∑ k = 1 ∞ b k є līdzīgi, sumi Aі B tezh, tad saplūst arī rinda ∑ k = 1 ∞ a k + b k un ∑ k = 1 ∞ a k - b k. Sumi dorivnyuvatimut A+Bі A-B acīmredzot.

Nosakiet, kura sērija iziet ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Mainīsim ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Rinda ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 tiek uzskatīta par līdzīgu, bet rinda ∑ k = 1 ∞ 1 k s iziet plkst. s > 1. Atkarībā no otras jaudas ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

dibens 5

Ļaujiet rindai ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 saplūst.

Atgriezeniskais vālītes variants ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

Mēs atņemam summu ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 un ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Ādas sērija ir atzīta par tādu, ka tā saplūst līdz spēka punktam. Rindas lauskas saplūst, tad izejas opcija ir tāda pati.

dibens 6

Aprēķiniet, kā sērija 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + saplūst. . . un aprēķināt summu.

Izejas opcija:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Ādas sērijas saplūst, lauskas ir viens no skaitliskās secības dalībniekiem. Vіdpovіdno uz trešo kundzību, mēs varam saskaitīt, scho vihіdny variants arī ir līdzīgs. Summu aprēķina: rindas pirmais loceklis ir ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, un standarts = 0 . 5 , tad seko ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Pirmais loceklis ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , un dilstošās skaitliskās secības zīme = 1 3 . Mēs ņemam: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Vikoristovuєmo virazi, otrimani vairāk, lai aprēķinātu summu 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Nepieciešamā inteliģence tikšanās, chi є vairākas līdzīgas

Ja rinda ∑ k = 1 ∞ a k є ir līdzīga, tad k-th termins = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Ja tam ticēt, vai tas ir variants, ir nepieciešams neaizmirst par neautentisko prātu. Ja jūs neuzvarēsit, rinda izklīdīs. Ja lim k → + ∞ a k ≠ 0, tad rinda ir diversificēta.

Tālāk norādiet, kas prātam ir svarīgs, bet ar to nepietiek. Tā kā uzvar vienādība lim k → + ∞ a k = 0, tas negarantē, ka ∑ k = 1 ∞ a k ir līdzīgs.

Sniegsim piemēru. Harmoniskām sērijām ∑ k = 1 ∞ 1 k Umoff vikonuetsya lim k → + ∞ 1 k = 0 , taču sērijas joprojām atšķiras.

dibens 7

Aprēķināt efektivitāti ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n.

Apskatīsim robežu n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → 0 = + ∞ ≠ 0

Meža nth dalībnieks nav labs 0 . Mi atnesa, scho tsey rindu izklīst.

Kā apzīmēt zbіzhnіst zīmju pozitīvo sēriju.

Kā pastāvīgi ranžēt ar piešķirtajām zīmēm, lai varētu pastāvīgi skaitīt robežas. Tsej razdіl pievienots, lai palīdzētu nolikt prom salocītu pіd stundu vypіshennya priklіv ka zavdan. Un, lai apzīmētu pozitīvās zīmes vērtību, tā ir zema, tā ir skaidra.

Pozitīvai zīmei ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1, 2, 3, . . . Ir nepieciešams aprēķināt summu summu.

Jaku porivnyuvati rindās

Іsnuє kіlka ir rindu izlīdzināšanas pazīme. Mi porіvnyuєmo rinda, zbіzhnіst kakogo proponuetsya vznáchiti, blakus viņam, zbіzhnіst jaku vіdoma.

Persha zīme

∑ k = 1 ∞ a k un ∑ k = 1 ∞ b k - pozitīvās zīmes sērijas. Nevienmērība a k ≤ b k derīga k = 1, 2, 3, ... Var pieņemt ∑ k = 1 ∞ a k rindā ∑ k = 1 ∞ b k . Tā kā ∑ k = 1 ∞ a k diverģē, tad sēriju ∑ k = 1 ∞ b k var uzskatīt par tādu, kas atšķiras.

Šis noteikums tiek pastāvīgi apstiprināts par vienlīdzības pilnību un ir nopietns arguments, kas palīdzēs jums apzīmēt zbіzhnist. Skladnoshchi var melot ar to, ka jums ir nepieciešams veikt muca par porivnyannya jūs varat zināt tālu no ādas depresijas. Lai pabeigtu, bieži tiek izvēlēts skaitlis saskaņā ar principu k-th dorіvnyuvatime biedrs uz rezultātu vіdnіmannya pokaznіvіv staіnіv staіv nіdnik і znamennik k-th biedru skaits ir zems. Ir pieļaujams, ka a k \u003d k 2 + 3 4 k 2 + 5 būs dārgāks 2 – 3 = - 1 . Šajā gadījumā jūs varat noteikt, kura rinda ir nepieciešama līdzināšanai k-im loceklis b k \u003d k - 1 \u003d 1 k, kas ir harmoniski.

Lai aizvērtu materiālu, sīkāk apskatīsim dažas tipiskas iespējas.

dibens 8

Zīmīgi, ka jakim ir rinda ∑ k = 1 ∞ 1 k – 1 2 .

Šķembas starp = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 Nelīdzenumi būs godīgi 1 k< 1 k - 1 2 для k , jaki ir dabiski. No iepriekšējiem punktiem mēs atzinām, ka harmoniku rinda ∑ k = 1 ∞ 1 k ir atšķirīga. Ar pirmo zīmi var atklāt, ka pēdējais variants ir rozbіzhnym.

dibens 9

Zīmīgi, ka chi є rinda ir līdzīga vai atšķirīga ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Kura dibenam ir vajadzība pēc inteliģences, šim lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Pasniedz, redzot nelīdzenumus 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Sērijas ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ir līdzīgas, bet harmoniku rindas ∑ k = 1 ∞ 1 k s saplūst, kad s > 1. Zgidno ar pirmo zīmi, varam izveidot visnovok, ka numuru sērija ir līdzīga.

dibens 10

Vznachiti, jakim є sērija ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Šajā brīdī jūs varat noteikt vajadzību pēc gudrības. Nozīmīga rinda povnyannya. Piemēram, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Lai noteiktu, kāpēc pēda ir laba, varam aplūkot secību (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Secības dalībnieki ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . zbіshuєtsya līdz bezgalībai. Izanalizējot vienādības, var noteikt, ka, pieņemot vērtību N = 1619, secības locekļi > 2. Šai secībai būs derīga nevienādība 1 k ln (ln k).< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Vēl viena nozīmīte

Pieņemsim, ka ∑ k = 1 ∞ a k un ∑ k = 1 ∞ b k ir pozitīvas zīmes skaitliskās sērijas.

Ja lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , tad rinda ∑ k = 1 ∞ b k iet uz augšu, i ∑ k = 1 ∞ a k

Ja lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, ja rindas ∑ k = 1 ∞ b k atšķiras, tad arī ∑ k = 1 ∞ a k atšķiras.

Ja lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, tad sērijas mērogojamība nozīmē otras mērogošanas mērogošanu.

Apskatīsim ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k – 1 citām zīmēm. Izlīdzināšanai ∑ k = 1 ∞ b k ņem virkni ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Būtiski starp: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Ar citu zīmi var redzēt, ka rinda ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, kas iet, nozīmē, ka arī vālītes variants saplūst.

dibens 11

Atrodiet virkni ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Analizēsim nepieciešamo prāta lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, jo šajā variantā tas ir uzvarošs. Ar citu zīmi pieņemsim virkni ∑ k = 1 ∞ 1 k . Shukaєmo starp: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Vіdpovіdno līdz norādes ir lielākas par šīm, rinda, scho, lai izkliedētu, velk sevi atsevišķi vihіdny rindā.

trešā atzīme

Apskatīsim trešo pārtraukuma pazīmi.

Pieņemsim, ka ∑ k = 1 ∞ a k un _ ∑ k = 1 ∞ b k ir pozitīvas zīmes skaitliskās rindas. Tā kā prāts ir otrādi pirmajam skaitlim a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , tad šīs sērijas ∑ k = 1 ∞ b k efektivitāte nozīmē, ka arī rinda ∑ k = 1 ∞ a k ir līdzīga. In-line rinda ∑ k = 1 ∞ a k velkas aiz jums rozbіzhnist ∑ k = 1 ∞ b k .

D'Alemberta zīme

Pieņemsim, ka ∑ k = 1 ∞ a k ir pozitīvas zīmes skaitļu rinda. Cik lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, tad sadalīsim to.

1. piezīme

D'Alembert zīme ir taisnīga brīžos, it kā starp neatbilstībām.

Ja lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , tad rinda є ir līdzīga, ja lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ tad tā ir dalāma.

Ja lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, tad d'Alemberta zīme nav noderīga un ir nepieciešams veikt papildu pētījumus.

dibens 12

Zīmīgi, ka chi є rinda līdzīga vai atšķirīga ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k aiz d'Alemberta zīmes.

Ir jāpārdomā, kas ir nepieciešams, lai uzvarētu prātu. Aprēķināsim attālumu, izmantojot Lopitāla likumu: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ log 2 = 0

Mēs varam runāt par to, kādi prāti uzvar. Izmantojot d'Alemberta zīmi: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Rinda ir līdzīga.

dibens 13

Zīmīgi, ka chi є rinda patvaļīgi ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Mēs izmantojam d'Alemberta zīmi, lai atrastu atšķirību rindā: k + ∞ k + 1 k = 1 k + 1 (k + 1)! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e > 1

Otzhe, vairāki є razbіzhnim.

Radikāla Koša zīme

Iespējams, ka ∑ k = 1 ∞ a k ir nepozitīva rinda. Cik lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, tad sadalīsim to.

2. piezīme

Ja lim k → + ∞ a k k = 1, tad šī zīme nesniedz nepieciešamo informāciju - papildu analīzes nepieciešamību.

Tsya zīme var buti vikoristan in butts, yakі viegli vyznachiti. Vipadok būs raksturīgs tikai tad, ja skaitliskās sērijas dalībnieks - tse rāda staltu viraz.

Lai aizvērtu otriman informāciju, apskatīsim raksturīgu piemēru paraugu.

dibens 14

Zīmīgi, ka chi ir pozitīva virkne ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k uz līdzīgu.

Ir nepieciešams prāts, lai vikonāns to ievērotu, shards lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Skatoties uz zīmi, skatoties caur aci, varam pieņemt, ka lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

dibens 15

Skaitļu rindas saplūst ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Vikorista zīme, kas aprakstīta iepriekšējā rindkopā lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Neatņemama Koshi zīme

Pieņemsim, ka ∑ k = 1 ∞ a k ir pozitīva virkne. Ir jānorāda nepastāvīga argumenta funkcija y = f(x), Kas darbojas a n = f (n) . Jakšo y = f(x) lielāks par nulli, nepārkāpt un mainīt uz [a; + ∞) , kur a ≥ 1

Tagad laiks, kas nav skaidrs, integrālis ∫ a + ∞ f (x) d x є ir līdzīgs, tad virkne, kas tiek apskatīta, arī saplūst. Ja vīni ir atdalīti, tad dibenā vairāki no tiem arī tiek atdalīti.

Apgriežot mainīto funkciju, varat pārskatīt iepriekšējās nodarbībās apskatīto materiālu.

dibens 16

Apskatiet krājumu ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k, lai uzzinātu par iespējamību.

Sērijas mentalitāti ievēro vikonāns, jo lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Apskatīsim y = 1 x ln x. Won ir lielāks par nulli, nepārtrauc un mainās uz [2; +∞). Pirmās divas rindkopas ir iepriekš noteiktas, un trešajā nākamajā ir ziņojums. Mēs zinām labāk: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Uzvarēja mazāk par nulli uz [ 2 ; + ∞) Nav nepieciešams celt tēzi par tiem, ka funkcija dilst.

Nu, funkcija y = 1 x · ln x parāda principa pazīmes, ka mēs esam redzējuši vairāk. Paātrinot: ∫ 2 + ∞ dxx ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Vіdpovіdno līdz otrimanih rezultātiem, vyhіdny muca atšķirties, šķembas nepareizas integrācijas є razbіzhnym.

dibens 17

Paplašiniet sēriju ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Oskіlki lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, tad Umov respektē vikonana.

Sākot no k = 4, virniy viraz 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Ja sērija ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 tiks uzskatīta par līdzīgu, tad saskaņā ar vienu no izlīdzināšanas principiem sērija ∑ k = 4 ∞ 1 ( 10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 arī jūs interesēs iet. Šajā rangā mēs varam norādīt, ka arī pašreizējais viraz ir līdzīgs.

Turpiniet pierādīt ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Mēroga funkcija y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 lielāka par nulli, nepārkāpjiet un mainiet uz [ 4 ; +∞). Vikoristovuemo zīme, kas aprakstīta priekšējā rindkopā:

∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 ln 28 2

Īsākā sērijā, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , mēs varam konstatēt, ka ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8) ) )) 3 arī saplūst.

Oznaka Rābe

Pieņemsim, ka ∑ k = 1 ∞ a k ir pozitīvas zīmes skaitļu rinda.

Cik lim k → + ∞ k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, tad saplūst.

Tādā gadījumā dāņu apzīmēšanas metode var būt uzvaroša, jo aprakstītā tehnika nedod redzamus rezultātus.

Doslіdzhennya par absolūtu zbіzhnіst

Pārējiem ņemam ∑ k = 1 ∞ b k. Vikorista pozitīvais ∑ k = 1 ∞ b k . Mēs varam vikoristovuvat be-yak z vіdpovіdnyh zīmi, yakі mēs aprakstījām vairāk. Ja virkne ∑ k = 1 ∞ b k darbojas, tad izvades sērija ir absolūti līdzīga.

dibens 18

Turpiniet sēriju ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 pa kreisi ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2k-1.

Umovu vikonuetsya lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Vikoristovo ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 i paātrina ar citu zīmi: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Rindas ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 saplūst. Arī ārējā rinda ir absolūti līdzīga.

Razbіzhnіst znazmіnіh ryadі

Ja rinda ∑ k = 1 ∞ b k ir atšķirīga, tad mainīgās sērijas ∑ k = 1 ∞ b k alternatīvā zīme ir vai nu atšķirīga, vai garīgi līdzīga.

D'Alemberta zīmes un Košī radikālās zīmes vietā var papildināt vysnovki par ∑ k = 1 ∞ b k moduļu paplašināšanai ∑ k = 1 ∞ b k . Rindas ∑ k = 1 ∞ b k arī diverģēs tā, lai neiegūtu nepieciešamā garīgā iespējamība, lai lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

dibens 19

Apgrieztā mainība 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

Modulis k-th pārstāvniecību biedrs ak b k = k! 7 k.

Turpiniet sēriju ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k uz malas aiz d'Alemberta zīmes: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k disperse like i, like i exit opciju.

dibens 20

Chi є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) līdzīgi.

Apskatīsim nepieciešamo Umova teoriju lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k) + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Umovs nav Vikonans, tāpēc ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ir paplašinājumu virkne. Bula robeža tika pārkāpta saskaņā ar Lopitāla likumu.

Garīgās veselības pazīmes

Leibnica zīme

Tādējādi nākamās sērijas zīmes locekļu vērtības samazinās b 1 > b 2 > b 3 > . . . >. . . і starpmodulis = 0 kā k → + ∞ , tad iet sērija ∑ k = 1 ∞ b k.

dibens 17

Aplūkojiet iespēju ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1).

Attēlojumu sērija jak ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Nepieciešamība pēc umova lim k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Apskatīsim ∑ k = 1 ∞ 1 k aiz citas izlīdzināšanas zīmes lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Iespējams, ka ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) atšķiras. Sērijas ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) saplūst pēc Leibnica zīmes: secība 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 ( 2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1,. . . izmaiņas i lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Vairāki garīgi saplūst.

Ābela-Dirihleta zīme

∑ k = 1 + ∞ u k · v k tajā brīdī izzūd, jo ( u k ) neaug, un secība ∑ k = 1 + ∞ v k ir ierobežota.

dibens 17

Turpiniet 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . ērtībām.

redzams

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

de(u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Nestabila un secība (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . bārkstīm (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Vairāki saplūst.

Kā atcerējāties piedošanu tekstā, esiet laipni, skatiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Ieeja

ciparu coche d'Alembert

Izpratne par neizsīkstošām summām patiesībā bija senās Grieķijas prātā (Eudokss, Eiklīds, Arhimēds). Zināšanas par neizsmeļamām summām balstījās uz noliktavas metodi, tā saukto attīrīšanas metodi, ko plaši uzvarēja sengrieķu figūru laukuma figūras, obsyagіv tіl, dozhin, plānas līkas. Tā, piemēram, Arhimēds, lai aprēķinātu paraboliskā segmenta laukumu (tas ir, figūra, ko ieskauj taisna līnija un parabola), zina neizsmeļamas ģeometriskās progresijas summu ar standarta 1/4.

17. gadsimtā sāka uzvarēt vairākas neatkarīgas matemātikas izpratnes. es Ņūtona un G. Leibnica zastosovuvali rindas algebrisko un diferenciālvienādojumu risināšanai. Rindu teorija XVIII-XIX gs. izstrādāts Ya. ta I robotos. Bernulli, B. Teilore, K. Maklarūna, L. Eilera, Ž. d'Alemberta, Dž. Lagrenža u.c. Suvora rindu teorija tika izveidota XIX gs. pamatojoties uz robežu izpratni K. Gausa, B. Bolcāno, O. Kosija, P. Dirihla, N. Ābela, K. Veijerštrāsa, B. Rimana un іn.

Šīs problēmas izpētes aktualitāti atklāj fakts, ka viņš sadalīja matemātiķus, kas ļauj pārbaudīt, vai uzdevums ir pareizi izvirzīts ar praktiskai lietošanai pietiekamu precizitāti, tiek saukta par sēriju teoriju. Navit kā sava veida smalka matemātiskās analīzes izpratne parādījās kā sakarīga poza no rindu teorijas, smirdoņa tika nolaidīgi pielipusi rindām, it kā tās kalpotu kā bi-rīks, lai mēģinātu to nozīmi saprast. Šāda nometne ir glābta un lipīga. Šādā rangā є faktiskā skaitļu rindas vichity, їkh galvenā izpratne un rindas īpatnība.

1. Vīna darītavas vēsture

.1 Pirmā mīkla un skaitļu rinda

Aritmētikas noteikumi dod mums iespēju norādīt divu, trīs, trīs vai vairāku summu un neatkarīgi no galīgās skaitļu kopas. Un cik dodankiv nav ierobežoti? Lai tse "neemensha" neskaidriba, tobto. dariet man zināmu dodankіv lіchilne skaitu.

Zināšanas par neizsmeļamām summām balstījās uz noliktavas metodi, tā saukto attīrīšanas metodi, ko plaši uzvarēja sengrieķu figūru laukuma figūras, obsyagіv tіl, dozhin, plānas līkas. Tā, piemēram, Arhimēds, lai aprēķinātu paraboliskā segmenta laukumu (tas ir, figūra, ko ieskauj taisna līnija un parabola), zina neizsmeļamas ģeometriskās progresijas summu ar standarta 1/4.

Mayzhe pirms divarpus tūkstošiem gadu, grieķu matemātiķis un astronoms Jevdoks Knidskis zastosovuvav metodi "vycherpuvannya", līdz tiek sasniegts apgabals. Šīs metodes ideja ir balstīta uz to, ka ķermenis, kas tiek veikts, sadala detaļu skaitu vai to laukumu un pēc tam saliek kopā. Šo metodi izstrādāja Eiklīds un Arhimēds. Acīmredzot seno matemātiķu robotos nebija tik precīzas metodes ievadīšanas. Uz kuru bija jāiet vēl divi tūkstoši gadu ceļš, uz kura bija asiņu tulznas, piedošana un ziņkārības.

Piemēram, ass it kā atspoguļo vienu vidusšķiras teologu, lai pierādītu - ne vairāk, ne mazāk - Visvarenā Dieva pamatu.

Pierakstīsim to vienādās vērtībās S kā neizsmeļamu summu

S = 1010101010 ... (1)

“Ādu līdzsvara labās daļas aizstāšana ar nulli summai 1+(-1)

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Atstājot pats par sevi pirmo papildinājumu labajā daļā (2), mēs savienojam vēl vienu papildinājumu trešajam, ceturtajam, piektajam utt., lai palīdzētu lokam. Todi

S = 1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) + ... = 1 +0 +0 + ... = 1.

"Tāpat kā no nulles var ņemt vientulību par bazhaniju, tad tas ir pieļaujams un ir pieļaujams pasaules radīšana no nekā!"

Či gaidi mūs ar tādu mirkuvannyam? Skaidrs, ka nē. No mūsdienu matemātikas viedokļa autora piedošana ir skaidra ar to, ka kļūdas tiek izrunātas ar izpratni, kurai netiek piešķirta nominācija (kas ir tas pats - "neizsmeļama papildinājumu summa" ), un mēģināt pārtaisīt (loka atvēršana, pārgrupēšana), to leģitimitāte nebija bula gruntēta ar viņu.

17. un 18. gadsimta izcilākie matemātiķi - Īzaks Ņūtons (1642-1727), Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716), Brūka Teilore (1685-17) ), Kolins Maklorins (1698-1746), Džozefs7 Luis6-rindžs (1. 1813). Leonards, Eilers (1707-1783) izcēlās ar virtuozu gadījuma meistarību ar rindām, savulaik bieži atzīstot vikoristu zemējuma trūkumu savās pieņemšanās. Simts robotos vairākkārt atkārtojas priekšlikumi šādam kštaltam: "Mēs esam parādījuši, ka šie divi neizsmeļamie vārdi ir vienādi, gribas, un to nebija iespējams īstenot." Vіn zastorіgaє mathematicіv vіd vіd vykoristannya “rindas, scho, lai atšķirtos”, ja jūs pats nesākat dbvіd tsgogo, un tikai ģeniāla intuīcija aizsargā jogu vіd nіrnih vysnovkіv; Tiesa, “pīrss” ir iesprostots jaunajā.

19. gadsimta sākumā kļūst skaidra nepieciešamība pēc rūpīgas "skaitlisko summu" pilnvaru pamatošanas. 1812. gadā Kārlis Frīdrihs Gauss (1777-1865) deva pirmo seriāla veiksmes zīmi, 1821. gadā mūsu labs draugs Augustins Luiss Košī (1789-1857) izveidoja mūsdienu seriālu teorijas pamatprincipus.

.2 Skaitlisko rindu tālāka savīšana. Skaitļu sērijas izpratnes formulas lasīšana

Neizsmeļamo ģeometrisko progresiju summēšana ar zīmi, kas mazāka par 1, tika veikta jau sen (Arhimēds). Bula harmoniskās rindas atšķirību noteica itāļu zinātnieks Mengoli 1650. gadā. Pakāpienu rindas parādījās Ņūtonā (1665), ņemot vērā, ka sakrauta rinda var atklāt funkciju. Pie XVIII gadsimta ierēdņiem grāfu vidū pastāvīgi tika ieskaitītas vairākas pakāpes, taču ne vienmēr viņi cienīja ēdienu par dzīvi. Precīza sēriju teorija ir balstīta uz Gausa (1812), Bolcāno (1817) un Nareshti, Koshy darbiem, pagaidām tiek dota noteikt sēriju summu, kurai vajadzētu samazināties, un tiek noteiktas galvenās teorēmas. . 1821 Koshі publicē "Analīzes kursu Karaliskajā Politehniskajā skolā", kas ir visnozīmīgākais jaunu ideju paplašināšanai matemātiskās analīzes jomā 19. gadsimta pirmajā pusē.

“Norādījums nosaukt neizmērīto kilkosu secību

lai iet viens no pārējiem par dziesmu likumu ... Ej

є n-pirmo vārdu summa, kur n ir veselais skaitlis. Tādējādi, pastāvīgi palielinoties n vērtībai, summa nav tuvu robežai S, sēriju sauc par līdzīgu, un summa ir rindas robeža. Navpaki, it kā ar neierobežotu izaugsmi, summa netuvojas tai pašai dziedātajai robežai, rinda būs rozīga, nevis mātes sumi ... ”[No pirmās daļas“ Analīzes kurss politehniskajā karaļskolā ”O Koši (1821) ( Nr.54 III sēj., lpp. 114-116, tulkojis A.P. Juškevičs}]

.3 Uzdevumi saprast skaitliskās rindas un ti, kurā vīni uzvar

Divkāju Akhiles nevarēja palīdzēt bruņurupucim, it kā uz vālītes bruņurupucis atrastos jaunā bruņurupuča priekšpusē. Tiesa, lai počatkovs vіdstan є un і lai Ahilejs dzīvo pie reizes gudrāk par bruņurupuci. Ja Ahillejs gāja caur a, bruņurupucis izgāja caur a/k, ja Ahillejs izgāja cauri attālumam, tad bruņurupucis izgāja caur a/ utt. shorazu mіzh zmagannyami vіdminna vіd nulles vіdstan.

Šajā aporijā, tās pašas saasinātās nekonsekvences noziegumā, ir vēl viena lieta. Pieņemsim, ka kādu stundu Ahileja nazdzhena bruņurupucis. Pierakstīsim Ahileja ceļu

ta bruņurupuču ceļš

Uz ādas taku a/, garām Ahiles, uz bruņurupuču taku a/. Tātad līdz Ahileja skaņas brīdim ir iespējams iziet cauri “w stiliem” summā kā bruņurupucis. No otras puses, ādas grēda a/, garām bruņurupucim, var salīdzināt līdzvērtīgu jomu ar grēdas izmēru ar Ahileja ceļu. Ale, sche, Ahillejs vainīgs probigti sche vēl vienu vіdrіzok dovzhini a, tobto. vіn var iet vēl vienu vіdrіzkіv, nizh bruņurupucis. Tāpat kā daudzi vēji, pagāja garām pārējiem, є b, tad ņemsim

"Strela". "Strela". Ja stunda un telpa sastāv no nepiedienīgām daļiņām, tad lidojošā bulta ir nepaklausīga, tā ka āda ieņem stundai nepiemērotu brīdi, pat ja ieņem savu pozīciju, tobto. atpūta, un stunda ir šādu nepiemērotu brīžu summa.

Šī aporija ir iztaisnota līdz nepārtrauktam lielumam - kā neizsīkstoša daudzuma nekonsekventu daļiņu summa.

"Stadions". Lai viņi skrien pa stadionu ar paralēlām taisnām masu līnijām ar vienādu zviedru, ale pretējās taisnēs. Lai rinda nozīmētu nepaklausīgas masas, rinda - masas, kas sabrūk pa labi, un rinda - masas, kas sabrūk pa kreisi (1. att.). Tagad paskatīsimies uz masi. it kā nepiemērots. Noteiktā stundā paiet garām noteiktai telpas daļai. Tiesa, tāpat kā nepiemērots stundas moments, pagāja vairāk nekā viena nekonsekventa telpas daļa, tad neatbilstošs stundas brīdis būtu dilimo, vēl mazāk, tad varētu sadalīt nekonsekventu plašuma daļu. Tagad varam paskatīties uz nepiedienīgo steigu pa vienam: divos nepiemērotos brīžos un stundā pagāja divas nenoteiktas daļas, un tajā pašā laikā tika uzspridzinātas divas nenoteiktas daļas, tobto. nepareizais brīdis parādīsies vēlāk.

Šai aporijai var piešķirt mazliet citu formu. Tajā pašā stundā t punkts apbrauks pusi vēja un visu vēju. Bet āda šim brīdim nav piemērota, stunda nav piemērota tai telpas daļai, kas var paiet stundā. Vienāds punktu skaits ir “vienādi” pretējā virzienā, un vienāds punktu skaits ir “vienāds”, jo starp abu punktu punktiem ir iespējams noteikt abpusēji nepārprotamu redzamību. Tsim ir izveidots šāds vіdpovіdnіst starp punktiem vіdіrіzkіv raznoї dovzhina. Par cik tu zini, ka pasaules nejaušības iznāk kā nepiemērotu apmeklējumu summa, tad ūsas ir paradoksālas.

2. Zastosuvannya skaitliskās sērijas

.1 Tikšanās

Dota atšifrētā ciparu secība

Iecelšana amatā 1.1. Skaitliskā instrukcija vai vienkārši pasūtījums sauc par viraz (summu) prātu

Tiek saukti cipari numura dalībnieki, - mežonīgs vai nth zemais biedrs.

Lai iestatītu sēriju (1.1), pietiek ar rindas i-tā locekļa aprēķina dabiskā argumenta funkciju pēc i-tā skaitļa.

Skaitliski var atrisināt 3 sērijas (1.1) dalībniekus privāto tiesību pēctecība summa de - sērijas pirmo dalībnieku summa, ko sauc n-un privātā summa, tad.

…………………………….

…………………………….

Skaitliskā secība skaitļa neierobežotam pieaugumam var būt:

) pierobežas mātes;

) nav mātes beigas robežas (robeža nav іsnuє vai dorіvnyuє neskіchennostі).

Iecelšana amatā 1.2. Tiek izsaukta sērija (1.1). līdzīgi kā yogo privāto summu secība (1.5) var būt rindas beigas, tobto.

Kādā veidā tiek izsaukts numurs soma sērija (1.1), kas ir piešķirta

Iecelšana amatā 1.3. Sērija (1.1) tiek izsaukta rozbіzhnym, kā sekas jogo privātajām summām nav galīgas robežas.

Razbіzhny rinda netiek attiecināta uz to pašu sumi.

Šajā rangā uzdevums zināt vairāku darāmo lietu summu (1.1) ir vienāds ar yogo chastkovy summu savstarpējās secības aprēķinu.

.2 Ciparu rindas galvenie pakāpumi

Dodankivu galīgā skaita summas varas iestādes apstrīd pēc kārtas, tobto. summa neierobežota skaita dodankiv. Tātad dodankiv їx galīgā skaitļa brīdī ir iespējams tos grupēt jebkurā secībā, neatkarīgi no tā, cik daudz summa nemainās. Іsnuyut rindas, kas saplūst (garīgi līdzīgas), tiem, piemēram, Romānam Georgam Frīdriham Bernhardam, mainot savu dalībnieku secību, varat palielināt pāra skaitļa rindas summu un izveidot citu rindu.

Piemērs 2.1.Apskatīsim vairākus viedokļus, kas atšķiras

Grupējot jogas terminus pa pāriem, no summas ņemam līdzīgu skaitļu sēriju, kas ir vienāda ar nulli:

No otras puses, grupējot pirmo biedru pa pāriem, sākot no otra biedra, mēs arī ņemam līdzīgu rindu, bet arī no maisa, kas ir vairāk viena:

Rindu skaitļi var būt spēka diakoni, it kā tie ļauj bērniem ar tiem strādāt, tāpat kā ar beigu summām. Tātad jūs varat tos reizināt ar skaitļiem, pievienot tos pēc vārda un redzēt tos. Viņi var apvienoties grupā, vai tās ir noliktavas, lai stāvētu sardzē.

Teorēma 2.1.(Nepieciešamās rentabilitātes pazīmes ir zemas).

Ja rinda (1.1) saplūst, tad pilnais loceklis ir vienāds ar nulli neierobežotai n pieaugumam, tad.

Teorēmas pierādījums ir acīmredzams no tā, ka, un tas

S ir rindas (1.1) summa, tad

Umova (2.1) - seriāla panākumiem nepieciešams, bet nepietiekami garīgs. Tas ir, ja sērijas pēdējais termiņš sasniedz nulli plkst., tad tas nenozīmē, ka sērija saplūst. Piemēram, harmoniku sērijai (1.2) vīni atšķiras.

Sekas(Pietiekama zīme rozbіzhnostі zems).

Yakshcho zagalny dalībnieks ir zems nevis pragne nulles pie, tsey sērijas izkliedēt.

Jauda 2.1. Sērijas līdzība vai rozātājs nemainās, it kā ar pietiekamu rīkojumu izņemt no jaunā, pievienot jaunajam, pārkārtot dalībnieku skaitu jaunajā pēdējā (ja vēlaties pāriet uz nākamo viens, jūs varat mainīt summu).

Pierādījums tam, ka rinda (1.1.) un tās pārpalikums saplūst vai atšķiras vienlaicīgi, ir skaidrs.

Jauda 2.2. Līdzīgu rindu var reizināt ar skaitli, lai rinda (1.1) saplūstu, ja summa S un c ir skaitlis, tad

Pierādījums daiļrunīgām runām, ka godīgums ir godīgs

Jauda 2.3. Līdzīgas rindas var salocīt pēc termina un redzēt, tobto. kā rinda,

saplūst,

saplūst, ka її summa dorivnyuє tobto.

Apstiprinājums ir redzams no pilnvarām starp pēdējām summām, tobto.

Izlīdzināšanas zīme

Dodiet man divas pozitīvas rindas

un cīnies ar visiem prātiem n=1,2,…

Todі: 1) zі zbіzhnіstі rinda (3.2) nіd zbіzhnіstі rinda (3.1);

) no rindas novirzes (3.1.) nākamais rindas mainīgums (3.2).

pierādījums. 1. Ļaujiet rindai (3.2) saplūst un yogo summa ir dārgāka B. Rindas (3.1) daļējo summu secība ir nemainīgs dzīvnieku skaits, tas ir.

Tikai no šādu secību iespējām starp tām var būt robeža. rinda (3.1) saplūst.

Ļaujiet sērijai (3.1) atšķirties. Tātad, ja sērija (3.2) saplūst, tad no 1. punkta, kas celts iepriekš, sērijas saplūst, lai mūsu prātus varētu aizstāt. Arī sērijas (3.2) atšķiras.

Tsya ir zīme manuāli zastosovuvat līdz iecelšanai zbіzhnostі ryadіv, pіvnyuyuchі їх іz rindas, zbіzhіnі yah vzhe vіdoma.

D'Alemberta zīme

Todi: 1) par q< 1 ряд (1.1) сходится;

) q > 1 sērijai (1.1) atšķiras;

) pie q = 1, par rentabilitāti (1.1.) neko pateikt nevar, nepieciešami nepieciešamie papildus pētījumi.

Cieņa: Sērija (1.1) novirzīsies šajā virzienā, ja

Koša zīme

Lai pozitīvās rindas (1.1) locekļi ir tādi, ka ir robeža

Todi: 1) par q< 1 ряд (1.1) сходится;

) q > 1 sērijai (1.1) atšķiras;

3) pie q = 1 rentabilitāte ir zema (1,1), neko nevar teikt, ir nepieciešama papildu uzraudzība.

Neatņemama zīme Košī - Maklaurīns

Lai funkcija f(x) tiek pārtraukta bez pārtraukuma

Tad sērijas un nekonsekventais integrālis saplūst un vienlaikus atšķiras.

.3 Uzdevums

Matemātikā un citās zinātnēs skaitļu rindas ir apstājušās. Es vēlētos sniegt šādu vikoristannya piemēru zariņu.

Piemēram, par Ulamkovy šķirņu struktūru spēku doslіdzhennya. Patiešām, jēdziens “struktūra” tika būtiski paplašināts, lai raksturotu graudu pasaulīgos spēkus. Tajā pašā laikā jēdziens "struktūra" petrogrāfijā neatbilst "struktūras" jēdzienam kristalogrāfijā, strukturālajā ģeoloģijā un citās zinātnēs par Budova runu. Pārējā daļā struktūra ir labāk saprotama petrogrāfijas faktūrai un parāda telpas aizpildīšanas veidu. Lai pieņemtu, ka “struktūra” ir viegli saprotama, tad šādas struktūras ir jāņem vērā bez izmaiņām: faktūras sekundārās un primārās struktūras; kristāliskā, ķīmiskā, aizvietošana (roze, pārkristalizācija plānā veidā), deformācijas struktūras, orientācija, liekās struktūras un citi. Tāpēc šīs "struktūras" sauc par "hibniy struktūrām".

Struktūra - bezpersonisko strukturālo elementu kopums, ko raksturo graudu lielums un joga kіlkіsnimi spіvvіdnennymi.

Veicot specifiskas klasifikācijas, tiek izsaukti graudu lineārie parametri no secības.

lai gan platuma aplēses tiek noteiktas, izmantojot maidana (platuma) parametrus. Tsya sledovnіst mozhe znachnu dovzhina es nebūs. Sāciet runāt tikai par parametru apmaiņu, nosaucot graudu izmēra maksimālās (max) un minimālās (min) vērtības.

Viens no P4 tiešajiem attēlojumiem ir dažādas skaitliskās rindas, kuras tiks piešķirtas kā augstāka secība, un (?) vietā tiek likta sumi (+) zīme. Visas secības ir apvienotas ar vienādiem elementiem un to laukuma salocīšanu. Todi maєmo secība:

Viraz nozīmē, ka apgabals mirst, ka tas aizņem visu kluso graudu pererizi i, kaut kādu koku izplešanos.

Šī graudu īpatnība ļauj veikt atņemšanas īpašību skaitlisku analīzi. Pirmkārt, parametru var izmantot kā koordinātu ass i vērtību, šāds rangs būs faktiskais grafiks S = f (l). Citā veidā secību (RSl) 1 var sarindot, piemēram, mainot koeficientus, kā rezultātā virkne

Pati sērija tiek saukta par konkrētās šķirnes rezekcijas struktūru, un jēdziena nozīme ir “struktūra”. Parametrs є ir struktūras elements, bet parametrs k= ir struktūras garums. Aiz staba n = k. Šāda struktūras izpausme ļauj izlīdzināt dažādas struktūras savā starpā.

Tātad Butusovs Kirilo Pavlovičs radīja “kaujas slimības rezonanses” izpausmi, uz kuras pamata viņš formulēja “planētu periodu likumu”, pēc noteikta laika planētas veido Fibonači skaitlisko sēriju. un Lūka un Doviva, ka Johana Ticija “planētu laiku likums” seko “vēja sitiena rezonansei (1977). Uzreiz, parādot “zelta griezumu”, rozēm bija zemi citi Sonyach sistēmas korpusu parametri (1977). Saistībā ar šo darbu "zelta matemātikas" - jaunas skaitļu sistēmas izveide, kas balstīta uz Fidiju skaitu (1,6180339), vairāk atbilst astronomijas, bioloģijas, arhitektūras, estētikas, mūzikas teorijas uzdevumiem.

No astronomijas vēstures ir skaidrs, ka I. Titijs, 18. gadsimta vācu astronoms, kura palīdzību Fibonači sērija zina šīs kārtības regularitāti starp Sony sistēmas planētām.

Tomēr bija viena lieta, kas likās ļoti skaidra likumam: starp Marsu un Jupiteru nebija planētas. Sarga modrība pret tsієyu dilyanka pіdnebіnnya ļāva atklāt asteroīdu joslu. Tas notika pēc Titiusa nāves uz vālītes 19. gadsimtā. Plaši tiek izmantoti vairāki Fibonači uzvarētāji: šim nolūkam turklāt, lai attēlotu arhitektoniku un dzīvās būtnes, cilvēka radītās sporas un galaktiku dzīvi. Fakti - pierādījumi par prātu skaitlisko virkņu neatkarību, ko es parādīšu, kas ir viena no šīs universāluma pazīmēm.

Kriptogrāfija ir zinātne par matemātiskām metodēm un informācijas konfidencialitātes (informācijas nolasīšanas neiespējamība trešajām personām) un autentiskuma (autorības stiprums un pareizība, kā arī autorības neiespējamība) drošību. Svarīgākas par mūsdienu kriptogrāfijas sistēmām ir straumēšanas vai bloķēšanas algoritmi, kuru pamatā ir dažāda veida aizstāšanas un permutācijas šifri. Diemžēl praktiski visi algoritmi, kas uzvar straumēšanas kriptosistēmās, kas orientēti uz uzvaru krievu valodā un pasūtījuma sistēmās, kā arī atsevišķos gadījumos komerciāla rakstura informācijas aizsardzībai, ir gluži dabiski padarīt tos slepenus un nepieejamus. par atzīšanu. Vienīgie standarta straumes šifrēšanas algoritmi ir amerikāņu DES standarts (CFB un OFB režīmi) un Krievijas standarts GOST 28147-89 (spēļu režīms). Kad cimu straumes šifrēšanas algoritmi, yakі tsikh standarti, є klasificēti.

Straumēšanas kriptosistēmu darbības pamatu veido vipad vai pseido-vipad secību ģeneratori. Apskatīsim uztura ziņojumu.

Pseidokrituma secības

Slepenās atslēgas ir kriptogrāfisko transformāciju pamatā, kuras, ievērojot Kerkhofa likumu, labas šifrēšanas sistēmas drošība tiek uzskatīta par mazāku par atslēgas noslēpumu. Tomēr praksē, izveide, rozpodіl ka zberіgannya atslēgas reti bija saliekams tehniski, pat dārgi zavdannya. Klasiskās kriptogrāfijas galvenā problēma jau ilgu laiku ir bijusi sarežģīta, ģenerējot nepārnesošas dubultās sekvences ar lielu ilgmūžību no īsas dubultās atslēgas ģenerēšanas. Attiecībā uz її vyshennya plaši tiek apstiprināti divu pseido-viparous secību ģeneratori. Pašreizējais progress šo ģeneratoru izveidē un analīzē ir sasniedzis vairāk nekā sešdesmit gadus. Šī iemesla dēļ šādi tiek analizēti noteikumi par atslēgu izņemšanu un ģenerēšanu, pamatojoties uz vecajām pseidovardarbīgajām sekvencēm, kuras uzvar kriptogrāfiskās sistēmas paziņojumu pārveidošanai par šifrēšanu.

Programmatiski iegūtas no atslēgas, vipadkovі chi pseidovipadkovі skaitļu sērijas valsts kriptogrāfu žargonā tiek sauktas par gamma, pēc vārda y - grieķu alfabēta burti, kas matemātiskajos ierakstos tiek apzīmēti ar vipadkovі vērtībām. Ir vērts atzīmēt, ka grāmatā “Svešinieki uz tilta”, ko sarakstījis Ābela advokāts, ir termins gama, ko CIP fahivtsy apzīmēja kā komentāru - “vai tas ir pareizi? jogas sensu. Otrimannya, ka replikācija īstenošanas tiesības vertikālās rindas ir nedrošas, salokāmas un virs galvas. Vibrāciju uzvedības fizikālā modelēšana tādu fizikālu parādību kā radioaktīvā vibrācijas vibrācija, šāviena troksnis elektronu lampā vai vadītāja zenera diodes tuneļzondes palīdzībai nedod pareizus vibrācijas procesus. Vēloties pazust tālumā, zastosuvan їх pie atslēgu ģenerēšanas, piemēram, pie kriptogrāfiskā Krievijas pielikuma KRYPTON. Tāpēc fizisko procesu aizstāšana EOM programmu ģenerēšanai, lai gan tos sauc par nejaušu skaitļu ģeneratoriem vai, patiesībā, viņi redz sērijas deterministiskos skaitļus, viņiem ir mazāka iespēja būt vipadkovy par savu dominējošo stāvokli. . Tajos ir svarīgi mācīties, zinot liešanas likumu, bet nezinot atslēgu, kā skatīties uz vālīšu prātiem, nekas nevarētu mainīt vipadkovy skaitļu sēriju, nibi uzvar ideālo akmens otu izmešanā. Ir iespējams formulēt trīs galvenās iespējas kriptogrāfiski stabilam pseidosavstarpīguma secību ģeneratoram:

Gami periodu var padarīt par lielisku dažādu laiku atceres šifrēšanai.

Gamma var būt ļoti pārspīlēta. Tse nozīmē, ka, ja jums ir ģeneratora tips un gami gabals, tad nav iespējams pārsūtīt uzbrukumu pēc šī cīņas par labu x. Ja jūs kļūstat par kriptonalītiķi mājās, it kā jūs būtu daļa no gami, jūs joprojām nevarat izdomāt, ko mainīt vai sekot viņai.

Generuvannya gami nav vainīgs, bet pov'yazane ar lielām tehniskām un organizatoriskām grūtībām.

Fibonači sekvences

Vipadkovy skaitļu ģeneratoru Cicavia klase tika vairākkārt caurdurta ar bagātīgu veselas aritmētikas matemātiku, ko radīja Džordžs Marsalia un Arifs Zeimans. Kuru ģeneratori ir balstīti uz jaunākajām Fibonači sekvencēm. Klasisks šādas secības piemērs (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…). Pirmo divu її locekļu vīnam uz priekšu virzošā locekļa āda ir divu priekšā esošo vērtību summa. Ja secībā ņemat atlikušo ādas numura ciparu, jūs redzēsit skaitļu secību (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4 ...) , tad, vikoristovuyuchi tsey masīvs, varat izveidot Fibonači skaitļu ģeneratoru no zapiznennyam, kur tiek pievienoti nevis susіdnі, bet tālu skaitļi. Marsalija un Zeimans ierosināja Fibonači shēmā ieviest “bitu pārsūtīšanu”, kas var būt pirmās vērtības 0 vai 1 māte. zastosovuvanih nі kongruentu ģeneratoru. Aiz figurālā Marsalijas virāza, šīs klases ģeneratoriem, var redzēt, cik vājas ir vibrācijas. "Jūs paņemat tūkstoš bitu vipadkovennaya četrdesmit tūkstošus bitu un ģenerējat garu vipadkovy skaitļu secību." Tomēr ar pašu lielo periodu intelektuāli nepietiek. Ir svarīgi atklāt trokšņa trūkumus, un analītikai ir jāmācās ar secību analīzi, lai redzētu, kā dziesmas ir pareizs, piemēram, pievienošanās lielam skaitļu klāstam.

Višnovki

Rindas plaši izmanto matemātikā un її papildinājumos, teorētiskajos pētījumos, kā arī uzdevumu skaitlisko risinājumu tuvināšanā. Daudzus skaitļus var pierakstīt kā īpašas rindas, ar kuru palīdzību jūs varat manuāli aprēķināt to aptuvenās vērtības ar nepieciešamo precizitāti. Noguldīšanas metode uz lavas ir efektīva funkciju savīšanas metode. Vіn zastosovyatsya funkciju aptuveno vērtību aprēķināšanai, integrāļu aprēķināšanai un novērtēšanai, dažādu vienādību (algebriskā, diferenciāļa, integrāļa) risināšanai.

Atsauču saraksts

1. Šilovs G.J. Matemātiskā analīze. Vienas čūskas funkcijas. 1.–2. nodaļa — M: Zinātne, 1969. gads

Maikovs E.V. Matemātiskā analīze. Rindu skaits / E.V. Maykiv. - 1999. gads

.“Analīzes kurss Karaliskajā Politehniskajā skolā”

O. Koši (1821) (Nr. 54 III sēj., 114.-116. lpp., tulk. A.P. Juškevičs)

Matemātikas vēsture no 19. gadsimta pēdējām stundām (rediģējis Juškevičs A.P., I sējums)

Lasītājs no matemātikas vēstures (II daļa) (rediģējis Juškevičs A.P.)

Vishcha matemātika: Zagalniy kurss: Navch. - 2. suga, / A.I. Jablonska, A.V. Kuzņecovs, E.I. Shilkina ta in; Par zag. ed. S.A. Samal. - Mn: Viš. skola, 2000. - 351 lpp.

Markovs L.M., Rozdumovičs G.P. Višča matemātika. 2. daļa. Matemātiskās analīzes pamati un diferenciālvienādojumu elementi. - Minska: Amalfeja, 2003. - 352 lpp.

8. Makarovs V.P. Teorētiskās ģeoloģijas piegāde. 7. Struktūru teorijas elementi. / Aktuālās problēmas un tendences zinātnē, transportā, būvniecībā un izglītībā 2007. Odesa, Čornomorja, 2007. V.19. 27. - 40. lpp.

9. Polovinkina Yu. Ir. Kalnu poru struktūras. Magmatisko ieži; 2. daļa: Siege šķirnes; 3. daļa Metamorfie ieži. - M: Deržģeolizdats, 1948. gads.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

Navchalno-metodiskā kompleksā disciplīna "Matemātika". 10. sadaļa "Rindas". Teorētiskie pamati. Metodiskie norādījumi studentiem. Materiāli studentu patstāvīgajam darbam. - Ufa: Vydavnitstvo UDNTU, 2007. - 113 lpp.

13. http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14. Galujevs G.A. Kriptoloģijas matemātiskie pamati: Pamata un metodiskais ceļvedis. Taganrogs: Skats uz TRTU 2003.-120 lpp.

Apmācība

Vai jums ir nepieciešama papildu palīdzība ar to cilvēku palīdzību, kuri ir?

Mūsu skolotāji konsultēs vai sniegs apmācību pakalpojumus par tēmām.
Iesniedziet pieteikumu no tiem, kurus iecēluši tiešā veidā, lai uzzinātu par iespēju saņemt padomu.